Теория вероятностей и математическая статистика

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ

(Тульский филиал РГТЭУ)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 5

Выполнила:

Студентка 3 курса

Заочного отделения

специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит.»

Серкина И.А.

Проверил:

Глаголева Марина Олеговна

Тула 2014год

Задание №1

Бросаются два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков

) равна 6;

) не превосходит 7;

) больше 7.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №2

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают две детали. Найдите вероятность того, что достали

) два болта;

) два шурупа;

) гвоздь и болт;

) болт и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №3

В ящике находится 7 гвоздей, 7 шурупов и 8 болтов. Наудачу выбирают три детали. Найдите вероятность того, что достали

) три болта;

) один болт и два шурупа;

) болт, гвоздь и шуруп.

Решение.

Используем классическое определение вероятности . В нашем случае общее число исходов равно .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Благоприятное число исходов равно и искомая вероятность .

Задание №4

Пассажир может приобрести билет в одной из двух касс. Вероятность обращения в первую кассу составляет 0,4, а во вторую - 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира нужные ему билеты будут распроданы, будет равна 0,35 для первой кассы и 0,7 для второй. Пассажир посетил одну из касс и приобрел билет. Какова вероятность того, что он приобрел его во второй кассе?

Решение.

А - пассажир посетил одну из касс и приобрел билет

- пассажир посетил первую кассу,

- пассажир посетил вторую кассу,

Условные вероятности , .

Тогда по формуле полной вероятности .

Вероятность того, что пассажир приобрел билет во второй кассе находим по формуле Байеса: .

Задание №5

Производятся четыре выстрела по мишени. Вероятность попасть в цель при одном выстреле равна 0,5 . Найдите вероятность того, что

будет хотя бы одно попадание;

будет два попадания;

будет не менее трех попаданий.

Решение.

В данном случае необходимо использовать формулу Бернулли:

при .

)

)

)

Задание №6

По данным телеателье установлено, что в среднем 20% цветных телевизоров выходят из строя в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что из 225 проданных цветных телевизоров будут работать исправно в течение гарантийного срока:

а) 164 телевизора;

б) от 172 до 184 телевизоров?

Решение.

а) Используем локальную теорему Муавра-Лапласа:

. Тогда .

б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: тогда .

Задание №7

Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х571021рвероятность комбинация теорема отклонение

Найти:

а) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины;

б) отразить математическое ожидание и СКО на многоугольнике распределения.

Решение.

Задание №8

Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно m=8, ее среднее квадратичное отклонение . Выполните следующие задания:

) напишите формулу функции плотности распределения вероятности и схематично постройте ее график;

) найдите вероятность того, что X примет значения из интервала .

Решение.

- формула функции плотности распределения вероятности

Задание №9

Дана выборка объемом N= 38 значений дневной выручки магазина (в тыс. руб.). На основании этих данных:

. построить интервальный статистический ряд;

. построить функцию распределения и гистограмму;

. вычислить среднее значение , среднее квадратическое отклонение S;

. получить точечные и интервальные оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности. (Доверительная вероятность равна 0,95)

. проверьте гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона при уровне значимости .

Исходные данные:

19,71322,44118,74722,47020,53116,98220,89517,74419,67819,21223,24818,38821,81418,08522,69217,31822,07917,86119,78321,06022,07219,51921,95420,43316,78818,32022,06016,59519,22520,18223,15519,55022,81417,33219,41921,62418,41320,129

Решение.

Число групп определим по формуле Стэрджесса: .

Ширина интервала составит: .

Результаты группировки оформим в виде таблицы:

Интервалы группировкиЧастота16,592-17,702517,702-18,812718,812-19,922819,922-21,032521,032-22,142722,142-23,2526Сумма38

Таблица для расчета показателей.

ИнтервалыСередины интервалов, Частоты, 16,592-17,70217,147585,73539,3120817,702-18,81218,2577127,79920,08745218,812-19,92219,3678154,9362,72844819,922-21,03220,4775102,3851,3833821,032-22,14221,5877151,10918,73547222,142-23,25222,6976136,18245,243096Итого38758,146127,489928Выборочное среднее определим по формуле средней арифметической взвешенной, в качестве вариант используя середины интервалов:

.

Определим дисперсию: и среднее квадратическое отклонение .

И несмещенные оценки: и .

Доверительный интервал для генерального среднего имеет вид:

Определяем значение t по таблице распределения Стьюдента tтабл (n-1;?/2) = (37;0,025) = 2,021.

и доверительный интервал имеет вид: .

Определим доверительный интервал для дисперсии.

Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(?2n-1 < hH) = (1-?)/2 = (1-0,95)/2 = 0,025. Для количества степеней свободы k = 37 по таблице распределения ?2 находим: ?2(37;0,025) = 55,668.

Случайная ошибка дисперсии:

Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(?2n-1 ? hB) = 1 - P(?2n-1 < hH) = 1 - 0,025 = 0,975. Для количества степеней свободы k = 37, по таблице распределения ?2 находим: ?2(37;0,975) = 22,106.

Случайная ошибка дисперсии: .

Тогда доверительный интервал имеет вид: .

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона , где pi - вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону

Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа .

ИнтервалыniФ(x1)Ф(x2)pi38piKi16,592-17,7025-1,81-1,21-0,46-0,390,07662,911,517,702-18,8127-1,21-0,61-0,39-0,230,165,920,218,812-19,9228-0,61-0,0157-0,23-0,0080,228,530,032519,922-21,0325-0,01570,58-0,0080,220,238,761,6121,032-22,14270,581,180,220,380,166,10,1322,142-23,25261,181,780,380,460,07953,022,94Сумма386,41

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kкp;+?).

Её границу Kкp = ?2(k-r-1;?) находим по таблицам распределения ?2 и заданным значениям s, k, r=2. кp = 11,345; Kнабл = 6,54

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

Задание №10

По данным, приведенным ниже:

. определить выборочный коэффициент корреляции;

. получить уравнение регрессии Y=A*X+B;

. наложить прямую регрессии на поле рассеивания.

Решение.

XY0,3042,5180,1352,1850,4432,4130,8833,2440,3412,4810,6812,7580,2052,2040,3462,5170,4922,4950,1612,4850,7403,0530,6702,7400,5322,5070,1922,3630,1222,1890,0362,3450,2752,4970,1602,5580,1542,3580,1102,3010,8842,8360,1492,4700,0412,0580,8262,8010,8762,9390,9593,1300,1022,3660,3772,7950,3832,7400,8623,076

Построим поле корреляции

С помощью метода наименьших квадратов найдем линейную зависимость между X и Y:

Для расчетов параметров a и b линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

Строим рабочую таблицу

Номерхух2хуу210,3042,5180,0924160,7654726,34032420,1352,1850,0182250,2949754,77422530,4432,4130,1962491,0689595,82256940,8833,2440,7796892,86445210,52353650,3412,4810,1162810,8460216,15536160,6812,7580,4637611,8781987,60656470,2052,2040,0420250,451824,85761680,3462,5170,1197160,8708826,33528990,4922,4950,2420641,227546,225025100,1612,4850,0259210,4000856,175225110,743,0530,54762,259229,320809120,672,740,44891,83587,5076130,5322,5070,2830241,3337246,285049140,1922,3630,0368640,4536965,583769150,1222,1890,0148840,2670584,791721160,0362,3450,0012960,084425,499025170,2752,4970,0756250,6866756,235009180,162,5580,02560,409286,543364190,1542,3580,0237160,3631325,560164200,112,3010,01210,253115,294601210,8842,8360,7814562,5070248,042896220,1492,470,0222010,368036,1009230,0412,0580,0016810,0843784,235364240,8262,8010,6822762,3136267,845601250,8762,9390,7673762,5745648,637721260,9593,130,9196813,001679,7969270,1022,3660,0104040,2413325,597956280,3772,7950,1421291,0537157,812025290,3832,740,1466891,049427,5076300,8623,0760,7430442,6515129,461776Сумма12,44177,4227,78289334,45979202,475584Среднее0,4152,5810,2591,1496,749

.

Т.е. уравнение линейно регрессии имеет вид: .

Найдем коэффициент корреляции.

,

т.е. связь между рассматриваемыми показателями положительная, тесная.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Больше работ по теме: