Вычисление вероятности случайного события

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный университет»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Хабаровск 2012

Содержание

Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события

Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события

Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли

Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,

Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности

Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии

Список литературы

Задание № 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события

Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля.

Решение. Вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля, найдем по формуле:

,

где - число благоприятных исходов события А; - число всевозможных событий, образующих полную группу.

Число всевозможных исходов выбора 6-ти карт из 36 листов равно числу сочетаний из 36 карт по 6 (все выборки отличаются только составом):

Так как число карт 36, то она содержит по 4 карты каждого достоинства.

Число благоприятных исходов выбора 4-х дам из 4-х возможных равно единице (), а число благоприятных исходов выбора 2-х королей из 4-х возможных равно числу сочетаний из 4-х карт по 2:

Следовательно, вероятность того, что среди 6-ти карт, вытянутых из колоды в 36 листов, находятся 4 дамы и 2 короля равна:

.

Ответ: .

Задание № 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события

В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допустить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05,для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.

Решение

Формула полной вероятности:

,

где , ,…, - вероятности событий , , …,, которые образуют полную группу несовместных событий и вероятность события может наступить лишь при условии появления одного из них.

Пусть событие А = {в платежной ведомости будет обнаружена ошибка}.

Введем систему гипотез:

H1 = {ошибка будет допущена кассиром};

H2 = {ошибка будет допущена учеником кассира}.

Так как в банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, то

; .

Согласно условию задачи условные вероятности равны

;

Применим формулу полной вероятности:

Ответ: .

Задание № 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли

математический дисперсия регрессия уравнение

На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт.

Решение

Формула Бернулли :

,

Где - вероятность появления события в каждом из испытаний;

- вероятность не появления события в каждом из испытаний.

а) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса на 8 продуктов.

б) Найдем вероятность того, что из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт. Событие состоит в том, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса или на 1 продукт, или на 2 продукта,…, или на 10 продуктов, т.е. величина количества продуктов на которые произойдет снижение спроса, может принимать значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 или .

Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951.

Задание № 32 . Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , ,

В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X - числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики , , .

Решение

Очевидно, что число стандартных деталей среди отобранных 3-х деталей будет 1, 2, 3.

Рассмотрим все возможные случаи выбора стандартных деталей среди отобранных 3-х из партии в 14 деталей, где имеются 2 нестандартные.

Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом):

- одна стандартная деталь среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора одной детали из 12-ти стандартных и 2-х деталей из 2-х нестандартных деталей:

Вероятность выбора одной стандартной детали среди трех отобранных найдем по формуле классической вероятности:

- две стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора двух деталей из 12-ти стандартных и одной детали из 2-х нестандартных деталей:

- три стандартные детали среди трех отобранных.

Число благоприятных способов выбора трех деталей из 12-ти стандартных:

Запишем ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:

123

Проверка:

Составим функцию распределения случайной величины и построим ее график.

, если ;

если ,

;

если ,

;

если ,

Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:

Построим график функции распределения случайной величины.

Формула для нахождения математического ожидания:

.

Формула для нахождения дисперсии:

, где

Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется равенством: .

Ответ: ; ; .

Задание № 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности

В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (мм) даны в табл. 8. На уровне значимости проверить гипотезу, что отклонения диаметров от номинала можно описать нормальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.

Таблица 8

Номер интервалаГраницы отклоненийЧисло валиков1-30...-2532-25...-2083-20...-15154-15...-10355-10...-5406-5... 06070-55585-1030910-15251015-20141120-2581225-307

Решение

1. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала.

; ; ; и т.д.

Получили распределение:

№ п/п123456789101112-27,5-22,5-17,5-12,5-7,5-2,52,57,512,517,522,527,538153540605530251487

2. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее.

Результаты вычислений представим в таблице.

№ п/п1-27,53-82,52268,752-22,58-18040503-17,515-262,54593,754-12,535-437,55468,755-7,540-30022506-2,560-15037572,555137,5343,7587,5302251687,5912,525312,53906,251017,5142454287,51122,5818040501227,57192,55293,75Итого300-12038575

Выборочную среднюю вычислим по формуле:

.

Квадратичное отклонение вычислим по формуле:

.

. Вычислим концы интервалов по формуле:

,

где , .

Наименьшее значение полагаем равным , наибольшее значение полагаем равным .

. Вычислим теоретические частоты по формуле:

,

где - вероятности попадания в интервалы .

- интегральная функция Лапласа: ; .

Заполним таблицу:

Номер интервала Границы интервалаГраницы интервала123456781-30-25-2,17-0,5000-0,48504,52-25-20-2,17-1,73-0,4850-0,45828,043-20-15-1,73-1,29-0,4582-0,401517,014-15-10-1,29-0,85-0,4015-0,302329,765-10-5-0,85-0,41-0,3023-0,159142,966-50-0,410,04-0,15910,016052,537050,040,480,01600,184450,5285100,480,920,18440,321241,04910150,921,360,32120,413127,571015201,361,800,41310,464115,31120251,802,240,46410,48757,021225302,240,48750,50003,75Итого300

. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.

Номер интервала 123456134,50,592288,040,0002647,960231517,010,237522513,227543529,760,9226122541,162654042,960,2039160037,243966052,531,0623360068,532375550,520,3973302559,877383041,042,969890021,929892527,570,239662522,6696101415,30,110519612,81051187,020,1368649,11681273,752,81674913,06673003009,5972309,5972

Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений:

Получили значение , следовательно, вычисления произведены правильно.

б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости и числу степеней свободы ( - число интервалов) находим критическую точку .

Так как , то гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности партии валиков принимаем. Другими словами, эмпирические и теоретические частоты различаются незначимо. Это означает, что данные наблюдений отклонения диаметров валиков от номинала согласуются с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности.

Задание № 52. Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии

Дана выборка двумерной случайной величины .

Требуется: a) Построить корреляционное поле.

b) Вычислить выборочный коэффициент корреляции.

c) Составить уравнение регрессии на и построить линию регрессии.

Таблица

2,120,12,518,22,917,63,3173,715,14,114,54,511,24,910,65,310,65,7106,19,46,59,56,98,97,38,37,76,28,15,68,558,95,39,34,79,74,1

Решение

a) Построим корреляционное поле, для этого на плоскости отмечаем точки с координатами .

Рис. 1 Корреляционное поле

b) Для нахождения выборочного коэффициента корреляции применим формулу:

,

где и - выборочные средние; и выборочные средние квадратические отклонения.

и ;

и ;

и .

Найдем выборочные средние и выборочные средние квадратические отклонения.

2,120,14,41404,0142,212,518,26,25331,2445,52,917,68,41309,7651,043,31710,8928956,13,715,113,69228,0155,874,114,516,81210,2559,454,511,220,25125,4450,44,910,624,01112,3651,945,310,628,09112,3656,185,71032,49100576,19,437,2188,3657,346,59,542,2590,2561,756,98,947,6179,2161,417,38,353,2968,8960,597,76,259,2938,4447,748,15,665,6131,3645,368,5572,252542,58,95,379,2128,0947,179,34,786,4922,0943,719,74,194,0916,8139,77118211,9802,62710,931033,03

;

;

; ;

; ;

.

Выборочный коэффициент корреляции:

.

Выборочный коэффициент корреляции очень близок к единице, связь между и по таблице Чеддока очень высокая. Знак минус указывает на обратную связь между и .

c) Составим уравнение регрессии на и построим линию регрессии:

,

Где , .

;

Уравнение регрессии на имеет вид:

На корреляционном поле построим линию регрессии.

Ответ: ; .

Список литературы

1. Математика (теория вероятностей и математическая статистика): методические указания и задания к выполнению контрольной работы № 2 для студентов экономических специальностей заочного ускоренного факультета / сост. Т.М. Попова, М.В. Червякова, Т.Н. Ряйсянен, Т.Г. Уленгова, Е.А. Битехтина, И.К. Искандеров.- Хабаровск : Изд-во Тихоокеан. гос. ун-та, 2010.-44 с.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Больше работ по теме: