Решение численными методами краевой задачи математической физики

 















Решение численными методами краевой задачи математической физики


1. Теоретико-аналитическая часть


.1 Постановка задачи


Исследовать вынужденные поперечные колебания консольного стержня длины , к правому концу которого, находящегося в состоянии равновесия, прикладывается, начиная с момента времени , растягивающая сила . Найти амплитуду поперечного отклонения консоли в точке от положения равновесия в момент времени .

Продемонстрировать физику процесса.

Исходные данные:

Постановка задачи

- уравнение движения колебаний стержня



где ,

Граничные условия

Так как на левом конце стержень защемлен, а к праву концу стержня применяется растягивающая сила, то граничные условия имеют следующий вид:



Начальные условия

Так как колебания происходят под воздействием растягивающей силы и в начальный момент стержень находится в покое, то начальные условия можно записать следующим образом:



1.2 Вывод уравнения движения из основных законов физики


Стержень - упругое твёрдое тело, длина которого значительно превышает его поперечные размеры.

Рассмотрим стержень цилиндрической формы, на который действует вдоль оси стержня сила .

Исследуем такие колебания стержня, при которых поперечные сечения площадью , перемещаясь вдоль оси стержня, остаются плоскими и параллельными друг другу. Данные предположения оправдываются, если поперечные размеры стержня малы по сравнению с его длиной.

Продольные колебания возникают тогда, стержень предварительно немного растягивается (или сжимается), а затем предоставляется самому себе.


Рис. 1. Стержень


Направим ось вдоль оси стержня и будем считать, что в состоянии покоя концы стержня имеют соответственно абсциссы и . Рассмотрим сечение ; его абсцисса в состоянии покоя. Смещение этого сечения в любой момент времени будет характеризоваться функцией

Найдём относительное удлинение участка стержня, ограниченного сечениями и .

Если абсцисса сечения в состоянии покоя , то смещение этого стержня в момент времени с точностью до бесконечно малых высшего порядка равно:



Отсюда ясно, что относительное удлинение стержня в сечении с абсциссой в момент времени выражается производной:



Считая, что стержень совершает малые колебания, можно вычислить натяжение, вызывающие это удлинение. Натяжение подчиняется закону Гука. Найдем величину силы натяжения , действующей на сечение :



где - площадь поперечного сечения стержня, а модуль упругости (модуль Юнга) материала стержня.

Соответственно сила , действующая на сечение равна



Возьмем элемент стержня, заключённый между сечениями и . На этот элемент действуют силы и , приложенные в этих сечениях и направленные вдоль оси . Результирующая этих сил имеет величину



и направлена также вдоль оси .

С другой стороны, ускорение элемента равно , вследствие чего, используя второй закон Ньютона , мы можем написать равенство


(1)


где объёмная плотность стержня, масса выделенного участка стержня

Сокращая и вводя обозначение , для свободных продольных колебаний однородного стержня можно получить дифференциальное уравнение в частных производных:


(2)


Форма этого уравнения показывает, что продольные колебания стержня носят волновой характер, причём скорость распространения продольных волн определяется формулой


Если дополнительно предположить, что к стержню приложена внешняя сила , рассчитанная на единицу объёма и действующая вдоль оси стержня, то к правой части уравнения (1) добавится слагаемое и уравнение (1) примет вид:


(3)

(4)


это уравнение вынужденных продольных колебаний стержня.


1.3 Проверка задачи по критерию размерности



Вывод: размерности совпадают


1.4 Аналитическое решение задачи



Граничные условия:


Начальные условия:



Так как граничные условия ненулевые, использовать напрямую метод Фурье нельзя. С помощью введения новой переменной , приведём граничные условия к нулю:



тогда: граничные условия:



начальные условия:



частные производные:


.


Таким образом, постановка задачи для новой функции имеет следующий вид:


граничные условия:


начальные условия:



В силу того, что задача неоднородна представим функцию в виде:



где функция будет описывать собственный колебаний стержня, а - вынужденные.

Собственные колебания

Рассмотрим задачу для , которая описывает собственные колебания стержня.



граничные условия:


начальные условия:



По методу Фурье решение можно представить в виде произведения функций, каждая из которых зависит только от одной переменной:


,


Так как тривиальное решение не может быть по физической трактовке задачи, тогда это уравнение можно записать:



Две функции от разных переменных равны между собой только тогда, когда они константы. Константу запишем в виде . Тогда уравнение можно свести к следующему виду:



Решение дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами ищем на основе характеристического уравнения:


Корни этого характеристического уравнения:



Следовательно, общее решение можно записать в виде:



Из граничных условий следует:


, т.к. , то


по условию и , т.к. следовательно,

Отсюда получаем, что собственные значения краевой задачи равны:



Тогда собственные функции краевой задачи имеют вид:



Функции ортогональны, но не ортонормированны т.к. при . Следовательно, собственные функции задачи с учетом нормировки имеют следующий вид:



Рассмотрим решение уравнения

Для нахождения решения этого уравнения составим характеристическое уравнение:



Корни этого характеристического уравнения:



Следовательно, общее решение можно записать в виде:



Каждому соответствует своё решение :



Решение задачи составляем как линейную комбинацию из решений, соответствующих каждому .


Пусть , тогда:



Для нахождения коэффициентов и используем начальные условия:



Так как линейная комбинация линейно независимых функций равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты равны нулю, то .



Итак,



Таким образом:



Вынужденные колебания

Рассмотрим задачу для , которая описывает вынужденные колебания стержня


граничные условия:



начальные условия:



Уравнение является неоднородным, но нулевые граничные условия позволяют строить решение в виде:



Пусть функция удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке , тогда её можно представить в виде:



где коэффициенты вычисляются следующим образом:




то есть:



Подставляя в уравнение разложенную в ряд Фурье функцию , получаем:



Получили равенство двух линейных комбинаций, в этом случае коэффициенты равны:



Данное уравнение является неоднородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения II порядка

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:



Общее решение однородного дифференциального уравнения можно представить в виде:




Построение графиков приближенного решения при учете пяти и гораздо более пяти гармоник в среде MatLab. Для построения графика приближенного решения создан M-file (приложение 1), в котором записана функция, описывающая аналитическое решение задачи. Используя функцию из «analitic», построим графики приближенного решения, для крупной сетки и мелкой сетки при учёте 5 и 100 гармоник. Для это создадим M-file «a_reshenie» (приложение 2) и запустим его. Получим следующие графики:


Рис. 2. Аналитическое решение задачи для мелкой сетки при учёте 5 гармоник

Рис. 3. Аналитическое решение задачи для крупной сетки при учёте 5 гармоник


Рис. 4. Аналитическое решение задачи для мелкой сетки при учёте 100 гармоник


Из рисунков 2 и 4 видно, что количество гармоник не влияет на график функции, в отличие от масштаба сетки (рис. 2 и 3).

При этом для крупной сетки в командном окне выводятся значения функции в узлах сетки:


Рис. 5. Значения функции, вычисленной приближенно в узлах крупной сетки при учёте 5 гармоник

Найдём в заданной точке значение функции . Для это воспользуемся возможностями MatLab. А затем построим эту точку на графике аналитического решения для мелкой сетки при учёте 5 гармоник. Для этого создадим M-file «point» (приложение 3) и запустим его.


2. Дискретная модель


При нахождении численного решения краевой задачи мы используем метод сеток - численный метод, при котором краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно приближенных значений искомой функции в узлах сетки (разностной схемы).


2.1 Построение дискретной модели и выбор сетки


Постановка задачи содержит прямоугольную область Д, для нее естественно использовать прямоугольную сетку, узлы которой образованы пересечением прямых линий, проведенных в декартовой системе координат.



Шаг по оси : ,

Шаг по оси : ,

где - длина стержня,

- рассматриваемый промежуток времени, - номера узлов по осям и соответственно,

- количество узлов по оси ,

- количество узлов по оси .

Получаем, что - граничные узлы; - внутренние узлы.

2.2 Разностная схема и разностная задача


Подставляя выбранные шаблоны в непрерывную модель, получаем разностное уравнение для внутренних узлов:



Разностная задача - это записанная при выбранных значениях количества узлов M и N и, следовательно, шагов , разностная схема. В разностной схеме зависят друг от друга таким образом, чтобы выполнялось условие устойчивости решения:


.


3. Численное решение задачи методом «бегущего» счёта


.1 «Ручной» счет методом «бегущего» счёта для крупной сетки


Пусть , , , , , , тогда из условия устойчивости получаем, что шаг по оси можно взять Выбранные значения параметров дают следующую точность вычисления разностного решения:



Тогда разностная схема будет выглядеть следующим образом:



Преобразовав, получим:



При расчёте сетки необходимо произвести сглаживание и допустить, что . Вычислим, чему равны остальные узлы сетки:


Таблица 1. Таблица значений вычисленной функции в узлах выбранной сетки

000000000000.010000000.00250.06250000.00060.01940.0994000.00020.00580.05160.151600.00000.00170.02100.09730.217300.00050.00760.05040.15400.294000.00260.02250.09510.21970.379700.00900.05050.15270.29430.474300.02360.09370.22020.37850.5785

.2 Численное решение методом «бегущего» счёта в среде MatLab


Для численного решения задачи необходимо создать M-file «numerical» (приложение 4), в котором функция вычисляет разностную задачу для крупной сетки. Для запуска данной функции необходимо создать файл «n_reshenie». При этом мы получим график.

А программа выведет нам значения функции в узлах сетки.

Аналогичные значения мы уже получили при расчёте разностной задачи «вручную». Для более мелкой сетки создадим M-file «small_numerical» (приложение 6), и запускающий функцию M-file «n_reshenie_sm» (приложение 7).


Список литературы


  1. Вьюненко Л.Ф., Бестужева А.Н. Применение численных методов для решения задач электрического транспорта железных дорог (уравнения с частными производными). Учебное пособие. СПб, 2003.
  2. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. М., Наука, 1969.
  3. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М., Наука, 1981.
  4. Смирнов М.М. Уравнения в частных производных второго порядка. М., Наука, 1981.
  5. Михлин С.Г. Курс математической физики. М., Наука, 1968.

Приложение 1

file «analitic»

function u1=analitic (x, t, n)=t'*(x.^2)/2;k=1:n=u1+16/((pi*(2*k+1))^3)'.*(((-1)^(k+1))*sin((2*k+1)*pi*t/2)+t)'*

*sin((2*k+1)*pi*x/2);


Приложение 2

file «a_reshenie»

clcall

%% Построение графиков при учёте 5 гармоник (n=5)

% Для мелкой сетки:=0:0.01:1;% 1 - один метр

t=0:0.01:1;% 1 - одна минута= analitic (x, t, 5);(1);

mesh(u1);

%

% Для крупной сетки, (аналогичной сетке численного решения задачи):=0:0.2:1;% 1 - один метр=0:0.1:1;% 1 - одна минута

u2= analitic (x, t, 5);(2);

mesh(u2);

%

%% Построение графиков при учёте 100 гармоник (n=100)

% Для мелкой сетки:=0:0.01:1;% 1 - один метр

t=0:0.01:1;% 1 - одна минута= analitic (x, t, 5);(3);(u3);

Приложение 3

file «point»

clc

clear all

%% Построение графиков при учёте 5 гармоник (n=5)

% Для мелкой сетки:=0:0.01:1;% 1 - один метр

t=0:0.01:1;% 1 - одна минута=analitic (x, t, 5);(1);(u1);('x');('t');('u(x, t)');

title ('Вывод заданной точки x=0.81 (м), t=45 (сек) на график аналитического решения задачи')

%=0.81;% 81 сантиметр=45/60;% 45 секунд=analitic (x, t, 5);

x=82;% номер узла по оси x=76;% номер узла по оси t

hold on(x, t, u1,'k*');off

%


Приложение 4

file «numerical»

function u=numerical (l, t, a, h);

h=0.2;=0.1;=1;=6;% по оси x=11;% по оси t

%=zeros (m, n);

%j=1:n(1, j)=0;

%i=1:m(i, 1)=0;(i, 2)=0;

%(m, 2)=0.01;

%j=3:ni=2:m-1(i, j)=0.25*(u (i+1, j-1)+u (i-1, j-1))+1.5*u (i, j-1) - u (i, j-2);(m, j)=u (m-1, j)+0.02*j;=u'

Приложение 5

file «n_reshenie»

u=numerical (1,1,1,0.2);(1);(u);('x');('t');('u(x, t)');

title ('Численное решение задачи для крупной сетки')

u


Приложение 6

file «small_numerical»

function u=small_numerical (l, t, a, h);

a=1;=h^2/(2*a^2);% условие устойчивости=round (1+l/h);% по оси x

n=round (1+t/tau);% по оси t

%=zeros (m, n);

%j=1:n(1, j)=0;

%i=1:m(i, 1)=0;(i, 2)=0;

%(m, 2)=0.01;

%j=3:ni=2:m-1(i, j)=0.25*(u (i+1, j-1)+u (i-1, j-1))+1.5*u (i, j-1) - u (i, j-2);(m, j)=u (m-1, j)+0.02*j;=u';

Приложение 7

file «n_reshenie_sm»

clcall=small_numerical (1,1,1,0.05);(1);(u);('i');

ylabel('j');('Численное решение задачи для мелкой сетки')

уравнение стержень физика модель


Решение численными методами краевой задачи математической физики 1. Теоретико-аналитическая часть

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2016 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ