Синтез системы автоматического регулирования (САР)

 

1. Синтез системы автоматического регулирования (САР)

Различают синтез "в большом" и "в малом".

При синтезе "в большом" обычно подлежит определению передаточная функция замкнутой САР, наилучшей в каком-то смысле слова (т.е. обеспечивающей экстремальное значение какого-либо показателя качества). Задача это весьма сложная и не всегда приводит к желаемому результату.

При синтезе "в малом" подлежат определению передаточные функции корректирующих звеньев (регуляторов) при которых САР отвечает заданным показателям качества. Различают последовательные и параллельные корректирующие звенья, и, следовательно, САР с последовательной и параллельной коррекцией.

Синтез систем с последовательной коррекцией

Содержание синтеза последовательных корректирующих звеньев

Обобщенная структурная схема САР с последовательной коррекцией представлена на рис.9.1

Помимо неизменяемой части САР (объекта регулирования) присутствует часть, параметры которой можно выбрать, - корректирующее звено.

Частотная характеристика разомкнутой системы:

ЛАЧХ разомкнутой системы:

.

Назовем систему, которая обеспечивает заданные динамические и статические свойства, - желаемой, а ЛАЧХ желаемой системы в разомкнутом состоянии - желаемой ЛАЧХ:

.

Проектируемая система будет удовлетворять заданным требованиям, если ЛАЧХ разомкнутой системы будет равна желаемой ЛАЧХ:

.

Следовательно, желаемую САР можно синтезировать за счет выбора соответствующей ПФ корректирующего звена.

Синтез системы с последовательной коррекцией включает:

) Синтез желаемой ЛАЧХ Lж (w);

) Определение ЛАЧХ корректирующего звена LКЗ (w) и его ПФ WКЗ (s);

) Реализацию некоторого устройства с ПФ WКЗ (s).

Синтез желаемой ЛАЧХ, в свою очередь, включает в себя три этапа:

·синтез низкочастотной ЛАЧХ;

·синтез среднечастотной ЛАЧХ;

·синтез высокочастотной ЛАЧХ.

Синтез низкочастотной ЛАЧХ

Низкочастотная ЛАЧХ в основном определяет точность работы САР в установившихся режимах. Таким образом, ее синтез может быть выполнен на основании требований к системе по точности.

Предположим, что речь идет о статической САР (порядок астатизма разомкнутой системы n=0). Тогда

,

где - нормированная ПФ.

Установившаяся ошибка в статической системе при отработке скачкообразного воздействия :

.

Отсюда с учетом требований системы по точности можно определить требуемое значение коэффициента усиления kтр. Синтезированная низкочастотная ЛАЧХ в этом случае имеет наклон 0, как показано на рис.9.3.

Разумеется, что низкочастотная ЛАЧХ синтезируемой САР не должна заходить в запретную зону (заштрихована), поскольку при этом k<kтр, и ошибка будет превышать требуемое значение.

Рассмотрим астатическую САР 1-го порядка (n=1).

В этом случае задают требуемое значение коэффициента ошибки с1, и определяют требуемую добротность САР по скорости, равную коэффициенту усиления разомкнутой системы:

.

Зная , можно синтезировать низкочастотный участок ЛАЧХ (рис.9.4). Низкочастотная ЛАЧХ синтезируемой САР не должна заходить в запретную зону (заштрихована), поскольку в этом случае коэффициент ошибки с1 будет превышать заданное значение.

В то же время такой синтез не контролирует значения коэффициента ошибки с2 (т.е. неизвестно, как система будет отрабатывать воздействие 2-го порядка). Для таких случаев по дополнительно заданному коэффициенту ошибки с2 определяют первую частоту w1, при которой происходит изменение наклона низкочастотной ЛАЧХ (рис.9.5, 9.6).

Рассмотрим астатическую САР 2-го порядка (n=2).

В этом случае задают требуемое значение коэффициента ошибки с2, и определяют требуемую добротность САР по ускорению, равную коэффициенту усиления разомкнутой системы:

.

Зная , можно синтезировать низкочастотный участок ЛАЧХ (рис.9.7). Низкочастотная ЛАЧХ синтезируемой САР не должна заходить в запретную зону, поскольку в этом случае коэффициент ошибки с2 будет превышать заданное значение.

Синтез среднечастотной ЛАЧХ

Среднечастотный участок ЛАЧХ (участок в области частоты среза) определяет как быстродействие, так и колебательность САР. Любая система для обеспечения приемлемых показателей качества должна иметь ЛАЧХ, которая пересекает ось частот при наклоне "-1" (-20 дБ/дек).

Исходными данными для синтеза среднечастотной ЛАЧХ являются желаемые параметры: время первого согласования tc, время достижения максимального значения tm, время регулирования tр и перерегулирование s.

Замечено, что чем длиннее среднечастотный участок ЛАЧХ с наклоном "-1", тем меньше перерегулирование s при прочих равных условиях. Обычно длину среднечастотного участка ЛАЧХ выражают через координаты L1 и L2 (рис.9.8). Часто стремятся, чтобы

L1 = L2 = L,

Причем L оказывается численно равным запасу устойчивости по амплитуде.

Имеются графики зависимостей L=f (s) и m=f (s) [1], представленные на рис.9.9 Используя эти зависимости, при заданном значении перерегулирования s можно выбрать требуемые значения запаса устойчивости по амплитуде и по фазе.

Если задано значение tm, то можно приближенно определить значение частоты среза:

.

Если заданы только tС и s, не задано, то можно предварительно воспользоваться зависимостью tC/tm=f (s) [3], показанной на рис.9.10, и получить

tC/tm=число,

и из этого соотношения определить tm.

Если же заданы только tp и s, то из соотношения

можно определить значение частоты среза:

.

Синтез высокочастотной ЛАЧХ

В силу того, что высокочастотный участок ЛАЧХ не оказывает влияния на показатели качества работы САР, его вид принципиально может быть выбран любым. Но обычно высокочастотный участок ЛАЧХ принимают таким, при котором корректирующее звено будет реализовано наиболее просто.

Синтез корректирующего звена

Если известны желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ неизменяемой части САР, то ЛАЧХ корректирующего звена находят из соотношения:

.

Например, если имеем заданные ЛАЧХ, изображенные графически (рис.9.11), то ЛАЧХ последовательного корректирующего звена можно получить путем геометрического вычитания.

Имея ЛАЧХ корректирующего звена, можно определить его передаточную функцию:

.

Из рассмотренного примера видно, что ПФ корректирующего звена и, следовательно, его реализация будет проще, если желаемая ЛАЧХ в области высоких частот по характеру совпадает с ЛАЧХ неизменяемой части.

Например, если в рассмотренном примере (рис.9.11) в желаемой ЛАЧХ сделать наклон "-2" после w3, то корректирующее звено будет иметь более простую ПФ:

.

Вопрос реализуемости такой коррекции будет рассмотрен позже.

Реализация корректирующих звеньев (регуляторов)

В современных электроприводах используются регуляторы, выполненные, как правило, на активных элементах, т.е. на операционных усилителях (ОУ). При использовании ОУ следует обращать внимание на схему его включения.

При использовании инвертирующего входа ОУ требуемые динамические характеристики формируются при помощи входных цепей и цепей обратной связи, как показано на рис.9.12.

Передаточная функция корректирующего звена в этом случае определяется по выражению (в операторной форме):

, где ;

.

Возможные схемы соединения входной цепи и цепи обратной связи приведены в табл.9.1.

Таблица 9.1 Варианты решающих цепей

Схема соединенияСопротивлениеПараметрыR--T=RCT=RCT=R1C

l=R2/R1

T=RC

При помощи рассмотренной схемы включения ОУ (рис.9.12) могут быть реализованы основные (простейшие) типы корректирующих звеньев (регуляторов):

П-регуляторИ-регуляторA= - RвхСосПИ-регуляторT=Toc=RocCoc

A= - RвхСос

Настройка параметров корректирующих звеньев выполняется в следующей последовательности. Вначале, как правило, задаются величиной емкости конденсатора (0,10…0,25 мкФ), после чего вычисляют требуемое значение активных сопротивлений (3…300 кОм). Точная настройка обеспечивается за счет использования регулируемых сопротивлений (рис.9.13) с настроечным коэффициентом a (a=0…1).

Рис.9.13. Схемы настройки

Возможно также использование для задания исходного сигнала неинвертирующего входа ОУ (рис.9.14).

В этом случае ПФ корректирующего звена определяется по выражению:

.

В частном случае, когда отсутствует (), выражение принимает вид:

,

т.е. не зависит от величины и характера соединения, установленного на неинвертирующем входе ОУ.

В тех случаях, когда невозможно реализовать желаемую ПФ на одном ОУ, применяют последовательное соединение двух ОУ. В таком случае следует проектировать корректирующее звено таким образом, чтобы первый ОУ в процессе работы не заходил в область насыщения.

2. Синтез САР из условия минимума резонансного максимума

АЧХ замкнутой системы

Общие замечания

Опыт проектирования САР показывает, что длина среднечастотного участка ЛАЧХ, простирающегося в области частот w>wС, при рассмотренной выше методике синтеза обычно велика, а реальное перерегулирование в системе, как правило, оказывается меньше заданного.

Формирование протяженного среднечастотного участка ЛАЧХ под наклоном "-1" в области частот w>wС обычно требует реализации сложных корректирующих звеньев. Поэтому после предварительного выбора желаемой ЛАЧХ и анализа возможности реализации корректирующего звена приходится вносить коррективы в характер желаемой ЛАЧХ. При этом возникает необходимость решения следующих задач: при каких параметрах более простого корректирующего звена, а следовательно, при какой скорректированной желаемой ЛАЧХ система все еще будет удовлетворять заданным показателям качества?

Большинство решаемых задач зависит от их постановки, от исходных данных. Прежде чем ознакомиться с некоторыми из постановок задач, условимся частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ, расположенные на оси частот левее частоты среза (w<wС), называть левыми (wЛ), а расположенные правее частоты среза (w>wС) - правыми (wП).

Наиболее распространенными являются задачи в следующих постановках:

·при заданном быстродействии (wc) и величине перерегулирования s определить минимально возможные допустимые значения правых частот сопряжения, при которых удовлетворяются заданные показатели качества САР;

система автоматическое регулирование синтез

·при заданной величине перерегулирования s найти и заданных правых частотах сопряжения wП найти wС, при которой обеспечивается максимальное быстродействие, и значения левых частот сопряжения;

·при заданных частотах сопряжения wЛ и wП определить wС, при которой имеет место максимальное быстродействие в САР при минимальной величине перерегулирования.

Приемлемые результаты дает методика синтеза САР по минимуму резонансного максимума Мр АЧХ замкнутой системы. Эта методика состоит в совмещении частоты wр, при которой имеет место максимум АЧХ замкнутой системы Мр, с частотой, при которой имеет место экстремум ФЧХ разомкнутой системы. Доказано, что такое совмещение дает возможность при заданных частотах сопряжения или частотах среза синтезировать САР с минимальным значением Мр (с минимальной колебательностью переходного процесса), и наоборот, при заданной величине Мр (или заданном s) обеспечить максимальное быстродействие САР.

Достаточно знать, что минимальное значение Мр определяется по выражению [3]:

, (1)

где - алгебраическая сумма левых частот, причем положительные члены соответствуют частотам сопряжения, при которых происходит уменьшение наклона ЛАЧХ, отрицательные - частотам, при которых имеет место увеличение наклона ЛАЧХ;

- алгебраическая сумма величин, обратных правым сопрягающим частотам, причем положительные члены соответствуют частотам сопряжения, при которых происходит увеличение наклона ЛАЧХ (наоборот по сравнению с частотами сопряжения).

Требуемая частота среза wС определяется по выражению [3]:

, (2)

Если в системе имеются колебательные звенья с ПФ

либо форсирующие звенья второго порядка с ПФ

,

то частоты сопряжения делятся на при определении wП и умножаются на при определении wЛ (для ).

Приведенные выражения справедливы, если все частоты сопряжения разные. Если же наклон обеспечивается двумя, тремя апериодическими или форсирующими звеньями первого порядка, то количество соответствующих частот сопряжения удваивается (утраивается).

Совместное решение уравнений (1) и (2) дает:

; (3)

. (4)

С использованием выражений (3), (4) могут быть построены графики зависимостей (рис.9.15), пользуясь которыми, можно легко определить требуемые параметры САР. Зависимость между перерегулированием s и резонансным максимумом Мр, как известно, имеет вид:

. (5)

Можно также пользоваться эмпирическими формулами:

(6)

Рассмотрим алгоритмы решения задачи при разных формулировках:

Задача 1. Дано: wС, s и характер ЛАЧХ.

Определить: и .

Решение.

Из формулы (5) определяем требуемое значение Мр:

.

По величине Мр из графиков рис.9.15 определяем числа и .

Далее определяем:

и.

Задача 2. Дано: Мр, .

Определить: wС и .

Решение. По величине Мр из графиков рис.9.15 определяем числа

и .

Далее определяем:

и.

Задача 3. Дано: , и характер ЛАЧХ.

Определить: wС и Мр.

Решение. По заданным и определяем .

Затем по графику соответствующей зависимости рис.9.15 определяем Мр. По найденному Мр из графиков рис.9.15 определяем и частоту среза .

В.А. Бесекерским установлены зависимости между Мр и требуемыми для его выполнения параметрами:

;

;

.

Например, для Мр=1,5 имеем

.

Пример.

Задана система подчиненного регулирования скорости двигателя постоянного тока (рис.9.16), в которой контур регулирования тока (КРТ) синтезирован таким образом, что он представляет собой колебательное звено с ().

Тm - малая постоянная времени, не поддающаяся компенсации (обычно Тm =3…5 мс). kT - коэффициент ОС по току; kw - коэффициент ОС по скорости.

Считая, что инерционность КРТ компенсировать нецелесообразно, спроектировать астатическую систему первого порядка, обеспечивающую заданную точность в установившемся режиме:

n=1c0=0c1=Tm

Решение.

Поскольку задан коэффициент ошибки с1, необходимо, чтобы коэффициент усиления разомкнутой системы

. (*)

Передаточная функция разомкнутой САР:

,

или, после пренебрежения инерционностью КРТ:

.

Из последних формул видно, что

. (**)

Приравнивая (*) и (**), получаем, что

,

где - постоянная интегрирования разомкнутого контура регулирования скорости (КРС).

В таком случае требуемая добротность САР по скорости будет обеспечена. При этом результирующая ПФ разомкнутого КРС:

.

Построим ЛАЧХ разомкнутого КРС при .

Характеристический полином представим в виде:

,

где , ;

.

ЛАЧХ разомкнутого КРС представлена на рис.9.17 (сплошная линия).

Будем решать задачу в такой постановке:

Синтезировать систему с требуемыми показателями по точности при условии, что заданное перерегулирование s=25%, а быстродействие будет максимальным. При решении задачи необходимо выполнить условие, что инерционность КРТ компенсироваться не будет, таким образом, желаемая ЛАЧХ в области высоких частот будет иметь такой же вид, как и ЛАЧХ неизменяемой части, т.е. наклон "-3".

В соответствии с поставленной задачей перед синтезом желаемой ЛАЧХ примем, что частота среза wС будет находиться левей частоты сопряжения , и будет сопрягаться с низко - и высокочастотными участками ЛАЧХ при наклонах "-2" и "-3" соответственно (рис.9.17, прерывистая линия). Значения wС и частот сопряжения w1, w2 пока неизвестны.

Тогда задача сводится к задаче 2.

Дано:

Мр=1+s =1,25;

;

.

Необходимо определить wС и . По величине Мр из графика рис.9.15 определяем , отсюда

.

Из вида желаемой ЛАЧХ следует, что

.

По значению Мр из графика рис.9.15 определяем , отсюда

Например, при с:

сс-1с-1.

Таким образом, чтобы обеспечить желаемую ЛАЧХ, необходимо в регулятор скорости внести одно апериодическое звено и одно форсирующее звено 1-го порядка. Тогда ПФ регулятора скорости:

,

а ПФ разомкнутого КРС:

.

Правило оперативного определения частоты среза wС:

) необходимо в ПФ отбросить все те звенья, которые не влияют на частоту среза wС, т.е. звенья, частоты сопряжения которых находятся правее wС;

) в ПФ апериодических, колебательных, форсирующих звеньев 1-го и 2-го порядков оставить только те значения, которые связаны со старшей степенью s;

) в полученной таким образом ПФ s заменяют на wС, и приравнивают все выражение к единице.

Полученное в результате уравнение является основой для определения wС.

Например, для полученной результирующей ПФ разомкнутого КРС:

после п.1:

после п.2:

после п.3: Þ

Использование правила оперативного определения wС дает дополнительное условие для выбора частот сопряжения w1, w2:

Þw1, w2

Вопросы синтеза параллельных корректирующих звеньев

Пусть в системе управления во внутренней ее части используется параллельное корректирующее звено (рис.9.18).

Нужно определить:

. Каково влияние корректирующего звена?

. Какова характеристика всего замкнутого контура?

Введем обозначения:

- ЛАЧХ прямой части системы;

- ЛАЧХ цепи обратной связи;

Обратная ЛАЧХ цепи ОС

,

т.е. равна зеркальному отображению ЛАЧХ цепи ОС относительно оси частот (рис.9.19а).

ЛАЧХ соединения, замкнутого отрицательной обратной связью:

,

состоит из тех участков ЛАЧХ прямой части и обратной ЛАЧХ цепи обратной связи, которые имеют минимальную амплитуду (рис.9.19б).

а) б)

Рис.9.19. Обратная ЛАЧХ цепи ОС (а) и ЛАЧХ соединения, охваченного отрицательной ОС.

Анализ ЛАЧХ позволяет прийти к выводам:

. Динамические свойства соединения, замкнутого отрицательной ОС, менее чувствительны к изменению параметров прямой части системы (поскольку параметры прямой части не влияют на среднечастотный участок ЛАЧХ).

. Цепь ОС должна быть реализована на базе элементов с высокостабильными параметрами, так как обычные динамические свойства соединения в основном определяются параметрами цепи ОС.

Обычно при использовании параллельной коррекции после оценки полученных динамических свойств соединения следует проверить устойчивость замкнутой САР. При этом необходимо обеспечить запас устойчивости не менее 25…30°.

Проанализируем частный случай: при единичной отрицательной обратной связи (рис.9.20). В таком случае

;

Т.е., обратная ЛАЧХ цепи ОС в данном случае совпадает с осью частот. Поэтому и ЛАЧХ соединения не может заходить в область положительных значений (рис.9.21).

1. Синтез системы автоматического регулирования (САР) Различают синтез "в большом" и "в малом". При синтезе "в большом"

Больше работ по теме: