Аналітичними умовами, що задають геометричне місце точок в певній системі координат, називають рівняння, нерівність або їх систему, які задовольняються координатами довільної точки, що даному ГМТ належить, і не задовольняються координатами жодної точки, яка йому не належить.

Скласти аналітичні умови задання геометричного місця точок означає пов'язати координати його біжучої (довільної) точки з відомими параметрами.

1.2.2 Основні задачі стосовно ГМТ

Розвязок задачі на пошук ГМТ повинен містити доказ того, що:

а) точки, що володіють необхідною властивістю, належать фігурі ?, що є відповіддю задачі;

б) всі точки фігури ? мають необхідну властивість.

ГМТ, що володіють двома властивостями, є перетином (тобто загальною частиною) двох фігур: ГМТ, що володіють першою властивістю, і ГМТ, що володіють другою властивістю.

Приклади геометричних місць точок на площині.

Приклад 1. Серединний перпендикуляр будь-якого відрізка є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від кінців цього відрізка.

Тоді, відстані від будь-якої точки P, що лежить на серединному перпендикулярі PO, до кінців A і B відрізка AB однакові і рівні d . Таким чином, кожна точка серединного перпендикуляра відрізка володіє наступною властивістю: вона рівновіддалена від кінців відрізка.

Приклад 2. Бісектриса кута є геометричне місце точок, рівновіддалених від його сторін.

Приклад 3. Коло є геометричне місце точок (тобто множина всіх точок), рівновіддалених від її центру.

2. ТРИКУТНИК В ПРЯМОКУТНІЙ ДЕКАРТОВІЙ СИСТЕМІ КООРДИНАТ

Історична довідка. виникнення та розвиток поняття трикутника

Трикутник по праву вважається простішою з фігур: будь-яка плоска, тобто така, що тягнеться в двох вимірюваннях, фігура повинна містити хоч би три точки, не лежачі на одній прямій. Якщо з'єднати ці точки попарно прямолінійними відрізками, то побудована фігура і буде трикутником. Так само називають і укладену усередині контуру, що утворився, частину площини. Таким чином, будь-який площинний багатокутник може бути розбитий на трикутники.

Трикутник завжди мав широке застосування в практичному житті. Так, в будівельному мистецтві споконвіку використовується властивість жорсткості трикутника для зміцнення різних будов і їх деталей. Зображення трикутників і завдання на трикутники зустрічаються в папірусах, в старовинних індійських книгах і інших стародавніх документах. У стародавній Греції вчення про трикутник розвивалося в іонійській школі, заснованій в VII столітті до наший ери Фалесом, в школі Піфагора і інших; воно було потім повністю викладене в першій книзі "Почав" Евкліда. Серед "визначень", якими починається ця книга, є і наступні: "З трибічних фігур рівносторонній трикутник є фігура, що має три рівні сторони, рівнобедрений же - що має тільки дві рівні сторони, різносторонній - що має три нерівні сторони". Поняття про трикутник історично розвивалося, мабуть, так: спочатку розглядалися лише правильні, потім рівнобедрені і, нарешті, різносторонні трикутники. З розвитком науки про трикутники в побут учених (та й не тільки їх) увійшли характерні назви деяких точок і ліній трикутника, наприклад таке, як чевіана - відрізок, що з'єднує вершину трикутника з деякою точкою на протилежній стороні.

2.1 Рівняння прямої

Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку

Ах + Ву + С = 0(2.1)

причому постійні А і В не дорівнюють нулю одночасно, тобто А2 + В2 ¹ 0. Це рівняння першого порядку називають загальним рівнянням прямої.

Рівняння прямої може бути представлене в різному виді залежно від заданих початкових умов.

Якщо загальне рівняння прямій Ах + Ву + С = 0 привести до вигляду:

і позначити (при цьому B¹0), то отримане рівняння називається рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.

Тут k=tga - нахил цієї прямої до осі Oх (Рис 2.1.а) - кутовий коефіцієнт.

Часткові випадки розташування прямої (y=kx, x=a, y=b) показані, відповідно, на Рис.2.1.

y y y y

b x 1350 x x x

a б в г

Рис.2.1

Якщо в загальному рівнянні прямій Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, розділивши його на -С, одержимо:

або: , де

Геометричний зміст коефіцієнтів цього рівняння у тім, що коефіцієнт а є координатою точки перетину прямої з віссю Ох, а b - координатою точки перетину прямої з віссю Оу.

Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині.

Пряма, яка проходить через дві задані точки M1(x1;y1) та M2(x2;y2):

,

або, що те саме,

.

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) паралельно до заданої прямої y=ax+b :y1=a(x-x1)

Пряма, яка проходить через задану точку (x1;y1) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b :

Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0 розділити на число , що називається нормуючим множником, то одержимо:j + ysinj - p = 0 - нормальне рівняння прямої.

р - довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму, а ? - кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямком осі Ох.

2.2 Трикутник, заданий координатами своїх вершин

Означення: Трикутником називається геометрична фігура, яка утворена трьома заданими точками, що не лежать на одній прямій, які зєднані трьома прямолінійними відрізками.

Основні елементи трикутника:

Вершина трикутника - це спільна точка двох сторін трикутника. Трикутник має три вершини, які прийнято позначати будь-якими великими латинськими літерами. Як правило, використовують такі літери: А, В, С.

Сторона трикутника - це відрізок, який сполучає дві вершини трикутника.

Важливі відрізки трикутника:- медіана;- бісектриса;- висота;

Трикутник однозначно задається координатами своїх трьох вершин.

Види трикутників по довжинах сторін:

Різносторонній, якщо в трикутнику довжини сторін різні.

Рівнобедрений, якщо в трикутнику хоча б одна пара сторін має рівні довжини.

Рівносторонній, якщо всі три сторони рівні ( окремий випадок рівнобедреного).

a, b - бічні сторони

с - основа

Нерівність трикутника (необхідна умова існування трикутника):<AC+AB<AC+CB (більша сторона менше суми двох інших).<AB+BC

2.3 Трикутник, заданий рівняннями своїх сторін

Перетин прямих. Нехай a1x + b1y + c1 = 0 та a2x + b2y + c2 = 0 - рівняння двох прямих. Застосуємо правило Крамера для розвязку системи лінійних рівнянь. Позначимо:

d = , dx = , dy =

Якщо d = 0, то прямі паралельні. Якщо d = dx = 0, то прямі співпадають. Якщо d = 0 та dx ? 0, то прямі не співпадають.

При d ? 0 розвязком системи будуть x = dx / d, y = dy / d.

Тоді, використовуючи це правило, можна, знаючи рівняння сторін трикутника у вигляді, наприклад, рівнянь ax + by + c = 0, знайти точки їх перетину, які є вершинами трикутника і тим самим перейти до пепереднього способу задання.

2.4 Трикутник, заданий системою нерівностей

Нехай задана система нерівностей:x + b1y + c1 > 0x + b2y + c2 > 0x + b3y + c3 > 0

Як відомо, лінійна нерівність Aх+By +C ? 0 описує точки напівплощини, які лежать по одну сторону від прямої Aх+By +C = 0.
Сукупність заданих напівплощин у своєму перетині задає множину точок, які можуть належати трикутнику.
Будуємо прямі, рівняння яких отримуються внаслідок заміни в обмеженнях знаків нерівностей на знаки точних рівностей.

Знаходимо напівплощини, що визначаються заданими нерівностями.

У відповідну нерівність достатньо підставити координати будь-якої точки, наприклад початку координат, і перевірити виконання цієї нерівності. Якщо нерівність виконується, то шукана півплощина містить цю точку, в іншому випадку півплощина знаходиться по інший бік граничної прямої.

Отримуємо в результаті перетину півплощин трикутник.

Знаходимо вершини трикутника як перетин відповідних прямих.

Приклад.

Система нерівностей:? 0

x + y ? 3

x + y ? 0,5

задає трикутник АВС (Рис. 2.1).

(Рис. 2.1)

3. ДЕЯКІ ВАЖЛИВІ ТОЧКИ ТРИКУТНИКА

З історії досліджень чудових точок трикутника

В четвертій книзі "Початків" Евклід вирішує задачу: "Вписати круг в даний трикутник". З рішення витікає, що три бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці - центрі вписаного круга. З рішення іншої задачі Евкліда витікає, що перпендикуляри, відновлені до сторін трикутника в їх серединах, теж перетинаються в одній точці - центрі описаного круга. У "Початках" не мовиться про те, що і три висоти трикутника перетинаються в одній точці, що називається ортоцентром (грецьке слово "ортос" означає "прямий", "правильний"). Цей факт був, проте, відомий Архімеду, Паппу, Проклові. Четвертою особливою точкою трикутника є точка перетину медіан. Архімед довів, що вона є центром тяжіння (баріцентром) трикутника. Він прийшов до поняття центроїда, розглядаючи центр ваги однорідної трикутної пластинки

На вищеназвані чотири точки була обернена особлива увага, і починаючи з XVIII століття вони були названі "чудовими" або "особливими" точками трикутника. Дослідження властивостей трикутника, пов'язаних з цими і іншими точками, послужило початком для створення нової гілки елементарної математики - "геометрія трикутника" або "нової геометрії трикутника", одним з родоначальників якої став Леонард Ейлер. У 1765 році Ейлер довів, що в будь-якому трикутнику ортоцентр, баріцентр і центр описаного кола лежать на одній прямій, названій пізніше "прямою Ейлера". У двадцятих роках XIX століття французькі математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон та інші встановили незалежно один від одного наступну теорему: основи медіан, основи висот і середини відрізків висот, які сполучають ортоцентр з вершинами трикутника, лежать на одному і тому ж колі. Це коло називається "Колом дев'яти точок", або "колом Фейєрбаха", або "колом Ейлера". К.Фейербах встановив, що центр цього кола лежить на прямій Ейлера.

Великий внесок в розвиток геометрії трикутника внесли математики XIX - XX століть Лемуан, Брокар, Тебо та інші.

3.1 Центроїд

Означення: пряма, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаною.

Рис.3.1

Нехай дві із трьох медіан трикутника, наприклад BB¢ і CC¢ перетинаються в точці G, а L й M - середини відрізків GB й GC, те в силу теореми

Евкліда:

якщо пряма лінія проведена паралельно одній стороні трикутника, то вона розсіче інші сторони пропорційно.?B? і LM паралельні BC і по довжині рівні її половині. Тому B¢C¢LM-паралелограм. Оскільки діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл, те

¢G = GL=LB,¢G = GM=MC.

Таким чином, медіани BB' і CC' відтинають в G третину одна від іншої (тобто точка G, що лежить на одній з медіан на відстані двох третин від вершини, лежить також на другій медіані на такій же відстані від вершини, а отже й на третині медіані).

Ми довели теорему: три медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Означення: центроїд - це точка перетину медіан в трикутнику. Центроїд традиційно позначається латинською буквою М.

Той факт, що три медіани перетинаються в одній точці, був доведений ще Архімедом. Його властивості:

Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, вважаючи від вершини.

Центроїд лежить на відрізку, який сполучає ортоцентр і центр описаного кола і також ділить його відносно 2:1 (див. пряма Ейлера).

Якщо у вершини трикутника помістити рівні маси, то центр мас (баріцентр) отриманої системи співпадатиме з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також знаходиться в центроїді.

Якби трикутник був вирізаний з однорідного матеріалу, то він залишився би у рівновазі, будучи підвішеним у центроїді.

Рис.3.2

Розглянувши Рис.3.2, ми виявляємо що SGBA= SGA¢C, тому що ці трикутники мають однакові основи й ту саму висоту Тому позначимо ці площі однієї й тією же буквою x .

Аналогічно маємо: SGCB¢ =SGB¢A й SGAC¢ =SGC¢B ( позначимо ці площі через y й z ). Також маємо: SCC¢A=SCC¢B, тобто 2y+z = z+2y, отже y = x.

Аналогічно: SABA¢ = SAA¢C , отже y = x. Ми показали, що x = y = z, а це є

Теорема: трикутник ділиться своїми медіанами на 6 менших трикутників рівної площі.

3.2 Ортоцентр

Означення: ортоцентр (від грецьк. ????? - прямий) - це точка перетину висот трикутника. Традиційно позначається латинською буквою H. Залежно від виду трикутника ортоцентр може знаходиться усередині трикутника (у гострокутних), поза ним (у тупокутних) або співпадати з вершиною (у прямокутних - співпадає з вершиною при прямому куті). Не дивлячись на те, що перетин трьох висот трикутника в одній точці здавався очевидним, строгий доказ цього факту дав Карл Фрідріх Гаусс тільки в XVIII столітті.

Рис.3.3

Чевіани AD, BE, CF, (Рис. 3.3), перпендикулярні прямим BC, CA, AB, відповідно, називаються висотами трикутника ABC. Їхня загальна точка H - ортоцентр.

Самі точки D, E, F називаються основами висот. З'єднуючи їх попарно, ми одержимо трикутник DEF - ортотрикутник трикутника ABC.

Можна багато чого довідатися, досліджуючи Рис.3.4, на якому зображені гострокутний трикутник ABC, вписаний в коло, центр O, ортоцентр H й ортотрикутник DEF. Кілька кутів на Рис.3.4 позначимо символом ?, що має значення 900 - . Так як трикутник OA¢C подібний до трикутника IBC, зображеному на Рис.3.5

Рис.3.5

т0 ÐA¢OC =ÐА. Таким чином, величина кожного з кутів при підставі рівнобедреного трикутника OBC дорівнює 900 - ÐA. Із прямокутних трикутників ABE й ACF ми одержуємо ті ж значення для кутів EBA й ACF.

Рівність останніх двох кутів можна було б побачити з того факту, що чотирикутник BCEF є вписаним, тому що кути BEC й BFC - прямі. Аналогічно використовуючи чотирикутники BDHF й CEHD, ми знаходимо, що ÐHDF=ÐHBF=ÐEBF=ÐECF=ÐECH=ÐEDH. Таким чином, відрізок HD є бісектрисою кута EDF.

З тих же міркувань одержуємо, що відрізок HE ділить навпіл кут FED, а відрізок HF - кут DFE. Тому можна сформулювати цікавий результат: висоти в трикутнику є бісектрисами його ортотрикутника. Результат можна записати в наступному виді:

Теорема: ортоцентр гострокутного трикутника є центром кола вписаного в його ортотрикутник.

Ми вже відзначили на малюнку Рис.3.4, що ÐHDF=ÐDBO. А тому що відрізок HD перпендикулярний відрізку DB, то й відрізок FD повинен бути перпендикулярним відрізку OB.

Аналогічно показується перпендикулярність відрізків DE й OC, а також EF й OA.

Властивості ортоцентру:

Ортоцентр лежить на одній прямій з центроїдом, центром описаного кола і центром кола дев'яти точок (див. пряма Ейлера).

Точки, симетричні ортоцентру щодо його сторін, лежать на описаному колі.

Точки, симетричні ортоцентру щодо середин сторін, також лежать на описаному колі і співпадають з точками, діаметрально протилежними відповідним вершинам.

3.3 Серединний трикутник

Означення: трикутник, отриманий з'єднанням середин сторін даного трикутника, назвемо серединним трикутником (A¢B¢C¢).

Його площа в чотири рази менше площі даного трикутника.

Розглянемо дві медіани AA¢ і BB¢, що перетинаються в точці G, дві висоти трикутника ABC, що перетинаються в точці H, і дві висоти трикутника A¢B¢C¢ що перетинаються в точці О.

Сторони трикутника A¢B¢C¢ паралельні сторонам трикутника ABC, тому ці трикутники подібні. ½C¢B¢½= ½BC½, тому відношення довжин будь-яких двох відповідних відрізків (а не тільки відповідних сторін) буде дорівнює 1:2.

Відрізки B¢C¢,C¢A¢, A¢B¢ розбивають трикутник ABC на 4 конгруентних трикутники.

Точка P - середина відрізка B¢C¢ - також є й серединою відрізка AA¢.

Далі бачимо, що AC¢A¢B¢ - паралелограм, отже AA¢ ділить пополам відрізок B¢C¢. Тому медіани трикутника A¢B¢C¢ лежать на медіанах трикутника ABC, а це значить, що обидва трикутники мають той самий центроїд G.

Висоти трикутника A¢B¢C¢ є серединними перпендикулярами сторін AB й BC трикутника ABC. Отже точка O - ортоцентр трикутника A¢B¢C¢- є в той же час і центром кола, описаного навколо трикутника ABC.

Так як точка H - ортоцентр трикутника ABC, то точка O - ортоцентр подібного йому трикутника A¢B¢C¢, то ½AH½=2½OA¢½.

3.4 Пряма Ейлера

У геометрії трикутника пряма Ейлера може бути визначена як пряма, що проходить через центр описаного кола і ортоцентр трикутника. Пряма Ейлера також проходить через центроїд і центр кола дев'яти точок.

Теорема: ортоцентр, центроїд і центр описаного кола довільного трикутника лежать на одній прямій. Центроїд ділить відстань від ортоцентра до центра описаного кола у відношенні 2:1.

Означення: пряма на якій лежать ці три точки, називається прямою Ейлера цього трикутника.

Визначимо точку N (Рис.3.6), де пряма Ейлера HO перетинає пряму, що проходить через точку P перпендикулярно відрізку B¢C¢. Всі три прямі AH, PN, A¢O, перпендикулярні до відрізка B¢C¢, паралельні. Тому що ½AP½=½PA¢½,те пряма PN рівновіддалена від прямих AH й A¢O. Отже, точка N - середина відрізка HO.

Якщо ми проведемо ті ж міркування, але стосовно до якої-небудь іншої сторони цього трикутника, то відрізок HO залишиться тим же, і він буде ділитися навпіл серединним перпендикуляром до нової сторони. Тому що у відрізка HO тільки одна середина, то можна стверджувати, що серединні перпендикуляри всіх трьох сторін трикутника A¢B¢C¢ будуть проходити через точку N. Інакше кажучи, точка N повинна бути центром кола, описаного навколо трикутника A¢B¢C¢.

Висновок: центр кола, описаного навколо серединного трикутника, лежить у середині відрізка HO прямої Ейлера вихідного трикутника. Так як DA¢B¢C¢~DABC, то і радіус кола, описаного навколо серединного трикутника, дорівнює половині радіуса кола, описаного навколо початкового трикутника.

3.5 Бісектриса. Вписане коло. Описане коло

Ще одне важливе сімейство чевіан утворюють бісектриси внутрішніх кутів. На малюнку Рис.3.7 показана одна така бісектриса AL. Якщо застосувати теорему синусів для трикутника ABC з радіусом описаного кола R, то мають місце співвідношення

=2R

І для двох трикутників ABL й ALC (кути яких у точці L, будучи додатними, мають рівні синуси), ми одержимо

Þ

Тому що ми можемо одержати аналогічні результати для бісектрис внутрішніх кутів B й C, то ми у такий спосіб довели таку:

Теорему: кожна бісектриса внутрішнього кута в трикутнику ділить протилежну сторону на відрізки, довжини яких пропорційні довжинам прилягаючих сторін.

Будь-яка точка на прямій AL (Рис.3.7) рівновіддалена від прямих CA й AB. Аналогічно, будь-яка точка на бісектрисі внутрішнього кута B рівновіддалена від прямих AB й BC. Отже, точка I, у якій ці дві бісектриси перетинаються, перебуває на рівних відстанях r від всіх трьох сторін.

Теорема: бісектриси трьох внутрішніх кутів трикутника конкурентні.

Коло із центром у точці I і радіуса r (Рис.3.8) дотикається всіх трьох сторін і тому є вписаною окружністю.

Точка перетину внутрішніх бісектрис у трикутнику називається центром вписаного кола. Перпендикуляри, відновлені до середин трьох сторін трикутника, проходять через точку O, що є центром описаного кола. Це єдине коло, що проходить через вершини A, B, C (Рис.3.9).

На малюнку Рис.3.10 зображене вписане коло, що дотикається сторін BC, CA, AB у точках X, Y, Z. Тому що дві дотичні до кола, проведені із зовнішньої точки, рівні, то ми одержуємо, що ½AY½=½AZ½,½BZ½=½BX½, ½CX½=½CY½.

На малюнку Рис.3.10 довжини цих відрізків позначені буквами x, y, z, так, що y+z=a, z+x=b, x+y=c. Складаючи ці рівності використовуючи введене Ейлером позначення S для напівпериметра, одержимо 2x+2y+2z=a+b+c=2S, отже x+y+z=S, тобто справедлива

Теорема: x=S-a, y=S-b, z=S-c.

Так як трикутник IBC має основу a і висоту r, то його площа дорівнює SIBC= ar.

Додавши до нього аналогічні вирази для SICA й SIAB, ми одержимо: (a+b+c)r=Sr.

Отже, доведена

Теорема: SABC=Sr.

На малюнку Рис.3.11 зображений трикутник lalblc, сторони якого є бісектрисами зовнішніх кутів трикутника ABC. Будь-яка точка на бісектрисі lcla кута B рівновіддалена від прямих AB й BC. Аналогічно, будь-яка точка на прямій lalb рівновіддалена від прямих BC й CA. Отже, точка la, у якій ці бісектриси перетинаються, перебувають на однаковій відстані ra від всіх трьох сторін. Так як la рівновіддалена від сторін AB й AC, т0 вона повинна належати множині точок, рівновіддаленних від цих прямих, тобто вона повинна лежати на прямій Al - внутрішній бісектрисі кута A

Теорема: зовнішні бісектриси будь-яких двох кутів трикутника конкурентні із внутрішньою бісектрисою третього кута.

Коло із центром у точці la радіуса ra дотичне до всіх трьох сторін трикутника, є одним із трьох зовнівписаних кіл. Кожне з позавписаних кіл дотикається однієї зі сторін трикутника усередині, а дві інші сторони (продовжених) - зовні.

Позначивши точку дотику, ми можемо помітити, що, так як дві дотичні з однієї точки до кола мають однакові довжини, то ½BXb½=½BZb½.

½ BXb½+½ BZb½=½BC½+½CXb½+½Zb½+½AB½=½BC½+½CYb½+½YBa½+

½AB½=a+b+c=2s.

Отже дотична із точки B (будь-якої іншої вершини) до зовнівписанного кола, розташованого за протилежною стороною, має довжину S. Дійсно:

½AYa½=½AZa½=½BZb½=½BXb½=½CXc½=½CYc½= s.

Тому що

½ CXb ½=½ BXb ½-½BC½=s-a

і т.д., то також й

½BXc½=½BZc½=½ CXb½=½ CYb½=s-a.

½CYa½=½CXa½=½AYc½=½AZc½=s-b.

½AZb½=½AYb½=½BZa½=½BXa½=s-c.

3.6 Інші важливі точки та прямі у трикутнику

Прямі, симетричні висотам щодо відповідних бісектрис, проходять через центр описаного кола, тобто містять її радіуси. Подібні дві точки називаються ізогональнимі. Таким чином, ортоцентр трикутника ізогональний центру описаного кола.

Середини сторін трикутника, основи його висот і середини відрізків від вершин до ортоцентра лежать на одному колі. Її радіус рівний половині радіусу описаного кола, а центр лежить посередині відрізка NS, де N - центр описаного кола, а точка S - ортоцентр трикутника. Таке коло називається колом дев'яти крапок, або колом Ейлера, або колом Фейєрбаха - по імені Карла Фейєрбаха, провінційного вчителя математики з Німеччини, рідного брата філософа Людовіга Фейєрбаха. Якщо на сторонах трикутника АВС зовнішнім чином побудувати подібні до нього трикутники СА1В, САВ1 і С1АВ (кути при перших вершинах всіх чотирьох трикутників рівні і т.д.), то прямі АА1, ВВ1 і СС1 перетнуться в точці Р, яку називають точкою Брокара. Одна з особливостей цієї точки полягає в тому, що РАС = РСВ = РВА. Три відрізки, що сполучають вершини трикутника з точками, в яких вписане в нього коло торкається відповідно протилежних вершинам сторін, перетинаються в одній точці J. Вона називається точкою Жергонна.

4. МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ МЕТОДУ КООРДИНАТ НА ПЛОЩИНІ ТА ПОНЯТЬ ПРО ЕЛЕМЕНТИ ТРИКУТНИКА

...Головне завдання викладення курсу геометрії в школі - навчити учнів логічно мислити, аргументувати свої твердження, доводити...

...Навряд знайдеться хоч один учень (закінчивший школу), якому не знадобиться розмірковувати, аналізувати, доводити (Погорелов А.В. Элементарная геометрия. М., 1977, с.8.).

.1 Вимоги до ставлення цілей викладання геометрії
в загальноосвітній школі

1.Вимога наступності - навчання геометрії повинно узагальнити історичний шлях розвитку геометрії, передати підростаючому поколінню знання, накопичені людством на протязі століть.

2.Вимога наукової і практичної значущі геометрії, яка визначає, що цілі її навчання повинні відповідати тій ролі, яку грає геометрія в житті суспільства, в пізнанні оточуючого нас світу.

.Цілі навчання повинні відповідати суспільним потребам, тим задачам, які суспільство ставить перед школою.

.Цілі навчання повинні задовольняти потреби самих учнів, враховувати їх індивідуальні і вікові особливості.

.Цілі навчання повинні бути конкретними. Із них повинні виходити практичні рекомендації по відбору змісту, вибору форм і методів навчання. Вони повинні бути діагностичними.

.Цілі навчання повинні задовольняти психолого-педагогічним вимогам до процесу навчання.

Критерії відбору змісту навчального матеріалу для профільних класів середньої школи:

§ритерій наукової і практичної значущі;

§критерій відповідності змісту виховним і розвиваючим цілям навчання;

§критерій відповідності змісту профілю навчання;

§критерій відповідності змісту віковим особливостям учнів старших класів;

§критерій відповідності змісту індивідуальним особливостям розвитку старшокласників;

§критерій відповідності змісту навчально-методичного забезпечення;

§критерій відповідності наявності часу.

В змісті навчання геометрії виділяють три основні складові:

1.Гуманітарна складова, яка включає, зокрема, історичний матеріал, а також матеріал філософського, світоглядного характеру.

2.Прикладна складова, яка включає елементи прикладної математики, а також матеріал міжпредметного характеру.

.Природна складова, яка включає поглиблене вивчення математики, елементи сучасної математики.

В кожному профілі навчання, повинні бути всі три складові, але в різному відсотковому відношенні (тобто пріоритет має профіль навчання).

4.2 Структура шкільної програми з геометрії

Зазначені цілі вивчення властивостей трикутників та визначних точок і пріоритети математичної освіти реалізуються у її змісті, що втілюється у таких навчальних курсах: математика (5-6 кл.), геометрія (7-9 кл.) ; математика (10-12 кл.), де в доцільній послідовності поєднуються теми з алгебри, геометрії.

Вивчення математики у 5-6 класах здійснюється з переважанням індуктивних міркувань в основному на наочно-інтуїтивному рівні із залученням практичного досвіду учнів і прикладів з довкілля.

Вивчення геометричних фігур передбачає використання наочних ілюстрацій, прикладів із довкілля, життєвого досвіду учнів, виконання побудов і сприяти виробленню вмінь виділяти форму і розміри як основні властивості геометричних фігур. Закріплення понять супроводжується їх класифікацією (кутів, трикутників, взаємного розміщення прямих на площині). Властивості геометричних фігур спочатку обґрунтовуються дослідно-індуктивно, потім застосовуються у конкретних ситуаціях, що сприяє виробленню в учнів дедуктивних міркувань.

У 7-9-х класах вивчається два математичні курси: алгебра і геометрія.

Одна з основних змістових ліній курсу геометрії - геометричні фігури та їх властивості. Обєкти вивчення: на площині - трикутник, чотирикутник, коло. Учень повинен формулювати означення геометричних фігур та їх елементів і зображати їх на малюнку.

Властивості геометричних фігур на площині повязані з їх формою, розмірами, рівністю, взаємним розміщенням, інцидентністю прямих, точок і площин. Послідовність вивчення властивості традиційна: спочатку вводяться на наочній основі шляхом узагальнення очевидних і відомих геометричних фактів аксіоми, потім доводяться теореми. Учень має усвідомити, що під час доведення теорем дозволяється користуватися аксіомами і раніше доведеними теоремами. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників, використовуються також геометричні перетворення і засоби алгебри (вектори і координати).

Графічні вміння учнів включають: зображення геометричних фігур та їх елементів, виконання допоміжних побудов за даними умов задач і простіші побудови фігур циркулем та лінійкою, спираючись на операції, що виконуються цими інструментами.

4.3 Логічна будова шкільного курсу геометрії

Характеристика загальноосвітнього курсу геометрії.

Загальноосвітній курс геометрії забезпечує базову геометричну підготовку достатню для продовження освіти в старшій або професійній школі.

Виділяються три ступені вивчення геометрії: 1-4, 5-6, 7-9.

В 1-4 класах здійснюється пропедевтична підготовка учнів до вивчення цього курсу.

-6 класи. Основна мета вивчення геометричного матеріалу - ознайомити учнів з елементами геометричних знань і підготувати їх до успішного вивчення геометрії в наступних 7-9 класах.

Вивчення геометричних фігур і тіл супроводжується безпосередніми маніпуляціями з моделями, їх побудовою, конструюванням, спирається на приклади з навколишнього середовища і максимально враховує життєвий досвід учнів.

Учні знайомляться з величинами (довжина і площа), їх вимірюванням і відношенням (взаємне розміщення, паралельності, перпендикулярності).

Основна мета вивчення геометрії в 5-6 класах ввести на наочно-інтуїтивному рівні поняття про основні фігури на площині і простіші геометричні тіла, їх побудову і вимірювання, розширити уявлення учнів, здобуті в попередніх класах, про істотні ознаки геометричних фігур, уміння обчислювати геометричні величини (довжини, площі, обєми деяких фігур) за формулами. Геометричні поняття, операції і відношення дістають математичне спрямування.

Мета курсу геометрії в 7-9 класах - систематичне вивчення властивостей геометричних фігур на площині; засвоєння елементів стереометрії на наочно-інтуїтивному рівні; вироблення вмінь будувати геометричні фігури і застосовувати їх властивості при вивченні суміжних дисциплін; дальше вивчення величин; ознайомлення учнів із застосуванням аналітичного апарату (елементи тригонометрії і алгебри, вектори і координати) до розвязування задач. Курс геометрії стає базовим курсом, який забезпечує систему фундаментальних знань з геометрії для всіх учнів. Основний апарат доведення - ознаки рівності трикутників, однак залучаються і засоби алгебри.

Поглиблений курс геометрії вивчається учнями 8-9 класів, які мають намір обрати в старшій школі профілюючим предметом математику або піти навчатися в природничо-математичні ліцеї, спеціалізовані фізико-математичні школи, технічні коледжі тощо.

Геометрія вивчається на більш високому теоретичному рівні, деякі питання загальноосвітнього курсу поглиблюються (поняття про довжину кривої, ізопериметрична задача, перспективне розміщення многокутників, композиція симетрій, поворотів і ін.).

Розглянуті курси геометрії - рівневодиференційовані. Це досягається запровадженням таких рівнів вивчення геометрії, а, значить, сформованості геометричних умінь:

рівень (мінімально базовий). Матеріал засвоюється в обсязі обовязкових результатів навчання, які необхідні учням для подальшого вивчення геометрії в основній і здобуття, в майбутньому, робітничих професій.

рівень (базовий). Передбачає засвоєння знань і вироблення вмінь в обсязі, заданому програмами з геометрії.

рівень (підвищений). Учні, що вчаться на цьому рівні, дістають більш глибокі знання і вміння, ніж це передбачено програмами.

Рівнева диференціація досягається модульним принципом побудови курсів, який забезпечує підвищений рівень навчання. Кожний курс включає дві частини - інваріантну і варіативну. Варіативна частина містить логічно завершені порції матеріалу, які доповнюють інваріантну частину.

Загальна характеристика аксіоматичного методу

Аксіоматичний метод - спосіб побудови наукової теорії, при якій в її основу покладені деякі вихідні положення (судження) - аксіоми або постулати, з яких всі останні твердження цієї теорії (теореми) повинні виводитися чисто логічним шляхом за допомогою доведення.

Побудова теорії на основі аксіоматичного методу називається дедуктивною.

Курс геометрії як учбовий предмет на протязі довгого часу в усіх країнах світу був побудований на основі аксіом Евкліда.

В 1899 році в праці «Основи геометрії» німецьким математиком

Д. Гільбертом була побудована повна система аксіом геометрії Евкліда, яка стала основою побудови шкільного курсу геометрії в багатьох країнах світу, а також і в нашій країні.

В аксіоматиці Д.Гільберта неозначених понять три: точка, пряма, площина; основних відношень чотири: належність, між, рівність (для відрізків і кутів).

Система аксіом Д.Гільберта подана пятьма групами аксіом: належності, порядку, рівності, паралельності, неперервності.

За допомогою аксіоматики Д.Гільберта здійснюється побудова тільки тривимірної геометрії. Але для практичних застосувань стала необхідною n-вимірна геометрія, тому виникла необхідність заміни системи аксіом Д.Гільберта повною системою аксіом, яка була запропонована його учнем Г.Вейлем в 1917 році.

Н.І.Лобачевський замінив пятий постулат такою аксіомою: Через точку С, яка не належить прямій АВ, в площині АВС проходить нескінчена кількість прямих, які не перетинаються з АВ.

Всі останні постулати і аксіоми Евкліда Н.І.Лобачевський сприйняв за істині.

Дедуктивна побудова шкільного курсу планіметрії.

В основу побудови шкільного курсу геометрії покладені такі вимоги:

виділення основних, неозначуваних понять за допомогою яких можна означити останні поняття;

виділення деякої кількості тверджень, які приймаються без доведення (аксіоми), доведення останніх тверджень (теорем) на основі аксіом і раніше доведених теорем.

«Ми виходимо з того, що процес навчання математики є система, яка складається з трьох частин: зміст навчального матеріалу, викладання - діяльності вчителя, учіння - пізнавальної діяльності учнів; навчання учнів математики - це навчання їх математичній діяльності. Одним з основних дидактичних засобів управління процесом навчання є навчальний матеріал. Вибір структури та ведучих елементів змісту навчального матеріалу багато в чому визначає не тільки інтенсивність формування способів пізнавальної діяльності, але і в цілому ефективність протікання процесу навчання. Отже тому ми вважаємо, що логіко-дидактичний аналіз навчального матеріалу є основою проектування технології навчання» [28, с.17].

4.4 Аналіз змісту основних підручників

Курс Геометрії 7-11 О.В.Погорєлова будується на аксіоматиці Евкліда-Гільберта. По задуму автора навчанням геометрії в школі повинні досягатися дві мети: пізнання учнями властивостей абстрактних просторових форм оточуючого нас світу і навчання їх логічно міркувати, аргументувати свої переконання, доводити теореми. В результаті повинна бути досягнута єдність сформованих в учнів наочних уявлень про властивості реального простору із строгою логікою обґрунтування цих властивостей. У відповідності з цим установленням посібник побудовано як систематичний виклад геометричного матеріалу (питань планіметрії і стереометрії) на базі оригінальної і зовсім ощадливої системи аксіом. Відомо, що дедуктивність побудови геометрії визначається її аксіоматичною основою; відомо також, що не можна плутати аксіоматичні побудови учбового курсу геометрії в школі з аксіоматичною побудовою, відповідно геометрії як науки. Всі спроби їх ототожнення завжди зводили авторів шкільних підручників до невдач. Питання про строго дедуктивну побудову шкільного курсу геометрії продовжує бути дискусійним, в посібнику О.В.Погорєлова вона вирішена вперше і дуже вдало. Автор вважає, що шкільний підручник геометрії повинен бути аксіоматичним, починаючи з 7 класу. Автор вважає важливим з педагогічної точки зору вимогу: як можна раніше виховувати в учнів мотивовану потребу аргументувати свої висловлювання, доводити твердження. При цьому не повинна ставитись мета - навчання учнів аксіоматичним доведенням, а поступове, глибоке оволодіння учнями ідеєю логічної упорядкованості геометричних фактів, їх наукового взаємозвязку. Планіметрія в підручнику має структуру двовимірного метричного простору, в якому виділені як основні прості фігури - точка і пряма. З самого початку в ній установлені основні відношення між простими фігурами і певною аксіоматичною метрикою двовимірного простору. Ці відношення охарактеризовані за допомогою основних властивостей: належності точок і прямих на площині; взаємного розташування точок на прямій і площині; вимірювання відрізків і кутів; відкладання відрізків і кутів; існування трикутника, рівного даному; паралельність прямих. Неозначені поняття: точка, пряма, точка належить прямій, точка В лежить між точками А і С, напівплощина, довжина відрізку, міра кута, відкласти відрізок (кут) заданої міри. Властивості неозначених понять описуються аксіомами. Всі останні поняття означені.

Підручник Геометрія 7-11 класи (автор Погорєлов А.В.) складається з двох розділів планіметрія та стереометрія, що відповідають двом основним темам, які вивчаються в курсі геометрії. Перший розділ „Планіметрія містить 4 параграфи, другий розділ «Стереометрія » - 7. Параграфи розбито на пункти. Зміст кожного пункту присвячено певній темі навчальної програми.

Текст підручника написано доступною неформальною мовою, що дає змогу учневі в разі потреби самостійно опановувати навчальний матеріал. Цьому сприяє наявність прикладів розвязання типових задач; виділення жирним шрифтом слів, що означають математичні терміни; правил і найважливіших математичних тверджень.

Дидактичний матеріал до кожного пункту розподілено за рівнями складності відповідно до рівнів навчальних досягнень учнів. Для цього нумерація задач забезпечена спеціальними символами.

Численний і різноманітний дидактичний матеріал дає змогу вчителю організовувати роботу з групами учнів різного рівня. Як правило, сусідні вправи - це пари аналогічних задач. Таке розміщення матеріалу допоможе вчителю організувати закріплення методів розвязування типових задач при виконанні домашньої роботи.

Дидактичний матеріал підручника містить чимало задач на доведення. Ці задачі дуже важливі для розвитку абстрактно-логічного мислення. Деякі задачі позначено значком «*». Це задачі підвищеної складності. Вони не є обовязковими для розвязування. Їх можна використовувати в роботі математичного гуртка. У розділі Відповіді. Вказівки є вказівки до розвязування цих задач.

Авторський колектив запропонував своє бачення курсу геометрії. Цей підручник створено для забезпечення ефективної організації навчально-виховного процесу. Виклад теоретичного, задачного і довідкового матеріалу є особистісно орієнтованим і спрямований на посилення творчо-діяльнісного компоненту навчання.

Виклад теоретичного матеріалу в підручнику зроблено лаконічним і доступним для читання. За умови правильного інформування учнів і батьків про особливості підручника він став справжнім помічником в організації навчально-виховного процесу.

Кожний розділ підручника починається короткою мотивацією його вивчення і попереднім схематичним оглядом його змісту. Закінчується розділ підсумовуючим матеріалом.

До кожного параграфа підібрано задачі на повторення, які спрямовані на виконання таких функцій:

• повторення раніше вивченого матеріалу;
• актуалізація опорних знань для наступного уроку.

У підручнику добре реалізована діагностична функція.

Форми роботи за підручником можуть бути фронтальною, груповою та індивідуальною. Групова та індивідуальна форми роботи дають можливість реалізувати принцип диференціації та індивідуалізації навчання. Реалізувати цей принцип дозволяє набір системи задач для різних типологічних груп учнів (завдання рівня А, рівня Б, задачі з зірочкою, задачі підвищеної складності).

Детально спланована організація діяльності школярів сприятиме формуванню наполегливості, уваги, памяті, здатності до подолання труднощів, працелюбства тощо.

Під час вивчення математики використовуватимуться пояснювально-ілюстративний метод, репродуктивний, проблемний виклад матеріалу, частково-пошуковий метод.

Курс геометрії 7-9 Л.С.Атанасян і ін. будується дедуктивно на основі аксіоматики. Аксіоми формулюються, але без зовнішнього формально-логічного аспекту (вони не нумеруються, не повідомляється назва груп); вводяться поступово по мірі необхідності. Формально-логічний аспект не підкреслюється і в перших доведеннях даного курсу. Безпосередні посилання на аксіоми не робляться (вони маються на увазі і при необхідності в усному викладі на уроці можуть бути зроблені). Такому прийому властиві неформальний стиль викладу і активне звертання до наочності. Посилання в доведеннях зявляються після вивчення рівності трикутника. Це дозволяє на перший план висунути наочно-геометричну (змістову) сторону доведення. Доведення при цьому більш повязані з можливими інтуїтивними міркуваннями учнів. В 7-9 класах передбачається систематичне вивчення властивостей простих геометричних фігур: трикутника, чотирикутника, кола, а також властивостей перпендикулярності і паралельності прямих на площині. У викладі цих питань автори опираються на практичний досвід учнів, на їх інтуїцію.

Відмінність розглядуваного курсу - посилення аналітичних методів в геометрії. Це досягається раннім упровадженням вимірів відрізків і кутів, систематичним їх використанням при вивченні властивостей геометричних фігур. Вимірювання відрізків і кутів будується за допомогою чисел, а не на основі загального поняття невідємної скалярної величини. Матеріал викладається систематично, достатньо строго і аргументовано, тобто всі твердження і теореми, які не являються для учнів наочно очевидними, обґрунтовані і доведені. Велика увага приділяється чіткості і краткості формулювання аксіом, означень і теорем. Нові терміни і символи впроваджуються поступово. Значне місце відводиться вправам. До кожного параграфу подані практичні завдання, призначені для формування геометричних понять і навичок користування креслярськими інструментами. В кінці кожного параграфу і кожного розділу наведені питання і задачі, які виконують різні функції: задачі, які підводять до нових понять або теорем, задачі на закріплення вивченого; задачі для розвитку певних умінь і навичок учнів; задачі, які показують звязок теорії з практикою.

4.5 Перші уроки систематичного курсу планіметрії

Перші уроки систематичного курсу планіметрії досить важкі, так як на них систематизуються одержані раніше знання про взаємне розміщення прямих на площині. Це обумовлене причинами: психічними особливостями учнів цього віку, виділенням курсу геометрії в окрему навчальну дисципліну і новизною його структури, різним підвищенням рівня строгості логічних міркувань, введенням більшого числа нових понять, термінів, нової символіки, підвищення рівня абстрактності вивченого матеріалу, новим змістом заданого матеріалу, недостатньою розвинутістю просторових уявлень учнів, несформуванням умінь і навичок узагальнення, абстрагування. Методика викладання перших розділів планіметрії пропонує поступовий перехід від конкретного до загального, постійне звертання до оточуючої дійсності і іншим засобам наочності, велика увага навчанню учнів умінню логічно міркувати, обгрунтовувати, доводити висловлені твердження, орієнтуватися у вивчених математичних твердженнях, аксіомах, теоремах, означеннях, які для них являються новими.

З перших етапів вивчення геометрії необхідно пов'язати в єдину систему розповідь вчителя, текст підручника, відповідні записи на дошці і в зошиті з малюнками, які є опорою для учнів під час самостійної роботи. На першому уроці геометрії необхідно учнів познайомити з історією виникнення геометрії.

Геометричні об'єкти постають перед учнями в новому вигляді. Точка і пряма розглядаються як основні поняття, властивості яких розкриваються в аксіомах.

При розробці методики ведення аксіом доцільно враховувати такі моменти: ілюстрація прикладами із оточуючого життя за допомогою спеціальної моделі; формулювання аксіоми;

ілюстрація аксіоми на малюнку;

короткий запис аксіом.

Велика обережність вимагається при навчанні учнів першим доведенням.

В числі перших учням дається метод від супротивного, який викликає найбільші труднощі.

Методична схема вивчення аксіом планіметрії:

§ввести аксіому на наочній основі;

§сформулювати аксіому;

§виконати логічний аналіз формулювання аксіоми;

§провести математичний диктант.

В організації навчального заняття для нових педагогічних технологій характерно прагнення до відмови від традиційної класно-урочної системи і переваги фронтальних методів навчання - змінюється режим навчання, використання всіх видів навчального спілкування, різного сполучення фронтальної, групової, колективної і індивідуальної форм діяльності.

Контроль засвоєння знань і способів діяльності здійснюється в трьох видах: 1) вхідний (попередній) - для інформації про рівень готовності учнів до роботи і, при необхідності, корекція цього рівня; 2) поточний або періодичний (тематичний); 3) підсумковий - для оцінки рівня засвоєння.

Для оцінки рівня засвоєння знань і способів діяльності, поряд з традиційними контрольними роботами (різнорівневого характеру) все частіше використовують тестування і рейтингові шкали оцінки.

Зауваження щодо прикладної спрямованості курсу геометрії.

Як відомо, планіметрію як науку поділяють на теоретичну ("чисту") та прикладну (практичну). Результати досліджень "чистої" складової планіметрії часто давали поштовх до розвитку її прикладної частини (і навпаки). Курс планіметрії у школі - це певне відображення науки і містить, відповідно, теоретичну та прикладну частини. Яким чином можна здійснити його прикладну спрямованість? Розглянемо основні засоби прикладної спрямованості. Домовимося під прикладною спрямованістю шкільного курсу планіметрії розуміти орієнтацію цілей, змісту та засобів навчання планіметрії в напрямку набуття учнями в процесі математичного моделювання знань, умінь і навичок, які використовуватимуться ними у різних сферах життя. Яскравим прикладом застосування такого підходу може служити координатний метод, який ми розглянемо у наступному розділі.

4.6 Координатний метод та його формування

Цілі і навчальні задачі вивчення координатного методу в школі:

§показати, що координатний метод має свою мову, свої прийоми, дає можливість виражати властивості геометричних фігур аналітичною мовою в вигляді рівнянь і нерівностей і відповідно рівняння функції, нерівності перекладати на геометричну мову (графіків):

§сформувати понятійний апарат координатного методу (координатна пряма, координатна площина, координати точки, рівняння прямої, кола, параболи, гіперболи, рівняння відрізку, координати середини відрізку);

§сформувати конкретні прийоми використання координатного методу при вивченні курсів алгебри і геометрії.

Понятійний апарат координатного методу для прямокутної системи координат:

§абсциса;

§ордината;

§координати (точки) - числа, які взяті в певному порядку і характеризують положення точки на прямій, на площині, в просторі;

§координатна пряма; в математиці координатна пряма або координати на прямій вводяться на основі теореми (аксіоми); в школі координатна пряма вводиться поступовим присвоєнням точкам прямої визначених чисел в звязку з розширенням числових множин і осмислення операції відкладання відрізків (вимірювання відрізків);

§координатна площина;

Координатний метод - спосіб визначення положення точки (на прямій, на площині, в просторі) за допомогою чисел (для декартової системи координат). За допомогою координатного методу алгебраїчні рівняння можна трактувати в вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати розвязання геометричних задач за допомогою аналітичних формул (рівнянь і їх систем).

Основні знання і навчальні задачі, які формують координатний метод:

§знати запис точки в координатній формі і за даною координатною формою будувати її на координатній площині (прямій);

§знати завдання прямої в координатній формі і за даною координатною формою будувати пряму на координатній площині.

Основні вимоги до рівняння будь-якої лінії. Рівняння буде рівнянням лінії, якщо йому задовольняють координати (х; у) будь-якої точки цієї лінії, і навпаки: будь-яка пара чисел (х; у), яка задовольняє рівняння лінії, уявляє собою координати точки.

(ах + ву + с = 0, у = кх + в - рівняння прямої;

(х - а)2 + (у - в)2 = r2, х2 + у2 = r2 - рівняння кола).

Дана обставина в шкільних математичних задачах виражається в завданнях: 1) вияснити, чи належить дана точка лінії (прямій, параболі, колу, гіперболі) і 2) дано точку на лінії, рівняння якої відомо, знайти її координати.

Лінії та їх рівняння. Звязок понять. вказано на схемі (Рис. 4.0)

Знання рівнянь основних ліній, які вивчаються в шкільному курсі математики зводиться до розвязання двох навчальних задач: 1) за заданими геометричними властивостями лінії скласти її рівняння; 2) по заданому рівнянню лінії вияснити її геометричні властивості (геометрія); в алгебрі - по заданому рівнянню побудувати графік лінії і за допомогою графічної мови вияснити властивості функції, а потім, по можливості, перекласти на аналітичну мову.

Рис. 4.0 Лінії та їх рівняння. Звязок понять.

В шкільному курсі математики використовується ще одна група фактів із аналітичної геометрії:

§відстань між точками;

§поділ відрізку в даному відношенні (окремий випадок - знаходження координат середини відрізку).

Дана група фактів в основному застосовується в геометрії.

Використання координатного методу в конкретних ситуаціях припускає використання трьох етапів: 1) переклад задачі на координатну (аналітичну) мову; 2) перетворення аналітичного виразу; 3) зворотний переклад, тобто переклад з координатної мови на мову в термінах якого сформульована задача.

Координатний метод в геометрії особливо ефективний при обгрунтуванні залежностей між елементами фігур (особливо між довжинами цих елементів), а також при знаходженні багатьох точок, задовольняючих певним властивостям.

Для розробки методики формування умінь застосовувати координатний метод важливо виділити дії, адекватні діяльності використання координатного методу в конкретних ситуаціях. Компонентами умінь застосовувати координатний метод в конкретних ситуаціях являються такі уміння: 1) перекласти геометричну мову на аналітичну і навпаки; 2) будувати точку по заданим координатам; 3) знаходити координати заданих точок; 4) обчислювати відстань між точками, заданими координатами; 5) оптимально дібрати систему координат; 6) скласти рівняння заданих фігур; 7) бачити за рівнянням конкретний геометричний образ; 8) виконувати перетворення алгебраїчних співвідношень.

Характер виявлених умінь дозволяє систематизувати вправи, які сприяють оволодінню координатним методом. Виділяють такі види вправ: на побудову точки по її координатам; по знаходженню координат заданих точок; на обчислювання відстані між точками, заданими координатами; на переклад з геометричної мови на аналітичну і навпаки; на оптимальний вибір системи координат; на складання рівняння фігури по її характеристичній властивості; на визначення фігури по її рівнянню; на перетворення алгебраїчних рівностей.

В формуванні координатного метод в школі, можна виділити наступні етапи.

1.Засвоєння понятійного апарату - здійснюється в основному в 5-6 класах і систематизується в курсі геометрії.

2.Введення на основі цього понятійного апарату рівнянь ліній і графіків функцій. Ці дві навчальні задачі розвязуються в різних предметах (геометрії і алгебри), з різною змістовною цілю, а тому учні часто не бачать між ними звязку, і не засвоюють головної суті методу.

.Розкриття основних етапів застосування методу в курсі алгебри і геометрії.

.Використання координатного методу для розвязання різних математичних задач.

Координатний метод спрощує розвязання багатьох геометричних задач, доведення теорем, дозволяє більш раціонально викласти весь навчальний курс. Опис однієї і тієї геометричної ситуації в термінах синтетичної і аналітичної геометрії має велике розвиваюче значення.

.7 Вивчення декартових координат на площині і в просторі

В математиці існують різні способи введення прямокутних декартових координат: наочно-геометричний спосіб, оснований на понятті перпендикулярних прямих, векторний спосіб введення прямокутної системи координат за допомогою координатного репера, аксіоматичне означення. В навчальних посібниках для середньої школи застосовується наочно-геометричний спосіб введення координат, який є історично першим в математиці.

На відміну від інших шкільних підручників з геометрії в учбовому підручнику О.В. Погорєлова координати займають одне із центральних місць. Вони вводяться і використовуються починаючи з 8 класу. Учні знайомляться з двома важливими формулами: формулою для знаходження координат середини відрізку при умові, що координати відрізків відомі; формулою для знаходження відстані між двома точками із заданими координатами, розглядається рівняння кола і прямої.

Можлива методична схема вивчення вказаних тем:

) поставити навчальну проблему;

) повідомити вихідні дані і цільову вимогу, виконати малюнок (додаткові побудови);

) повідомити ідею доведення;

) визначити всі випадки, які повинні бути розглянуті при доведенні, виділити основний випадок;

) викласти доведення основного випадку, коротко записати його на дошці;

) сформулювати висновок (шукані формули);

) закріпити доведення (по частинам і в цілому);

) зясувати відповіді на питання: Чи можна здогадатися, якими повинні бути шукані формулу для доведення, На яких прикладах це можна зробити?;

) застосувати формули для розвязання задач.

Вивчення координат в просторі в різних посібниках у різних авторів здійснюється по різному, але координати в просторі і формула відстані між точками в просторі розглядаються завжди. В учбовому посібнику О.В.Погорєлова розглядається в просторі і формули знаходження координат середини відрізку.

В основу методики вивчення декартових координат в просторі доцільно використати метод аналогії. Він може бути успішно використаний не тільки для ознайомлення з фактами, але й при вивченні їх доведення. Звернемося, наприклад, до координатної формули відстані між двома точками в просторі. В даному випадку пропонують таку методичну схему вивчення:

) нагадати планіметричну формулу відстані між двома точками;

) записати формулу відстані між двома точками в просторі (по аналогії з планіметричною формулою);

) нагадати ідею доведення планіметричної формули;

) здійснити перенесення цієї ідеї на стереометричний факт;

) реалізувати ідею (провести доведення);

) закріпити доведення.

4.8 Геометричні задачі на побудову. Прийоми вибору адекватного методу розвязання задач на побудову

Графічна грамотність - це вміння читати різноманітні графічні зображення (креслення, схеми, графіки і т.п.), вміння їх будувати за допомогою різноманітних креслярських інструментів, а також від руки та на око, вміння охайно, раціонально оформляти записи; вміння моделювати та конструювати графічні ситуації, оперувати графічними об'єктами на ЕОМ.

Під графічними знаннями розуміють знання учнями графічного методу, який використовується у шкільному курсі математики. Графічна діяльність на уроках математики здійснюється при побудові та читанні геометричних креслень та графіків.

Що таке задача на побудову?

В задачах на побудову мова йде про побудову геометричної фігури за допомогою даних інструментів креслення. Такими інструментами частіше всього є лінійка і циркуль. Розвязання задач полягає не стільки в побудові фігури, скільки у вирішенні питання, як це зробити, і відповідним доведенням. Задача вважається розвязаною, якщо вказано спосіб побудови фігури і доведено, що в результаті вказаних побудов дійсно здобувається фігура з потрібними властивостями.

Основні задачі на побудову.

До основних задач на побудову відносять:

§на даній прямій від даної точки відкласти відрізок даної довжини;

§побудову трикутника за даними сторонами;

§побудову кута, рівного даному;

§побудову бісектриси даного кута;

§поділ відрізка пополам;

§побудову перпендикулярної прямої;

§побудову трикутника за двома сторонами і куту між ними;

§побудову трикутника за стороною і прилеглими кутами;

§побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і катетом;

§побудову прямокутного трикутника за гіпотенузою і прилеглим до неї гострим кутом;

§через дану точку провести пряму паралельну даній прямій;

§поділ відрізку на n-рівних частин;

§побудову відрізка х, повязаного з даними відрізками а і b рівністю х2 = а2 + b2;

§побудову відрізка х, повязаного з даними відрізками а і b рівністю х2 = а2 - b2;

§поділ дуги кола пополам;

§побудову дотичної до кола в даній точці;

§побудову дотичної до кола з даної точки поза колом;

§поділ відрізка в даному відношенні;

§побудову відрізка, четвертого пропорціонального до трьох даних;

§побудову відрізка х, повязаного з даними відрізками а і b рівністю x2 = ?ab.

Методи розвязування задач на побудову.

. Метод базисних трикутників

Сутність методу - використання допоміжного трикутника (його ми назвемо базисним). Доцільно вважати базисними трикутники, які можна побудувати за двома сторонами і кутом між ними, за стороною і двома кутами, за трьома сторонами. Якщо трикутник прямокутний, то його можна побудувати за двома катетами, катетом і гострим кутом, гіпотенузою і гострим кутом, гіпотенузою і катетом

Задача 1. Побудувати рівнобедрений трикутник АВС (в = с) за а, hв.

Розвязання. Зробимо аналіз задачі:

Рис. 4.1

Оскільки в прямокутному трикутнику ВЕС (?ВЕС = 90о) задано катет ВЕ = hв і гіпотенуза ВС = а, то трикутник ВЕС легко побудувати (тому він і є базисним). Дістанемо кут АСВ = ?С, отже, й кут АВС = ?В. Маємо а, В, С, тому можна побудувати трикутник АВС.

Схематично розвязання задачі можна записати так:

) (а, hв) СЕВ С

) (а, В, С) АВС

Задача 2. Побудувати рівнобедрений трикутник АВС (в = с) за А; hc.

Розвязання. Проведемо аналіз задачі. У трикутнику АВС СД?АВ (Рис.4.2.)

Прямокутний трикутник АСД можна побудувати за катетом СД і гострим кутом А. Дістанемо сторону АС = АВ. Отже, маючи дві сторони і кут між ними, будуємо трикутник АВС.

Рис. 4.2

Схематичний запис розвязку задачі такий:

1) (A, hc) АСД в

) (в, С, А) АВС

Задача 3. Побудувати трикутник АВС за А, hв, hc.

Розвязання. Аналіз показує, що трикутник АН2В - базисний (Рис.4.3).

Одержуємо сторону АВ. Будуючи трикутник АСН3, дістанемо сторону АС. Маємо АВ, АС, ВАС = А.

Рис. 4.3

Схематично розвязання можна записати:

) (A, hв) ABH2 C

) (A, hc) АСH3 в

) (в, c, А) АВС

. Сегмент, що вміщує даний кут.

В основі методу лежить наступна задача: Знайти геометричне місце точок (ГМТ), з якого даний відрізок видно під даним кутом.

Прийоми вибору адекватного методу розвязання задач на побудову

На основі теоретичних положень математики: геометричні місця точок, які володіють визначальними властивостями; геометричні перетворення (відбиття від прямої, відбиття від двох прямих, відбиття від точки; подібність фігур і подібне перетворення); алгебраїчні співвідношення в геометричних фігурах, розроблена орієнтовна основа дій - вибір методу і конструювання відповідного прийому.

Даний прийом вибір методу сконструйований у вигляді таблиці, структурними елементами якої є: завдання, склад дій для його виконання і орієнтовна основа.

4.9 Елементи використання на практиці важливих точок трикутника. Розробки навчальних занять (з досвіду роботи)

«Пізнавальне спілкування учнів можливе і дієве за наявності таких особистих умінь учнів:

1)задавати по змісту навчального матеріалу запитання;

2)відповідати на геометричні запитання, що стосуються матеріалу;

)перевіряти розвязання» [10, c.91]

Заняття № 1

Тема: Медіана трикутника.

Дидактична мета: Ознайомити з різними властивостями медіани трикутника, осмислити їх властивості.

Розвиваюча мета: Продовжити роботу з розвитку логічних міркувань під час дослідження властивостей медіан трикутника.

Виховна мета: Викликати інтерес учнів до праць російського геометра Лобачевського, автора нових просторових уявлень та праць Ейлера.

Прилади та обладнання: дидактичний матеріал з теми, креслярські інструменти, наочність з теми, дротяні моделі трикутників різних видів.

Хід заняття

1.Організаційний момент.

Учень оголошує доклад про значення геометрії Лобачевского

Активізація опорних знань. Фронтальне опитування.

Запитання:

Які види трикутників існують у планіметрії?

Яких видів трикутників не існує в планіметрії?

Скільки рівнобедрених трикутників можна утворити за допомогою двох рівних трикутників, використовуючи тільки накладання їх ?

2.Мотивація вивчення нових знань.

Провести пряму всередині рівнобедреного трикутника так, щоб його периметр поділився навпіл. прямокутного рівнобедреного трикутника.

Скільки таких прямих?

3.Осмислення нових знань.

Означення поняття медіани трикутника

Медіана трикутника - це відрізок, що зєднує вершину трикутника та середину протилежної сторони. Трикутник має три медіани, які прийнято позначати mа, mb, mс. Запамятаємо, що з вершини А виходить медіана mа, з вершини В виходить медіана mb, з вершини С виходить медіана mс..

Зауваження. Правильність побудови трьох медіан в трикутнику можна перевірити за їх властивістю перетину в одній точці, яка знаходиться всередині трикутника.

Властивості медіан:

. Кожна медіана трикутника лежить всередині трикутника, а в точці перетину медіан ділиться на частини рахуючи від вершини, як 2:1. тобто довша частинка медіани вдвічі більша , ніж коротша частинка, яка становить третю частинку від усієї довжини медіани.

2.Завжди можна відновити трикутник за трьома його медіанами.

3.Якщо відомі довжини трьох сторін трикутника, то можна знайти довжини трьох медіан цього трикутника за такими формулами:

ma=,=,=.

. Точку перетину медіан трикутника називають іноді центр ваги трикутника.

.Якщо зєднати точку перетину медіан трикутника з вершинами, то трикутник розбивається на три рівновеликі трикутники, тобто у цих трикутників рівні площі.

. Медіана прямокутного трикутника, що проведена до найдовшої сторони, рівна половині цієї сторони та розділяє прямокутний трикутник на два рівнобедрені трикутники.

. Кожна медіана трикутника розрізає його на два рівновеликих трикутника.

. Площа трикутника, що складений з медіан даного трикутника, рівна три чверті площі даного трикутника.

. Сума трьох векторів, що виходять з точки перетину медіан до вершин трикутника, дорівнює нулю.

. Точка перетину медіан при проектуванні трикутника на площину переходить в точку перетину медіан спроектованого трикутника. Зазначимо, що такою властивістю не володіють точки перетину бісектрис та висот.

. Завжди існує трикутник, сторони якого рівні та паралельні медіанам даного трикутника.

4.Практична частина заняття

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості трикутника.

1. Кути трикутника відносяться, як 2:3:4. Розмістити в порядку зростання довжини медіан.

2. Накресли прямокутний трикутник. Проведи в ньому три медіани. Яка медіана рівна половині найбільшої сторони трикутника?

3. Медіана трикутника утворює з протилежною стороною кут 90°, а інша медіана з протилежною стороною утворює кут 90°. Знайди величини внутрішніх та зовнішніх кутів трикутника.

. Трикутники АВС і МАВ рівні, Чи рівні відповідні медіани цих трикутників?

5. АВС= КМN, К=90°, М=45°. Знайди всі кути трикутника АВС, що утворилися в результаті перетину медіан.

. Один з кутів трикутника дорівнює 20°, а один з двох інших в 4 рази більший другого. Яка найменша медіана трикутника.

7. У рівнобедреного трикутника АВС знайди довжини медіан, якщо бічна СВ = 43 м, АВ = 10 м

. Кут між медіаною і стороною, що проведені з однієї вершини рівнобедреного трикутника, дорівнює 10°, а один з двох інших кутів трикутника дорівнює 70°. Знайди усі невідомі кути в середині трикутника.

. Знайди прямокутний трикутник, якщо у нього є дві рівні медіани.

. Обчислити довжини медіан трикутника, знаючи, сторони трикутника: 1) 2, 8, 4; 2) 4, 3, 5; 3) 2, 3, 5;, 4) 2, 7, 3; б) 8, б, 5.

. Скільки рівних медіан у рівнобедреного трикутника? Як вони діляться точкою перетину. Накресліть будь-який трикутник та вкажіть поділ медіан точкою перетину на частини. Перевірте цю властивість вимірами відрізків на медіанах.

13. Медіана, що проведена до основи рівнобедреного трикутника нахилена до його основи під кутом 87°. Знайти кути цього трикутника. Скільки розвязків має задача?

. У трикутника три рівні медіани. Який вид цього трикутника?

. У трикутника медіана рівна одній із сторін. Чи може цей трикутник бути прямокутним?

. Периметр рівнобедреного трикутника 18 см, бічна сторона на 3 см довша від основи. Знайти медіани цього трикутника.

5.Підсумок заняття.

Фронтальне опитування

Які основні властивості медіан трикутника ми вивчаємо напамять? Як їх формулюють? Які властивості співвідношень у сторін та медіан трикутника?

Заняття № 2

Тема: Бісектриса трикутника.

Дидактична мета: Ознайомити з різними властивостями бісектриси трикутника, осмислити їх властивості. Засвоїти властивості бісектриси трикутника за допомогою розвязування задач.

Розвиваюча мета: Продовжити роботу з розвитку логічних міркувань під час дослідження властивостей бісектриси трикутника.

Виховна мета: Викликати інтерес учнів до праць українських математиків.

Прилади та обладнання: дидактичний матеріал з теми, креслярські інструменти, наочність з теми, дротяні моделі трикутників різних видів.

Хід заняття

Організаційний момент.

Повідомлення часу та місця і умови проведення наступного факультативного заняття.

Повідомлення про правила ведення записів задач у зошитах для факультативних занять.

Повідомлення теми факультативного заняття та запис її на дошці.

Активізація опорних знань.

Запитання для тестування опорних знань учнів:

В - 1

Яке з наведених тверджень не є аксіомою?

Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому в заданому розміщені відносно даної напівпрямої.

На будь-якій півпрямій від її початкової точки можна відкласти відрізок даної довжини і тільки один.

Від будь-якої півпрямої у даній півплощині можна відкласти кут з даною градусною мірою, меншою 180°, і тільки один.

Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника дорівнюють відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

У трикутниках ABС і МРК АС = МК, ?А=?М, С = Р. Згідно з яким твердженням ці трикутники рівні?

Другою ознакою рівності трикутників.

Першою ознакою рівності трикутників.

Аксіомою існування трикутника, що дорівнює даному.

Аксіомою відкладення кутів.

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 10 см, його основа 4 см. Чому дорівнює бічна сторона?

см; 2) 6 см; 3) 4 см; 4) 5 см.

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 60 см, а бічна сторона 25 см. Чому дорівнює його основа?

см; 2) 10 см; 3) 35 см; 4) 17,5 см.

Осмислення нових знань.

Означення поняття бісектриси трикутника

Бісектриса трикутника - це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою на протилежній стороні. Трикутник має три бісектриси, які прийнято позначати lа, lв, lс. Запамятаємо, що з вершини А виходить бісектриса lа, з вершини В виходить бісектриса lв з вершини С виходить бісектриса lс.. Отже, бісектриса трикутника ділить величини кутів трикутника навпіл.

Зауваження. Необовязково бісектриса ділить протилежну сторону навпіл. Але у рівнобедреному трикутнику, якщо бісектриса проведена до основи, то вона обовязково поділить навпіл крім кута і сторону, яку перетинає.

Властивості бісектриси.

. Будь-яка бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника. Тобто, якщо бісектриса проведена з вершини В та перетинає протилежну сторону в точці D, то маємо

Усі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, тобто точка перетину бісектрис це центр кола, що вписаний в трикутник.

Центральний кут вписаного в трикутник кола, сторони якого проходять через вершини трикутника, рівний сумі прямого кута та половині кута, через який не проходять сторони центрального кута.

У довільному трикутнику бісектриса проходить між висотою та медіаною трикутника.

, ,.

За трьома сторонами трикутника можна знайти довжини бісектрис трикутника:

,

,

, де .

Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони в точці, відстані від якої до кінців цієї сторони пропорційні прилеглим сторонам.

Продовження бісектрис внутрішніх кутів трикутника проходять через центри зовні вписаних кіл(коло, яке дотикається до однієї сторони та до продовження двох інших сторін трикутника), які являються точками перетину бісектрис зовнішніх кутів цього трикутника.

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості трикутника

. Кути трикутника відносяться, як 2:3:4. Розмістити в порядку зростання довжини бісектрис. Чи можуть бісектриси перетинатися за межами трикутника?

. Накресли прямокутний рівнобедрений трикутник. Проведи в ньому три бісектриси. Яка бісектриса рівна половині найбільшої сторони трикутника? Чому?

. Бісектриса трикутника утворює з протилежною стороною кут 90°, а інша бісектриса з протилежною стороною утворює теж кут 90°. Який вид цього трикутника?

. Трикутники АВС і МАВ рівні, Чи рівні відповідні бісектриси цих трикутників?

. АВС= КМN, К=90°, М=60°. Знайди всі кути трикутника АВС, що утворилися в результаті перетину бісектрис.

. Один з кутів трикутника дорівнює 20°, а один з двох інших в 4 рази більший другого. Яка найменша бісектриса трикутника.

. У рівнобедреного трикутника АВС знайди довжини бісектрис, якщо бічна СВ = 43 м, АВ = 10 м.

. Кут між бісектрисою і стороною, що проведені з однієї вершини рівнобедреного трикутника, дорівнює 10°, а один з двох інших кутів трикутника дорівнює 70°. Знайди усі невідомі кути в середині трикутника, що утворилися в результаті перетину бісектрис.

. Знайди прямокутний трикутник, якщо у нього є дві рівні бісектриси.

. Обчислити довжини бісектрис трикутника, знаючи, сторони трикутника: 1) 2, 8, 4; 2) 4, 3, 5; 3) 2, 3, 5;, 4) 2, 7, 3; б) 8, б, 5. Знайти довжини відрізків, на які ділиться кожна сторона трикутника бісектрисою.

. Скільки рівних бісектрис у рівнобедреного трикутника? Накресліть будь-який трикутник та вкажіть центр вписаного в трикутник кола. Перевірте цю властивість, вписавши в нього коло.

. Бісектриса, що проведена до основи рівнобедреного трикутника нахилена до його основи під кутом 78°. Знайти кути цього трикутника. Скільки розвязків має задача?

Підсумок заняття. Фронтальне опитування

Які основні властивості бісектрис трикутника ми вивчаємо напамять? Як їх формулюють? Які властивості співвідношень у сторін та бісектрис трикутника?

Заняття № 3

Тема: Висоти трикутника.

Дидактична мета: Ознайомити з різними властивостями висоти трикутника, осмислити їх властивості. Засвоїти властивості висоти трикутника за допомогою розвязування задач.

Розвиваюча мета: Формувати в учнів уміння конструювати моделі трикутників під час розвязування задач.

Виховна мета: "... Цінність математичних теорій тим вища, чим тісніше їхні корені, пов'язані з явищами світу, в якому ми живемо, і разом з тим, чим краще ми досягаємо ступеня абстракції і загальності поглядів" М.В. Келдиш

Прилади та обладнання: дидактичний матеріал з теми, креслярські інструменти, наочність з теми, дротяні моделі трикутників різних видів.

Хід заняття

Організаційний момент.

Повідомлення часу та місця і умови проведення наступного факультативного заняття.

Повідомлення про правила ведення записів задач у зошитах для факультативних занять.

Повідомлення теми факультативного заняття та запис її на дошці.

Активізація опорних знань.

Запитання для мозкового штурму: Відомі два кути трикутника при вершинах А та В. Знайти кути між бісектрисами.

Осмислення нових знань.

Означення поняття висоти трикутника

Висота трикутника - це перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону трикутника. Трикутник має три висоти, які позначають ha, hb, hc. Запамятайте, з вершини А проходить висота ha, з вершини В опускається висота hb, а з вершини С виходить висота hc.

Зауваження. 1. Прямі що містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці (ортоцентр). У прямокутному трикутнику ця точка співпадає з вершиною прямого кута, у тупокутному трикутнику ортоцентр знаходиться зовні трикутника за вершиною тупого кута, в гострокутному трикутнику ортоцентр знаходиться в середині трикутника ближче до вершина більшого кута. У прямокутному трикутнику дві висоти співпадають з двома короткими сторонами(катетами) трикутника, ортоцентр співпадає з вершиною прямого кута. У тупокутного трикутника дві висоти лежать зовні трикутника, а третя найкоротша висота лежить всередині трикутника.

Властивості висот трикутника

. Найбільша висота трикутника проведена до його найкоротшої сторони, а найменша висота до найдовшої сторони цього трикутника.

. Висоти трикутника обернено пропорційні його сторонам

;

4.Кут між висотою та бісектрисою, що проведені з однієї вершини, рівний піврізниці двох інших кутів цього трикутника.

5.За трьома висотами можна відновити трикутник.

.Якщо відомими сторонами трикутника можна обчислити його висоти

,

,

, де

.

. Між висотами та радіусом вписаного кола існує залежність

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості

. Кути трикутника відносяться, як 2:3:4. Розмістити в порядку зростання довжини висот. Чи можуть висоти перетинатися за межами трикутника?

. Накресли прямокутний рівнобедрений трикутник. Проведи в ньому три висоти. Які висоти рівні половині найбільшої сторони трикутника? Чому?

. Висота трикутника утворює з прилеглою стороною кут 89°, а інша висота з протилежною стороною утворює теж кут 1°. Який вид цього трикутника?

. Трикутники АВС і МАВ рівні, Чи рівні відповідні висоти цих трикутників?

. АВС= КМN, К=90°, М=60°. Знайди всі кути трикутника АВС, що утворилися в результаті перетину висот.

. Один з кутів трикутника дорівнює 20°, а один з двох інших в 4 рази більший другого. Яка найменша висота трикутника.

. У рівнобедреного трикутника АВС знайди довжини висот, якщо бічна СВ = 43 м, АВ = 10 м.

. Кут між висотою і стороною, що проведені з однієї вершини рівнобедреного трикутника, дорівнює 10°, а один з двох інших кутів трикутника дорівнює 70°. Знайди усі невідомі кути в середині трикутника, що утворилися в результаті перетину висот.

. Знайди вид прямокутного трикутника, якщо у нього є дві рівні висоти.

. Обчислити довжини висот трикутника, знаючи, сторони трикутника: 1) 2, 8, 4; 2) 4, 3, 5; 3) 2, 3, 5;, 4) 2, 7, 3; б) 8, б, 5. Знайти довжини відрізків, на які ділиться кожна сторона трикутника висотою.

. Скільки рівних висот у тупокутного різностороннього трикутника. Накресліть будь-який тупокутний різносторонній трикутник та точку перетину висот.

. Висота, що проведена до основи рівнобедреного трикутника нахилена до його основи під кутом ..... . Знайти види таких трикутників. Скільки розвязків має задача?

Задачі для самостійних дослідів учнів.

.Чи існує вид прямокутного трикутника, щоб довжина його найменшої сторони була рівна довжині висоти, що проведена до найбільшої сторони?

.Які існують види трикутників , у яких усі висоти різні? Замалювати кожний можливий випадок.

Підсумок заняття.

Фронтальне опитування

Які основні властивості висот трикутника ми вивчаємо напамять? Як їх формулюють? Які властивості співвідношень у сторін та висот трикутника?

Заняття № 4

Тема: Коло, що вписане у трикутник.

Дидактична мета: Ознайомити з різними властивостями кола, що вписане у трикутник, осмислити його властивості. Засвоїти властивості кола, що вписане у трикутник, за допомогою розвязування задач.

Розвиваюча мета: Продовжити роботу з розвитку логічних міркувань під час дослідження властивостей кола, що вписане трикутник.

Виховна мета: Викликати інтерес учнів до праць українських математиків.

Прилади та обладнання: дидактичний матеріал з теми, креслярські інструменти, наочність з теми, дротяні моделі трикутників різних видів.

Хід заняття

Організаційний момент.

Повідомлення часу та місця і умови проведення наступного факультативного заняття.

Повідомлення про правила ведення записів задач у зошитах для факультативних занять.

Повідомлення теми факультативного заняття та запис її на дошці.

Актуалізація опорних знань.

Запитання для "геометричного" штурму опорних знань учнів :

Граємо в "так-ні":

1.Чи рівні усі кути, якщо не рівні усі бісектриси трикутника?

2.Чи рівні усі бісектриси, якщо рівні усі висоти трикутника?

.Чи рівний кут 1000 між бісектрисами рівнобедреного прямокутного трикутника?

.Чи рівні усі кути тупокутного різностороннього трикутника?

.Чи вдвічі більший катет прямокутного трикутника з гострим кутом 600?

.Чи завжди рівні відстані від будь-яких двох точок прямої до паралельної прямої?

.Чи завжди радіус перпендикулярний до хорди, яку ділить навпіл?

.Чи хорда, яку діаметр поділив навпіл, перпендикулярна до діаметру?

.Чи дотична до кола може мати три точки дотику?

.Чи завжди дотична перпендикулярна до будь-якого діаметра кола?

.Дві прямі мають однакову спільну точку з колом. Чи вірно, що ці прямі січні для цього кола?

.Чи в усіх прямокутних трикутниках менша бісектриса рівна половині гіпотенузи?

.Із одної точки до кола проведені дві дотичні. Чи рівні відрізки цих дотичних?

.Чи завжди навколо трикутника можна описати коло?

.Чи завжди в трикутник можна вписати коло?

.Чи завжди висоти трикутника перетинаються в одній точці, що лежить у вершині трикутника?

17.Чи завжди бісектриси перетинаються в одній точці?

Мотивація вивчення нових знань.

Провести три відрізки всередині рівнобедреного трикутника так, площа поділилася на чотири рівні частини. А для прямокутного рівнобедреного трикутника?

Скільки таких відрізків потрібно?

Осмислення нових знань.

Означення поняття кола, вписаного в трикутник.

Коло називається вписаним в трикутник, якщо воно дотикається трьох сторін трикутника з внутрішньої частини. Трикутник має лише одне вписане коло.

Радіус цього кола позначають r. Центр вписаного в трикутник кола знаходиться в точці перетину бісектрис трикутника. Якщо радіус проведений до точки дотику трикутника з колом, то він перпендикулярний до сторони трикутника

Властивості:

1.Радіус вписаного кола в трикутник дорівнює подвоєній площі трикутника поділеній на периметр.

2.У прямокутному трикутнику радіус вписаного кола рівний півсумі катетів без гіпотенузи.

.Якщо продовження бісектриси кута С трикутника АВС перетинає описане коло цього трикутника в точці М, то відстані від точки М до центра вписаного кола рівна відстані від точки М до двох других вершин, тобто МО=МВ=МВ, де О - центр вписаного кола.

.Якщо АВ - основа рівнобедреного трикутника АВС, то коло, що дотикається сторін кута АСВ у точках А та В, проходить через центр вписаного в цей трикутник кола.

.Якщо пряма, що проходить через центр вписаного кола паралельна стороні АВ, то вона перетинає сторони ВС та АС у точках А1 та В1 відповідно, а відстань А1В1 = А1В + АВ1.

.Якщо відомо три сторони трикутника, то можна знайти радіус вписаного кола в цей трикутник за формулою

де .

Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати властивості вписаного кола

. Сторони трикутника відносяться, як 3:4:5. Побудувати бісектриси трикутника і вписане коло. В якому відношенні до сторін знаходиться радіус вписаного кола.

. Накресли прямокутний рівнобедрений трикутник. Проведи в ньому бісектриси. Вкажи центр вписаного в цей трикутник кола. Побудуй вписане коло.

. Середня лінія трикутника утворює з прилеглими сторонами кут 450. Який вид цього трикутника? Де знаходиться центр вписаного кола. Побудуй це коло.

. Трикутники АВС і МАВ рівні. Чи рівні відповідні радіуси вписаних кіл цих трикутників?

5. Трикутник КМN, К=90°, а = 3 см, b = 4 см, c = 5 см. Знайди радіус вписаного кола в трикутник АВС.

. У рівнобедреного трикутника АВС знайди довжину радіуса, якщо бічна СВ = 43 м, АВ = 10 м.

. Чи може центр вписаного кола лежати на середній лінії?

. Знайти кути прямокутного трикутника, якщо центр вписаного кола лежить на висоті трикутника.

. Обчислити радіус вписаного кола для трикутника, знаючи, сторони трикутника: 1) 2, 8, 4; 2) 4, 3, 5; 3) 2, 3, 5;, 4) 2, 7, 3; б) 8, б, 5. Знайти довжини відрізків, на які ділиться кожна сторона трикутника точкою дотику.

. Накресліть будь-який тупокутний різносторонній трикутник. Який вид трикутника утворили точки дотику кола і трикутника?

. Для яких трикутників центр вписаного кола лежать на перетині медіан?

. У трикутника три рівні середні лінії. Де лежить центр вписаного кола? Як відноситься середня лінія до радіуса вписаного кола?

. У трикутника , що утворений точками дотику даного трикутника і вписаного кола, рівносторонній. Чи може даний трикутник бути тупокутнім рівностороннім? (прямокутним рівностороннім?)

. Периметр рівнобедреного трикутника 18 см, бічна сторона на 3 см довша від основи. Знайти радіус вписаного кола для трикутника, який утворений точками дотику вписаного кола і даного трикутника.

Задачі для самостійних дослідів учнів.

.Чи існує вид прямокутного трикутника, щоб довжина радіуса вписаного кола була рівна довжині середньої лінії, що проведена до найбільшої сторони?

.Які існують види трикутників , у яких середня лінія не рівна радіусу вписаного кола? Замалювати кожний можливий випадок.

Підсумок заняття.

Фронтальне опитування

Які основні властивості центра вписаного кола в трикутник ми вивчаємо напамять? Як їх формулюють? Які властивості співвідношень у сторін та радіусів вписаних кіл?

ЗАКЛЮЧЕННЯ

Ми живемо в незвичайно різноманітному оточенні, в якому повинні вчитися та працювати, спілкуватися, вирішувати життєві проблеми. За висновками сучасних психологів, наприклад, Р.Чалдіні [43, с.20], для того, щоб вести себе в ньому адекватно, нам потрібні найкоротші шляхи. Не слід чекати від себе усвідомлення і аналізу всіх аспектів кожної особистості, події або ситуації, з якою ми стикаємося. У нас немає на це часу, енергії, потрібних здібностей. Нам доводиться дуже часто користуватися стереотипами для класифікації речей відповідно до деяких ключових рис. Звичайно, ми визнаємо недосконалість цих стереотипів. Але, зважаючи на все, будемо ще більшою мірою покладатися на них у майбутньому. Оскільки стимули, які наповнюють наше життя, продовжують ставати все більш складними і різноманітними, ми повинні будемо залежати від своєї здібності раціонально мислити і діяти, щоб справитись із потоком усіх цих стимулів.

Безперечно, саме математика здатна, на наш погляд, взяти на себе основну частину турботи про розвиток раціонального мислення в учнів. Тобто перша ціль навчання математики полягає в тому, щоб зробити результат навчання корисним у майбутньому. Отже, фактично постає проблема здійснення не тільки розвитку логічного та абстрактного мислення, але й прикладної спрямованості математики.

Знайомство з поняттями системи координат, а також основних елементів трикутника також сприяє вирішенню цієї задачі. В процесі такого знайомства, особливо із застосуванням наведення історичних довідок з приводу появи та розвитку відповідних понять, сучасного стану відповідних теорій учні повинні усвідомити, що немає «простих», статичних математичних понять. Кожний математичний обєкт є певною моделлю дійсності, і тому йому притаманна своя «нескінченність». Це стосується і таких «простих» понять, як «точка», «відрізок», «трикутник».

ВИСНОВКИ

У результаті проведеного дослідження видається за необхідне ще раз акцентувати актуальність заданої теми, її звязок з суміжними проблемами методики викладання. В роботі розглянуті різні підходи до введення систем координат на площині, способи задання трикутника в декартовій прямокутній системі координат на площині. Наведена інформація про основні елементи трикутника та деякі важливі точки та прямі в ньому, а також інші поняття, повязані з трикутником.

Розглянута методика викладання зазначених питань у середній школі: загальні методичні підходи, огляд діючих шкільних програм, аналіз змісту основних підручників геометрії.

Як приклад розглянуті геометричні задачі на побудову та прийоми вибору адекватного методу їх розвязання. Приведені детальні розробки навчальних занять, повязані з темами, розглянутими в роботі.

Методика викладання навіть таких простих математичних понять ще чекає свого подальшого розвитку, оскільки нові суспільні умови та, відповідно, нові завдання освітньої галузі математики потребують корекції існуючих шляхів розвязання зазначеної проблеми шкільного курсу математики. Повною мірою все висловлене вище можна віднести до важливої складової шкільного курсу математики - планіметрії.

Ця робота дозволяє ознайомитись з традиційними розробками по деяким питанням, пов'язаним із класичними обєктами елементарної математики, їх застосуванням та - особливо - методикою їх викладання .

Вона має перспективи для удосконалення і може бути стимулом для подальшого вивчення теми та самостійних розробок.

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1.Антоненко М.І. Розвязування геометричних задач: Книжка для вчителя. К.: Рад.шк.., 1991. - 128 с.

2.Балк Н. Б., Болтянский В.Г. „Геометрия масс. Москва, 1987 г.

3.Бартосевич П. Теореми про бісектрису трикутника // У світі математики. 2006. - №2.

.Бевз Г.П. Геометрія трикутника, - Київ, Генеза, 2005 р. - 120 стор.

.Бевз Г.П. Методика викладання математики: Навч. Посібник. - К.: Вища школа, 1989. - 367 с.

.Бурда М.И. Решение задач на построение в 6-8 классах: Методическое пособие. - К.: Рад.шк. 1986. - 112 с.

7.Виноградов И.М. Аналитическая геометрия, - М. Наука, 1986г. - 176 с.

.Гельфонд Н.М., Глаголева Е.Г., Кирилов А.А. Метод координат. - М. Наука, 1973 г. («Библиотека физико-математической школы»).

.Геометрия: Учеб.для 7-9 кл. сред. шк. (Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б. Кадоминцев и др. ) - М.: Просвещение, 1996. - 335с.

10.Голодюк Л.С. Властивості трикутників. - Х.: Вид. гр. Основа, 2003. - 80с. - (Серія Бібліотека журналу Математика в школах України; Вип. 9).

11.Голодюк Л. Рівнева диференціація як засіб індивідуалізації навчання // Імідж сучасного педагога. - 2004. - №2-3 (41-42). - С.90-92.

12.Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М.: Педагогика, 1987. - 160 с.

.Данхел В. Ейлер та геометрія // У світі математики. - 2003. - №3.

14.Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. - 2004. - №2. - С. 2-5.

15.Дороговцев А.Л., Ядренко М.Й. Метод координат. - Київ, Вища школа, 1972 р.

.Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. - Издательство Учпедгиз, 1962г.

17.Ковалева Т.М. Игра и учебная деятельность // Математика в школе. - 1988. - № 6

.Куваев М.Р. Диалог как форма обучения доказательствам // Математика в школе. - 1987. - № 4. - с. 36-38.

19.Кушнір І.А. Методи розвязування задач з геометрії: Кн.. для вчителя. - К.: Абрис, 1994. - 464 с.

.Кушнір І.А. Трикутник у задачах. - Київ, Либідь, 1994.- 104с.

21.Кушнір І.А. Трикутник і тетраедр у задачах. - К.: Радянська школа, 1991р.

.Кушнір І.А. Геометричні формули, що не ввійшли до шкільйих підручників, К. Факт, 2002р.

.Кушнір І.А. Геометрія. Школа бойового мистецтва. Навчальний посібник для учнів 7-9 класів. - К. Факт, 2001р.

.Кушнір І.А. Навчання у просторі. - К. Факт, 2002р.

.Кушнір І.А., Фінкельштейн Л.П. Не хочу бути двієчником. Навчальний посібник з математики для учнів 5-6 класів та їх батьків. - К. Факт, 2000 р.

.Кушнір І.А., Приклади й задачі для кмітливих і ледачіх- К. Факт, 2003 р.

.Методика вивчення властивостей трикутника в умовах рівневої диференціації в основній школі: Автореф. дис. канд. пед. наук: 13.00.02 [Електронний ресурс] / Л.С. Голодюк; Нац. пед. ун-т ім. М.П.Драгоманова. К., 2005. - 20 с.

28.Методика викладання математики в середній школі: Пер.з рос. О.Я.Блох, Е.С.Канін, Н.Г.Килина та ін.; Упоряд. Р.С.Черкасов, А.А.Столяр. - Х.: Вид-во Освіта при Харк. Ун-ті, 1992. - 304 с.

.Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб.пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 2105 «Физика» /А.Я.Блох, Е.С.Канин, Н.Г.Килина и др.- М.: Просвеще Акири И.К. Логические тесты на уроках математики // Математика в школе. - 1994. - № 6 с. 27-33.

30.Миндюк М.Б. Составление и использование разноуровневых заданий для дифференцированной работы с учащимися // Математика в школе. - 1991. - № 3

31.Моторіна В.Г. Теорія і практика розвитку графічної грамотності учнів VII-IX класів у навчанні математики. Навч. посібник для вчителів математики середних шкіл та студентів физико-математичних факультетів педвузів - Х.: ХДПУ, 1994. - 133с.

32.Назаренко М. О. Барицентричні координати та чудові точки трикутника -Матеріали Всеукраїнської науково-методичної конференції «Проблеми математичної освіти» (ПМО-2005), 2022 квітня 2005 р., м. Черкаси, Україна. Черкаси, [2005]. <#"justify">40.Саранцев Г.И. Обучение доказательству // Математика в школе. - 1996. - № 6. - с.16-20.

.Смогоржевський О.С. Елементи геометрії трикутника - К., Радянська школа, 1939 р.

42.Смогоржевський О.С. Метод координат - К., Радянська школа, 1959 р.

.Станцо В.В., Савін А.П., Котова Г.Ю. Я пізнаю світ: дитяча математична енциклопедія - К. : Школа - 2002 р.

44.Структурування й алгоритмізація шкільної геометрії як основа інформатизації вивчення курсу [Електронний ресурс] / В.В. Міхеєв // Вісн. Житомир. держ. ун-ту ім. І. Франка. - 1998. - N 1

45.Финкельштейн В.М. Заинтересованность учеников // Математика в школе. - 1993. - № 2. - с. 17-21.

.Фирсов В.В. Дифференциация обучения на основе обязательных результатов.-М., 1994.

.Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе: Учителю математики о пед. психологии. - М.: Просвещение, 1983. - 160 с.

.Фридман Л.М. Учитесь учиться математике: Кн. для учащихся. М.: Просвещение, 1985. - 112 с.

.Хинчин А.Я. О воспитательном эффекте уроков математики // Математика в школе. - 1995. - № 5. - с. 3-8.

50.Чалдини Р. Психология влияния. - Санкт-Петербург: Питер-ком, 1999. - 272 с.

.Четина Т.П. Игра на местности в 7 классе // Математика в школе. - 1993. № 3. - с. 7-8.

52.Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителей. - М.: Просвещение, 1994. - 222 с.

Больше работ по теме: