Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры
Введение
В 1859 г. У. Гамильтон придумал игру «Кругосветное путешествие», состоящую в отыскании такого пути, проходящего через все вершины (города, пункты назначения) графа, чтобы посетить каждую вершину однократно и возвратиться в исходную. Пути, обладающие таким свойством, называются гамильтоновыми циклами.
Задача о гамильтоновых циклах в графе получила различные обобщения. Одно из этих обобщений - задача коммивояжера, имеющая ряд применений в исследовании операций, в частности при решении некоторых транспортных проблем.
Задача коммивояжёра актуально и по сей день т.к. люди ищут кратчайшие пути и затраты на эти кратчайшие пути.
Цель курсового проекта: Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры.
Задачи курсового проекта:
) Составить математическую модель;
) Разработать схему алгоритма;
) Составить программный код;
) Провести анализ полученных результатов.
1. Постановка задачи
Определить длину (Q) кратчайшего маршрута (L) коммивояжера.
Расстояния (Qij) между шестью городами представлены в таблице 1.
Таблица 1 - Условие задачи
Город123456164121422263872034310111841281091651471191062220181610
В ходе выполнения курсового проекта требуется написать программу, выполняющую решение аналогичных задач линейного программирования с помощью алгоритма Дейкстры.
2. Этапы решения задачи
.1 Математическая модель
Построим математическую модель:
n - число городов.
Xi j , i, j=1..N - матрица затрат, где Ci j - затраты на переход из i-го города в j-й.
Xi j - матрица переходов с компонентами:
Xi j = -1, если коммивояжер совершает переход из i-го города в j-й,
Xi j = 0, если не совершает перехода,
где i, j = 1..N и i¹j.
Критерий:
,(1)
где Сij - матрица стоимости переходов,
Xij - матрица переходов, где xij=0, если переход совершен и xij=1 в противном случае
Ограничения:
, i = 1..N(2)
, j = 1..N(3)
Ui - Uj + N × Xi j £ N-1, i, j = 1..N, i ¹ j.(4)
, k= 1..N,t=k-1 (5)
Условие (2) означает, что коммивояжер из каждого города выезжает только один раз; условие (3) - въезжает в каждый город только один раз; условие (4) - обеспечивает замкнутость маршрута, содержащего N городов, и не содержащего замкнутых внутренних петель; условие (5) - принцип треугольника: ранее выбранный путь оказался длиннее предыдущего.
.2 Разработка алгоритма
Задача коммивояжера является одной из знаменитых задач теории комбинаторики. Она была поставлена в 1934 году, и об неё, как об Великую теорему Ферма обламывали зубы лучшие математики. В своей области (оптимизации дискретных задач) задача коммивояжера служит своеобразным полигоном, на котором испытываются всё новые методы. В данном курсовом проекте реализуется задача коммивояжера методом алгоритма Дейкстры.
В 1959 г. Голландский математик Дейкстра предложил алгоритм, который решает задачу коммивояжёра для любой матрицы исходный данных: симметричной, несимметричный и смешанной (отсутствуют некоторые ребра графа).
Суть задачи состоит в том, чтобы найти кратчайший замкнутый путь обхода нескольких городов и вернуться обратно в исходный город, при этом выполняя две проверки:
)Длина найденного ребра графа должна быть меньше или равна симметричному ребру графа. В противном случае выбирается симметричное ребро
)треугольника: ранее выбранный путь оказался длиннее предыдущего.
.3 Описание программы
Для начала вычислений необходимо ввести количество городов.
На рисунке 1 показан этап выбора количества городов.
программа задача коммивояжер тестирование
Рисунок 1 - Выбор количества городов
После ввода данных, необходимо нажать кнопку «Enter». После этого программа составит матрицу городов, после чего нам надо ввести с какого города будем стартовать, и заканчивать, и произведет расчет длины пути и порядок обхода городов. Когда программа завершит свой расчет, то в блоке ответа появятся данные конечного результата.
Рисунок 2 - Консоль программы после расчета данных
2.4 Тестирование программы
Определить длину (Q) кратчайшего маршрута (L) коммивояжера. Расстояния (QIJ) между шестью городами представлены в таблице 1.
Пройдем алгоритм вручную.
Начинаем движение с первого города в нашей таблице (Рисунок 3).
Рисунок 3 - Первый шаг расчета
После этого, мы движемся во второй город, выбирая из доступных, с минимальным расстоянием (Рисунок 4).
Рисунок 4 - Второй шаг расчета
Таким образом, проделываем следующие шаги до последнего города.
Условия примера представляют собой симметричную задачу.
После выполненного расчета мы видим, что ответ удовлетворяет условиям. Так же в программе проводилось несколько других тестирований, ответы были положительны.
2.5 Анализ полученных результатов
После успешного тестирования программы, в качестве исходных данных использовались параметры, заданные в курсовом проектировании. Результаты расчета приведены в следующем рисунке 5:
Рисунок 5 - Основная форма программы после вывода конечных данных
Ответ: длина маршрута равна 52, порядок обхода городов:
?3?2?5?6?4?1
При выполнение ручных расчётов результаты получились положительными.
Заключение
В ходе выполнения курсового проекта были решены следующие задачи:
1)Построена математическая модель;
2)Описан алгоритм задачи;
)Разработан программный код на языке программирования C++;
)Решена поставленная задача с помощью разработанной программы;
)Проанализированы результаты;
Таким образом, можно считать, что цель курсового проекта достигнута.
Приложение 1
Код программы «Решение задачи коммивояжера с помощью алгоритма Дейкстры»
//
#include <vcl.h>
#include <tchar.h>
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
//main()
{c2,c3,i,k,j,n,e,q,v,m,z,x,min,a,min2,h=0,c=0;("Koli4estvo gorodov : ");scanf("%i",&n); //ввод количество городов*t=new int[n];*t2=new int[n];**kg=new int*[n];(i=0;i<n;i++)[i]=new int[n];**kg1=new int*[n];(i=0;i<n;i++)[i]=new int[n];(i=0;i<n;i++)(j=0;j<n;j++)
kg[i][j]=0;(i=0;i<n;i++) //заполнение расстояние между городами
for(j=i+1;j<n;j++)
{("vedite racto9nnie %i do %i: ",i+1,j+1);("%i",&kg[i][j]);[i][j]=kg[i][j];
}();(" ");(i=0;i<n;i++)("%3i",i+1);("\n\n\n\n");
for(i=0;i<n;i++) // заполнение массива городов симметрично
{("%2i ",i+1);(j=0;j<n;j++)
{[j][i]=kg[i][j];[j][i]=kg[i][j];("%3i",kg[i][j]);
}("\n\n");
}("Vvedite na4al'nuy to4ky : ");scanf("%i",&k); //ввод с какого города гачгётся путь-;=k;x=k;=1;c2=0;=0;z=2;[0]=k;
do //поиск минимального пути между городами
{=99999;(j=x+1;j<n;j++)(min>=kg[x][j] && kg1[x][j]!=-1)
{
min=kg[x][j];
m=j;
}(j=0;j<x;j++)(min>kg[j][x] && kg1[j][x]!=-1)
{
min=kg[j][x];
m=j;
}[q]=x;[q]=m;(j=x+1;j<n;j++)[x][j]=-1;(j=0;j<x;j++)[j][x]=-1;=m;=0;(i=0;i<n && z!=1;i++)(j=i+1;j<n;j++)(kg1[i][j]==-1)
v=1;
{v=3;z=1;break;}++;
}(v!=1);[q]=x;t[q]=k;q++;v=q;z=0;q=0;c=0;c2=0;e=0;
do // проверка условий алгоритма Дейкстры
{
if(q!=0)
{ c=c+kg[t2[e]][t[q]];=c-kg[t2[e-1]][t[q-1]]-kg[t2[e]][t[q]]+kg[t[q]][t[q-1]]+kg[t2[e-1]][t[q]];}(c>c2 && q!=0 && z<q)
{=t2[e];[e]=t2[e-1];[e-1]=z;=t[q-1];[q-1]=t[q-2];[q-2]=z;=q;=-1;e=-1;c=0;c2=0;
}++;++;
}(v!=q);("\n\nput : %i",t[0]+1); //вывод пути(i=1;i<q;i++)("-%i",t[i]+1);("\n\n");("dlina puti : %i",c);//вывод длинны пути
getch();
}
Больше работ по теме:
Предмет: Информационное обеспечение, программирование
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ