Решение дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией

МИНИСТЕРСТВО СВЯЗИ РФ

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ

ХАБАРОВСКИЙ ФИЛИАЛ

К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

ПО ИНФОРМАТИКЕ на тему:

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ АППРОКСИМАЦИЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ

Работу выполнила: студентка I курса специальности РРТ (ускор.)

Турчина шифр: 011р-469

2001 г.

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Индивидуальное задание -
3
1. Решение дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши
- 4
1.1. Теоретические сведения -
4
1.2. Ручной расчёт решаемой задачи -
6
2. Аппроксимация. Метод наименьших квадратов - 9
2.1. Теоретические сведения -
9
2.2. Ручной расчёт коэффициентов системы линейных уравнений -
10
3. Решение системы уравнений методом Гаусса -
11
4. Нахождение значений аппроксимирующей функции - 13
5. Расчёт погрешности аппроксимации -
14
6. Построение блок-схемы и разработка программы аппроксимации - 16

Литература -
21

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / (0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7 y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1.
2. Оценить погрешность вычислений при решении дифференциального уравнения методом Эйлера - Коши.
3. Аппроксимировать полученное в п.1. решение параболой методом наименьших квадратов.
4. Рассчитать погрешность аппроксимации.
5. Построить графики решения дифференциального уравнения, аппроксимирующей функции и погрешности аппроксимации.
6. Составить блок-схемы алгоритмов и программы для решения дифференциального уравнения, вычисления коэффициентов аппроксимирующей параболы, расчёта погрешности аппроксимации на языке QBASIC. На печать выдать :
- значения функции y( xi ), являющейся решением дифференциального уравнения в точках xi, найденные с шагом h и с шагом h/2 ;
- значения аппроксимирующей функции F( xi ) в точках xi ;
- значение погрешности аппроксимации [pic]i = F( xi ) - yi.
- величину средне - квадратичного отклонения.

1. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА - КОШИ

1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

В соответствии с постановкой задачи нужно найти решение дифференциального уравнения первого порядка, т.е. найти такие решения y(x), которые превратили бы дифференциальное уравнение в тождество. Но так как таких решений множество, заданы начальные условия - значения функции y(x) в точке x0, т.е. y(x0) = y0, а так же интервал [ x0 - xn ].
Рис. 1. показывает, что с помощью начальных условий из множества решений можно выбрать одно.

[pic]

Рис 1. Множество решений дифференциального уравнения.

Метод Эйлера - Коши - наиболее точный метод решения дифференциального уравнения (второй порядок точности). Этот метод предполагает следующий порядок вычислений: yi+1( = yi + h f( xi ; yi ), где i = 0,1,2 ... n yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1()) / 2
Число значений n можно найти, разделив интервал на шаг:

n = (xn - xo) / h

Геометрически это означает, что определяется направление касательной к интегральной кривой в исходной точке хi,yi и во вспомогательной точке хi+1,yi+1(, а в качестве окончательного направления берется среднее этих направлений (показано пунктирной линией на рис. 2)

[pic]

Рис.2. Графическая интерпретация метода Эйлера - Коши.

Решение yi+1, найденное методом Эйлера - Коши, намного ближе к точному решению, чем решение yi+1(, найденное методом Эйлера. Погрешность метода пропорциональна шагу h во второй степени, т.е. метод Эйлера - Коши имеет второй порядок точности.

2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ РЕШАЕМОЙ ЗАДАЧИ
По условию задачи нужно решить дифференциальное уравнение y = x + cos ( y / (0.3 ) с начальными условиями x0 = 0.7, y0 = 2.1 на интервале [ 0.7 ; 1.7 ] с шагом h = 0.1 .
По формуле метода Эйлера -Коши yi+1( = yi + h f( xi ; yi ), yi+1 = yi + h (f( xi ; yi ) + f( xi+1 ; yi+1()) / 2
Найдем y1( и y1 f( x0 ; y0 ) = 0.7 + cos (2.1 / (0.3 ) = - 0.069675 x1 = x0 + h = 0.7 + 0.1=0.8 y1* = y0 + h * f( x0 ; y0 ) = 2.1 + 0.1 * (- 0.069675) = 2.093032 y1 = y0 + h * (f( x0 ; y0 ) + f( x0 + h ; y1* )) / 2 = 2.1 + 0.1 * ((-
0.069675) + 0.022266)/2 =
= 2.09763
Аналогично найдём остальные значения x и y : f( x1 ; y1 ) = 0.8 + cos (2.09763/ (0.3 ) = 0.02757 x2 = 0.8 + 0.1 = 0.9 y2* = 2.09763 + 0.1 * 0.02757 = 2.100387 y2 = 2.09763 + 0.1 * (0.02757 + 0.130776) / 2 = 2.105547 f( x2 ; y2 ) = 0.9 + cos (2.105547 / (0.3 ) = 0.136831 x3 = 0.9 + 0.1 = 1 y3* = 2.105547 + 0.1 * 0.136831 = 2.11923 y3 = 2.105547 + 0.1 * (0.136831 + 0.25321) / 2 = 2.125049 f( x3 ; y3 ) = 1 + cos (2.125049 / (0.3 ) = 0.260317 x4 = 1+ 0.1 = 1.1 y4* = 2.125049 + 0.1 * 0.260317 = 2.1510807 y4 = 2.125049 + 0.1 * (0.260317 + 0.393124) / 2 = 2.157721 f( x4 ; y4 ) = 1.1 + cos (2.157721 / (0.3 ) = 0.401751 x5 = 1.1 + 0.1 = 1.2 y5* = 2.157721+ 0.1 * 0.401751 = 2.1978961 y5 = 2.157721 + 0.1 * (0.401751 + 0.556089) / 2 = 2.205613 f( x5 ; y5 ) = 1.2 + cos (2.205613 / (1.3 ) = 0.566933 x6 = 1.2 + 0.1 = 1.3 y6* = 2.205613 + 0.1 * 0.566933 = 2.2623063 y6 = 2.205613 + 0.1 * (0.566933 + 0.750302) / 2 = 2.271475 f( x6 ; y6 ) = 1.3 + cos (2.271475 / (0.3 ) = 0.764362 x7 = 1.3 + 0.1 = 1.4 y7* = 2.271475 + 0.1 * 0.764362 = 2.347911 y7 = 2.271475 + 0.1 * (0.764362 + 0.987033) / 2 = 2.359045 f( x7 ; y7 ) = 1.4 + cos (2.359045/ (0.3 ) = 1.005629 x8 = 1.4 + 0.1 = 1.5 y8* = 2.359045 + 0.1 * 1.005629 = 2.4596079 y8 = 2.359045 + 0.1 * (1.005629 + 1.280033) / 2 = 2.473328 f( x8 ; y8 ) = 1.5 + cos (2.473328 / (0.3 ) = 1.304536 x9 = 1.5+ 0.1 = 1.6 y9* = 2.473328 + 0.1 * 1.304536 = 2.6037816 y9 = 2.473328 + 0.1 * (1.304536 + 1.6414317) / 2 = 2.620626 f( x9 ; y9 ) = 1.6 + cos (2.620626 / (0.3 ) = 1.6721351 x10 = 1.6 + 0.1 = 1.7 y10* = 2.620626 + 0.1 * 1.6721351 = 2.7878395 y10 = 2.620626 + 0.1 * (1.6721351 + 2.068584) / 2 = 2.807662
Для оценки погрешности вычислений найдём решение дифференциального уравнения с шагом h / 2 до третьей точки: f( x0 ; y0 ) = 0.7 + cos (2.1 / (0.3 ) = - 0.069675 x1 = 0.7 + 0.05 = 0.75 y1* = 2.1 + 0.05 * (- 0.069675) = 2.096516 y1 = 2.1 + 0.05 * ((- 0.069675) + ( - 0.02372)) / 2 = 2.097665 f( x1 ; y1 ) = 0.75 + cos (2.097665 / (0.3 ) = - 0.022389 x2 = 0.75 + 0.05 = 0.8

y2* = 2.097665 + 0.05 * (- 0.022389) = 2.096546 y2 = 2.097665 + 0.05 * ((- 0.022389) + 0.026314) / 2 = 2.097763 f( x2 ; y2) = 0.8 + cos (2.097763 / (0.3 ) = 0.027724 x3 = 0.8 + 0.05 = 0.85 y3* = 2.097763 + 0.05 * 0.027724 = 2.0991492 y3 = 2.097763 + 0.05 * (0.027724 + 0.079334) / 2 = 2.10044 f( x3 ; y3) = 0.85 + cos (2.10044 / (0.3 ) = 0.080838 x4 = 0.85 + 0.05 = 0.9 y4* = 2.10044 + 0.05 * 0.080838 = 2.1044819 y4 = 2.10044 + 0.05 * (0.080838 + 0.135575) / 2 = 2.10585 f( x4; y4) = 0.9 + cos (2.10585 / (0.3 ) = 0.137188 x5 = 0.9 + 0.05 = 0.95 y5* = 2.10585 + 0.05 * 0.137188 = 2.1127094 y5 = 2.10585 + 0.05 * (0.137188 + 0.195345) / 2 = 2.114164 f( x5; y5) = 0.95 + cos (2.114164 / (0.3 ) = 0.19709 x6 = 0.95 + 0.05 = 1 y6* = 2.114164 + 0.05 * 0.19709 = 2.1240185 y6 = 2.114164 + 0.05 * (0.19709 + 0.259053) / 2 = 2.125567

Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге:

yi+1 = yih + (yih/2 - yih ) / (2p - 1) , где: р - порядок метода, для Эйлера - Коши р = 2
Рассчитаем погрешность вычисления в точке х = 1. Найдем уточненное решение: y(1) = 2.125049 + (2.125567 - 2.125049) / (22 - 1) = 2.1252216
( ih = 2p (yih - yih/2) / (2p - 1) = 22 (2.125567 - 2.125049) / 3 = 6.9

* 10 -4
( ih/2 = (yih - yih/2) / (2p - 1) = (2.125567 - 2.125049) / 3 = 1.73 *

10 -4

Таблица 1. Значения X и Y, полученные с помощью ручного расчёта.
|I |X ( I ) |Y ( I ) |
|0 |0.7 |2.1 |
|1 |0.8 |2.09763 |
|2 |0.9 |2.105547 |
|3 |1 |2.125049 |
|4 |1.1 |2.157721 |
|5 |1.2 |2.205613 |
|6 |1.3 |2.271475 |
|7 |1.4 |2.359045 |
|8 |1.5 |2.473328 |
|9 |1.6 |2.620626 |
|10 |1.7 |2.807662 |

График решения дифференциального уравнения представлен на рисунке 3.
[pic]

2. АППРОКСИМАЦИЯ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Исходя из постановки задачи, нужно аппроксимировать полученное в п.1. решение ( Таблица 1. ) параболой методом наименьших квадратов, т.е. нужно найти функцию, в данном случае параболу, которая в точках X ( I ) принимала бы значения, как можно более близкие к значениям Y ( I ). Парабола является функцией с тремя параметрами: F (x) = ax2 + bx + c
Сумма квадратов разностей значений функции и решений дифференциального уравнения (Таблица 1.) должна быть минимальной, т.е.:

[pic]( ax2 + bx + c - yi )2 => min
Функция будет иметь минимум, когда все частные производные равны нулю.

DF / da = 0, dF / db = 0, dF / dc = 0
После преобразований получим систему уравнений: a11a + a12b + a13c = b1 a21a + a22b + a23c = b2 a31a + a32b + a33c = b3 где a11 = [pic] , a12 = a21 = [pic] , a13 = a22 = a31 = [pic], a23 = a32
=[pic]xi , a33 = n + 1 b1 = [pic]yi , b2 =[pic]xi yi , b3 =[pic]yi .

2.2. РУЧНОЙ РАСЧЁТ КОЭФФИЦИЕНТОВ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассчитаем коэффициенты системы трёх линейных уравнений по формулам, взятым из п.2.2.: а11 = 0.74 + 0.84 + 0.94 + 1.04 + 1.14 + 1.24 + 1.34 + 1.44 + 1.54 + 1.64 +
1.74 = 32.5094 а12 = а21 = 0.73 + 0.83 + 0.93 + 1.03 + 1.13 + 1.23 + 1.33 + 1.43 + 1.53 +
1.63 + 1.73 = 22.9680 а13 = а22 = а31 = 0.72 + 0.82 + 0.92 + 1.02 + 1.12 + 1.22 + 1.32
+1.42+1.52+1.62+1.72 = 16.9400 а23 = а32 = 0.7 + 0.8 + 0.9 + 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6 + 1.7
= 13.2000 а33 = n + 1 = 11 b1 = 2.1 * 0.72 + 2.09763 * 0.82 + 2.105547 * 0.92 + 2.125049 * 1.02 +
2.157721 * 1.12 + 2.205613 * 1.22 + 2.271475 * 1.32 + 2.359045 * 1.42 +
2.473328 * 1.52 + 2.620626 * 1.62 + 2.807662 * 1.72 = 40.83941 b2 = 2.1 * 0.7 + 2.09763 * 0.8 + 2.105547 * 0.9 + 2.125049 * 1.0 + 2.157721
* 1.1 + 2.205613 * 1.2 + 2.271475 * 1.3 + 2.359045 * 1.4 + 2.473328 * 1.5
+ 2.620626 * 1.6 + 2.807662 * 1.7 = 31.119972 b3 = 2.1 + 2.09763 + 2.105547 + 2.125049 + 2.157721 + 2.205613 + 2.271475
+ 2.359045 + 2.473328 + 2.620626 + 2.807662 = 25.3237

Получим систему уравнений:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

22.968a + 16.94b + 13.2c = 31.119972

16.94a + 13.2b + 11c = 25.3237

Теперь нужно решить эту систему методом Гаусса и найти коэффициенты a,b,c.

3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУССА

Суть этого метода состоит в том, что систему линейных уравнений преобразуют к системе с треугольной матрицей, а потом решают уравнения, начиная с последнего.
Решим систему уравнений, полученную в п. 2.2.:

Первое уравнение считается основным, его мы не изменяем. Второе уравнение нужно преобразовать так, чтобы первый его коэффициент стал равен нулю. Для этого второе уравнение нужно умножить на такой множитель, чтобы первые коэффициенты первого и второго уравнения стали равны.
Найдём множитель:
?21 = а21 / а11 = 22.968 / 32.5094 = 0.7065
Умножим на него первое уравнение:
32.5094a * 0.7065 + 22.968b * 0.7065 + 16.94 * 0.7065 = 40.83941 * 0.7065
Получим:
22.968a + 16.2269b + 11.9681c = 28.853043
Теперь нужно это уравнение почленно вычесть из второго:
0a + 0.7131b + 1.2319c = 2.266929
Аналогично преобразуем третье уравнение: i31 = a31 / a11 = 16.94 / 32.5094 = 0.5211
32.5094a * 0.5211 + 22.968b * 0.5211 + 16.94c * 0.5211 = 40.83941 * 0.5211
16.94a + 11.9686b + 8.8274c = 21.281416
Вычтем это уравнение из третьего, получим:
0a +1.2314b + 2.1726c = 4.042284
Таким образом, получится система, эквивалентная исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

1.2314b + 2.1726c = 4.042284
Третье уравнение нужно преобразовать так, чтобы второй его коэффициент стал равен нулю. Найдём множитель:
?32 = a32 / a22 = 1.2314 / 0.7131 = 1.7268
Умножим второе уравнение на него:
0.7131b * 1.7268 + 1.2319c * 1.7268 = 2.266929 * 1.7268
1.2314b + 2.1272c = 3.914533
Вычтем получившееся уравнение из третьего:
0b + 0.0454c = 0.127751
Получим треугольную матрицу, эквивалентную исходной:

32.5094a + 22.968b + 16.94c = 40.83941

0.7131b + 1.2319c = 2.266929

0.0454c = 0.127751
Теперь найдём коэффициенты: c = 0.127751 / 0.0454 = 2.813899 b = (2.266929 - 1.2319 * 2.813899) / 0.7131 = - 1.682111 a = (40.83941 - 16.94 * 2.813899 - 22.968 * (- 1.682111) ) / 32.5094 =
0.978384

Проверим результаты вычислений, подставив полученные значения корней в исходную систему:

32.5094 * 0.978384 + 22.968 * (- 1.682111) + 16.94 * 2.813899 =
40.83941

22.968 * 0.978384 + 16.94 * (- 1.682111) + 13.2 * 2.813899 = 31.119972

16.94 * 0.978384 + 13.2 * (- 1.682111) + 11 * 2.813899 = 25.3237

40.8394 ( 40.83941

31.12 ( 31.119972

25.3228 ( 25.3237

Таким образом, уравнение аппроксимирующей параболы имеет вид:

F (x) = 0.978384x2 - 1.682111x + 2.813899

4. НАХОЖДЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ФУНКЦИИ

Найдём значения функции F(x) = 0.978384 x2 - 1.682111 x + 2.813899 на интервале [0.7; 1.7] с шагом h=0.1 x0 = 0.7
F( x0 ) = 0.978384 * 0.72 - 1.682111 * 0.7 + 2.813899 = 2.118622 x1 = x0 + h = 0.7 + 0.1 = 0.8
F( x1 ) = 0.978384 * 0.82 - 1.682111 * 0.8 + 2.813899 = 2.095734 x2 = 0.8 + 0.1 = 0.9
F( x2 ) = 0.978384 * 0.92 - 1.682111 * 0.9 + 2.813899 = 2.092711 x3 = 0.9 + 0.1 = 1.0
F( x3 ) = 0.978384 * 1.02 - 1.682111 * 1.0 + 2.813899 = 2.109553 x4 = 1.0 + 0.1 = 1.1
F( x4 ) = 0.978384 * 1.12 - 1.682111 * 1.1 + 2.813899 = 2.14626 x5 = 1.1 + 0.1 = 1.2
F( x5 ) = 0.978384 * 1.22 - 1.682111 * 1.2 + 2.813899 = 2.202831 x6 = 1.2 + 0.1 = 1.3
F( x6 ) = 0.978384 * 1.32 -1.682111 * 1.3 + 2.813899 = 2.279266 x7 = 1.3 + 0.1 = 1.4
F( x7 ) = 0.978384 * 1.42 - 1.682111 * 1.4 + 2.813899 = 2.375567 x8 = 1.4 + 0.1 = 1.5
F( x8 ) = 0.978384 * 1.52 - 1.682111 * 1.5 + 2.813899 = 2.491732 x9 = 1.5 + 0.1 = 1.6
F( x9 ) = 0.978384 * 1.62 - 1.682111 * 1.6 + 2.813899 = 2.627762 x10 = 1.6 + 0.1 = 1.7
F( x10 ) = 0.978384 * 1.72 - 1.682111 * 1.7 + 2.813899= 2.783656

5. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ АПРОКСИМАЦИИ.

Для вычисления погрешности аппроксимации вычислим величину среднеквадратичного отклонения:

[pic]
Здесь yi - значения решения дифференциального уравнения, полученные в п.1.2. (см. Таблицу 1), F(xi) - значения аппроксимирующей функции при тех же значениях xi, полученные в п. 4. Их разность показывает величину отклонения аппроксимирующей функции от аппроксимируемой в узлах xi.
Рассчитаем погрешность аппроксимации:
[pic]0 = F( x0 ) - y0 = 2.118622 - 2.1 = 0.018622
[pic]02 = 3.46779 * 10 - 4
[pic]1 = F( x1 ) - y1 = 2.095734 - 2.09763 = - 0.001896
[pic]12 = 3.59482 *10 - 6
[pic]2 = F( x2 ) - y2 = 2.092711 - 2.105547 = - 0.012836
[pic]22 = 1.64763 * 10 - 4
[pic]3 = F( x3 ) - y3 = 2.109553 - 2.125049 = - 0.015496
[pic]32 = 2.40126 * 10 - 4
[pic]4 = F( x4 ) - y4 = 2.14626 - 2.157721 = - 0.011461
[pic]42 = 1.31355 * 10 - 4
[pic]5 = F( x5 ) - y5 = 2.202831 - 2.205613 = - 0.002782
[pic]52 = 7.73953 * 10 - 6
[pic]6 = F( x6 ) - y6 = 2.279266 - 2.271475 = 0.007791
[pic]62 = 6.06997 * 10 - 5
[pic]7 = F( x7 ) - y7 = 2.375567 - 2.359045 = 0.06522
[pic]72 = 2.72977 * 10 - 4
[pic]8 = F( x8 ) - y8 = 2.491732 - 2.473328 = 0.08404
[pic]82 = 3.38707 * 10 - 4
[pic]9 = F( x9 ) - y9 = 2.627762 - 2.620626 = 0.007136
[pic]92 = 5.09225 * 10 - 5
[pic]10 = F( x10 ) - y10 = 2.783656 - 2.807662 = - 0.024006
[pic]102 = 5.76288 * 10 -4

( = ( 0.0021939515 = ( 1.9945013 * 10 - 4 = 0.014122681 [pic]1.412268 *
10 - 2

Данные расчётов снесены в Таблицу 2.

Таблица 2. Расчёт погрешности аппроксимации.
|I |xi |yi |F(xi) |[pic]i |[pic]i2 |
|0 |0.7 |2.1 |2.118622 |0.018622 |3.46779 * 10 - 4|
|1 |0.8 |2.09763 |2.095734 |- 0.001896 |3.59482 * 10 - 6|
|2 |0.9 |2.105547 |2.092711 |- 0.012836 |1.64763 * 10 - 4|
|3 |1.0 |2.125049 |2.109553 |- 0.015496 |2.40126 * 10 - 4|
|4 |1.1 |2.157721 |2.14626 |- 0.011461 |1.31355 * 10 - 4|
|5 |1.2 |2.205613 |2.202831 |- 0.002782 |7.73953 * 10 - 6|
|6 |1.3 |2.271475 |2.279266 |0.007791 |6.06997 * 10 - 5|
|7 |1.4 |2.359045 |2.375567 |0.06522 |2.72977 * 10 - 4|
|8 |1.5 |2.473328 |2.491732 |0.08404 |3.38707 * 10 - 4|
|9 |1.6 |2.620626 |2.627762 |0.007136 |5.09225 * 10 - 5|
|10 |1.7 |2.807662 |2.783656 |- 0.024006 |5.76288 * 10 - 4|

График погрешности аппроксимации представлен на рисунке 4.
[pic]
График аппроксимирующей функции представлен на рисунке 5.

6. ПОСТРОЕНИЕ БЛОК-СХЕМЫ И РАЗРАБОТКА ПРОГРАММЫ АППРОКСИМАЦИИ

Блок-схема алгоритма решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов представлена на Рис. 6.
Первым шагом осуществляется ввод значений X(I),Y(I),N.
Далее обнуляются значения всех коэффициентов. В цикле рассчитываются коэффициенты 3-х линейных уравнений. (см. п. 2.2). После цикла приравниваем одинаковые коэффициенты в матрице. Потом выполняется подпрограмма решения линейных уравнений.
Следующим шагом происходит описание функции пользователя:

FNY(X) = K(1) X 2 + K(2) X + K(3)

Следующий цикл находит значения аппроксимирующей функции, разность между этими значениями и корнями дифференциального уравнения Y(I), квадрат разности, а также производит их суммирование. Далее находится величина погрешности аппроксимации и все данные выводятся на экран.
Общая программа решения дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов представлена на рис. 7 вместе с программой решения дифференциального уравнения, так как из нее получают значения X(I) и Y(I).

[pic]

Рис. 6. Блок-схема алгоритма решения задачи аппроксимации методом наименьших квадратов.

CLS
PRINT " Нахождение коэффициентов по методу Эйлера - Коши"
X0 = 0.7
XN = 1.7
Y0 = 2.1
H = 0.1
N = (XN - X0) / H
DIM X(N)
DIM Y(N)
X(0) = X0
Y(0) = Y0
FOR I = 0 TO N - 1
X(I + 1) = X(I) + H
Y(I + 1)* = Y(I) + H * (X(I) + COS(Y(I) / SQR(0.3)))
Y(I +1) = Y(I)+H*((X(I)+COS(Y(I)/SQR(0.3)))+(X(I+1)+COS(Y(I+1)* /
SQR(0.3))))/2
PRINT " X("; I; ")="; X(I), , "Y("; I; ")="; Y(I)
NEXT I
I = 10: PRINT " X("; I; ")="; X(I), "Y("; I; ")="; Y(I)
PRINT "Нахождение коэффициентов по методу наименьших квадратов"
PRINT "и погрешности аппроксимации" a11 = 0: b1 = 0: a12 = 0: b2 = 0: a13 = 0: b3 = 0: a23 = 0: a33 = N + 1
FOR I = 0 TO N a11 = a11 + X(I) ^ 4 a12 = a12 + X(I) ^ 3 a13 = a13 + X(I) ^ 2 a23 = a23 + X(I) b1 = b1 + (X(I) ^ 2) * Y(I) b2 = b2 + X(I) * Y(I) b3 = b3 + Y(I)
NEXT I a21 = a12: a22 = a13: a31 = a13: a32 = a23: S = 0
REM Начало подпрограммы решения СЛУ методом Гаусса
DIM К(3) m21 = a21 / a11 m31 = a31 / a11 a22 = a22 - a12 * m21 a23 = a23 - a13 * m21 b2 = b2 - b1 * m21 a32 = a32 - a12 * m31 a33 = a33 - a13 * m31 b3 = b3 - b1 * m31 m32 = a32 / a22 a33 = a33 - a23 * m32 b3 = b3 - b2 * m32
К(3) = b3 / a33
К(2) = (b2 - К(3) * a23) / a22
К(1) = (b1 - К(3) * a13 - К(2) * a12) / a11
REM Конец подпрограммы решения СЛУ методом Гаусса
DIM F(N)
DEF FNY(X) = K(1) * X ^ 2 + K(2) * X + K(3)
PRINT "-------------------------------------------------------------------
----------------"
PRINT " X(I) | y(I) | F(x(I)) | F(x(I))- y(I) | d^2 "
PRINT "-------------------------------------------------------------------
----------------"
FOR I = 0 TO N
F(I) = FNY(X(I))
D = F(I) - Y(I)
S = S + D ^ 2
PRINT X(I), Y(I), f(I), D, D^2
NEXT I
E = SQR(S / (N + 1))
PRINT "Погрешность ="; E
END

ЛИТЕРАТУРА

1. Витенберг И.М. Программирование на языке БЕЙСИК. Москва. «Радио и связь».1991.

2. Гери М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи.

Пер. с англ. – Москва. «МИР» 1982.

3. Горбунова Н.Г. Методические указания к лабораторным работам по курсу

Информатика, ч.2 «Численные методы» - Хабаровск, 1996.

4. Спесивцев А.В. Руководство пользователя по языку Бейсик. Москва.

«Радио и связь». 1992. «ВЕСТА».

5. Методические указания для оформления пояснительных записок курсовых и дипломных проектов - Хабаровск, 1997.

-----------------------

11

Больше работ по теме: