Уравнения. Системы уравнений. Графики функции

Глава 1. Уравнения. Системы уравнений

1. Линейные уравнения

1. Уравнение первой степени вида , называется линейным уравнением. Где - переменные, числа  и  стоящие перед переменными называются коэффициентами, а и  - свободные члены. Запишем линейное уравнение

                 (1)

Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида

                    (2)

Пусть , а , тогда уравнение (2) будет иметь вид

                  (3)

Примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения, а свободные члены в правую часть, получим:

Используя уравнение (3) получим:

Ответ:

2) Решить уравнение

Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член – 4. Но, перенося его в правую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим , тогда

Отсюда:

Ответ:

3) Решить уравнение

В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к. , тогда:

Отсюда:

Ответ:

4)

Используя объяснения к уравнению 2), получим

Отсюда:

Ответ:

5)

Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим

Отсюда:

Ответ:

2. Пусть дано линейное уравнение вида

             (4)

В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член  в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член . И так, решим уравнение (4).

Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член  в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим

            (5)

Отсюда:

Если , то

Решение уравнения (4) можно записать в виде системы:

       (6)

Пример. Решить уравнение

Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член  в правую часть со знаком «минус», тогда

Отсюда:

Ответ:

3. Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:

               (7)

Для решения уравнения (7) выразим переменную  через переменную , т.е. получим уравнение вида

                      (8)

Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение . Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.

Пример. Решить уравнение

Воспользуемся формулой (8), тогда

Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при  , получим:

Ответ:

2. Квадратные уравнения

Уравнение второй степени вида  называется квадратным. Для решения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:

 и       (9)

Где  и  - корни квадратного уравнения

Пусть , тогда если , то можно записать:

                           (10)

Если , то уравнение не имеет решений.

Пример. Решить уравнение

Пользуясь формулами (9) получим:

Ответ:  и

3. Уравнение третей степени

Уравнение третей степени вида  называется кубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим  неизвестное -  на коэффициент  и вводя подстановку .

Получим более упрощенное уравнение третей степени:

        (11)

Поскольку уравнение в третей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня, которые сейчас определим из следующей системы

         (12)

Корни - есть решения уравнения, где  - комплексное число.

4. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным

1.Рассмотрим уравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. дано уравнение вида:

             (13)

Для решения такого уравнения, выразим через , получим,

                (14)

Решая это уравнение по следующим формулам, имеем:

 и                   (15)

Пример. Решить уравнение.

Выразим через , получим , решая это уравнение по формулам (19) получим

Отсюда получаем множество корней (решений)

Ответ: .

2. Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е. имеется уравнение вида

               (16)

Для решения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая, по сравнению с другими степенями, это будет переменная , вынося ее за скобку получим:

             (17)

Отсюда , т.е. мы получили некоторое множество нулей. Уравнение , решается через дискриминант.

Пример. Решить уравнение

Вынесем  за скобку, получим , отсюда , который имеет множество корней (0; 0; 0). Далее, решая уравнение,  получим  и . Таким образом, получили множество решений (0; 0; 0; -2; ).

5. Системы уравнений

Пусть дана система уравнений

                   (18)

где  - коэффициенты при неизвестных  и ,  и  - свободные члены.

Система (18) решается тремя способами 1) Графический способ; 2) Способ подстановки; 3) Способ сложения. Первый способ рассматривать не будем. Остальные способы рассмотрим при решении следующих систем уравнений.

1)   Способ подстановки.

Возьмем первое уравнение системы  и из этого уравнения выразим через , получим:

Подставив это выражение во второе уравнение системы, получим

Отсюда,

Запишем последнее уравнение и решим его:

Подставив теперь найденное значение  в выражение, стоящее выше, получим:

Ответ:  и

2)   Способ сложения.

Умножим первое и второе уравнения система на 2, получим:

Затем, сложив почленно уравнения системы, получим . Найдем значения игрека, для этого найденное значение икса подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим:

3)   Способ сложения.

Запишем систему

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 2, получим:

Сложим 6x и 8x, получим 14x и 12+6=18, отсюда . Подставив теперь значение x в любое уравнение системы, получим:

Ответ:

7. Система трех уравнений с тремя переменными

                           (19)

где - коэффициенты при неизвестных ,  - свободные члены.

Для решения системы (19) составим определитель

                        (20)

Первое число у индекса указывает число (номер) строки, второе число – номер столбца. Сам определитель обозначается буквой d.

Для вычисления определителя пользуются правилом Крамера, т.е.:

d==

Корни системы (24) находятся по формулам:

Где  - числа, которые следует определить по следующему правилу:

Таким же методом определяются остальные определители

ГЛАВА 2. ГРАФИК ФУНКЦИИ

1. График функции

Функция  называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:

Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.

Решим два уравнения

Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.

2. Квадратичная функция

Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение .

Больше работ по теме: