Внедрение систем компьютерной математики в профильное школьное математическое образование (на примере изучения систем линейных уравнений)

 

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина"

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры, геометрии и методики обучения математике.







Выпускная квалификационная работа

по теории и методике обучения математике

Внедрение систем компьютерной математики в профильное школьное математическое образование (на примере изучения систем линейных уравнений)




Выполнила студентка 5-го курса

Старикова А.В.

Руководитель работы:

Профессор Солонина А.Г.





Рязань-2009

Оглавление


Введение

Глава 1. Математические, информационные и психолого-педагогические основы исследования

.1 Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений

.2 Информационные основы исследования. Система компьютерной математики mathcad

.3 Психолого-педагогические основы исследования. Информатизация и компьютеризация образования

Вывод по главе 1

Глава 2. Внедрение системы компьютерной математики mathcad в профильное школьное математическое образование

.1 Анализ целей обучения математике. Постановка целей обучения математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD

2.2 Анализ содержания школьных учебников по теме: "Система линейных уравнений"

2.3 Формы организации обучения

2.4 Программа по элективному курсу

2.5 Конспекты некоторых уроков элективного курса "Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD"

Вывод по главе 2

Заключение

Литература


Введение


Актуальность темы исследования. По сравнению с уравнениями с одной переменной их системы часто оказываются более удобным аппаратом, как в самой математике, так и в ее приложениях. Можно указать много задач, решение которых с помощью уравнений с одной переменной требует большего труда (а иногда и искусства), чем решение с помощью системы уравнений, содержащей несколько переменных. Системы уравнений находят применение при изучении новых математических операций, функций и их свойств, тождеств и тождественных преобразований. Таким образом, решение систем уравнений является важным средством закрепления, углубления и развития теоретических знаний.

Системы уравнений решаются на протяжении всего курса математики, начиная с 7-9 классов, а решение и исследование линейных систем уравнений изучается только в 7 классе и 10-11 классах идет только лишь повторение.

Решать системы линейных уравнений можно различными методами. В наше время, время всеобщей компьютеризации, нас интересует можно ли их решать с помощью компьютера? Одной из таких компьютерных программ является система компьютерной математики MathCAD.

Интегрированные системы для автоматизации математических расчетов класса MathCAD (Math Computer-Aided Design), разработанные фирмой Math Soft(США), начали с успехом использоваться еще в середине 80-х годов. По сей день, они остаются единственными математическими пакетами, в которых описание решения математических задач дается с помощью привычных математических формул и знаков. Такой же вид имеют и результаты вычислений.

MathCAD - это мощная и в то же время простая универсальная среда для решения задач в различных отраслях науки и техники, финансов и экономики, физики и астрономии, математики и статистики… MathCAD остается единственной системой, в которой описание решения математических задач задается с помощью привычных математических формул и знаков. MathCAD позволяет выполнять как численные, так и аналитические (символьные) вычисления, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

В MathCAD существует несколько способов решения систем линейных уравнений. Для решения совместных систем линейных уравнений следует использовать программы символьной математики, поскольку система уравнений может иметь неединственное решение, главные неизвестные выражаются в символьном виде через свободные неизвестные. Для решения совместных систем линейных уравнений будем использовать блок, включающий ключевое слово Given и встроенную функцию find.

Квадратную систему линейных уравнений вида (М- квадратная матрица, ранг которой равен числу ее строк, х- вектор неизвестных, - вектор свободных членов) можно найти, используя встроенную функцию lsolve. Матрица М - основная матрица данной системы уравнений.

Подробнее о том как решать системы линейных уравнений будет рассмотрено ниже.

Проблемой использования системы MathCAD в школах, в частности на уроках математики, занимались многие ученые, учителя, аспираты, а также сами студенты: Солонина А.Г., Дьяконов В.П., Карфидова Ю.ФА., Говядовская А.Н.

Объектом исследования в данной работе, является школьное математическое образование, а точнее решение и исследование систем линейных уравнений в школе.

Предмет исследования. Методическая система обучения школьников системе линейных уравнений с использованием компьютерной математики MathCAD.

Цель исследования состоит в разработке теоретических и методических снов использования системы MathCAD в процессе решения и исследования систем линейных уравнений в школе.

Цель исследования определила ряд конкретных задач:

1.Рассмотреть математические, информационные и психолого-педагогические основы исследования.

.Проанализировать стандарты среднего (полного) общего образования по математике и информатике (базовый и профильный уровень), а также обязательный минимум содержания основных образовательных программ по математике и информатике.

3.Выявить возможности системы MathCAD изучения систем линейных уравнений.

.Осуществить критический анализ содержания школьных учебников в связи с внедрением в процесс обучения системы компьютерной математики MathCAD.

.Разработать содержание элективного курса по теме: решение и исследование систем линейных уравнений в связи с новыми требованиями информатизации и компьютеризации школьного математического образования.

Практическая значимость и научная новизна. Разработанный элективный курс может быть использован учителями в школе, школьниками при подготовке к самостоятельным и контрольным работам, экзаменам и для самостоятельного изучения математики, а также студентами педагогических вузов на занятиях по методике обучения математике.

В данной работе было сделано следующее:

1.Предложено преобразованное изложение школьной темы "Системы линейных уравнений", обоснованное на вузовской математике.

2.Осуществлен критический анализ содержания школьных учебников для классов с углубленным изучением математики, соответствующих обязательному минимуму содержания общего образования 1998 года и доработанные по федеральному компоненту государственного стандарта общего образования.

.Произведен критический анализ целей обучения математики из государственного стандарта среднего (полного) общего образования по математике на профильном уровне.

.Разработан элективный курс "Изучение избранных вопросов по математике с использованием системы компьютерной математики MathCAD", в котором осуществлена интеграция школьного курса алгебры и информатики (системы компьютерной математики MathCAD).

Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечены:

) рациональным сочетанием теоретических и эмпирических методов исследования;

) опорой основных положений и научных выводов на достижения педагогики, психологии, математики, теории и методике обучения математике;

) соответствием используемых методов целям и задачам исследования.

Апробация результатов исследования. Результаты работы были представлены на студенческих конференциях по итогам 2007, 2008 годов в секции "Новые информационные технологии в математике", также в 2008 году результаты были опубликованы в сборнике трудов второй международной научно-практической конференции "Наука и образование XXI века".

Структура. Работа состоит из введения, двух глав с выводами по каждой из них, заключения и списка литературы.

Глава 1. Математические, информационные и психолого-педагогические основы исследования


.1 Математические основы решения и исследования системы линейных уравнений.


Дадим определение системы линейных уравнений с m уравнениями и с n неизвестными (mn).

Определение. Системой из m-линейных уравнений с n неизвестными над полем P называется система вида


(1)

………………………...

Где , , ,


Первый индекс указывает на номер уравнения, а второй на номер неизвестного. Систему (1) можно записать в сокращенном виде:


, ()


Если m=n, то система называется квадратной. Для системы MathCAD m и n могут быть достаточно большими, например до 50 и более, и необязательно m=n.

Если посмотреть школьные учебники, которые мы рассмотрим более подробно во второй главе данной работы, то мы увидим, что там рассматриваются только квадратные системы.

Определение. Решением системы линейных уравнений (1) называется вектор такой, что имеют место m-истинных равенств:


()

………………………...


По умолчанию , т.е. . Совокупность равенств () можно записать в сокращенном виде:


, ()


Рассмотрим следующие важные для нас определения.

Определение. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система линейных уравнений называется несовместной, если она не имеет решений, т.е. множество всех ее решений пусто.

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Для решения систем линейных уравнений необходимо ввести понятие матрицы. В школе матрицы не изучаются, однако матрицы - это таблицы, понять которые не представляет труда для школьников. В системе MathCAD можно ввести матрицы и производить различные операции над ними.

Определение. Таблица вида

А=, где , называется матрицей над полем или - матрицей над .

Введем следующие обозначения для строк и столбцов матрицы: -я строка матрицы обозначается через , ;

-й столбец матрицы обозначается через :


.


Матрицы А= и В= называются соответственно основной и расширенной матрицами системы уравнений (1).

Определение. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

I.Умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на ненулевой скаляр ,

II.Прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженного на производный скаляр .Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.

С помощью элементарных преобразований можно решать любую систему линейных уравнений. Элементарные преобразования рассматриваются различные, выше мы рассмотрели как это у Куликова Л.Я. У другой автор А.И.Кострикин использует другое определение элементарных преобразований:

Одна система получена из другой при помощи элементарного преобразования типа (1), если в ней все уравнения, кроме i-го и k-го, остались прежними, а i-е и k-е уравнения поменялись местами. Если же во второй системе все уравнения, кроме i-го, те же, что и в первой, а i-е уравнение имеет вид , где с - какое-то число (т.е. , ), то полагаем, что к первой системе применено элементарное преобразование типа (2).

У обоих этих определений есть один общий так называемый "плюс", т.е. и у Куликова Л.Я., и у Кострикина А.И. указывается, а вернее точно говорится к какому уравнению прибавляем какое уравнение. И мы уже точно можем сказать, какое уравнение мы просто переписываем без изменений, а какое записываем в измененном виде. К сожалению, этого нет ни в одном проанализированном мною школьном учебнике по математике. Там просто говорят, что мы складываем два уравнения, и становится совершенно не понятно, какое именно уравнение мы оставим без изменения, а какое запишем в преобразованном виде? Поэтому у школьников возникают трудности с преобразованиями систем линейных уравнений. В следующих главах этой работы мы вернемся к этой проблеме, и будут предложены пути ее решения.

Докажем следующую очень важную для нас теорему.

Теорема. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, эти две системы равносильны.

Доказательство. Пусть дана система


(1)

Если умножить одно из ее равнений, например первое, на отличный от нуля скаляр , то получим систему


…………………………… (2)


Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2). Обратно: если любое решение системы (2),т.е.


……………………………


то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Также легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (??) èëè (???) ïðèâîäèò ê ñèñòåìå, ðàâíîñèëüíîé èñõîäíîé ñèñòåìå (1). Òàê êàê îòíîøåíèå ðàâíосильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

А, теперь используя эту теорему, перейдем к решению систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных как это сделано у Куликова Л.Я.

Пусть дана система линейных уравнений


…………………………


Пусть А= и В=


Ведущим элементом строки матрицы называется первый (считая слева направо) ненулевой элемент строки. Столбец матрицы называется основным, если он содержит ведущий элемент какой-либо строки матрицы.

Определение. Элементарные преобразования над системой строк (столбцов) матрицы называются элементарными преобразованиями матрицы. Две матрицы называются строчечно-эквивалентными, если одна получается из другой при помощи цепочки элементарных преобразований над строками.

Определение. Матрица А называется ступенчатой, если она удовлетворяет условиям:

1.Нулевые строки матрицы (если они есть) расположены ниже всех ненулевых строк;

2.Если ведущие элементы ненулевых строк матрицы, то .

Примеры ступенчатых матриц:1) нулевая матрица, 2)однострочная матрица, 3) единичная матрица, 4) верхнетреугольная матрица.

Система линейных уравнений называется ступенчатой, если расширенная матрица системы есть ступенчатая матрица без нулевых строк. Система линейных уравнений называется приведенной ступенчатой, если расширенная матрица системы есть приведенная ступенчатая матрица.

Если B нулевая матрица, то любой n-мерный вектор является решением системы (1). Если же Aнулевая, а В ненулевая, то система уравнений (1) несовместна.

Предположим, что матрица A ненулевая. Тогда систему уравнений (1) можно при помощи элементарных преобразований привести к ступенчатой системе, а затем к приведенной ступенчатой системе, причем эти системы будут равносильны исходной системе (1). При помощи цепочки элементарных преобразований приведем систему уравнений (1) к ступенчатому виду без нулевых строк. Если последнее уравнение полученной системы имеет вид


, где


то полученная ступенчатая система уравнений несовместна и, следовательно, несовместна равносильная ей исходная система уравнений (1). Если же в левой части последнего уравнения полученной ступенчатой системы есть коэффициенты, отличные от нуля, то полученная ступенчатая система имеет вид


(2)


где коэффициенты , , отличны от нуля. Система (2) совместна и равносильна исходной системе(1).

От ступенчатой системы (2) при помощи цепочки элементарных преобразований переходим к ступенчатой системе уравнений


(3)


Система (3) совместна и равносильна исходной системе уравнений (1). Если при этом , то система уравнений (3) (и система (1)) имеет единственное решение ().Если же ,то система (3) равносильна системе


(4)

……………………………………


Уравнения системы (4) дают явное выражение переменных ,называемых главными, через переменные , называемые свободными. Придавая в уравнениях (4) свободным переменным любые значения из поля скаляров, находим соответствующие значения главных переменных. Таким образом, можно получить любое частное решение исходной системы уравнений (1), поскольку она равносильна системе (4). Поэтому вектор


(,,) (5)


называется общим решением системы уравнений (1). Вектор (5) можно записать в виде


(6)


где , и частное решение системы (1). Вектор (6) также называется общим решением системы (1).

Множество является множеством всех решений системы (1)

У А.И.Кострикина этот метод решения называется методом Гаусса. И мы привыкли в университете называть его методом Гаусса или методом последовательного исключения переменных, причем многие отождествляют эти два способа. Они очень похожи, но в то же время имеют отличие. Рассмотрим ход решения у А.И.Кострикина, а затем сравним его с решением выше. В начале решения ход его действий такой же, как и у Куликова Л.Я., т.е. он путем последовательного применения элементарных преобразований переходит к системе ступенчатого вида, которая эквивалентна исходной. Затем получает главные и свободные неизвестные, а дальше поднимаясь снизу вверх, получает, что значения для главных неизвестных определяются однозначно при любых заданных значениях для свободных неизвестных.

Таким образом, метод, который использует А.И.Кострикин, является объединением двух методов: первая часть решения - это метод последовательного исключения переменных, а вторая - это метод подстановки. Куликов Л.Я. использует метод последовательного исключения переменных и не использует метод подстановки.

В школе используется метод как у А.И.Кострикина. И, к сожалению, пока остается невыяснен вопрос, каким методом решает система MathCAD.

Применим указанный выше метод на конкретном примере.

Пример 1.1

Решить систему линейных уравнений:



В институте любой студент начнет ее решать, записав матрицу, которую приведет к ступенчатому виду, но в школе дети не знают, что такое матрица и поэтому их нужно научить приводить к ступенчатому виду всю систему, то есть применить метод последовательного исключения неизвестных.

Первый шаг. Первое уравнение оставляем без изменений, просто переписываем, а во всех других должны исключить переменную . Ко второму прибавляем первое уравнение, умноженное на (-3). Третье оставляем тоже без изменений, так как коэффициент при равен нулю. К четвертому прибавляем первое, умноженное на (-5). Получим систему равносильную данной:



Второй шаг. Первое и второе уравнения оставляем без изменений, просто переписываем. К третьему прибавляем второе уравнение, к четвертому прибавляем также второе уравнение, умноженное на (-1). Получили систему равносильную данной:


Третий шаг. Получили систему ступенчатого вида. Выделяем главные неизвестные, указываем свободные. Главные неизвестные - , ; свободные - , , . Выражаем главные неизвестные через свободные. Это процесс осуществляем, рассматривая уравнения снизу вверх, т.е. используем теперь метод подстановки (как у Кострикина А.И.):



Получили множество решений



В следующем пункте 1.2 мы рассмотрим, как этот же пример решает система MathCAD. И узнаем, какое же множество решений у нас получится.

А теперь рассмотрим очень важное понятие ранг, которое в школьных учебниках в явном виде не рассматривается, но на этом понятие основывается теория несовместимости систем линейных уравнений.

Определение. Строчечным рангом матрицы называется ранг системы ее строк , рассматриваемых как - -мерные векторы над полем Р. Столбцовым рангом матрицы называется ранг ее системы ее столбцов , рассматриваемых как -мерные векторы над полем Р.

Далее доказываются следующие теоремы:

Теорема. Строчечный ранг матрицы равен ее столбцовому рангу.

Теорема. Пусть А и В - соответственно основная и расширенная матрицы системы линейных уравнений (1). Равносильны следующие утверждения:

I.Система линейных уравнений (1) совместна.

II.Уравнение имеет решение над полем Р, где - столбец свободных членов, - вектор-столбец матрицы А..Вектор есть линейная комбинация столбцов матрицы А..Столбцовые (строчечные) ранги матриц А и В равны, .

Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы. Следствие из этой теоремы: если ранг основной матрицы системы линейных уравнений равен числу уравнений системы, то система уравнений совместна.


.2 Èíôîðìàöèîííûå îñíîâû èññëåäîâàíèÿ. Ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD


Îäíîé èç îñíîâíûõ îáëàñòåé ïðèìåíåíèÿ ÏÊ ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå è íàó÷íî-òåõíè÷åñêèå ðàñ÷åòû. Çà ïîñëåäíåå âðåìÿ ìû ñòàëè ñâèäåòåëÿìè ïîÿâëåíèÿ íîâîãî àêòóàëüíîãî, ïðàêòè÷åñêè ïîëåçíîãî è ïðîñòî óâëåêàòåëüíîãî íàó÷íîãî íàïðàâëåíèÿ - êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè. Åå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñîâîêóïíîñòü òåîðåòè÷åñêèõ, ìåòîäè÷åñêèõ, àïïàðàòíûõ è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ, â ñîâîêóïíîñòè îáåñïå÷èâàþùèõ ýôôåêòèâíîå àâòîìàòè÷åñêîå è äèàëîãîâîå âûïîëíåíèå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðîâ âñåõ âèäîâ, ìàòåìàòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ èõ âèçóàëèçàöèè. Ê ñèñòåìàì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè îòíîñÿòñÿ Derive, MuPAD, MathCAD, Mathematica, Maple V è Matlab. Ýòî áóðíî ðàçâèâàþùèéñÿ êëàññ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðûé ñ ðàâíûì óñïåõîì ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â îáðàçîâàíèè è â ñôåðå íàó÷íîé äåÿòåëüíîñòè.

Øèðîêóþ èçâåñòíîñòü è çàñëóæåííóþ ïîïóëÿðíîñòü â ñåðåäèíå 80-õ ãîäîâ ïðèîáðåëè èíòåãðèðîâàííûå ñèñòåìû äëÿ àâòîìàòèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ êëàññà MathCAD, ðàçðàáîòàííûå ôèðìîé MathSoft (ÑØÀ). Íàçâàíèå ñèñòåìû ïðîèñõîäèò îò äâóõ ñëîâ - MATHematic (ìàòåìàòèêà) è CAD (Computer Aided Design - ñèñòåìû àâòîìàòè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ, èëè ÑÀÏÐ). Ïî ñåé äåíü, îíè îñòàþòñÿ åäèíñòâåííûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïàêåòàìè, â êîòîðûõ îïèñàíèå ðåøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïðèâû÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ôîðìóë è çíàêîâ. Òàêîé æå âèä èìåþò è ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé. MathCAD ïîçâîëÿåò âûïîëíÿòü êàê ÷èñëåííûå, òàê è àíàëèòè÷åñêèå (ñèìâîëüíûå) âû÷èñëåíèÿ, èìååò ÷ðåçâû÷àéíî óäîáíûé ìàòåìàòèêî-îðèåíòèðîâàííûé èíòåðôåéñ è ïðåêðàñíûå ñðåäñòâà íàó÷íîé ãðàôèêè. Èìåííî ïîýòîìó MathCAD ëó÷øå âñåãî ïîäõîäèò äëÿ ïðèìåíåíèÿ åãî â øêîëüíîì ïðîôèëüíîì îáðàçîâàíèè.

Ñèñòåìà MathCAD ñóùåñòâóåò â íåñêîëüêèõ îñíîâíûõ âàðèàíòàõ:

·MathCAD Standard - èäåàëüíàÿ ñèñòåìà äëÿ ïîâñåäíåâíûõ òåõíè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. Ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ìàññîâîé àóäèòîðèè è øèðîêîãî èñïîëüçîâàíèÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå;

·MathCAD Professional - ïðîìûøëåííûé ñòàíäàðò ïðèêëàäíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòèêè â òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ. Îðèåíòèðîâàíà íà ìàòåìàòèêîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ïðîâîäÿùèõ ñëîæíûå è òðóäîåìêèå ðàñ÷åòû.

 MathCAD î÷åíü óäîáíûé è ïðèâû÷íûé äëÿ ïîëüçîâàòåëÿ èíòåðôåéñ:


Ðèñóíîê 1.2.1


Ñòðîêà çàäà÷ ñòàíäàðòíàÿ, êàê è âî âñåõ ïðîãðàììàõ è ïðèëîæåíèÿõ Windows, ïîíÿòíàÿ ïàíåëü èíñòðóìåíòîâ.

Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå âîçìîæíîñòè MathCAD äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷:

1.Èñïîëüçîâàíèå ãëàâíîãî ìåíþ.

2.Ñ ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ïàíåëè.

.Âñå ââîäèòü ñ êëàâèàòóðû

 íàøå âðåìÿ îñòàëîñü î÷åíü ìàëî ëþäåé, êòî áû íè ðàáîòàë, ñ êàêèì òî íå áûëî ïðèëîæåíèÿìè Windows, ïîýòîìó ðàçîáðàòüñÿ, êàê ðàáîòàòü â ñèñòåìå MathCAD íå ñîñòàâèò îñîáîãî òðóäà. Íî ÷òîáû ïðàâèëüíî, áåç îøèáîê è áîëåå ãëóáîêî ïîíÿòü, êàê ðàáîòàåò ñèñòåìà, êîíå÷íî æå, íóæíû ó÷åáíûå ïîñîáèÿ. À òî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñèñòåìà åñòü, à ó÷åáíèêîâ ê íåé íåò.

Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî óðàâíåíèé è ïåðåìåííûõ îêîëî 50. Ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ ñèñòåìû áóäåò ÷èñëåííîå çíà÷åíèå èñêîìîãî êîðíÿ.

Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîãðàììû ñèìâîëüíîé ìàòåìàòèêè, ïîñêîëüêó ñèñòåìà óðàâíåíèé ìîæåò èìåòü íååäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ãëàâíûå íåèçâåñòíûå âûðàæàþòñÿ â ñèìâîëüíîì âèäå ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå. Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü áëîê, âêëþ÷àþùèé êëþ÷åâîå ñëîâî Given è âñòðîåííóþ ôóíêöèþ find.

Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùåå:

1.Íàïå÷àòàòü êëþ÷åâîå ñëîâî Given. Îíî óêàçûâàåò MathCAD, ÷òî äàëåå ñëåäóåò ñèñòåìà óðàâíåíèé.

2.Ââåñòè óðàâíåíèÿ â ëþáîì ïîðÿäêå. Èñïîëüçóéòå [Ctrl]= äëÿ ïå÷àòè ñèìâîëà =.

3.Ââåñòè ëþáîå âûðàæåíèå, êîòîðîå âêëþ÷àåò ôóíêöèþ Find, íàïðèìåð: à:= Find(õ,ó).

4.Çàòåì íàïå÷àòàéòå çíàê ñèìâîëüíîãî îïåðàòîðà ().

Ðåøåíèå áóäåò ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñòîëáöà-âåêòîðà, â êîòîðîì óêàçàíî, êàê ãëàâíûå íåèçâåñòíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ñâîáîäíûå íåèçâåñòíûå.

Êëþ÷åâîå ñëîâî Given, óðàâíåíèÿ, êîòîðûå ñëåäóþò çà íèì, è êàêîå - ëèáî âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ôóíêöèþ Find, íàçûâàþò áëîêîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé.

Áëîêè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé íå ìîãóò áûòü âëîæåíû äðóã â äðóãà, êàæäûé áëîê ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíî êëþ÷åâîå ñëîâî Given è èìÿ ôóíêöèè Find.

Ìû ðåøèëè òó æå ñèñòåìó óðàâíåíèé, ÷òî è â ïóíêòå 1.1 òîëüêî ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû MathCAD (ðèñóíîê 1.2.2).


Ðèñóíîê 1.2.2.


Ïîëó÷èëè òàêîå æå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, êàê è ïðè ðåøåíèè âðó÷íóþ â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Ñêåïòèêè ìîãó ñêàçàòü, ÷òî ðåøàòü â ñèñòåìå MathCAD ìîæíî è, íå çíàÿ òåîðèè, à, ïðîñòî çíàÿ àëãîðèòì ââåäåíèÿ ÷èñåë è áóêâ íà êîìïüþòåðå, ò.å. ðåøåíèå ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó íàæàòèþ êíîïîê. Íî ýòî ëèøü òàê, êàæåòñÿ, íà ñàìîì äåëå âñå íå òàê ïðîñòî, è åñëè ÷åëîâåê íå óìååò ðåøàòü ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âðó÷íóþ, ñàìîñòîÿòåëüíî, òî îí íå ñìîæåò èõ ðåøèòü è â ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD. Îí ìîæåò ñòîëêíóòüñÿ ñ ðÿäîì òðóäíîñòåé.

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð:

Ïðèìåð 1.2.

Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:



Ðåøåíèå îñóùåñòâëÿåì òî÷íî òàêæå êàê è â ïðèìåðå 1.1., ò.å. ïðèâîäèì ñèñòåìó ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó.



 èòîãå ïîëó÷èëè ñèñòåìó âèäà:



Ãëàâíûå íåèçâåñòíûå - , , ñâîáîäíûå - è . Âûðàæàÿ ãëàâíûå íåèçâåñòíûå ÷åðåç ñâîáîäíûå, ïîëó÷èëè ìíîæåñòâî ðåøåíèé :



Òåïåðü ïîñìîòðèì, êàê ýòó æå ñèñòåìó ðåøèëà ñèñòåìà MathCAD. Íà ðèñóíêå 1.2.3 ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå â ñèñòåìå MathCAD, è êàê ìû âèäèì, ìíîæåñòâî ðåøåíèé ïîëó÷èëîñü äðóãîå. È ÷òî æå, êòî-òî îøèáñÿ? Øêîëüíèê, ñðàâíèâ ñâîé îòâåò, íàïðèìåð ñ îäíîêëàññíèêàìè, êîòîðûå ðåøàëè ñàìîñòîÿòåëüíî, îáíàðóæèò, ÷òî ó íåãî ïîëó÷èëîñü äðóãîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Òóò âîçíèêàåò ïðîáëåìà, êîòîðóþ ìîæíî ðàçðåøèòü òîëüêî äîêàçàâ ðàâåíñòâî äâóõ ïîëó÷èâøèõñÿ ìíîæåñòâ.


Ðèñóíîê 1.2.3.


Ìíîæåñòâî äàíî âûøå,



Íóæíî äîêàçàòü, ÷òî . Äîêàçûâàòü áóäåì ìåòîäîì äâîéíîãî âêëþ÷åíèÿ.


.


Âîçüìåì ýëåìåíò èç ìíîæåñòâà è äîêàæåì, ÷òî îí ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó , ýòî çíà÷èò, ÷òî è âûðàæàþòñÿ ÷åðåç è ñëåäóþùèì îáðàçîì:


,


Âûðàçèì îòñþäà è ÷åðåç è (ò.ê. âî ìíîæåñòâå ñâîáîäíûìè ïåðåìåííûìè ÿâëÿþòñÿ è )



Ïîëó÷èëè


(,,, )


Òàêèì îáðàçîì ìû âçÿëè ýëåìåíò ïðèíàäëåæàùèé ìíîæåñòâó è ïîêàçàëè, ÷òî îí ïðèíàäëåæèò è ìíîæåñòâó

. (äîêàçàòåëüñòâî àíàëîãè÷íî).

Êâàäðàòíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà (Ì- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ðàíã êîòîðîé ðàâåí ÷èñëó åå ñòðîê, õ- âåêòîð íåèçâåñòíûõ, - âåêòîð ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ) ìîæíî íàéòè, íå òîëüêî ñ ïîìîùüþ áëîêà Given find, íî è èñïîëüçóÿ âñòðîåííóþ ôóíêöèþ lsolve. Ìàòðèöà Ì - îñíîâíàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. (Ðèñóíîê 1.2.4)

Àëãîðèòì ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

1.Âñòàâüòå øàáëîí âñòðîåííîé ôóíêöèè lsolve.

2. ïåðâóþ ìåòêó øàáëîíà ââåäèòå îñíîâíóþ ìàòðèöó ñèñòåìû óðàâíåíèé.

.Âî âòîðóþ ìåòêó øàáëîíà ôóíêöèè ââåäèòå ìàòðèöó-ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû óðàâíåíèé.

.Ââåäèòå çíàê ðàâåíñòâà. Îòâåò - åäèíñòâåííûé âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.


Ê ñîæàëåíèþ, îñòàåòñÿ íå âûÿñíåííûì âîïðîñ, êàêèì ìåòîäîì ðåøàåò ñèñòåìà MathCAD?


.3 Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå îñíîâû èññëåäîâàíèÿ. Èíôîðìàòèçàöèÿ è êîìïüþòåðèçàöèÿ îáðàçîâàíèÿ


Øèðîêîå âíåäðåíèå êîìïüþòåðíûõ òåõíîëîãèé â íàøó æèçíü èìååò ïñèõîëîãè÷åñêîå ïîñëåäñòâèÿ.  îòå÷åñòâåííîé è çàðóáåæíîé ëèòåðàòóðå âûäåëÿþò ñëåäóþùèå ïñèõîëîãè÷åñêèå ôåíîìåíû, ñâÿçàííûå ñ îñâîåíèåì ÷åëîâåêîì íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé: ïåðñîíèôèêàöèþ, "îäóøåâëåíèå" êîìïüþòåðà, êîãäà êîìïüþòåð âîñïðèíèìàåòñÿ êàê æèâîé îðãàíèçì; ïîòðåáíîñòü â "îáùåíèå" ñ êîìïüþòåðîì è îñîáåííîñòè òàêîãî îáùåíèÿ, íàïðèìåð, ïîòðåáíîñòü â àíòðîïîìîðôíîì èíòåðôåéñå è ýìîöèîíàëüíî îêðàøåííîé ëîãèêå; ðàçëè÷íûå ôîðìû êîìïüþòåðíîé òðåâîæíîñòè; âîïðîñ îá îòâåòñòâåííîñòè ñîçäàòåëåé ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ çà ïîñëåäñòâèÿ åãî ïðèìåíåíèÿ.[32], [33], [34], [35]. Ðÿä èññëåäîâàòåëåé ðàññìàòðèâàþò êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè êàê âòîðæåíèå âî âíóòðåííèé ìèð ÷åëîâåêà, âåäóùåå ê âîçíèêíîâåíèÿ ó íåêîòîðûõ ïîëüçîâàòåëåé ýêçèñòåíöèàëüíîãî êðèçèñà, ñîïðîâîæäàþùåãîñÿ êîãíèòèâíûìè è ýìîöèîíàëüíûìè íàðóøåíèÿìè. Ïðè ýòîì ìîæåò ïðîèñõîäèòü ïåðåîöåíêà öåííîñòåé, ïåðåñìîòð âçãëÿäîâ íà ìèðîâîççðåíèå è ñâîå ìåñòî â ìèðå.

Íà÷àëüíîå èçó÷åíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðèõîäèòñÿ íà 7 êëàññ, ò.å. íà âîçðàñò 12-15 ëåò. Ýòî ñðåäíèé øêîëüíûé (ïîäðîñòêîâûé) âîçðàñò õàðàêòåðèçóåòñÿ áîëüøîé âîñïðèèì÷èâîñòüþ, ñåíñèòèâíîñòüþ ê óñâîåíèþ íîðì, öåííîñòåé è ñïîñîáîâ ïîâåäåíèÿ, êîòîðûå ñóùåñòâóþò â ìèðå âçðîñëûõ è â èõ îòíîøåíèÿõ.  ýòîì âîçðàñòå äåòè îöåíèâàþò êîìïüþòåð òîëüêî êàê ñðåäñòâî äëÿ ðàçâëå÷åíèé: äëÿ ðàçíîîáðàçíûõ èãð, äëÿ ïðîñìîòðà ôèëüìîâ, äëÿ ïðîñëóøèâàíèÿ ìóçûêè è ò.ä. Íåîáõîäèìî, ÷òîáû øêîëüíèêè ìîãëè âèäåòü êîìïüþòåð íå òîëüêî êàê "óìíóþ èãðóøêó", íî è êàê ïîëåçíóþ ìàøèíó, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ìîæíî äîáûâàòü íîâûå çíàíèÿ, îáëåã÷àþùèå ó÷åáó. Èçó÷èâ ïðîãðàììó MathCAD, äåòè ìîãó ýòèì ãîðäèòüñÿ è äàæå õâàñòàòüñÿ ïåðåä ñâåðñòíèêàìè, êîòîðûå åå íå èçó÷àëè, ò.ê. â ýòîì âîçðàñòå ñàìîå ãëàâíîå âûäåëèòüñÿ èç òîëïû.

Åñëè äëÿ ìëàäøåãî øêîëüíîãî âîçðàñòà âåäóùåé ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíàÿ äåÿòåëüíîñòü, òî äëÿ øêîëüíèêà ñðåäíåãî âîçðàñòà (ïîäðîñòêà) â êà÷åñòâå âåäóùåé âûñòóïàåò îáùåñòâåííî ïîëåçíàÿ äåÿòåëüíîñòü â ðàçíîîáðàçíûõ ôîðìàõ, â ðóñëå êîòîðîé è èíòèìíî-ëè÷íîå îáùåíèå ñî ñâåðñòíèêàìè, è î÷åíü âàæíîå îáùåíèå ñ ïðåäñòàâèòåëÿìè äðóãîãî ïîëà. Ïðè ýòîì ó÷åáíàÿ äåÿòåëüíîñòü ñòàíîâèòñÿ êàê áû îñóùåñòâëÿåìîé àêòèâíîñòüþ - îíà "îáåñïå÷èâàåò" èíäèâèäóàëèçàöèþ ïîäðîñòêà.  îñîáåííîñòÿõ âûáîðà ñðåäñòâ, ñïîñîáîâ ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè îí óòâåðæäàåò ñåáÿ. Îäíîâðåìåííàÿ àäàïòàöèÿ ê îäíîé íîâîé îáùíîñòè, èíäèâèäóàëèçàöèÿ â äðóãîé, óæå çíàêîìîé, è ïîñëåäóþùàÿ èíòåãðàöèÿ â íåå - ýòî ñëîæíî ïåðåïëåòåííûå ñîöèàëüíî-ïñèõîëîãè÷åñêèå ïðîöåññû, íàèáîëåå çíà÷èìûå äëÿ ïîäðîñòêà. Íàéòè ñåáÿ â äðóãèõ - îñíîâíàÿ îñîçíàâàåìàÿ èëè èíòóèòèâíî ðåàëèçóåìàÿ ïîòðåáíîñòü ýòîãî âîçðàñòà.

Íàðÿäó ñ ýòèì ìëàäøèé ïîäðîñòîê õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîâûøåííîé óòîìëÿåìîñòüþ, ÿðêî âûðàæåííîé ýìîöèîíàëüíîñòüþ, èíîãäà ðåçêîñòüþ â ñóæäåíèÿõ (äî ãðóáîñòè). Ê êîíöó ïåðèîäà ìëàäøåãî ïîäðîñòíè÷åñòâà ó÷àùèåñÿ íà÷èíàþò îñîçíàâàòü íåîáõîäèìîñòü ñàìîñòîÿòåëüíîãî âûáîðà äàëüíåéøåé ïðîãðàììû îáðàçîâàíèÿ, ÷òî ïðåäïîëàãàåò ñôîðìèðîâàííîñòü äîñòàòî÷íî óñòîé÷èâûõ èíòåðåñîâ è ïðåäïî÷òåíèé, îðèåíòàöèþ â ðàçëè÷íûõ ñôåðàõ òðóäà è îáùåñòâåííî ïîëåçíîé äåÿòåëüíîñòè.

Èíôîðìàòèçàöèÿ îáðàçîâàíèÿ, ïðîöåññ îáåñïå÷åíèÿ ñôåðû îáðàçîâàíèÿ ìåòîäîëîãèåé è ïðàêòèêîé ðàçðàáîòêè è îïòèìàëüíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ñîâðåìåííûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé, îðèåíòèðîâàííûõ íà ðåàëèçàöèþ ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèõ öåëåé îáó÷åíèÿ, âîñïèòàíèÿ. Ýòîò ïðîöåññ èíèöèèðóåò, âî-ïåðâûõ, ñîâåðøåíñòâîâàíèå ìåõàíèçìîâ óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé îáðàçîâàíèÿ íà îñíîâå èñïîëüçîâàíèÿ àâòîìàòèçèðîâàííûõ áàíêîâ äàííûõ íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêîé èíôîðìàöèè, èíôîðìàöèîííî-ìåòîäè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ, à òàêæå êîììóíèêàòèâíûõ ñåòåé; âî-âòîðûõ, ñîâåðøåíñòâîâàíèå ìåòîäîëîãèè è ñòðàòåãèè îòáîðà ñîäåðæàíèÿ, ìåòîäîâ è îðãàíèçàöèîííûõ ôîðì îáó÷åíèÿ è âîñïèòàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷àì ðàçâèòèÿ ëè÷íîñòè îáó÷àåìîãî â ñîâðåìåííûõ óñëîâèÿõ èíôîðìàòèçàöèè îáùåñòâà; â-òðåòüèõ, ñîçäàíèå ìåòîäè÷åñêèõ ñèñòåì îáó÷åíèÿ, îðèåíòèðîâàííûõ íà ðàçâèòèå èíòåëëåêòóàëüíîãî ïîòåíöèàëà îáó÷àåìîãî, íà ôîðìèðîâàíèå óìåíèé ñàìîñòîÿòåëüíî ïðèîáðåòàòü çíàíèÿ, îñóùåñòâëÿòü èíôîðìàöèîííî-ó÷åáíóþ, ýêñïåðèìåíòàëüíî-èññëåäîâàòåëüñêóþ äåÿòåëüíîñòü, ðàçíîîáðàçíûå âèäû ñàìîñòîÿòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè ïî îáðàáîòêå èíôîðìàöèÿ; â-÷åòâ¸ðòûõ, ñîçäàíèå è èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðíûõ òåñòèðóþùèõ, äèàãíîñòèðóþùèõ ìåòîäèê êîíòðîëÿ è îöåíêè óðîâíÿ çíàíèé îáó÷àåìûõ.

 óçêîì ñìûñëå èíôîðìàòèçàöèÿ îáðàçîâàíèÿ - âíåäðåíèå â ó÷ðåæäåíèÿ ñèñòåìû îáðàçîâàíèÿ èíôîðìàöèîííûõ ñðåäñòâ, îñíîâàííûõ íà ìèêðîïðîöåññîðíîé òåõíèêå, à òàêæå èíôîðìàöèîííîé ïðîäóêöèè è ïåäàãîãè÷åñêèõ òåõíîëîãèè, áàçèðóþùèõñÿ íà ýòèõ ñðåäñòâàõ.

Êîìïüþòåðèçàöèÿ îáó÷åíèÿ, â óçêîì ñìûñëå ïðèìåíåíèå êîìïüþòåðà êàê ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ, â øèðîêîì ìíîãîöåëåâîå èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà â ó÷åáíîì ïðîöåññå. Îñíîâíûå öåëè êîìïüþòåðèçàöèè îáó÷åíèÿ: ïîäãîòîâèòü ïîäðàñòàþùåå ïîêîëåíèå ê æèçíè â èíôîðìàòèçîâàííîì îáùåñòâå, ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü îáó÷åíèÿ ïóòåì âíåäðåíèÿ ñðåäñòâ èíôîðìàòèçàöèè.

Ðàçëè÷àþòñÿ äâà íàïðàâëåíèÿ êîìïüþòåðèçàöèè (èíôîðìàòèçàöèè) îáó÷åíèÿ: îâëàäåíèå âñåìè ñïîñîáàìè ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðà â êà÷åñòâå ñðåäñòâ ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè; èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà êàê îáúåêòà èçó÷åíèÿ. Èäåè ïðèìåíåíèÿ êîìïüþòåðà êàê ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ âîçíèêëè â 50-õ ãã. 20â. â ðàìêàõ ïðîãðàììèðîâàííîãî îáó÷åíèÿ.  1959 â øêîëå ¹444 ã. Ìîñêâû ïîä ðóêîâîäñòâîì Ñ.È.Øâàðöáóðäà áûë íà÷àò ýêñïåðèìåíò ïî èçó÷åíèþ ñòàðøåêëàññíèêàìè ïðîãðàììèðîâàíèÿ è îñíîâ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè. Ïî ìåðå ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ òåõíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ñàìîãî êîìïüþòåðà è åãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, ðàñøèðåíèÿ åãî äèäàêòè÷åñêèõ âîçìîæíîñòåé óòâåðäèëàñü èäåÿ î ïðèíöèïèàëüíî íîâûõ ñâîéñòâàõ êîìïüþòåðà êàê ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ. Êîìïüþòåð ïîçâîëÿåò ñòðîèòü îáó÷åíèå â ðåæèìå äèàëîãà, ðåàëèçîâàòü èíäèâèäóàëèçèðîâàííîå îáó÷åíèå, îïèðàþùååñÿ íà ìîäåëü ó÷àùåãîñÿ, åãî "èñòîðèþ îáó÷åíèÿ". Èçìåíèëàñü îöåíêà ðîëè è ìåñòà êîìïüþòåðà â ó÷åáíîì ïðîöåññå. Ê íà÷àëó 90-õ ãã. áûëè ñîçäàíû äåñÿòêè òûñÿ÷ ðàçëè÷íûõ îáó÷àþùèõ ñèñòåì.

Êîìïüþòåðèçàöèÿ îáó÷åíèÿ îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âîçäåéñòâèå íà âñå êîìïîíåíòû ó÷åáíîãî ïðîöåññà. Çíà÷èòåëüíîå âëèÿíèå êîìïüþòåðà íà ñîäåðæàíèå îáó÷åíèÿ îáóñëîâëåíî, ñ îäíî ñòîðîíû, òåì, ÷òî äëÿ ó÷àùåãîñÿ ñòàëî äîñòóïíûì ìíîãîå èç òîãî, ÷òî ðàíåå ñ÷èòàëîñü ïîñèëüíûì ëèøü äëÿ ñïåöèàëèñòà âûñîêîé êâàëèôèêàöèè. Ýòî ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ âîçìîæíîñòÿì êîìïüþòåðà â íàãëÿäíîì ïðåäñòàâëåíèè ó÷åáíîãî ñîäåðæàíèÿ; ïðèìåíåíèþ êîìïüþòåðíûõ ñðåäñòâ, ðåàëèçóþùèõ èäåè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà; ïðåäîñòàâëåíèþ ó÷àùèìñÿ äîñòóïà ê áîëüøèì îáúåìàì íåîáõîäèìîé èì èíôîðìàöèè, â òîì ÷èñëå è íåïîñðåäñòâåííî îòíîñÿùåéñÿ ê ðåøàåìîé èìè çàäà÷å. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êîìïüþòåð ïîçâîëÿåò âêëþ÷àòü â ñîäåðæàíèå îáó÷åíèÿ ðàçëè÷íûå ýâðèñòè÷åñêèå ñðåäñòâà, ïðåæäå âñåãî ñòðàòåãèè ïîèñêà ðåøåíèÿ çàäà÷. Âàæíîå çíà÷åíèå èìååò è òî, ÷òî êîìïüþòåð ñîçäà¸ò ðåàëüíûå ïðåäïîñûëêè äëÿ ñîçäàíèÿ èíòåãðèðîâàííûõ ó÷åáíûõ ïðåäìåòîâ, ðàçðàáîòêè ñîäåðæàíèÿ ïðîôåññèîíàëüíîãî îáó÷åíèÿ ñ ó÷¸òîì ðåàëüíûõ ïðîèçâîäñòâåííûõ ïðîöåññîâ, äåëàåò îáúåêòîì èçó÷åíèÿ ó÷àùåãîñÿ åãî ñîáñòâåííóþ ó÷åáíóþ äåÿòåëüíîñòü.

Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà â ó÷åáíûõ öåëÿõ âíîñèò çíà÷èòåëüíûå èçìåíåíèÿ â äåÿòåëüíîñòü ó÷àùåãîñÿ. Îí îñâîáîæäàåòñÿ îò íåîáõîäèìîñòè âûïîëíåíèÿ ðóòèííûõ îïåðàöèé, èìååò âîçìîæíîñòü, íå îáðàùàÿñü ê ïåäàãîãó, ïîëó÷èòü òðåáóåìóþ èíôîðìàöèþ.

Âòîðîå íàïðàâëåíèå êîìïüþòåðèçàöèè îáó÷åíèÿ, ñâÿçàííîå ñ ïðèìåíåíèåì êîìïüþòåðà â êà÷åñòâå îáúåêòà èçó÷åíèÿ, â ñâî¸ì ðàçâèòèè òàêæå ïðåòåðïåëî ñóùåñòâåííûå èçìåíåíèÿ.  60-õ ãã. â ÑÑÑÐ öåëè êîìïüþòåðíîé ãðàìîòíîñòè íà óðîâíå øêîëüíîãî îáó÷åíèÿ ñâîäèëèñü ïðåèìóùåñòâåííî ê çíàíèþ âîçìîæíûõ ïðèìåíåíèé êîìïüþòåðà è íå ïðåäïîëàãàëè óìåíèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëüçîâàòüñÿ èì äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷.  íà÷àëå 70-õ ãã. ïðàêòè÷åñêîå âëàäåíèå ÝÂÌ ñâÿçûâàëîñü ñ îáó÷åíèåì øêîëüíèêîâ ïðîãðàììèðîâàíèþ.  ýòîì íàïðàâëåíèè íàêîïëåí çíà÷èòåëüíûé îïûò è ñîçäàíû ïðåäïîñûëêè êîìïüþòåðèçàöèè îáó÷åíèÿ. Ñî 2-é ïîëîâèíû 70-õ ãã. èçìåíèëñÿ ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ñóùíîñòè êîìïüþòåðíîé ãðàìîòíîñòè, ïåðåñìîòðåíà îáðàçîâàòåëüíàÿ öåííîñòü ðàçëè÷íûõ âèäîâ çíàíèé è óìåíèé. Îñíîâíîé àêöåíò äåëàåòñÿ íà ðåøåíèå çàäà÷ ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà è ðàöèîíàëüíîå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ.

Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðà â êà÷åñòâå ñðåäñòâà îáó÷åíèÿ âûÿâèëî íåîáõîäèìîñòü ïåðåñìîòðà ìíîãèõ òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé äèäàêòèêè è ïåäàãîãè÷åñêîé ïñèõîëîãèè. Òàê, ýêñïåðòíûå ñèñòåìû, ïîçâîëÿþùèå äîâåñòè ó÷àùåãîñÿ äî ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ëþáîé ñëîæíîñòè, à òàêæå ãèïåðòåêñòíûå îáó÷àþùèå ñèñòåìû, ïðåäîñòàâëÿþùèå ó÷àùåìóñÿ çíà÷èòåëüíûå âîçìîæíîñòè â âûáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èçó÷åíèÿ ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà, òðåáóþò âíåñåíèÿ êîððåêòèâ â ñîîòâåòñòâóþùèå ïðèíöèïû îáó÷åíèÿ.

Ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî êîìïüþòåðèçàöèÿ îáó÷åíèÿ íå ðåøàåò âñå ïðîáëåìû îáó÷åíèÿ, êîìïüþòåð íå ìîæåò è íå äîëæåí âûòåñíèòü èç ó÷åáíîãî ïðîöåññà ïåäàãîãà, íîâûå èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè îáó÷åíèÿ íå ìîãóò ïîëíîñòüþ çàìåíèòü òðàäèöèîííûå òåõíîëîãèè. Êîìïüþòåðèçàöèÿ îáó÷åíèÿ ñïîñîáñòâîâàëà ðàçâèòèþ äèñòàíöèîííîãî îáó÷åíèÿ.

Èòàê, ðàñòóùåå ïðèìåíåíèå êîìïüþòåðîâ âî âñåõ ñôåðàõ ÷åëîâå÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ïîðîæäàåò íîâûå ïðîáëåìû è äàåò òîë÷îê ê ðàçâèòèþ íîâûõ îáëàñòåé èññëåäîâàíèÿ. Èçó÷åíèå ïñèõîëîãè÷åñêèõ è ñîöèàëüíûõ àñïåêòîâ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷åëîâåêà è êîìïüþòåðà, à òàêæå ïîèñê ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ïðèìåíåíèÿ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé ïðèîáðåòàþò îñîáóþ àêòóàëüíîñòü â íàñòîÿùåå âðåìÿ.


Âûâîä ïî ãëàâå 1


 äàííîé ãëàâå ÿ ðàññìîòðåëà ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû èññëåäîâàíèÿ. Áûëè âûÿâëåíû íàèáîëåå âàæíûå äëÿ íàñ îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû, íà êîòîðûå â äàëüíåéøåå ìû áóäåì ññûëàòüñÿ.

 èíôîðìàöèîííûõ îñíîâàõ âû èçó÷èëè îñíîâíûå ïðèíöèïû ðàáîòû â ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD. Óçíàëè âîçìîæíîñòè ýòîé ñèñòåìû ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ýòè çíàíèÿ ìû áóäåì ïðèìåíÿòü âî âòîðîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû.

Ðàññìîòðåííûå ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå îñíîâû, ïîìîãëè íàì óâèäåòü ïðîáëåìû ñâÿçàííûå ñ âíåäðåíèå êîìïüþòåðà â øêîëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå, à òàêæå óêàçàëè íà ïóòè èõ ðàçðåøåíèÿ.


Ãëàâà 2. Âíåäðåíèå ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD â ïðîôèëüíîå øêîëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îáðàçîâàíèå


.1 Àíàëèç öåëåé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ïîñòàíîâêà öåëåé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD


Öåëü ïåäàãîãè÷åñêîãî âîçäåéñòâèÿ ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîîáðàçóþùèì (îïðåäåëÿþùèì) ýëåìåíòîì ïåäàãîãè÷åñêîé ñèñòåìû, îäíèì èç ãëàâíûõ çâåíüåâ ïåäàãîãè÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè. Îò íåå çàâèñÿò îñòàëüíûå ýëåìåíòû: ñîäåðæàíèå è ñðåäñòâà ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ. Öåëü êàê íàó÷íîå ïîíÿòèå åñòü ïðåäâîñõèùåíèå â ñîçíàíèè ñóáúåêòà ðåçóëüòàòà, íà äîñòèæåíèå êîòîðîãî íàïðàâëåíà äåÿòåëüíîñòü. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ïñèõîôèçèîëîãèè, öåëü - ýòî ìîäåëü ïîòðåáíîãî áóäóùåãî, çàêîäèðîâàííàÿ â ìîçãå ÷åëîâåêà, îáðàç òðåáóåìîãî ðåçóëüòàòà, îïðåäåëÿþùèé îòáîð äåéñòâèé, âåäóùèõ ê åãî äîñòèæåíèþ. Ñîãëàñíî êèáåðíåòèêå, öåëü - òàêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïðîöåññà, íà îñíîâå êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü. Ñèñòåìà ðàáîòàåò, ñðàâíèâàÿ ðåàëüíûå ðåçóëüòàòû ñ çàïëàíèðîâàííûìè öåëÿìè.  ïåäàãîãè÷åñêîé ñèñòåìå öåëü - ýòî ìûñëåííîå, çàðàíåå îïðåäåëÿåìîå ïðåäñòàâëåíèå î ðåçóëüòàòå ïåäàãîãè÷åñêîãî ïðîöåññà, î êà÷åñòâàõ, ñîñòîÿíèè ëè÷íîñòè, êîòîðûå ïðåäïîëàãàåòñÿ ôîðìèðîâàòü. Îíà îïðåäåëÿåò òðåáîâàíèÿ ê ïåäàãîãè÷åñêîìó ïðîöåññó è ñëóæèò ýòàëîíîì äëÿ îöåíêè ðåçóëüòàòîâ.

Ïåäàãîãè÷åñêèå öåëè ìîãóò áûòü ðàçíîãî ìàñøòàáà è ñîñòàâëÿþò íåêîòîðóþ èåðàðõèþ - ñòóïåí÷àòóþ ñèñòåìó. Âûñøàÿ ñòóïåíü - ãîñóäàðñòâåííûå öåëè, îáùåñòâåííûé çàêàç. Ìîæíî ñêàçàòü, ýòî öåëè-öåííîñòè, êîòîðûå îòðàæàþò ïðåäñòàâëåíèå îáùåñòâà î ÷åëîâåêå è ãðàæäàíèíå ñòðàíû. Îíè ðàçðàáàòûâàþòñÿ ñïåöèàëèñòàìè, ïðèíèìàþòñÿ ïðàâèòåëüñòâîì, ôèêñèðóþòñÿ â çàêîíàõ è äðóãèõ äîêóìåíòàõ. Ïðèìåðàìè âûñøèõ öåëåé ÿâëÿþòñÿ çàêîí ÐÔ "Îá îáðàçîâàíèè", íàöèîíàëüíûé ïðîåêò "Îáðàçîâàíèå", "Êîíöåïöèÿ ìîäåðíèçàöèè Ðîññèéñêîãî îáðàçîâàíèÿ íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà" è ò.ï.

Ñóùåñòâóþò òàêæå ìåæäóíàðîäíûå öåëè, íàïðèìåð, Áîëîíñêèé ïðîöåññ, ê êîòîðîìó Ðîññèÿ ïðèñîåäèíèëàñü â ñåíòÿáðå 2003 ãîäà íà áåðëèíñêîé âñòðå÷å ìèíèñòðîâ îáðàçîâàíèÿ åâðîïåéñêèõ ñòðàí.

Öåëÿìè Áîëîíñêîãî ïðîöåññà, äîñòèæåíèå êîòîðûõ îæèäàåòñÿ ê 2010 ãîäó, ÿâëÿþòñÿ:

1)ïîñòðîåíèå åâðîïåéñêîé çîíû âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ êàê êëþ÷åâîãî íàïðàâëåíèÿ ðàçâèòèÿ ìîáèëüíîñòè ãðàæäàí ñ âîçìîæíîñòüþ òðóäîóñòðîéñòâà;

2)ôîðìèðîâàíèå è óêðåïëåíèå èíòåëëåêòóàëüíîãî, êóëüòóðíîãî, ñîöèàëüíîãî è íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà Åâðîïû; ïîâûøåíèå ïðåñòèæíîñòè â ìèðå åâðîïåéñêîé âûñøåé øêîëû;

)îáåñïå÷åíèå êîíêóðåíòîñïîñîáíîñòè åâðîïåéñêèõ âóçîâ ñ äðóãèìè ñèñòåìàìè îáðàçîâàíèÿ â áîðüáå çà ñòóäåíòîâ, äåíüãè, âëèÿíèå; äîñòèæåíèå áîëüøåé ñîâìåñòèìîñòè è ñðàâíèìîñòè íàöèîíàëüíûõ ñèñòåì âûñøåãî îáðàçîâàíèÿ; ïîâûøåíèå êà÷åñòâà îáðàçîâàíèÿ;

4)ïîâûøåíèå öåíòðàëüíîé ðîëè óíèâåðñèòåòîâ â ðàçâèòèè åâðîïåéñêèõ êóëüòóðíûõ öåííîñòåé, â êîòîðîé óíèâåðñèòåòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê íîñèòåëè åâðîïåéñêîãî ñîçíàíèÿ.

Ñëåäóþùàÿ ñòóïåíü - öåëè-ñòàíäàðòû, öåëè îòäåëüíûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ñèñòåì è ýòàïîâ îáðàçîâàíèÿ, îíè îòðàæàþòñÿ â îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàììàõ è ñòàíäàðòàõ. Íàïðèìåð, öåëè îáó÷åíèÿ â ñðåäíåé øêîëå è íà åãî îòäåëüíûõ óðîâíÿõ: íà÷àëüíàÿ, îñíîâíàÿ, ïîëíàÿ ñðåäíÿÿ øêîëà. Áîëåå íèçêàÿ ñòóïåíü - öåëè îáó÷åíèÿ ïî îòäåëüíîìó ïðåäìåòó èëè âîñïèòàíèÿ äåòåé îïðåäåëåííîãî âîçðàñòà. Íàêîíåö, öåëè îòäåëüíîé òåìû, óðîêà èëè âíåóðî÷íîãî ìåðîïðèÿòèÿ.

 èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîãî îáùåñòâà ãëîáàëüíûå öåëè âîñïèòàíèÿ èçìåíÿëèñü è èçìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôèëîñîôñêèìè êîíöåïöèÿìè, ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèìè òåîðèÿìè, ñ òðåáîâàíèÿìè îáùåñòâà ê îáðàçîâàíèþ.  ìèðîâîé ïðàêòèêå èìåþòñÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçëè÷íûå âçãëÿäû íà öåëè âîñïèòàíèÿ, îáðàçîâàíèÿ.

 ÑØÀ âûðàáîòàíà â 20-å ãîäû è ñîõðàíÿåòñÿ, ÷àñòè÷íî èçìåíÿÿñü, êîíöåïöèÿ àäàïòàöèè ëè÷íîñòè ê æèçíè, ñîãëàñíî êîòîðîé øêîëà äîëæíà âîñïèòàòü ýôôåêòèâíîãî ðàáîòíèêà, îòâåòñòâåííîãî ãðàæäàíèíà, ðàçóìíîãî ïîòðåáèòåëÿ è äîáðîãî ñåìüÿíèíà. Øêîëà ïðèâèâàåò ó÷àùåìóñÿ öåííîñòè îáùåñòâà.  80-å ãîäû âîçíèêëè òàêèå ïðîãðàììû, êàê "âîñïèòàíèå â öåëÿõ âûæèâàíèÿ", "âîñïèòàíèå â äóõå ìèðà" è äðóãèå. Ýòî ãîâîðèò î ðàçëè÷íûõ ïîäõîäàõ ê îïðåäåëåíèþ öåëåé âîñïèòàíèÿ è îá èõ çàâèñèìîñòè îò îáùèõ êîíöåïöèé, ìîäåëåé âîñïèòàíèÿ.

Ãóìàíèñòè÷åñêàÿ, ëèáåðàëüíàÿ ïåäàãîãèêà ïðåèìóùåñòâåííî â Çàïàäíîé Åâðîïå (òîæå ñ ïåðâîé ïîëîâèíû 20 âåêà) ïðîâîçãëàøàåò öåëüþ øêîëû âîñïèòàíèå àâòîíîìíîé ëè÷íîñòè ñ êðèòè÷åñêèì ìûøëåíèåì è ñàìîñòîÿòåëüíûì ïîâåäåíèåì, ôîðìèðîâàíèå ÷åëîâåêà, ðåàëèçóþùåãî ñâîè ïîòðåáíîñòè, â òîì ÷èñëå âûñøóþ ïîòðåáíîñòü â ñàìîàêòóàëèçàöèè, ðàçâèòèè âíóòðåííåãî "ß".

Öåëü âîñïèòàíèÿ â Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè â ñàìîì îáùåì âèäå ôîðìóëèðóåòñÿ êàê ïîìîùü ëè÷íîñòè â ðàçíîñòîðîííåì ðàçâèòèè. Ýòî îòðàæåíî â çàêîíå ÐÔ "Îá îáðàçîâàíèè" îò 10.07.1992 N 3266-1.

Îáðàçîâàíèå ñëóæèò ðåøåíèþ "çàäà÷ ôîðìèðîâàíèÿ îáùåé êóëüòóðû ëè÷íîñòè, åå àäàïòàöèè ê æèçíè â îáùåñòâå, ïîìîùè â îñîçíàííîì âûáîðå ïðîôåññèè" (ñò.9,ï.2). Îáðàçîâàíèå, ñîãëàñíî Çàêîíó, äîëæíî îáåñïå÷èòü âûðàáîòêó ëè÷íîñòüþ æèçíåííîãî ñàìîîïðåäåëåíèÿ, ñîçäàíèå óñëîâèé äëÿ åå ñàìîðåàëèçàöèè, ôîðìèðîâàíèå â ñîçíàíèè ó÷àùèõñÿ êàðòèíû ìèðà, àäåêâàòíîé ñîâðåìåííîìó çíàíèþ, ôîðìèðîâàíèå ãðàæäàíèíà, èíòåãðèðîâàííîãî â îáùåñòâå è íàïðàâëåííîãî íà åãî ñîâåðøåíñòâîâàíèå (ñò.14, ï 1,2). Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëèòèêî-ãîñóäàðñòâåííûé, àâòîðèòàðíûé, èäåîëîãè÷åñêèé ïîäõîä ê ïîñòàíîâêå öåëåé âîñïèòàíèÿ çàìåíÿåòñÿ ëè÷íîñòíûì ïîäõîäîì, áîëåå ÷åëîâå÷íûì è ïðàãìàòè÷åñêèì: âîñïèòàòü ëè÷íîñòü, ñïîñîáíóþ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðèíèìàòü ðåøåíèÿ è íåñòè çà íèõ îòâåòñòâåííîñòü, ñôîðìèðîâàòü ÷åëîâåêà, ñîçíàòåëüíî ñòðîÿùåãî ñâîþ æèçíü â ñîòðóäíè÷åñòâå ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè îáùåñòâà. Òàêàÿ öåëü âîñïèòàíèÿ, êîòîðîé ïîñòåïåííî ïðîíèêàåòñÿ ïåäàãîãè÷åñêîå ñîçíàíèå â íàøåé ñòðàíå, äîâîëüíî áëèçêà çàïàäíîé ãóìàíèñòè÷åñêîé ïåäàãîãèêå è ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîãî îáðàçîâàíèÿ - êîíöåïöèè, â îáùèõ ÷åðòàõ ïðèíÿòîé â íàøåé ñòðàíå ïåäàãîãè÷åñêèì ñîîáùåñòâîì.

 ÷åëîâå÷åñêîì îáùåñòâå ìíîãîå ñòàíäàðòèçèðóåòñÿ, îñîáåííî â îáëàñòè ïðîèçâîäñòâà. Îáðàçîâàíèå òîæå äîëæíî îòâå÷àòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì, îáëàäàòü íåîáõîäèìûì êà÷åñòâîì. Îáðàçîâàòåëüíûå ñòàíäàðòû - ýòî òðåáîâàíèÿ ê ñîäåðæàíèþ è óðîâíþ çíàíèé ó÷àùèõñÿ. Îíè îïèñûâàþò ìèíèìóì çíàíèé, óìåíèé, êà÷åñòâ, êàê âûïóñêíèêà îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû, òàê è ñïåöèàëèñòà, îêîí÷èâøåãî ïðîôåññèîíàëüíóþ øêîëó. Ñòàíäàðòû ïðèçâàíû îáåñïå÷èâàòü íåîáõîäèìîå êà÷åñòâî îáðàçîâàíèÿ â ñòðàíå è ñîîòâåòñòâèå åãî ìåæäóíàðîäíîìó óðîâíþ.

Ðàññìîòðèì ñòàíäàðò ñðåäíåãî (ïîëíîãî) îáðàçîâàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå. Èçó÷åíèå ìàòåìàòèêè íà ïðîôèëüíîì óðîâíå ñðåäíåãî (ïîëíîãî) îáùåãî îáðàçîâàíèÿ íàïðàâëåíî íà äîñòèæåíèå ñëåäóþùèõ öåëåé:

·ôîðìèðîâàíèå ïðåäñòàâëåíèé îá èäåÿõ è ìåòîäàõ ìàòåìàòèêè; î ìàòåìàòèêå êàê óíèâåðñàëüíîì ÿçûêå íàóêè, ñðåäñòâå ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëåíèé è ïðîöåññîâ;

·îâëàäåíèå ÿçûêîì ìàòåìàòèêè â óñòíîé è ïèñüìåííîé ôîðìå, ìàòåìàòè÷åñêèìè çíàíèÿìè è óìåíèÿìè, íåîáõîäèìûìè äëÿ èçó÷åíèÿ øêîëüíûõ åñòåñòâåííîíàó÷íûõ äèñöèïëèí, ïðîäîëæåíèÿ îáðàçîâàíèÿ è îñâîåíèÿ èçáðàííîé ñïåöèàëüíîñòè íà ñîâðåìåííîì óðîâíå;

·ðàçâèòèå ëîãè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ, àëãîðèòìè÷åñêîé êóëüòóðû, ïðîñòðàíñòâåííîãî âîîáðàæåíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîãî ìûøëåíèÿ è èíòóèöèè, òâîð÷åñêèõ ñïîñîáíîñòåé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïðîäîëæåíèÿ îáðàçîâàíèÿ è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè â îáëàñòè ìàòåìàòèêè è åå ïðèëîæåíèé â áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè;

·âîñïèòàíèå ñðåäñòâàìè ìàòåìàòèêè êóëüòóðû ëè÷íîñòè ÷åðåç çíàêîìñòâî ñ èñòîðèåé ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè, ýâîëþöèåé ìàòåìàòè÷åñêèõ èäåé; ïîíèìàíèÿ çíà÷èìîñòè ìàòåìàòèêè äëÿ íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà.

Ïðîàíàëèçèðóåì âñå ýòè öåëè ñ òî÷êè çðåíèÿ îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå.  ëèòåðàòóðå öåëè ðàññìàòðèâàþòñÿ íà ðàçëè÷íûõ èåðàðõè÷åñêèõ óðîâíÿõ.  äàííîì ñòàíäàðòå öåëè ïðåäñòàâëåíû íà îäíîì óðîâíå.  ñîâðåìåííîé ëèòåðàòóðå ïî òåîðèè è ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî âèäîâ öåëåé, ò.å. öåëè ðàçëè÷íûõ óðîâíåé. Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, òàêèå óðîâíè öåëåé:

. Ñòðàòåãè÷åñêèå öåëè.

. Òàêòè÷åñêèå öåëè.

. Äèàãíîñòèðóåìûå öåëè.

Öåëè â ñòàíäàðòå ÿ îòíîøó ê òàêòè÷åñêèì öåëÿì. Ðàçðàáîòàåì öåëè, ïðåäñòàâèâ èõ â âèäå èåðàðõèè.

Ñòðàòåãè÷åñêàÿ öåëü îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Åñëè ìû íå áóäåì ñòàâèòü ñòðàòåãè÷åñêèå öåëè, òî ýòèì ñàìûì ìû îáåäíÿåì íàøå îáðàçîâàíèå. Ïîýòîìó ïðè ïîñòàíîâêå öåëåé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ìû äîëæíû âíà÷àëå óêàçàòü ãëàâíûå - ñòðàòåãè÷åñêèå öåëè, ê êîòîðûì äîëæíû ñòðåìèòüñÿ.  íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðèîðèòåòíîå ìåñòî çàíèìàåò ëè÷íîñòíûé ïîäõîä ê îáðàçîâàíèþ. Ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîå îáðàçîâàíèå (â ïåðåâîäå ñ àíãëèéñêîãî - personality-centered education) - ýòî îáðàçîâàíèå, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ðàçâèòèå è ñàìîðàçâèòèå ëè÷íîñòè ó÷àùèõñÿ.

Ëè÷íîñòü - ýòî ñîöèàëüíîå êà÷åñòâî èíäèâèäà. Ëè÷íîñòü - ýòî ÷åëîâåê, âçÿòûé â ñèñòåìå òàêèõ åãî ïñèõîëîãè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê, êîòîðûå ñîöèàëüíî îáóñëîâëåíû, ïðîÿâëÿþòñÿ â îáùåñòâåííûõ ïî ïðèðîäå ñâÿçÿõ è îòíîøåíèÿõ ÿâëÿþòñÿ óñòîé÷èâûìè, îïðåäåëÿþò íðàâñòâåííûå ïîñòóïêè ÷åëîâåêà, èìåþùèå ñóùåñòâåííîå çíà÷åíèå äëÿ íåãî ñàìîãî è îêðóæàþùèõ.

Ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîå îáðàçîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå âûÿâëåíèÿ èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé ó÷àùèõñÿ, ñóáúåêòíîãî îïûòà ïîçíàíèÿ è ïðåäìåòíîé äåÿòåëüíîñòè. È åñëè ðàññìàòðèâàòü ýòîò ïîäõîä, òî ñòðàòåãè÷åñêîé öåëüþ ìîæíî íàçâàòü - ðàçâèòèå ëè÷íîñòè êàæäîãî ó÷åíèêà. Ñîîòâåòñòâåííî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ðàçâèòóþ ëè÷íîñòü ó÷àùåãîñÿ, ìû íå äîëæíû çàáûâàòü î ëè÷íîñòè ñàìîãî ó÷èòåëÿ, ïîýòîìó ñðåäè ñòðàòåãè÷åñêèõ öåëåé ìîæíî òàêæå óêàçàòü ðàçâèòóþ ëè÷íîñòü ó÷èòåëÿ. Ñðåäñòâîì äîñòèæåíèÿ ýòîé öåëè ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòèêà êàê øêîëüíûé ïðåäìåò. Îáîãàùåííîå, íàó÷íî-îáîñíîâàííîå ñîäåðæàíèå ìàòåìàòèêè êàê øêîëüíîãî ïðåäìåòà ÿâëÿåòñÿ íåîñïîðèìûì è íàèáîëåå âàæíûì àñïåêòîì ýòîé öåëè.

Òàêòè÷åñêèå öåëè îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå òàêòè÷åñêèå öåëè - ýòî öåëè èç ñòàíäàðòà.  ýòèõ öåëÿõ íåò íè ñëîâà îá èíòåãðàöèè ó÷åáíûõ äèñöèïëèí, òàêæå îíè íàïèñàíû áåç ó÷åòà âíåäðåíèÿ ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD. Íàøå íûíåøíåå âðåìÿ íàçûâàåòñÿ âðåìåíåì èíòåãðàöèé. Ñêîðî î÷åíü ñëîæíî áóäåò ïðåäñòàâèòü ìàòåìàòèêó, ôèçèêó è äðóãèå øêîëüíûå äèñöèïëèíû áåç èíôîðìàòèêè, à, âåðíåå, áåç êîìïüþòåðà. Ïîýòîìó èíòåãðàöèÿ íåîòúåìëåìûé àòðèáóò îáðàçîâàíèÿ áóäóùåãî.

Íåðåäêî îäíî è òî æå ïîíÿòèå â ðàìêàõ êàæäîãî êîíêðåòíîãî ïðåäìåòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó - òàêàÿ ìíîãîçíà÷íîñòü íàó÷íûõ òåðìèíîâ çàòðóäíÿåò âîñïðèÿòèå ó÷åáíîãî ìàòåðèàëà. Íåñîãëàñîâàííîñòü ïðåäëàãàåìûõ ïðîãðàìì ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îäíà è òà æå òåìà ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì èçó÷àåòñÿ â ðàçíîå âðåìÿ. Ýòè ïðîòèâîðå÷èÿ ëåãêî ñíèìàþòñÿ â èíòåãðèðîâàííîì îáó÷åíèè, êîòîðîå ðåøàåò òàêæå åù¸ îäíó ïðîáëåìó - ýêîíîìèè ó÷åáíîãî âðåìåíè.

Íåîáõîäèìî òàêæå îòìåòèòü åù¸ îäèí âàæíûé ìîìåíò: èíòåãðèðîâàííîå îáó÷åíèå ïðèçâàíî îòðàçèòü èíòåãðàöèþ íàó÷íîãî çíàíèÿ, îáúåêòèâíî ïðîèñõîäÿùóþ â îáùåñòâå. Íå îñâåùàòü ìåæíàó÷íûå ñâÿçè èëè ïîêàçûâàòü èõ ïîâåðõíîñòíî áûëî áû áîëüøèì íåäîñòàòêîì ñîâðåìåííîé øêîëû. Èíòåãðèðîâàííîå îáó÷åíèå ïîçâîëÿåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíî ïîêàçàòü ìåæäèñöèïëèíàðíûå ñâÿçè è åñòåñòâåííîíàó÷íûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ, èñïîëüçóåìûé íà ñòûêå íàóê.

 äåéñòâóþùèõ äëÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë ó÷åáíèêàõ ïî ìàòåìàòèêå è èíôîðìàòèêå, åñòü ìíîãî àáñòðàêòíûõ, ôîðìàëüíûõ òðåíèðîâî÷íûõ óïðàæíåíèé äëÿ îòðàáîòêè òåõíèêè âû÷èñëåíèÿ, òåõíèêè ïðèìåíåíèÿ íîâûõ çíàíèé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ, áåçóñëîâíî, íåîáõîäèìûì óñëîâèåì âûðàáîòêè âû÷èñëèòåëüíûõ íàâûêîâ. Íî ðàáîòà ñ ïîäîáíûìè óïðàæíåíèÿìè, îñîáåííî íà ïåðâûõ ýòàïàõ èçó÷åíèÿ íîâîé òåìû, ÷àñòî êàæåòñÿ ó÷àùèìñÿ ôîðìàëüíîé, à ïîðîé íåíóæíîé. Ðàçóìååòñÿ, ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ðàáîòà ïî äàííîé òåìå ïðèâåäåò, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ê ïîëîæèòåëüíûì ðåçóëüòàòàì ïî óñòðàíåíèþ ôîðìàëèçìà â âîñïðèÿòèè âûïîëíÿåìîé ðàáîòû. Åñëè ïîêàçàòü íà îñíîâå èíòåãðàöèè â íà÷àëå èçó÷åíèÿ íîâîé òåìû, ïðàêòè÷åñêîå ðåøåíèå êàêîé-ëèáî ïðîáëåìû (ìîæåò áûòü äàæå äîñòàòî÷íî ñëîæíîé) è ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äàëüíåéøàÿ äåÿòåëüíîñòü ïî îòðàáîòêå âû÷èñëèòåëüíûõ è ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ íóæíà áóäåò äëÿ òîãî, ÷òîáû â áóäóùåì ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøàòü ïîäîáíûå ñëîæíûå ïðîáëåìû,- òî ýòàï ïðîâåäåíèÿ òðåíèðîâî÷íûõ óïðàæíåíèé íå áóäåò âûãëÿäåòü îòîðâàííûì îò ïðàêòè÷åñêèõ íóæä. Êðîìå òîãî, âêëþ÷åíèå íà ýòîì ýòàïå ýëåìåíòîâ èíòåãðàöèè âñ¸ áîëåå è áîëåå áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü âûäåëåíèþ ïðàêòè÷åñêîé çíà÷èìîñòè ïðîâîäèìîé òðåíèðîâî÷íîé ðàáîòû.

Ïîýòîìó ÿ ñ÷èòàþ, ÷òî îáÿçàòåëüíî â òàêòè÷åñêèõ öåëÿõ íåîáõîäèìî óêàçûâàòü èíòåãðàöèþ ìàòåìàòèêè ñ äðóãèìè øêîëüíûìè ïðåäìåòàìè, â äàííîì ñëó÷àå ÿ ïðåäëàãàþ èíòåãðàöèþ ìàòåìàòèêè ñ èíôîðìàòèêîé. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå òàêòè÷åñêèå öåëè îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû MathCAD:

1.ñîçäàíèå îïòèìàëüíûõ óñëîâèé äëÿ ðàçâèòèÿ ìûøëåíèÿ ó÷àùèõñÿ â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå è èíôîðìàòèêå íà îñíîâå èíòåãðàöèè ýòèõ ïðåäìåòîâ.

2.ïîâûøåíèå è ðàçâèòèå èíòåðåñà ó÷àùèõñÿ ê óêàçàííûì ïðåäìåòàì.

Äèàãíîñòèðóåìûå öåëè. Öåëè, êîòîðûå áûëè ïîñòàâëåíû â ñòàíäàðòå íå äèàãíîñòèðóåìûå. Äèàãíîñòèðóåìûå ýòî çíà÷èò òå öåëè, êîòîðûå ìîæíî ïðîâåðèòü.

Óêàæåì, íàïðèìåð, òàêèå äèàãíîñòèðóåìûå öåëè (äëÿ ïðîôèëüíîãî êëàññà):

- ó÷àùèéñÿ óìååò ãðàìîòíî âûïîëíÿòü àëãîðèòìè÷åñêèå ïðåäïèñàíèÿ è èíñòðóêöèè íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå â ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD;

ó÷àùèéñÿ óìååò ïîëüçîâàòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè â ñèñòåìå MathCAD, ñàìîñòîÿòåëüíî ñîñòàâëÿòü ôîðìóëû çàâèñèìîñòåé ìåæäó âåëè÷èíàìè

ó÷àùèéñÿ óìååò ïðîâîäèòü àðãóìåíòèðîâàííûå ðàññóæäåíèÿ, äåëàòü ëîãè÷åñêè îáîñíîâàííûå âûâîäû, îòëè÷àòü äîêàçàííûå óòâåðæäåíèÿ îò íåäîêàçàííûõ, àðãóìåíòèðîâàòü ñóæäåíèÿ.

Òåïåðü ïîñòàâèì äèàãíîñòèðóåìûå öåëè, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ íåïîñðåäñòâåííî ê òåìå äàííîé ðàáîòû:

1.×åòêîå ïðåäñòàâëåíèå ó÷àùèõñÿ î ïîíÿòèÿõ ðåøåíèè ñèñòåìû, ìíîæåñòâå ðåøåíèé, î ðàâíîñèëüíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

2.Îâëàäåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ

.Âûÿâëåíèå òèïîâ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ âñòðîåííûõ ôóíêöèé.

Âñå ýòè öåëè ñòàâèò ó÷èòåëü â ïðîöåññå îáó÷åíèÿ. Íî ñóùåñòâóþò è öåëè ó÷åíèêîâ. Åñëè ìû áóäåì ðåàëèçîâûâàòü ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííûé ïîäõîä ê îáó÷åíèþ ìàòåìàòèêå, òî ñëåäóåò ðàññìàòðèâàòü öåëè ñàìèõ ó÷àùèõñÿ, êîòîðûå äîëæíû ïîñòàâèòü ñàìè ó÷àùèåñÿ.


.2 Àíàëèç ñîäåðæàíèÿ øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ ïî òåìå: "Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé"


 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò ìíîãî ó÷åáíîé ëèòåðàòóðû, êàê äëÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ êëàññîâ, òàê è äëÿ ïðîôèëüíûõ êëàññîâ. Íî íå êàæäûé ó÷åáíèê ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòíûì äëÿ ó÷àùèõñÿ. Íåêîòîðûì äåòÿì áûâàåò òðóäíî ó÷èòüñÿ ïî ýòèì ó÷åáíèêàì è íå âñåãäà ïðîéäåííûé ìàòåðèàë óñâàèâàåòñÿ ïîëíîñòüþ. Ïîýòîìó ÿ ïðîâåëà àíàëèç ñîäåðæàíèÿ øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ ïî òåìå "Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé". Âñå ó÷åáíèêè ìíîþ ïðîàíàëèçèðîâàííûå ñîîòâåòñòâóþò îáÿçàòåëüíîìó ìèíèìóìó ñîäåðæàíèÿ îáùåãî îáðàçîâàíèÿ 1998 ãîäà è äîðàáîòàííûå ïî ôåäåðàëüíîìó êîìïîíåíòó ãîñóäàðñòâåííîãî ñòàíäàðòà îáùåãî îáðàçîâàíèÿ.

Èçó÷åíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íà÷èíàåòñÿ â 7 êëàññå è ñèñòåìàòèçèðóåòñÿ è óãëóáëÿåòñÿ â êîíöå 11 êëàññà.

Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà ó÷åáíèê 7 êëàññà, ñîñòàâëåííûé Ìàêàðû÷åâûì Þ.Í., Ìèíäþê Í.Ã. è äðóãèìè [2].  íåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ýòîì ó÷åáíèêå íå äàåòñÿ, äàåòñÿ òîëüêî îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ðàâíîñèëüíûõ ñèñòåì. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäóþùèå ñïîñîáû ðåøåíèÿ ñèñòåì: ãðàôè÷åñêèé, ñïîñîá ïîäñòàíîâêè, ñïîñîá ñëîæåíèÿ. Ïîñëå êàæäîãî ñïîñîáà ñèñòåìà äèäàêòè÷åñêèõ óïðàæíåíèé. Ñðàçó æå âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷òî ýòî çà ñïîñîá ñëîæåíèÿ? Âîò ÷òî íàïèñàíî â ó÷åáíèêå: "ðàññìîòðèì åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - ñïîñîá ñëîæåíèÿ. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì ýòèì ñïîñîáîì, êàê è ïðè ðåøåíèè ñïîñîáîì ïîäñòàíîâêè, ìû ïåðåõîäèì îò äàííîé ñèñòåìû ê äðóãîé, ðàâíîñèëüíîé åé ñèñòåìå, â êîòîðîé îäíî èç óðàâíåíèé ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ïåðåìåííóþ". Çàòåì ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðèìåðû, ïîñëå êîòîðûõ çàïèñàí àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ ñïîñîáîì ñëîæåíèÿ:

1)Óìíîæàþò ïî÷ëåííî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîäáèðàÿ ìíîæèòåëè òàê, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû ïðè îäíîé èç ïåðåìåííûõ ñòàëè ïðîòèâîïîëîæíûìè ÷èñëàìè;

2)Ñêëàäûâàþò ïî÷ëåííî ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû;

3)Ðåøàþò ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé;

4)Íàõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå âòîðîé ïåðåìåíîé.

Ó ðåáÿò îäíîçíà÷íî âîçíèêíóò âîïðîñû: à çà÷åì ìû óìíîæàåì, çà÷åì ïîäáèðàåì ìíîæèòåëè òàê, ÷òîáû êîýôôèöèåíòû ïðè îäíîé èç ïåðåìåííûõ ñòàëè ïðîòèâîïîëîæíûìè, çà÷åì ñêëàäûâàåì, è åùå êó÷à äðóãèõ âîïðîñîâ. Èç ýòîãî ó÷åáíèêà íå âèäíî, ÷òî äåëàòü, åñëè ïåðåìåííûõ íå äâå, à áîëüøå?

Ñëåäóþùèé ó÷åáíèê, êîòîðûé ÿ ðàññìîòðåëà, ýòî ó÷åáíèê 7 êëàññà àâòîðà À.Ã. Ìîðäêîâè÷à [3].  íåì åñòü, õîòÿ è íå òî÷íîå, îïðåäåëåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå ââîäèòñÿ èñõîäÿ èç ïðàêòèêè. Îïðåäåëåíèå èç ó÷åáíèêà çâó÷èò ñëåäóþùèì îáðàçîì: "åñëè äàíû äâà óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè x è y : è è ïîñòàâëåíà çàäà÷à - íàéòè òàêèå ïàðû çíà÷åíèé , êîòîðûå îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò è òîìó, è äðóãîìó óðàâíåíèþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàííûå óðàâíåíèÿ îáðàçóþò ñèñòåìó óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ äðóã ïîä äðóãîì è îáúåäèíÿþòñÿ ñïåöèàëüíûì ñèìâîëîì - ôèãóðíîé ñêîáêîé. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè äàíî áûëî ðàíåå - òàê íàçûâàþò ðàâåíñòâî , ãäå ,, - êîíêðåòíûå ÷èñëà, ïðè÷åì , , à ,- ïåðåìåííûå (íåèçâåñòíûå). Ðåøåíèåì ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè íàçûâàþò âñÿêóþ ïàðó ÷èñåë , êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ, ò.å. îáðàùàåò ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííûìè â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî. Íà ïåðâîì ìåñòå âñåãäà ïèøóò çíà÷åíèå ïåðåìåííîé , íà âòîðîì - çíà÷åíèå ïåðåìåííîé . Îïðåäåëåíèå èç ó÷åáíèêà î÷åíü áëèçêî ê èñòèííîìó îïðåäåëåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðîå áûëî íàìè äàíî â ãëàâå 1, ïóíêò 1.1. Íàïîìíèì åãî

Ñèñòåìîé èç m-ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè íàä ïîëåì P íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà


(1)

………………………...

Ãäå , , ,

Çäåñü òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû òîëüêî ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè. Îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ââîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïàðó çíà÷åíèé , êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì è ïåðâîãî è âòîðîãî, íàçûâàþò ðåøåíèåì ñèñòåìû. Ðåøèòü ñèñòåìó - ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åå ðåøåíèÿ èëè óñòàíîâèòü, ÷òî èõ íåò.

Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îíè ôàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò ñ ìåòîäàìè èç ïðåäûäóùåãî ó÷åáíèêà. Ïåðâûé ðàññìîòðåííûé ìåòîä - ãðàôè÷åñêèé. Îí ðàññìàòðèâàåòñÿ íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ. Óêàçàíû íåäîñòàòêè ýòîãî ìåòîäà: "ê ñîæàëåíèþ, ãðàôè÷åñêèé ìåòîä, êàê è ìåòîä óãàäûâàíèÿ, íå ñàìûé íàäåæíûé. Âî-ïåðâûõ, ïðÿìûå ìîãóò ïðîñòî íå óìåñòèòüñÿ íà ÷åðòåæå. Âî-âòîðûõ, ïðÿìûå ìîãóò óìåñòèòüñÿ íà ÷åðòåæå, íî ïåðåñå÷üñÿ â òî÷êå, êîîðäèíàòû êîòîðîé ïî ÷åðòåæó íå î÷åíü ëåãêî îïðåäåëèòü."

Íî ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà â ýòîì ó÷åáíèêå ââîäÿòñÿ îïðåäåëåíèÿ íåñîâìåñòíîé è íåîïðåäåëåííîé ñèñòåì.

" ïðÿìûå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, ïðè÷åì òîëüêî â îäíîé òî÷êå, - ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå;

Ýòè ïðÿìûå ìîãóò áûòü ïàðàëëåëüíûìè - ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèé (ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà);

Ýòè ïðÿìûå ìîãóò ñîâïàñòü - ýòî çíà÷èò, ÷òî ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé (ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ñèñòåìà íåîïðåäåëåííà)."

Ìîæíî íàçâàòü ýòî áîëüøèì "ïëþñîì" ó÷åáíèêà, òàê êàê ýòî óæå èäåò èññëåäîâàíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ñëåäóþùèé ðàññìîòðåííûé ìåòîä - ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Çäåñü ââåäåí àëãîðèòì ðåøåíèÿ ñèñòåì äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè

1.Âûðàçèòü ó ÷åðåç õ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû.

2.Ïîäñòàâèòü ïîëó÷åííîå íà ïåðâîì øàãå âûðàæåíèå âìåñòî ó âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû.

3.Ðåøèòü ïîëó÷åííîå íà âòîðîì øàãå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ.

.Ïîäñòàâèòü íàéäåííîå íà òðåòüåì øàãå çíà÷åíèå õ â âûðàæåíèå ó ÷åðåç õ, ïîëó÷åííîå íà ïåðâîì øàãå.

.Çàïèñàòü îòâåò â âèäå ïàðû çíà÷åíèé , êîòîðûå áûëè íàéäåíû ñîîòâåòñòâåííî íà òðåòüåì è ÷åòâåðòîì øàãàõ.

Äåòè ïîëó÷èëè ýòîò àëãîðèòì è íà÷àëè ñ íèì ðàáîòàòü. Îíè áóäóò ÷åòêî ñëåäîâàòü åãî ïóíêòàì. Õîòÿ çäåñü âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ïóòè ðåøåíèÿ: ìîæíî, íàïðèìåð, âûðàçèòü õ ÷åðåç ó, ìîæíî âûðàæàòü íå èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, à èç âòîðîãî. È îïÿòü âîçíèêàåò âîïðîñ: à ÷òî äåëàòü, åñëè óðàâíåíèé â ñèñòåìå áóäåò áîëüøå ÷åì äâà è ïåðåìåííûõ áóäåò òîæå áîëüøå? Ýòîò âîïðîñ äëÿ ðåáÿò îñòàíåòñÿ îòêðûòûì.

Äàëåå èäåò ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ. Âîò êàê ââîäèòñÿ ýòîò ìåòîä:

" ðàññìîòðèì ñèñòåìó, êîòîðóþ ìû ðåøèëè â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå



Êàê ìû ðåøàëè ýòó ñèñòåìó? Ìû âûðàçèëè èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ è ïîäñòàâèëè ðåçóëüòàò âî âòîðîå, ÷òî ïðèâåëî ê óðàâíåíèþ ñ îäíîé ïåðåìåííîé , ò.å. ê ôàêòè÷åñêè ê âðåìåííîìó èñêëþ÷åíèþ èç ðàññìîòðåíèÿ ïåðåìåííîé . Íî èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ìîæíî áûëî áû ãîðàçäî ïðîùå - äîñòàòî÷íî ñëîæèòü îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (ñëîæèòü óðàâíåíèÿ -ýòî çíà÷èò ïî îòäåëüíîñòè ñîñòàâèò ñóììó ëåâûõ ÷àñòåé, ñóììó ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé è ïîëó÷åííûå ñóììû ïðèðàâíÿòü):

,

.

;

.


Çàòåì ìîæíî áûëî íàéäåííîå çíà÷åíèå ïîäñòàâèòü â ëþáîå óðàâíåíèå ñèñòåìû, íàïðèìåð â ïåðâîå, è íàéòè :


;

;

.


Äàëüøå â ó÷åáíèêå ïðèìåíÿþòñÿ àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ åùå äëÿ íåñêîëüêèõ ñèñòåì, è â êîíöå ýòîãî ïàðàãðàôà ãîâîðèòñÿ, ÷òî ðàññìîòðåííûé ìåòîä íàçûâàþò ìåòîäîì àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ. Íà ýòîì çàêàí÷èâàåòñÿ èçó÷åíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñïîñîáîâ èõ ðåøåíèÿ."

Ïðîàíàëèçèðóåì ïîñëåäíèé ðàññìîòðåííûé íàìè â ýòîì ó÷åáíèêå ìåòîä - ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ. Óæå ñàìî íàçâàíèå ìåòîäà íåêîððåêòíî. Ïî ñâîåé ñóòè ýòîò ìåòîä ðåøåíèÿ íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, à àëãåáðàè÷åñêîå ñëîæåíèå - ýòî âñåãî ëèøü ñðåäñòâî ýòîãî ìåòîäà, êàê ïðèìåíÿåòñÿ ýòîò ìåòîä íà ïðàêòèêå áûëî ðàññìîòðåíî â ïåðâîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû â ïàðàãðàôå ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû.  ýòîì ó÷åáíèêå ïðè ðåøåíèè "òåðÿåòñÿ" çíàê ñèñòåìû, à çíà÷èò è ñàìà ñèñòåìà. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî íà÷èíàëè ðåøàòü ñèñòåìó èç äâóõ óðàâíåíèé, çàòåì ñëîæèëè îáà óðàâíåíèÿ è ïîëó÷èëè â èòîãå îäíî óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé?!  ó÷åáíèêå â ýòîì ðàçäåëå íåò íè íå åäèíîãî ñëîâà î ðàâíîñèëüíîñòè! Ýòîãî íå äîëæíî áûòü! Äåòè äîëæíû ïîíèìàòü, ÷òî îíè äåëàþò íà ñàìîì äåëå ñ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ïî÷åìó ìû èìååì ïðàâî ñêëàäûâàòü äâà óðàâíåíèÿ, è ÷òî â èòîãå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ. È íè â êîåì ñëó÷àå ìû íå äîëæíû òåðÿòü çíàê ñèñòåìû, îáÿçàòåëüíî äîëæíî áûòü îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíîñòè ñèñòåì óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíîñòè áûëî äàíî íàìè â ïåðâîé ãëàâå äàííîé ðàáîòû, â ïàðàãðàôå 1.1 Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû.

Äàëåå èäóò ðàçëè÷íîãî òèïà óïðàæíåíèÿ, è íà ýòîì èçó÷åíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé çàêàí÷èâàåòñÿ è âñòðå÷àåòñÿ òîëüêî â 11 êëàññå, êàê ïîâòîðåíèå, óñëîæíåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íå íàáëþäàåòñÿ. Ò.å. óâåëè÷åíèå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ, ÷èñëà ñàìèõ óðàâíåíèé, ñèñòåì, êîòîðûå èìåþò íååäèíñòâåííîå ðåøåíèå èëè âîâñå íå èìåþò ðåøåíèÿ, íåò.  ó÷åáíèêå Ìîðäêîâè÷à À.Ã. äëÿ 11 êëàññîâ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íå âñòðå÷àþòñÿ.

Êàê óæå ãîâîðèëîñü âûøå, èçó÷åíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â øêîëüíîé ïðîãðàììå ïðîèñõîäèò äâàæäû: â 7 êëàññå è â 11 êëàññå. Ïðîàíàëèçèðóåì òåïåðü ó÷åáíèêè 11 êëàññà ðåêîìåíäîâàííûå ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ.

Ðàññìîòðèì ó÷åáíèê äëÿ 11 êëàññà àâòîðà Âèëåíêèí Í.ß..  ýòîì ó÷åáíèêå êîíêðåòíî íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ â îáùåì âèäå ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Äàíî îïðåäåëåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé:

"Ïóñòü çàäàíû äâà óðàâíåíèÿ è . Ïåðâîå èç ýòèõ óðàâíåíèé çàäàåò íà ïëîñêîñòè ëèíèþ , à âòîðîå - ëèíèþ . ×òîáû íàéòè òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ëèíèé, íàäî íàéòè âñå ïàðû ÷èñåë , òàêèå, ÷òî ïðè çàìåíå â äàííûõ óðàâíåíèÿõ íà è íà ïîëó÷àþòñÿ âåðíûå ðàâåíñòâà. Åñëè ïîñòàâëåíà çàäà÷à îá îòûñêàíèè âñåõ òàêèõ ïàð ÷èñåë, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïàð ÷èñåë òàêèõ, ÷òî ïðè ïîäñòàíîâêå âìåñòî è âìåñòî ïîëó÷àþòñÿ âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà, îáðàçóåò ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû.

Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ñ òðåìÿ è áîëüøèì ÷èñëîì ïåðåìåííûõ. Êàê ïðàâèëî, ÷èñëî óðàâíåíèé ñèñòåìû äîëæíî ðàâíÿòüñÿ ÷èñëó ïåðåìåííûõ. Ñèñòåìû óðàâíåíèé, íå èìåþùèå ðåøåíèé (èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ñ ïóñòûì ìíîæåñòâîì ðåøåíèé), íàçûâàþò íåñîâìåñòíûìè. Êàê ïðàâèëî, íåñîâìåñòíûìè îêàçûâàþòñÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé, â êîòîðûõ ÷èñëî óðàâíåíèé áîëüøå ÷èñëà ïåðåìåííûõ"

Ïîñëåäíåå óòâåðæäåíèå èç ýòîãî ó÷åáíèêà íå âåðíîå - íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû óðàâíåíèé íå çàâèñèò îò ÷èñëà óðàâíåíèé èëè ïåðåìåííûõ.  ïåðâîé ãëàâå ïîêàçàíî, ÷òî ñèñòåìà íåñîâìåñòíà, êîãäà ðàíã îñíîâíîé ìàòðèöû íå ðàâåí ðàíãó ðàñøèðåííîé. Ïðèâåäåì ïðèìåð, îïðîâåðãàþùèé äàííîå óòâåðæäåíèå. Ðàññìîòðèì íåáîëüøóþ ñèñòåìó è íàéäåì åå ðåøåíèå:



Ðåøàòü áóäåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. Ìû äîëæíû èñêëþ÷èòü ïåðåìåííóþ , äëÿ ýòîãî íóæíî ïåðåïèñàòü ïåðâîå óðàâíåíèå áåç èçìåíåíèÿ, êî âòîðîìó ïðèáàâèòü ïåðâîå, óìíîæåííîå íà , à ê òðåòüåìó ïðèáàâèòü ïåðâîå, óìíîæåííîå íà . Ïîëó÷èì ñèñòåìó ðàâíîñèëüíóþ äàííîé:


Çàòåì ïåðâîå ñî âòîðûì îñòàâëÿåì áåç èçìåíåíèé, à ê òðåòüåìó ïðèáàâëÿåì âòîðîå, óìíîæåííîå íà (-1). Ïîëó÷èëè



Òåïåðü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì çíà÷åíèå , ïîäñòàâëÿåì åãî â ïåðâîå óðàâíåíèå è íàõîäèì çíà÷åíèå . Ïîëó÷èëè óïîðÿäî÷åííóþ ïàðó (2;5), êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðàññóæäåíèÿ, ïðîâåäåííûå ïðè ðåøåíèè äàííîãî ïðèìåðà, äîëæíû áûòü è ó øêîëüíèêîâ ïðè ðåøåíèè ëþáîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, è íå òîëüêî ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Äàëåå ââîäèòñÿ îïðåäåëåíèå ðàâíîñèëüíûõ ñèñòåì, è ðàññìàòðèâàþòñÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé â îáùåì âèäå. Îñòàíîâèìñÿ íà ìåòîäå, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ óðàâíåíèé.  ýòîì ó÷åáíèêå îí ââîäèòñÿ î÷åíü êîððåêòíî, íå âçèðàÿ íà ñàìî îïðåäåëåíèå ìåòîäà.  íà÷àëå ïóíêòà ââîäèòñÿ òåîðåìà:

"Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà äëÿ âñåõ ïàð , ïðè êîòîðûõ îïðåäåëåíû îáå ôóíêöèè F è Ô. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé


(1)


Ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå óðàâíåíèé


Èíûìè ñëîâàìè, ïðè ðåøåíèè ñèñòåì óðàâíåíèé ìîæíî ïðèáàâëÿòü ê îäíîìó èç óðàâíåíèé ñèñòåìû äðóãîå óðàâíåíèå òîé æå ñèñòåìû, óìíîæåííîå íà íåêîòîðûé ìíîæèòåëü.

Ñëåäñòâèå. Åñëè ê îäíîìó èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (1) ïðèáàâèòü äðóãîå óðàâíåíèå òîé æå ñèñòåìû, óìíîæåííîå íà íåêîòîðîå ÷èñëî , à äðóãîå îñòàâèòü áåç èçìåíåíèÿ, òî ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ äàííîé".

Äàëåå èäóò êîíêðåòíûå ïðèìåðû, ñðåäè êîòîðûõ íåò ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ýòîò ó÷åáíèê ïîäõîäèò äëÿ óãëóáëåííîãî èçó÷åíèÿ ìàòåìàòèêè, íåîáõîäèìî òîëüêî äîáàâèòü ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ó÷åáíèê äëÿ 10-11 êëàññîâ ïîä ðåäàêöèåé À.Í.Êîëìîãîðîâà (ãîä èçäàíèÿ 1983).  íà÷àëå òåìû "Ñèñòåìû óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ" äàåòñÿ îïðåäåëåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé è åå ðåøåíèÿ, äàëåå ãîâîðèòñÿ î ðàâíîñèëüíîñòè:

Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.  õîäå ðåøåíèÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé ïîñëåäîâàòåëüíî çàìåíÿþò ðàâíîñèëüíûìè åé âñå áîëåå ïðîñòûìè ñèñòåìàìè, ïîêà íå ïîëó÷àò ñèñòåìó, ðåøåíèÿ êîòîðîé íàõîäÿòñÿ áåç òðóäà. Ïðè ýòîì ïîëüçóþòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóþùèìè ïðàâèëàìè.

1.Ïðàâèëî çàìåíû. Çàìåíèâ â ñèñòåìå îäíî èç óðàâíåíèé íà ðàâíîñèëüíîå, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ ïåðâîíà÷àëüíîé.

2.Ïðàâèëî ïîäñòàíîâêè. Åñëè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû èìååò âèä

(- ïðîèçâîëüíîå âûðàæåíèå, íå ñîäåðæàùåå ), òî, çàìåíèâ âî âñåõ îñòàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ñèñòåìû ïåðåìåííóþ íà âûðàæåíèå , ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ ïåðâîíà÷àëüíîé.

3.Ïðàâèëî ñëîæåíèÿ. Åñëè â ñèñòåìó âõîäÿò óðàâíåíèÿ


è

(,, è - êàêèå-òî âûðàæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ), òî îäíî èç ýòèõ óðàâíåíèé, íàïðèìåð âòîðîå, ìîæíî çàìåíèòü óðàâíåíèåì



Ïîëó÷àåòñÿ ðàâíîñèëüíàÿ ñèñòåìà. Ýòî ïðàâèëî âûðàæàþò ñëîâåñíî òàê: ëþáîå óðàâíåíèå ñèñòåìû ìîæíî çàìåíèòü íà óðàâíåíèå, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ ïðè åãî ñëîæåíèè ñ ëþáûì äðóãèì óðàâíåíèåì ýòîé ñèñòåìû.

 ýòîì ó÷åáíèêå íå òåðÿåòñÿ çíàê ñèñòåìû, êàæäûé øàã îáîñíîâàí.

Ïîñëå ðàâíîñèëüíîñòè è ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì èäåò îïðåäåëåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (Çàìåòèì, ÷òî â ó÷åáíèêå Âèëåíêèíà Í.ß. íåò íè ñëîâà î ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé).

Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ ïåðåìåííûìè , , , íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà



Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ òîëüêî èç ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, íàçûâàåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

Äàëåå íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ, êàê ïðèìåíÿþòñÿ ïðàâèëà, ñôîðìóëèðîâàííûå âûøå. Âàæíî çàìåòèòü, ÷òî èñïîëüçóþòñÿ ñèñòåìû áîëüøå ÷åì ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè, à òàêæå ñèñòåìû, èìåþùèå íååäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ââîäèòñÿ ïîíÿòèå òðåóãîëüíîé ñèñòåìû.

Ïî ìîåìó ìíåíèþ, ó÷åáíèê ïîä ðåäàêöèåé À.Í.Êîëìîãîðîâà, íå ñìîòðÿ íà òî, ÷òî ýòîò ó÷åáíèê áîëåå ðàííèé, ÷åì âñå îñòàëüíûå, íàèáîëåå ïîäõîäÿùèé äëÿ èçó÷åíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.


2.3 Ôîðìû îðãàíèçàöèè îáó÷åíèÿ


Ïîëèòè÷åñêèå, ýêîíîìè÷åñêèå è ñîöèàëüíûå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå ïðîèçîøëè â íàøåé ñòðàíå çà ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå, âûçâàëè ïîòðåáíîñòü â ìîäåðíèçàöèè îáðàçîâàíèÿ, â åãî ñîäåðæàòåëüíîì è ñòðóêòóðíîì îáíîâëåíèè.

 ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïîðÿæåíèåì Ïðàâèòåëüñòâà Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè îò 29 äåêàáðÿ 2001 ã. ¹1756-ð îá îäîáðåíèè Êîíöåïöèè ìîäåðíèçàöèè ðîññèéñêîãî îáðàçîâàíèÿ íà ïåðèîä äî 2010 ã. íà ñòàðøåé ñòóïåíè îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ ïðîôèëüíîå îáó÷åíèå. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñîçäàíèÿ "ñèñòåìû ñïåöèàëèçèðîâàííîé ïîäãîòîâêè (ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ) â ñòàðøèõ êëàññàõ îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû, îðèåíòèðîâàííîé íà èíäèâèäóàëèçàöèþ îáó÷åíèÿ è ñîöèàëèçàöèþ îáó÷àþùèõñÿ, â òîì ÷èñëå ñ ó÷åòîì ðåàëüíûõ ïîòðåáíîñòåé ðûíêà òðóäà <…> îòðàáîòêè ãèáêîé ñèñòåìû ïðîôèëåé è êîîïåðàöèè ñòàðøåé ñòóïåíè øêîëû ñ ó÷ðåæäåíèÿìè íà÷àëüíîãî, ñðåäíåãî è âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ".

 "Êîíöåïöèè ìîäåðíèçàöèè Ðîññèéñêîãî îáðàçîâàíèÿ íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà" ñðåäè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé äîñòèæåíèÿ íîâîãî, ñîâðåìåííîãî êà÷åñòâà îáùåãî îáðàçîâàíèÿ íàçâàíû ëè÷íîñòíàÿ îðèåíòèðîâàííîñòü, äèôôåðåíöèàöèÿ è èíäèâèäóàëèçàöèÿ îáðàçîâàíèÿ ïðè îáåñïå÷åíèè ãîñóäàðñòâåííûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ñòàíäàðòîâ - íà îñíîâå ìíîãîîáðàçèÿ îáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé è âàðèàòèâíîñòè îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì. À òàêæå ââåäåíèå ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ â ñòàðøåé øêîëå, îòðàáîòêà ãèáêîé ñèñòåìû ïðîôèëåé è êîîïåðàöèè ñòàðøåé ñòóïåíè øêîëû ñ ó÷ðåæäåíèÿìè íà÷àëüíîãî, ñðåäíåãî è âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ.

Ýëåêòèâíûå êóðñû (êóðñû ïî âûáîðó) èãðàþò âàæíóþ ðîëü â ñèñòåìå ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ øêîëû.  îòëè÷èå îò ôàêóëüòàòèâíûõ êóðñîâ, ñóùåñòâóþùèõ íûíå â øêîëå, ýëåêòèâíûå êóðñû - îáÿçàòåëüíû äëÿ ñòàðøåêëàññíèêîâ.

 ñîîòâåòñòâèè ñ îäîáðåííîé Ìèíîáðàçîâàíèåì Ðîññèè "Êîíöåïöèåé ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ íà ñòàðøåé ñòóïåíè îáùåãî îáðàçîâàíèÿ" äèôôåðåíöèàöèÿ ñîäåðæàíèÿ îáó÷åíèÿ â ñòàðøèõ êëàññàõ îñóùåñòâëÿåòñÿ íà îñíîâå ðàçëè÷íûõ ñî÷åòàíèé êóðñîâ òðåõ òèïîâ: áàçîâûõ, ïðîôèëüíûõ, ýëåêòèâíûõ. Êàæäûé èç êóðñîâ ýòèõ òðåõ òèïîâ âíîñèò ñâîé âêëàä â ðåøåíèå çàäà÷ ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ.

Ó÷åáíûé ïëàí ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ âêëþ÷àåò ÷åòûðå ïðåäìåòíûõ áëîêà.

Áëîê 1-é - áàçîâûå îáùåîáðàçîâàòåëüíûå ïðåäìåòû, îáÿçàòåëüíûå äëÿ âñåõ ó÷àùèõñÿ è èíâàðèàíòíûå ïðàêòè÷åñêè äëÿ âñåõ ïðîôèëåé îáó÷åíèÿ: ìàòåìàòèêà, èñòîðèÿ, ðóññêèé è èíîñòðàííûå ÿçûêè, ôèçè÷åñêàÿ êóëüòóðà, à òàêæå èíòåãðèðîâàííûå êóðñû îáùåñòâîçíàíèÿ (äëÿ åñòåñòâåííîíàó÷íîãî ïðîôèëÿ) èëè åñòåñòâîçíàíèÿ (äëÿ ãóìàíèòàðíûõ ïðîôèëåé).

Áëîê 2-é - ïðîôèëüíûå îáùåîáðàçîâàòåëüíûå ïðåäìåòû, îïðåäåëÿþùèå îáùóþ íàïðàâëåííîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîôèëÿ è îáÿçàòåëüíûå äëÿ ó÷àùèõñÿ, âûáðàâøèõ äàííûé ïðîôèëü.

Ñîäåðæàíèå ó÷åáíûõ ïðåäìåòîâ ïåðâûõ äâóõ áëîêîâ îïðåäåëÿåòñÿ Ãîñóäàðñòâåííûì îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòîì îáùåãî îáðàçîâàíèÿ (ÃÎÑ). Ñîîòâåòñòâèå ïîäãîòîâêè âûïóñêíèêîâ òðåáîâàíèÿì ÃÎÑ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ðåçóëüòàòàì åäèíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêçàìåíà (ÅÃÝ).

Áëîê 3-é - ýëåêòèâíûå êóðñû, îáÿçàòåëüíûå äëÿ èçó÷åíèÿ ó÷åáíûå ïðåäìåòû ïî âûáîðó ó÷àùèõñÿ, êîòîðûå ðåàëèçóþòñÿ çà ñ÷åò øêîëüíîãî êîìïîíåíòà ó÷åáíîãî ïëàíà. Êàæäûé ó÷àùèéñÿ â òå÷åíèå äâóõ ëåò îáó÷åíèÿ äîëæåí âûáðàòü è èçó÷èòü 5-6 ýëåêòèâíûõ êóðñîâ.

Ñîîòíîøåíèå îáúåìà ó÷åáíîãî âðåìåíè ïî âñåì òðåì áëîêàì ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 50%: 30%: 20%.

Áëîê 4-é - ó÷åáíûå ïðàêòèêè, ïðîåêòû, èññëåäîâàòåëüñêàÿ äåÿòåëüíîñòü

Öåëü èçó÷åíèÿ ýëåêòèâíûõ êóðñîâ - îðèåíòàöèÿ íà èíäèâèäóàëèçàöèþ îáó÷åíèÿ è ñîöèàëèçàöèþ ó÷àùèõñÿ, íà ïîäãîòîâêó ê îñîçíàííîìó è îòâåòñòâåííîìó âûáîðó ñôåðû áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè. Èñõîäÿ èç ýòîãî, òåìàòèêà è ñîäåðæàíèå ýëåêòèâíûõ êóðñîâ äîëæíû îòâå÷àòü ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì:

°èìåòü ñîöèàëüíóþ è ëè÷íîñòíóþ çíà÷èìîñòü, àêòóàëüíîñòü êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ ïîäãîòîâêè êâàëèôèöèðîâàííûõ êàäðîâ, òàê è äëÿ ëè÷íîñòíîãî ðàçâèòèÿ ó÷àùèõñÿ;

°ñïîñîáíîñòü ñîöèàëèçàöèè è àäàïòàöèè ó÷àùèõñÿ, ïðåäîñòàâëÿòü âîçìîæíîñòü äëÿ âûáîðà èíäèâèäóàëüíîé îáðàçîâàòåëüíîé òðàåêòîðèè, îñîçíàííîãî ïðîôåññèîíàëüíîãî ñàìîîïðåäåëåíèÿ;

°ïîääåðæèâàòü èçó÷åíèå áàçîâûõ è ïðîôèëüíûõ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ïðåäìåòîâ, à òàêæå îáåñïå÷èâàòü óñëîâèÿ äëÿ âíóòðèïðîôèëüíîé ñïåöèàëèçàöèè îáó÷åíèÿ;

°îáëàäàòü çíà÷èòåëüíûì ðàçâèâàþùèì ïîòåíöèàëîì, ñïîñîáíîñòü ôîðìèðîâàíèþ öåëîñòíîé êàðòèíû ìèðà, ðàçâèòèþ îáùåó÷åáíûå, èíòåëëåêòóàëüíûõ è ïðîôåññèîíàëüíûõ íàâûêîâ, êëþ÷åâûõ êîìïåòåíöèé ó÷àùèõñÿ.

 ñîîòâåòñòâèè ñ öåëÿìè è çàäà÷àìè ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ ýëåêòèâíûå êóðñû ìîãóò âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå ôóíêöèè:

·èçó÷åíèå êëþ÷åâûõ ïðîáëåì ñîâðåìåííîñòè;

·îðèåíòàöèÿ â îñîáåííîñòÿõ áóäóùåé ïðîôåññèîíàëüíîé äåÿòåëüíîñòè, "ïðîôåññèîíàëüíàÿ ïðîáà";

·îðèåíòàöèÿ íà ñîâåðøåíñòâîâàíèå íàâûêîâ ïîçíàâàòåëüíîé, îðãàíèçàöèîííîé äåÿòåëüíîñòè;

·äîïîëíåíèå è óãëóáëåíèå áàçîâîãî ïðåäìåòíîãî îáðàçîâàíèÿ; êîìïåíñàöèÿ íåäîñòàòêîâ îáó÷åíèÿ ïî ïðîôèëüíûì ïðåäìåòàì.

Êàæäàÿ èç óêàçàííûõ ôóíêöèé ìîæåò áûòü âåäóùåé, íî â öåëîì îíè äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ êîìïëåêñíî.

Îöåíèâàÿ âîçìîæíîñòü è ïåäàãîãè÷åñêóþ öåëåñîîáðàçíîñòü ââåäåíèÿ òåõ èëè èíûõ ýëåêòèâíûõ êóðñîâ ñëåäóåò ïîìíèòü è î òàêèõ âàæíûõ èõ çàäà÷àõ, êàê ôîðìèðîâàíèå ïðè èõ èçó÷åíèè óìåíèé è ñïîñîáîâ äåÿòåëüíîñòè äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ çàäà÷, ïðîäîëæåíèå ïðîôîðèåíòàöèîííîé ðàáîòû, îñîçíàíèå âîçìîæíîñòåé è ñïîñîáîâ ðåàëèçàöèè âûáðàííîãî æèçíåííîãî ïóòè è ò.ä. Ýëåêòèâíûå êóðñû ðåàëèçóþòñÿ â øêîëå çà ñ÷åò âðåìåíè, îòâîäèìîãî íà êîìïîíåíò îáðàçîâàòåëüíîãî ó÷ðåæäåíèÿ.

Ââîäÿ â øêîëüíîå îáðàçîâàíèå ýëåêòèâíûå êóðñû, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî ðå÷ü èäåò íå òîëüêî îá èõ ïðîãðàììàõ è ó÷åáíûõ ïîñîáèÿõ, íî è îáî âñåé ìåòîäè÷åñêîé ñèñòåìå îáó÷åíèÿ ýòèì êóðñàì â öåëîì. Âåäü ïðîôèëüíîå îáó÷åíèå - ýòî íå òîëüêî äèôôåðåíöèðîâàíèå ñîäåðæàíèÿ îáðàçîâàíèÿ, íî, êàê ïðàâèëî, è ïî-äðóãîìó ïîñòðîåííûé ó÷åáíûé ïðîöåññ.

Èìåííî ïîýòîìó â ïðèìåðíûõ ó÷åáíûõ ïëàíàõ îòäåëüíûõ ïðîôèëåé â ðàìêàõ âðåìåíè, îòâîäèìîãî íà ýëåêòèâíûå êóðñû, ïðåäóñìîòðåíû ÷àñû â 10-11 êëàññàõ íà îðãàíèçàöèþ ó÷åáíûõ ïðàêòèê, ïðîåêòîâ, èññëåäîâàòåëüñêîé äåÿòåëüíîñòè. Ýòè ôîðìû îáó÷åíèÿ, íàðÿäó ñ ðàçâèòèåì ñàìîñòîÿòåëüíîé ó÷åáíîé äåÿòåëüíîñòè îáó÷àþùèõñÿ, ïðèìåíåíèåì íîâûõ ìåòîäîâ îáó÷åíèÿ (íàïðèìåð, äèñòàíöèîííîãî îáó÷åíèÿ, ó÷åáíûõ äåëîâûõ èãð è ò.ä.), ñòàíóò âàæíûì ôàêòîðîì óñïåøíîãî ïðîâåäåíèÿ çàíÿòèé ïî ýëåêòèâíûì êóðñàì.

Èòàê, ýëåêòèâíûå êóðñû â ïðîôèëüíîì îáó÷åíèè íàïðàâëåíû êàê íà âíóòðèïðîôèëüíóþ äèôôåðåíöèàöèþ, òàê è íà êîìïåíñàöèþ ïðîôèëüíîé îäíîíàïðàâëåííîñòè; ñïîñîáñòâóþùèå óãëóáëåíèþ èíäèâèäóàëèçàöèè ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ, ðàñøèðåíèþ ìèðîâîççðåí÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé ó÷àùèõñÿ.

Êóðñû ïî âûáîðó ÿâëÿþòñÿ îáÿçàòåëüíîé ÷àñòüþ ñîäåðæàíèÿ ïðîôèëüíîãî îáó÷åíèÿ. Ó÷àùèìñÿ ïðåäëàãàåòñÿ íå ìåíåå òðåõ êóðñîâ ïî âûáîðó íà îäíî ó÷åáíîå ïîëóãîäèå. ×åì áîëüøå, òåì ëó÷øå. Êîëè÷åñòâî ó÷åáíûõ ÷àñîâ, îòâîäèìûõ ïî ó÷åáíîìó ïëàíó íà êàæäûé èç ýòèõ êóðñîâ, êîëåáëåòñÿ îò 15-16 äî 48.

Ýëåêòèâíûå êóðñû ìîãóò áûòü âåñüìà ðàçíîîáðàçíûìè è âûáèðàþòñÿ, èñõîäÿ èç êîíêðåòíûõ óñëîâèé (ïîäãîòîâêà ó÷èòåëÿ, ìàòåðèàëüíî-òåõíè÷åñêàÿ áàçà, çàïðîñû ó÷àùèõñÿ è ðûíêà òðóäà).

Íà ìîé âçãëÿä, ýëåêòèâíûå êóðñû íåçàìåíèìû äëÿ äîñòèæåíèÿ îñíîâíûõ öåëåé îáðàçîâàíèÿ íà ñòàðøåé ñòóïåíè øêîëû.


.4 Ïðîãðàììà ïî ýëåêòèâíîìó êóðñó


 äàííîì ïàðàãðàôå íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííîãî ìíîþ èññëåäîâàíèÿ, ïî ðåçóëüòàòàì àíàëèçà øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ ðàçðàáîòàí ýëåêòèâíûé êóðñ: "Èçó÷åíèå èçáðàííûõ âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD" äëÿ 10 êëàññà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîôèëÿ. Ïðîãðàììà ýëåêòèâíîãî êóðñà âêëþ÷àåò ñëåäóþùèå ðàçäåëû:

1.Òèòóëüíûé ëèñò

Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ

Ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå

âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ

"Ðÿçàíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ñ.À. Åñåíèíà"

Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò

"Èçó÷åíèå èçáðàííûõ âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD"

Äëÿ ó÷àùèõñÿ 10 êëàññà, ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîôèëÿ.

Âñåãî ÷àñîâ (âêëþ÷àÿ ñàìîñòîÿòåëüíóþ ðàáîòó) - 72.

Ïðîãðàììà ñîñòàâëåíà ñòóäåíòêîé 5 êóðñà,

Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

Ñòàðèêîâîé À.Â.

Ðÿçàíü 2009

2.Ïîÿñíèòåëüíàÿ çàïèñêà.

Íàñòîÿùàÿ ïðîãðàììà ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì ê îáÿçàòåëüíîìó ìèíèìóìó ñîäåðæàíèÿ îñíîâíîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììû è "Êîíöåïöèè ìîäåðíèçàöèè Ðîññèéñêîãî îáðàçîâàíèÿ íà ïåðèîä äî 2010 ãîäà". Êóðñ ïðåäíàçíà÷åí äëÿ äîïîëíåíèÿ è óãëóáëåíèÿ áàçîâîãî îáðàçîâàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå.

Ê îñíîâíûì öåëÿì êóðñà îòíîñÿòñÿ:

1)ïðîôîðèåíòàöèÿ;

2)ñîçäàòü óñëîâèÿ äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ è ðàçâèòèÿ ó ó÷àùèõñÿ:

·èíòåðåñà ê èçó÷åíèþ ìàòåìàòèêè

·óìåíèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ïðèîáðåòàòü è ïðèìåíÿòü çíàíèÿ;

·ìûñëèòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè ïðè ïðîåêòèðîâàíèå, ïëàíèðîâàíèå, ðàáîòå ñ èñòî÷íèêàìè èíôîðìàöèè, àíàëèçå, ñèíòåçå, ñòðóêòóðèðîâàíèå èíôîðìàöèè

·íàâûêîâ ñàìîàíàëèçà è ðåôëåêñèè;

3)ïðèîáùèòü ó÷àùèõñÿ ê êîìïüþòåðíîé êóëüòóðå;

4)ðàçâèâàòü êîììóíèêàòèâíûå íàâûêè;

)ñôîðìèðîâàòü ó øêîëüíèêîâ:

·ñèñòåìíîå ïðåäñòàâëåíèå î òåîðåòè÷åñêîé áàçå ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD.

·íàâûêè êîëëåêòèâíîé ðàáîòû

·îñíîâû íàó÷íîãî ìèðîâîççðåíèÿ;

6)âîñïèòàíèå ñðåäñòâàìè ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè êóëüòóðû ëè÷íîñòè ÷åðåç çíàêîìñòâî ñ èñòîðèåé ðàçâèòèÿ ìàòåìàòèêè, ýâîëþöèåé ìàòåìàòè÷åñêèõ èäåé; ïîíèìàíèÿ çíà÷èìîñòè ìàòåìàòèêè äëÿ íàó÷íî-òåõíè÷åñêîãî ïðîãðåññà.

7)×åòêîå ïðåäñòàâëåíèå ó÷àùèõñÿ î ïîíÿòèÿõ ðåøåíèè ñèñòåìû, ìíîæåñòâå ðåøåíèé, î ðàâíîñèëüíîñòè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

8)Îâëàäåíèå ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ

)Âûÿâëåíèå òèïîâ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ âñòðîåííûõ ôóíêöèé.

Ïðîãðàììà ñîäåðæèò ñëåäóþùèå ðàçäåëû:

 ðàçäåëå1 óäåëÿåòñÿ âíèìàíèå ñèñòåìàì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè. Îñóùåñòâëÿåòñÿ çíàêîìñòâî ñ ñèñòåìàìè êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè. Èñòîðèÿ âîçíèêíîâåíèÿ è ñîçäàíèÿ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè, èõ âîçìîæíîñòè è ñôåðû ïðèìåíåíèÿ. Îáçîð è îñîáåííîñòè íåñêîëüêèõ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè (Derive, MathCAD, Mathematica, Maple, Mat lab).

Ñèñòåìà MathCAD, èñòîðèÿ ñîçäàíèÿ è ðàçâèòèÿ. Äåìîíñòðàöèÿ âîçìîæíîñòåé. Çàïóñê ñèñòåìû, îáùèé îáçîð äåòàëåé èíòåðôåéñà, ñîçäàíèå äîêóìåíòà. Çàïèñü äîêóìåíòà, îòêðûòèå äîêóìåíòà.

Ââåäåíèå è âû÷èñëåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé ñ ïîìîùüþ ïàíåëè Êàëüêóëÿòîð, çíàêîìñòâî ñ ïàíåëÿìè èíñòðóìåíòîâ Ôîðìàòèðîâàíèå, Ñòàíäàðòíàÿ, Ìàòåìàòèêà (ðàññìîòðåíèå ïàíåëåé èíñòðóìåíòîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ïàíåëü Ìàòåìàòèêà); âûâîä è óäàëåíèå ïàíåëåé èíñòðóìåíòîâ ñ ýêðàíà, ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ è ñðàâíåíèå îïåðàöèé "ðàâíî" è "ïðèñâîèòü".

Âòîðîé ðàçäåë ïîñâÿùåí ñèñòåìàì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïîâòîðåíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé è îïðåäåëåíèé: ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà, íåñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà, íåîïðåäåëåííàÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïîâòîðåíèå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ. Ðåøåíèå âðó÷íóþ. Èçó÷åíèå ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå MathCAD.

 òðåòüåì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ ðàçëè÷íûå ñèñòåìû óðàâíåíèé, ò.å. íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ðàññìàòðèâàþòñÿ ñïîñîáû èõ ðåøåíèÿ âðó÷íóþ è â ñèñòåìå MathCAD.

Òàêæå ïðåäóñìîòðåíî ïðîâåäåíèå äâóõ êîíòðîëüíûõ ðàáîò, îäíîé èññëåäîâàòåëüñêîé è îäíîé ëàáîðàòîðíîé ðàáîòû.

3.Ñîäåðæàíèå ýëåêòèâíîãî êóðñà.

Ðàçäåë 1. Ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD. Åå ïðåèìóùåñòâà.

Ðàçäåë 2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Èõ èññëåäîâàíèå è ðåøåíèå. Èçó÷åíèå ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ñèñòåìå MathCAD.

Ðàçäåë 3. Ñèñòåìû íå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ âðó÷íóþ è ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû MathCAD.

4.Ïðèìåðíûé òåìàòè÷åñêèé ïëàí.


¹Ðàçäåë, òåìàÂñåãîËåêöèèÏðàêòè÷åñêèå çàíÿòèÿÑàìîñòîÿòåëüíàÿ ðàáîòà1 1.1 1.2 1.3 1.4Ðàçäåë 1 Èñòîðèÿ ñèñòåì êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè Èçó÷åíèå âîçìîæíîñòåé ñèñòåìû MathCAD Ââåäåíèå è âû÷èñëåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïàíåëåé Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà "Ñîçäàíèå è ôîðìàòèðîâàíèå äîêóìåíòà MathCAD 6 9 8 1 2 2 2 - 2 4 4 1 2 3 2 -2461172 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5Ðàçäåë 2 Îïðåäåëåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé è åå ðåøåíèÿ Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì. Ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ Ðåøåíèå ñèñòåì â ñèñòåìå MathCAD Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹1 6 6 6 6 1 2 2 2 2 - 2 2 2 2 1 2 2 2 2 -258983 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5Ðàçäåë 3 Íåëèíåéíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ðàâíîñèëüíîñòü ñèñòåì óðàâíåíèé. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà ¹2. Èññëåäîâàòåëüñêàÿ ðàáîòà 3 4 6 1 8 1 2 2 - - 1 1 2 1 - 1 1 2 - 84Çà÷åòíûé óðîê11--236512Èòîãî72202527

5.Ôîðìû êîíòðîëÿ.

 ïðîöåññå èçó÷åíèÿ ýëåêòèâíîãî êóðñà ó÷àùèåñÿ âûïîëíÿþò äâå êîíòðîëüíûå ðàáîòû è îäíó ëàáîðàòîðíóþ ðàáîòó. Êîíòðîëüíûå ðàáîòû ìîãóò áûòü òàêæå â âèäå òåñòîâ.

Ïðèìåðíàÿ òèïîëîãèÿ çàäàíèé â êîíòðîëüíîé ðàáîòå ¹1:

. Ðåøèòü ñèñòåìû â òåòðàäè è â ñèñòåìå MathCAD ñ ïîìîùüþ âñòðîåííîé ôóíêöèè lsolve:


à) á)


. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (âðó÷íóþ è â ñèñòåìå MathCAD ñ ïîìîùüþ áëîêà Given Find):



Ó ó÷àùèõñÿ åñòü îòäåëüíàÿ òåòðàäü äëÿ êîíòðîëüíûõ ðàáîò ïî ýëåêòèâíîìó êóðñó, âñå çàäàíèÿ, êîòîðûå íóæíî âûïîëíÿòü â ñèñòåìå MathCAD - îíè âûïîëíÿþò íà êîìïüþòåðå, à çàòåì ñîõðàíÿþò ñâîè ðåçóëüòàòû â ñïåöèàëüíî îòâåäåííîé ïàïêå. Ó÷èòåëü, ïðîâåðèâ êîíòðîëüíóþ ðàáîòó â òåòðàäè, ïîäçûâàåò ó÷åíèêà, è îíè ñàäÿòñÿ çà êîìïüþòåð è ó÷åíèê äîëæåí îáúÿñíèòü, êàê îí âûïîëíÿë çàäàíèÿ â ñèñòåìå MathCAD. Åñëè ó÷åíèê âñå ðåøèë è ñìîã îáúÿñíèòü, êàê îí âûïîëíÿë çàäàíèÿ, òî çà êîíòðîëüíóþ ðàáîòó ñòàâèòñÿ îöåíêà "îòëè÷íî", åñëè èìåëèñü íå áîëüøèå íåòî÷íîñòè â òåòðàäè è ïðè îáúÿñíåíèè, òî - îöåíêà "õîðîøî", åñëè ó÷åíèê èìååò îøèáêè â òåòðàäè è åãî îáúÿñíåíèå òðåáóåò äîïîëíåíèÿ, òî - îöåíêà "óäîâëåòâîðèòåëüíî".

Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî íà êîìïüþòåðå. Îíà äîëæíà ïîêàçàòü, êàê ðåáÿòà îñâîèëè ñèñòåìó MathCAD. Ó÷àùèåñÿ äîëæíû íàó÷èòüñÿ âûïîëíÿòü ýëåìåíòàðíûå äåéñòâèÿ â ýòîé ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè.

6.Êðèòåðèè îöåíêè çíàíèé.

Èòîãîâîé ôîðìîé êîíòðîëÿ èçó÷åíèÿ ýëåêòèâíîãî êóðñà ìîæåò áûòü êàê ýêçàìåí, òàê è çà÷åòíûé óðîê. Òàê ó÷èòûâàþòñÿ îöåíêè ïîëó÷åííûå â òå÷åíèè êóðñà, à òàêæå çà êîíòðîëüíûå è ëàáîðàòîðíûå ðàáîòû.

Îöåíêà "îòëè÷íî" ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà, åñëè ó÷åíèê çíàåò ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé êóðñà, óñâîèë ñèñòåìó îñíîâíûõ ïîíÿòèé êóðñà, çíàêîì ñ ìåòîäîëîãè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè, îòëè÷íî îðèåíòèðóåòñÿ â ñðåäå MathCAD, à òàêæå óâåðåííî âûïîëíÿåò ïðàêòè÷åñêèå çàäàíèÿ, ïðåäóñìîòðåííûå ïðîãðàììîé.

Îöåíêà "õîðîøî" ìîæåò áûòü âûñòàâëåíà, åñëè îí çíàåò ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ îïðåäåëåíèé, îðèåíòèðóåòñÿ â ñðåäå MathCAD, íî äîïóñêàåò íåçíà÷èòåëüíûå îøèáêè ïðè âûïîëíåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.

Îöåíêà "óäîâëåòâîðèòåëüíî" ìîæåò áûòü ïîñòàâëåíà, åñëè ó÷åíèê çíàåò ôîðìóëèðîâêè áîëüøèíñòâà îïðåäåëåíèé, äåëàåò ñóùåñòâåííûå îøèáêè èëè íå âûïîëíÿåò âîîáùå ïðàêòè÷åñêîå çàäàíèå, âîçíèêàþò ïðîáëåìû ïðè ðàáîòå â ñèñòåìå MathCAD.

. Âîïðîñû çà÷åòíîãî óðîêà.

1. êàêîé ñòðàíå âîçíèêëà ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD?

2.Äàéòå îïðåäåëåíèå ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

.Äàéòå îïðåäåëåíèå ðåøåíèþ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

.Êàêèå ñèñòåìû íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè?

.×òî òàêîå íåñîâìåñòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé? Ñîâìåñòíûå?

.Êàêèå âû çíàåòå òèïû ñîâìåñòíûõ ñèñòåì?

.Êàêèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ êâàäðàòíûìè?

.Ñ ïîìîùüþ êàêîé âñòðîåííîé ôóíêöèè â ñèñòåìå MathCAD ðåøàþòñÿ êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?

.Ïî÷åìó äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ïðîãðàììû ñèìâîëüíîé ìàòåìàòèêè?

10.Êàêèå âû çíàåòå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèå ê ðàâíîñèëüíûì ñèñòåìàì?

11.Ñ ïîìîùüþ ÷åãî â ñèñòåìå MathCAD ìîæíî ðåøèòü ëþáóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé?

.Ðàññêàæèòå î ñïîñîáàõ ââåäåíèÿ ôóíêöèé Find è lsolve â ñèñòåìå MathCAD.

..Ïåðå÷èñëèòå ìåòîäû ðåøåíèÿ îïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.


2.5 Êîíñïåêòû íåêîòîðûõ óðîêîâ ýëåêòèâíîãî êóðñà "Èçó÷åíèå èçáðàííûõ âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD"


Óðîê ¹ 10 (ïðîäîëæèòåëüíîñòü 40 ìèíóò)

Òåìà: " Ðåøåíèå îïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âðó÷íóþ è â ñðåäå MathCAD"

Öåëè:

à) îáðàçîâàòåëüíàÿ - óñâîåíèå ó÷àùèìèñÿ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ îïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

á) ðàçâèâàþùàÿ - ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ àëãîðèòìè÷åñêîé êóëüòóðû;

â) âîñïèòàòåëüíàÿ - âîñïèòàíèå ó ó÷àùèõñÿ óñèä÷èâîñòè, àêêóðàòíîñòè è áåðåæëèâîñòè.

Òèï óðîêà: îáúÿñíåíèå íîâîãî ìàòåðèàëà.

Ëèòåðàòóðà:

1.Âèëåíêèí Í.ß. è äðóãèå. Àëãåáðà è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. 11 êëàññ: ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ øêîë è êëàññîâ ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè / - 11-å èçä., ñòåðåîòèï. - Ì.: Ìíåìîçèíà, 2004. - 288ñ.; èë.

2.Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëèçà: ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ 9 è 10 êëàññîâ ñðåäíåé øêîëû / ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1983.- 335ñ.

3.À.Ã.Ñîëîíèíà MathCAD â çàäà÷àõ ïî àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ. Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181

.Äüÿêîíîâ Â.Ï. Ñïðàâî÷íèê ïî MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.: ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997

Ïëàí óðîêà:

1.Îðãàíèçàöèîííûé ìîìåíò 2 ìèíóòû

2.Ïîâòîðåíèå ðàíåå èçó÷åííîãî ìàòåðèàëà 7 ìèíóò

.Îáúÿñíåíèå íîâîãî ìàòåðèàëà 20 ìèíóò

.Çàêðåïëåíèå íîâîãî ìàòåðèàëà 8 ìèíóò

.Äîìàøíåå çàäàíèå 1 ìèíóòà

.Èòîãè óðîêà 2 ìèíóòû

Õîä óðîêà.

Çäðàâñòâóéòå, ñàäèòåñü. Ïðèãîòîâèëèñü ê óðîêó, íà÷íåì.

Ðåáÿòà, äàâàéòå âñïîìíèì, ÷òî ìû èçó÷àëè íà ïðåäûäóùèõ óðîêàõ. Ìû èçó÷àëè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Êòî ìíå ìîæåò íàçâàòü, êàêèå òèïû ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìû èçó÷èëè?

Ìû èçó÷èëè ñîâìåñòíûå è íåñîâìåñòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ñîâìåñòíûå ñèñòåìû ïîäðàçäåëÿþòñÿ åùå íà îïðåäåëåííûå è íåîïðåäåëåííûå.

Ïðàâèëüíî, äàéòå îïðåäåëåíèÿ óêàçàííûõ òèïîâ ñèñòåì

Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé, åñëè îíà èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòíîé, åñëè îíà íå èìååò ðåøåíèé. Îïðåäåëåííîé ñèñòåìîé íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà, êîòîðàÿ èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à íåîïðåäåëåííîé - ñèñòåìà, èìåþùàÿ áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.

Ìîëîäöû! Òåïåðü äàâàéòå âñïîìíèì, êàêèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè?

Äâå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè îíè èìåþò îäíî è òî æå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.

Âåðíî. Êàêèå ìû èçó÷èëè ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ïðèâîäÿùèå ê ðàâíîñèëüíûì ñèñòåìàì?

Ìû ìîæåì óìíîæàòü îáå ÷àñòè ëþáîãî óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî, ìîæåì ïðèáàâëÿòü ê îáåèì ÷àñòÿì êàêîãî-ëèáî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòåé äðóãîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, óìíîæåííîãî íà ÷èñëî, à òàêæå ìû ìîæåì èñêëþ÷àòü èç ñèñòåìû èëè ïðèñîåäèíÿòü ê ñèñòåìå ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè è íóëåâûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.

Ìîëîäöû! Âñïîìíèëè, à òåïåðü ïåðåéäåì ê íîâîé òåìå. Òåìà íàøåãî óðîêà: "Ðåøåíèå îïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âðó÷íóþ è â ñðåäå MathCAD". ×òî òàêîå îïðåäåëåííûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, ìû ñ âàìè âñïîìíèëè, ýòî ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå èìåþò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äâà îñíîâíûõ àëãîðèòìà ðåøåíèÿ èõ ðåøåíèÿ.

Àëãîðèòì 1. Ýòîò àëãîðèòì îñíîâàí íà äâóõ ìåòîäàõ: ìåòîäå èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è ìåòîäå ïîäñòàíîâêè.

Àëãîðèòì 2. Îí îñíîâàí òîëüêî íà ìåòîäå èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ.

Ïðîäåìîíñòðèðóåì ýòè àëãîðèòìû íà êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ.

Çàäà÷à ¹1. Ðåøèòü ñèñòåìó, èñïîëüçóÿ ñíà÷àëà àëãîðèòì 1, çàòåì - àëãîðèòì 2.


Ðåøåíèå.

Ðåøàåì, èñïîëüçóÿ ïåðâûé àëãîðèòì. Ñíà÷àëà ïðèìåíÿåì ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Íà ïåðâîì øàãå ìû äîëæíû èçáàâèòüñÿ îò ïåðåìåííîé âî âñåõ óðàâíåíèÿ, êðîìå ïåðâîãî. Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îñòàâëÿåì áåç èçìåíåíèé, ïðîñòî ïåðåïèñûâàåì, êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (-1), ê òðåòüåìó òàê æå ïðèáàâëÿåì ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (-2).

Ïîëó÷àåì ñèñòåìó ðàâíîñèëüíóþ äàííîé ñèñòåìå:



Âòîðîå óðàâíåíèå ìîæíî óìíîæèòü íà , ÷òî áû äàëåå áûëî ïðîùå ñ÷èòàòü.



Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü ïåðåìåííóþ â òðåòüåì óðàâíåíèè. Äëÿ ýòîãî ìû ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèå ïîñëåäíåé ñèñòåìû ïðîñòî ïåðåïèñûâàåì, à ê òðåòüåìó óðàâíåíèþ ïðèáàâëÿåì âòîðîå, óìíîæåííîå íà 5. Ïîëó÷èëè ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:


Òåïåðü ïðèìåíÿåì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì çíà÷åíèå è ïîäñòàâëÿåì ýòî çíà÷åíèå âî âòîðîå - íàéäåì çíà÷åíèå . Çàòåì, ïîäñòàâèâ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ è â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì çíà÷åíèå . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èëè, ÷òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå - óïîðÿäî÷åííóþ òðîéêó ÷èñåë (1; 2; -2). Çàïèñûâàåì îòâåò.

Îòâåò: (1; 2; -2)

Òåïåðü ïðèìåíèì ê ýòîìó æå ïðèìåðó àëãîðèòì 2. Íà÷àëî ðåøåíèÿ òî÷íî òàêîå æå, êàê è â ïåðâîì àëãîðèòìå - ïðèâîäèì ñèñòåìó ê ñòóïåí÷àòîìó âèäó:



Òåïåðü ìû äîëæíû äâèãàòüñÿ ñíèçó ââåðõ, ìû äîëæíû ïðîäîëæàòü èñêëþ÷àòü ïåðåìåííûå äàëüøå. Íåîáõîäèìî òåïåðü èñêëþ÷èòü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ, íî ñïåðâà ìû äîëæíû ñäåëàòü êîýôôèöèåíò ïðè â òðåòüåì óðàâíåíèè ðàâíûì íóëþ.



Òåïåðü òðåòüå óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåì, à êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì òðåòüå, óìíîæåííîå íà 2, à ê ïåðâîìó ïðèáàâëÿåì òðåòüå, óìíîæåííîå íà (-1) Ïîëó÷àåì



Òåïåðü îñòàëîñü òîëüêî èñêëþ÷èòü ïåðåìåííóþ â ïåðâîì óðàâíåíèè, äëÿ ýòîãî ê ïåðâîìó óðàâíåíèþ ïðèáàâëÿåì âòîðîå, óìíîæåííîå íà (-3):



Êàê âèäèì, ìû ïîëó÷èëè ñðàçó îòâåò (1; 2; -2), ýòîò àëãîðèòì ìåíåå óäîáåí äëÿ ðåøåíèÿ îïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îí óäîáåí äëÿ íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì, êîòîðûå ìû ðàññìîòðèì íà ñëåäóþùåì óðîêå.

Òåïåðü ìû äîëæíû íàó÷èòüñÿ ðåøàòü òàêèå ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû MathCAD.  ñèñòåìå MathCAD ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ñïåðâà, ìû ñ âàìè èçó÷èì, êàê ðåøàòü êâàäðàòíûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (êâàäðàòíûå - ýòî êîãäà ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé â ñèñòåìå). Äëÿ ýòîãî íàì íåîáõîäèìî èçó÷èòü ïîíÿòèå ìàòðèöà. Ìàòðèöà - ýòî òàáëèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ. Ïîêà ìû îãðàíè÷èìñÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé. Âîò òàê áóäåò âûãëÿäåòü ìàòðèöà äëÿ íàøåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

-ýòà ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ îñíîâíîé ìàòðèöåé íàøåé ñèñòåìû

ýòà ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (îíà íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé). Îíà îòëè÷àåòñÿ îò îñíîâíîé òåì, ÷òî ê íåé äîáàâëåí ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ

 ñèñòåìå MathCAD, ÷òîáû ðåøèòü êâàäðàòíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èñïîëüçóþò âñòðîåííóþ ôóíêöèþ lsolve. Ôóíêöèþ ìîæíî âñòàâëÿòü â ðàáî÷åå ïîëå MathCAD ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè: ìîæíî ïðîñòî ââåñòè ñ êëàâèàòóðû, à ìîæíî ÷åðåç Âñòàâêó íà ïàíåëè çàäà÷ (ñìîòðè ðèñóíîê 2.5.1). Àëãîðèòì ðåøåíèÿ êâàäðàòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

1.Âñòàâüòå øàáëîí âñòðîåííîé ôóíêöèè lsolve.

2. ïåðâóþ ìåòêó øàáëîíà ââåäèòå îñíîâíóþ ìàòðèöó ñèñòåìû óðàâíåíèé.

.Âî âòîðóþ ìåòêó øàáëîíà ôóíêöèè ââåäèòå ìàòðèöó-ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ñèñòåìû óðàâíåíèé.

.Ââåäèòå çíàê ðàâåíñòâà. Îòâåò - åäèíñòâåííûé âåêòîð-ñòîëáåö, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.


Ðèñóíîê 2.5.1. Âñòàâêà ôóíêöèè lsolve


Ðåøèì íàø ïðèìåð â ñèñòåìå MathCAD. Ìàòðèöó âñòàâëÿòü î÷åíü ïðîñòî, ìîæíî òîæå ÷åðåç Âñòàâêó íà ïàíåëè çàäà÷ èëè ÷åðåç ñïåöèàëüíûé ñèìâîë.

Ðèñóíîê 2.5.2. Ðåøåíèå êâàäðàòíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.


Òåïåðü ðåøèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.

Çàäà÷à ¹ 2. Ðåøèòü ñèñòåìó, èñïîëüçóÿ ëþáîé àëãîðèòì.



Áóäåì ðåøàòü åå, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì 1. Ïðîâîäèì àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ, êàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷è¹1. Ïåðâîå óðàâíåíèå ïåðåïèñûâàåì áåç èçìåíåíèé, êî âòîðîìó ïðèáàâëÿåì ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (-1),à ê òðåòüåìó è ÷åòâåðòîìó ïðèáàâëÿåì ïåðâîå, óìíîæåííîå íà (-2)



Ñîêðàòèì êîýôôèöèåíòû âî âòîðîì óðàâíåíèè íà 2


Ñëåäóþùèì øàãîì ìû äîëæíû èñêëþ÷èòü ïåðåìåííóþ â òðåòüåì è ÷åòâåðòîì óðàâíåíèÿõ. Äëÿ ýòîãî ê òðåòüåìó ïðèáàâëÿåì âòîðîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ïåðåïèñûâàåì áåç èçìåíåíèÿ, óìíîæåííîå íà 5, ê ÷åòâåðòîìó ïðèáàâëÿåì âòîðîå, óìíîæåííîå íà 3, ïîëó÷èëè:



Òåïåðü ê ÷åòâåðòîìó ïðèáàâëÿåì òðåòüå, êîòîðîå îñòàâëÿåì áåç èçìåíåíèÿ:



Ìû çíàåì, ÷òî óðàâíåíèÿ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè è íóëåâûì ñâîáîäíûì ÷ëåíîì ìîæíî èñêëþ÷àòü èç ñèñòåìû, è ìû ïîëó÷èì ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó:



Ýòî óðàâíåíèå ìû óæå ðåøàëè, îòâåò ïîëó÷èëñÿ (1; 2; -2). À âàì èíòåðåñíî êàê ìîæíî ðåøàòü íå êâàäðàòíûå ñèñòåìû â ïðîãðàììå MathCAD?

Äëÿ ðåøåíèÿ ñîâìåñòíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü áëîê, âêëþ÷àþùèé êëþ÷åâîå ñëîâî Given è âñòðîåííóþ ôóíêöèþ find.

Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé íåîáõîäèìî âûïîëíèòü ñëåäóþùåå:

1.Íàïå÷àòàòü êëþ÷åâîå ñëîâî Given. Îíî óêàçûâàåò MathCAD, ÷òî äàëåå ñëåäóåò ñèñòåìà óðàâíåíèé.

2.Ââåñòè óðàâíåíèÿ â ëþáîì ïîðÿäêå.

3.Ââåñòè ëþáîå âûðàæåíèå, êîòîðîå âêëþ÷àåò ôóíêöèþ Find, íàïðèìåð: à:= Find(õ,ó). Âìåñòî è â ñêîáêàõ äîëæíû ñòîÿòü ïåðåìåííûå, êîòîðûå âõîäÿò â âàøó ñèñòåìó.

.Çàòåì íàïå÷àòàéòå çíàê ñèìâîëüíîãî îïåðàòîðà ().

Ðåøåíèå áóäåò ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñòîëáöà.

Ôóíêöèþ Find íå îáÿçàòåëüíî ââîäèòü ñ êëàâèàòóðû, ìîæíî êàê è ôóíêöèþ lsolve âñòàâèòü ÷åðåç Âñòàâêó íà ïàíåëè çàäà÷ (ñìîòðè ðèñóíîê 2.5.1). Âîò êàê áóäåò âûãëÿäåòü ðåøåíèå íàøåé çàäà÷è â ñèñòåìå MathCAD:


Ðèñóíîê 2.5.3. Ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ áëîêà Given Find.


Ñ ïîìîùüþ áëîêà Given Find ìîæíî ðåøàòü ëþáûå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, â òîì ÷èñëå è êâàäðàòíûå.

Ðåøèì òåïåðü ñëåäóþùèå ïðèìåðû â òåòðàäÿõ âðó÷íóþ è ñàìîñòîÿòåëüíî, èñïîëüçóÿ ëþáîé èç äâóõ àëãîðèòìîâ. Ïîòîì ïðîâåðèì â ñèñòåìå MathCAD. Íîìåðà èç ó÷åáíèêà Êîëìîãîðîâà À.Í. ¹¹1455,1456, íà ñòðàíèöå 228.


¹ 1455 ¹1456


Êîãäà áîëüøàÿ ÷àñòü ó÷åíèêîâ ñïðàâèòñÿ ñ íîìåðîì ¹1455 âûçûâàåì ó÷åíèêà ê äîñêå, îí ðåøàåò ýòó ñèñòåìó. Ðåøèâ åå íà äîñêå è ïðîâåðèâ ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé, äàåì ðåøèòü åå âñåìó êëàññó â ñèñòåìå êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD. Óêàçûâàåì ðåáÿòàì íà âðåìÿ, çà êîòîðîå îíè âûïîëíèëè ýòî çàäàíèå âðó÷íóþ è â êîìïüþòåðå. Ðàññìîòðèì ðåøåíèå ýòè çàäàíèé. Ðåøåíèå ¹1455 âðó÷íóþ:


Îòâåò: (-3; 2; -1)

Ðåøåíèå â ñèñòåìå MathCAD:



Ðåøåíèå ¹1456 âðó÷íóþ:



Îòâåò: (2; 3; 1)

Ðåøåíèå â ñèñòåìå MathCAD:

ìàòåìàòè÷åñêèé ëèíåéíûé óðàâíåíèå mathcad


Çàïèñûâàåì äîìàøíåå çàäàíèå: âûó÷èòü âñå, ÷òî ìû ñåãîäíÿ çàïèñàëè, à òàêæå íîìåðà ¹¹1457, 1458, ðåøèòü èõ ïîêà âðó÷íóþ. Íà ñëåäóþùåì óðîêå ïðîâåðèì èõ â ñèñòåìå MathCAD. À òåïåðü ïîäâåäåì èòîãè óðîêà.

Óðîê ¹ 11 (ïðîäîëæèòåëüíîñòü 40 ìèíóò)

Òåìà: " Ðåøåíèå íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âðó÷íóþ è â ñðåäå MathCAD"

Öåëè:

à) îáðàçîâàòåëüíàÿ - îñâîåíèå ó÷àùèìèñÿ ñïîñîáîâ âûÿâëåíèÿ ãëàâíûõ è ñâîáîäíûõ ïåðåìåííûõ. Óñâîåíèå àëãîðèòìà ðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.

á) ðàçâèâàþùàÿ - ðàçâèòèå ó ó÷àùèõñÿ àëãîðèòìè÷åñêîé êóëüòóðû;

â) âîñïèòàòåëüíàÿ - âîñïèòàíèå ó ó÷àùèõñÿ óñèä÷èâîñòè, àêêóðàòíîñòè è áåðåæëèâîñòè.

Òèï óðîêà: îáúÿñíåíèå íîâîãî ìàòåðèàëà.

Ëèòåðàòóðà:

5.Âèëåíêèí Í.ß. è äðóãèå. Àëãåáðà è ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. 11 êëàññ: ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ øêîë è êëàññîâ ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè / - 11-å èçä., ñòåðåîòèï. - Ì.: Ìíåìîçèíà, 2004. - 288ñ.; èë.

6.Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëèçà: ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ 9 è 10 êëàññîâ ñðåäíåé øêîëû / ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1983.- 335ñ.

7.À.Ã.Ñîëîíèíà MathCAD â çàäà÷àõ ïî àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ. Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181

.Äüÿêîíîâ Â.Ï. Ñïðàâî÷íèê ïî MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.: ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997


Âûâîä ïî ãëàâå 2


 äàííîé ãëàâå áûë îñóùåñòâëåí êðèòè÷åñêèé àíàëèç öåëåé îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå èç ñòàíäàðòà ñðåäíåãî (ïîëíîãî) îáùåãî îáðàçîâàíèÿ, ïðîôèëüíûé óðîâåíü. Áûëè ïðåäëîæåíû ñâîè öåëè îáó÷åíèÿ, ïðè÷åì ðàçëè÷íûõ èåðàðõè÷åñêèõ óðîâíåé.

Ïðîâåäåí àíàëèç øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ ïî òåìå "Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé", îñíîâûâàÿñü íà òåîðèè èç ïåðâîé ãëàâû.

Áûëè ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ôîðìû îðãàíèçàöèè îáó÷åíèÿ, â ðåçóëüòàòå áûë âûáðàí ýëåêòèâíûé êóðñ, êàê íàèáîëåå ïîäõîäÿùàÿ ôîðìà îáó÷åíèÿ â øêîëå. Ðàçðàáîòàíà ïðîãðàììà ïî ýëåêòèâíîìó êóðñó "Èçó÷åíèå èçáðàííûõ âîïðîñîâ ïî ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD", íàïèñàíû òåìàòè÷åñêèé ïëàí, êîíñïåêòû íåêîòîðûõ óðîêîâ; ðàññìîòðåíî ïðèìåíåíèå ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD.


Çàêëþ÷åíèå


Èòàê, öåëü ðàáîòû áûëà äîñòèãíóòà: ðàçðàáîòàí ýëåêòèâíûé êóðñ ïî òåìå: "Èçó÷åíèå èçáðàííûõ âîïðîñ ïî ìàòåìàòèêå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè MathCAD".

Áûëè ðàññìîòðåíû ìàòåìàòè÷åñêèå, èíôîðìàöèîííûå, ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå îñíîâû èññëåäîâàíèÿ; ïðîàíàëèçèðîâàíû ñòàíäàðòû ñðåäíåãî (ïîëíîãî) îáðàçîâàíèÿ ïî ìàòåìàòèêå è èíôîðìàòèêå (áàçîâûé è ïðîôèëüíûé óðîâåíü), à òàêæå îáÿçàòåëüíûé ìèíèìóì ñîäåðæàíèÿ îñíîâíûõ îáðàçîâàòåëüíûõ ïðîãðàìì ïî ìàòåìàòèêå è èíôîðìàòèêå. Áûëè âûÿâëåíû âîçìîæíîñòè ñèñòåìû MathCAD äëÿ èçó÷åíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. È êàê âèäíî èç ðàáîòû âîçìîæíîñòè ýòè íå åäèíè÷íû, ò.å. ñèñòåìà MathCAD ðåøàåò ðàçëè÷íûå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.

Òàêæå áûë îñóùåñòâëåí êðèòè÷åñêèé àíàëèç øêîëüíûõ ó÷åáíèêîâ ïî òåìå "ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé", êîòîðûé ïîêàçàë, ÷òî â îãðîìíîì êîëè÷åñòâå ðåêîìåíäóåìûõ ó÷åáíèêîâ, ñîâåðøåííûõ íåò, ïî÷òè â êàæäîì åñòü êàêèå-òî íåòî÷íîñòè, êàê ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè, òàê è ñ òî÷êè çðåíèÿ ìåòîäèêè îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå.


Ëèòåðàòóðà


1.À.Ã.Ñîëîíèíà MathCAD â çàäà÷àõ ïî àëãåáðå è òåîðèè ÷èñåë: Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ïåäâóçîâ. Ì.:ÒÖ Ñôåðà ,2000. 181

2.Àëãåáðà: Ó÷åá. äëÿ 7êë îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé / Þ.Í. Ìàêàðû÷åâ, Í.Ã.Ìèíäþê, Ê.È.Íåøêîâ, Ñ.Á.Ñóâîðîâà; Ïîä ðåä. Ñ.À.Òåëÿêîâñêîãî. Ì.:Ïðîñâåùåíèå, 2006.-240ñ.

.Àëãåáðà: Ó÷åáíèê äëÿ 7êë îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷ðåæäåíèé / À.Ã.Ìîðäêîâè÷, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 2005.-235ñ.

.Àëãåáðà è íà÷àëà àíàëèçà: ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ 9 è 10 êëàññîâ ñðåäíåé øêîëû / ïîä ðåä. À.Í.Êîëìîãîðîâà, Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1983.- 335ñ.

.Äüÿêîíîâ Â.Ï. Àâòîìàòèçàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû MathCAD.//Ìèð ÏÊ. 1991. ¹8

.Äüÿêîíîâ Â.Ï. Ñèñòåìà MathCAD: Ñïðàâî÷íèê. Ì.: Ðàäèî èñâÿçü, 1993, 128ñ.

.Äüÿêîíîâ Â.Ï. Ñïðàâî÷íèê ïî MathCAD PLUS 6.0 PRO Ì.: ÑÊ-ÏÐÅÑÑ,1997

.Çèìíÿÿ È.À. Ïåäàãîãè÷åñêàÿ ïñèõîëîãèÿ: Ó÷åáíèê äëÿ âóçîâ. Èçä. âòîðîå, äîï., èñïð. è ïåðåðàá. Ì.: Ëîãîñ, 2003. 384ñ.

.Ïàíþêîâà Ñ.Â. Èíôîðìàöèîííûå è êîììóíèêàöèîííûå òåõíîëîãèè â ëè÷íîñòíî îðèåíòèðîâàííîì îáó÷åíèè. Ì.: Èçä-âî ÈÎÑÎ ÐÀÎ, 1998. 225ñ.

.Ïåäàãîãèêà. Ó÷åáíîå ïîñîáèå äëÿ ñòóäåíòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ âóçîâ è ïåäàãîãè÷åñêèõ êîëëåäæåé /Ïîä ðåä. Ï.È.Ïèäêàñèñòîãî. Ì.: Ïåäàãîãè÷åñêîå îáùåñòâî Ðîññèè,2005. 608ñ.

.Ñîëîíèíà À.à Êîíöåïöèÿ ïåðñîíàëèçèðîâàííîãî îáó÷åíèÿ: Ìîíîãðàôèÿ. Ì.: Ïðîìåòåé,1997

.Ë.ß.Êóëèêîâ Àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë: Ó÷åá.ïîñîáèå äëÿ ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ. -Ì.: Âûñø.øêîëà, 1979. - 559ñ.,èë.

.Êîñòðèêèí À.È. Ââåäåíèå â àëãåáðó. ×àñòü I. Îñíîâû àëãåáðû: Ó÷åá.äëÿ âóçîâ. - 2-å èçä., èñïðàâë. - Ì.: ÔÈÇÌÀËÈÒ, 2004. - 272ñ.

.ß.È.Ãðóäåíêîâ Ïñèõîëîãî-äèäàêòè÷åñêèå îñíîâû ìåòîäèêè îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå, Ì.,1987

.Â.È.Çàãâÿçèíñêèé Ìåòîäîëîãèÿ è ìåòîäèêà äèäàêòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ, Ì..1982

.Êîíöåïöèÿ èíôîðìàòèçàöèè îáðàçîâàíèÿ // Èíôîðìàòèêà è îáðàçîâàíèå,1988, ¹2

.Â.Ì.Êîðîòîâ Îáùàÿ ìåòîäèêà ó÷åáíî-âîñïèòàòåëüíîãî ïðîöåññà, Ì.,1983

.Â.À.Êðóòåöêèé Ïñèõîëîãèÿ îáó÷åíèÿ è âîñïèòàíèÿ, Ì.,1976

.Å.È.Ìàøáèö Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå ïðîáëåìû êîìïüþòåðèçàöèè îáó÷åíèÿ, Ì.,1988

.Ñòîóíñ Ý. Ïñèõîïåäàãîãèêà. Ïñèõîëîãè÷åñêàÿ òåîðèÿ è ïðàêòèêà îáó÷åíèÿ. Ì.,1984

.Áàøìàêîâ Ì.È., Ïîçäíÿêîâ Ñ.Í. è äð. Èíôîðìàöèîííàÿ ñðåäà îáó÷åíèÿ, ÑÏá.,1997

.Ëåéíèñ Í.Ñ. Óìñòâåííûå ñïîñîáíîñòè è âîçðàñò, Ì.,1971

.Êàðôèäîâà Þ.À. èçó÷åíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé â øêîëå ïîñðåäñòâîì ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè /Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà ïî òåîðèè è ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ðÿçàíü, 2008, 135ñ.

.Ãîâÿäîâñêàÿ À.Í. Ìîòèâàöèÿ îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå â ñðåäíåé øêîëå / Âûïóñêíàÿ êâàëèôèêàöèîííàÿ ðàáîòà ïî òåîðèè è ìåòîäèêå îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå. Ðÿçàíü, 2008,165ñ.

.Áîëüøîé ïñèõîëîãè÷åñêèé ñëîâàðü /Ñîñò. Ìåùåðÿêîâ Á.Ã., Çèí÷åíêî Â.Ï. Ì.,2004

.Áîëüøîé ýíöèêëîïåäè÷åñêèé ñëîâàðü /Ñîñò. Ïðîõîðîâ Ô.Ì. - Ì.,2000

.Âûãîäñêèé Ë.Ñ. Ïåäàãîãè÷åñêàÿ ïñèõîëîãèÿ. Ì.,1991

.Ìåòåëüñêèé Í.Â. Î÷åðêè èñòîðèè ìåòîäèêè ìàòåìàòèêè. Ê âîïðîñó î ðåôîðìå ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè â ñðåäíåé øêîëå. Ïîä ðåä.È.ß. Äåïìàíà. Ìèíñê,1968. 340ñ.

.Ìåòåëüñêèé Í.Â. Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå îñíîâû äèäàêòèêè ìàòåìàòèêè. Ìí.,1977

.Ìåòåëüñêèé Í.Â. Ïóòè ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå: ïðîáëåìû ñîâðåìåííîé ìåòîäèêè ìàòåìàòèêè. Ìí.,1989.-160ñ.

.Ïñèõîëîãèÿ: Áîëüøàÿ ñîâðåìåííàÿ ýíöèêëîïåäèÿ./Ñîñò. Ðàïàöåâè÷ Å.Ñ. Ìí.,20005

.Ñàðàíöåâ Ã.È. Îáùàÿ ìåòîäèêà ïðåïîäàâàíèÿ ìàòåìàòèêè. Ñàðàíñê,1999

.Ôðèäìàí Ë.Ì. Ïñèõîëîãè÷åñêèé ñïðàâî÷íèê ó÷èòåëÿ. Ì.,1991

.Áàáàåâà Þ.Ä. è äð. Äèàëîã ñ ÝÂÌ: ïñèõîëîãè÷åñêèå àñïåêòû // Âîïðîñû ïñèõîëîãèè. 1983. ¹2. Ñ. 18-25.

.Áàáàåâà Þ.Ä., Âîéñêóíñêèé À.Å. Ïñèõîëîãè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ èíôîðìàòèçàöèè // Ïñèõîëîãè÷åñêèé æóðíàë. 1998. Ò.19. ¹1. Ñ. 89-100.

.Äîðîíèíà Î.Â. Ñòðàõ ïåðåä êîìïüþòåðîì: ïðèðîäà, ïðîôèëàêòèêà, ïðåîäîëåíèå // Ïñèõîëîãè÷åñêèé æóðíàë. 1997. Ò. 18. ¹1. Ñ. 113-121

.Âàñèëüåâà È.À., Îñèïîâà Å.Ì., Ïåòðîâà Í.Í. Ïñèõîëîãè÷åñêèå àñïåêòû ïðèìåíåíèÿ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé // Âîïðîñû ïñèõîëîãèè. 2002. ¹3

.Ñàìûëêèíà Í.Í. Ïðîãðàììà ýëåêòèâíîãî êóðñà "Ïîäãîòîâêà ê åäèíîìó ãîñóäàðñòâåííîìó ýêçàìåíó ïî èíôîðìàòèêå" //Èíôîðìàòèêà è îáðàçîâàíèå. 2007. ¹1. ñ.28-30

.Ôðèäìàí Ë.Ì. Ïñèõîëîãî-ïåäàãîãè÷åñêèå îñíîâû îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå â øêîëå. Ì.,1983

.Çóáðèëèí À.À. Î íåêîòîðûõ ïðîáëåìàõ âíåäðåíèÿ ýëåêòèâíûõ êóðñîâ. // Ïåäàãîãèêà. 2007. ¹7. Ñ.32-38.

.Ñàðêååâà À.Í. Ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè â èíòåãðàöèè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ â ñðåäíåé øêîëå. // Èíôîðìàòèêà è îáðàçîâàíèå. 2008. ¹8. Ñ.88-91.

.Ìàñëåíèêîâà Î.Í. ÈÊÒ-íàñûùåííàÿ îáðàçîâàòåëüíàÿ ñðåäà: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ñîïðîâîæäåíèå. // Èíôîðìàòèêà è îáðàçîâàíèå. 2008. ¹1

.Ïîïàäüèíà Ñ.Þ. ñèñòåìà êîìïüþòåðíîé ìàòåìàòèêè â ïðîôèëüíîì îáó÷åíèè. // Èíôîðìàòèêà è îáðàçîâàíèå. 2007. ¹5. Ñ.71-76.

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru


Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Рязанский государственный у

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2018 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ