Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"

(ГОУ ВПО ВГУ)

Факультет Прикладной математики, информатики и механики

Кафедра нелинейных колебаний

Дипломная работа

Специальность 010501 "Прикладная математика и информатика"

Специализация "Оптимизация и оптимальное управление"

Уравнение Дуффинга и его странные аттракторы

Допущена к защите в ГАК

Зав. кафедрой

доктор физико-математических

наук, профессор Задорожний В.Г.

Студент 5 курса Пронин А.А.

Научный руководитель Портнов М.М.

Воронеж 2010

Оглавление

Введение

1. Исследование регулярных и хаотических явлений в вынужденном осцилляторе Дуффинга

2. Стробоскопическое исследование явления

3. Неподвижные точки (точки равновесия) и периодические точки

4. Дважды асимптотические точки и свойства отношений

5. Метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений

5.1 Общая формулировка методов типа Рунге-Кутта

5.2 Метод четвертого порядка точности

5.3 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта

6. Набор устойчивых состояний в осцилляторе Дуффинга

7. Самоподобие фрактала

8. Глобальная структура аттрактора, бифуркации аттракторов и областей притяжения

9. Описание программы

9.1 Описание процедур и функций

9.2 Работа с программой

9.3 Примеры работы программы (скриншоты)

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Целью данной работы является аналитическое и численное исследование уравнения Дуффинга и его странных аттракторов. Для анализа решений уравнения был выбран метод стробоскопического исследования Пуанкаре. Для получения решений предполагается использовать численный метод решения дифференциальных уравнений - метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Также будет разработана программа, возможностями которой являются изменение параметров уравнения, а также построения траектории движения с нанесением точек последовательности Пуанкаре, и/или самой стробоскопической последовательности с изменением начальной фазы, а также выявление характера решений в зависимости от параметров и построение спектра Фурье для указанных условий уравнения.

1. Исследование регулярных и хаотических явлений в вынужденном осцилляторе Дуффинга

В нелинейных системах возникают различные явления, не только характерные для таких систем, но и нестандартные. Одна из наиболее представительных и простейших нелинейных систем может быть представлена демпфированным (затухающим), вынужденным периодическим нелинейным осциллятором, и выражаться следующим уравнением:

(1.1)

где - коэффициент демпфирования (затухания),

- нелинейная восстанавливающая сила,

- периодическая функция периода .

Периодические вынужденные колебания, описанные этим уравнением, предоставляют широкий спектр интересных явлений, которые характерны для поведения нелинейных динамических систем, такие как регулярное и хаотическое движение, сосуществующие аттракторы, регулярные и фрактальные границы областей притяжения, а также локальная и глобальная бифуркация.

Уравнение было впервые выведено Дуффингом, и было изучено теоретическим и экспериментальным путем многими исследователями. С феноменальной точки зрения, устойчивое состояние, управляемое уравнением Дуффинга (1.1), может быть периодическим движением, основной период которого также будет равен периоду внешней силы или ее целочисленному множителю. В большинстве стандартных динамических систем устойчивое состояние может быть почти периодическим движением, однако в случае уравнения (1.1) положительный коэффициент демпфирования уничтожает эту возможность. Следовательно, для рассматриваемых систем, регулярное движение является периодическим устойчивым состоянием. Регулярное движение обширно изучается на протяжении уже более 50 лет, однако, из-за полностью определенной природы уравнения, на возможность хаотического движения долгое время не обращали внимания. Специфическое свойство хаотического движения заключается в его долгосрочном поведении, которое не может быть не воспроизведено в повторных опытах при очевидно идентичных начальных условиях. Это сильно контрастирует с идеальным краткосрочным предсказуемым результатом, который гарантируется определенностью природы уравнения (1.1).

Эксперименты на аналоговых и цифровых моделях позволяют провести исследование большинства характерных типов поведения: эти эксперименты необходимы для более полного понимания, однако одних экспериментов недостаточно, вместе с этим требуется осторожная интерпретация в термины геометрической теории динамических систем.

Еще в начале 1970 г существовала теория, что может быть только два типа устойчивых состояний в неавтономных периодических системах второго порядка: периодическое и почти периодическое движение. Похожая теория существовала среди физиков, которые предполагали, что турбулентность (завихрения) жидких сред есть сложная форма почти периодического движения. Эта уверенность была оспорена в 1971 году Руелом и Такенсом, которые предположили, что нерегулярные движения управляются странными аттракторами, что дает лучшее объяснение турбулентности. Теория странных аттракторов широко используется в синергетике, современной прикладной теории управления, часто, в хорошо изученных областях вдруг обнаруживают эти явления.

Рис.1.1 Турбулентный след в течении за круговым цилиндром

уравнение дуффинг аттрактор дифференциальный

2. Стробоскопическое исследование явления

Рассмотрим основные понятия теории дискретных динамических систем в приложении к нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка.

Уравнение (1.1) есть частный случай неавтономной периодической системы

, (2.1)

где и - функции, обе периодичны по с периодом . Здесь необходимое свойство непрерывности и предполагает гарантию существования и единственности решения при любых начальных условиях и для всех .

Решение уравнения (2.1) описывает движение некоторой точки в плоскости . Рассмотрим решение

(2.2)

уравнения (2.1), которое при находится в произвольной точке плоскости . Решение (2.2) описывает кривую пространства , и проекция этой кривой решения на плоскость представляет фазово-плоскостную траекторию движения, с началом движения в точке при . Обратим внимание на местоположение некоторой точки в моменты , где n - целочисленный множитель, равный 0,1,2… Бесконечная последовательность точек

(2.3)

где , называется положительной полупоследовательностью или полуорбитой из . Эта полуорбита представляет поведение движения, начатого из точки , таким образом со временем или если n стремится к бесконечности, точки приближаются через неустойчивое состояние к набору точек который представляет конечное устойчивое состояние. Точка накопления на положительной полуорбите (2.3) из называется предельной точкой и набор таких точек называется предельным множеством из . Аналогичным образом на отрицательной полуорбите при определяются предельная точка и предельное множество из . Орбита вместе со своими предельным и предельным множествами называется полной группой.

Стробоскопическое исследование движения точки схематично проиллюстрировано на рис.2.1, где взяли . Константа представляет собой фазу стробоскопического исследования, и она может быть любой величиной выбранной из промежутка между 0 и . Выбор может изменить местоположение стробоскопических точек на орбите, но не изменяет их топологической структуры. Также следует заметить, что благодаря периодичности и перемещение по времени на любое число кратное не изменяет ситуацию.

Рис.2.1 Схематическое изображение стробоскопической последовательности исследования.

(a) кривая решения в пространстве txy

(b) проекция траектории на плоскость xy

(c) стробоскопическая положительная полуорбита в плоскости xy

Это стробоскопическое исследование явления может быть описано в терминах теории дискретных динамических систем. Решение уравнения (2.1) определяет дискретную динамическую систему на или отображение плоскости саму в себя.

, (2.4)

где есть образ при отображении, а обозначает набор параметров, содержащихся в и в уравнении (2.1). Также обозначим обратное отображение , и n-ную итерацию при отображении как . Из свойств решения дифференциального уравнения известно, что отображение (2.4) есть гомеоморфизм, то есть взаимно однозначное непрерывное в обе стороны отображение. При предположении достаточной гладкости, это отображение является диффеоморфизмом, то есть прямое и обратное отображения имеют непрерывные производные. И последнее, отображение (2.4) всегда сохраняет направление.

Строя описанным способом отображения для исследования поведения кривой решения в пространстве , мы можем изучить последовательные образы начальной точки в плоскости или образы дискретной динамической системы в плоскости при отображении самой в себя. Если решение имеет период , то точка является неподвижной точкой при отображении . Эта ситуация проиллюстрирована на рис.2.2 Если решение имеет период , то есть решения с периодом , но не с периодом меньше, чем , точки все будут неподвижными точками при отображении . Каждая такая точка называется m-периодической точкой, а все эти точки вместе называются m-периодической группой. Эта ситуация показана на рис.2.3 при m=2.

Рассмотрим в моменты и уравнение (2.1) и переведем его в фазовое пространство, которое представляет собой декартову систему координат на плоскости с круговым представлением периодов.

Рис.2.2 Периодическое решение с периодом T и неподвижной точкой p0

Рис.2.3 Периодическое решение с периодом 2T и двупериодичными точками p1 и p2

Рисунок показывает, что стробоскопическое отображение является частным случаем отображения Пуанкаре, а стробоскопическая орбита является разрезом Пуанкаре на кривой в пространстве .

3. Неподвижные точки (точки равновесия) и периодические точки

Рассмотрим классификацию неподвижных и периодических точек в соответствии с типом и количеством этих точек, содержащихся в максимально ограниченном инвариантном множестве . Это простейшие типы минимальных множеств из решений уравнения (2.1). Поведение последовательных отображений в окрестности неподвижной или периодической точки определяет стабильность связанных с нею периодических решений. Пусть - неподвижная точка, и - соседняя с точка. Пусть - образ при отображении , тогда получим следующие отношения:

(3.1)

Эта ситуация показана на рис.4 (а) при . Как видно на рисунке, когда попадает в окрестность , ее образ очерчивает эллипс вокруг в том же смысле как . Для малых величин и , и может быть разложена по степеням и :

(3.2)

где , , и , где обозначает значение выражения при . Таким образом, в правой части системы (4.2) неявно выражаются степени больше первой через и . Система (4.2) описывает отображение в окрестности неподвижной точки , и это отображение характеризуется корнями и уравнения

(3.3)

Так как корни и определяются из квадратного уравнения, они либо оба действительные, либо оба комплексно сопряженные. Однако, в этом случае, из общей теории дифференциальных уравнений, их произведение всегда положительно, потому что удовлетворяют следующему равенству

(3.4)

где обозначает значение выражения на рассматриваемом периодическом решении.

Неподвижная точка называется простой, если оба модуля и отличны от единицы. Если один из модулей равен единице, это означает, что неподвижная точка кратная. Левинсон простые неподвижные точки классифицировал так:

сток или полностью устойчивая точка, если и

источник или полностью неустойчивая точка, если и

седло или прямо неустойчивая точка, если

седло или обратно неустойчивая точка, если

Эту же классификацию можно применять и к периодическим точкам.

Рис. 4. Поведение образов в окрестности периодического решения, соответствующего устойчивым типам неподвижной точки

(a) схематический чертеж отображения в координатах

(b) сток

(c) источник

(d) седло

Если неподвижная точка является стоком, то существует окрестность неподвижной точки, которая сжимается к точке, как показано на рис.4 (а) и (b); все точки в этой окрестности стремятся к неподвижной точке при последующем применении отображения . Это значит, что при , соответствующее решение стремится к периодическому решению, так что это периодическое решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Если неподвижная точка является источником, окрестность неподвижной точки расширяется от точки, как показано на рис.4 (c) и все точки в этой окрестности отклоняются дальше от неподвижной точки при отображении . Если неподвижная точка является седлом, имеет место ситуация, когда окрестность сжимается и расширяется локально при отображении как показано на рис.4 (d). В этом случае, общая граница седла образуется четырьмя инвариантными кривыми или ветками: две ветки, чьи точки стремятся по направлению к седлу при отображении и две ветки, чьи точки стремятся по направлению к седлу при отображении. Для седла различия между прямой и обратной неустойчивостью показаны на рис.5. Здесь последовательные местоположения периодического решения уравнения (2.1) через один период показаны соответственно для прямо неустойчивой неподвижной точки и обратно неустойчивой точки . Выбирая угол стробирования в 12 различных значениях от 0 до , мы проследим вращение, расширение и сжатие на локальных и ветках.

Рис. 5. Схематический чертеж, иллюстрирующий различия между двумя типами сёдел. (a) Прямо неустойчивое седло; (b) Обратно неустойчивое седло;

круглая точка () обозначает расширение ветки

квадратная точка () - сжатие ветки

Заметим, что для более наглядной иллюстрации, фазовая плоскость при немного сдвинута от позиции фазовой плоскости при , это сделано для того, чтобы конечный образ (или ) можно было отличить на рисунке от начального образа. В обоих случаях круглая точка () обозначает расширение ветки, а квадратная точка () - сжатие ветки. В данном случае с наблюдается один полный поворот в течение периода , в случае с наблюдается полуповорот за период. Это только простейший случай; в общем случае может сделать целое число поворотов в течение одного периода, и может сделать полуцелое число поворотов. Показан только локальный линейный участок и веток, большие участки будут представлены кривой линией из-за нелинейности.

Левинсон и Массера исследовали число неподвижных и периодических точек уравнения (2.1) в плоскости . Пусть будет общее число периодических точек и будет общее число полностью устойчивых и полностью неустойчивых периодических точек. Аналогично, пусть и будет число прямо неустойчивых и обратно неустойчивых периодических точек соответственно. Если уравнение (2) имеет максимально ограниченное инвариантное множество и все периодические точки простые, мы имеем следующие:

Для ,

(3.5)

Для

(3.6)

Для

(3.7)

Эти отношения позволяют сделать независимую проверку, является ли численный поиск неподвижных точек или периодических точек завершенным. Если количество и тип исследованных точек не подчиняется этим отношениям, то без сомнения существует неучтенный дополнительный набор точек; однако обратное требование не обязано быть верным: отношения могут выполняться для неполного набора неподвижных и периодических точек.

После неподвижных и периодических точек, следующий простейший тип минимального множества это инвариантная замкнутая кривая в стробоскопическом исследовании (сечении Пуанкаре).

4. Дважды асимптотические точки и свойства отношений

В системах, описанных автономными дифференциальными уравнениями второго порядка, в плоскости не существует двух траекторий, пересекающих друг друга, они могут только приближаться друг к другу, асимптотически двигаясь к точке равновесия. Однако, в неавтономных периодических системах второго порядка возникает несколько другая ситуация: инвариантные ветки седловых точек отображения могут пересекать одна другую, представляя сложную структуру в динамике.

Если мы рассмотрим все и ветки неподвижных или периодических точек для всех порядков в плоскости , то мы увидим, что и ветки не могут пересекать другие и ветки. Однако, ветка может пересекать ветку, и точки пересечения в таком случае называются дважды асимптотическими точками.

Дважды асимптотическая точка называется гомоклиничной, если и ветки на которых она лежит, исходят из одной точки или из двух точек принадлежащих одной периодической группе. Гомоклиничная точка принадлежит простому типу. Дважды асимптотическая точка называются гетероклиничной, если и ветки, на которых она лежит, исходят из двух периодических точек, принадлежащих разным периодическим группам. Говорят, что дважды асимптотическая точка принадлежит общему типу, если две ветки, которые пересекаются в дважды асимптотической точке направлены в противоположные стороны, значит, не совпадают, и существует единственная касательная в точке; в противном случае точка была бы специального типа. Когда отображение не имеет ни дважды асимптотических точек специального типа, ни неподвижных или периодических точек кратного типа, отображение называется принадлежащим общему аналитичному случаю.

Биркхоф доказал следующие теоремы:

В общем аналитичном случае, произвольно малая окрестность гомоклиничной точки содержит бесконечно много периодических точек.

В общем аналитичном случае, произвольно малая окрестность гомоклиничной точки содержит гомоклиничную точку простого типа.

Рис. 6. Схематичная иллюстрация гомоклиничной структуры, показывающая гомоклиничные точки и окрестность периодических точек.

Для того чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, на рис.6. изображен пример гомоклиничной точки простого типа, вместе с окрестностями, а также ветка (вертикальная линия) и ветка (горизонтальная линия). Существование гомоклиничной точки подразумевает существование других гомоклиничных точек и действительно бесконечную последовательность гомоклиничных точек, приближающихся к вдоль своей в ветки, каждая точка является образом своей предыдущей при отображении . Также как последовательность прообразов и так далее является последовательностью гомоклиничных точек, приближающихся к вдоль своей в ветки. Около , растяжение и сжатие окрестности управляется локальной линейной аппроксимацией ; образы такой окрестности, которые схематично изображены заштрихованными областями, становятся крайне вытянутыми и сжатыми при применении вблизи . Пример периодической точки с образами показывает: дополнительные периодические точки больших периодов лежат вблизи гомоклиничных точек.

Оригинальные термины и ветки, которые использует в своей работе Уеда, в другой интерпретации называются ветка - неустойчивым многообразием, а ветка - устойчивым многообразием.

Мы рассмотрели математическое описание поведения идеальной динамической системы которая полностью определена, вмешательство каких-либо шумов исключено, и система описана с абсолютной точностью.

Изучим поведение этой идеальной системы посредством симуляторов реального мира используя аналоговые и цифровые компьютерные устройства. Это привнесет неизбежные помехи, такие как некоторое количество шумов, неточная погрешность, вычислительные ошибки при аппроксимации решения алгоритмами и округление. Хоть такие эффекты невозможно учесть в строгом математическом анализе, эта особенность симуляторов реального мира оказывают сильное влияние на результаты исследования видов инвариантного множества, которое соответствует устойчивому поведению.

5. Метод Рунге-Кутты решения дифференциальных уравнений

5.1 Общая формулировка методов типа Рунге-Кутта

Пусть на отрезке [x0; x0+X] требуется найти численное решение задачи Коши.

(5.1)

(5.2)

на сетке узлов x0 <x1 <…< x0+X.

Методы типа Рунге-Кутта являются явными одношаговыми методами, то есть такими, которые последовательны в каждом узле xi сетке определяют приближенное решение yi на основе известного значения приближенного решения yi-1 в предыдущем узле xi-1. Основная идея метода была предложена К. Рунге в 1895 г., а затем развита В. Кутта в 1901 г. Согласно предложению Рунге, приближенное решение y1 в узле x1=x0+h ищется в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами

(5.3), где

…

Коэффициенты определяются из требования, чтобы погрешность равенства (5.1) на точном решении задачи (5.1), (5.2) имела возможно высокий порядок малости при произвольном шаге h для любых уравнений вида (5.1).

Запишем точное решение y (x1) в узле x0+h по формуле Тейлора

, где

.

Погрешность метода на шаге, или локальная погрешность метода, есть величина

(5.4)

Ее разложение по степеням h должно начинаться с максимально возможной степени:

(5.5)

Если коэффициенты определены так, что погрешность имеет вид (5.5), то говорят, что формула (5.3) метода Рунге-Кутта имеет порядок точности S, при этом первое слагаемое в (5.5) называют главным членом локальной погрешности метода на шаге.

Известно, что если q=1,2,3,4, то можно подобрать такие коэффициенты , что получится метод Рунге-Кутта порядка точности q. Для q=5 невозможно построить метод типа Рунге-Кутта пятого порядка точности.

5.2 Метод четвертого порядка точности

В этом случае формулы типа Рунге-Кутта содержат 13 неизвестных параметров; условия, обеспечивающие четвертый порядок точности метода на шаге, дают 11 нелинейных уравнений. Ниже приводится три наиболее часто употребляемые формулы.

1. Стандартная формула Рунге-Кутта четвертого порядка

(5.6)

2. Формула трех восьмых

(5.7)

3. Формула четырех шестых

5.3 Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта без труда переносятся на решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений размерности M,

(5.8), где

Формулы Рунге-Кутта записываются в векторном виде

, (5.9)

где

…

В качестве примера рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений

(5.10)

и двучленную формулу метода Рунге-Кутта

Обращаем внимание на то, что в записях верхний индекс обозначает номер компоненты векторного решения, а нижний индекс - номер точки, в которой рассматривается решения. Распишем покомпонентно векторную формулу (5.10):

Выражения для главных членов погрешностей в случае решения систем уравнений (6.2) становятся громоздкими. Однако следует подчеркнуть, что выводы относительно главных членов погрешности, сделанные для одного дифференциального уравнения, остаются в силе и для системы дифференциальных уравнений. Если для системы дифференциальных уравнений записывается аналог метода типа Рунге-Кутта порядка S, то главная часть погрешности для каждой компоненты решения имеет также порядок S+1:

(5.11)

Когда говорят, что решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений получено с абсолютной погрешностью то подразумевают, что все компоненты решения имеют абсолютную погрешность, не превышающую .

6. Набор устойчивых состояний в осцилляторе Дуффинга

Рассмотрим частный случай уравнения Дуффинга (2):

(6.1)

или

, (6.2)

Это уравнение описывает вынужденные колебания в различных системах с постоянным положительным коэффициентом затухания и нелинейной возвращающей силой , представляющей упрощенное выражение сложной симметричной пружины в механической системе, или магнитное насыщение в электрическом контуре с насыщенным стержнем индуктора. В степенях таких уравнений предполагаются некоторые аппроксимации и упрощения, небольшие колебания и помехи не учитываются.

Можно было бы рассмотреть более общий случай, когда вынужденная угловая частота отлична от единицы и коэффициент перед также отличен от единицы. Однако, такая система всегда может быть приведена к уравнению (6.1) через приближенную замену и . Хотя в данном случае удобнее рассматривать вынужденную частоту как параметр, мы используем и как координаты параметрического пространства, и не рассматриваем явный переход в другое эквивалентное параметрическое пространство координат, такое как и .

Симметрия уравнения (6.2), связанная с его инвариантностью при подстановке , , означает, что периодическая траектория также симметрична сама себе по отношению к началу координат плоскости , или же она сосуществует вместе с другой периодической траекторией симметричной к ней по отношению к началу координат. Заметим, тем не менее, что стробированные точки симметрично связанных траекторий могут возникнуть, если только одна точка из пары стробирована с фазой смещения на . Положительность дампинга подразумевает в отсутствие точек-источников и инвариантных замкнутых кривых, представляющих большинство периодических движений (более подробно об этом можно узнать из специализированной литературы). Площадь максимального ограниченного инвариантного множества при отображении определенная уравнением (6.2) обязательно должна быть равна нулю.

В дампированной вынужденной колебательной системе, заданной уравнением (6.1), можно исследовать различные типы устойчивых состояний в зависимости от параметра системы аналогично исследованию типов начальных состояний. Рис.7 показывает области на плоскости , на которых исследовались различные устойчивые движения. Области обследовались и аналоговыми и цифровыми симуляторами. Римскими цифрами I, II, II¢, III и IV обозначается периодическое движение с периодом . Дробь ( и ) обозначает области, в которых возникают субгармонические или ультрасубгармонические движение порядка . Ультрасубгармоническое движение порядка это периодическое движение с периодом , чья главная частота равна от частоты внешних сил. Вдобавок к этим регулярным устойчивым состояниям, заштрихованными областями обозначены хаотические движения. На участках заштрихованных непрерывными линиями, хаотическое движение возникает однозначно, независимо от начального состояния; там, где части заштрихованы прерывистыми линиями, сосуществуют два различных устойчивых состояния, одно из них хаотическое, а другое постоянное движение, причем возникновение каждого из них зависит от начального состояния. Ультрасубгармонические движения высших порядков () могут возникнуть в системе естественным образом, но они могут существовать только в узких областях и, следовательно, ими пренебрегают на рис.7. Также не учитываются некоторые едва различимые детали границ областей.

Рис.7. Области различных устойчивых состояний для системы определяемой уравнением (6.1)

Используя эту схему, можно для каждого региона выделить набор типичных параметров . Их местоположение обозначено буквами от до на рис.7.

Три случая (), () и () иллюстрируют хаотическое движение, при котором траектории возникают после того, как переходное состояние затухает. Это удивительная особенность хаотических устойчивых состояний, однако, вследствие присутствия небольших ошибок в симуляторе, точная установившаяся траектория не может быть воспроизведена в повторных экспериментах; все же, несмотря на это, такая структура со временем развивается. Это дает более ясную картину при использовании стробоскопической выборки. Для более ясного видения ситуации, только одна траектория просчитывалась долгое время и устойчивое состояние ее стробоскопической орбиты показано на рис.8 для этих трех случаев. Полученные нами орбиты обнаруживают присутствие хаотического аттрактора, то есть движение устойчивого состояния с определенной структурой, а также аспект случайности.

а)

б)

в)

а)(k) k = 0.05, B = 7.50б) (l1) k = 0.25, B = 8.50в) (o1) k = 0.10, B = 12.0

Рис.8. Хаотический аттрактор для трех представленных наборов значений параметров.

Рис.9.

Волны соответствующие хаотическому аттрактору на рис. 9, полученные аналоговым симулятором.

Рис.9 показывает соответствующие формы волны, полученные на аналоговом симуляторе, которые практически неотличимы от результатов случайного процесса.

Как было показано выше, многочисленные аттракторы являются общими для системы (17), и действительно, регулярные и хаотические аттракторы могут сосуществовать, например, для случаев () и (). Можно поставить в соответствие каждому аттрактору множество всех начальных точек, которые приводят к нему; это множество точек называется областью притяжения аттрактора (область стока аттрактора). Такие области отделены ветками нескольких седловых точек в плоскости , и всё вместе - области притяжения всех аттракторов и то, что их отделяет (границы областей), составляют полную плоскость .

Для каждого региона на рис.7, обозначенного римскими цифрами, количество неподвижных точек внутри региона постоянно, но количество точек на границе этих регионов изменяется. Полагается, что все неподвижные точки, которые могут существовать внутри параметрической области рис.7 определены, хотя мы не можем исключить такой возможности, что некоторые неподвижные точки существуют в настолько маленьких регионах, что при небольшом дампировании (затухании) ими можно пренебречь. Будем использовать для обозначения числа периодических только точек-стоков; как и раньше, через и будем обозначать число прямо или обратно неустойчивых седловых неподвижных точек.

Таблица 1. Количество неподвижных точек в плоскости для различных областей параметров.

Область на плоскости kBЧисло неподвижных точек IS (1) = 2D (1) = 1II - II¢ - IIIS (1) или I (1) = 2D (1) = 1II¢S (1) = 4D (1) = 3II Ç IIIS (1) = 1D (1) = 2III - IIS (1) = 2D (1) = 1IVS (1) или I (1) = 2D (1) = 1 СнаружиI È II È III È IVS (1) = 1

Рис. 10. Фазовые портреты области притяжения аттрактора последовательно на фазах, отличающихся на период , для случая значений параметра () рис. 7 сжатия.

Рисунок 10 показывает фазовые портреты области притяжения аттрактора последовательно на фазах, отличающихся на период , для случая значений параметра (). В этом случае максимально ограниченное инвариантное множество точек состоит из следующих точек: сток (пустой круг ), прямо неустойчивое седло (черный круг ) вместе с их ветками, и хаотический аттрактор. Неблуждающее множество представляет собой сток, седло и хаотический аттрактор. Последовательность рисунков показывает одно действие вытягивания и сжатия на интервале от до , и далее, на интервале от до аналогично происходит второе действие вытягивания и сжатия симметричным образом. Как мы позже увидим, хаотический аттрактор содержит ровно три седловые неподвижные точки, одну прямо неустойчивого типа и две обратно неустойчивого типа.

7. Самоподобие фрактала

В большинстве физических линейных систем при заданном воздействии на входе, существует только один режим движения. Например, для линейной системы масса - пружина - демпфер это будет затухающее движение, в результате которого масса приходит в состояние покоя. У такой системы всего лишь один аттрактор, а именно точка равновесия. Однако у нелинейных систем может быть несколько положений равновесия или, как в случае некоторых самовозбуждающихся систем, может существовать несколько периодических или непериодических движений.

Положения равновесия и периодические движения, или движения по предельным циклам, называются в математической теории динамических систем аттракторами. Диапазон значений входных или управляющих параметров, при которых движение стремится к данному аттрактору, называется его областью притяжения в пространстве параметров.

Рис. 13. Схематическое изображение двух аттракторов в фазовом пространстве и границы между их областями притяжения.

Если существуют два или более аттракторов, то переход из одной области притяжения в другую называется границей области притяжения (рис.13). Принято считать, что в классических задачах граница области притяжения представляет собой гладкую непрерывную линию или поверхность, как на рис.13. Это означает, что, когда входные параметры далеки от границы, небольшие отклонения в их значениях не влияют сколько-нибудь существенно на характер движения. Выяснилось, однако, что во многих нелинейных системах граница областей притяжения негладкая. Более того, она фрактальная. Хотя точного определения фрактала до сих пор не предложено, можно сказать, что фракталом называется структура, состоящая из частей, которые сходны между собой и подобны целому. Отсюда и термин - фрактальная граница области притяжения. Существование фрактальных границ областей притяжения сказывается, причем весьма ощутимо, на поведении динамических систем: при наличии фрактальных границ небольшие вариации начальных условий или других параметров системы могут приводить к значительным изменениям в ее поведении. Тем самым поведение систем с фрактальными границами областей притяжения становится не всегда предсказуемым.

Типичный вид фазового портрета области притяжения аттрактора был продемонстрирован в предыдущем разделе на примере стробоскопические сечения Пуанкаре в различных фазах. На этих портретах границы областей были образованы ветками сёдел при отображении в плоскости. Границы возникали путем поточечного рисования веток, выходящих из сёдел, с течением времени в симуляторе. К примеру, приведенные на рис.11 ветки выглядят весьма простыми и гладкими, значит, они были размещены довольно точно. Однако, как мы увидим позже, для случая границ фрактальных областей, становится очень трудно с помощью этого метода анализировать расположение границ областей, потому как ветки становятся бесконечно растянутыми и прижатыми гомоклиничной структурой, следовательно, можно совершить ошибку при расположении мелких деталей сложных границ областей притяжения при численном эксперименте. В таких ситуациях сложная граница области должна быть определена путем проведения исчерпывающих исследований с различными начальными состояниями.

На рисунке 15 изображена упорядоченная последовательность уменьшающихся областей в плоскости , ясно показывающих структуру Канторова множества границ областей притяжения.

Конца в этой упорядоченной последовательности не существует, и такая геометрическая структура продолжается подобным образом бесконечно.

Это свойство границ областей притяжения было названо самоподобием фрактала. Фрактальная природа границ областей притяжения возникает из-за гомоклиничной структуры инвариантных веток седловой точки, то есть, веток, которые стремятся по направлению к нерезонансному аттрактору и пересекают ветки, которые стремятся к седловой точке с правой стороны.

Заметим, что характеристическое свойство фрактальных областей притяжения аттракторов заключается в том, что характер движения, начатого с границы, хаотический и, следовательно, конечное состояние движения станет недетерминированным (неопределенным).

Рис. 14. Изображение аттрактора с интеграционным размером шага 0,01 для начальным состоянием при , , t=2*

Рис. 15. Увеличенное в масштабе изображение аттрактора с интеграционным размером шага 0,01 с начальным состоянием при , .

При численном моделировании это можно видеть, если увеличить часть отображения, тогда обнаруживается более тонкая структура. Если такая структура множества точек сохраняется после нескольких увеличений, то говорят, что движение ведет себя как странный аттрактор. Появление в отображении Пуанкаре, отображающем временную эволюцию колебаний, структур, которые подобны канторовскому множеству, является показателем наличия хаотических движений.

Рис. 16. Отображение Пуанкаре для хаотических колебаний возбуждаемого нелинейным осциллятором, сохраняющее автомодельную (самоподобную) структуру все меньших и меньших масштабов.

По структуре отображения, можно судить о наличии или отсутствии хаотических колебаний в системе. На основе исследований отображений при различных параметрах, была произведена следующая классификация.

Таблица 2. Классификация отображений Пуанкаре

Конечный набор точек: периодическое или субгармоническое колебаниеЗамкнутая кривая: квазипериодическое движение в присутствии несоизмеримых частотНезамкнутая кривая: требуется дополнительное исследование, имеет смысл попытаться моделировать одномерным отображением; построить как функцию Фрактальный набор точек: странный аттрактор в трехмерном фазовом пространствеБесформенный набор точек: 1) динамическая система со слишком сильным случайным сигналом или шумом на входе; 2) странный аттрактор, но диссипация в системе очень слаба - для проверки используйте показатель Ляпунова; 3) странный аттрактор в фазовом пространстве с более чем тремя измерениями - попытайтесь применить множественное отображение Пуанкаре; 4) квазипериодическое движение с тремя или большим числом доминирующих несоизмеримых частот

8. Глобальная структура аттрактора, бифуркации аттракторов и областей притяжения

По мере изменения параметров динамической системы может меняться число точек равновесия и их устойчивость. Такие изменения нелинейных систем, связанные с изменением параметров системы, являются предметом теории бифуркаций. Те значения параметров, при которых изменяются качественные или топологические свойства движения, называются критическими или бифуркационными значениями. Теория, описывающая динамическое поведение в окрестности каждой точки равновесия называется локальной, основная же цель классического динамического анализа заключается в составлении мозаики локальных картин и описания глобальной картины траекторий между точками равновесия.

Проанализируем полученные экспериментальные данные с теоретической точки зрения, в частности исследуем глобальное инвариантное многообразие структур.

Рисунок 17 показывает хаотический аттрактор для случая () в плоскости, и некоторые взаимодействующию инвариантные многообразные структуры. Аттрактор содержит три неустойчивых неподвижных точки: одну прямо неустойчивую точку и две обратно неустойчивые точки и . и ветки прямо неустойчивой седловой точки частично показаны, и можно наблюдать некоторое число поперечных гомоклиничных пересечений. При движении вдоль этих веток обнаруживается свойство самоподобия. По Биркхофу, это означает существование бесконечного числа периодических точек вблизи гомоклиничных точек.

Численные данные указывают на предположение, что хаотический аттрактор совпадает с замыканием веток или неустойчивым многообразием прямо неустойчивой седловой точки . Этот феномен не является необычным для специфичных параметров в случае (), однако он возникает и при типичных значениях параметра в соответствующей заштрихованной области.

Большинство гомоклиничных пересечений на рис.17 явно поперечные, но существует несколько случаев пересечения, которые очень близки к касательной. Полагается, что чем больше касательных или близких к касательным, тем больше инвариантного многообразия в структуре. Это значит, что структура аттрактора может быть структурно нестабильной в смысле Андронова-Портнягина.

Рис. 17. Хаотический аттрактор для случая () и соответствующая ему многообразная структура.

Численные эксперименты показывают, что всё бесконечное множество периодических движений в аттракторе неустойчивы. Значит, если некоторые точки-стоки существуют, их область притяжения имеет тот же порядок малости, что и минимальные шумы или ошибки, возмущающие систему.

Движение образов в аттракторе при последовательных итерациях является невоспроизводимым, точки, расположенные рядом, при одинаковых начальных условиях, приводят в конечном итоге к сильно различным движениям или формам сигнала. Более того, такая же ситуация возникает при движении, начатом из любой части аттрактора, его свойства будут сильно зависеть от начальных условий. Другими словами, любая выбранная достаточно длинная траектория, после выхода из переходного состояния, будет пытаться заполнить возникшую пустоту идентичной структурой, таким образом замыкая ветки точки . Итак, численные данные жестко указывают на то, что существует единственный переходный аттрактор. Типичная орбита бесконечно повторяется в любой точке аттрактора, таким образом он является устойчивым в смысле Пуассона.

Этот тип движения был назван беспорядочным нестационарным (неустановившимся) движением, или хаотическим движением. Термин "хаос" часто применяется для описания такого вида движения: этот термин явно указывает на случайный вид данного явления, хотя возможно, что он недостаточно хорошо указывает на наличие явной структуры, которая также является важным аспектом движения.

Вернемся к описанию путей исследования хаоса как параметров системы, которые стремятся попасть извне вовнутрь заштрихованной области. Наиболее широко изучен переход путем последовательного удвоения периода, берущий начало из двух симметричных стоков, которые находятся внутри области II. Дуга на рис.7 проходящая между точками () и () показывает место, где возникает первое удвоение периода. Заметим, что в этот период удвоения бифуркационная дуга проходит сверху и вокруг правой стороны заштрихованной области. Типичная траектория в плоскости, которая, пересекая эту дугу, попадает в заштрихованную область, ведет к хаосу через каскад Фейгенбаума, создавая два симметрично расположенных хаотических аттрактора, которые со временем сливаются друг с другом.

Различные бифуркации были исследованы при вхождении в заштрихованную область () справа, то есть из области, типичной для случая (). Здесь на границе заштрихованной области () возникает глобальная бифуркация, что является причиной внезапного возникновения хаотического аттрактора. Глобальная бифуркация представляет собой гомоклиничную касательную к и веткам прямо неустойчивой постоянной точки (черный кружок) на границе области притяжения. Эта ситуация показана на рис.18-19. Значения параметров , являются значениями, где хаотический аттрактор усиливается или теряет стабильность, и также значениями, где прямо неустойчивая постоянная точка имеет гомоклиничную касательную. Это явление было названо "цепью переходов"; оно широко изучено, и его часто относят к граничным кризисам или теории катастроф.

Другой пример такой глобальной бифуркации возникающей вдоль правой границы заштрихованного региона содержит случай (). Здесь хаотический аттрактор усиливается или теряет стабильность, когда касается прямо неустойчивой трех-периодичной точки, чьи и ветки формируют гомоклиничную касательную на границе бифуркации. Эта ситуация изображена на рис. 20.

Заметим, что в обоих (и в этом и в предыдущем) случаях, прямо неустойчивая точка на границе области притяжения не имеет гомоклиничной структуры до установления цепи переходов. Это означает, что хаотический аттрактор всегда имеет постоянную границу области притяжения. Может так случиться, что хаотический аттрактор существует в области притяжения с фрактальной границей, то есть гомоклиничная структура проявляется на границе области притяжения до цепи переходов или катастрофы, однако в данной работе этот случай не рассматривается.

Рис. 18. Фазовый портрет области притяжения аттрактора с интеграционным размером шага 0.001 для параметров

Рис. 19. Инвариантная многообразная структура демонстрирует гомоклиничную касательную, соответствующую рис. 18.

, .

Рис. 20. Фазовый портрет области притяжения аттрактора с интеграционным размером шага 0.001 и параметрами , .

Наконец, рассмотрим бифуркацию, проходящую из области в случае () направо в заштрихованную область типичную для случая (). Здесь возникает чуть более сложное явление. Хаотический аттрактор развивается из тройного периода стока для случая (). Сначала эта тройка точек испытывает последовательное удвоение периода, которое приводит к трех-кусочному хаотическому аттрактору; затем обычно внезапно возникает стремительный рост в размере, приводящий из трех-кусочного к одному большому хаотическому аттрактору. Подобные феномены были подробно изучены, и стали широко известны как внутренний кризис.

Заметим, что во всех случаях, когда исследовались хаотические аттракторы, они содержали среди периодических точек низших периодов либо одну обратно неустойчивую точку, либо одну прямо неустойчивую и две обратно неустойчивые точки. По предположению Стюарта, это может быть объяснено действием индексных уравнений Левинсона-Массера в соответствующих подобластях плоскости .

Иногда локальная структура фазового портрета оказывает большое влияние на общую структуру, даже несмотря на то, что все аттракторы являются регулярным периодическим движением. Например, локальный седловой узел или случаи перегиба бифуркации системы испытывают быстрый переход в некоторый другой аттрактор; и может такое произойти, что если действуют два или более аттракторов, один избранный может зависеть очень сильно от того, как бифуркация реализована в симуляторе системы реального мира.

Такие недетерминированные бифуркации могут наблюдаться в уравнении Дуффинга, например, при пересечении границы области на плоскости. Хотя событие бифуркации локально, результат определен глобальной структурой: вероятность стабилизации на различных аттракторах оценивается исходя из структуры инвариантного многообразия.

9. Описание программы

Данная программа была создана с помощью языка программирования Delphy с использованием Borland Delphy 7.0.

9.1 Описание процедур и функций

Procedure FormCreate (Sender: TObject) - инициализация переменных, создание экземпляра объекта.

procedure BitBtn1Click (Sender: TObject) /BitBtn2Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает поле значения начальной точки на заданный шаг.Button1Click (Sender: TObject) - просчитывает координаты по методу Рунге-Кутта и отображает нужные точки на графике.

Внутри этой процедуры содержатся следующие процедуры и функции, необходимые для используемого метода:f1 (t,x,y: real): real - возвращает значение для x, в данном случае, это значение = y.f2 (t,x,v: real): real - возвращает значение для y, в данном случае, это значение = - K*y - x*x*x + B*cos (t).

procedure Runge (a,b,h: real; var x,y: real) - по схеме Рунге-Кутта находит решение уравнения Дуффинга на отрезке [a,b], изменяя при этом точку [x,y] которая изначально соответствует времени t = a, а на выходе получает некоторое значение, соответствующее t = b.

Procedure BitBtn4Click (Sender: TObject) /BitBtn3Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает значение начального состояния системы x0, y0

procedure BitBtn5Click (Sender: TObject) /

procedure BitBtn6Click (Sender: TObject) - уменьшает/ увеличивает количество рассматриваемых периодов для начальной точки.

procedure Edit2Click (Sender: TObject),Edit3Click (Sender: TObject),Edit10Click (Sender: TObject),Edit9Click (Sender: TObject) - процедуры, выделяющее активное поле для изменений.

9.2 Работа с программой

Программа предназначена для численного моделирования и исследования явлений, возникающих в нелинейном уравнении Дуффинга. Исходные данные - начальная точка - точка, из которой начинается движение. K, B - параметры в уравнении Дуффинга. Панель "Графические параметры" содержит поля значений для метода Рунге-Кутта, это шаг интегрирования - "шаг", и "Начальное состояние" - начальное состояние, значения x0 = x (a) и y0 = y (a) (y = x) - значения в начале рассматриваемого промежутка [a,b]. Свиток "Отобразить" представляет из себя два положения - trajectory и attractor, для каждого набора значений параметров пользователь может наблюдать как фазовую траекторию, так и соответствующий аттрактор. В свитке "Периоды" -

задаются порядковые номера точек, которые будут отображены на рисунке "от" и "до" с какой и по какую точки вывести на экран, например вывести на экран точки начиная с 50 до 100. В свитке "Параметры графики" задаются координаты, ограничивающие часть плоскости, которая будет отображена на рисунке.

9.3 Примеры работы программы (скриншоты)

Фазовая траектория при заданных параметрах.

Изображения аттрактора при заданных параметрах.

Рисунки, представленные в данной работе, за исключением схематических, являются результатом работы данной программы.

Заключение

Были изучены и проанализированы работы и статьи по теории нелинейных и хаотических колебаний, в частности, большое внимание уделялось их возникновению в системах, управляемых частным случаем уравнения Дуффинга.

Так же была разработана программа, результатом работы которой является построение траектории движения, а также построение аттрактора, соответствующего исходным наборам данных. Она является удобным средством для изучения решений уравнения Дуффинга. Изображения хаотических аттракторов с высоким разрешением, полученные с помощью этой программы являются очень известными аттракторами. Хаотический аттрактор на рис.8 () носит название японский аттрактор, а аттрактор на рис.8 () хаотический аттрактор Уеды.

Литература

1.Мун Ф. Хаотические колебания. - М: Мир, 1990. - 311 с.

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М: Стереотип, 2008. - 480 с.

.Корн Г., Корн Т. Справочник по Математике. - М: Лань, 2003 г. - 832 с.

.Мартынова И.М. и О.Ю. Макаренков. Изучение уравнения Дуффинга при аппроксимации кубической нелинейности кусочно-нелинейной функцией. // Вестник ВГУ, серия физика, математика. - 2003. - №3 - с. 201-202

.Мартынов Б.А. Теория колебаний. Математические модели динамических систем/ Б.А. Мартынов - СПб.: СПбГПУ, 2002. - 56 с.

6.Ueda Y. Survay of Regular and Chaotic Phenomena in Forced Duffing Oscillator/ Y. Ueda. 1991. - 30с.

Приложения

Приложение А: Листинг программы

unit Unit1;

interface

uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, StdCtrls, ExtCtrls, Buttons, Menus, unit2;

type

TForm1 = class (TForm)

Panel1: TPanel;: TGroupBox;: TLabel;

Label3: TLabel;: TLabel;: TLabel;

InitTEdit: TEdit;: TEdit;: TEdit;: TEdit;: TEdit;: TLabel;: TRadioGroup;: TEdit;: TLabel;: TGroupBox;: TLabel;: TLabel;: TEdit;: TEdit;: TBitBtn;: TBitBtn;: TBitBtn;

Edit7: TEdit;: TLabel;: TLabel;: TLabel;

Edit8: TEdit;: TBitBtn;: TBitBtn;: TGroupBox;: TLabel;: TEdit;: TLabel;: TEdit;: TBitBtn;: TBitBtn;FormCreate (Sender: TObject);N1Click (Sender: TObject);BitBtn2Click (Sender: TObject);BitBtn1Click (Sender: TObject);Button1Click (Sender: TObject);BitBtn4Click (Sender: TObject);BitBtn3Click (Sender: TObject);Edit2Click (Sender: TObject);Edit3Click (Sender: TObject);BitBtn5Click (Sender: TObject);BitBtn6Click (Sender: TObject);Edit10Click (Sender: TObject);Edit9Click (Sender: TObject);

{ Private declarations }

{ Public declarations };: TForm1;: TGrafik;: integer;: real;

{$R *. dfm}TForm1. FormCreate (Sender: TObject);: =0;: =0.1;: =TGrafik. Create (Form1);. SetParent (Form1. Panel1);. Text: ='-10';. Text: ='10';. Text: ='-10';. Text: ='10';. Click;;TForm1. N1Click (Sender: TObject);. Text: ='-10';. Text: ='10';. Text: ='-10';. Text: ='10';. Click;;TForm1. BitBtn2Click (Sender: TObject);. Text: =floattostr (strtofloat (Edit8. Text) - stp);. Click;;TForm1. BitBtn1Click (Sender: TObject);. Text: =floattostr (strtofloat (Edit8. Text) +stp);. Click;;TForm1. Button1Click (Sender: TObject);x0,xk,YMax,YMin: real;_K,_B: real;a,b,alf,bet,h,t: real;x,y: real;i,na,nb: integer;f1 (t,x,y: real): real;: =y;;f2 (t,x,v: real): real;: =-_K*y-x*x*x+_B*cos (t);;Runge (a,b,h: real; var x,y: real);k1,k2,k3,k4,l1,l2,l3,l4,t: real;: =a;(t <= b) do

begin: =h*f1 (t,x,y);: =h*f2 (t,x,y);: =h*f1 (t+1/2*h,x+1/2*k1,y+1/2*l1);: =h*f2 (t+1/2*h,x+1/2*k1,y+1/2*l1);: =h*f1 (t+1/2*h,x+1/2*k2,y+1/2*l2);: =h*f2 (t+1/2*h,x+1/2*k2,y+1/2*l2);: =h*f1 (t+h,x+k3,y+l3);: =h*f2 (t+h,x+k3,y+l3);: =x+1/6* (k1+2*k2+2*k3+k4);: =y+1/6* (l1+2*l2+2*l3+l4);RG1. ItemIndex=0 then g. AddPathXY (x,y);: =t+h;; {while};. FirstPoint;. OnPaint: =Button1click;: =strtofloat (InitTEdit. Text);: =strtofloat (FinalTEdit. Text);: =strtofloat (MaxEdit. Text);: =strtofloat (MinEdit. Text);. SetBorder;. SetLabels (x0,xk,Ymin,Ymax);

_K: =strtofloat (edit1. Text);

_B: =strtofloat (edit5. Text);: =strtoint (Edit10. Text);: =strtoint (Edit9. Text);: =Pi/6*strtofloat (Edit8. Text);: =t+2*Pi*na;: =t+2*Pi*nb;: =strtofloat (edit2. text);: =strtofloat (edit3. text);: =strtofloat (Edit7. Text);: =alf;: =bet;RG1. ItemIndex of

: begin(a,b,h,x,y);; {0}

: begin: =a;i: =1 to nb do

begin(t,t+2*Pi,h,x,y);

if i>=na then g. AddPointXY (x,y);

t: =t+2*Pi;; {for}

end; {1}; {case};TForm1. BitBtn4Click (Sender: TObject);check of

: Edit2. Text: =floattostr (strtofloat (Edit2. Text) - stp);

: Edit3. Text: =floattostr (strtofloat (Edit3. Text) - stp);; {case}. Click;;TForm1. BitBtn3Click (Sender: TObject);check of

: Edit2. Text: =floattostr (strtofloat (Edit2. Text) +stp);

: Edit3. Text: =floattostr (strtofloat (Edit3. Text) +stp);; {case}. Click;;TForm1. BitBtn5Click (Sender: TObject);check of

: Edit10. Text: =floattostr (strtofloat (Edit10. Text) - 1);

: Edit9. Text: =floattostr (strtofloat (Edit9. Text) - 1);; {case}. Click;;TForm1. BitBtn6Click (Sender: TObject);check of

: Edit10. Text: =floattostr (strtofloat (Edit10. Text) +1);

: Edit9. Text: =floattostr (strtofloat (Edit9. Text) +1);; {case}. Click;;TForm1. Edit2Click (Sender: TObject);: =0;. Color: =clLime;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;;TForm1. Edit3Click (Sender: TObject);: =1;. Color: =clLime;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;;TForm1. Edit10Click (Sender: TObject);: =2;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;. Color: =clLime;. Color: =clWindow;;TForm1. Edit9Click (Sender: TObject);: =3;. Color: =clWindow;. Color: =clWindow;. Color: =clLime;. Color: =clWindow;

end;.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УН

Больше работ по теме: