Разработка модели оптимальной структуры производства продукции на основании критерия максимизации прибыли

 

План


Введение

1. Моделирование производственных процессов

1.1 Модели и их классификация

.2 Моделирование производственных показателей

2. Определение оптимального ассортимента продукции

. Анализ исходной информации

.1 Модель производства продукции

Вывод


Введение


Одним из показателей улучшения экономической деятельности хозяйств является создание моделей ориентированных на минимизацию затрат или на максимизацию доходов от производства и реализации продукции.

На протяжении многолетнего периода на кафедре «Информатики и математического моделирования» решались задачи, связанные с оптимизацией структуры производства. Внедрение ряда разработок в хозяйствах позволили улучшить экономическое состояние предприятий, при условии их реальных ресурсных возможностей.

Целью работы является разработка модели оптимальной структуры производства продукции на основании критерия максимизации прибыли.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1)анализ экономического состояния отрасли на предприятии;

2)определение тенденции развития предприятия;

)построение структуры модели и анализ информации;

)реализация линейной модели.

На основе поставленных задач определена структура курсовой работы, которая состоит из 3 глав.

В первой главе представлены модели, применяемые в производстве, их классификация, возможности и влияние информации на сложность моделей.

Во второй главе Оценено экономическое состояние предприятия. Основное внимание уделено динамике производства продукции.

В последней главе осуществляется выбор вида модели, выявляется ее структура, анализируется исходная информация. В результате построения линейной модели решена задача оптимизации структуры производства с применением критерия максимизации прибыли.

В работе использованы следующие методы: монографический, экономико-статистические и методы математического программирования.

1. Моделирование производственных процессов


.1 Модели и их классификация


Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

В экономике широко применяются экономико-статистические и экономико-математические модели.

Экономико-статистическая модель представляет корреляционное уравнение связи зависимого и нескольких независимых факторов, определяющих количественное значение зависимого фактора.

Корреляционно-регрессионный анализ является одним из значимых методов построения математических моделей в экономике. Его цель определить общий вид математической модели в виде уравнения регрессии, рассчитать статистические оценки неизвестных параметров, входящих в это уравнение, и проверить статистические гипотезы о зависимости функции от ее аргументов.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда.

Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией, количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

В экономико-математической модели параметры обычно даются в виде таблицы чисел, связанных в систему функциональных уравнений различного типа.

Экономико-математические модели подразделяют на детерминистические и стохастические.

К детерминистическим относят модели, в которых результат полностью и однозначно определяется набором независимых переменных. Эти модели строят на основе правил линейной алгебры, они представляют собой системы уравнений, совместно решаемых для получения результатов.

Детерминистические модели подразделяют на балансовые и оптимизационные. Балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования, как правило, характеризуются системой балансовых таблиц, которые обычно имеют форму шахматного баланса и могут быть записаны в виде квадратных матриц.

Наиболее обширный класс моделей, применяющихся на практике, - оптимизационные, которые основаны на методах математического программирования. Оптимизационные модели отличаются от балансовых тем, что целью их построения является не столько описание структуры экономической системы, сколько описание условий ее функционирования. Данные модели предназначены для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления. Примером построения таких моделей в производстве является оптимизационная модель структуры производства продукции, которая направлена на достижение максимальной прибыли при оптимальной структуре производства.

Оптимизационные модели бывают линейные и нелинейные. Линейные оптимизационные модели базируются на теории линейного программирования. Они обладают простой структурой, математический аппарат для их реализации на компьютере хорошо разработан, а результаты моделирования легко интерпретируются традиционными экономическими терминами.

В то же время нередко встречаются условия, когда зависимости между объемами видов деятельности или в целевой функции не линейны.

Стохастические модели описывают случайные процессы, подчиняющиеся законам теории вероятности. В этих моделях либо исходные данные, либо искомый результат выражаются не определенными величинами, а виде некоторой статистической функции распределения этих величин. Изучаемый процесс условно рассматривается как детерминистический, и с моделью математически оперируют как с детерминистической, но в нее входят элементы оценки вероятностей получения результатов.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, другими словами по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.

Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.

Все описанные выше виды моделей применимы к описанию структуры производства продукции. Динамика производства продукции может быть описана с помощью трендовой модели. Трендовые модели позволяют прогнозировать многолетнее развитие отрасли, поскольку ряд показателей производства несет в себе неопределенность, широкое распространение получили стохастические модели.

Наиболее разработанными для моделирования производства продукции являются линейные модели, с помощью которых возможен выбор наилучшего варианта из множества. Кроме того, данный вид модели легко можно обработать на компьютере при использовании программ, разработанных на основе симплекс-метода.


1.2 Моделирование производственных показателей


Оптимизационная задача - это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции. Причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача математически записывается так


U = f (X) ? max; XW, (1)

X = (x1, x2… x n).


где W - область допустимых значений переменных x1, x2, …. x n, (x) - целевая функция.

Для того чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное решение, т.е. указать такое X0 W, при котором f(x0) ³ f(x) для любого XW. В случае поиска минимума f(x0) ? f(x) при любом XW [1].

В результате решения оптимизационной задачи отыскивается такой вариант, который при заданных условиях обеспечивает достижение экстремального значения выбранного показателя, отражающего реализацию поставленной цели. Этот показатель называют критерием оптимальности. Математический критерий оптимальности формируется в виде некоторой целевой функции.

При оптимизации сложных динамических систем, используются многокритериальные задачи, т.е. выбор такого варианта, который был бы относительно одинаково эффективным для ряда наиболее предпочтительных критериев. На практике редко встречаются задачи, когда необходимо одновременно рассматривать более 3 - 4 критериев. Для решения планово-экономических задач обычно достаточно 2 - 3 критериев.

С помощью моделирования экономическую проблему выбора наилучшего варианта удается свести к более или менее соответствующей математической задаче поиска оптимума. Математическая модель оптимизационной задачи включает в себя следующие основные элементы:

1)переменные, или управляемые параметры процесса - набор неизвестных величин, численные значения которых определяются в ходе решения и дают достаточно конкретные и детализированные указания по рациональной организации процесса;

2)ограничения задачи, представляющие собой символическую запись обязательных условий организации данного процесса. Как правило, ограничения имеют вид линейных неравенств или уравнений. Экономический смысл ограничений разнообразен и зависит от содержания задач. Наиболее характерные из ограничений:

)задания по объему производства;

)ограничения на объем используемых ресурсов.

Ограничений первого и второго типов в задаче может быть множество: по каждому виду материалов, топлива, энергии, оборудования, численности работников, финансового ресурса, мощности предприятий и т.д.

При решении экономико-математических задач по планированию и организации производства методами линейного программирования обычно исходят из допущения, что все параметры экономико-математической модели (ресурсы, технико-экономические коэффициенты и коэффициенты целевой функции) являются детерминированными, заранее известными величинами. Это допущение во многих случаях оказывается недостаточно строгим, так как некоторые из параметров задачи могут носить вероятностный (стохастический) характер.

В моделях, описывающих структуру производства продукции, в качестве детерминированных величин принимаются объемы производственных ресурсов хозяйства, а также другие технико-экономические коэффициенты. Оценка детерминированных и стохастических величин производится при помощи статистических методов, наиболее точным из которых является автокорреляционный анализ, определяющий корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда.

Таким образом, при разработке оптимизационной модели, описывающей структуру производства продукции, используются детерминированные и стохастические величины. В результате проведенной оценки этих величин может быть построена модель с усредненными данными или модель на основе тенденций развития производства или стохастическая с множеством вариантов.

Оптимизационные задачи с линейной зависимостью между переменными

Пусть: b i количество ресурса вида i ( i = 1, 2, ..., m ); a i , j норма расхода i -того ресурса на единицу j -того вида продукции; x j количество продукции вида j ( j = 1, 2, ..., n ); c j прибыль (доход) от единицы этой продукции (в задачах на минимум себестоимость продукции).

Тогда ОЗ линейного программирования (ЛП) в общем виде может быть сформулирована и записана следующим образом:

Найти переменные x j ( j = 1, 2, ..., n ), при которых целевая функция


была бы максимальной (минимальной), не нарушая следующих ограничений:



Все три случая можно привести к так называемой канонической форме, введя дополнительные переменные



где k количество дополнительных переменных, и условие неотрицательности искомых переменных: x j ³ 0.

В результате решения задачи находится некий план (программа) работы некоторого предприятия. Отсюда и появилось слово программирование. Слово линейное указывает на линейный характер зависимости как в целевой функции, так и в системе ограничений. Следует еще раз подчеркнуть, что задача обязательно носит экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании максимума или минимума (экстремума) целевой функции.

Симплексный метод решения ОЗЛП

Симплексный метод это вычислительная процедура, основанная на принципе последовательного улучшения решений при переходе от одной базисной точки (базисного решения) к другой. При этом значение целевой функции улучшается.

Базисным решением является одно из допустимых решений, находящихся в вершинах области допустимых значений. Проверяя на оптимальность вершину за вершиной, приходят к искомому оптимуму. На этом принципе основан симплекс - метод.

Симплекс это выпуклый многогранник в n -мерном пространстве с n + 1 вершинами, не лежащими в одной гиперплоскости (гиперплоскость делит пространство на два полупространства).

Доказано, что если оптимальное решение существует, то оно обязательно будет найдено через конечное число итераций (шагов), кроме случаев зацикливания.

Алгоритм симплексного метода состоит из ряда этапов.

Первый этап.

Строится исходная ОМ. Далее исходная матрица условий преобразуется в приведенную каноническую форму, которая среди всех других канонических форм выделяется тем, что:

а) правые части условий (свободные члены b i ) являются величинами неотрицательными;

б) сами условия являются равенствами;

в) матрица условий содержит полную единичную подматрицу.

Если свободные члены отрицательные, то обе части неравенства умножаются на - 1, а знак неравенства меняется на противоположный. Для преобразования неравенств в равенства вводятся дополнительные переменные, которые обычно обозначают объем недоиспользованных ресурсов. В этом их экономический смысл.

Наконец, если после добавления дополнительных переменных матрица условий не содержит полную единичную подматрицу, то вводятся искусственные переменные, которые не имеют никакого экономического смысла. Они вводятся исключительно для того, чтобы получить единичную подматрицу и начать процесс решения задачи при помощи симплексного метода.

В оптимальном решении задачи все искусственные переменные (ИП) должны быть равными нулю. Для этого вводят ИП в целевую функцию задачи с большими отрицательными коэффициентами (- М) при решении задачи на max, и с большими положительными коэффициентами (+ М), когда задача решается на min. В этом случае даже небольшое ненулевое значение ИП будет резко уменьшать (увеличивать) значение целевой функции. Обычно М в 1000 раз должно быть больше, чем значения коэффициентов при основных переменных.

Второй этап.

Строится исходная симплекс-таблица и отыскивается некоторое начальное базисное решение. Множество переменных, образующих единичную подматрицу, принимается за начальное базисное решение. Значения этих переменных равны свободным членам. Все остальные внебазисные переменные равны нулю.

Третий этап.

Проверка базисного решения на оптимальность осуществляется при помощи специальных оценок коэффициентов целевой функции. Если все оценки коэффициентов целевой функции отрицательны или равны нулю, то имеющееся базисное решение оптимальное. Если хотя бы одна оценка коэффициента целевой функции больше нуля, то имеющееся базисное решение не является оптимальным и должно быть улучшено.

Четвертый этап.

Переход к новому базисному решению. Очевидно, что в оптимальный план должна быть введена такая переменная, которая в наибольшей степени увеличивает целевую функцию. При решении задач на максимум прибыли в оптимальный план вводится продукция, производство которой наиболее выгодно. Это определяется по максимальному положительному значению оценки коэффициента целевой функции.

Столбец симплексной таблицы с этим номером на данной итерации называется генеральным столбцом.

Далее, если хотя бы один элемент генерального столбца а ij 0 строго положителен, то отыскивается генеральная строка (в противном случае задача не имеет оптимального решения).

Для отыскания генеральной строки все свободные члены (ресурсы) делятся на соответствующие элементы генерального столбца (норма расхода ресурса на единицу изделия). Из полученных результатов выбирается наименьший. Соответствующая ему строка на данной итерации называется генеральной. Она соответствует ресурсу, который лимитирует производство на данной итерации.

Элемент симплексной таблицы, находящийся на пересечении генеральных столбца и строки, называется генеральным элементом.

Затем все элементы генеральной строки (включая свободный член) делятся на генеральный элемент. В результате этой операции генеральный элемент становится равным единице. Далее необходимо, чтобы все другие элементы генерального столбца стали бы равны нулю, т.е. генеральный столбец должен стать единичным. Все строки (кроме генеральной) преобразуются следующим образом. Полученные элементы новой строки умножаются на соответствующий элемент генерального столбца и полученное произведение вычитается из элементов старой строки. Значения новых базисных переменных получим в соответствующих ячейках столбца свободных членов.

Пятый этап.

Полученное базисное решение проверяется на оптимальность (см. третий этап). Если оно оптимально, то вычисления прекращаются. В противном случае необходимо найти новое базисное решение (четвертый этап) и т.д.

Процесс построения математической модели для решения задачи начинается, как правило, с ответов на следующие вопросы:

Для определения каких величин должна быть построена модель, т.е. как идентифицировать переменные задачи?

Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

В чем состоит цель задачи, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

После ответа на данные вопросы для построения модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Надлежащий анализ вопросов подобного рода и корректная формулировка математической модели являются центральным звеном решения задач линейной (и не только линейной) оптимизации.

Эффективным средством решения задач линейной оптимизации является MS Excel. Входящий в состав данного программного продукта пакет Поиск решения (Solver) позволяет проводить решения задач подобного рода с большим (свыше 200) числом переменных и ограничений.

Отметим, что применительно к задачам оптимизации производственной программы предприятия наиболее типичными задачами линейной оптимизации являются оптимизация дохода, прибыли, себестоимости, номенклатуры производимой продукции, затрат станочного времени и т.п.

Нелинейные модели оптимизации в управлении

В качестве примера можно рассмотреть формирование оптимальной производственной программы предприятия. По критерию затрат учитывается себестоимость единицы продукции, которая уменьшается при увеличении объема выпускаемой продукции, что приводит к нелинейному критерию эффективности. Нелинейные зависимости возникают также в ограничениях задачи при точном учете норм расхода ресурсов на единицу производимой продукции.

Перечислим некоторые наиболее употребительные методы решения задач нелинейной оптимизации (нелинейного программирования):

Оптимизация нелинейной функции с ограничениями на неотрицательность значений переменных (наиболее широко используемыми моделями данного класса являются модели квадратичного программирования, в которых целевая функция является квадратичной функцией переменных ).

Модели выпуклого программирования; в моделях данного класса целевая функция является вогнутой (или выпуклой), а функции-ограничения являются выпуклыми функциями. При данных условиях локальный максимум (или минимум) функции является также глобальным. При решении таких задач используется метод множителей Лагранжа, а также теорема Куна-Таккера.

Сепарабельное программирование. В задачах данного класса целевая функция и функции-ограничения могут быть представлены в виде сумм отдельных компонент. Данные задачи могут быть сведены к задачам линейного программирования.

Дробно-нелинейное программирование. В этих задачах производится максимизация (минимизация) целевой функции вида



Если функции линейны (задача дробно-линейного программирования), то задача сводится к линейной.

Невыпуклое программирование. Задачи данного типа принадлежат к наименее изученным и наиболее сложным задачам нелинейной оптимизации. В данном случае целевая функция и (или) функции-ограничения не выпуклы. Надежных методов решения таких задач в настоящее время не существует.

Мы ограничимся рассмотрением лишь наиболее простых задач нелинейной оптимизации, не требующих использования сложных аналитических выкладок и анализа, - задач, которые могут эффективно решаться на базе табличного процессора Excel.

Задача нелинейной оптимизации в общем случае состоит в отыскании такого вектора неизвестных



который обращал бы в максимум (минимум) функцию


(2.6)


и удовлетворял бы системе ограничений:


, (2.7)


где на некоторые или на все переменные налагается условие неотрицательности.


2. Определение оптимального ассортимента продукции

затраты производственный прибыль

Предприятие изготавливает два вида продукции П1 и П2 , которая поступает в оптовую продажу. Для производства используются два вида сырья и . Максимально возможные запасы сырья в сутки составляют 9 и 13 единиц соответственно. Расход сырья на единицу продукции приведен в таблице.


Таблица 2.1

СырьеРасход сырья на единицу продукцииЗапас сырья, ед.П1П22393213

Маркетинговые исследования показали, что суточный спрос на продукцию П1 не превышает спрос на продукцию П2 более чем на 1 ед. Кроме того, известно, что спрос на продукцию П2 не превышает 2 единиц в сутки.

Оптовые цены единицы продукции равны для П1 3 д.е., для П2- 4 д.е. Какое количество продукции каждого вида должно производить предприятие, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Решение

Очевидно, фирме требуется определить объемы производства каждого вида продукции в тоннах, максимизирующие доход в д.е. от реализации продукции, с учетом ограничений на спрос и расход исходных продуктов. Предположим, что предприятие изготовит единиц продукции П1 и единиц продукции П2. Поскольку производство продукции ограничено имеющимся в распоряжении предприятия сырьем каждого вида и спросом на данную продукцию, а также учитывая, что количество изготовляемых изделий не может быть отрицательным, получим следующую систему ограничений


Доход от реализации продукции (целевая функция) составит



Таким образом, данная простая задача сводится к максимизации целевой функции при учете вышеприведенных ограничений.

Проведем решение задачи в Excel.

Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис 2.1.

Искомые значения переменных будут располагаться в ячейках A10 и B10 соответственно, целевая функция - в ячейке E10.


Рис. 2.1


В ячейки A3, A4 введем левые части функций - ограничений: =2*A10+3*B10 и = 3*A10+2*B10 соответственно. В ячейку C10 введем левую часть третьей функции-ограничения: =A10-B10.

Далее, запускаем пакет Поиск решения (Сервис ® Поиск решения) и устанавливаем целевую и изменяемые ячейки, а также вводим необходимые ограничения (Рис.2.2)


Рис. 2.2 Окно диалога Поиск решения


Поиск решения дает ответ



Пример 2 .Использование мощностей оборудования

Предприятие имеет моделей машин различных мощностей. Задан план по времени и номенклатуре: - время работы каждой машины; продукции - го вида должно быть выпущено не менее единиц.

Необходимо составить такой план работы оборудования, чтобы обеспечить минимальные затраты на производство, если известны производительность каждой - машины по выпуску - го вида продукции и стоимость единицы времени, затрачиваемого -й машиной на выпуск - го вида продукции .

Другими словами, задача для предприятия состоит в следующем: требуется определить время работы - машины по выпуску - го вида продукции , обеспечивающее минимальные затраты на производство при соблюдении ограничений по общему времени работы машин и заданному количеству продукции .

Решение. По условию задачи машины работают заданное время , поэтому данное ограничение можно представить в следующем виде



Ограничение по заданному количеству продукции имеет вид



Задача решается на минимум затрат на производство



В данной постановке задачи предполагается, что количество выпускаемой продукции должно быть, по крайней мере, не менее . В некоторых случаях не допускается превышение плана по номенклатуре; очевидно в этом случае в ограничениях по количеству продукции необходимо использовать знак равенства.

Проведем решение задачи в Excel. Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис 2.3.

В ячейки B7:E7 введем формулы для ограничений по объему выпускаемой продукции


()


в диапазон ячеек F19:F21 - формулы для ограничений по времени работы машин


()


В качестве целевой ячейки выберем H11 и введем в нее формулу минимизируемой функции.

Информационный оптимизация линейный модель


Рис. 2.3. Данные для решения примера 2

С помощью Поиска решения получим следующий ответ:


Таблица 2.2

Время работы XijМашина12341803,9200196,0726250375030100000

Искомое значение минимальных затрат на производство составляет 725,32 д.е.

Следующие два рассматриваемых нами примера относятся к области целочисленной оптимизации.

Пример 3. Оптимизация производственной программы

Автомобилестроительный завод выпускает три модели автомобилей, которые изготавливаются последовательно в трех цехах. Мощность цехов составляет 300, 250 и 200 человеко-дней в декаду. В первом цехе для сборки одного автомобиля первой модели требуется 6 человеко-дней, второй модели 4 и третьей модели - 2 человеко-дня в неделю соответственно. Во втором цехе трудоемкость равна 3, 4 и 5 человеко-дней соответственно, в третьем - по 3 человеко-дня на каждую модель. Прибыль, получаемая от продажи автомобиля каждой модели, составляет соответственно 15, 13 и 10 тыс. д.е. Требуется построить модель оптимального плана и определить оптимальные количества моделей каждого типа, т.е. такие, при которых прибыль завода будет максимальной.

Решение. Пусть - количество выпускаемых автомобилей -й модели в течение декады (). Модель может быть описана следующей целевой функцией и системами ограничений


(2.5)


Введем данные на рабочий лист так, как показано на Рис. 2.4.

Искомые значения переменных будут размещаться в ячейках A10:B10, целевая функция - в ячейке E10.

В ячейки A3:A5 введем левые части функций - ограничений, соответствующих второму, третьему и четвертому соотношению из (2.5).

С помощью Поиска решения получим ответ



Рис. 2.4 Данные для решения примера 3


Пример 4.


План Введение 1. Моделирование производственных процессов 1.1 Модели и их классификация .2 Моделирование производственных показателей 2. Опре

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ