Статистические показатели деятельности предприятия

 

Задание 1

По 8 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли (y) и производстве валовой продукции (x).

Таблица 1. Исходные данные

№ по порядку ПрибыльПроизводство валовой продукции122,526,2223,329324,930,8427,132,8530,634,5633,436,9734,636,6835,937,4

Требуется:

1.Построить линейное уравнение парной регрессии.

2.Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

.Определить коэффициент эластичности.

.Оценить статистическую значимость параметров регрессии (использовать t-критерий Стъюдента для вероятности р=0,95).

.Построить прогноз прибыли при прогнозном значении произведенной валовой продукции, составляющей 105% от среднего значения.

.Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение

1. Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров линейной регрессии используют метод наименьших квадратов (МНК). Это самый распространенный и теоретически обоснованный метод, вычисления в нем наиболее простые.

Для нахождения параметров регрессии решается система уравнений:

,

где

- количество измерений;

- сумма всех факторов;

- сумма всех результативных признаков;

- сумма квадратов всех факторов;

- сумма произведений факторов и соответствующих им признаков.

Расчеты приводятся во вспомогательной таблице.

Таблица 1.1 Расчет параметров уравнения регрессии

№ изм.126,222,5686,44589,50506,2522923,3841,00675,70542,89330,824,9948,64766,92620,01432,827,11075,84888,88734,41534,530,61190,251055,70936,36636,933,41361,611232,461115,56736,634,61339,561266,361197,16837,435,91398,761342,661288,81Сумма264,2232,38842,107818,186941,45Сред.33,02529,0381105,263977,273867,681

Уравнение парной регрессии имеет вид:

. Рассчитывается линейный коэффициент парной корреляции:

Величина коэффициента близка к единице, значит, между фактором и результатом существует прямая тесная связь.

По уравнению парной регрессии рассчитываются теоретические значения и отклонения реальных от рассчитанных.

и так далее для каждого измерения.

Для расчета средней ошибки аппроксимации составляется таблица:

Таблица 1.2 Расчет ошибки аппроксимации

№ изм.126,222,520,4860,0900,09022923,323,994-0,0300,030330,824,926,250-0,0540,054432,827,128,756-0,0610,061534,530,630,886-0,0090,009636,933,433,893-0,0150,015736,634,633,5170,0310,031837,435,934,5190,0380,038Сумма0,328

Средняя ошибка аппроксимации рассчитывается как

.

Ошибка менее 5%, что говорит о высокой точности модели.

3.Коэффициент эластичности определяется по формуле

Это значит, что при увеличении валовой продукции на единицу от своего среднего значения прибыль изменится на 1,425.

. Оценивается статистическая значимость параметров регрессии. Для этого вначале выдвигаем гипотезу о случайной природе показателей, то есть, предполагаем, что они близки к нулю. Для проверки этой гипотезы используется статистика, которая имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы , где - объем выборки. По приложению А выбирается t-критерий Стъюдента для вероятности р=0,95 и .

Для расчета ошибок параметров регрессии выполняются дополнительные расчеты.

1-6,8346,581-6,5442,7392,0144,0582-4,0316,201-5,7432,919-0,6940,4823-2,234,951-4,1417,119-1,3501,8214-0,230,051-1,943,754-1,6562,74151,482,1761,562,441-0,2860,08263,8815,0164,3619,031-0,4930,24373,5812,7815,5630,9411,0831,17384,3819,1416,8647,0941,3811,906Сумма0,00116,8950,00196,040,0012,505

Стандартные ошибки параметров линейной регрессии:

Расчетные значения t-критерия Стъюдента:

Полученные значения больше табличных, поэтому гипотеза о случайной природе показателей отвергается. Параметры модели признаются связанными между собой и статистически значимыми.

Доверительные интервалы:

5.Строится прогноз прибыли при прогнозном значении произведенной валовой продукции, составляющей 105% от среднего значения.

Из уравнения регрессии

При объеме валовой продукции 34,676 величина прибыли составит 31,11.

6.Рассчитываем среднюю стандартную ошибку прогноза по формуле

Для этого составляется вспомогательная таблица.

1-6,83-6,5446,58142,73944,6182-4,03-5,7416,20132,91923,0933-2,23-4,144,95117,1199,2064-0,23-1,940,0513,7540,43651,481,562,1762,4412,30563,884,3615,01619,03116,90573,585,5612,78130,94119,88684,386,8619,14147,09430,023Сумма116,895196,039146,473

Ошибка прогноза

Доверительный интервал прогноза:

Задание 2

По четырем предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс.руб.), от ввода в действие новых основных фондов x2 (%) и от удельного веса рабочих высокой квалификации к рабочим низкой квалификации x1 (%).

Таблица 2. Исходные данные

№ по порядкуx1x2y13210246113681447915

Требуется написать уравнение множественной регрессии. Рассчитать коэффициент линейной множественной корреляции и провести статистическую оценку параметров уравнения регрессии (использовать F-критерий Фишера для вероятности р=0,95).

Решение.

Число факторов модели равно двум: x1 и x2.

Предполагаем, что зависимость описывается уравнением

Для нахождения параметров регрессии решается система уравнений:

Расчеты приводятся во вспомогательной таблице.

Таблица 2.1 Расчет параметров множественной регрессии

№ изм.132103020946246114466163624368148411236644847915105135498163Сумма202550263333110185141

На основе построенной таблицы составляем систему уравнений.

Система решается по методу Крамера. Главный определитель системы:

Находим частные определители.

Решение исходной системы:

, , .

Уравнение регрессии имеет вид:

Показатель или коэффициент множественной корреляции определяется по формуле

,

где

- сумма квадратов разности измеренного и вычисленного значений признаков,

- сумма квадратов разности измеренного и среднего значений признаков.

Таблица 2.2 Расчет коэффициента множественной корреляции

13210-2,56,2510,000,000,000024611-1,52,2511,07-0,070,0051368141,52,2513,790,210,0459479152,56,2515,14-0,140,0204Сумма2025500,0017,0050,000,000,0714

Величина коэффициента множественной корреляции очень близка к 1, это означает очень тесную связь между результатом и набором признаков.

Оцениваем статистическую значимость параметров по F-критерию Фишера.

,

где

- показатель множественной корреляции,- число наблюдений,- число факторов (переменных).

Табличное значение F-критерия при уровне значимости равно , при уровне значимости равно .

Параметры уравнения статистически значимы для вероятности .

Задание 3

Имеются данные об уровне среднегодовых цен на какао-бобы из Бразилии (цена в тыс.руб за тонну).

Номер кварталаУровень цены117,3216,2316,6418,4517,8616,5717,0819,4918,01016,61117,21219,81318,41417,51517,61619,6

Требуется построить мультипликативную модель тренда. Сделать прогноз цены на четыре года вперед.

Решение.

Исходный временной ряд выравнивается методом скользящего окна. Интервал (шаг) для расчета скользящей средней принимается равным 4 кварталам.

и т.д.

статистический прогноз регрессия

Шаг скользящей средней выбран четным, поэтому полученные значения необходимо центрировать, то есть снова рассчитать скользящие с шагом 2.

и т.д.

Оценка сезонной компоненты есть частное от деления фактических значений цены на центрированные скользящие средние.

На основе проведенных расчетов заполняется таблица.

Таблица 3.1 Сглаживание исходного ряда методом скользящей средней и расчет сезонной компоненты

КварталЦенаСред.скользящая за 4 кварталаЦентрированная скольз.средняяОценка сезонной компоненты117,3- - - 216,2- - -316,617,12517,18750,9658418,417,2517,28751,0644517,817,32517,3751,0245616,517,42517,550,9402717,017,67517,70,9605819,417,72517,73751,0937918,017,7517,7751,01271016,617,817,850,93001117,217,917,950,95821219,81818,11251,09321318,418,22518,2751,00681417,518,32518,30,95631517,618,275- -1619,6- - -

За каждый квартал определяется средняя оценка сезонной компоненты. Так как кварталов 16, получается 4 года по 4 квартала. В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопоглощаются, то есть сумма значений сезонных компонент каждого квартала должна быть равна 4.

Таблица 3.2 Корректирование сезонной компоненты

ПоказателиНомер года Номер квартала 1234 1- -0,96581,0644 21,02450,94020,96051,0937 31,01270,93000,95821,0932 41,00680,9563- -Средняя за квартал 1,014650,942140,961501,08375Скорректированная 1,014130,941660,961011,08320Вычисляем корректировочный коэффициент:

Путем деления на корректировочный коэффициент вычисляются скорректированные значения средних оценок сезонной компоненты.

Проверяем условие равенства суммы четырем:

Получено верное тождество, расчеты верны.

Для устранения влияния сезонной компоненты каждый уровень исходного временного ряда делится на среднюю оценку соответствующего квартала.

Таблица 3.3 Устранение влияния сезонной компоненты

КварталЦена117,31,014117,059216,20,941717,204316,60,961017,274418,41,083216,987517,81,014117,552616,50,941717,522717,00,961017,690819,41,083217,910918,01,014117,7491016,60,941717,6281117,20,961017,8981219,81,083218,2791318,41,014118,1441417,50,941718,5841517,60,961018,3141619,61,083218,095Для получения уравнения тренда проводятся такие же вычисления, как при нахождении уравнения парной регрессии.

Все вспомогательные вычисления сводятся в таблицу.

Таблица 3.4 Построение уравнения тренда

Квартал, Выравненная цена, 117,0591291,004817,0589 217,2044295,964734,4073 317,2749298,376351,8207 416,98716288,549867,9470 517,55225308,069087,7595 617,52236307,0279105,1333 717,69049312,9292123,8286 817,91064320,7662143,2796 917,74981315,0308159,7420 1017,628100310,7607176,2841 1117,898121320,3355196,8771 1218,279144334,1301219,3507 1318,144169329,1877235,8659 1418,584196345,3711260,1783 1518,314225335,4081274,7122 1618,095256327,4140289,5134Сумма136283,888149680592,26152443,7585Среднее8,517,743

Уравнение тренда имеет вид:

Подставляя в это уравнение значения времени t, получаем расчетные уровни цен для каждого момента времени. Затем, умножая на соответствующие значения , получаем значения уровней ряда по мультипликативной модели.

Используя вспомогательную таблицу, рассчитываем среднюю ошибку аппроксимации.

И так далее для каждого квартала.

Таблица 3.5 Расчет средней ошибки аппроксимации

Квартал, 117,06631,014117,307517,30,000434217,15660,941716,155716,20,002733317,24690,961016,574416,60,001542417,33731,083218,779718,40,020634517,42761,014117,673917,80,007082617,51790,941716,496016,50,000245717,60830,961016,921617,00,004610817,69861,083219,171119,40,011801917,78891,014118,040418,00,0022431017,87920,941716,836216,60,0142291117,96960,961017,268917,20,0040041218,05991,083219,562419,80,0119981318,15021,014118,406818,40,0003701418,24060,941717,176517,50,0184891518,33090,961017,616117,60,0009151618,42121,083219,953819,60,018052Сумма 0,119381 Среднее 0,007461

Средняя ошибка аппроксимации незначительна, что говорит о высокой точности построенной мультипликативной модели.

Прогнозные значения уровней временного ряда мультипликативной модели определяются как произведение трендовой и сезонной компонент:

Прогнозное значение для 17 квартала (1-й квартал пятого года):

Прогнозное значение для 18 квартала (2-й квартал пятого года):

Таким образом заполняем таблицу на следующие 4 года, то есть на 16 кварталов.

Таблица 3.6 Прогноз уровней цены на 4 года вперед

Номер квартала Сезонная компонента Трендовая компонента Прогноз цены171,014118,51218,773180,941718,60217,517190,961018,69217,963201,083218,78320,345211,014118,87319,140220,941718,96317,857230,961019,05418,311241,083219,14420,737251,014119,23419,506260,941719,32518,197270,961019,41518,658281,083219,50521,128291,014119,59619,873300,941719,68618,537310,961019,77619,005321,083219,86721,519

Задание 1 По 8 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о прибыли (y) и производстве валовой продукции (x). Таблица 1. Исходные данные

Больше работ по теме: