Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

 

Министерство образования и науки Российской Федерации

Новокузнецкий филиал-институт

Кемеровского государственного университета

Кафедра математики и математического моделирования

Курсовая работа

по дисциплине: Математическое моделирование в естествознании и методы их исследования

на тему: Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

Выполнил:

студент группы ПМИ-071

Черная Ю.А.

Проверил:

преподаватель кафедры МиММ

Седова Е.А.

Новокузнецк, 2011

Содержание

1. Введение

. Постановка задачи

. Решение

. Заключение

. Список литературы

1. Введение

вязкая жидкость канал прямоугольный уравнение

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутреннего трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Сопротивление жидкости к изменению формы характеризуют динамической вязкостью (внутренним трением). Сила внутреннего трения в жидкости ? на единицу площади, определяют по закону Ньютона:

, (1)

где - градиент скорости в направлении перпендикулярном течению, абсолютная и динамичная вязкость жидкости. Кинематическая вязкость - отношение динамической вязкости к плотности: . Одной из целей расчёта течения является нахождение поля давлений в зависимости от координат и времени. В вязкой жидкости в каждой точке геометрической области существует три компоненты давления, для несжимаемой жидкости:

(2)

Среднее давление находится в результате решения системы Навье-Стокса.

Движение жидкости в канале называется безнапорным движением. Особенностью его является наличие свободной поверхности с одинаковым давлением по всей ее длине. С точки зрения гидравлики безнапорные потоки можно разделить на установившиеся потоки с равномерным движением жидкости и неустановившиеся потоки, часто называемые быстротоками.

Русла подразделяют по параметрам, определяющим изменение площади сечения по длине потока, на непризматические и призматические (и цилиндрические). У непризматических русел, форма и (или) геометрические размеры поперечного профиля меняются по длине русла. Поэтому площадь сечения потока является функцией длины русла и функцией глубины потока вдоль русла. В таком русле движение неравномерное. В призматических руслах форма и размеры элементов поперечного профиля по длине сохраняются неизменными. Площадь живого сечения потока может изменяться только в связи с изменением глубины потока. По форме профиля поперечного сечения русла могут быть правильной и неправильной формы. Призматические русла имеют правильную форму. Они могут быть прямоугольные, треугольные, трапецеидальные. В нашем случае русло прямоугольной формы. Для решения системы дифференциальных уравнений (уравнения движения жидкости и уравнение неразрывности) необходимо задать начальные и граничные условия. Начальные условия задают поле скоростей и давлений в жидкости в начальный момент времени. Граничные условия бывают двух типов: кинематические (условия для скорости на границах жидкости) и динамические (связанные с давлением).

2. Постановка задачи

Составить краевую задачу, включающую кинематические соотношения, уравнения движения, определяющие соотношения и решить ее.

Будем рассматривать установившееся движение вязкой и несжимаемой жидкости. Пусть в расчетной области течения D, ограниченной свободной поверхностью С1 и твердыми стенками С2, С3, С4 решается уравнение Лапласа. Ширина канала l, высота h. Предположим что жидкость вязкая, несжимаемая. Течение стационарное, установившееся, не турбулентное.

Рис. 1. Течение вязкой жидкости в канале прямоугольной формы

3. Решение

Общая задача гидродинамики сводится к решению совместной системы из четырёх дифференциальных уравнений Навье-Стокса:

(3)

Система уравнений складывается из уравнений движения по трём направлениям и уравнения неразрывности (вязкости). Раз жидкость не сжимаема то . Так как движение установившееся:

. (4)

Тогда, задача (3) примет вид:

(5)

Так как движение жидкости безвихревое, траектории движения всех частиц будут строго прямолинейными и параллельными между собой, а значит, компоненты скорости: v=0, w=0.

К уравнениям движения добавим граничные условия: на свободной поверхности выполняется кинематическое и динамическое условие. В итоге получаем систему дифференциальных уравнений с граничными условиями:

(6)

Так как движение прямолинейное и параллельное то единственная проекция вектора скорости u будет оставаться постоянной и может изменяться только в поперечном к траекториям направлении:

(7)

, так как в нашем случае синус равен единице то все силы по направлениям приравниваются к ускорению свободного падения.

Представим давление в виде суммы двух составляющих статической и динамической:

.(8)

Статическое давление определяется из уравнения равновесия:

.(9)

Используя выражение для кинематического коэффициента вязкости:

,(10)

подставив в нашу систему полное давление, получим:

(11)

Легко догадаться, что динамическое давление не будет зависеть от y и z. Левая часть уравнения зависит только от x, значит, левые и правые части должны быть равны одной и той же величине:

. (12)

Это означает, что перепад давления на единицу длины в направлении движения постоянен. Таким образом, наша задача сводится к решению дифференциального уравнения Пуассона:

,(13)

где правая часть есть постоянная величина, границы, вдоль которых течёт вода, не деформируются и остаются не подвижными, что удовлетворяет условию прямолинейного параллельного движения. Используя условие прилипания, мы сводим нашу задачу к задаче Пуассона при нужных нам граничных условиях. Так как правая часть остаётся постоянной, то уравнение сводится к уравнению Лапласа заменой:

.(14)

При такой замене рассматриваемая задача о прямолинейном параллельном движении вязкой жидкости внутри канала прямоугольной формы, будет сводиться к решению уравнения Лапласа для функции :

(15)

при граничных условиях на неподвижных стенках:

(16)

на свободной границе:

(U=const)(17)

С помощью известного из математической физики метода Фурье, получим решение полученной системы. Данный метод широко применяется для решения уравнений математической физики. Его суть заключается в том, что мы функцию из уравнения (15) представляем в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:

(18)

Подставляем данную замену в уравнение (15) и разделим переменные:

(19)

Разделим переменные:

В (19) левая часть зависит только от y, а правая - только от z равенство между ними возможно, только если обе части

(знак при выбран для удобства) (20)

Отсюда: (21)

Полученная пара уравнений может быть решена стандартным способом. Дополним уравнения условиями (16) и (17).

Требуется указать такие и такую , тождественно не равную нулю, чтобы (6) имело решение.

Рассмотрим три случая для :

. ищем решение в виде: , где С - const,

= -(находится из граничных условий) , а по условию: , не подходит

. =0 (аналогично получаем, что не подходит)

. характеристическое уравнение имеет два корня: , решение имеет вид: . Подставив граничные условия (16) и (17), получаем что , а решение примет вид:

.(22)

Решим уравнение системы (21) относительно z, с уже найденным :

,(23)

где , - произвольные постоянные.

Тогда, решение уравнение Лапласа имеет вид:

.(18)

Подставив полученное решение в уравнение (14) получим искомое значение давления:

. (20)

4. Заключение

Когда речь заходит о построении математической модели какого-либо явления, принадлежащего к физике, социологии, экономике или другой области знаний, встаёт вопрос о правильном построении системы дифференциальных уравнений и её решения, исходя из начальных или граничных условий.

Современную физику невозможно представить без математики, и с появлением новых областей исследования, новых теорий, встаёт необходимость в пополнении математической базы, исследовании новых методов. Многие задачи современной физики могут быть решены только с помощью численных методов. В интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются качественно новые классы моделей современной математической физики.

В данной работе представлен аналитический метод решения стационарного уравнения Навье-Стокса в трехмерной геометрии. Решение получено для несжимаемой жидкости. Решение нелинейных уравнений ищется методом последовательных приближений. Метод последовательных приближений позволяет свести задачу к решению последовательности систем линейных дифференциальных уравнений для неизвестной функции с учетом нелинейной части, в которую входят известные функции. Затем используется преобразование Лапласа для временной переменной и преобразование Фурье - для пространственных переменных.

5. Список использованной литературы:

1.Сборник задач по уравнениям математической физики \ Под ред. В. С. Владимирова. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 288 с.

.Динамика вязкой не сжимаемой жидкости \ Слёзкин Н.А. -М.:1955.- 519с.

.КМГЭ для решения плоских задач Гидродинамики \ Учебное пособие \ К.Е. Афанасьев, С.В. Стуколов -Кемерово:2001.

Министерство образования и науки Российской Федерации Новокузнецкий филиал-институт Кемеровского государственного университета Кафедра математики и

Больше работ по теме: