Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

 

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА

НАВОИЙСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ КОМБИНАТ

НАВОИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА «Естественных и общетехнических дисциплин»

КУРСОВАЯ РАБОТА

по предмету: «ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ»

Выполнил(а): Тошов М.Н.

группа студента 18-11 «М»

Принял(а): Салимова C.Х.

Зарафшан 2012

Введение

Компьютерная грамотность, владение компьютерными технологиями являются в современной жизни необходимостью.

В указе Президента Республики Узбекистан И.А. Каримова «О дальнейшем компьютеризации и внедрений» сказано: «Внедрение и развитие компьютерных и информационных технологий в отраслях реальной экономике в сфере управления, бизнеса, науки и образования являются первоочередными задачами».

Современное производство требует знания информационных технологий и навыков работ на компьютере.

Информатика - одна из немногих учебных дисциплин, развивающая таким практическим навыки, которые востребуются напрямую и немедленно, сразу после включения молодого специалиста в профессиональную деятельность.

Естественно, процесс овладения компьютерной грамотностью должен начинаться ещё в школе, но на сегодняшний день ещё не все школы оснащены необходимым оборудованием.

1. Задание

. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

. С помощью формул МНК (метод наименьший квадратов) определить коэффициенты линейной y=ax+b и параболической y=ax2+bx+c зависимости

X0.410.460.520.600.650.72Y2.5742.3252.0931.8621.7491.620

Порядок выполнение работа

а) Изучение литературы для выполнения работы

б) Составление алгоритма

в) Составление программы на языке Паскаль

Содержание пояснение текста

а) Введение

б) Постановка задачи

в) Решение поставленной задачи

2. Решение систем линейных уравнений

Дана система линейных уравнений (СЛУ) с n неизвестными:

В матричной форме записи система (1) имеет вид:

(2)

где : n - порядок системы;

- матрица коэффициентов системы;

- вектор свободных членов;

- вектор неизвестных;

В свернутой форме записи СЛУ имеет вид:

(3)

Система называется обусловленной (не вырожденной, не особенной), если определитель системы DA ¹ 0, и тогда система (1) имеет единственное решение.

Система называется не обусловленной (вырожденной, особенной), если DA = 0, и тогда система (1) не имеет решений или имеет бесконечное множество решений.

3. Метод исключений Гаусса

Решим рассмотренную ранее систему (пример 1) методом исключения Гаусса.

Пример. Решение проводиться в два этапа.

1 этап Прямой ход - матрица A преобразуется к треугольному виду: путем эквивалентных линейных преобразований уравнений системы поддиагональные коэффициенты матрицы А обнуляются.

x1 + 5×x2 - x3 = 2

x1 2×x3 = -1

×x1 - x2 - 3×x3 = 5

Исключим x1 из 2-го и 3-го уравнения: ко 2-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-1); к 3-му уравнению прибавим 1-ое, умноженное на (-2).

x1 + 5×x2 - x3 = 2

5×x2 + 3×x3 = -3

11×x2 - x3 = 1

Исключим x2 из 3-го уравнения: к 3-му уравнению прибавим 2-ое, умноженное на (-11/5). Полученный вид системы после прямого хода

x1 + 5×x2 - x3 = 2

5×x2 + 3×x3 = -3

38/5×x3 = 38/5

2 этап Обратный ход - вычисляются значения неизвестных, начиная с последнего уравнения:

x3* = -1

-5×x2 + 3×x3*=-3 Þ x2*=(3 + 3×x3*)=(3 + 3×(-1))=0

x1 +5×x2* - x3*=2 Þ x1*=2 + 5×x2* + x3*=2 + 5×0 + (-1)=1

Полученное решение нужно обязательно проверить, подставив в исходную систему!

Алгоритм прямого хода:

Шаг 1. Примем k=1

Шаг 2. Выбираем рабочую строку.

Если akk ? 0, то k-ая строка - рабочая.

Если нет, меняем k-ю строку на m-ю (n?m>k), в которой amk ? 0,

.

Если такой строки нет, система вырожденная, решение прекратить.

Шаг 3. Для строк i=k+1, k+2, …, n вычисляются новые значения коэффициентов.

, ,

и новые правые части

Шаг 4. Увеличиваем k = k + 1. Если k = n, прямой ход завершен, иначе алгоритм повторяется со второго шага.

Получаем верхнюю треугольную матрицу А:

,

Алгоритм обратного хода:

Шаг 1. Вычислим

Шаг 2. Вычислим:

,

Рис. 1. Основной алгоритм решения СЛУ методом исключения Гаусса

Для контроля правильности решения нужно считать невязки ?i по формуле (4.5).

?i , (5)

Если невязки велики, задача решена неверно. Причиной может быть сбой машины (крайне редко), ошибки в программе, погрешность округления (при большом n и когда DA = detA = 0- система плохо обусловлена).

Разновидности метода исключения:

а) Метод исключения Гаусса с выбором главного элемента в столбце.

В алгоритме прямого хода на шаге 2 рабочая строка выбирается из условия

,

т.е. рабочей выбирается та строка, в которой находится наибольший по модулю коэффициент k-го столбца, расположенный на главной диагонали и под ней.

б) Метод Гаусса-Жордана.

В алгоритм прямого хода нужно внести следующие изменения:

на шаге 3

на шаге 4 прямой ход завершиться при достижении условия k>n.

Вид матрицы коэффициентов после прямого хода

Упрощается обратный ход:

xi =bi / ai,i, i =1,2,…,n

Недостаток метода - увеличение общего числа действий, и соответственно, влияния погрешности округления.

Рис. 2. Алгоритм прямого хода

Рис. 3. Алгоритм запоминания коэффициентов

Нужно подчеркнуть, что для вычисления значения определителя квадратной матрицы можно использовать алгоритм прямого хода: для треугольной или диагональной квадратной матрицы определитель равен произведению элементов главной диагонали.

4. Метод наименьших квадратов

линейный уравнение гаусс квадрат

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим многочлен

f(x) =

Пусть данные некоторого эксперимента представлены в виде таблицы значений переменных x и y :

Можно поставить задачу об отыскании аналитической зависимости между x и у, т. е. некоторой формулы у=f(х), явным образом выражающей у как функцию х. Естественно требовать, чтобы график искомой функции y=f(x) изменялся плавно и не слишком уклонялся от экспериментальных точек {,у). Поиск такой функциональной зависимости называют "сглаживанием" экспериментальных данных. Задачу о сглаживании экспериментальных данных можно решать используя метод наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов указывается вид эмпирической формулы

(x)=f(x,B0,B1,…,Bn)

где B0, B1,…, Bn - числовые параметры.

Наилучшими значениями параметров B0, B1,…, Bn (которые обозначим B0, B1,…, Bn ') считаются те, для которых сумма квадратов уклонений функции f(x,B0,B1,…,Bn) от экспериментальных точек (xi ;yi) является минимальной, т.е. функция

в точке (B0, B1,…, Bn) достигает минимума. Отсюда, используя необходимые условия экстремума функции нескольких переменных, получаем систему уравнений для определения параметров B0, B1,…, Bn :

(i=1,2,3, …, n)

Если система имеет единственное решение B0, B1,…, Bn 'то оно является искомым и аналитическая зависимость между экспериментальными данными определяется формулой

=f(x) = f(x, B0, B1,…, Bn ')

Заметим, что в общем случае система нелинейно.

Заключение

Образование является не просто процессом получения суммы необходимых знаний, но и процессом формирования духовной сущности человека. В полной мере это относится и к высшему образованию. Именно поэтому воспитание неотделимо от процесса обучения.

Роль информатики в развитии общества чрезвычайно велика. С ней связано начало революции в области накопления, передачи и обработки информации. Эта революция, следующая за революциями в овладении веществом и энергией, затрагивает и коренным образом преобразует не только сферу материального производства, но и интеллектуальную, духовную сферы жизни.

Прогрессивное увеличение возможностей компьютерной техники, развитие информационных сетей, создание новых информационных технологий приводят к значительным изменениям во всех сферах общества: в производстве, науке, образовании, медицине и т.д.

Современный период жизни человеческого общества характеризуется небывалым ростом информационных потоков, поэтому важное место в подготовке современных специалистов играют информационные, математические и естественнонаучные дисциплины.

Методическое пособие содержат описание выполнения курсовой работы, требования к оформлению, пояснительной записки и варианты.

Литература

1.Кобулов В.К. Автоматизация в социально-экономических системах. Т.: Фан, 1989.

2.Гулямов С.С., Романов А.Н., Алимов Р.Х. и др. Дистанционное экономическое образование. Т.: «Шар», 2004 г.

.Алимов Р.Х., Новосардова С.А., Отажонов У.А. Уч. пос. Информационные технологии в экономике. Ташкент, ТГЭУ, 2005 г.

.Махлуп Ф. Производство и распространение знаний в США. - М.: Прогресс, 1966 г.

.Информационные технологии в бизнесе / Под ред. М. Желены. - СПб: Питер, 2002 г.

.Романец Ю.В., Тимофеев П.А., Шангин В.Ф. Защита информации в компьютерных системах и сетях. М.: Радио и связь, 2001 г.

.Балдин К.В., Уткин В.Б. Информационные системы в экономике. Учебник. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2005 г.

.Чубукова С.Г., Элькин В.Д. Основы правовой информатики. Учеб. пособ. Под. ред. М.М. Рассолова. - М.: Юридическая фирма «Контракт», 2004 г.

9.Дьялонов В.П. Intel. Новейшие информационные технологии. Достижения и люди. - М.: Солон - Пресс, 2004 - 416 с.

10.Володин К.И. и др. Автоматизированная система - научно технической информации - разработка и эксплуатация. - М.: Финансы и статистика, 2004 г. Максимова О.В., Невзарова В.И. Информационные технологии для экономистов: Учеб. пособ. - Ростов н/Д: Феникс, 2004 г.

.Галатенко В.А. Основы информационной безопасности. - М.: ИНТУИТ РУ «Интернет - Университет Информационных Технологий», 2003. - 280 с.

12.Михив В.Д., ?аритонова И.А. Microsoft Access 2003. - СПб.: БХВ - Петербург, 2004. -1072 с.

13.Каратыгин С. Access 2000 на примерах. - М.: ЛБЗ. 2000 г.

14.Харитонова И., Вольман Н. Программирование в Access. СПб.: Питер, 2002 г.

15.Бегалов Б.А., Новосардова С.А. Образовательная технология по дисциплине «Информационные технологии и системы». Т.: ТДИУ - 2005

16.#"justify">.#"justify">.#"justify">.#"justify">.http://vit.iatp.by/software/s2_0.htm

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАНА НАВОИЙСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ КОМБИНАТ НАВОИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ

Больше работ по теме: