Вероятностный анализ характеристик субпортфелей на страховом рынке
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Нефтекамский филиал
Экономико-математический факультет
Кафедра математического моделирования
Дипломная работа
на тему:
«Вероятностный анализ характеристик субпортфелей на страховом рынке»
Выполнил студент 5 курса
дневного отделения
группы М-51
Шарифуллина И.Г.
Допускается к защите:
Заведующий кафедрой д.ф.-м.н., проф.
Спивак С.И. ________
Научный руководитель к.ф.-м.н., доц.
Сафина Г.Ф._________
Нефтекамск 2008
Содержание
Введение
. Основы страхования
.1Понятие страхового рынка и условия его существования
.2Страховой тариф
.3Цели управления страховой организацией
.4Задачи актуария в страховой компании
.5Анализ риска страховщика и путей его снижения
.6Перестрахование и формы его организации
. Анализ риска субпортфелей на страховом рынке
.1Рисковая надбавка
.2Нетто-премия
.3Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации
.4Вероятность разорения страховой компании
.5Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба
.6Приближенные методы расчета вероятности разорения
.6.1 Приближение Пуассона
.6.2 Приближение Гаусса
.7Аппроксимация биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона
. Разработка программного модуля определения характеристик субпортфелей
.1Задача двух субпортфелей
.2 Задача трех субпортфелей
.3Общие сведения о программе
.4Функциональное назначение программы
.5Анализ входных и выходных данных
.6Анализ результатов
Заключение
Список литературы
ПРИЛОЖЕНИЕ А Модуль расчета характеристик двух субпортфелей
ПРИЛОЖЕНИЕ Б Модуль расчета характеристик трех субпортфелей
ПРИЛОЖЕНИЕ В Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни
ПРИЛОЖЕНИЕ Г Основные модули
Введение
История теории страхования восходит к началу XVIII века; ее возникновение принято связывать с именем Эдуарда Ллойда, владельца кофейни в Лондоне, пришедшего к идее страхования транспортных рисков в морских перевозках. Сейчас страхование - неотъемлемая часть мировой экономики, всемирная индустрия, доходы которой непрерывно растут. Роль страхования огромна и область его распространения постоянно увеличивается. В современном мире страхование является важнейшей предпосылкой стабильной и безопасной жизнедеятельности каждого отдельного человека, семьи, общества в целом. Оно стало одним из основных источников долгосрочных финансовых ресурсов экономически развитых государств. Исходя из этого можно говорить об актуальности выбранной темы дипломной работы.
Риски потерь, уничтожения и повреждения имущества, расстройства здоровья, гибели людей, нарушения имущественных интересов постоянно сопутствуют производственной и любой иной деятельности и обыденной жизни каждого члена общества.
Страхование позволяет пострадавшим возмещать ущерб, причиненный случайными разрушительными, неблагоприятными событиями, и получить страховые суммы (страховое обеспечение) при дожитии до определенного срока или возраста, наступлении временной нетрудоспособности, инвалидности, а также других случаев, оговоренных в договоре страхования. За счет этого страхование обеспечивает непрерывность производственной, любой иной общественно полезной деятельности и приемлемый их уровень, а также уровень жизни, доходов людей при наступлении определенных событий, именуемых страховыми случаями.
Страховые организации призваны аккумулировать в себе взносы клиентов и выплачивать компенсации по мере наступления страховых случаев, выступая, таким образом, посредником в процессе, когда группа индивидов оплачивает потери тех членов группы, которые подверглись воздействию страхового случая.
Клиент (страхователь), заключая договор со страховой компанией (страховщиком), не избавляет себя от риска, соответственно, компания не «принимает» риск на себя. Она принимает ответственность за выплату денежного возмещения последствий риска данному клиенту, а взнос (премия) - цена такой ответственности.
Для заключения страхового контракта необходимы три условия:
·потенциальный клиент должен осознавать, что наступление страхового случая нанесет ему и его семье серьезный материальный урон;
·он должен быть уверен, что при наличии договора страховая компания выполнит свои обязательства перед ним, и тем самым материальные потери будут компенсированы (полностью или в значительной мере);
·клиент должен иметь материальные возможности для оплаты страховой защиты.
Третье условие предполагает соответствие между объемом и качеством страховой защиты и платой за нее. При этом подразумевается, что процесс не детерминированный, а стохастический, и что существующий риск можно оценить количественно. То есть для определенного промежутка времени, для которого составляется договор, известны вероятность того, что страховой случай произойдет, и величина ущерба, возникшего в результате этого случая, которая подлежит возмещению. Исследуемая нами проблема анализа риска субпортфелей на страховом рынке стоит на стыке теории вероятностей, актуарной математики и финансовой математики.
Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой. Из множества областей страховой математики можно выделить такие разделы как теория риска, личное страхование, платежеспособность, пенсионные фонды, модели выживания и распределения потерь и другие. Каждой из этих областей посвящено множество научных работ, так что теоретическая база страховой математики весьма обширна.
Исследования настоящей работы находятся в основном в сфере теории риска. В этой теории основным объектом исследования является модель „случайного процесса, генерирующего случайные выплаты по портфелю или страховым полисам. При этом исследователя интересует прежде всего изменение объема портфеля в целом, а не индивидуальные полисы в отдельности" [2]. Причем наибольший интерес представляет вероятностное распределение, характеризующее возможность для такого процесса пересечь некоторый критический уровень текущего капитала, - вероятность разорения.
Основателем теории риска считается Ф.Лундберг. В своих классических работах [3] он первым рассмотрел задачу об оценке вероятности разорения. Основы теории риска как математической теории были сформулированы X. Крамером в [4]. Дальнейшие шаги в развитии теории были сделаны X. Гербером, С. Несбиттом, Дж. Бекманом, П. Эмбрехтсом и многими другими. Имеется ряд достаточно полных обзоров результатов теории риска, например, книги X. Бельманна [5], Дж. Гранделла и другие. Для изучения теории риска был задействован целый ряд специальных методов теории вероятностей: мартингальный подход, теория марковских процессов, теория „геометрического суммирования" случайных величин. Использование этих методов позволило продвинуться в изучении асимптотического поведения вероятностей разорения, разработке методов одностороннего и двухстороннего оценивания вероятностей разорения, построении нестандартных моделей риска.
В монографии В. В. Калашникова [6] подробно изложены основы теории риска, касающиеся главным образом классического процесса риска и его обобщений, и описаны методы построения оценок вероятности разорения. Исследования проблемы оценивания вероятности разорения были продолжены в работах В. Ю. Королева и В. Е. Венинга ([7], [8] и других), в которых было уделено внимание построению практически применимых точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска и его обобщений.
В дипломной работе Л.В.Шалуновой «Математические модели вероятности разорения страховых компаний» [9] рассматриваются модели рисков, исследуется вычисление вероятности разорения как рисковой характеристики страховой компании (модель Крамера-Лундберга). В работе особое внимание уделяется актуарным расчетам, связанным с инвестиционной активностью страховой компании на финансовом рынке, состоящем из двух активов: безрискового и рискового.
Целью дипломной работы является исследование вероятностных характеристик субпортфелей на страховом рынке и разработка программного модуля для определения характеристик портфелей.
В соответствии с целью нами выдвинуты следующие задачи:
·Изучение страхового рынка с точки зрения риска страховщика и путей снижения риска;
·Анализ страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации;
·Исследование вероятности разорения страховой компании точными и приближенными методами;
·Разработка программного модуля для расчета характеристик субпортфелей.
Научная новизна полученных результатов состоит в том, что рассмотренный расчет рисковых характеристик портфеля обеспечивает эквивалентность обязательств сторон - страховщика и страхователя. Проведенный анализ риска субпортфелей указывает пути снижения риска и повышение вероятности неразорения страховой компании.
Практическая значимость результатов исследования состоит в разработанном программном модуле для определения характеристик субпортфелей и вероятности разорения страховых компаний. Программа может быть использована в страховых компаниях, использующих от одного до пяти разных видов субпортфелей страховых договоров. Она упрощает расчеты работников страховых компаний, ускоряет принятие рациональных решений.
В первой главе работы изучены основные понятия страхового рынка. Рассмотрены цели управления страховой организацией и задачи актуария в страховой компании. Проанализирован риск страховщика, рассмотрены пути снижения риска.
Во второй главе проанализированы модели краткосрочного страхования жизни, индивидуальные убытки страхователя и страховщика. Исследованы методы точного расчета характеристик суммарного ущерба страховой компании и приближенного расчета вероятности разорения страховой компании. Рассмотрены принципы назначения страховых премий.
В третьей главе проводится анализ моделей страхования на конкретных страховых случаях. Приведена программная реализация к этим задачам.
При разработке практических приложений дипломной работы (разработка программы) были использованы: среда программирования Delphi, информационные технологии - Windows XP.
1. Основы страхования
1.1Понятие страхового рынка и условия его существования
Страховой рынок - это особая социально-экономическая среда, определенная сфера денежных отношений, где объектом купли-продажи выступает страховая защита, формируется предложение и спрос на нее.
Страховой рынок можно рассматривать также:
- как форму организации денежных отношений по формированию и распределению страхового фонда для обеспечения страховой защиты общества;
- как совокупность страховых организаций (страховщиков), которые принимают участие в оказании соответствующих страховых услуг.
Объективной основой развития страхового рынка является возникающая в процессе воспроизводства потребность обеспечения бесперебойности финансово-хозяйственной деятельности и оказание денежной помощи в случае наступления непредвиденных неблагоприятных событий.
Основаниями страхового рынка являются: свободная рыночная экономика, многообразие форм собственности, свободное ценообразование - расчет тарифных ставок, наличие конкуренции, свобода выбора, разработка и внедрение новых видов страховых услуг и т.д.
Обязательные условия существования страхового рынка:
- наличие общественной потребности в страховых услугах - формирование спроса;
- наличие страховщиков, способных удовлетворить эту потребность, - формирование предложения.
В связи с этим выделяют рынок страховщика и рынок страхователя. Функционирующий страховой рынок представляет собой сложную, интегрированную систему, включающую различные структурные звенья. Первичное звено страхового рынка - страховое общество или страховая компания. Именно здесь осуществляется процесс формирования и использования страхового фонда, проявляются экономические отношения, переплетаются личные, групповые, коллективные интересы.
Кроме того, на страховом рынке также действуют и другие его субъекты: перестраховочные компании, посредники страховщика - страховые агенты и брокеры (маклеры), различные объединения страховщиков: страховые пулы, союзы и т.д.
Специфическим товаром, предлагаемым на страховом рынке, является страховая услуга, которая может быть представлена на основе договора (в добровольном страховании) или закона (в обязательном страховании).
Перечень видов страхования, представленных на страховом рынке, определяет ассортимент страховых услуг, включая дополнительные, индивидуальные условия по договорам страхования.
Страхователь - физическое или юридическое лицо, уплачивающее денежные (страховые) взносы и имеющее право по закону или на основе договора получить денежную сумму при наступлении страхового случая. Страхователь обладает определенным страховым интересом. Через страховой интерес реализуются конкретные отношения, в которые вступает страхователь со страховщиком. Страхователь, выступающий на международном страховом рынке, может также называться полисодержателем.
Страховщик - организация (юридическое лицо), проводящая страхование, принимающая на себя обязательство возместить ущерб или выплатить страховую сумму, а также ведающая вопросами создания и расходования страхового фонда. В Российской Федерации страховщиками в настоящее время выступают акционерные страховые компании. В международной страховой практике для обозначения страховщика также используется термин андеррайтер. Страховщик вступает в конкретные отношения со страхователем. В своих действиях, формируя эти отношения, он руководствуется имеющимися у страхователя и в обществе в целом страховыми интересами.
1.2Страховой тариф
Страховой тариф, или тарифная ставка, представляет собой денежную плату страхователя за единицу страховой суммы. Другими словами, страховой тариф является ценой единицы страховой услуги и применяется для определения величины страхового взноса страхователя, который, в свою очередь, является долей участия каждого страхователя в страховом фонде. От того, насколько правильно страховщик рассчитает эту долю, во многом зависят его возможности обеспечения страховой защиты. Если страховой тариф будет занижен, то средств страхового фонда не хватит для осуществления выплат по оговоренным в договорах страховым случаям. Если же страховой тариф будет завышен, то высокая цена на страховые услуги или отпугнет страхователей, или при заключении договоров на таких условиях будут ущемляться их экономические интересы.
В практике страхования тарифная ставка, лежащая в основе страхового взноса, называется брутто-ставкой. Брутто-ставка состоит из двух частей: нетто-ставки и нагрузки.
Нетто-ставка может составлять до 90% брутто-ставки и является источником формирования страховых фондов, используемых на выплаты страхователям. Если по договору объект страхуется от нескольких рисков, то производится суммирование нетто-ставок по каждому из этих рисков. В рисковых видах страхования нетто-ставка напрямую связана с вероятностью наступления страхового события. Достаточно часто фактические размеры ущерба превышают ту теоретическую величину, которая была заложена в страховые тарифы при разработке, что может привести к неплатежеспособности страховщика, поэтому в нетто-ставку по рисковым видам страхования закладывается рисковая надбавка для покрытия таких превышений.
Нагрузка используется для финансирования деятельности страховщика и покрывает его расходы на ведение дела, на проведение предупредительных мероприятий, уменьшающих вероятность реализации и размеры последствий страховых случаев, а также включает прибыль страховой компании. В зависимости от видов страхования нагрузка может составлять от 9 до 40% брутто-ставки.
Страховая премия - оплаченный страховой интерес; плата за страховой риск в денежной форме. Страховую премию оплачивает страхователь и вносит страховщику согласно закону или договору страхования. По экономическому содержанию страховая премия есть сумма цены страхового риска и затрат страховщика, связанных с покрытием расходов на проведение страхования. Страховую премию определяют исходя из страхового тарифа. Вносится страхователем единовременно авансом при вступлении в страховые правоотношения или частями (например, ежемесячно, ежеквартально) в течение всего срока страхования. Размер страховой премии отражается в страховом полисе. Объем поступления страховой премии от всех функционирующих страховщиков - один из важнейших показателей состояния страхового рынка. Синонимами термина "страховая премия" являются страховой взнос и страховой платеж.
1.3Цели управления страховой организацией
Главной целью деятельности коммерческого предприятия любой отрасли экономики является получение прибыли. В деятельности же страховой организации прибыль как разница между доходами и расходами от осуществления страховых операций может в определенных случаях и не являться главным приоритетом в результате их деятельности. Это обусловлено целью страхования - обеспечением возмещения страховщиком ущерба, причиненным страховым случаем страхователю, или выплаты страхового обеспечения (страховой суммы) по видам страхования жизни.
Источником средств для таких страховых выплат служит страховой фонд, формируемый страховщиком из уплачиваемых страхователями страховых премий (взносов). Основную часть страховой премии обычно составляет нетто-премия, формируемая за счет нетто-ставки в страховом тарифе и обеспечивающая создание фонда денежных средств, предназначенного для страховых выплат. «Нагрузка» же в страховом тарифе обеспечивает формирование средств не только для покрытия расходов страховой организации, но и определенной суммы прибыли.
Важнейшим источником получения страховой организацией прибыли является инвестирование страховых резервов и собственных средств. Прибыль, получаемая от инвестирования страховых резервов, создаваемых по страхованию жизни, учитывается, например, заранее при расчете величины тарифной ставки и способствует ее снижению. Чем выше доходность инвестиций, тем ниже тариф по видам страхования жизни.
Прибыль страховщика позволяет ему наряду с формированием дохода из получаемых страховых премии по договорам страхования решать после уплаты налога на прибыль следующие задачи:
покрывать расходы на исследования, разработку и продвижение новых видов (подвидов) страхования на рынок страховых услуг;
дотировать временно убыточные виды страхования;
осуществлять подготовку и повышение квалификации кадров, решать социальные проблемы работников организации;
создавать фонды денежных средств, обеспечивающих нормальное функционирование и развитие страховой организации (резервный фонд, фонд накопления, фонд социальной сферы, фонд потребления);
увеличивать уставный капитал.
1.4Задачи актуария в страховой компании
Исторически первой задачей, которую пришлось решать актуарию, была задача определения величины страховой премии, обеспечивающей эквивалентность рисков страховщика и страхователя, т.е. равенство современных величин их возможных потерь. Для простоты проанализируем пример без учета процесса наращения, т.е. будем считать, что сумма собранных премий равна сумме выплаченных страховых возмещений.
Предположим, что актуарий проанализировал страховые договоры определенного типа и выяснил влияние различных факторов на возможность возникновения страхового случая и величину убытков. Тогда он может разбить все неоднородное множество договоров на несколько однородных подмножеств (групп). Это позволяет внутри каждой группы рассматривать не ущерб по каждому договору, а суммарный ущерб, что для страховщика значительно важнее.
Пусть на основании предыдущего опыта выяснено, что за единицу времени (год) в группе из договоров произошло случаев. Тогда частость позволяет оценить вероятность наступления страхового случая.
Если из года в год эмпирические значения практически равны, т.е. их колебания случайны и не содержат тренда, то нет необходимости в прогнозировании поведения этой величины, достаточно знать ее среднее значение. При большом общем числе наблюдений (договоров) можно с высокой надежностью утверждать, что истинное значение параметра будет находиться в очень узком доверительном интервале.
Тогда можно для дальнейших расчетов взять не точную оценку , а правую границу доверительного интервала (это уменьшит вероятность разорения страховой компании, но несколько снизит ее конкурентоспособность).
Теперь можно приступать к планированию политики компании относительно этого вида риска на следующий год. Собранные премии должны обеспечить выполнение страховщиком своих обязательств. Однако он сможет это сделать только, если фактическое число страховых случаев будет равно своему математическому ожиданию (принцип эквивалентности риска) или меньше его. В последнем случае страховщик даже получит доход.
Однако его больше интересует противоположная ситуация: превышение фактического числа случаев над ожидаемым, которая может привести к разорению страховой компании. Во избежание этого страховщик использует такие средства, как рисковая надбавка, а также привлекает собственный капитал для создания начального резерва.
Отдельная и очень важная задача - оценка страховых резервов. Страховой резерв - это выраженный в денежной форме размер будущих обязательств. На эту величину пассивов страховщик должен иметь активы. Собственные средства в страховании называются «маржа платежеспособности». Они оцениваются по принципу компромисса между надежностью и прибылью.
Решение этого комплекса задач начинается с построения доверительного интервала для числа страховых случаев. При этом страховщика интересует самая неблагоприятная ситуация: выход за правую границу, и соответственно, вероятность этого. Разность между правой границей и средним значением и представляет ту часть риска страховщика как предпринимателя, которую он хочет (и должен!) устранить (предотвратить).
Очевидно, что прямое повышение надежности функционирования компании вызовет расширительного интервала, т.е. увеличение разности между правой границей и средним значением. Если среднее значение не изменится, то отношение этой разности к среднему значению (относительная погрешность) возрастет. Тогда страховщик сталкивается с проблемой допустимой величины рисковой надбавки.
Эта надбавка призвана отдалить правую границу и тем самым уменьшить вероятность выхода за нее. Поэтому любой разумный клиент согласен платить эту надбавку, если она мала по сравнению с величиной премии, рассчитанной из принципа эквивалентности. Возможность снизить вероятность разорения компании простым увеличением этой надбавки (за счет клиента!) ограничена из-за конкуренции.
Следовательно, необходимо учитывать возможность возникновения на страховом рынке ситуации, при которой придется снижать эту надбавку. Возникает задача поиска разумного компромисса между повышением надежности и повышением конкурентоспособности. Очевидно, играет роль и объем портфеля. Чем он больше, тем компания устойчивее. Она может поддерживать высокую конкурентоспособность, уменьшая надбавку (т.е. снижая тариф) практически без ущерба для надежности.
Когда же возможности повышения надежности путем введения рисковой надбавки исчерпаны, компания привлекает свои средства. Если величина начального капитала рассчитана правильно, то он расходуется и пополняется таким образом, что (в среднем) не возрастает и не убывает. Отметим, что излишний начальный капитал - это средства, извлеченные из оборота. Они не приносят дохода (или приносят значительно меньший доход, чем возможно), поэтому, слишком большой резерв не целесообразен. К тому же для предпринимателя важно соотношение между своими средствами и привлеченными (собранными премиями).
Но и снижение капитала недопустимо, так как может помешать компании выполнить свои обязательства, и тем самым подорвать доверие к страховой компании, да и к страховому бизнесу в целом. Поэтому государственные органы, курирующие страховой бизнес, особенно жестко контролируют именно эту сторону деятельности страховых компаний.
Повысить надежность можно путем перестрахования, однако за услуги перестраховочной компании надо платить, в то время как свой капитал остается в своем распоряжении. Поэтому актуарий обязан тщательно просчитать все возможные варианты перестрахования и сконструировать оптимальную комбинацию надбавки, капитала и перестрахования, обеспечивающую решение многоцелевой задачи: высокую надежность и конкурентоспособность, и еще прибыль. (До сих пор не упоминалась нагрузка, включающая расходы на ведение дела превентивные мероприятия, а также прибыль акционеров).
Общая схема функционирования страхового общества может быть представлена следующим образом. Имеется однородное множество договоров, число которых достаточно велико, а вероятность наступления страхового случая в каждом отдельном договоре очень мала и приблизительно одинакова для каждого конкретного клиента. Страховая сумма, выплачиваемая клиенту при наступлении страхового случая, в простейшем случае также одинакова.
Актуарий должен решить для данной страховой компании следующие задачи:
определить величину рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств и риска у страховщика и страхователя;
определить величину рисковой надбавки;
определить величину страхового запаса (капитала), обеспечивающего выживание (неразорение) компании с определенной надежностью;
проанализировать возможность повышения устойчивости компании с помощью перестрахования и рассчитать плату за перестрахование при различных условиях договора и перестраховании;
оценить положение компании на страховом рынке и в зависимости от ситуации сформулировать подтвержденные расчетами рекомендации по укреплению позиций компании.
Важно отметить, что конкретного клиента интересует только его собственный договор, то есть индивидуальный риск. Для отдельного клиента страховой случай может либо наступить с вероятностью , либо не наступить с вероятностью . Следовательно, страхователь рискует премией с вероятностью , а страховщик рискует разницей между страховой суммой и полученной премией с вероятностью . Поэтому принцип эквивалентности риска сторон (при отсутствии индексации) приводит к уравнению: , отсюда: .
Если договоров несколько, то компанию интересует не отдельный договор и наступление случая в нем, а общее число случаев для всего портфеля и сумма всех выплат, т.е. коллективный риск по всему портфелю. Все страхователей внесут в виде премии по , в среднем следует ожидать страховых случаев, в каждом из которых придется выплатить возмещение, т.е. , или . Результат тот же. Рисковая премия не зависит от числа договоров в портфеле, но рассчитанная на основе рисковой премии нетто-премия зависит от . Соответственно, это отразится и на брутто-премии (где добавится влияние еще и третьих факторов).
Если размер выплаты фиксирован, то можно оперировать числом страховых случаев, т.е. имеет место биномиальный закон распределения, поэтому (при малой вероятности страхового случая в отдельном договоре) для однородного портфеля общее число случаев за срок действия договора подчиняется закону Пуассона. Отметим, что при определенных условиях оба распределения можно аппроксимировать нормальным законом. При распределенной величине ущерба, если портфель качественно однороден, т.е. не содержит резко выделяющихся наблюдений (договоров), то согласно закону больших чисел суммарный ущерб в портфеле подчиняется нормальному закону.
Данное обстоятельство объясняет причину широкого применения указанных распределений (а также тесно связанных с ними других законов) в актуарных расчетах. Например, если число случаев за единицу времени подчиняется распределению Пуассона, то длительность временного интервала между двумя очередными случаями подчиняется экспоненциальному распределению.
Вначале для упрощения будем считать, что размер выплат фиксирован. Тогда общий убыток страховщика пропорционален числу страховых случаев. Если объем однородного портфеля велик, а вероятность страхового случая в одном договоре мала, то применима пуассоновская аппроксимация. Наибольшее значение плотности в точке (интенсивность потока заявок или математическое ожидание количества заявок - исков о возмещении понесенного ущерба). Как было показано ранее, если страховая сумма, выплачиваемая при наступлении страхового случая, во всех договорах постоянна и равна , а единовременная страховая премия, вносимая клиентом для обеспечения эквивалентности риска, равна , то из равенства собранной суммы взносов и общей суммы выплат следует: . Результат совпал с полученным ранее, как и должно быть.
Однако нетрудно заметить, что собранная сумма взносов (рисковых премий) обеспечивает выплату компенсаций только при благоприятной для страховщика ситуации, когда фактическое число случаев не превосходит его математического ожидания: , т.е. при таких условиях помощь может быть оказана только первым клиентам. При меньшем количестве случаев компания сохраняет часть невостребованных средств. Но нельзя обращать эту сумму в прибыль, она должна быть направлена в страховой фонд (резерв) на случай превышения фактического числа выплат над ожидаемым в следующем году.
На практике возможно использование остатка для распределения между страхователями, у которых не было страховых случаев (в виде поощрения), или эти средства можно пустить в оборот, чтобы в дальнейшем вернуть клиентам несколько большую сумму. Важно, что эта часть средств, собранных с клиентов (но не истраченных на выплату возмещений), не становится собственностью (или даже доходом) компании, а продолжает принадлежать совокупности клиентов и должна использоваться в их интересах.
1.5Анализ риска страховщика и путей его снижения
События могут развиваться и по неблагоприятному для компании сценарию, когда уже на начальном этапе (в первый год) сумма выплат превысит сумму собранных рисковых премий. Тогда компания будет в состоянии выплатить компенсацию лишь первым пострадавшим клиентам за счет собранных рисковых премий.
Каждый разумный клиент понимает, что такая ситуация может ударить по нему, если именно он окажется -м, поэтому он согласен заплатить несколько больше, чем рисковая премия, чтобы избежать этого. Эта идея и лежит в основе рисковой надбавки, которая добавляется к рисковой премии для обеспечения безубыточности и повышения устойчивости компании. Сумма этих двух составляющих называется нетто-премией.
Однако и из соображений разумности, и из-за конкуренции эта надбавка не может быть слишком большой. Важно, сколько дополнительных страховых случаев (сверх ожидаемого ) она покрывает. Это зависит от поведения кривой плотности распределения справа от точки. Чем круче она убывает, тем эффективнее работает надбавка (меньший процент надбавки по отношению к рисковой премии обеспечивает большой процент вероятности неразорения компании).
Если рисковая надбавка отсутствует, то весь последующий риск (после ) компания вынуждена обеспечивать за свой счет: либо увеличивать начальный капитал из своих средств, либо обращаться к перестраховщику, оплачивая его услуги из своих средств (все собранные рисковые премии полностью возвращаются клиентам в виде страховых возмещений, в среднем!).
Таким образом, как будет видно в дальнейшем, надбавка используется для повышения надежности компании, но пути достижения этой цели (и соответственно, использования надбавки) могут различаться.
Итак, наибольшая доля риска страховщика покрывается собранными рисковыми премиями (около 60%) и рисковой надбавкой, которая в зависимости от вида страхования и поведения кривой плотности распределения составляет 10-20% . Далее начинается зона ответственности капитала (начального резерва). Очевидно, что создание слишком большого резерва нецелесообразно из-за того, что средства, отвлеченные в резерв, либо вообще не приносят доход либо приносят его значительно меньше, чем при инвестировании. Создание резерва - необходимость, направленная на повышение надежности.
Возникает задача поиска разумного компромисса между величиной резерва и надежностью. Поэтому величина резерва может меняться в зависимости от ситуации (подотрасли страхования, конкретного вида кривой плотности распределения риска, процентной ставки, политики компании на страховом рынке и т.д.). Соответственно меняются и границы зоны ответственности резерва за риск, причем как правая, так и левая.
Дело в том, что в зависимости от ситуации на рынке компания иногда вынуждена уменьшать величину рисковой надбавки. Соответственно уменьшается вероятность неразорения. Поэтому для поддержания устойчивости на прежнем уровне необходимо расширить зону ответственности резерва, т.е. увеличить резерв (привлечь дополнительный собственный капитал).
Другой причиной увеличения резерва может быть слишком большая плата за перестрахование. Тогда компания вынуждена уменьшить долю риска, передаваемого на перестрахование, и соответственно увеличить резерв. Наконец из-за общей экономической ситуации эффективность инвестиций может снизиться, и компании выгоднее увеличить резерв, но при этом снизить передаваемый в перестрахование риск и плату за него.
На практике начальный резерв создают таким, чтобы он вместе с рисковой премией и рисковой надбавкой обеспечил вероятность неразорения в пределах 90-95%, а на перестрахование передают последующий риск. Таким образом, ответственность перестраховщика начинается с указанной надежности, и он обеспечивает дальнейшее повышение надежности, например, до 95-99%.
Заметим, что ни одна компания в отдельности, ни группа компаний, работающих по принципу взаимного страхования, не в состоянии обеспечить 100% надежности (вероятности неразорения). Для этого им необходим резерв такого объема, который вместе с собранными премиями был бы в состоянии обеспечить выплату всех страховых возмещений. Если предположить, например, что вероятность страхового случая , то собранные рисковые премии обеспечивают покрытие только 10% совокупности страховых сумм.
Это означает, что совокупность страховых компаний перед началом работы на страховом рынке должна иметь свои резервы в размере 90% от совокупности страховых сумм, т.е. в 9 раз больше суммы премий, которые им только еще предстоит собрать. А с учетом возможности возникновения страховых случаев у всех клиентов одновременно сразу после внесения первого взноса (и начала ответственности страховщика!) это соотношение приближается к 10, что делает страхование как бизнес невозможным.
Таким образом, риск предпринимателя в страховом бизнесе состоит в невозможности обеспечить 100% надежности. Поэтому в страховании можно говорить только о вероятности неразорения за конечный интервал времени. На бесконечном интервале вероятность разорения любого страховщика равна единице!
1.6Перестрахование и формы его организации
Перестрахование - это тоже страхование (страховщика, который выступает в роли клиента, называют «цедент»), и формы его организации различны. Существуют как компании, занимающиеся исключительно перестрахованием, так и сочетающие обычные виды страхования с перестрахованием. Есть объединения компаний -пулы, члены которых (по определенным правилам) передают части своего риска всему пулу, а он перераспределяет полученный суммарный риск между членами пула.
Перестраховочные соглашения также различаются. Условно их можно классифицировать по критериям:
факультативное индивидуальное перестрахование/перестрахование на основе обязательного договора;
пропорциональное/непропорциональное;
перестраховочное покрытие на основе равных ставок/с переменными премиями.
При факультативных соглашениях цедент свободен предложить отдельные риски одному или нескольким перестраховщикам, а они могут принять риск весь или часть его или отказаться. Договорное (облигаторное) перестрахование относится не к отдельному риску, а ко всему портфелю (или субпортфелю), и стороны сдают и принимают все риски, обусловленные договором.
Оба перечисленных договора могут быть как пропорциональными (отношение перестраховочной премии к брутто-премии равно отношению перестраховочного убытка к брутто-убытку для каждого перестрахованного риска в отдельности), так и непропорциональными.
Существует два основных типа пропорциональных договоров: квотный и эксцедентный.
Квотный предусматривает передачу фиксированного процента от каждого риска перестраховочного портфеля. Соответственно передается процент с исходных брутто-премий и выплачивается процент возмещений. Перестраховщик комиссионными оплачивает цеденту привлечение страхователя. Соотношение действительных расходов и комиссионных определяет прибыль или убытки на этой статье.
Эксцедентный предусматривает для каждого риска удержание не более определенной максимальной суммы (различающейся по классам риска). Избыточная часть риска передается до определенного предела (например, до 10-кратного удержания). Премии и возмещения делятся пропорционально отношению страховых сумм. Есть комиссия, уступаемая перестраховщиком цеденту.
Договоры о перестраховании могут заключаться для предотвращения разорения вследствие катастрофических выплат, которые практически непредсказуемы. Например, страховая компания заключает договор о непропорциональном эксцедент-ном перестраховании, согласно которому уровень собственного удержания составляет 10000 у.е. Это означает, что при возникновении больших убытков (превышающих указанную сумму) страховщик выплачивает из своих средств только эти 10000, а все, что больше этой суммы, оплачивает перестраховщик. Для определения цены договора о перестраховании необходимо распределение большого ущерба.
Рисковая премия при перестраховании будет равна математическому ожиданию ответственности перестраховщика, которое в свою очередь составит интеграл по отрезку, определяемому границами ответственности перестраховщика:
.
2. Анализ риска субпортфелей на страховом рынке
2.1Рисковая надбавка
Рассмотрим задачу определения рисковой надбавки. Пусть компания имеет однородный портфель договоров с одинаковыми страховыми суммами и вероятностями наступления страховых случаев . Компанию интересует не только среднее число случаев , но и величина возможного превышения этого значения и вероятность такого отклонения. Поскольку в основе процесса лежит биномиальный закон, интересующая нас оценка может быть получена с помощью интегральной теоремы Лапласа [5, с. 42]:
(В более общем случае, когда эта теорема неприменима, используется неравенство Чебышева.)
Пусть число договоров , - вероятность наступления страхового случая, тогда - среднее ожидаемое число случаев. Компанию интересует вероятность того, что фактическое число случаев не превысит некоторого заданного значения Если срок действия договора один год, то какова должна быть эта граница, чтобы она превышалась не чаще, чем 1 раз в 25 лет? . Какова при этом рисковая надбавка? Предположим, что в этой подотрасли страхования надбавка, в среднем, составляет 10% от рисковой премии. Оценим конкурентоспособность компании.
.
Вероятность нарушения правой границы: , тогда ; и по таблице функции Лапласа находим: абсолютная надбавка , относительная надбавка
При относительной надбавке 16,62% можно считать с надежностью 0,96 (нарушение не чаще одного раза в 25 лет), что число страховых случаев не превысит . (Округлять можно только в большую сторону)
С позиции конкурентоспособности 17% велика, а вероятность разорения (раз в 25 лет) слишком велика (по западно-европейским стандартам). Попытаемся изменить условия. Пусть мы хотим обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (не чаще 1 раза в 100 лет).
Здесь и . Следовательно, , т.е. надбавка увеличилась почти в 1,33 раза и достигла 22,1% - слишком много (для нашего примера),
Округляем до ближайшего целого числа: 123. Тогда .
Найдем надежность, которую может обеспечить надбавка в 10%:
; ; ; .
Итак, вероятность разорения достигла 0,145 (один раз в семь лет!), что совершенно неприемлемо.
В данном случае неприятности страховщика вызваны противоречием между относительно высокой вероятностью наступления страхового случая 0,1 и сравнительно небольшим объемом страхового портфеля п = 1000.
Проанализируем ситуацию у другого страховщика, который имеет дело с такими же рисками р = 0,1, но объем портфеля у него в 10 раз больше: .
Итак, , , , , . Если , то; ; , , т.е. , то относительная надбавка составляет 53/1000=0,053 против 0,17 - уменьшилась втрое (!). Это означает, что на каждую тысячу договоров (при одинаковой надежности) у второго страховщика отклонения будут втрое меньше. Следовательно, он может соответственно снизить надбавку, и тогда его тарифы будут ниже, чем у конкурента. Тогда конкурент с малым портфелем тоже должен снизить свои тарифы, а это резко снизит его надежность, и, скорее всего, он разорится (здесь не рассматриваются другие пути повышения надежности). Этот пример показывает, почему крупные компании выживают, а мелкие разоряются.
Пусть крупная компания () стремится обеспечить вероятность разорения не выше 0,01 (1 раз в 100 лет). Тогда , ,; относительная надбавка 70/1000=7% вполне приемлема. Это означает, что такая компания может обойтись практически без страховых резервов, в то время как ее слабый конкурент обязан создать солидный резерв из своих средств. Еще одно преимущество.
Очевидно, что для большой компании целесообразно остановиться на варианте: вероятность разорения 0,01 и надбавка 7%. При этом она решает задачу обеспечения достаточной надежности за счет клиента, но ее услуги еще и дешевле средних на страховом рынке. Это идеальный вариант для компании.
Малая компания не имеет ни одного приемлемого варианта, ей для повышения надежности необходимо увеличить начальный капитал и прибегнуть к перестрахованию, но у малой компании и своих средств мало.
Сравнить устойчивость компаний можно и по отклонению (точнее, превышению) фактического числа страховых случаев т от ожидаемого я-рна каждые 100 договоров (при одинаковой надежности). Например, вероятность разорения . Тогда для малой компании получили надбавку 23%, поэтому на каждые 100 договоров у этой компании с вероятностью 0,99 число страховых случаев не превысит:
,
а для большой компании правая граница доверительного интервала при надбавке в 7% будет равна, т.е., в среднем, на полтора случая меньше.
Таким образом, если на страховом рынке в данной подотрасли средняя относительная рисковая надбавка составляет 10%, то малая компания не в состоянии выдержать конкуренции, а большая, имея солидный запас прочности (7%), держится на плаву, не прилагая для этого никаких усилий (только потому, что она большая!). Она даже может снизить свой тариф (по сравнению со средним), например, продавать свои полисы (условно) по 107 единиц по сравнению с ценой 110 (в среднем) и с ценой 123 у малой компании, и тем самым вытеснить конкурентов с рынка, ничем при этом не рискуя.
Таким образом, проиллюстрировано преимущество крупных компаний. (Этим отчасти объясняются опасения отечественных страховщиков, связанные с последствиями прихода на российский рынок их западных коллег.)
Если актуарные расчеты показали, что компания не в состоянии обеспечить достаточно высокую надежность за счет рисковой надбавки, то она обязана повысить надежность путем создания достаточных начальных резервов и (или) перераспределить риск путем перестрахования.
Потенциальному страхователю следует обратиться в крупную компанию, имеющую большой однородный портфель аналогичных договоров. Здесь ему предложат более выгодные условия (тариф ниже при более высокой надежности).
Отметим:
Рисковая премия + Рисковая надбавка= Нетто-премия.
Если нагрузка на ведение дела составляет фиксированный процент от тарифа, можно найти брутто-премию, разделив нетто-премию на ().
2.2Нетто-премия
Итак, показано, что нетто-премия, обеспечивающая безубыточность страхования, должна быть выше рисковой премии, рассчитанной на основе принципа эквивалентности обязательств сторон. Разность между ними называется рисковой надбавкой, а отношение этой разности к рисковой премии - относительной рисковой надбавкой. Рассмотрим процедуру формирования нетто-премии в договорах с распределенным ущербом.
В страховании принято оперировать специальной денежной суммой - единицей страховой суммы (е.с.с), зависящей от валюты страны, например, 1 е.с.с. = 100 руб.
Рассмотрим пример. Индивидуальный иск принимает три значения: 0; 1; 4 е.с.с. с вероятностями 0,9965, 0,0030, 0,0005 соответственно. Найти нетто-премию.
Среднее значение и дисперсия индивидуального иска:
Тогда условия обеспечения 95%-ой надежности (вероятности выживания) с использованием нормальной аппроксимации получим: используя рисковую премию и учитывая число договоров ; найдем нетто-премию:
Тогда относительная надбавка равна:
Итак, рисковая премия равна 0,0050; рисковая надбавка равна 0,0017; нетто-премия равна 0,0067; брутто-премия (при ) составит: 0,0067/0,88=0,76, это превысит рисковую премию в 1,5 раза.
2.3Анализ однородного страхового портфеля с применением нормальной аппроксимации
Продолжим рассматривать вышеизложенную задачу (о рисковой надбавке).
Напомним: надо исследовать процесс:
Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. Для надежности 96% (если то ) необходимо иметь возможность оплатить случаи до 117-го включительно. Отметим, что 117-ый случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 116,6 до ближайшего целого большего числа. Надо обеспечить возможность выплаты страховой суммы по 117 случаям. Действительная вероятность разорения при этом составит:
Надежность несколько выше, чем требует Страхнадзор.
Если на рынке установилась средняя относительная рисковая надбавка 10%, то произвольно повысит её до 16,6% (или до 17%) страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) - создавать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.
Рассмотрим первую возможность. Итак, страховщику не достает средств для выплаты 7 страховых случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 7 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен а не
Анализируем вторую возможность. Предположим, что на перестрахование передаются случаи от 111-го до 117-го включительно. Это означает, что если число случаев превысит 117, то перестраховщик оплачивает указанные случаи, а все следующие возмещает цедент. Поэтому будем использовать локальную теорему Лапласа (так как размер выплат фиксирован) и найдем вероятности:
Например,
Так получены вероятности: 0,0021; 0,0019; 0,0016; 0,0014; 0,0012; 0,0010; 0,0008. Вероятность придется искать по интегральной теореме Лапласа:
Тогда математическое ожидание выплат перестраховщика равно:
Это и есть рисковая премия в перестраховочном договоре.
Если известна относительная надбавка у перестраховщика, то можно найти нетто-премию в этом договоре. Например, тогда: (Около 2/3 одной страховой суммы.) Следовательно, цедент имеет альтернативу: либо держать резерв в 7 страховых сумм, либо безвозвратно заплатить перестраховщику 2/3 одной страховой суммы. Если цедент может инвестировать свои временно свободные средства под процент, больший, чем 0,654/7,0=9,4%, то перестрахование может быть оплачено за счет прибыли.
Если у страховщика своих средств для резерва нет (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.
При страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений: , а второй - все остальное: . Наконец, при риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика. (Страховщик считает, что в его портфеле не может произойти более 117 случаев. Поэтому он не принимает мер на случай этой ситуации. Он не создает резерв и не вносит в перестраховочный договор условие выплаты перестраховщиком возмещения в 118-м страховом случае. Если произойдет 118-й страховой случай, перестраховщик оплатит лишь 7 случаев, возникает техническое разорение цедента).
Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов. (В принципе, страховщик всегда использует деньги клиентов для решения возникающих проблем. Здесь имеется в виду собранная в этом году единовременная суммарная нетто-премия).
Он собрал взносов на сумму: , а средние ожидаемые выплаты составляют , поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.
Весь риск X можно разбить на три части: Y - риск страховщика, Z - риск перестраховщика, W - необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W , тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W). При расчете дисперсий следует учесть ковариацию. Для анализа дисперсии (и процесса в целом) надо выбрать аппроксимацию. Поскольку , то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.
Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных изменением закона распределения. Например, потерей «хвостов» нормального распределения, невозможностью принять отрицательные значения, погрешностями при замене дискретного распределения непрерывными, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. (Кстати, если ущерб фиксирован, т.е. общий ущерб в портфеле кратен числу страховых случаев, то локальная теорема предпочтительнее!). Наконец, есть и вычислительные погрешности.
Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее (!).
Итак, надо найти M(X), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W)).
Для нормального закона распределения плотность
выполняется условие:
тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0,n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем
Для дальнейшего нам понадобится при разных ,
Обозначим этот интеграл через
Итак, установлено, что
(но);
Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением:
тогда: следовательно:
Итак, необходимо только вычислить и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.
. на практике:
и при большом портфеле
поэтому
т.е. т.е
.
Итак, риск страховщика после перестрахования составил:
.
здесь
следовательно,
страховой компания договор ущерб
На практике необходимо указать, кто возмещает 110-й случай, поэтому
Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим . Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен Это из-за отказа от 100%-й надежности. Разность 4,06 должна составить необеспеченный риск.
.
т.е.
Подведем итоги: Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до возмещений (7370). А за перестрахование придется заплатить всего е.с.с. (391 условных единиц), что вполне приемлемо! Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).
2.4Вероятность разорения страховой компании
С актуарных позиций разорение означает падение активов до нуля. Необходимо минимизировать вероятность разорения, а если это не получается, то не допустить выход этой вероятности выше некоторого критического уровня:
при некотором , - вероятность окончательного разорения при некотором начальном резерве и (т.е. в момент t резерв стал отрицательным!).
Чтобы задача была корректной, необходимо предположить, что разорение происходит до некоторого фиксированного (конечного) момента (иначе при бесконечном t вероятность разорения равна 1 для любого ).
Логично считать, что при малом . Если на произошли неблагоприятные для страховщика события (выплаты превысили поступления), то вероятность разорения возросла. На практике контроль активов осуществляется не непрерывно, а в дискретные моменты времени (например, раз в квартал). В первом приближении будем игнорировать эти детали.
При большом N используется подход, основанный на технике построения доверительных интервалов для нормально распределенной случайной величины X. Собранная со всего портфеля нетто-премия плюс резерв и должны компенсировать превышение размера выплат X над ожидаемой (средней) величиной М на t среднего квадратического отклонения. Здесь t определяется из таблицы функции Лапласа. Если найденная по этим условиям вероятность выживания ниже требований Страхнадзора, то приходится прибегать к перестрахованию.
2.5Использование процедуры свертки в оценке общего ущерба
Для страховой компании интерес представляет не конкретный индивидуальный иск и связанная с ним выплата страхового пособия, а общая сумма выплат всем застрахованным. Если сумма меньше или равна, чем капитал компании , то компания успешно выполнит свои обязательства. Если же , то компания не сможет оплатить все иски; в этом случае мы говорим о разорении компании. Таким образом, вероятность разорения компании - это , т.е. дополнительная функция распределения суммарного риска. Соответственно, функция распределения суммарного иска - это вероятность неразорения. Расчет этих вероятностей представляет фундаментальный интерес для компании и служит основой для принятия важнейших решений.
Для расчета прежде всего отметим, что для случаев краткосрочного страхования жизни
(2.5.1)
и поэтому вероятность разорения компании равна
(2.5.2)
где - общее число застрахованных, а - индивидуальный иск от -го человека. Мы предположим, что в модели (2.5.1) число - неслучайно, а случайные величины - независимы (таким образом, мы исключаем катастрофические несчастные случаи, влекущие смерть сразу нескольких человек, застрахованных в компании). Поскольку суммарный иск представляет собой сумму независимых случайных величин, его распределение может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.
Прежде всего это использование сверток. Напомним, что если и - две неотрицательные случайные величины с функциями распределения и соответственно, то функция распределения их суммы может быть подсчитана по формуле:
(2.5.3)
Применяя формулу (2.5.3) несколько раз, мы можем подсчитать функцию распределения суммы любого числа слагаемых.
Если случайные величины и - непрерывны, то обычно работают с плотностями , . Плотность суммы может быть подсчитана по формуле
Если случайные величины и - целочисленные, то вместо функций распределения обычно работают с распределениями
Распределение суммы может быть определено по формуле
Последний случай представляет для нас наибольший интерес, т.к. при краткосрочном страховании жизни обычно появляются целочисленные величины.
Для подсчета свертки последовательностей и удобно образовать матрицу вида
Таблица 1 Матрица для подсчета свертки последовательностей
…………………
Таким образом элемент () этой матрицы равен произведению (для формирования этой матрицы удобно написать слева столбец из вероятностей , а сверху - строку из вероятностей , а затем умножить их поэлементно).
Суммируя по линиям , параллельно главной диагонали, мы получим
,
т.е. в точности .
Рассмотрим портфель из четырех одинаковых договоров, согласно которым возможна (условно) компенсация полного ущерба в 2 е.с.с. с вероятностью 0,1 или частичного ущерба в 1 е.с.с. с вероятностью 0,1. Найтем рисковую премию и нетто-премию в этом портфеле.
Каждая из случайных величин имеет распределение, задаваемое таблицей 2.
Таблица 2 Распределение
0120,80,10,1
С рисковой премией трудностей не возникает. Ожидаемый ущерб равен: Следовательно, страховщик соберет суммарную рисковую премию 1,2, что позволит ему за счет взносов клиентов выплатить возмещение только для одного страхового случая с частичным ущербом.
Для оценки устойчивости этого страховщика следует оценить распределение суммарного ущерба по всем четырем договорам.
Есть четыре независимые одинаково распределенные случайные величины. При анализе будем последовательно переходить от одной величины к двум, затем от двух - к трем, и т.д. Итак, для двух величин возможны девять различных вариантов:
Для подсчета распределения суммы X1+X2 образуем матрицу из 3-х строк и 3-х столбцов с элементами (таблица 3).
Таблица 3 Распределения суммы X1+X2
X1=0X1=1X1=2X2=00,640,080,08X2=10,080,010,01X2=20,080,010,01
Поэтому для имеем таблицу 4.
Таблица 4 Распределения для
012340,640,160,170,020,01
(поскольку , их сумма не превосходит 4).
Для подсчета образуем матрицу из трех строк и пяти столбцов с элементами (таблица 5).
Таблица 5 Матрица для подсчета
P(1+2)0,640,160,170,020,01P30,80,5120,1280,1360,0160,0080,10,0640,0160,0170,0020,0010,10,0640,0160,0170,0020,001
Поэтому для распределения X1+X2+ X3 имеем таблицу 6.
Таблица 6 Распределение X1+X2+ X3
01234560,5120,1920,2160,0490,0270,0030,001Наконец для подсчета образуем матрицу из 3 строк и 7 столбцов с элементами (таблица 7).
Таблица 7 Матрица для подсчета
0,40960,15360,17280,03920,02160,00240,00080,05120,01920,02160,00490,00270,00030,00010,05120,01920,02160,00490,00270,00030,0001
Тогда распределение X1+X2+ X3+ X4 имеет вид (таблица 8):
Таблица 8 распределение X1+X2+ X3+ X4
0123456780,40960,20480,24320,08000,04810,01000,00380,00040,0001
Накопленная вероятность соответственно равна (таблица 9):
Таблица 9 Накопленная вероятность
0,40960,61440,85760,93760,98570,99570,99950,99991,000
Отсюда видно, что при собранной суммарной рисковой премии, равной 1,2, вероятность неразорения составит всего 0,6144 (менее 62%), что допустимо мало. Следовательно, необходимо включить в премию еще и рисковую надбавку. Если страховщик соберет суммарные взносы в размере 3 е.с.с., то он обеспечит вероятность неразорения около 94%, что вполне приемлемо. Отметим, что если страховщик будет ориентироваться на вероятность и захочет обеспечить вероятность неразорения не ниже 90%, то ему потребуется собрать те же 3 е.с.с. Этот результат означает, что премия должна составлять не 0,3 е.с.с., а 3/4, т.е. 0,75 е.с.с., что недопустимо много. Клиент не согласится столько платить. (Нет смысла страховаться!)
Если клиент согласен платить не 0,3, а 0,5, то собранные премии позволяют обеспечить надежность более 85%, что уже близко к норме. Здесь рисковая надбавка составляет 2/3 от рисковой премии (Многовато!) Это следствие малого портфеля и довольно высокой вероятности.
Таблица 10 Распределение и функция распределения случайной величины
00,40960,409610,20480,614420,24320,857630,08000,937640,04810,985750,01000,995760,00380,999570,00040,999980,00011,0000
Подсчет распределения суммы с помощью сверток - крайне кропотливое утомительное занятие, если делать это вручную. Однако, при использовании компьютеров никаких проблем не возникает. Для ручных же расчетов удобнее использовать производящие функции.
Напомним, что производящей функцией неотрицательной случайной величины с распределением называется сумма ряда
Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение распределений этих величин. Это следует из разложения в ряд Тейлора:
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины с производящей функцией выражаются через производные этой производящей функции в точке 1:
Производящая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их производящих функций.
Итак, Тогда для суммы четырех СВ:
Отбирая коэффициенты при степенях , получаем искомые вероятности (те же самые, которые получили ранее!
Этот пример позволяет сделать поучительный вывод о величине премии. Допустим, что мы подсчитали нетто-премию в соответствии с принципом эквивалентности обязательств страховщика и страхователя как и приняли ее в качестве платы за страховую защиту. Тогда суммарная премия по рассматриваемому портфелю будет 1,2 и , значит, вероятность того, что для выплат не хватит этих средств («вероятность разорения») будет равна т.е. недопустима велика. Из таблицы 10 видно, что для того, чтобы вероятность разорения не превосходила 10%, мы должны иметь активы в 3 единицы, т.е. стоимость одного полиса должна быть 0,75. Конечно, это слишком большая плата - это связано со слишком малым объемом портфеля. Тем не менее, этот пример показывает, что реальная плата за страховку должна превосходить нетто-премию.
2.6Приближенные методы расчета вероятности разорения
Рассмотренные ранее методы составления закона распределения суммарного иска относятся к точным методам (они применимы при маленьком числе застрахованных компанией). При большом числе застрахованных используются приближенные методы расчета суммарного иска. Подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае применение ЭВМ может привести к проблемам, связанным с малостью вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с тем, что при росте вероятность часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы определенным образом менялось вместе с ), который можно принять в качестве приближенного значения искомой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и удовлетворяет практические потребности. Рассмотрим два вида приближений для вероятности разорения: приближение Пуассона и нормальное (или гауссовское) приближение.
.6.1 Приближение Пуассона
Приближение Пуассона основано на следующей простой теореме.
Предположим, что индивидуальные иски независимы и принимают только значения 0 и 1 с вероятностями
и
Допустим, что но имеет конечный положительный предел
Тогда
(2.6.1)
Набор чисел , стоящий в правой части соотношения (2.6.1) обладает свойствами:
.
.
и поэтому может рассматриваться как распределение некоторой случайной величины . Это распределение называется распределением Пуассона, а число называется параметром распределения Пуассона. Следующие свойства случайных величин, имеющих распределение Пуассона, важны для приложений
.
. Если - независимы и распределены по закону Пуассона с параметрами и соответственно, то их сумма имеет распределение Пуассона с параметром .
Как распределение Пуассона, так и различные его характеристики табулированы. Для приложений к страхованию особенно важны квантили. Напомним, что квантиль уровня - это наименьшее число такое, что
Рассмотрим теперь простейший случай краткосрочного страхования жизни когда компания выплачивает сумму в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца года. Предположим, что на этих условиях застраховано 3000 человек в возрасте лет. Используя иллюстративную таблицу из ПРИЛОЖЕНИЯ В, для вероятности иска имеем значение Поскольку мы можем приблизить распределение суммарного иска аналогичной вероятностью для распределения Пуассона с параметром 9.
Для того, чтобы вероятность разорения компании не превосходила 5%, мы должны иметь капитал Это означает, что плата за страховку для каждого застрахованного должна быть (от величины страхового пособия). Если страховое пособие руб., то реальная плата за страховку составляет руб. Нетто-премия равна руб.
Разница между премией и нетто-премией называется страховой надбавкой, а называется относительной страховой надбавкой и обозначается .
В нашем примере страховая надбавка равна 417 руб., а относительная страховая надбавка Страховая надбавка обеспечивает защиту компании от разорения по причине случайных флуктуаций индивидуальных исков вокруг их среднего значения .
Общая формула для платы за страховку таким образом имеет вид:
а для данного примера с использованием Пуассоновского приближения имеем следующую формулу:
(2.6.2)
Способ подсчета премий на использовании пуассоновского приближения для вероятности разорения, не очень удобен, т.к в формуле (2.6.2) не фигурирует в явном виде нетто-премия .
Приближение Пуассона может применяться и к более общим случаям. Например, если индивидуальный иск может принимать несколько дискретных значений, то величина суммарного иска может быть описана с помощью полиномиального распределения, которое, в свою очередь, можно аппроксимировать многомерным распределением Пуассона. Если портфель компании состоит из неоднородных договоров (с точки зрения вероятности иска), то их можно группировать в однородные группы, приближать суммарный иск в каждой группе пуассоновской случайной величиной и, применяя теорему о сумме независимых пуассоновских величин, приближать суммарный иск новой пуассоновской величиной. Тем не менее, пуассоновское приближение может применяться только к сравнительно узкому классу задач. Гораздо более общим является гауссовкое приближение, к рассмотрению которого мы сейчас переходим.
2.6.2 Приближение Гаусса
Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит следующим образом:
Если случайные величины независимы и одинаково распределены со средним и дисперсией , то при функция распределения центрированной и нормированной суммы
имеет предел равный
Поэтому если число слагаемых велико, то можно написать приближенное равенство:
или то же самое,
(2.6.3)
Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на случаи, когда слагаемые имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Мы ограничимся утверждением, что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы имело бы порядок нескольких десятков), а слагаемые не очень малы, то применимо гауссовское приближение для
Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения.
Функция при росте от до возрастает от 0 до 1 и непрерывна. Поэтому она может рассматриваться как функция распределения некоторой случайной величины . Это распределение называется гауссовским, или нормальным. Существуют подробные таблицы, как для функции распределения , так и для плотности
Полезно иметь таблицу квантилей , отвечающих достаточно малой вероятности разорения . Например, в таблице 11 указаны квантили , соответствующие вероятностям разорения 1-5%.
Таблица 11 Квантили
1%2%3%4%5%2,332,051,881,751,645
В качестве иллюстрации применим гауссовское приближение для расчета величины премии, обеспечивающей вероятность разорения порядка 5%, в примере, рассмотренном в конце предыдущего пункта (в компании застраховано 3000 человек с вероятностью смерти в течение года ; страховая сумма руб. принята за единицу).
Прежде всего мы должны подсчитать среднее значение и дисперсию суммарного иска. Применяя формулы и мы получим:
Поэтому
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина должна быть равной , т.е. . Соответственно, плата за одну страховку должна быть (от величины страхового пособия), т.е. в абсолютных величинах около 1161 руб. Сравнивая эту сумму с суммой, полученной с помощью пуассоновского приближения (1167 руб.), мы видим, что различие совершенно незначительно (около 0,5%).
Однако Гауссовское приближение удобно тем, что позволяет получить для премии аналитическую формулу, в которую явно входит нетто-премия. Например, если в компании застраховано человек и для каждого из них имеет одно и то же среднее (которое мы принимаем в качестве нетто-премии ) и дисперсию , то вероятность неразорения дается формулой
Если мы хотим, чтобы вероятность неразорения компании была бы , то
должно равняться квантилю , т.е.
(2.6.4)
Соответственно, относительная страховая надбака есть:
(2.6.5)
Формула (2.6.5) показывает, что дополнительная защитная надбавка достаточно мала, если в компании застраховано много людей (конечно при условии, что флуктуации индивидуальных исков, описываемые дисперсией , не очень велики).
Суммарный доход компании от всей совокупности заключенных договоров есть . Если эта величина отрицательна, то на самом деле мы имеем убыток в размере . Средний доход равен
.
2.7Аппроксимация биномиального распределения нормальным законом и распределением Пуассона
Из теории вероятностей известно, что при большом числе испытаний биномиальное распределение можно аппроксимировать:
·либо нормальным законом, если вероятность не очень мала ();
·либо законом Пуассона для редких событий ().
Естественно, одновременно использовать обе аппроксимации нельзя, кроме того, не вполне ясно, как быть, если .
Феллер утверждает, что при достаточно большой интенсивности потока Пуассона () это распределение можно успешно аппроксимировать нормальным законом. Проверим, как работает подобный прием для меньших значений интенсивности.
Рассмотрим пример: тогда .
Например,
(уже заведомо известные)
Воспользуемся формулой: и получим результаты:
; ;
; .
Сравнение результатов показывает хорошее совпадение только вблизи «практической достоверности», а по мере удаления надежности от этого значения погрешность растет. На практике задача решается в обратном направлении, т.е. задается надежность и по ней определяется, сколько страховых случаев надо обеспечить. На основании этого рассчитываются надбавка и резерв, а также обосновывается выбор перестраховочной программы. Поэтому необходимо соблюдать осторожность при подобной процедуре. Проиллюстрируем это.
При рассмотрении поведения страховщика на рынке применялась нормальная аппроксимация биномиального распределения, так как вероятность наступления страхового случая Однако, часто значение значительно ближе к 0, например, 0,01, тогда нормальная аппроксимация некорректна, необходима аппроксимация пуассоновским законом. Соответственно, изменится методика исследования. Рассмотрим пример.
Пусть При наступлении страхового случая страховая сумма выплачивается полностью. Проанализировать ситуацию.
Решение. Тогда
Итак рисковая премия (РП) равна 20, а параметр потока Пуассона равен 4. Собранная со всего портфеля рисковая премия:
обеспечивает выплату возмещений, если число страховых случаев не превышает четырех ( т.е. ). Рассчитаем вероятность выполнения страховщиком своих обязательств в этой ситуации. Эти вероятности либо рассчитываются непосредственно, либо берутся из таблицы Пуассона.
а их сумма равна 0,6289 (около 63%).
Очевидно, это не может устроить ни самого страховщика, ни Страхнадзор. Страховщик может повысить надежность с помощью следующих четырех основных рычагов: рисковой надбавки (РН), резерва (Р), перестрахования (П) и прибыли от инвестирования временно свободных средств (И). Последнее позволяет ему опираться на более высокую процентную ставку и за счет этого либо снизить тариф, либо сначала увеличить резерв, с помощью него повысить свою надежность, и уже в результате этого снизить свой тариф. Однако в данном примере мы не будем рассматривать такую возможность, т.е. ограничимся только первыми тремя рычагами.
Итак, предположим, что страховщик назначил относительную надбавку 25%, тогда его нетто-премия (НП) составит: Со всего портфеля он соберет: что позволит ему выплатить пять возмещений (). Следовательно, надежность страховщика повысилась на это значение и достигла 0,7852 (около 78,5%). Полученный результат еще нельзя считать удовлетворительным, поэтому страховщик хочет еще повысит свою надежность. Прежде всего он анализирует возможность сделать это за счет рисковой надбавки. Если он сможет назначить (и получить со своих страхователей!) относительную надбавку в 50%, то соберет со всего портфеля 12 000, что обеспечит ему надежность:
,7852+0,1042=0,8894 (около 89%).
Но надо считаться с реальностью. С одной стороны, страхователи не согласятся столько платить, поэтому они уйдут к другому страховщику, у которого более низкие тарифы. (Например, это может быть более крупная компания.) С другой стороны, Страхнадзор не удовлетворен столь низкой надежностью, он требует ее повысить, как минимум, до 94%.
Следовательно, надо накапливать сумму пуассоновских вероятностей до тех пор, пока это (заданное Страхнадзором) значение не будет впервые превышено. Очередное значение: 0,0595 позволяет повысить надежность до 0,8894+0,0595=0,9489. Это означает, что страховщик должен обеспечить выплату семи возмещений. Поэтому ему необходим резерв для оплаты двух возмещений, т.е. 4000 усл.ед.
Если же Страхнадзор потребовал обеспечить надежность 0,99, то процесс накопления вероятностей продолжается.
Следующие значения вероятностей: 0,0298 и 0,0132 вместе позволяют повысить надежность еще на 0,0430, т.е. достичь надежности 0,9919. Только теперь требуемый Страхнадзором уровень впервые превзойден, поэтому страховщик должен опираться именно на данную ситуацию.
Итак, страховщик должен обеспечить выполнение своих обязательств, если Из этого он может за счет взносов (НП) выплатить лишь 5 первых возмещений. Предположим, что он может иметь резерв 4000, которого достаточно для выплаты еще двух возмещений (). Здесь следует выразить сомнение, что страховщик (такая сравнительно небольшая компания) может позволить себе иметь резерв, почти равный собираемой суммарной НП. Временно абстрагируемся от этого сомнения, тогда оставшиеся страховые случаи () необходимо передать на перестрахование.
Следовательно, надо найти цену этого перестраховочного договора. Различное число страховых случаев - это несовместные события, поэтому:
Это рисковая премия за данный перестраховочный договор. Нетто-премия в этом договоре, учитывающая рисковую надбавку перестраховщика (она всегда выше, чем у цедента!), например, 40%, составит:
соответствующая брутто-премия (при нагрузке у перестраховщика: 10% от его тарифа) составит: 187,36/0.9=174,8.
Это и есть цена данного перестраховочного договора.
Если предположить, что страховщик может позволить себе отвлечь в резерв еще 200 усл.ед. (для оплаты восьмого страхового случая), то на перестрахование передается лишь девятый случай. Тогда рисковая премия в таком договоре составит:
Соответственно, нетто-премия: брутто-премия:
Следовательно, страховщику надо решить, что для него предпочтительнее: отвлечь дополнительно в резерв 2000, или безвозвратно потерять: 174,8-41,1=133,7 (около 7% от 2000). Очевидно, его решение будет зависеть от процента, под который можно инвестировать эти 2000 усл.ед.
Теперь рассмотрим более крупную компанию (), работающую с теми же рисками ().
Решение. Тогда , что позволяет использовать нормальную аппроксимацию распределения Пуассона:
Для сравнения используем те же значения вероятностей :
,78; 0,89; 0,94; 0,99.
Получим соответствующие значения 1,23; 1,55; 1,88; 2,58.
Найдем (с округлением в большую сторону): 31; 33; 34; 38.
Собранной суммарной нетто-премии: достаточно для выплаты возмещений по первым 31 случаю (и еще останется 500). Поэтому, если ориентироваться только на резерв, то потребуется соответственно: 3500; 5500; 13 500. Наверное, компания может позволить себе иметь резерв 5500 (8% от собираемой нетто-премии - хорошее соотношение). Возможно, она даже в состоянии обойтись своими средствами, не прибегая к перестрахованию (ведь 13500 составляют всего 21% от собираемой нетто-премии, что вполне приемлемо). Однако эти собственные средства компания могла иметь после некоторого периода успешной работы на страховом рынке (например, за счет неиспользованной собранной заранее суммарной рисковой надбавки).
3. Разработка программного модуля определения характеристик субпортфелей
3.1Задача двух субпортфелей
Рассмотрим следующую задачу. Есть два субпортфеля с параметрами:
1)Оценить степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле;
2)Найдите одинаковую относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения не ниже 95%;
)Найти нетто-премию.
Решение:
. Сначала найдем среднее значение, дисперсию и средне квадратичное отклонение для каждого отдельного субпортфеля:
Используя формулу , найдем степень риска для отдельных субпортфелей:
- степень риска для первого субпортфеля;
- степень риска для второго субпортфеля;
Для всего портфеля:
. По формуле найдем относительную надбавку, где .
Относительная надбавка слишком велика.
. Нетто-премию найдем по формуле .
Здесь под НП обозначили нетто-премию, а под РП - рисковую премию (это и есть М(x)).
- нетто-премия.
.2 Задача трех субпортфелей
Рассмотрим еще одну подобную задачу для трех субпортфелей. Есть два субпортфеля с параметрами:
4)Оценить степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле;
5)Найдите одинаковую относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения не ниже 95%;
)Найти нетто-премию.
Решение:
. Сначала найдем среднее значение, дисперсию и средне квадратичное отклонение для каждого отдельного субпортфеля:
;
.
Используя формулу , найдем степень риска для отдельных субпортфелей:
- степень риска для первого субпортфеля;
- степень риска для второго субпортфеля;
- степень риска для третьего субпортфеля;
Для всего портфеля:
. По формуле найдем относительную надбавку, где .
Относительная надбавка слишком велика.
. Нетто-премию найдем по формуле .
Здесь под НП обозначили нетто-премию, а под РП - рисковую премию (это и есть М(x)).
- нетто-премия.
3.3Общие сведения о программе
Языком программирования данной программы является язык объектно-ориентированного программирования Delphi.
Средства автоматизации разработки:
·набор компонентов, позволяющих конструировать собственные оболочки;
·средства компилирования компонентов в виде языка высокого уровня;
·развитый графический интерфейс с пользователем.
Оболочка программы ориентирована на работу с пользователем-непрофессионалом в области программирования. Основным свойством программы является то, что она содержит все компоненты системы в готовом виде и их использование не предполагает программирования, а сводится лишь к организации ввода и вывода данных.
3.4Функциональное назначение программы
Данная программа предназначена для актуарного расчета важных характеристик работы страховой компании при некоторых известных данных (количество договоров, страховая сумма, вероятность предъявления требований об оплате и т.д.)
С помощью полученных данных можно определить степень риска, вероятность разорения, нетто-премию и другие важные характеристики для страховщика.
3.5Анализ входных и выходных данных
Входные данные - это информация, передаваемая системе. Такая информация может стать причиной изменений в постоянных данных, но не является частью базы данных как таковой. То есть входными данными называются данные, вводимые пользователем в программу. А отображаемые результаты после действия программы называются выходными данными
В работе программы используются следующие входные данные:
-число договоров субпортфелей
-страховая сумма
-вероятность предъявления требований
Выходные данные в разработанной программе - все показатели, полученные из исходных данных, путем вычислений.
3.6Анализ результатов
Ниже мы можем сравнить результаты вычислений характеристик субпортфелей, полученные с помощью программы и аналитически. Результаты, полученные с использованием программного модуля, полностью совпадают с аналитическими расчетами. Результаты программы мы можем увидеть в ПРИЛОЖЕНИЯХ А и В. На форме сверху расположены величины, которые нужно задать (количество договоров, вероятность, страховая сумма) для субпортфелей, а снизу приводятся вычисления актуарных расчетов. Справа на форме приведен фрагмент таблицы значений функции Лапласса. В первом столбце приведено значение , а во втором - значение .
Рассмотрим вычисления для двух субпортфелей. Под пунктом 1) Оценивается степень риска в каждом субпортфеле и во всем портфеле; результат вычислений: для первого субпортфеля - 99,95% , для второго субпортфеля - 70,69%, для всего портфеля - 67,86%. Под пунктом 2) вычисляется относительная надбавка; результат вычислений - 112%. Под пунктом 3) вычисляется нетто-премия; результат вычислений -33,915. Сравнивая с результатами, приведенными выше (вычисления с помощью формул), мы видим, что они совпадают.
Заключение
В дипломной работе проанализированы модели краткосрочного страхования жизни, рассмотрены индивидуальные убытки страхователя и страховщика, рассмотрены методы точного расчета характеристик суммарного ущерба страховой компании и приближенного расчета вероятности разорения, показана актуальность использования различных методов при решении актуарных задач.
Исследуемая нами проблема анализа риска субпортфелей на страховом рынке стоит на стыке теории вероятностей, актуарной математики и финансовой математики. Слияние методов из различных теорий привело к созданию новой ветви науки, называемой страховой математикой.
При разработке теоретических положений дипломной работы использованы методы системного анализа, математические модели, составленные на основе экономических законов.
Особое внимание в этой работе было уделено расчету рисковой премии, обеспечивающей эквивалентность обязательств сторон: страховщика и страхователя. Кроме этого, рассмотрена надбавка на безопасность, призванная компенсировать отклонения от общего ущерба и тем самым обеспечить безубыточность страхования. Проиллюстрирована возможность повышения вероятности выживания страховщика с помощью резерва и перестрахования.
В работе на конкретных примерах показан расчет актуарных характеристик субпортфелей, состоящих от одного до пяти различных видов договоров страхования жизни. Создана программа на языке программирования Delphi для расчета основных характеристик субпортфелей. Результаты, полученные аналитическими вычислениями, совпадают с результатами реализации программы. Применение таких программ ведет к рациональному использованию времени работы страховых компаний и ускоряет принятие рациональных решений.
Таким образом, поставленные нами задачи в ходе работы достигнуты.
Список литературы
1. Архипов А.П., Гомеля В.Б., Туленты Д.С. Страхование. Современный курс: Учебник / Под ред. Е.В.Коломина.-М.: Финансы и статистика, 2006. - 416 с.
. Касимов Ю.Ф. Введение в актуарную математику (страхования жизни и пенсионных схем). - М.: Анкил, 2001. - 296с.
. Лундберг Ф.М. Теория рисков. М.: РЮИД, 2004. - 326с.
. Крамер Х.К. Управление рисками в страховании. - М.: Анкил, 1995.-240 с.
. Бельманн Х.М. Теория и управление рисками в страховании. М.: Финансы и статистика, 2002. - 320с.
. Калашников В.В. Классический процесс риска. -М,: Финстатинформ, 2006. - 150с.
. Венинг В.Е. Основы теории риска. - М.: Дело, 2005. -400с
. Королев В.Ю. Методы точечных и интервальных оценок вероятности разорения для классического процесса риска. -М.: НТК «Трек», 1994. - 222с.
. Шалунова Л.В. Математические модели вероятности разорения страховых компаний. Дипломная работа. 2007. -60с.
. Корнилов И.А. Актуарные расчеты в практике страхования. - М.: МЭСИ, 1998. -356с.
. Корнилов И.А. Основы страховой математики. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 400с.
. Корнилов И.А. Распределение ресурсов и управление запасами в страховании. -М.: МЭСИ, 2000.-280с.
. Королькевич В.А. Страхование. -М.: НТК «Трек», 1994. - 386с.
. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математики. Методы расчета кредитных, инвестиционных, пенсионных и страховых схем. - М.: Дело, 2005. -482с.
. Орланюк-Малицкая Л.А. Платежеспособность страховой организации. - М.: Анкил, 2003. - 394с.
. Рябикин В.И. Актуарные расчеты. -М,: Финстатинформ, 2006. - 176с.
. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. - М.: Наука, 1997.-522с.
. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: РЮИД, 2004. -326с.
. Хохлов Н.В. Управление рисками. - М.: ЮНИТИ, 2001. - 268с.
. Хэмптон Д.Д. Финансовое управление в страховых компаниях. - М.: Анкил,1995.-426с.
. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - М.: Дело Лтд, 1995.-518с.
. Шахов В.В., Медведев В.Г. Миллерман А.С. Теория и управление рисками в страховании. М.: Финансы и статистика, 2002. - 490с.
. Фалин Г.И., Фалин А.И. Актуарная математика в задачах. -М.: ФИЗМАЛИТ,2003. - 192с.
Приложение А
Модуль расчета характеристик двух субпортфелей
Рис. 1 Модуль расчета характеристик двух субпортфелей
Приложение Б
Модуль расчета характеристик трех субпортфелей
Рис. 2 модуль расчета характеристик трех субпортфелей
Приложение В
Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни
Таблица 11 Фрагмент общей таблицы продолжительности жизни
350.0025409526024246.05360.0026739501825445.16370.0028289476426844.28380.0029849449628243.41390.0031429421429642.54400.0033229391831241.67410.0035159360632940.81420.0037099327734639.95430.0039289293136539.09440.0041599256638538.25450.0044049218140637.40460.0046649177542836.57470.0049379134745135.74480.0052379089647634.91490.0055529042050234.09500.0058838991852933.28510.0062428938955832.47520.0066318883158931.68530.0070378824262130.88540.0074758762165530.10550.0079348696669029.32
Приложение Г
Основные модули
Основные процедуры программного модуля расчета характеристик субпортфелей
procedure TPortfely.BitBtn1Click(Sender: TObject);N,N1,N2,N3,N4,N5,s1,s2,s3,s4,s5,i,s: integer;,p2,p3,p4,p5:real;,Mx2,Mx3,Mx4,Mx5,Mx,M,D,Dx1,Dx2,Dx3,Dx4,Dx5,K1,K2,K3,K4,K5,K: real;,E,Ft,t,Q,w,R:real;
//Степень риска К1(Main.send=1) or (Main.send=2) or (Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then:=StrToInt(Edit1.Text);:=StrToInt(edit2.Text);:=StrToFloat(Edit3.Text);:=N1*p1*s1;:=N1*p1*(1-p1)*sqr(s1);:=(sqrt(Dx1))/Mx1;.Caption:='K1='+FloatToStr(K1*100); //степень риска для портфеля A;
//степень риска К2(Main.send=2) or (Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then:=StrToInt(Edit4.Text);:=StrToInt(Edit5.Text);:=StrToFloat(Edit6.Text);:=N2*s2*p2;:=N2*p2*(1-p2)*sqr(s2);:=(sqrt(Dx2))/Mx2;.Caption:='K2='+FloatToStr(K2*100);;
//степень риска К3(Main.send=3) or (Main.send=4) or (Main.send=5) then:=StrToInt(Edit7.Text);:=StrToInt(Edit8.Text);:=StrToFloat(Edit9.Text);:=N3*p3*s3;:=N3*p3*(1-p3)*sqr(s3);:=(sqrt(Dx3))/Mx3;.Caption:='K3='+FloatToStr(K3*100);;
//степень риска К4(Main.send=4) or (Main.send=5) then:=StrToInt(Edit10.Text);:=StrToInt(Edit11.Text);:=StrToFloat(Edit12.Text);:=N4*p4*s4;:=N4*p4*(1-p4)*sqr(s4);:=(sqrt(Dx4))/Mx4;.Caption:='K4='+FloatToStr(K4*100);;
//степень риска К5(Main.send=5) then:=StrToInt(Edit13.Text);:=StrToInt(Edit14.Text);:=StrToFloat(Edit15.Text);:=N5*p5*s5;:=N5*p5*(1-p5)*sqr(s5);:=(sqrt(Dx5))/Mx5;.Caption:='K5='+FloatToStr(K5*100);
end;
//Общая степень риска и другие вычисления в зависимости от количества портфелей
if Main.send=1 then:=Mx1;:=Dx1;:=N1;;Main.send=2 then:=Mx1+Mx2;:=Dx1+Dx2;:=N1+N2;:=(sqrt(D))/M;.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);;Main.send=3 then:=Mx1+Mx2+Mx3;:=Dx1+Dx2+Dx3;:=N1+N2+N3;:=(sqrt(D))/M;.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);;Main.send=4 then:=Mx1+Mx2+Mx3+Mx4;:=Dx1+Dx2+Dx3+Dx4;:=N1+N2+N3+N4;:=(sqrt(D))/M;.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);;Main.send=5 then
M:=Mx1+Mx2+Mx3+Mx4+Mx5; //Мх общее:=Dx1+Dx2+Dx3+Dx4+Dx5; //Dx общее
N:=N1+N2+N3+N4+N5;:=(sqrt(D))/M;.Caption:='K='+FloatToStr(K*100);;
//Вероятность разорения:=strtoint(Edit16.Text);:=1-(E/100);.Caption:=FloatToStr(E1*100)+' %';
//Находим функцию ф(t):=1-2*E1;
Label24.Caption:='Ft='+FloatToStr(Ft);
//Фильтруем таблицу от лишних значенийEdit16.Text='' then Portfely.Table1.Filtered:=False.Table1.Filtered:=true;.Table1.Filter:='Ft>'+#39+FloatToStr(Ft)+#39;:=Portfely.Table1T.asFloat;.Caption:='t='+FloatToStr(t);//выводим значение для проверки end;:=t*sqrt(D); //d:=w/M; //Относительная надбавка
Label22.Caption:='Q='+FloatToStr(Q);
//Нетто-премия
R:=M*(1+Q);
Label23.Caption:='П='+FloatToStr(R);;.
Больше работ по теме:
Диплом
Рынок ценных бумаг и его роль в экономике Республики Беларусь
Диплом
Обеспечение возвратности банковских кредитов
Диплом
Операции по привлечению ресурсов для деятельности Красноярского городского отделения № 161 "Сбербанка России"
Диплом
Підвищення ефективності праці (на прикладі ПАТ КБ "БрокбізнесБанк")
Диплом
Предмет: Банковское дело
Тип работы: Диплом
Новости образования
22 Июля 2016 16:26
Более 70 представителей крупных вузов АСЕАН подтвердили участие в форуме во Владивостоке
22 Июля 2016 12:51
Абызов: публикация первичных статсведений снизит бюрократическую нагрузку на школы
22 Июля 2016 11:53
В Чечне свыше 200 школьников сдали ЕГЭ с результатом свыше 90 баллов - министр
22 Июля 2016 05:36
Замглавы Минобрнауки РФ: задача сократить число людей с высшим образованием не стоит
21 Июля 2016 20:19
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ