Теория вероятностей

 

Федеральное агентство по образованию

Новосибирский государственный университет экономики и управления

Кафедра управления

Курсовая работа

по дисциплине: Математика

На тему: Теория вероятностей

Новосибирск

2010

Задание 1

теория вероятность математическое ожидание дисперсия

Вариант 7 ;

Из 8 сотрудников отдела коммерческого банка, среди которых трое мужчин, а остальные женщины, случайным образом формируется комиссия из трех человек. Найти вероятность того, что в комиссии:

a) будет только одна женщина;

b) будут две женщины;

с) будет не менее двух женщин;

d) будет хотя бы одна женщина;

e) будут лица одного пола.

Решение

Обозначим:

событие - первый выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - первый выбранный в комиссию сотрудник мужчина;

событие - второй выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - второй выбранный в комиссию сотрудник мужчина;

событие - третий выбранный в комиссию сотрудник женщина;

событие - третий выбранный в комиссию сотрудник мужчина.

События , , , , , - зависимые.

а) Вероятность того, что в комиссии будет только одна женщина:

.

b) Вероятность того, что в комиссии будут две женщины:

.

с) Вероятность того, что в комиссии будет не менее двух женщин:

.

Ранее найдена вероятность .

.

.

d) Вероятность того, что в комиссии будет хотя бы одна женщина:

.

е) Вероятность того, что в комиссии будут лица одного пола:

.

Выше найдено:

, .

.

Ответ: а) ; b) ; с) ; d) ; е) .

Задание 2

В партии из 102 металлических конструкций 42 изготовлены на первом заводе, 32 - на втором, а остальные - на третьем. Известно, что первый завод производит в среднем 92 % стандартной продукции, второй - 82 %, третий - 87 %. Для контроля качества из всех имеющихся металлических конструкций наугад берут два.

. Определить вероятность того, что по крайней мере одна из проверяемых конструкций будет иметь брак.

. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены?

Решение

Обозначим:

событие - обе проверяемые конструкции стандартные;

событие - по крайней мере одна из проверяемых конструкций имеет брак;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на первом заводе;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на втором;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на первом заводе, а вторая - на третьем;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на первом;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на втором заводе;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на втором заводе, а вторая - на третьем;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на первом;

событие - первая проверяемая конструкция изготовлена на третьем заводе, а вторая - на втором;

событие - обе проверяемые конструкции изготовлены на третьем заводе.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

; ; ;

; ; ;

; ; .

Условные вероятности:

;;

;;

;;

;;

.

События , , …, попарно несовместны и образуют полную группу, проверим:

.

. По формуле полной вероятности:

.

Тогда искомая вероятность:

.

. Обе проверяемые конструкции оказались стандартными, т.е. событие произошло. На каких заводах вероятнее всего они изготовлены? По формуле Байеса найдем вероятности всех девяти рассматриваемых случаев:

,

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Самая большая вероятность из полученных . Таким образом, если обе проверяемые конструкции оказались стандартными, вероятнее всего, они обе изготовлены на первом заводе.

Задание 3

По статистическим данным в городе N в среднем 87 % новорожденных доживают до 50 лет.

. Какова вероятность того, что из 7 новорожденных в одном из роддомов города N до 50 лет не доживет:

а) ровно 5;

b) более 5;

с) менее 5;

d) хотя бы один ребенок?

. Вычислить вероятность того, что из ста новорожденных города N до 50 лет доживет:

а) 84;

b) не менее 84;

с) не более 90;

d) не менее 82, но не более 92 детей.

Решение

. Обозначим: событие - новорожденный не доживет до 50 лет. По условию задачи

.

тогда

.

Число новорожденных , поэтому применим формулу Бернулли:

.

а) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет ровно 5:

.

.

b) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет более 5:

, т.е. , .

.

;

;

.

с) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет менее 5.

.

.

d) Найдем вероятность того, что из 7 новорожденных до 50 лет не доживет хотя бы один ребенок:

.

. Обозначим: событие - новорожденный доживет до 50 лет.

.

тогда

.

Число новорожденных , поэтому пользуемся приближенными формулами Лапласа.

а) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет 84:

.

По локальной формуле Лапласа:

, где .

.

Учитывая четность функции , находим

.

.

b) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 84.

или .

По интегральной формуле Лапласа:

,

где ; .

;

.

.

с) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не более 90.

или .

;

.

.

d) Найдем вероятность того, что из ста новорожденных до 50 лет доживет не менее 82, но не более 92.

.

;

.

.

Ответ: 1) а) ; b) ; с) ; d) ; 2) а) ; b) ; с) ; d) .

Задание 4

Студент знает 22 вопроса из имеющихся 32 вопросов программы некоторой учебной дисциплины. На экзамене ему предлагается три наугад выбранных вопроса из программы. Рассматривается случайная величина (с.в.) - количество известных студенту вопросов среди заданных.

. Составить ряд распределения с.в. и представить его графически.

. Найти функцию распределения с.в. и построить ее график.

. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) , дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение .

. Определить вероятности:

а) ;

b) ;

с) .

Решение

. Найдем вероятности количества известных студенту вопросов среди заданных.

Студент не знает ни одного вопроса из заданных:

.

Студент знает один вопрос из трех заданных:

.

Студент знает два вопроса из трех заданных:

.

Студент знает все три заданных вопроса:

.

Получаем ряд распределения с.в. .

01230,02420,19960,46570,3105

Отметим, что:

.

Представим ряд распределения графически:

2. Найдем функцию распределения с.в. .

.

Построим график функции распределения.

. Математическое ожидание:

.

Дисперсию рассчитаем по формуле:

.

;

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

. Определим вероятности: а) ; b) ; с) .

а) .

Вероятность попадания с.в. в интервал равна приращению функции на этом интервале.

.

b) .

Согласно следствию из неравенства Чебышева:

;

.

с) .

Согласно следствию из неравенства Чебышева:

.

Если , то

.

Ответ. ; ; ; ; ; .

Задание 5

Время (в тыс. часах) до выхода из строя авиационного двигателя, выработавшего гарантийный ресурс в 4 тыс. часов является случайным с плотностью распределения

.

. Установить неизвестную постоянную и построить график функции .

. Найти функцию распределения с.в. и построить ее график.

. Вычислить математическое ожидание (среднее значение) , дисперсию и среднее квадратическое (стандартное) отклонение .

. Во сколько раз число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего?

Решение

. Для того, чтобы была плотностью вероятности некоторой случайной величины . она должна быть неотрицательна, т.е. , или , откуда , и она должна удовлетворять свойству:

.

Следовательно.

,

откуда

.

Плотность распределения примет вид:

.

Построим график функции .

. Найдем функцию распределения с.в. по формуле:

.

Если , то

.

Если , то

.

Получаем функцию распределения с.в. :

.

Построим график функции распределения с.в. .

. Математическое ожидание случайной величины рассчитаем по формуле:

,

.

. Дисперсию вычислим по формуле:

.

.

.

Среднее квадратическое отклонение:

.

. Вероятность выхода из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего найдем, используя функцию распределения:

.

Вероятность получения результата меньше среднего значения:

.

Тогда число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока меньше среднего превышает число выходов из строя авиационных двигателей со временем работы после гарантийного срока больше среднего в

раза.

Задание 6

При помощи дальномера произведено 25 измерений расстояния до некоторого объекта. Получены следующие результаты (в км):

11,24411,46811,38311,59411,45711,54811,90211,86711,60511,27511,83311,06811,62811,37411,50311,54811,62811,76511,94711,54811,54811,43411,56011,61711,651

Необходимо:

. Определить исследуемый признак и его тип (дискретный или непрерывный).

. В зависимости от типа признака построить полигон или гистограмму относительных частот.

. На основе визуального анализа полигона (гистограммы) сформулировать гипотезу о законе распределения признака.

. Вычислить выборочные характеристики изучаемого признака: среднее, дисперсию, среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверить соответствие выборочных данных выдвинутому в п. 3 закону распределения при уровне значимости 0,01.

. Для генеральной средней и дисперсии построить доверительные интервалы, соответствующие доверительной вероятности 0,99.

. С надежностью 0,99 проверить гипотезу о равенстве:

а) генеральной средней значению 9,12;

б) генеральной дисперсии значению 1,6245.

Решение

. Исследуемый признак - расстояние до некоторого объекта - имеет конечное счетное множество значений, значит исследуемый признак дискретный.

Проранжируем признак в порядке возрастания и сгруппируем:

11,0 - 11,211,2 - 11,411,4 - 11,611,6 - 11,811,8 - 12,0141064

Заметим, что

.

. Вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

;;

;;

.

Контроль:

.

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака :

11,0 - 11,211,2 - 11,411,4 - 11,611,6 - 11,811,8 - 12,00,040,160,40,240,16

Шаг разбиения, то есть длина каждого частичного интервала .

Построим гистограмму относительных частот, откладывая по оси значения признака , а по вертикальной оси значения .

. На основе визуального анализа гистограммы относительных частот выдвигаем нулевую гипотезу о нормальном распределении признака.

. Для нахождения характеристик выборки от интервального распределения признака перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака середины частичных интервалов:

11,111,311,511,711,9141064

Вычислим выборочные характеристики изучаемого признака.

Средняя выборочная (среднее отклонение расстояния):

км.

Выборочная дисперсия. Найдем среднюю квадратов значений признака:

.

Среднее квадратическое отклонение:

,

то есть разброс отклонений расстояний от среднего составляет в среднем г от среднего значения км.

. Используя критерий согласия «хи-квадрат» Пирсона, проверим соответствие выборочных данных нормальному закону распределения при уровне значимости 0,01.

Строим нормальную кривую. Для облегчения вычислений все расчеты сводим в табл. 6.1.

Таблица 6.1

11,11-0,464-2,210,0347111,34-0,264-1,260,1804411,510-0,064-0,300,3814911,760,1360,650,3230811,940,3361,60,110932525

Значения функции

находим из таблицы, учитывая четность функции .

Теоретические частоты теоретической кривой находим по формуле:

.

В системе координат строим нормальную (теоретическую) кривую по выравнивающим частотам (они отмечены квадратиками) и в системе координат - полигон наблюдаемых частот (они отмечены ромбиками).

Проверяем гипотезу о нормальности при уровне значимости 0,05.

Вычислим , для чего составим расчетную таблицу 6.2.

Таблица 6.2

110001144000164109110,1110011,1168-240,5364,543110,33165,3325,94

Контроль:

;

.

Найдем число степеней свободы, учитывая, что число групп выборки (число различных вариантов) 5.

.

По таблице критических точек распределения по уровню значимости и числу степеней свободы находим:

.

Так как , то нулевая гипотеза о том, что имеет нормальное распределение, принимается. Данные наблюдения согласуются с гипотезой о нормальном распределении признака.

. Доверительный интервал для оценки генеральной средней (среднего отклонения веса) с надежностью находим по формуле

.

Неизвестный параметр находим из условия:

.

Поскольку в данной задаче , то есть , то . Из таблицы берем соответствующее значение :

.

Вычислим доверительный интервал:

;

;

.

Таким образом, с вероятностью 99 % неизвестная генеральная средняя (математическое ожидание) находится в этом интервале:

.

Доверительный интервал для генеральной дисперсии находят по формуле:

,

где, .

Найдем распределения и . Имеем , , . При числе степеней свободы в соответствии с формулами:

,

определим и по таблице:

и .

Тогда доверительный интервал для можно записать в виде:

;

.

. С надежностью 0,99 проверим гипотезу о равенстве генеральной средней значению 9,12.

Проверяемая гипотеза : км. Конкурирующая гипотеза : км. Ранее с надежностью 0,99 построен доверительный интервал для :

.

Так как значение не принадлежит этому интервалу, то гипотеза отвергается, т.к. имеющиеся данные противоречат предположению о том, что среднее отклонение расстояния от среднего равно 9,12 км.

С надежностью 0,99 проверим гипотезу о равенстве генеральной дисперсии значению 1,6245.

Проверяемая гипотеза : . Конкурирующая гипотеза : . Ранее с надежностью 0,99 получен доверительный интервал для :

.

Так как значение не принадлежит этому интервалу, то с надежностью 0,99 гипотеза отвергается, т.е. имеющиеся данные противоречат предположению о том, что дисперсия отклонения расстояния от среднего равна 1,6245.

Литература

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1999.

2.Семенов А.Т, Дюков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика: Методические указания по выполнению контрольных работ. - Новосибирск, 2004.

.Теория вероятностей и математическая статистика / Под ред. Н.Ш.Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2001.

Федеральное агентство по образованию Новосибирский государственный университет экономики и управления Кафедра управления

Больше работ по теме: