Введение в исследование и дифференциальное исчисление функции одного переменного

 

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Специальность « Менеджмент организации »

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине: Высшая математика

На тему: ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Выполнил:

Студент __1__ курса

______1_____ семестр

Шошина Екатерина Анатольевна

№ зачетки- 32091031

Тюмень, 2010

«ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

1. Вычислить предел

Решение.

При имеем

Следовательно,

1. Найти асимптоты функции

Решение.

=

Очевидно, что функция при .

Отсюда получаем, что

Следовательно, - вертикальная асимптота.

Теперь найдем горизонтальные асимптоты.

Следовательно, - горизонтальная асимптота при .

1. Определить глобальные экстремумы

при хÎ[1,2]

Найдем производную

Для нахождения локальных экстремумов решим уравнение

,

значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка. наименьшее наибольшее

1. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции

Найдем производную

Решим уравнение

x01(1,3)3+0+0-0+возрастаетт.перегибавозрастаетmaxубываетminвозрастает

Локальные экстремумы: т. max

т. min

Точка перегиба

Промежутки монотонности:

возрастает при ,

убывает при .

Точка - локальный минимум.

x-2-1012345y-30.4-2.200.2-1.6-5.412.8125

1. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

Решение:

Требуется найти вторую производную

==

Точки перегиба

6x-12=0

x=2

выпуклость вверх (выгнутость)

Выпуклость вниз (выпуклость)

Отсюда следует, что функция выпуклая при ; вогнутая при ; точка перегиба x =2

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ»

. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции

.

Решение.

1) Область определения функции

.

) Функция не является четной или нечетной, так как

.

) Теперь найдем точки пересечения с осями:

а) с оx: , б) с oy .

) Теперь найдем асимптоты.

а)

А значит, является вертикальной асимптотой.

б) Теперь найдем наклонные асимптоты

Отсюда следует, что

является наклонной асимптотой при .

) Теперь найдем критические точки

не существует при .

)

не существует при

x024+0-Не сущ.-0+---Не сущ.+++yвозрастает выпуклаяmax убывает

выпуклаяне сущ.убывает

вогнутаяmin

возрастает

вогнутаяПостроим эскиз графика функции

1. Найти локальные экстремумы функции

Решение.

Решим систему

Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.

, ,

Две точки подозрительны на экстремум

(0,0), (-1,1)

Для анализа характера экстремума найдем вторые производные

Найдем знаки выражений в подозрительных точках, т.е

и

В точке (0,0) получим 0 и - 9

В точке (-1,1) получим - 6 и - 27

Вывод: в точке (0,0) экстремума нет,

в точке (-1,1) знаки - + это точка максимума

1. Определить экстремумы функции

,

если ху=100, х>0, у>0

Решение.

Сначала запишем функцию Лагранжа

.

И исследуем ее

При , ,

При , ,

Т.к. то получаем одну точку (10,10).

Это точка минимума

«ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

• 1. Найти неопределенный интеграл

Поэтому сделаем замену y=x-1

Тогда x=y+1, dx=dy

Получим

===

функция интеграл деление асимптота

Сделаем замену

==

=arcsinz+C (табличный интеграл)

=arcsin (возврат к y,x)

= arcsin

2. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Сделаем замену , тогда , dx=2ydy

==

Выполним деление с остатком:

на получим , остаток 24

==

Первые два интеграла табличные, в последнем - замена

Y+3=z, y=z-3, dy=dz

==

3. Найти неопределенный интеграл

Решение:

Применим замену

=

Так как , то =

По формуле интегрирования по частям

=

Вычислить

Решение:

Сделаем замену

,

;

=

. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми

Решение:

)

2)

Найдем точки пересечения.

Точки пересечения (-1,1), (1,1)

Фигура располагается по x от -1 до 1

Требуется найти площадь заштрихованной области

При видим, что , поэтому

Список используемой литературы

1.Кругликов В.И.Основы высшей математики: Учебное пособие. Тюмень: Мздательство Тюменского государственного университета,2004.

. Артемьева Е. Ю. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике для психологов. - Издательство МГУ, 1969.

. Макаров И. П. Дополнительные главы математического анализа. - М., «Просвещение», 1968.

. Мацкевич И. П., Свирид Г. П., Булдык Г. М. Сборник задач и упражнений по высшей математике. - Минск,

«Высшая школа», 1996.

. Пугачев И. С. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Наука, 1979.

. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - Москва, «Просвещение», 1968.

. Столяр А. А. Логическое введение в математику. - Минск, «Высшая школа», 1971.

. Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. -М.: Наука, 1978.

. Шрейдер Ю. А. Равенство, сходство, порядок. -М.: Наука, 1971.

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕС

Больше работ по теме: