Теорема Франсуа Виета и её значение в математике

 

Министерство образования и науки Украины

Днепропетровский национальный университет

им. О. Гончара

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений

Курсовая работа

по асимптотическим методам в теории

дифференциальных уравнений

Выполнила: студентка группы ММ-08-3

Харчук А.Н.

г. Днепропетровск - 2011

Содержание

Теоретическая часть

Раздел 1. Система Ляпунова ? случай одной степени свободы

1.Система Ляпунова

2.Приведение к каноническому виду

3.Преобразование интеграла H

4.Периодичность решений системы Ляпунова

5. Теорема Ляпунова

Раздел 2. Условия существования периодических решений

. Необходимые и достаточные условия периодичности

Раздел 3. Метод Ляпунова

1. Алгоритм

Практическая часть

Индивидуальное задание

Решение задания

Список литературы

Теоретическая часть

Раздел 1. Система Ляпунова ? случай одной степени свободы.

. Система Ляпунова

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(1.1)

где и ? аналитические функции своих переменных в окрестности точки и такие, что их разложение по степеням и начинается с членов, порядок которых не ниже второго:

(1.2)

Систему (1.1) будем называть системой Ляпунова, если выполняются следующие условия:

1)уравнение

(1.3)

имеет чисто мнимые корни ;

2)система (1.1) допускает аналитический первый интеграл

,(1.4)

разложение которого по степеням переменных и начинается с членов второго порядка малости, т. е. функция в окрестности точки является аналитической функцией своих переменных и представима в следующем виде:

. Приведение к каноническому виду

Рассмотрим вспомогательную систему уравнений

(1.5)

Система (1.5) описывает колебание с постоянной амплитудой, поскольку её характеристическое имеет пару чисто мнимых корней.

Исключая из уравнения (1.5) переменную , получим

(1.6)

Для того, чтобы удовлетворилось условие 1), коэффициент при должен быть равен нулю, т. е. должно быть и, кроме того, должно иметь место неравенство

.

Сделаем замену

, ,(1.7)

где ? арифметическое значение корня .

Таким образом, получим

Как мы видим при помощи замены (1.7) уравнение (1.6) сводится к эквивалентной системе двух уравнений

.

Также

(1.7)

Поэтому, если в исходной системе (1.1) сделать замену (1.7), то эта система будет приведена к виду (1.8).

(1.8) - система Ляпунова в каноническом виде

где и ? аналитические функции своих переменных, разложение которых начинается с членов второго порядка малости. Таким образом, вместо системы (1.1) нам достаточно рассмотреть систему (1.8).

3. Преобразование интеграла H

Остановимся ещё на выражении интеграла . Согласно положению 2) его представление имеет вид

, (*)

где ? некоторая постоянная.

Но сначала рассмотрим ситуацию, когда первый интеграл имеет вид:

(1.9)

Так как (1.9) ? первый интеграл, то вдоль каждой кривой семейства (1.8) он должен обращаться в 0.

Тоесть

.

Подставим и получим

Сравнивая коэффициенты при , и , получим

При y:

При х:

При ху:

При х2:

При у2:

Отсюда =, D=E. Не нарушая общности можно принять .

Итак, интеграл H можно представить в виде

,(1.10)

где ? аналитическая функция своих переменных, разложение которой начинается с членов не ниже третьего порядка малости, ? некоторая постоянная, которую всегда мы можем считать положительной для достаточно малых и .

Таким образом, мы видим, что представление первого интеграла всегда имеет вид (*) и, кроме того, его можно представить в виде (1.10)

. Периодичность решений системы Ляпунова

Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение ? периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак. Для этого введём полярные координаты

;

и заметим, что любая замкнутая траектория должна быть периодической функцией аргумента . Составим выражение для :

(1.11)

Здесь ? аналитическая функция , разложение которой имеет вид

Следовательно, в формуле (1.11) функция может быть представлена в виде ряда

,

причем, все коэффициенты ? полиномы от и , т. е. периодические функции . Таким образом, выражение (1.11) можно переписать так:

Это равенство мы можем рассматривать как уравнение для определения .

Используя аналитичность функций, которые в него входят, будем функцию разыскивать в виде ряда

, i=1, 2. (1.12)

Прямым вычислением убеждаемся в том, что коэффициенты в разложении (1.12) являются полиномами от и . Так, например,

,

Таким образом, коэффициенты ? степенные функции коэффициентов , а последние в свою очередь являются полиномами от и . Вследствие такой структуры коэффициентов ряд (1.12) определяет периодическую функцию периода , т. е. при изменении на величина возвращается к своему исходному значению. Если при этом окажется, что сохраняет знак, то это и будет означать, что фазовая траектория замкнутая.

Таким образом, решения системы (1.8) ? функции и ? будут периодическими функциями времени.

Функции и являются аналитическими по параметру . В самом деле, в силу аналитичности правых частей системы (1.8) её решения будут аналитическими функциями начальных значений

, .

Постоянная так же определяется этими значениями

. (1.13)

Так как правые части системы (1.8) не зависят от времени, то без ограничений общности начальные условия можно записать в виде

, . (1.14)

Отсюда видно, что решения системы (1.8) представляют собой аналитические функции .

5. Теорема Ляпунова

Теперь вычислим период, для этого составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют переменные ? и ?. Вычислим

(1.15)

Заменяя в системе (1.15) производные и их выражениями из уравнений (1.8) и разрешая полученную систему относительно производных и , найдем искомые уравнения

(1.16)

Из второго уравнения определим t:

(1.17)

Для того чтобы удовлетворить условиям (1.13), необходимо константу (1.17) принять равной нулю. Используем тот факт, что ? - аналитическая функция ?. Это позволит разложить подынтегральную функцию в выражении (1.17) в ряд по степеням ?

(1.17)

где - периодические функции ? периода 2?. Следовательно, подынтегральная функция в (1.17) также периодическая функция ? периода 2?. Следовательно, интеграл

не зависит от ?0 и его можно записать в виде

,

где - вполне определенные числа. Таким образом, при измени ? на 2? время t получает приращение Т

, (1.18)

не зависящие от ?0.

Пусть теперь Ф(?) - некоторая периодическая функция ? периода 2?, тогда

. (1.19)

Рассматривая ее как функцию t, будем иметь

. (1.20)

Равенство (1.19) справедливо для любых ?, следовательно, и равенство (1.20) справедливо для любых t, т. е. Ф(t) - периодическая функция t. Значит, величина Т, определенная формулой (1.18) как функция ?, и есть период решения.

Используя (1.17), мы можем записать его в следующем виде:

где период Т стремится к периоду линейных колебаний 2?/?, т. е. к периоду колебаний в системе (1.8) при .

Покажем теперь, что Т- четная функция ?. Вернемся сова к интегралу (1.11). рассматривая его как уравнение относительно ?, мы получаем в окрестности точки ?=0 два решения. Одно из них

(1.21)

другое

(1.21)

Теперь заметим, что левая часть уравнения (1.11) не изменится, если заменим ? на -? и ? на ? + 2?. Следовательно, на основании (1.21) будем иметь

(1.22)

Значение ?, определенное рядом (1.22), будет корнем уравнения (1.11), не совпадающее с (1.21) (потому, что для малых ? из (1.21) следует ? = ?+О(?2), а из (1.22) ? = - ?+О(?2)). Следовательно, оно будет определяться рядом (1.21).

Сравнивая (1.21) и (1.22), получаем

и т.д.

Отсюда следует, что если в выражении (1.21) заменить ? на - ?, а ? на ? + ?, то величина ? примет свое значение с обратным знаком:

.

Выпишем теперь выражение для периода Т. На основании (1.17) имеем

. (1.23)

Сделаем замену в (1.23) замену ? на -?, а ? на ? + ?. Тогда получим величину

.

Согласно доказанному величины и сохраняют свои значения. Следовательно, то же самое можно сказать и о функциях Х и Y. В то же время , и изменяют свои знаки. Следовательно, знаменатель изменит знак на обратный, но и числитель изменит знак на обратный. Следовательно,

.

Итак,

,

т. е. период - четная функция величины ?.

Таким образом, выше было доказано теорему Ляпунова, а теперь сформулируем ее.

Теорема Ляпунова.

Если постоянная достаточно мала, то все решения системы уравнения (1.8) ? периодические функции t, причем период ? четная функция величин и при стремится к . Решения системы (1.8) являются аналитическими функциями величины c ? начального отклонения переменной x.

Имея в виду формулу

выражение периода можно переписать в следующем виде:

(1.24)

Раздел 2.

Условия существования периодических решений

. Необходимые и достаточные условия периодичности

Рассмотрим систему:

(2.1)

Сначала мы не будем делать никаких предположений о природе коэффициентов , кроме предположения об их периодичности по .

Пусть и ? решение системы (2.1), удовлетворяющее следующим данным Коши:

,.

Для того чтобы это решение было периодическим с периодом , необходимо и достаточно, чтобы оно удовлетворяющее следующим условиям:

, . (2.2)

Очевидно, что условия (2.2) необходимы, так как функция называется периодической, если она удовлетворяет условиям:

, (2.3)

каково бы не было . Условия (2.2) являются частным случаем (2.3) при . Эти условия являются так же достаточными. В самом деле, правые части системы (2.1) ? периодические функции времени периода и, следовательно, они инвариантны относительно замены переменного , тогда в силу (2.2) по и мы будем иметь одну и ту же задачу Коши и, следовательно,

;

Или

;.

Так как это равенство справедливо для любых , то оно совпадает с (2.3) и, следовательно, функции и ? периодические.

Предположим далее, что система фундаментальных решений систем

(2.4)

нам известна. Обозначим эти функции через , , и , и решение системы (2.1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, полагая

, . (2.5)

где и ? некоторые функции времени, подлежащие определению.

Подставим выражения (2.5) в (2.1). Принимая во внимание, что функции , , и удовлетворяют системе (2.4), мы получим следующие уравнения для определения функций и ;

,,

откуда

(2.6)

где и ? новые произвольные постоянные, а ? определитель Вронского

.

Постоянные и определяются из начальных условий , при . Так как интегральные слагаемые в выражениях (2.6) при обращается в нуль, то постоянные и определяются из уравнений

(2.7)

Используя полученные выражения, выпишем теперь условия периодичности (2.2)

(2.8)

Для того чтобы система (2.1) допускала периодические решения, необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.8).

Рассмотрим эти условия для некоторых специальных случаев, так как это будет играть в дальнейшем изложении особую роль.

Сначала рассмотрим тот частный случай, когда фундаментальные решения - периодические функции, Заметим, что уравнения в вариациях, отвечающие изохорным системам, т. е. системам, период колебаний которых не зависит от начальных условий, всегда имеют периодические решения.

Так как C и D - постоянные числа, то в силу периодичности функции и из (2.7), мы получаем следующие условия:

(2.7)

Равенства (2.7) позволяют упростить систему (2.8), которую можно теперь рассматривать как систему однородных алгебраических уравнений относительно интегралов

.

Перепишем эту систему в следующем виде:

(2.9)

Определитель системы (2.9) есть определитель Вронского для функций . В силу независимости этих функций он отличен от нуля. Таким образом, система (2.9) имеет только тривиальное решение. Поэтому

(2.10)

Итак, мы пришли к следующему результату: если фундаментальное решение системы (2.4) выражается периодическими функциями, то для того, чтобы любое решение системы (2.1) было периодическим необходимо и достаточно, чтобы функции и удовлетворяли условиям (2.10).

Сейчас рассмотрим тот частный случай, когда система (2.1) имеет вид

(2.11)

Система (2.11) сводится к уравнению колебаний математического маятника под действием периодической внешней силы

где

Линейно независимые решения системы (2.11) имеют вид

(2.12)

Определитель Вронского этих функций равен единице, поэтому условия (2.10) будут приведены к такому виду:

(2.13)

ляпунов периодический решение уравнение

Раздел 3. Метод Ляпунова

. Алгоритм

Ляпунов предложил простой и очень эффективный метод построения периодических решений для достаточно малых значений постоянной с решения системы (1.8). Алгоритм Ляпунова использует аналитичность искомых решений по параметру с и дает правило построения решений в форме рядов специального вида, разложенных по степеням этого параметра.

Таким образом, на основании теоремы в разделе 1, решение системы уравнений (1.8) можно искать в виде:

,.

но это невозможно, так как период решения Т неизвестен. Тогда Ляпунов предложил видоизменить масштаб времени так, чтобы решения полученной системы имели фиксированный период, не зависящий от с (например, равный ).

Обратим внимание на формулу (1.24). Она показывает, что если ввести замену

(3.1)

то период колебаний по переменной будет равен . Сделав в системе уравнений (1.8) замену (3.1), получим

(3.2)

Так как правые части системы (3.2) мы умножили на аналитические функции параметра , то решение этой системы, так же как и системы (1.8), аналитические по и для любого достаточно малого периодические по . Но период по независимой переменной теперь уже фиксирован, он равен .

Периодические решения системы (3.2) будем искать в виде рядов

,. (3.3)

Подставим ряды (3.3) в систему уравнений (3.2) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях параметра . Функции и будут удовлетворять следующей системе уравнений:

, .(3.4)

В самом деле, функции и , будучи аналитическими функциями своих переменных, таковы, что их разложение начинается с членов второго порядка малости. Следовательно, при подстановке в эти функции рядов (3.3) функции и не будут содержать членов, линейных относительно . Начальные значения для системы (3.2) определены равенствами (1.13)

: ,.

Следовательно, функции и будут соответствовать следующим начальным условиям:

: ,,

, , где i =2,3… (3.5)

Функции и будут удовлетворять системе уравнений

(3.6)

где и ? квадратичные члены разложения функций и по степеням параметра . Так как и ? аналитические функции переменных и , причем их разложение начинается с квадратичных членов, то и являются квадратичными формами переменных и .

Точно так же каждая пара функций и , входящая в разложение (3.3), определяется системой уравнений

(3.7)

причем функции и будут содержать величины и только тех номеров , которые меньше чем .

Кроме того, функции и будут содержать величины , причем Заметим, что величины входят в правые части (3.7) только уравнений относительно и , для которых :

(3.8)

и т. д.

Из уравнений (1.13) следует, что функции и при удовлетворяют начальным условиям

,.(3.9)

Вернемся снова к уравнениям (3.2). Хотя числа нам неизвестны заранее, но они на основании теоремы Ляпунова определяются однозначно для данной системы и не зависят от параметра , ни от начальных условий.

Далее члены рядов (3.3) также определяются однозначно, причём и ? периодические функции переменного периода . В самом деле, и ? периодические функции, следовательно,

(3.10)

Так как функции и не зависят от параметра , а равенства (3.10) справедливы для любого малого , то

, .

Таким образом, мы можем утверждать заранее, что функции и , которые определяются как решение задачи Коши (3.9) для системы уравнений (3.7), будут периодическими функциями времени периода . С другой стороны, уравнения (3.7) относятся к виду

, ,(2.11)

где ,

являются периодическими функциями времени, поскольку они определяются периодическими функциями …, , , …, . Система вида (2.11) имеет периодическое решение тогда и только тогда, когда функции удовлетворяют условиям

На этом основании можно сформулировать следующее вспомогательное утверждение:

функции , и числа всегда удовлетворяют условиям (3.11)

Практическая часть

Индивидуальное задание

Построить приближенное периодическое решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений:

при начальных условиях , . Здесь A, С=const.

Решение задания

Подставив эти разложения в систему. Получим

Замена,

,

тогда

Согласно методу Ляпунова решение ищем в виде степенного ряда по малому параметру с.

Так как , тогда

Теперь найдем коефициенты при с, с2, с3,…, тоесть найдем .

с:

уравнение окружности, тогда

с2 :

Найдем :

Так как

Таким образом, получим

с3:

Теперь найдем h2 и проверим необходимое и достаточное условие существования периодического решения. Тоесть

Необходимое и достаточное условие:

, где

Таким образом

Сейчас проверим условие существования периодического решения

Таким образом, периодическое решение существует. Далее подставим полученное выражение для h2 в систему для с3

sin2?:

sin3?:

с4:

Теперь для удобства обозначим некоторые числовые выражения

тогда

Снова переобозначим

Тогда

Далее найдем h3

, где

Теперь подставим найденные значения для в систему

При этом вернувшись к замене

,

Откуда

Тогда наше решение примет вид

Список литературы

1. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики, Наука, М.,

г.

. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, ГИТТЛ, М., 1956.

Министерство образования и науки Украины Днепропетровский национальный университет им. О. Гончара Механико-математический факультет Кафедра дифферен

Больше работ по теме: