Разработка систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик
ВВЕДЕНИЕ
Целью данной курсовой работы является освоение методики анализа и синтеза систем автоматического регулирования с использованием логарифмических частотных характеристик и уточненных расчетов на ЭВМ.
Проектирование системы автоматического регулирования (САР) выполняется по заданной принципиальной схеме и заданным параметрам элементов основного контура обратной связи. Цель расчета состоит в том, чтобы при заданной структуре построения системы выбрать параметры параллельного корректирующего устройства, обеспечивающие запас устойчивости системы и максимальное ослабление влияния возмущений на регулируемую величину. При этом САР должна обеспечивать требования к ее статической точности и качеству переходного процесса при ступенчатом входном воздействии.
Анализ устойчивости системы и выбор параметров корректирующего устройства выполняются по линеаризованной структурной схеме САР с помощью асимптотических логарифмических частотных характеристик. Затем делается проверка выбранных параметров и формулируются выводы о качестве спроектированной системы путем построения точных частотных характеристик и графиков переходных процессов на ЭВМ.
Итогами работы являются результаты расчёта устойчивости системы, коррекция динамических свойств системы, построенная логарифмическая частотная характеристика и передаточная функция, рассчитанные показатели качества процесса управления, запасоустойчивость по амплитуде и фазе, расчёт показателей качества системы в переходном режиме, расчёт точности системы.
1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ САР
Для составления структурной схемы системы необходимо знать математические модели всех звеньев системы и связи между ними. Эти данные нам известны из технического задания:
дос(p)=Kдос = 17;
Wум(p)=Kум = 28;
Wред(p)=1;
;
.
Для того чтобы линеаризовать характеристики нелинейных элементов пренебрежем наличием нелинейных элементов, то есть будем считать, что усилитель мощности имеет неограниченную зону линейности, а зазор в кинематической связи «выход системы - датчик обратной связи» отсутствует, и коэффициент передачи равен единице.
Каждый функциональный блок с одним входом и выходом изобразим в виде абстрактного однонаправленного структурного блока с заданной передаточной функцией.
Измеритель рассогласования изобразим сумматором с вычитающим вертикальным входом.
Схему линейной модели САР изобразим на рисунке.
Рисунок - Функциональная структура (схема) САР
Определим минимальное допустимое значение коэффициента передачи регулятора Kp. Так как в техническом задании задано ограничение на относительную (по отношению к амплитуде эквивалентного гармонического сигнала) величину допустимой динамической ошибки eдм, то вначале определим минимальное значение требуемой величины коэффициента передачи разомкнутого (по отрицательному входу сумматора) контура:
Kmin = = = 72.
Теперь можно определить соответствующее значение коэффициента передачи регулятора Kp:
Кp== ==8.4.
2. АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ САР И ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ КОРРЕКТИРУЮЩЕГО УСТРОЙСТВА
2.1Исследование устойчивости САР с пропорциональным регулятором
Исследуем устойчивость САР с пропорциональным регулятором (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр), применяя критерий Гурвица и критерий Найквиста (в логарифмической форме):
Wк(раз)=КрКумКдос= =3998,4= .
Характеристический полином замкнутой САР равен сумме числителя и знаменателя передаточной функции W(p) разомкнутого контура САР:
А(р)= +71,97=
.
Все коэффициенты полинома A(p) положительны, следовательно, согласно критерию Гурвица, для устойчивости САР необходимо и достаточно выполнение следующего неравенства : a1(a2a3-a1a4)-a0(a3)2>0.
Проверим: 1(0,000257-0,000002)-0,000323=-0,00005.
Равенство не выполняется, следовательно, система неустойчива.
Для применения критерия Найквиста построим ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы. Из графиков этих характеристик видно, что частота среза для ЛАХ wср = 1,4, критическая частота для ЛФХ wкр = 1,3, то есть, wср> wкр, а значит, система неустойчива.
2.2Показатели качества переходного процесса заданной САР
Для замкнутой САР с помощью программы VisSim построим график переходной функции h(t) на рисунке. По рисунку видим, что график переходной функции не стремится к постоянному значению, а следовательно, система неустойчива.
Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:
p1 = -61.909;
p2 = -999.962;
p3 = 0.9352-24.063i;
p4 = 0.9352+24.063i.
Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что два корня характеристического полинома расположены в правой полуплоскости, а значит, система неустойчива.
В результате анализа системы мы выяснили, что полученная САР неустойчива, значит, простейший пропорциональный закон регулирования (при Wк(p)=1, Wку(p)=Кр) не может обеспечить устойчивость системы. Поэтому необходимо усложнить закон регулирования и расчета Wк(p). Для этого воспользуемся методом типовых асимптотических ЛАХ.
2.3Построение желаемой ЛАХ
Построим асимптотическую желаемую ЛАХ разомкнутой САР, обеспечивающую выполнение заданных ТЗ требований и инженерных рекомендаций по сложности реализации. Для этого предварительно определим ограничения на показатель колебательности М и базовую частоту w0, соответствующие заданным в техническом задании прямым показателям качества s% и tp. Таблица для такого перехода приведена ниже. Базовая частота для желаемой ЛАХ должна быть не меньше найденного значения.
Таблица 1 - Переход от прямых показателей качества s% и tp к ограничению на показатель колебательности М
M1.051.101.151.21.251.301.351.401.451.50s, %9141822252831333842w0tp1.212.883.443.603.543.383.323.323.363.42
При заданной величине s£35%; tp£ 0.3с получаем М=1,42.
Полученной величине М=1,42 соответствует произведение tp=3,36, следовательно, =3,36/0,3=11,2.
При построении желаемой асимптотической ЛАХ выполним следующие вычисления:
(1)
Следовательно, = 2 = 11,22=125.
(2)
из формулы (2): =.
Теперь из формулы (1) получаем: .
Зная, что , найдем минимальное значение
.
Теперь можно найти остальные постоянные времени, используя нижеприведенные формулы:
; (3)
(4)
. (5)
По формуле (4) определим минимальное значение :
Зная , можно найти значение по формуле (3):
.
Так как в нашем случае первоначально желаемая ЛАХ имеет наклон 20 дб/дек., а конечный наклон она должна иметь -80дб/дек, как и начальная ЛАХ, то при построении симметричной ЛАХ с типовыми наклонами асимптот (-20-40-20-40-60…) необходимо найти еще три точки перелома. Сумму их значений можно определить по формуле (5):
Учитывая, что малые постоянные времени, для которых частоты сопряжения больше частоты среза wср, желательно назначать так, чтобы возможно большее их количество совпадало с постоянными времени заданной части САР, то выберем Т3=0,02, Т5=0,001.
Найдем Т4=0,03-0,021=0,009.
В результате вычислений получили
Т1=0,84; lg = 0.1
Т2=0,16; lg = 0.8
=0.05 lg = 1.3
Т3=0,02; lg = 1.7
Т4=0,009; lg = 2
Т5=0,001; lg = 3
Построим желаемую ЛАХ и сформулируем желаемую передаточную функцию разомкнутого контура:
2.4 Построение ЛАХ корректирующего звена
Получим передаточную функцию корректирующего звена Wк(p) и соответствующие ей асимптотические ЛАХ корректирующего звена. Передаточная функция Wк(p) определяется как частное от деления желаемой передаточной функции скорректированной системы на передаточную функцию не скорректированной САР:
Асимптотическую ЛАХ корректирующего устройства получим графическим способом, вычитая ЛАХ нескорректированной системы из желаемой ЛАХ (см. рисунок 3).
. АНАЛИЗ КАЧЕСТВА СКОРРЕКТИРОВАННОЙ САР
3.1 Показатели качества переходного процесса скорректированной САР
Для скорректированной САР определим прямые, частотные и корневые показатели качества переходного процесса (ПП) и сравним их с ранее полученными для случая, когда Wк(p)=1. Для этого получим приведем передаточную функцию разомкнутой САР, замкнутой САР и характеристический полином:
Передаточная функция для разомкнутой САР:
Передаточная функция для замкнутой САР:
(p) =
Характеристический полином
(p) =
3.1.1Прямые показатели качества ПП
Для определения прямых показателей качества ПП построим график переходной функции САР в программе VisSim. По графику переходной функции можно судить о том, что система устойчива.
Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,3, а также установившийся уровень h()=1.
Следовательно, перерегулирование
s% =
Так как в результате проведенного анализа мы получили перерегулирование намного меньше, чем задано в задании (30%<35%), то можно увеличить его значение, то есть увеличить склонность системы к переходным процессам в пользу точности проектируемой САР. Для этого изменим величину Т4 до значения 0,011с.
Тогда передаточная функция разомкнутой САР примет вид:
Передаточная функция для замкнутой САР:
W(p) =
Характеристический полином
(p) =
Построим график переходной функции модифицированной САР (рисунок 7) в программе VisSim. Листинг программы приведен в приложении Г.
Определим по графику максимальное значение функции hmax=1,35,
а также установившийся уровень h()=1.
Перерегулирование
s% =
Значит, теперь перерегулирование полностью удовлетворяет условию.
Определим по графику время регулирования, т.е. время, за которое h(t) целиком заходит в 5%-ную зону относительно установившегося уровня h(¥):
tр = 0,25с,
а также время нарастания процесса до уровня h(¥):
tн = 0,09с
3.1.2 Корневые показатели качества ПП
Корневые показатели - это параметры области расположения характеристических корней pк. Основными из них будут: а) h=min|Re pк| и б) m = max|Im pк/Re pк|. Для нахождения корневых характеристик определим корни характеристического полинома в программе MathCad:
A(p) = =
+
Также определим значения характеристических корней pi с помощью программы MathCad:
p1 = -8,59
p2 = -124,501
p3 = -999,866
p4 = -14,7+21,12j
p5 =-14,7-21,12j
Расположение характеристических корней pi на комплексной плоскости отображено на рисунке. По рисунку мы видим, что все корни характеристического полинома расположены в левой полуплоскости, а значит, система устойчива.
Определим коэффициент быстродействия, или степень устойчивости системы: h=min|Re pк| =-8.59. По этой величине можно приближенно судить о времени затухания переходного процесса в САР
где tk - время затухания.
Определим также коэффициент колебательности: m = max|Im pк/Re pк|=1.4. Знание этой величины дает представление о колебательных свойствах САР в переходном процессе Nm = max nk= m/2=0.7.
3.1.3 Частотные показатели качества ПП
К частотным показателям качества ПП относятся:
а) запасы устойчивости по модулю ( Lз) и по фазе (jз)
Определим эти показатели по ЛАХ разомкнутой САР. Запас устойчивости по модулю Lз определяется как расстояние ЛАХ до оси 0 дБ на критической частоте. Запас устойчивости по фазе jз определяется как расстояние ЛФХ до критического уровня -180° на частоте среза.
Получаем:
Lз = 12 дБ;
jз = 45 град.
По данным значениям можно судить о достаточном запасе устойчивости полученной САР.
б) параметры графика АЧХ замкнутой системы
Построим график АЧХ замкнутой системы в программе MathCad.
·показатель колебательности М
Определим следующие значения:
M(0) = 1
Mmax = 1.41
·На основе полученных данных определим показатель колебательности М:
M =
Полученная величина М=1,41 характеризует склонность системы к колебаниям. Она меньше заданной в задании М=1,42, следовательно, требования, предъявленные к системе выполняются.
·частота амплитудного резонанса wр - значение частоты, при котором график АЧХ принимает максимальное значение:
wр = 17,8 рад/с
·граница полосы пропускания wпр - определяется по уровню 0.707 от начального значения АЧХ замкнутой системы:
wпр = 37 рад/с
Полученные значения wр и wпр характеризуют быстродействие системы.
в) параметры графика ВЧХ замкнутой системы
Построим график ВЧХ замкнутой системы в программе MathCad. Листинг программы приведен в Приложении Ж.
По полученному графику определим:
·диапазон положительности ВЧХ - характеризует быстродействие системы:
wп=23,2
Полученная величина достаточно высокая, следовательно, затухание переходного процесса будет происходить достаточно быстро.
·максимум Pmax = 1,18 и минимум Pmin =0,55- характеризуют склонность системы к колебаниям в переходном процессе. Полученные значения невысоки, значит, обеспечивается требуемое качество системы.
3.2Реакция САР на линейный и квадратичный сигналы
Построим реакцию САР на линейный (y=26t) и квадратичный (y= 26t + 27t2) сигналы в программе VisSim.
Построим также графики вынужденных реакций, рассчитанных с помощью коэффициентов ошибок С0, С1 и С2. Коэффициенты ошибок С0, С1 и С2 рассчитаем с помощью разложения в ряд в программе MathCad. Получаем:
С0=0
С1= 0,0098039
С2= 0,006884
Найдем вынужденную составляющую ошибки:
·для линейного сигнала
F=26t: E1(t) = С0х(t)+ С1
E1(t) = 0+0,098039·26=0,2548
·для квадратичного сигнала F=26t+27t2:
E2(t) = С0х(t)+ С1 + С2
E2(t) = 0+0,098(26+54t)+0.065*54=0.62+0.53t
3.3 Построение области устойчивости
анализ логарифмический частотный параллельный
На плоскости параметров корректирующего звена «коэффициент передачи К - постоянная времени T2» построим область устойчивости с отметкой расчетной точки.
A(p)=+= + .
Для построения границ области устойчивости воспользуемся методом D-разбиения в программе MathCad. Используем равенство нулю функции Михайлова A(jw, К, Т2)=0 как параметрическое уравнение границы Д разбиения. Решая это уравнение относительно К, Т2 при различных значениях w из некоторого диапазона, найдем точки основной границы. Значение w=0 будет соответствовать особой границе. Все границы отметим штриховкой: двойная - для основной и одинарная, направленная в сторону (встречно) штриховке основной границы, - для особой границы. Так как график определителя на рисунке 13.1 отрицательный, то штриховка основной границы будет располагаться справа от графика.
Та область Д-разбиения, для которой все границы имеют штриховку, направленную вовнутрь области, является областью-претендентом. Так как номинальная точка (при Т2=102, К=0,16) принадлежит этой области, то это и будет искомая область устойчивости. Полученная область устойчивости отображена на рисунке 13.
Определим по графику диапазоны значений К и Т2, при которых САР остается устойчивой:
·для фиксированного значения К=102 диапазон значений Т2 может меняться от 0.023 до 0.92, САР при этом будет устойчива.
·для фиксированного значения Т2 =0.16 диапазон значений К может меняться от 0 до 493, САР при этом будет устойчива.
По графику найдем точку максимума области устойчивости: Кmax= 790 при Т2 = 0.057.
На основании полученных графиков можно сделать вывод, что система будет устойчива и работоспособна при отклонении заданных параметров в указанных выше диапазонах. При приближении значений параметров к границам диапазонов система будет находиться на колебательной границе устойчивости.
4ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ НА ВОЗМОЖНОСТЬ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОДНОЧАСТОТНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
С помощью метода гармонической линеаризации исследуем влияние нелинейностей на возможность возникновения одночастотных автоколебаний и их устойчивость в замкнутой автономной САР.
Предположим, что в автономной САР существуют периодические колебания, при которых вход нелинейного безынерционного звена изменяется во времени по закону, близкому к гармоническому с неизвестной амплитудой А= Ап и частотой w=wп. Нелинейное звено заменим на гармонически линеаризованное звено с комплексным коэффициентом передачи J(A). Искомые параметры автоколебательного режима найдем графоаналитическим способом по методу Гольдфарба. В плоскости ЛФХ построим фазовую границу устойчивости (ФГУ).
Для нелинейности «люфт» ФГУ состоит из множества точек, для которых при одинаковых частотах выполняются условия равенства модулей и фаз для W(jw) и для (-J-1(A)). При построении ФГУ будем использовать таблицу 2.
Таблица 2 - Расчетная таблица для всех характеристик нелинейности типа «люфт»
Jн(a)Mн(a)Lmн(a),? н(a),aq(a)q(a)m(a)m(a)дБград.1,0010,00005-0,00127-33,13-785,5757,91-921,0020,00015-0,00254-23,44-392,8751,90-931,0030,00028-0,00380-19,14-261,9748,39-941,0040,00043-0,00505-16,59-196,5245,90-951,0050,00059-0,00630-14,84-157,2543,97-951,0080,00109-0,00941-12,13-104,8940,47-971,0100,00167-0,01248-10,52-78,7138,00-981,0200,00463-0,02448-7,47-39,4432,07-1011,0300,00836-0,03600-6,12-26,3528,64-1031,0400,01266-0,04709-5,32-19,8126,24-1051,0500,01739-0,05774-4,78-15,8824,39-1071,0600,02247-0,06799-4,38-13,2622,90-1081,0750,03062-0,08263-3,94-10,6421,10-1101,1000,04524-0,10523-3,45-8,0218,82-1131,1500,07677-0,14441-2,87-5,4015,73-1181,2000,10955-0,17684-2,53-4,0913,64-1221,2500,14238-0,20372-2,30-3,3012,09-1251,3000,17458-0,22602-2,14-2,7710,89-1281,4000,23576-0,25984-1,92-2,119,10-1321,5000,29179-0,28294-1,77-1,717,82-1361,6000,34252-0,29842-1,66-1,456,85-1391,8000,42941-0,31438-1,52-1,115,48-1442,0000,50000-0,31831-1,42-0,914,54-1482,5000,62647-0,30558-1,29-0,633,14-1543,0000,70821-0,28294-1,22-0,492,35-1584,0000,80450-0,23873-1,14-0,341,52-1635,0000,85762-0,20372-1,10-0,261,10-16710,0000,94796-0,11459-1,04-0,130,40-17320,0000,98131-0,06048-1,02-0,060,15-17640,0000,99334-0,03104-1,01-0,030,05-178
Произвольно выбирая значение относительной амплитуды гармонического сигнала на входе нелинейного звена, будем отмечать на графике соответствующие ей значения логарифмической амплитудной характеристики и фазовой характеристики ОЭКПП (обратного эквивалентного комплексного коэффициента передачи) нелинейного звена. В результате получим множество точек, формирующих искомую ФГУ. Для нелинейности типа «люфт» ФГУ отмечается штриховкой снизу.
По графику мы видим, что ФГУ и ЛФХ пересекаются. Точка пересечения с ФГУ имеет относительную амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А = a·=1.5·0.02=0.03 дБ и частоту w=7.82 с-1. В точке пересечения с ЛФХ ФГУ переходит из заштрихованной в не заштрихованную область, следовательно, соответствующие автоколебания устойчивы.
Для нелинейности «ограничение» ФГУ имеет вид отрезка прямой, совпадающей с критическим уровнем -p в диапазоне частот до частоты среза, т.е. в диапазоне положительности ЛАХ линейной части. Пересечений ЛФХ с ФГУ нет, следовательно, одночастотные периодические колебания в контуре САР отсутствуют.
Для САР с люфтом результат проведенного исследования проверим моделированием в среде VisSim. Воспользуемся упрощенной моделью в виде структуры с единичной отрицательной обратной связью. В прямой цепи этой структуры последовательно включены: 1) безынерционное нелинейное звено типа «зона нечувствительности» (величина зоны равна 2D) и 2) интегратор с достаточно большим ( равным 1000) значением коэффициента передачи. Из графика мы можем определить амплитуду гармонического сигнала на входе нелинейного звена А=0.04 дБ, следовательно, погрешность вычислений, приведенных выше, составляет 1%.
В результате моделирования можно сделать вывод, что при нулевых внешних воздействиях в системе существуют периодические колебания. При учете нелинейности типа «люфт» с интегратором с достаточно большим значением коэффициента передачи эти автоколебания устойчивы относительно нуля.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполненной работы было осуществлено исследование исходной системы, выбор параметров корректирующего устройства, проверка выбранных параметров и корректировка системы в соответствии с заданными требованиями.
Работа содержит достаточно информативные графики и рисунки, которые совместно с текстовым пояснением и формулами помогают легко разобраться в сути данного исследования.
В ходе корректировки удалось достичь заметного улучшения САР. Скорректированная и оптимизированная САР была исследована на качество и устойчивость и показала неплохие результаты, то есть цель коррекции и оптимизации была выполнена.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1 Зырянов, Г.В. Динамический синтез САУ: Учебное пособие по выполнению курсовой работы/ Г.В.Зырянов, А.А Кощеев. - Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2001.
Бесекерский, В.А.Теория автоматического управления/ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. - Спб.: Профессия, 2003.
Больше работ по теме:
Предмет: Информатика, ВТ, телекоммуникации
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ