Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя
Министерство образования Российской Федерации
Национальный минерально-сырьевой университет "Горный"
Кафедра информатики и компьютерных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине Информатика
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Тема работы: Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя
Автор: студент гр Морозов А.В.
Проверил: ассистент /Кротова С.Ю./
Санкт-Петербург 2012
Аннотация
Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы на тему "Разработка программы для решения систем линейных алгебраических уравнений методом Зейделя". В ней рассмотрены вопросы об оформлении решения систем уравнений на языке Visual Basic for Application.
Страниц ___.
Оглавление
Введение
Теория метода
Вычислительная схема метода Зейделя
Разработка программы на языке VBA
Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel
Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad
Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab
Заключение
Библиографический список
Введение
Система m линейных уравнений с n неизвестными имеет сл. вид:
, где
корни СЛАУ;
коэффициенты системы;
свободные члены.
Если число m уравнений равно числу n неизвестных, то такая система называется квадратной. В данной работе рассматривается решение квадратных систем.
В матричном виде квадратная СЛАУ выглядит следующим образом:
или , где
А - матрица коэффициентов системы;
х - столбец неизвестных;
b - столбец свободных членов.
Для матрицы А существует невырожденная матрица С, если . Тогда . Если матрица С является обратной для А, т.е. , тогда:
Для решения СЛАУ разработано множество методов. Прямые методы позволяют найти решение за определенное количество шагов. К ним относятся:
1)Метод Гаусса;
2)Метод Гаусса - Жордана;
)Метод Крамера;
)Матричный метод и др.
Итерационные методы позволяют найти решение СЛАУ путем уточнений начальных приближений многократным повторением одинаковых итераций. Число итераций зависит от заданной точности решения.
Наиболее распространенные итерационные методы:
)Метод Якоби (метод простой итерации);
2)Метод Гаусса - Зейделя.
К решению систем линейных уравнений сводятся такие группы задач:
)задачи механики (статические, теплотехнические);
2)задачи из геодезии, связанные с построением карт на основании данных геодезической съемки;
)задачи приближенного решения уравнений, имеющих большое распространение в высшей математике;
)системы линейных уравнений широко используются в области физики и смежных с ней наук: теории относительности, атомной физике, при составлении прогнозов погоды и т.д.
Перечисленные задачи не исчерпывают всех случаев использования систем линейных уравнений, но обнаруживают, насколько часто приходится сталкиваться при решении задач математики и естествознания с необходимостью исследовать и точно или приближенно решить систему линейных уравнений.
линейное алгебраическое уравнение программа
Теория метода
Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации.
Пусть дана квадратная система линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, корни которой необходимо найти с заданной точностью :
или
Для решения данной СЛАУ можно применить метод Зейделя, если выполняется условие сходимости для матрицы А. Оно заключается в следующем: модули диагональных элементов строки или столбца матрицы должны быть больше суммы модулей недиагональных элементов этой строки или столбца, т.е.:
Преобразуем матричное выражение к виду , разрешив n-ю строку относительно переменной :
Придадим начальные приближения , значения которых можно рассчитать как: . Посчитаем первые приближения, подставив в систему. Соответственно, на k-м шаге приближения будут рассчитываться как:
В общем виде расчетные формулы выглядят:
Из вычислительной математики известие факт, что для СЛАУ в виде , при условии сходимости матрицы, в процессе итераций получаемые приближения сходятся к корням уравнения при любом начальном приближении, т.е. , где i-й корень СЛАУ. Количество итераций зависит от необходимой точности. Если задана точность , то процесс уточнения неизвестных прекращают, когда выполняется условие критерия близости на k-м шаге:
Вычислительная схема метода Зейделя
Рассмотрим вычислительную схему метода Зейделя на примере системы уравнений задания:
Матрица системы
, вектор-столбец
. Задается точность ()
. Проверяется условие сходимости матрицы:
верно;
верно;
верно.
. Вычисление начальных приближений:
4. Нахождение приближений:
. Критерий близости:
, заданная точность не достигнута.
Дальнейшие итерации выполняются аналогично (таблица 1).
Таблица 1
Результат вычислений методом Зейделя
k00,187-0,169-0,13710,187-0,173-0,0760,00070,00440,06150,061520, 190-0,155-0,0850,00240,01790,00880,017930,189-0,158-0,0830,00100,00270,00140,002740,189-0,158-0,0830,00010,00040,00020,0004
Решение достигается за 4 итерации. Корни СЛАУ:
Разработка программы на языке VBA
1. Блок-схема программы
. Описание подпрограмм
) Имя: VVOD
Назначение: подпрограмма, осуществляющая считывание данных с листа MS Excel.
Вход:
list - лист MS Excel, в котором содержаться исходные данные;
row - номер строки, с которой начинается считывание матрицы;
col - номер столбца, с которого начинается считывание матрицы;
n - число строк матрицы;
m - число столбцов матрицы.
Выход:
М1 () - матрица исходных данных.
2) Имя: PROVERKA
Назначение: осуществляет проверку сходимости матрицы коэффициентов, сообщает результат проверки.
Вход:
list - лист MS Excel, на который выводится результат проверки сходимости;
n - число строк и столбцов матрицы;
М1 () - матрица исходных данных.
Выход: -
3) Имя: ZEIDEL
Назначение: осуществляет решение СЛАУ, выводит процесс вычислений на лист MS Excel.
Вход:
list - лист MS Excel, на который выводится вычисления;
n - число строк и столбцов матрицы;
М1 () - матрица коэффициентов;
М2 () - матрица-столбец.
Выход:
М3 () - матрица, содержащая корни СЛАУ
4) Имя: VIVOD
Назначение: подпрограмма, осуществляющая вывод корней СЛАУ на лист MS Excel
Вход:
list - лист MS Excel, в который выводятся данные;
n - число строк матрицы корней;
М3 () - матрица корней.
Выход: -
3. Листинг подпрограммы
) Основная программа
Sub RESHENIE ()C As Integer = InputBox ("Введите число переменных")
ReDim A (C, C) As Singleb (C, 1) As SingleX (C) As SingleVVOD (1, 2, 1, C, C, A ())VVOD (1, 2, C + 1, C, 1, b ())PROVERKA (1, C, A ())ZEIDEL (1, C, A (), b (), X ())VIVOD (1, C, X ())Sub
) Подпрограмма ввода данных
Sub VVOD (list As Integer, row As Integer, col As Integer, n As Integer, m As Integer, M1 () As Single)i As Integerj As Integeri = 1 To nj = 1 To m(i, j) = Worksheets (list). Cells (row + i - 1, col + j - 1). ValuejiSub
3) Подпрограмма проверки сходимости
Sub PROVERKA (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single)i As Integerj As Integerd As Integersum As Integer(list). Cells (1, n + 3). Value = "Проверка сходимости"= 0i = 1 To n= 0j = 1 To nj <> i Then sum = sum + Abs (M1 (i, j))jAbs (M1 (i, i)) > Abs (sum) Then d = d + 1id = n Then(list). Cells (2, n + 3). Value = "Сходится"(list). Cells (2, n + 3). Value = "Не сходится"IfSub
) Подпрограмма решения СЛАУ методом Зейделя
Sub ZEIDEL (list As Integer, n As Integer, M1 () As Single, M2 () As Single, M3 () As Single)i As Integerj As Integerg As IntegerS As Singlem (n) As SingleX (n) As Singlee As Singlef As Singlev As Single= 0.001= o
'Подсчет начальных приближений. Подготовка таблицы решения
For i = 1 To n(i) = M2 (i, 1) / M1 (i, i)(list). Cells (n + 3, 1). Value = "№"(list). Cells (n + 3,2). Value = Str (g)(list). Cells (n + 4 + i, 1). Value = "X" + Str (i)(list). Cells (2 * n + 5 + i, 1). Value = "раз-ть X" + Str (i)(list). Cells (3 * n + 7, 1). Value = "MAX разность"(list). Cells (n + 4 + i, g + 2). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000i
'Подсчет суммы элементов
For i = 1 To nj = 1 To ni <> j Then S = S + M1 (i, j) * X (j)j
'Нахождение приближений
v = X (i)(i) = (1/M1 (i, i)) * (M2 (i, 1) - S)(list). Cells (n + 4 + i, g + 3). Value = CInt (X (i) * 1000) / 1000= 0(i) = Abs (X (i) - v)(list). Cells (2 * n + 5 + i, g + 3). Value = CInt (m (i) * 10000) / 10000
'Выбор наибольшей разности
f = m (1)
j = 1f < m (j) Then f = m (j)= j + 1Until j > n(list). Cells (3 * n + 7, g + 3). Value = CInt (f * 10000) / 10000i= g + 1(list). Cells (n + 3, g + 2). Value = gUntil f < ei = 1 To n(i) = X (i)iSub
5) Подпрограмма вывода корней СЛАУ
Sub VIVOD (list As Integer, n As Integer, M3 () As Single)i As Integercol As Integer= n + 6(list). Cells (1, col). Value = "Корни СЛАУ"i = 1 To n(list). Cells (1 + i, col). Value = "X" + Str (i)(list). Cells (1 + i, col + 1). Value = CInt (M3 (i) * 1000) / 1000iSub
Результат работы программы
Сначала пользователю необходимо ввести СЛАУ в матричном в виде: выписать матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу свободных членов (рис.1).
Рис.1.
При запуске программы появляется диалоговое окно, в котором предлагается ввести число переменных СЛАУ (рис.2).
Рис.2.
Пользователю необходимо ввести число переменных (равно числу строк СЛАУ), после чего программа выдает на лист MS Excel корни уравнения, а также вычисления, выполняемые в каждой итерации (рис.3).
Самостоятельный ввод пользователем числа переменных делает программу для решения СЛАУ методом Зейделя применимой для любого числа переменных.
Рис.3.
Решение СЛАУ методом Зейделя в MS Excel
Рис.4.
Решение СЛАУ методом Зейделя в MathCad
Проверка сходимости
Начальные приращения
Первая итерация
Вторая итерация
Третья итерация
Четвертая итерация
,
Решение СЛАУ методом Зейделя в MatLab
clc; clear all, close all;
%Исходные данные= [7.77, 0.27, - 0.29;
.15 - 6.22, 1.77;
.05, 4.52, 9.544;];= [1.45, 1.05, - 1.31];= [0 0 0;
0 0];=0.001;
%Начальные приближения=b (1,1) /A (1,1);
x2=b (1,2) /A (2,2);=b (1,3) /A (3,3);=max (abs (x1),abs (x2));=max (m,abs (x3));m<e([x1 x2 x3]);
%Итерацииm>e(1,1) =x1;
X (1,2) =x2;(1,3) =x3;= ( (b (1,1) - A (1,2) *x2-A (1,3) *x3) /A (1,1));= ( (b (1,2) - A (2,1) *x1-A (2,3) *x3) /A (2,2));= ( (b (1,3) - A (3,1) *x1-A (3,2) *x2) /A (3,3));(2,1) = (x1-X (1,1));(2,2) = (x2-X (1,2));(2,3) = (x3-X (1,3));=max (abs (X (2,1)), abs (X (2,2)));=max (m, abs (X (2,3)));;
disp ([x1 x2 x3])
Рис.5.
Заключение
В ходе выполнения работы нами была разработана программа на языке VBA, позволяющая находить корни СЛАУ методом Зейделя. Правильность работы программы была проверена аналогичным методом в редакторе MS Excel и математических пакетах MathCad и MatLab. В результате проверки корни СЛАУ, вычисленные программой, и корни, найденные с помощью вышеуказанных средств, совпали. Разработанная программа применима для решения СЛАУ методом Зейделя с другим числом переменных при условии сходимости матрицы коэффициентов.
Библиографический список
1. Методические указания к курсовой работе Информатика решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами. Санкт-Петербург, 2004г.
. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. Учебн. пособие для ВТУЗов. Изд.4-е, испр. М.: Наука, 1970.
. Зельднер Г.А. Программируем на языке QuickBASIC 4.5 Изд 2-е, исправленное и дополненное, М.: ABF, 1996.
. Хэлворсон М. Эффективная работа с Microsoft Office 2000. СПб, М, Харьков, Минск: Питер, 2001.
Больше работ по теме:
Предмет: Информационное обеспечение, программирование
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ