Решение систем линейных алгебраических уравнений

 

Задание 1


а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001. Поменяйте порядок следования уравнений в СЛАУ и решите полученную таким образом СЛАУ тем же методом Зейделя. Постройте графики уравнений СЛАУ в обоих случаях и покажите на них первые три-четыре итерации.



Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций.

Имеем СЛАУ=b (1)

Предполагая, что aii ? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе - относительно x2,…, n-ое уравнение - относительно xn. В результате получим:

1=?1 - ?12x2 - ?13x3 - ... - ?1nxn2=?2 - ?21x1 - ?23x3 - ... - ?2nxnn=?n - ?n1xn - ?n3x3 - ... - ?nn-1xn-1

где ?i=bi/aii; ?ij=aij/aii при i ? j; ?ii=0


Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn.

Итерационная схема имеет вид:

простой итерация линейный график

xk+11=?1 - ??1jxkjk+12=?2 - ?21xk+11 - ??2jxkjk+1i=?i - ??ijxk+11 - ??2jxkj


Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d, (2).


где C=ATA; d=ATb.


Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК).

Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

) матрица С - симметрическая;

) все элементы главной диагонали cij > 0;

) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы ATA.



Умножаем матрицы ATb.



Приведем к виду:


x1=0.25-0.45x22=-0.0769-1.38x1


Рис. 1. графики уравнений СЛАУ


Покажем вычисления на примере нескольких итераций.


N=11=0.25 - 0 (-0.45) - 0 0=0.252=-0.0769 - 0.25 (-1.38) - 0 0=0.273=0 - 0.25 0 - 0.27 0=0=21=0.25 - 0.27 (-0.45) - 0 0=0.372=-0.0769 - 0.37 (-1.38) - 0 0=0.443=0 - 0.37 0 - 0.44 0=0=31=0.25 - 0.44 (-0.45) - 0 0=0.45

x2=-0.0769 - 0.45 (-1.38) - 0 0=0.543=0 - 0.45 0 - 0.54 0=0


Остальные расчеты сведем в таблицу.



Таблица

Nx1x2e1e200010.250.270.250.2720.370.440.120.1730.450.540.07550.140.490.610.0470.065150.520.650.02930.040660.540.670.01830.025370.550.690.01140.015880.560.70.007090.0098290.560.70.004420.00612100.570.710.002750.00381110.570.710.001710.00237120.570.710.001070.00148130.570.710.0006660.000922

б) Система четырех Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с четырьмя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с точностью до 0,001.



Решение

Метод Зейделя представляет собой модификацию метода простой итераций. Имеем СЛАУ

x =b (1)


Предполагая, что aii ? 0 разрешим новое уравнение системы (1) относительно x1, второе - относительно x2,…, n-ое уравнение - относительно xn. В результате получим:


x1=?1 - ?12x2 - ?13x3 - ... - ?1nxn2=?2 - ?21x1 - ?23x3 - ... - ?2nxnn=?n - ?n1xn - ?n3x3 - ... - ?nn-1xn-1


где ?i=bi/aii; ?ij=aij/aii при i ? j; ?ii=0

Известно начальное приближение: x0=(x01, x02, ..., x0n).

Основная идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее (k+1) - приближение неизвестных x1, x2, ..., xn. Итерационная схема имеет вид:

k+11=?1 - ??1jxkjk+12=?2 - ?21xk+11 - ??2jxkjk+1i=?i - ??ijxk+11 - ??2jxkj


Рассмотрим один из способов преобразования системы: Ax=b, (1), позволяющий всегда получать сходящийся процесс Зейделя. Помножим (1) слева на AT: ATAx=ATb или Cx=d, (2).


где C=ATA; d=ATb.


Систему (2) принято называть нормальной (Такая система получается при использовании МНК). Нормальная система обладает рядом замечательных свойств:

) матрица С - симметрическая;

) все элементы главной диагонали cij > 0;

) матрица С - положительно определена.

Умножаем матрицы ATA.




Умножаем матрицы ATb.




Приведем к виду:

1=0.93+0.6x2+0.74x3+0.69x42=0.73+0.45x1+0.51x3-0.0727x43=0.53+0.66x1+0.6x2+0.36x44=-0.18+0.74x1-0.1x2+0.44x3


Покажем вычисления на примере нескольких итераций.


N=11=0.93 - 0 0.6 - 0 0.74 - 0 0.69=0.932=0.73 - 0.93 0.45 - 0 0.51 - 0 (-0.0727)=0.313=0.53 - 0.93 0.66 - 0.31 0.6 - 0 0.36=-0.264=-0.18 - 0.93 0.74 - 0.31 (-0.1) - (-0.26) 0.44=-0.72=21=0.93 - 0.31 0.6 - (-0.26) 0.74 - (-0.72) 0.69=1.442=0.73 - 1.44 0.45 - (-0.26) 0.51 - (-0.72) (-0.0727)=0.153=0.53 - 1.44 0.66 - 0.15 0.6 - (-0.72) 0.36=-0.25

x1=0.93 - 0.15 0.6 - (-0.25) 0.74 - (-1.13) 0.69=1.8


x4=-0.18 - 1.8 0.74 - (-0.046) (-0.1) - (-0.22) 0.44=-1.43


Таблица

Nx1x2x3x4e1e2e3e40000010.930.31-0.26-0.720.930.310.260.7221.440.15-0.25-1.130.51-0.15-0.01470.431.8-0.046-0.22-1.430.36-0.11-0.02850.342.1-0.22-0.21-1.670.30.17-0.01150.2552.37-0.37-0.21-1.890.270.15-0.0004410.2162.6-0.49-0.21-2.070.230.120.004190.1872.81-0.59-0.22-2.230.20.10.005510.1682.98-0.68-0.22-2.370.180.08870.005480.1493.13-0.76-0.23-2.490.150.07620.004990.12103.26-0.82-0.23-2.590.130.06550.004390.1113.38-0.88-0.24-2.680.110.05640.003820.0879123.47-0.93-0.24-2.750.09710.04860.00330.0758133.56-0.97-0.24-2.820.08370.04190.002850.0653143.63-1-0.24-2.880.07210.03610.002450.0562153.69-1.04-0.25-2.920.06210.03110.002110.0485163.75-1.06-0.25-2.970.05350.02680.001820.0417173.79-1.09-0.25-30.04610.02310.001570.036183.83-1.11-0.25-3.030.03970.01990.001350.031

Задание 2


Отделить корни уравнения f(x), используя графико-аналитический метод. Найти корни уравнения с заданной точностью методом бисекций, Ньютона или простых интерций. Выполнить проверку правильности найденных решений, вычислив невязки.




Строим график функции


Таблица

xy-15-3563-14-2920-13-2361-12-1880-11-1471-10-1128-9-845-8-616-7-435-6-296-5-193-4-120-3-71-2-40-1-210-815224355410451776280741986009829101112111455121864132345142904153547

Рис. 1. График функции


Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет один корень - это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [0,5;1] - отрезок изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.


Таблица

xy1y2-15-3375188-14-2744176-13-2197164-12-1728152-11-1331140-10-1000128-9-729116-8-512104-7-34392-6-21680-5-12568-4-6456-3-2744-2-832-1-12000811-428-16327-28464-405125-526216-647343-768512-889729-100101000-112111331-124121728-136132197-148142744-160153375-172

Рис. 2. Наложение искомых функций


Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [0,5;1], что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.


Рис. 3. Увеличенный масштаб


При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где - точность.




Таким, образом х=0,644



Строим график функции


Таблица

xy-15-0,99118-14-0,98438-13-0,97253-12-0,95215-11-0,91748-10-0,85938-9-0,76367-8-0,60938-7-0,36719-60-50,53125-41,25-32,125-23-13,503112-13746352876102373199892159250871065535111658871240959913991231142359295155537791

Рис. 1. График функции


Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение имеет три кореня - это видно из пересечения графика функции с осью OX. Можно выбрать несколько отрезков, содержащий данный корень: [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции.

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом. Для этого необходимо уравнение преобразовать к виду: . Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е.


Таблица

xy1y2-153,05176E-050,00346-146,10352E-050,003906-130,000122070,004444-120,0002441410,005102-110,0004882810,005917-100,0009765630,006944-90,0019531250,008264-80,003906250,01-70,00781250,012346-60,0156250,015625-50,031250,020408-40,06250,027778-30,1250,04-20,250,0625-10,50,111111010,25121243814160,255320,1111116640,062571280,0482560,02777895120,0204081010240,0156251120480,0123461240960,011381920,00826414163840,00694415327680,005917


Рис. 2. Наложение искомых функций


Анализируя полученный результат, можно сказать, что точки пересечения двух графиков попадает на те же самые отрезки изоляции [-17,5;-16,5], [-6,5;-5,5], [1,5;2,5] - отрезки изоляции, что и при решении задачи первым способом.

Сделаем крупнее масштаб.


Рис. 3. Увеличенный масштаб


При увеличенном масштабе, корень уравнения х=0,644.

Метод бисекции (метод половинного деления). Пусть мы отделили корень на отрезке . Разделим отрезок пополам точкой . Если , то возможны два случая: либо меняет знак на отрезке , либо на отрезке . Выбираем в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжаем процесс деления до тех пор, пока, где - точность.



Таким, образом х=-6


Задание 3


а) Используя обобщенные формулы трапеций и Симпсона вычислить определенные интегралы с заданной точностью. Проверку достижения требуемой точности проводить по правилу Рунге.



Решение

Сначала отрезок интегрирования разбивается на несколько больших отрезков, как правило, на 4-5-6. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 5 частей.



И шаг, естественно, тоже известен:



В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):


Таблица

i012345xi456789f(xi)21.8091.6891.6071.5461.5

В результате:



После первичного результата количество отрезков удваивают. В данном случае необходимо провести разбиение на 10 отрезков.

Для n= 10 формула трапеций приобретает следующий вид:



Вычислим шаг разбиения:



Результаты расчётов сведём в таблицу:


Таблица

i012345xi44.555.566.5f(xi)21.8911.8091.7431.6891.645i678910xi77.588.59f(xi)1.6071.5751.5461.5221.5

В результате:



Теперь рассчитаем, на сколько улучшился результат:



Полученная оценка погрешности меньше, чем требуемая точность.

Ответ:

б) Используя обобщенную формулу Симпсона составить таблицу значений функции, заданной в виде интеграла с переменным верхним пределом.



Решение

Если функция у = f(x) интегрируема на отрезке , то функция Ф(х) непрерывна на этом отрезке.

Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела. т.е.

Сначала отрезок интегрирования разбивается на 8 отрезков. Разобьем отрезок интегрирования, например, на те же 8 частей.



И шаг, естественно, тоже известен:



В данном случае необходимая точность 0,01. Согласно рекомендации, после запятой для верности оставим пять знаков (можно было и четыре):


Таблица

i012345678xi0f(xi)

Представим таблицу в следующем виде.


Таблица

i012345678xi00,39250,7851,17751,571,96252,3552,74753,14f(xi)00,057060,01160,000183,09E-076,3E-111,6E-155,5E-212,4E-27


В результате:



Ответ:


Задание 4


а) Найти приближенное решение задачи Коши методом Эйлера и методом Рунге-Кутта 4 порядка на заданном отрезке с шагом h=0.1 (или h=0.01).



Решение

Сделаем преобразования:



Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:



Расчетные формулы метода Рунге - Кутта 4 порядка:



Таблица

xy1y21221,11,22101,22211,21,49231,49771,31,84821,84321,42,24662,27831,52,76802,82741,63,41763,52011,74,22574,39271,85,22885,48941,96,47046,864328,00328,5834

Видно, что самым точным является метод Рунге - Кутта - 8,5834

б) Найти приближенное решение задачи Коши или методом Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка на отрезке [0;1] с шагом h=0.1 (или h=0.01).



Решение

Решим задачу модифицированным методом Эйлера и Рунге - Кутта с шагом h=0.1.

Введем функцию:

Тогда получим следующую задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:



Расчетные формулы модифицированного метода Эйлера:



Расчетные формулы метода Рунге - Кутта 4 порядка:



Таблица. Модифицированный метод Эйлера

xyсvzcvyzyтеорzтеорy-yтеор052525220,14,98-0,24,98-0,184,975-0,14620,0163150,24,78157-0,29744,78977-0,26994,7796-0,24610,0151150,34,58314-0,39484,59954-0,35984,5842-0,3460,0119150,44,38471-0,49224,40931-0,44974,3888-0,44590,0087150,54,18628-0,58964,21908-0,53964,1934-0,54580,0055150,63,98785-0,6874,02885-0,62953,998-0,64570,0023150,73,78942-0,78443,83862-0,71943,8026-0,7456-0,000890,83,59099-0,88183,64839-0,80933,6072-0,8455-0,004090,93,39256-0,97923,45816-0,89923,4118-0,9454-0,0072913,19413-1,07663,26793-0,98913,2164-1,0453-0,01049

Таблица. Схема Рунге - Кутта:

xyzk1l1k2l2k3l3k4l40520-1-0,1-0,7-0,07-0,75-0,15-0,4680,14,98-0,18-0,18-0,6713-0,1188-0,3422-0,1681-0,4626-0,2374-0,19340,24,78977-0,2699-0,2699-0,3425-0,13750,01564-0,2662-0,1752-0,32490,08120,34,59954-0,3598-0,3598-0,0138-0,15630,37346-0,36430,1122-0,41230,35580,44,40931-0,4497-0,44970,31496-0,1750,73128-0,46240,3996-0,49970,63040,54,21908-0,5396-0,53960,6437-0,19381,0891-0,56050,687-0,58720,9050,64,02885-0,6295-0,62950,97244-0,21261,44692-0,65860,9744-0,67461,17960,73,83862-0,7194-0,71941,30118-0,23131,80474-0,75671,2618-0,7621,45420,83,64839-0,8093-0,80931,62992-0,25012,16256-0,85481,5492-0,84941,72880,93,45816-0,8992-0,89921,95866-0,26882,52038-0,95291,8366-0,93692,003413,26793-0,9891-0,98912,2874-0,28762,8782-1,0512,124-1,02432,278


Задание 1 а) Система двух Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ) с двумя неизвестными задана своей расширенной матрицей. Решите СЛАУ методом Зейделя с

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ