Система передачи информации

 

1.Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса

а) Метод Крамера

Обозначим через? = ?А?, ?А?- это определитель третьего порядка, т.к. три строчки и три столбца.

Формула для определителя третьего порядка имеет вид:

?

При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников, которое символически можно записать следующим образом:

?= ?А?=1

Обозначим через ?1 определитель матрицы А, полученный заменой первого его столбца столбцом свободных членов.

Через ?2 определитель матрицы А, полученный заменой второго его столбца столбцом свободных членов.

Через ?3 определитель матрицы А, полученный заменой третьго его столбца столбцом свободных членов.

Найдем: х1=1?1 =1

х2=3?1=3

х3=1?1=1

ОТВЕТ: (1;3;1)

б) Метод обратной матрицы

Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц.

Квадратной матрицей называется та матрица у которой число строк равно числу столбцов.

Матрица А квадратная.

Находим обратную матрицу к матрице А. А?0

Вычислить обратную матрицу можно по формуле:

,

Дана матрица

Найти матрицу, обратную данной. Проверить, что AA-1 = E.

Вычислим определитель матрицы разложением по первой строке

Найдем все алгебраические дополнения

Минором Mij элемента aij определителя n-го порядка (n > 1) называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит данный элемент aij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij = (-1)i+j Mij.

Находим х по формуле

х=А-1?В, где В это свободные члены уравнения

Сделаем проверку

матрица производная вектор уравнение

Ответ: ; (1;3;1)

в) Метод Гаусса

Суть метода заключается в том, что с помощью элементарных преобразований СЛУ приводят к эквивалентной ступенчатой системе:

Элементарные преобразования СЛУ

1.Перестановка любых двух уравнений.

2.Почленное умножение любого уравнения системы на произвольное ненулевое число.

.Почленное прибавление к некоторому уравнению системы любого другого ее уравнения, умноженного на произвольное число.

.Вычеркивание в системе нулевого уравнения, т. е. уравнения вида:

× x1 + 0 × x2 + … +0 × xn = 0.

Запишем расширенную матрицу ситемы и будем к ней применять элементарные преобразования, добиваясь ступенчатого вида.

)Из второй строки вычитаем третью

)Складываем первую строку с полученной второй

Система уравнений приняла вид

Подставляем найденные значения в третье уравнение

+3+х3=3

х3=3+1-3

х3=1

Ответ: (1;3;1)

2.Даны векторы =(3,1,-1) и =(0,1,1). Найти их длины и скалярное произведение. Являются ли эти векторы ортогональными?

Найдем длины векторов по формуле

.

??= = =

??= = =

Найдем скалярное произведение векторов по формуле

.

?=3?0+1?1+(-1)?1=0,

значит векторы и ортогональные

Ответ : ??=, ??=

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(2;3) параллельно направляющему вектору =(-1;-2). Найти расстояние от точки В(1;4) до полученной прямой

Вектор, параллельный данной прямой или лежащий на ней, называется направляющим вектором этой прямой.

Пусть прямая проходит через точку М0 (x0;y0) и имеет направляющий вектор q?=(?;?)

Тогда ее уравнение имеет вид

y-y0 = x-x0

??

Подставляем в данное уравнение координаты точки А и вектора

Получим

(y-3)=-2(x-2)

y+3= -2x+4

x -y-1=0

Уравнение прямой 2x-y-1=0

Пусть задана прямая уравнением Ax + By + C=0 и точка M0 (x0;y0). Расстояние d от точки M0до прямой вычисляется по формулеЭ

В (1;4) уравнение прямой 2x-y-1=0

?2?1-1?4-1? ?-3?

d = ?22+(-1)2 = ?5 =0,6?5

Ответ: уравнение 2x-y-1=0 расстояние 0,6?5

4. Вычислить пределы: а) ; б) ; в) .

а) lim (1-4x)= lim 1- lim 4x=1- 4?(-2)=9 ?-2 x ?-2 x ?-2

), где c - любое число.

), где c - любое число.

).

б) Предел числителя и знаменателя дроби при x ® 1 равен нулю (в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида ). Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители (в числителе применим формулу разложения квадратного трехчлена на множители, в знаменателе - формулу разности квадратов) и сократим дробь. Получим:

.

.

в)=при x ® ¥ стремятся к¥ (имеем дело с неопределенностью вида ). Для нахождения предела данной дроби разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень x, т. е. на x3, получим

lim3x3-5 = lim3- x3= 3 = - 1?? 7-2x-3x3 x?? 7 -2 -3-3

x3x2

так как при x ® ¥ каждая из дробей стремится к нулю.

Ответ:

а) =9

б) =2

в) =-1

5. Найти производные функций одной переменной и частные производные первого порядка функций двух переменных: а) ; б) ; в) ;г) .

а);

Применяем формулы

1. C¢ = 0.

. (Cu)¢ = Cu¢.

3. (u ± v)¢ = u¢ ± v¢.

. (uv)¢ = u¢v + uv¢.

5. .

б) ;

.

в)

При нахождении частной производной первого порядка функций двух переменных сначала дифференцируем как функцию одной переменной , другая предполагается постоянной.

Z´xзначит y-постоянная

Z´x=(5x3y2-xy)´=5y2 ? 3x2 -y?1=15y2x2-y

Z´yзначитx - постоянная

Z´y=(5x3y2-xy)´=5x3?2y-x?1=10x3y-x

г)

Z´x=((x-2y)?cosxy)´=(x-2y)´?cosxy + (x-2y)?(cosxy)´=1?cosxy + (x-2y) ? (-sinxy) ??(xy)´=cosxy + (x-2y) ? (-sinxy) ?y = cosxy-xysinxy + 2y2sinxy

Z´y=((x-2y)?cosxy)´= (x-2y)´?cosxy + (x-2y)?(cosxy)´=-2?1?cosxy + (x-2y) ? (-sinxy) ? ?(xy)´=-2cosxy + (x-2y) ?x?(-sinxy)=-2 cosxy-x2 sinxy + 2xysinxy

6. Найти неопределенный интеграл и проверить результат дифференцированием

а) ; б) ;

Интеграл от суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций

Изтаблица основных интегралов

1. .

. , a ? -1.

. , x ? 0.

.

а) =?(x?x - 1?x + 2)dx=?x?xdx - ?dx/x +2dx=

x3/2+1x2/5

?x?x1/2dx-?dx/x +?2dx=?x3/2dx - ?dx/x+?2dx=3/2+1 -ln?x?+2x+c=5/2 -ln?x?

+2x+c=3/2+1=2.5

x2.5x2.5?2

5/2 = 5

x2.5?2

-ln?x? +2x +c=0,4x2.5-ln?x?+2x +c

Проверка

(0,4х2,5-ln?x?+2x+c)?=(0,4x2.5)?-(ln?x?)?+(2x)?+c?=0,4?2.5?x1.5-1/x+2=x1.5-1/x+2=x?x-1/x+2

б)

Введем подстановку 2-5x=t, тогда dt=d(2-5x)=(2-5x)´dx=-5dx

dt = -5dx=dt/-5 dx=-1/5dt

=?t7?(-1/5)dt=-1/5?t7dt=-1/5?t8/8 +c=-1/40?t8+c= заменяемt=2-5x, получаем

-1/40(2-5x)8+c

Проверка

(-1/40(2-5х)8+с)?=-1/40?8?(2-5х)7?(2-5х)?+с?=-1/5(2-5х)7?(-5х)=(2-5х)7

Ответ: а) 0,4x2.5-ln?x?+2x +c

б)-1/40(2-5x)8+c

7. Найти определенный интеграл.

Найдем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - некоторая ее первообразная, то

.

Если ввести обозначение , то формула Ньютона -Лейбница примет вид

.

?=(2-3x4 +x)dx= ?2dx - 3 ?x4dx + ?xdx=(2x-3?x5/5+x2/2)? =

=(2?1-3?15/5+12/2)-(2?(-1)-3?(-1)5/5+(-1)2/2)=(2-3/5+1/2)-(-2+3/5+1/2)=

=2-3/5+1/2+2-3/5-1/2=2,8

Ответ: =2,8

8. Исследовать на экстремум z= 4+3x-x2-2y-y2

Найдем частные производные первого порядка

z?x= 3-2x; z?y= -2-2y

Найдем критические точки, это точки в которых производная равна нулю, либо не существует. Имеем критическую точку М(1,5;-1)

Частные производные второго порядка

z?xx=(3-2x)?=-2

z?xy=(3-2x)?=0

z?yy=-2

НаходимD=z?xx?z?yy-(z?xy)2=-2?(-2)-0=4

Т.к. D>0 и z?xx<0, то точка М(1,5;-1)является точкой максимума.

Находим экстремумы функции

zmax=z(1,5;-1)=4+3?1,5-1,52-2?(-1)-(-1)2=7,25

Ответ:zmax=z(1,5;-1)=7,25

9. Студент сдает сессию из двух экзаменов. Он добросовестно подготовился и считает, что на каждом экзамене получит «4» с вероятностью , «два» получить не может, а получение «три» и «пять» для него равновероятно. Какова вероятность того, что а) он сдаст сессию без троек; б) сдаст сессию на «отлично»?

Введем обозначения Оценка 3 - А Р(А)=0,05

Оценка 4 - В Р(В)=0,9

Оценка 5 - С Р(С)=0,05

Воспользуемся теоремой сложения и умножения вероятностей

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

события А и В несовместимы

Р(А?В)=Р(А)?Р(В)

а)Р(В+С)=Р(В)+Р(С)-Р(В?С)=0,9+0,05-0,9?0,05=0,9+0,05-0,045=0,905

вероятность сдачи сессии без троек

в) Р(??В?)=(1-0,05)?(1-0,9)=0,95?0,1=0,095

вероятность сдачи сессии на отлично

ОТВЕТ: а) 0,905

в) 0,095

11. На первом курсе 70 студентов. Из них 30 человек занимаются физкультурой в секции гимнастики, 20 - в секции лыжного спорта, остальные - легкоатлеты. Вероятность получить зачет «автоматом» у гимнастов - 0,8; у лыжников - 0,85; у легкоатлетов - 0,75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный с курса студент получит зачет по физкультуре автоматически

А - это событие

Р(А) - это вероятность события А

Введем гипотезы

H1 - зачет автоматом получил гимнаст

H2 - зачет автоматом получил лыжник

H3 - зачет автоматом получил легкоатлет

Значит Р(A/ H1) = 0,8

Р(А/ H2) = 0,85

Р(А/ H3) = 0,75

По условию всего 70 студентов.30 гимнастов, 20 лыжников

-(30+20)=20 легкоатлетов

Вероятность того, что автоматом зачет получит гимнаст будет

Р(H1)==

Лыжник Р(H2)==

легкоатлет Р(H3)==

По формуле полной вероятности

Вычислим

Р(А)= ? 0,8 + ? 0,85 + ? 0,75= ? + ? +? =++=

==0,8

ОТВЕТ: 0,8

. В таблице дан закон распределения случайной величины (месячная выручка киоска «Роспечать»). Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

xi11510595908565pi

Многоугольник распределения случайной величины X имеет вид:

а) Найдем математическое ожидание случайной величины X:

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений X на соответствующие вероятности

М(х)=115?+105?+95?+90?+85?+65?=

=2,875+21+47,5+18+4,25+1,625= 95,25

б) Найдем дисперсию случайной величины X:

Дисперсией дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу

D(x)=M(x2) - M2x

M(x2)= 1152?+1052?+952?+902?+852?+652?=

= 330,625+2205+4512,5+1620+361,25+105,625=9135

D(x)=9135-95.252=9135-9072,5625=62,4375

Среднее квадратическое отклонение случайной величины

==7,90174037,90

ОТВЕТ: М(х)= 95,25 D(x)= 62,4375 s(х) 7,90

1.Решить систему линейных уравнений методом Крамера, методом обратной матрицы, методом Гаусса а) Метод Крамера Обозначим через? =

Больше работ по теме: