Волны плоского оптического волновода

 

Российский Университет Дружбы Народов

Факультет физико-математических и естественных наук














Курсовая работа

На тему

Волны плоского оптического волновода




Исполнитель:

Баляева О.Н.




Москва


Введение


В основе интегральной оптики лежит главным образом тот факт, что световые волны могут распространяться по очень тонким слоям (пленкам) прозрачных материалов. Объединяя такие слои вместе и, придавая им необходимую конфигурацию, с помощью методов интегральной оптики можно создавать разные компоненты, позволяющие осуществить ряд операций над оптическими волнами. Так, свет в тонкопленочных структурах можно канализировать, отклонять, излучать в пространство и т.д. Эти компоненты малы и компактны. Они должны способствовать решению многих задач, из которых наиболее перспективной является обработка оптических сигналов в оптических линиях связи. Для решения этой задачи необходимо оборудование, обладающее миниатюрными размерами и прочной, долговечной и надежной конструкцией с низким потреблением энергии. Интегральная оптика рассматривает разнообразные явления, связанные с волноводным распространением света и управлением им с помощью тонких электрических пленок и полосок. Изучение свойств плоского оптического волновода является необходимым условием для понимания физических процессов, лежащих в основе работы устройств интегральной оптики.

В своей работе я хочу проанализировать распространение волн в плоском оптическом волноводе, как с геометрической точки зрения, так и с точки зрения электромагнитной теории. Также рассмотреть распределения электромагнитного поля в волноводе и зависимости свойств волновода от его параметров.


1. Теория диэлектрических волноводов

диэлектрический волновод плоский оптический

Диэлектрические волноводы


Диэлектрические волноводы представляют собой структуры, которые используются для ограничения и направления света в волноводных устройствах и схемах интегральной оптики.

Простейшим диэлектрическим волноводом является волновод на рис.1.1, у которого пленка с показателем преломления nf помещена между подложкой и покровным материалом с более низкими показателями преломления ns и nc (nf>ns?nc).


Рис.1.1 Поперечное сечение плоского волновода, состоящего из тонкой пленки толщиной (или высотой) h с показателем преломления nf, заключенной между подложкой и покровным материалом с показателями преломления ns и nc.


Часто покровным материалом служит воздух, в этом случае nc=1. Типичные значения разности между показателями преломления пленки и подложки лежат в диапазоне от 10-3 до 10-1, а типичная толщина пленки 1 мкм. Область распространения света ограничивается в результате полного внутреннего отражения на поверхностях раздела пленка - подложка и пленка - покровный слой. Оптическая волна, введенная в волновод, распространяется вдоль волновода, при этом энергия волны сосредоточена в центральном слое и в некоторой близости от него. Таким образом, в плоском волноводе происходит распространение волны не в трех, а в двух измерениях вдоль поверхности волновода.


. Геометрическая оптика плоских волноводов


ПРЕЛОМЛЕНИЕ И ОТРАЖЕНИЕ

Представим себе границу двух изотропных, однородных диэлектрических сред без потерь, с показателями преломления n1 и n2 (рис.1.2).


Рис.1.2 Направление нормалей к волновым поверхностям преломленного и отраженного света на плоской границе раздела двух сред с показателями преломления n1 и n2.


Угол падения - ?1

На эту границу падает когерентная световая волна, нормаль к волновой поверхности которой образует с нормалью к границе раздела угол ?1. В общем случае волна с комплексной амплитудой A на границе раздела частично отражается и частично преломляется. Угол ?2 для преломленной волны С можно определить из закона Снеллиуса:


(1)


На границе комплексная амплитуда отраженной волны В линейно связана через комплексный коэффициент отражения R с комплексной амплитудой А:


(2)


Коэффициент отражения зависит от угла падения и поляризации света и определяется из формул Френеля. Для ТЕ - поляризации мы можем записать ([5], гл. 5, § 65):


(3)


Так называемый критический угол ?c определяется выражением


(4)


До тех пор, пока выполняется неравенство ?1<?с, мы имеем только частичное отражение света, и величина R принимает действительные значения. Как только угол падения ?1 превзойдет критическое значение ?с (?1>?с), модуль коэффициента отражения |R|=1, и мы можем говорить о полном отражении света. В данном случае величина R является комплексной, и отраженный свет испытывает сдвиг по фазе относительно падающего света. Мы можем записать


R=exp(2j?) (5)


И получить с помощью формул Френеля выражение для фазового сдвига ?TE для состояния поляризации:


(6)


На рис.1.3 показана зависимость фазового сдвига ?TE от угла падения ?1 при различных значениях отношения показателей преломления n2/n1.


Рис.1.3 Зависимость фазового сдвига ?TE для ТЕ-моды от угла падения ?1.


Значения 0,3, 0,5 и 0,7 приблизительно соответствуют границам раздела воздух - GaAs, LiNbO3 и SiO2 соответственно. Заметим, что фазовый сдвиг возрастает от нуля при критическом угле падения до ?/2 при скользящем угле падения (?1=90°). Характер поведения фазового сдвига ?TM аналогичен.

Теперь рассмотрим плоскую волноводную структуру (рис.1.4), состоящую из пленки, подложки и покровного материала с показателями преломления nf, ns и nc соответственно. В общем случае справедливо неравенство nf >ns>nc и существуют два критических угла: угол полного внутреннего отражения ?s на границе раздела пленка - подложка и угол полного внутреннего отражения ?с<?s на границе раздела пленка - покровный слой. Если мы начнем увеличивать угол падения света ?, то обнаружим, что существуют три различных случая, которые схематически изображены на рис.1.4. При малых углах падения ?<?s, ?с свет, который распространяется со стороны подложки, преломляется согласно закону Снеллиуса и выходит из волновода через покровный слой (а). В этом случае, по существу, волноводное распространение света отсутствует. Если увеличить угол падения ?, так чтобы выполнялось условие ?с<?<?s, то распространяющийся по подложке свет преломляется на границе раздела пленка - подложка, испытывает полное внутреннее отражение на границе пленка - покровный слой, преломляется обратно в подложку и, пройдя через нее, также покидает


Рис.1.4 Распространение зигзагообразных волн в плоском волноводе данную структуру (б).

В этом случае волноводное распространение света снова не имеет места. Наконец, когда угол ? достаточно велик (в), так что выполняется условие ?s, ?с<?, то наблюдается полное внутренне отражения на обеих границах раздела. Теперь свет, который однажды попал в пленку, будет распространяться в ней волноводным образом по зигзагообразному пути.

ВОЛНОВОДНЫЕ МОДЫ

На рис.1.5 показан вид сбоку на плоский волновод. Это картина двух наложенных друг на друга однородных плоских волн, нормали, к волновым фронтам которых движутся по зигзагообразному пути. Данные волны монохроматичны и когерентны, их угловая частота равна ?, длина волны в вакууме ?, а волновой вектор в направлении нормали к волновой


Рис.1.5 Вид сбоку на плоский волновод и направление нормалей к волновым поверхностям зигзагообразных волн, соответствующих волновой моде поверхности равен knf, причем абсолютная величина вектора k равна


k=2?/?=?/c (7)


где с-скорость света в вакууме. Поля таких волн изменяются по следующему закону:


exp[-jknf (±xcos?+zsin?)] (8)


Согласно представлению о зигзагообразных волнах, постоянная распространения ? для волноводной моды в плоском волноводе (и связанная с ней фазовая скорость ?p) определяется следующим выражением:

?=?/?p=knfsin? (9)


и является z-составляющей волнового вектора knf. Однако угол ? не может принимать любые значения, так как только дискретный набор углов приводит к появлению самосогласованной картины распределения поля, которая соответствует тому, что мы называем волноводной модой. Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z=const и просуммируем сдвиги фаз, которые появляются при движении некоторой волны от нижней границы пленки (x=0) к верхней границе (x=h) и затем при движении отраженной волны к исходной границе пленки. В случае самосогласования сумма всех этих фазовых сдвигов должна быть кратна 2?. В частности для пленки толщиной h сдвиг фазы за первый проход поперек пленки равен knfhcos?. Сдвиг фазы в результате полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - покровный слой равен (-2?c). Сдвиг за следующий проход вниз поперек пленки равен knfhcos? и сдвиг из-за полного внутреннего отражения на границе раздела пленка - подложка равен (-2?s). Таким образом, мы получили условие самосогласованности (условие поперечного резонанса):


knfhcos?-2?s-2?c=2??, (10)


где ? - целое число, которое определяет порядок моды. Соотношение (10) , по существу, является дисперсионным уравнением волновода, которое определяет постоянную распространения ? как функцию частоты ? и толщины пленки h. Согласно выражениям (4) и (9), диапазон изменения постоянной распространения ? для волноводной моды ограничен значениями постоянных распространения плоских волн в подложке и пленке:


kns<?<knf (11)

Во многих случаях удобно воспользоваться понятием «эффективный волноводный показатель преломления», который определяется следующим образом:


N=?/k=nfsin? (12)


и изменяется в пределах


ns<N<nf. (13)


На рис.1.6 представлено графическое решение дисперсионного уравнения (10) для основной моды (?=0). На ней изображены зависимости от угла ? фазового сдвига за проход поперек пленки knfhcos? (пунктирная линия) и суммы фазовых сдвигов (?s+?c) при отражениях от границ пленки. Последняя зависимость для симметричного волновода (?s=?c)представлена сплошной линией, для асимметричного штриховой линией.


Рис.1.6 Графическое решение дисперсионного уравнения для основных мод


3. Электромагнитная теория волноводов


УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ

Считая, что электромагнитное поле изменяется во времени по гармоническому закону, т.е.


, ,


уравнения Максвелла для комплексных амплитуд можно записать:


, (1)


(2)


, - абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды или в развернутом виде:


a

б (3)

в

а

б (4)

в


Рассмотрим плоский волновод (рис.2.1), образованный диэлектрической пленкой, однородной в плоскости пленки (в направлениях x и z). Структура волновода неоднородна в направлении y. Положим, что волны распространяются вдоль оси 0z. Тогда , т.к. в направлении x структура однородна, а волноводная мода распространяется по z (т.е. представляющие ее плоские волны распространяются в плоскости yz).


Рис.2.1 Схема плоского оптического волновода


Запишем уравнения Максвелла с учетом сказанного:


a

б (5)

в

а

б (6)

в


Подставим (6б) и (6в) в (5а). Получаем уравнение


(7)


Относительно Ex. Имеют место соотношения


(8)


Уравнения (7) и (8) полностью определяют электромагнитную волну с компонентами поля Ex, Hy и Hz. Остальные компоненты поля никак не связаны с Ex и их можно положить равными нулю. Такую волну называют ТЕ-волной. Действуя аналогичным образом и подставляя (5б) и (5в) в (6а), получим волновое уравнение относительно Hx, которое с учетом (5б) и (5в) полностью определяет волну с компонентами поля Hx, Ey, Ez, т.е. ТМ-волну. Т.о. система уравнений Максвелла (5), (6) имеет два независимых вида решений - ТЕ и ТМ-волны. Ограничимся в дальнейшем только волнами ТЕ-типа.

В результате подстановки (8) в (5) можно получить волновое уравнение для электрической компоненты поля:


Можно записать соотношения и , где , - относительная магнитная и диэлектрическая проницаемость; , - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума, и ввести обозначения:


и при , , (9)

(10)


С учетом этих соотношений имеем


(11)


Это уравнение описывает распространение волн в оптической среде с показателем преломления n. Поскольку в данной задаче границы пленки являются плоскостями y=0 и y=-h, т.е. плоскостями, параллельными координатной плоскости y=0, переменные в уравнении (11) разделяются и его решение следует искать в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от y, а вторая только от z. Распределение амплитуды поля по координате x предполагается равномерным. Таким образом


(12)

После подстановки в (11) получим:


(13)


Или


. (14)


Поскольку левая и правая часть выражения (14) зависят от различных переменных, то равенство может соблюдаться только в том случае, когда каждая из частей равенства является константой. Пусть эта константа обозначена .


(15)


Уравнение (15) имеет решение вида


(16)


Приравнивая правую часть уравнения (14) , получим


(17)

Конкретный вид функции Y(y) определяется из уравнения (17) с учетом граничных условий и описывает распределение амплитуд и фаз в поперечном сечении волноводного слоя и прилегающих сред. Полный же вид решения определяется как произведение Y(y)Z(z) и с учетом временной зависимости ej?t имеет вид


.


Таким образом, решение имеет вид гармонической волны, распространяющейся вдоль оси 0z в положительном (знак - ) или в отрицательном (знак +) направлении и имеющей амплитудное распределение Y(y) в направлении y.

Итак, после разделения переменных мы можем искать распределение комплексных амплитуд поля ТЕ-волны в зависимости от координаты y исходя из уравнений:

для области 1:


(18)


для области 2:


(19)


для области 3:

(20)


Необходимо найти коэффициенты ci (i-номер области), которые удовлетворяют граничным условиям. Граничные условия представляют собой уравнения непрерывности касательных E и H составляющих компонент электромагнитного поля и для ТЕ-волн имеют вид:


, при y=0 (21)

, при y=-h (22)


Условия непрерывности H-составляющих на границах раздела эквивалентны условиям непрерывности производных от распределения E-составляющих поля на границах раздела слоев 1 и 2 и слоев 2 и 3. Рассматривая уравнения (16-18), можно заметить, что вид решения существенно зависит от соотношения между величиной коэффициента и величинами . Рассмотрим свойства решений, соответствующих разным областям значений . Характер возможных решений при различных иллюстрируется графиком на рис.2.2.


А. kz > k0n2.


При этом условии заведомо выполняются условия kz > k0n3 и kz > k0n1. Решение, соответствующее области А, физически неосуществимо.


B. k0n2 > kz > k0n3, k0n1.

Такой режим называется волноводным, а центральный слой 2 называют несущим слоем волновода.


С. K0n3 > kz > k0n1 и, очевидно, k0n2 > kz.


Такие моды называются излучательными модами подложки. Причем излучение происходит в среду с показателем n3, т.е. в подложку.


D. k0n1 > kz.


Такие моды также называются излучательными модами волновода. Излучение происходит в подложку и в среду над волноводом.

Основные результаты: в системе, состоящей из трех диэлектрических слоев с показателями преломления n1, n2, n3 при условии n2>n1, n2>n3 возможно распространение волны вдоль слоя 2, при этом распределение электромагнитного поля в поперечном сечении имеет максимальное значение внутри центрального слоя 2 и экспоненциально спадает при удалении от границ слоя 2 в направлении оси 0y (или - 0y). Волна с неоднородным распределением по координате y распространяется вдоль плоскости волновода и характеризуется постоянной распространения , при этом k0n3 < kz < k0n2.


Рис.2.2 Характер возможных решений уравнения при различных значениях константы kz.

Условие B соответствует волноводному режиму распространения волны. Три кривых показывают вид распределения поля в поперечном сечении для разных поперечных мод.


ДИСПЕРСИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХСЛОЙНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА

Дисперсионное уравнение для ТЕ-волны:

Из граничных условий (21), (22) вытекает, что они выполняются лишь в том случае, когда выполняется соотношение


, (23)


которое можно преобразовать к виду


. (24)


Где


(25)

(26)

(27)

Полученное уравнение можно представить в другой форме. Используем тождество . Обозначим , , тогда из (23) получим тождество , т.е. и формулу для дисперсионного уравнения:


(28)


Здесь m=1,2,3…

Если подставить (25-27) в (23), то получим уравнение относительно неизвестной .

Величину обычно представляют в виде , где - волновое число электромагнитной волны в свободном пространстве. Если выразить через фазовую скорость волны в волноводе, , то коэффициент равен отношению скорости волны в свободном пространстве к фазовой скорости волны в волноводе


.


Уравнение (24), выраженное через имеет вид


(29)

Корни этого уравнения определяют собственные значения постоянной распространения . При заданной толщине пленки h различные значения соответствуют различным модам, т.е. различным типам волн, распространяющимся в волноводе. Уравнение типа (24) носит название дисперсионного уравнения, так как оно, по существу, связывает скорость волны с длиной волны, а также с параметрами волновода: толщиной волноводного слоя, показателями преломления слоев.


ДИСПЕРСИОННЫЕ ЗАВИСИМОСТИ

Для наглядности удобно представить решение дисперсионного уравнения в виде графиков зависимостей от толщины волноводного слоя h. Для их построения необходимо задать значения n1, n2, n3, и длину волны . После этого по формуле (29) легко рассчитать и построить зависимости для каждого числа m=1,2… Эти семейства кривых для двух типов волноводов, различающихся параметрами n1, n2, n3, приведены на рис.2.3.


Рис.2.3 Зависимости замедления от толщины слоя оптического волновода для двух характерных типов волноводов:

а) Волновод из пленки полистирола на стеклянной подложке (n1=1, n2=1,59, n3=1,51; ?=0,6328 мкм);

б) Волновод из пленки Ta2O5 на стеклянной подложке (n1=1, n2=2,15, n3=1,51; ?=0,6328 мкм)


КРИТИЧЕСКАЯ ТОЛЩИНА

Найти значение критической толщины можно, приравняв . При этом начинается излучение волн в подложку и волновод теряет свои направляющие свойства. Из выражения (29) имеем


. (30)


Когда в волноводе может распространяться только одна мода, его называют одномодовым. При увеличении толщины волноводного слоя 2 будут последовательно удовлетворяться условия высших мод (TE2, TE3 и т.д.). Волновод, в котором существуют высшие моды, называют многомодовым. Значение критической толщины будет уменьшаться с увеличением разности показателей преломления (n2-n3) волноводного слоя и подложки.


РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ

Распределение компонент поля в сечении волновода для различных мод задается выражениями


0 < y < ?,

-h < y < 0,

, -? < y < -h.

,

,

, 0 < y < +?, (31)

, -h < y < 0, (32)

, -? < y < -h (33)


Характер распределения поля, описываемого выражениями (31-33), изображен на рис.2.4.


Рис.2.4 Вид распределения поля в поперечном сечении волновода для различных волноводных мод

В волноводном режиме величина ? изменяется от n3 до n2, (n3 > n1, причем n2 > n3). Отсюда видно, что распределение поля в 1 среде довольно резко затухает на расстояниях порядка длины волны, если разница между n3 и n1 не слишком мала. Распределение поля в подложке также экспоненциально затухает, однако при ? ? n3, т.е. когда режим волновода приближается к критическому, показатель экспоненты стремится к нулю. Распределение поля при этом вытягивается в подложку. Эффективную глубину проникновения пол в подложку можно определить из выражения (34) как глубину, на которой амплитуда напряженности поля уменьшается в e=2,7 раз по сравнению с амплитудой поля на границе слоев 2 и 3.


(34)


При порядка 10-4 эта величина составляет более десятка длин волн, что намного превышает саму толщину центрального волноводного слоя. При удалении от критического режима поле в подложке становится быстро затухающим. Так при =0,1 эффективная глубина проникновения составит уже долю длины волны.

Распределение поля в центральном слое - гармоническое, вида . Максимум этого распределения сдвинут в область отрицательных значений y (в область центрального слоя) на величину . Область значений y простирается от 0 до -h, величина изменяется от 0 до . Величину можно определить из дисперсионного уравнения как


.

Отсюда видно, что в случае низших мод (m=1), не превышает ? и, следовательно, на толщине слоя укладывается менее полупериода функции . Если же m=2, то на толщине слоя может укладываться от 0,5 до 1 периода функции , так как ? < ?h < 2? и так далее при произвольном m на толщине h укладывается без малого m пространственных полупериодов функции . Распределение поля высших мод в центральном слое оказывается знакопеременным и имеет m-1 переходов через 0 в пределах толщины слоя, как это показано на рис. 4.


4. Расчет электромагнитных полей


Построим зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя для трех низших ТЕ мод для заданных показателей преломления и длины волны

n1=1, n2=1.55, n3=1.5, ?0=1.3 мкм



а также распределения поля для различных волноводных мод


Для второй моды



Для третьей моды



Также для компоненты Hz

Для первой моды


Для второй моды



Для третьей моды



И для компоненты Hy

Для первой моды


Для второй моды



Для третьей моды


Заключение


Из последних приведенных мною графиков видно, что распределение волны в волноводе зависит от его толщины, т.е. в зависимости от того, как должна распределяться волна, выбирается та или иная толщина. Чем шире волновод, тем большая часть волны будет распространяться внутри него. Если требуется, чтобы волна распространялась большей частью в подложке, то необходимо сделать волновод уже.

Итак, в своей работе я ознакомилась с физическими процессами в волноводах. Рассмотрела характер волн в волноводе и их распространение, также уравнения, описывающие эти волны. Познакомилась с таким понятием как критическая толщина. Во второй части своей работы я привела график, показывающий зависимость коэффициента замедления от толщины волноводного слоя, а также графики, показывающие распределения поля волны для различных волноводных мод.

Бурное развитие интегральной оптики вызвано высокой практической эффективностью интегрально-оптических устройств. Потребности современной техники передач и обработки информации оптическими методами привели к разработке и созданию быстродействующих интегрально-оптических устройств. Постоянно создаются новые типы волноводов и волноводных устройств, позволяющих повысить информационную емкость волоконных линий связи и быстродействие обработки информации в системах телекоммуникаций.


Список литературы


1.Под ред. Тамира. Интегральная оптика, Москва, Мир, 1978

2.Комоцкий В.А. Плоский оптический волновод: Учебно-методическое пособие. Москва, РУДН, 2001

.Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн, Москва, Наука, 1978.

.Д. Маркузе. Оптические волноводы, Москва, Мир, 1974.

.Сивухин Д.В. Общий курс физики: оптика, Москва, Наука, 1980.


Российский Университет Дружбы Народов Факультет физико-математических и естественных наук Курсовая раб

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ