Разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы

 

Содержание


Введение

Глава 1. Элективные курсы в современной школе

Глава 2. Теоретическая часть

2.1 Протекание

.2 Бесконечный кластер при протекании

.3 Конечные кластеры при протекании

.4 Остов перколяционного кластера

2.5 Понятие "Фрактал"

2.6 Геометрические фракталы

.7 Триадное канторовское множество

.8 Алгебраические фракталы

.9 Размерность фракталов

.10 Фрактальная размерность

Глава 3. Разработка элективного курса

3.1 Цели и задачи курса

3.2 Тематический план

.3 Разработка уроков

Заключение

Библиографический список


Введение


В связи с введением в школах профильного обучения особую важность приобретают вопросы углубленного изучения физики, постановки исследовательских экспериментальных работ, применение компьютера для моделирования физических процессов.

Элективные курсы в условиях профильной школы наряду с собственно профильными предметами способствуют созданию необходимой базы для понимания вузовских программ и научной литературы вообще, а также для формирования компетентности учащихся.

Цель курсовой работы: разработка элективного курса "Физические основы теории протекания" для старших классов профильной школы.

Теория протекания широко используется для изучения разных явлений в неупорядоченных системах, которые представляют интерес, как с прикладной, так и с фундаментальной точки зрении.

Одной из областей тесно связанной с теорией протекания является фрактальная геометрия. Фрактальная геометрия способна описать многие из неправильных и фрагментированных форм в окружающем нас мире и породить вполне законченные теории, определив семейство фигур, которые были названы фракталами.

Задачи курсовой работы:

1.изучить литературу по элективным курсам;

2.подобрать материал по теме "Теория протекания";

.составить тематический план уроков;

.разработать уроки;

.проанализировать полученные результаты.


Глава 1. Элективные курсы в современной школе


В концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, утвержденной приказом Министерства образования России от 18.07.02 № 2783, сформулированы цели профильного обучения, среди которых - создание условий для дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ [1]. Для реализации этой цели необходимо использовать модель дифференциации обучения, при которой профильность достигается за счет различных комбинаций следующих учебных курсов:

·базовые общеобразовательные курсы;

·профильные общеобразовательные курсы;

·элективные курсы;

·учебная практика.

Элемент учебного плана - элективные курсы. В зависимости от состава "комплекта" этих курсов может работать та или иная модель организации профильного обучения.

Элективные курсы - обязательные курсы, которые учащиеся выбирают сами из имеющегося в учебном заведении "комплекта" и входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы [1].

Примерное соотношение объемов базовых предметов, профильных и элективных курсов может быть 50%, 30%, 20% от общего числа часов учебного плана [2].

Выбор профильных и элективных курсов на основе базовых общеобразовательных предметов составит индивидуальную образовательную "траекторию" для каждого школьника.

Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента образования и могут выполнять несколько функций:

·дополнять содержание профильного курса;

·развивать содержание одного из базовых курсов;

·удовлетворять разнообразные познавательные интересы школьников, выходящие за рамки выбранного ими профиля.

Элективные курсы могут выполнять еще одну важную функцию - стать "полигоном" для создания и экспериментальной проверки нового поколения учебных материалов [3]. Так как курсы должны соответствовать запросам учащихся, которые их выбирают, появляется возможность на примере учебных пособий для элективных курсов отработать условия реализации мотивационной функции учебника.

Можно условно выделить следующие типы элективных курсов:

I.Предметные курсы, задача которых - углубление и расширение знаний по предметам (в частности, по физике), входящим в базисный учебный план школы.

II.Межпредметные элективные курсы, цель которых - интеграция знаний учащихся о природе. Примерами таких курсов естественно-научного профиля могут быть: "Основы космонавтики", "Элементы астрофизики", " Элементы биофизики" и др.

Элективные курсы по физике можно разделить на несколько групп:

1)Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубленное изучение физики, имеющее как тематическое, так и временное согласование с профильным курсом физики. Выбор такого элективного курса позволит изучить физику на углубленном уровне.

2)Элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы профильного курса физики. Примерами таких курсов могут быть: "Механика", "Строение и свойства вещества", "Физика атома и атомного ядра" и др. Ясно, что в элективных курсах этого типа выбранная тема изучается более глубоко, чем при выборе курса повышенного уровня.

)Элективные спецкурсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу курса физики. Примерами таких курсов могут быть: "Гидро- и аэродинамика", "Уравнения Максвелла" и др.

)Прикладные элективные курсы, цель которых - знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний по физике на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству. Приведем возможные примеры таких курсов: "Физика и компьютер", "Курс прикладной физики с изучением основ механизации производства", "Техника и окружающая среда" и др.

)Элективные спецкурсы изучения физических методов познания природы. Примерами таких курсов могут быть: "Измерения физических величин", "Фундаментальные эксперименты в физической науке", "Физико-техническое моделирование" и др.

)Элективные спецкурсы по истории физики и астрономии.

)Элективные спецкурсы по решению физических задач, в том числе составлению и решению задач на основе физического эксперимента.

К элективным курсам предъявляются особые требования, направленные на активизацию самостоятельной деятельности учащихся, что реально возможно, поскольку эти курсы не связаны рамками образовательных стандартов и какими-либо экзаменационными материалами.

Элективные курсы связаны с приобретением учащимися общеучебных умений (например, с освоением способов анализа информации, приемов конструирования сообщения, способов совместной деятельности, решения проблем и т.д.).

При изучении элективных курсов появляется возможность реализовать современную тенденцию, заключающуюся в том, что усвоение предметного содержания из цели образования превращается в средство такого эмоционального, социального и интеллектуального развития ребенка, которое обеспечивает переход от обучения к самообразованию [1].

Глава 2. Теоретический материал


.1 Протекание


Бродбент и Хаммерсли [4] рассмотрели общую ситуацию, возникающую при случайном распространении жидкости через среду, когда абстрактные термины "жидкость" и "среда" могут быть интерпретированы в соответствии с физическим смыслом задачи. В обычных процессах диффузии случайность есть не что иное, как случайные блуждания частиц жидкости. Примером могут служить нерегулярное тепловое движение молекул в жидкости. Другой пример случайности, "вмороженной" в среду, Хаммерсли назвал протеканием, или перколяционным процессом, поскольку жидкость в среде ведет себя, как вода в перколяторе (кофеварке).

Процессы диффузии, такие, как распространение растворяемого вещества в растворителе или движение электронов в полупроводнике, ныне хорошо поняты.

Диффундирующая частица может достигать любой точки в среде. Иначе обстоит дело в случае протекания. Наиболее характерной особенностью перколяционных процессов является существование порога протекания, ниже которого процесс распространения жидкости ограничен конечной областью среды. В качестве примера Бродбент и Хаммерсли рассмотрели распространение заболевания деревьев [4], при котором те сбрасывают листву и перестают расти, в саду, где деревья посажены в узлах квадратной решетки. Если расстояния между деревьями возрастают настолько, что вероятность заражения соседнего дерева падает ниже критического значения рс, то заболевание по саду не распространяется. Порогом протекания для этой задачи служит вероятность рс = 0,59275 для протекания от узла к узлу квадратной решетки. Другой пример-просачивание воды или радиоактивных отходов в трещины и разломы горной породы. Вопрос заключается в том, останется ли вода локализованной в каком-то объеме или будет распространяться все дальше и дальше. И в этой задаче можно ожидать, что существует критический порог концентрации трещин. Величину порога протекания можно определить с помощью численного моделирования. Аналогичной проблемой, имеющей огромный практический интерес, является распространение воды, вытесняющей нефть в пористых породах. В этом случае распространяющийся фронт жидкости (воды) может запереть нефть в некоторой области ("ловушке"), что приводит, как показали Уилкинсон и Виллемсен [4], к инвазивной перколяции. Случайность, связанная с инвазией (вторжением) вытесняющей жидкости, зависит, помимо прочего, от динамики образования ловушек. Идеи и понятия теории протекания применимы и к распространению и взаимосвязи трещин и разломов в горных породах и в материалах, используемых в технике.

Во многих приложениях не существует резкого различия между перколяционными процессами и диффузией. Важным случаем является диффузия от источника. Возникающий фронт диффузии имеет геометрическую структуру, тесно связанную с фрактальной геометрией протекания. На это впервые обратили внимание Саповал и др. [5].

Задача о протекании допускает очень простое описание и приводит к множеству интереснейших фрактальных структур. Основные понятия теории протекания мы проиллюстрируем на примере двумерного протекания на квадратной решетке.


.2 Бесконечный кластер при протекании


Как растет масса, или число узлов, М(L) наибольшего кластера с увеличением характерного размера L решетки? При р>рс мы ожидаем, что m(L)?pn(p) L2, где правая часть при L?? стремится к Р?(р)L2, а Р?(р) есть просто плотность узлов, принадлежащих перколяционному кластеру. В то же время при р<рс мы ожидаем, что т(L)/L2? 0 при L??, так как Р?(р<рс) = 0. При р=рс можно ожидать, что М(L) будет возрастать почти как L2. Экстенсивные исследования зависимости M(L) от L привели к следующему результату [4]:


(1)


Масса перколяционного кластера составляет при р>рс конечную долю всех узлов. Ниже рс кластер, простирающийся по всей решетке, как правило, не существует. Однако, если М(L) интерпретировать как размер Sмакс наибольшего кластера (см., например, [5]), то оказывается, что М(L) лишь очень слабо, т.е. логарифмически, возрастает с увеличением. На пороге протекания р=рс масса кластера, простирающегося по всей решетке (он является и наибольшим кластером), возрастает с увеличением L по степенному закону LD. Результаты численных экспериментов на квадратной решетке представлены на рис. 1.


Рис. 1. Масса наибольшего кластера как функция линейного размера L квадратной решетки.


Черные кружки соответствуют р=рс=0,593. Сплошная линия-зависимость М(L)=ALD с D=1,89. При р=0,65 (светлые квадраты) кривая, проведенная через экспериментальные точки (штриховая линия), дает D = 2,03. При р = 0,5. т. е. при р < рс, экспериментальные точки (светлые кружки) ложатся на прямую M(L) = А + В In L (показанную пунктиром) [4].

Они показывают, что перколяционный кластер на пороге протекания имеет фрактальную структуру с фрактальной размерностью D. Фрактальный перколяционный кластер на пороге протекания часто называют внутренним перколяционным кластером. Для результатов, представленных на рис. 1, фрактальная размерность D по оценкам имеет значение 1,89 + 0,03. Указанная ошибка имеет статистическую природу и характеризует качество подгонки степенного закона к результатам численного моделирования, представленным на рис. 1. Анализ систематических ошибок - дело тонкое. Когда перколяционный кластер на конечной решетке размером L составляет лишь часть внутреннего перколяционного кластера, то некоторые из узлов, не входящих в перколяционный кластер на решетке размером L, на самом деле принадлежат внутреннему перколяционному кластеру, так как соединены с ним связями, лежащими вне рассматриваемого фрагмента. При р>рс численное моделирование на квадратной решетке приводит к фрактальной размерности d= 2,03 + 0,01 для перколяционного кластеpa. И в этом случае ошибка имеет статистическую природу, a D есть угловой коэффициент прямой, проведенной через точки, полученные с помощью численного моделирования при р=0,65 и представленные на рис. 1. По точкам, соответствующим на этом рисунке наибольшим кластерам, была построена подгоночная прямая М(L) = А + В ln L с В=-426 и А = 327. Она проведена на рис. 1 штриховой линией. Все результаты численных экспериментов, представленные на рис. 1, согласуются с асимптотическим поведением, описываемым соотношением (1).

Сайкес и Эссам [4] показали, что порог протекания от узла к узлу на треугольной решетке равен рс = 1/2 (точный результат). Это позволяет получать результаты для внутренних перколяционных кластеров с очень малой погрешностью, производя численные эксперименты на треугольной решетке. Такие результаты, полученные Штауффером [5] и представленные на рис. 1, позволяют получить для фрактальной размерности D оценку, согласующуюся с точным значением D = 91/48. Как показывают результаты численных экспериментов, это значение возникает в задачах с протеканием от узла к узлу на всех двумерных решетках.

Мы заключаем, что при протекании от узла к узлу на двумерных решетках внутренний перколяционный кластер имеет фрактальную структуру, и с увеличением L масса такого кластера возрастает в среднем как


M(L)~ALD, D = 91/48 = 1,895... .(2)


Среднее берется по многим реализациям внутреннего перколяционного кластера. Амплитуда А есть эффективная амплитуда, вычисленная по значениям амплитуд для кластеров конечных размеров. Степенной закон (2) для массы внутреннего перколяционного кластера выполняется только асимптотически при больших L. При реалистических значениях L это скейлинговое соотношение следует модифицировать, введя в него поправочные члены [5]:


M(L) = ALD + A1L1D +A2L2D+ ... ,(3)


где D>D1>D2. Определить поправочные члены с помощью прямых численных экспериментов довольно трудно. Аарони и др. [6] предложили новый метод трансфер-матрицы, упрощающий решение этой задачи. Как правило, в двумерных задачах D1?D-1 [6].

Заметим, что кривая Мандельброта-Гивена имеет фрактальную размерность D=1,892 и может служить хорошей моделью для перколяционного кластера [4].


2.3 Конечные кластеры при протекании


Величина кластеров при перколяции может варьироваться в широких пределах. Если вероятность занятия узла опускается ниже рс, то размеры кластеров постепенно убывают. Выше рс кластеры различной величины существуют в дырах перколяционного кластера. Число узлов s в кластере и его линейная протяженность имеют характерные распределения. Порог протекания определяется распределением кластеров по величине, которое не имеет характерного масштаба, т.е. должно быть степенным распределением. Чтобы придать этому распределению более точный смысл, введем радиус гирации (гирорадиус) Rg (s) кластера, состоящего из s узлов [4]:


(4)


Радиус гирации есть не что иное, как среднеквадратичный радиус кластера, измеряемый от центра тяжести последнего. Рассмотрим конечный кластер, изображенный на рис. 7. Если мы поместим этот конечный кластер (при р = рс) внутрь клетки со стороной L < 2Rg(s), то он окажется частью внутреннего перколяционного кластера, простирающегося по всей клетке, и, как и прежде, мы получим зависимость MS(L)~ LD. Когда сторона клетки возрастет больше 2Rg, мы увидим края кластера. При достаточно больших L весь кластер окажется внутри клетки со стороной Lg и все сомнения относительно конечности кластера рассеятся, так как масса кластера уже не будет возрастать с увеличением L.


Рис. 2. Конечное состояние кластера на квадратной решетке при рс. Радиус окружности равен радиусу гирации Rg(s) = 51 кластера, содержащего 6700 узлов. Квадрат в центре имеет сторону L= 60. Наименьший квадрат, вмещающий кластер, имеет сторону Ls = 150 [4].


Эти соображения можно резюмировать следующим образом. Если на кластер, состоящий из s узлов, наложить клетку со стороной L, то масса Мg(L), оказавшаяся внутри клетки, определяется соотношением


(5)


Переходная функция f(x) здесь просто стремится к постоянной амплитуде А в соотношении (2) при х = L/Rg(s). Но так как масса MS(L) при х " 1 должна перестать зависеть от L, мы заключаем, что f(x) ~ x-D, поэтому член LP, стоящий перед/в соотношении (5), выпадает. В результате мы получаем следующее [4] соотношение между радиусом тирании и числом узлов в кластере:


(6)


Рис. 3. Зависимость масс кластеров s (числа узлов) от линейных размеров Ls кластеров для квадратной решетки при рс = 0,5927. Диапазоны ошибок указывают одно стандартное отклонение относительно среднего. На врезке показан результат экстраполяции прямой с угловым коэффициентом Dэфф = d ln s/d ln Ls при s??, где D = 1,89 ± 0,01 [4].


Соотношение s ~ Rg(s)D было подтверждено многочисленными численными экспериментами. На рис. 3 показаны результаты, полученные Гроссманом и Аарони [4] относительно зависимости s от Ls, где L - длина стороны наименьшей клетки, вмещающей в себя кластер. Кластеры не имеют характерных размеров, которые не зависели бы от размера самого кластера, и поэтому можно ожидать, что М (L) изменяется по степенному закону как Lf. Это отчетливо видно на рис. 3. На врезке показана экстраполяция "эффективной" фрактальной размерности, вычисленной по части кривой s(Ls) по формуле £эфф = = ? In s/? In Ls. Полученное значение совпадает в пределе больших кластеров с ожидаемым значением фрактальной размерности D = 1,89±0,01?91/48. Размерность Dэфф может быть получена путем подгонки прямой относительно 1/LS. Это свидетельствует о том, что главная поправка D1 в уравнении (3) определяется соотношением Dx = D - 1. Интервалы ошибок указывают на разброс значений параметра s в "окнах" линейного размера Ls. В свою очередь существование этого разброса подчеркивает, что степенной закон s ~ Ls D применим только к средним величинам. Интервалы ошибок имеют фиксированную длину в логарифмической шкале. Это позволяет заключить, что флуктуации значения s при заданном значении Ls определяются соотношением [4]


.(7)


2.4 Остов перколяционного кластера


Мы обсуждаем теорию перколяции, используя образ "жидкости", смачивающей "поры" после ее впрыскивания в каком-либо одном узле. При таком подходе предполагается, что поры пусты и ничто не мешает жидкости заполнить любую пору. Этот процесс можно реализовать на практике, впрыскивая ртуть в пористый материал, из которого предварительно откачан воздух [4].

Рассмотрим поры, образующие решетку и заполненные несжимаемой жидкостью (маслом). Впрыскивается другая жидкость (вода). Она может вытеснить масло только вдоль остова перколяционного кластера. Части перколяционного кластера, связанные с его остовом через единственный узел, называются обособленными ветвями. Чтобы отделить обособленную ветвь от остова, достаточно удалить этот единственный узел, т. е. перерезать одну обособленную связь. Вытесняющая жидкость (вода) не может проникнуть в обособленные ветви, потому что запертому там маслу просто некуда деться.


Рис. 4. Перколяционный кластер и его остов (черный цвет) по результатам моделирования на квадратной решетке размером 147 х 147 при рс - 0,593 [4].


Остов включает все узлы, лежащие на всех возможных траекториях несамопересекающегося случайного блуждания, начинающихся в узле (узлах) впрыскивания и заканчивающихся на границе области. Несамо-пересекающееся случайное блуждание не может привести в обособленную ветвь, потому что иначе для возвращения на остов пришлось бы дважды побывать в том единственном узле, связывающем с ним эту ветвь.

Конкретная реализация перколяционного кластера и его остова показана на рис. 4 для перколяции по узлам квадратной решетки на пороге протекания. Остов связывает узел, находящийся в центре квадратной решетки размером 147 х 147, с узлами на ее границе. Перколирующий кластер содержит 6261 узел, в то время как в остове всего 3341 узел [4].

Изготовили лабораторную модель перколяционного кластера, показанного на рис. 4 [4]. Модель сделана из эпоксидной смолы и имеет цилиндрические поры диаметром 1,1 мм и высотой 0,7 мм. Поры связаны каналами шириной 0,7 мм. Модель заполнялась вязким подкрашенным глицерином. Обычный эксперимент по вытеснению состоял в том, что в центре объема впрыскивался воздух, который вытеснялглицерин, вытекавший из модели. Результаты эксперимента, показанные на рис. 5, очень наглядно иллюстрируют, что вытеснение происходит только вдоль остова.


Рис. 5. а-Воздух, вытесняющий глицерин с большим капиллярным числом в перколяционном кластере, показанном на рис. 7.13; б- численное моделирование вытеснения жидкости в том же перколяционном кластере.


Различными оттенками серого цвета показаны поры, которые воздух занимает в последовательные моменты времени. И в эксперименте, и при численном моделировании число пор, заполненных воздухом, в последовательные моменты времени составляло 30 (черные), 86, 213, и, наконец, 605 (светло-серые) при начале перколяции. Остов показан очень бледным серым цветом. Среди цветных вкладок есть вариант этих рисунков. На рис. 5 приводятся результаты численного моделирования течений в перколяционном кластере, исследованном в лабораторном эксперименте, при высоких капиллярных числах.

Результаты, полученные в лабораторном эксперименте и при численном моделировании, очень хорошо согласуются. И в эксперименте, и в численных результатах совпадают 70-80% узлов, заполненных воздухом на каждом этапе вытеснения. Отдельные реализации численной модели также совпадают друг с другом примерно на 75%. Это согласие говорит о том, что на пороге протекания вытеснение почти полностью определяется геометрическими факторами, потому что численная модель не учитывает такие эффекты, как межфазные напряжения и смачиваемость, которые, как известно, влияют на свойства двухфазных течений в пористых средах.

Вид остова перколяционного кластера зависит от того, как расположено место (или места) впрыскивания и место (места) вытекания. Для примера рассмотрим перколяционный кластер на границе протекания рс, показанный на рис. 1.2,6. Остов, связывающий отдельный узел на левой границе с отдельным же узлом на правой границе, показан на рис. 6, а, а на рис. 6, б изображен остов, связывающий все узлы левой и правой границ.


Рис. 6. Остовы перколяционного кластера на квадратной решетке, показанного на рис. 7.2, б, при критической концентрации рс. а-Остов, связывающий отдельный узел на левой границе решетки размеров 160 х 160 с отдельным узлом на правой границе; б-остов, связывающий все узлы на левой и правой границах [4].


Узлы остова образуют подмножество узлов перколяционного кластера, и каждый узел перколяционного кластера является также частью по меньшей мере одного остова. Поскольку перколяционные кластеры фрактальны и их размерность равна D - 1,89, остовы перколяционных кластеров также фрактальны и их размерность подчиняется неравенству DB < D. Большое число численных моделей (на пороге протекания рс) показали, что масса Мд(1) остова, связывающего границы квадрата со стороной /, равна


(8)


Оценки фрактальной размерности остова заключены в пределах DB ~ 1,62 + 0,02 [5], а недавно была получена оценка DB = 1,61 + 0,02 [4]. Кривая Мандельброта-Гивена может служить разумной моделью остова перколяционного кластера, и ее фрактальная размерность DB = 1,63... достаточно близка к размерности остова.

Процесс вязкого вытеснения в перколяционном кластере выделяет лишь некоторое подмножество узлов остова. Это подмножество зависит от капиллярного числа. Лабораторные эксперименты и численные расчеты [168] показывают, что фрактальная размерность структуры вязких пальцев равна D ~ 1,3 при высоких значениях Са и 1,5 при низких Са.

Изучая различные физические явления, происходящие на фракталах, мы получим в общем различные фрактальные размерности. Это происходит потому, что выбор конкретного физического процесса, происходящего на фоне фрактальной геометрии, по сути дела равнозначен выбору меры этого фрактального множества. Поэтому изучение физических явлений на фрактальных множествах естественным образом приводит к понятию мультифракталов, обсуждавшихся в предыдущей главе. Распределения тока и флуктуации сопротивления фрактальных цепей, состоящих из (нелинейных) сопротивлений, приводят к бесконечным наборам показателей, или мультифракталам (см. [4, 5,7]).

Остовы имеют много геометрических особенностей, которые также фрактальны. Рассмотрим две точки, связанные остовом, который показан на рис. 6,а. Длина кратчайшего пути между этими точками lмин (равная числу узлов, которые необходимо посетить на этом пути) оказывается следующим образом зависящей от размера области l, т. е. евклидова расстояния между точками [7]:


(9)


На изображениях остовов, показанных, например, на рис. 7.15, заметно, что они состоят из "пузырей", соединенных "перемычками" [4]. Перемычки, которые Стэнли [4] называет также красными связями, обладают тем свойством, что если их перерезать, то остов распадается на две части и жидкость больше не может протечь от места впрыскивания до места вытекания. В пузырях связи продублированы и перерезание такой связи, т.е. удаление узла, не прерывает течения. Связи, соединяющие узлы внутри пузырей, Стэнли называет синими связями. Причина такой "раскраски" связана с электрическим аналогом протекания, когда ток течет сквозь перколяционный кластер от одного контактного узла (места впрыскивания) к другому краю кластера, где находится другой узел контакта. Весь ток протекает при этом через перемычки, и они раскаляются докрасна. В пузырях ток имеет возможность растечься по многим связям, и они остаются относительно холодными. Множество, состоящее из красных связей, образует подмножество узлов остова, которое также является фрактальным [4]. Если увеличивается расстояние L между парой узлов на разных концах остова, то число красных связей растет по степенному закону:


(10)


Было показано, что соотношение Dкpacн = 1/v между фрактальной размерностью множества красных связей и показателем v, который определяет особенность корреляционной длины £, при р = рс, точно выполняется и в случае большего числа измерений [4]. Почти вся масса остова сосредоточена в пузырях, так как фрактальная размерность множества красных связей намного меньше размерности остова. Поэтому фрактальная размерность множества узлов, принадлежащих пузырям, равна размерности остова. Кривые Мандельброта-Гивена содержат много тонких (красных) связей. Фрактальная размерность множества таких связей равна 0,63... , что несколько меньше Dкpacн для перколяционного кластера [4].


.5 Понятие "фрактал"


Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему [6].

Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика [6]. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" [5].

Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации [6].


.6 Геометрические фракталы


Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор, в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.


Рис. 7. Построение триадной кривой Кох [5].


Рассмотрим один из таких фрактальных объектов - триадную кривую Кох [5]. Построение кривой начинается с отрезка единичной длины (рис.1) - это 0-е поколение кривой Кох. Далее каждое звено (в нулевом поколении один отрезок) заменяется на образующий элемент, обозначенный на рис. 1 через n=1. В результате такой замены получается следующее поколение кривой Кох. В 1-ом поколении - это кривая из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Для получения 3-го поколения проделываются те же действия - каждое звено заменяется на уменьшенный образующий элемент. Итак, для получения каждого последующего поколения, все звенья предыдущего поколения необходимо заменить уменьшенным образующим элементом. Кривая n-го поколения при любом конечном n называется предфракталом. На рис.1 представлены пять поколений кривой. При n стремящемся к бесконечности кривая Кох становится фрактальным объектом [5].

Для построения снежинки Коха выполним следующие операции (см. рис. 8). Рассмотрим в качестве нулевой итерации равносторонний треугольник.


Рис. 8. Снежинка Коха [6].


Затем каждую из сторон этого треугольника разделим на три равные части, уберем среднюю часть и в середине достроим равносторонний треугольник так, как изображено на рис. 8. На следующем шаге такой же процедуре деления на три равные части и достраивания равностороннего треугольника подвергается каждая из сторон новой фигуры, и так до бесконечности. В результате возникает симметричная, похожая на снежинку, бесконечно изломанная кривая , которая представляет собой самоподобное множество, называемое снежинкой Коха. Отличительной ее особенностью является то, что она, будучи замкнутой, тем не менее нигде себя не пересекает, поскольку достраиваемые треугольники каждый раз достаточно малы и никогда не "сталкиваются" друг с другом [6].

Для получения другого фрактального объекта нужно изменить правила построения. Пусть образующим элементом будут два равных отрезка, соединенных под прямым углом. В нулевом поколении заменим единичный отрезок на этот образующий элемент так, чтобы угол был сверху. Можно сказать, что при такой замене происходит смещение середины звена. При построении следующих поколений выполняется правило: самое первое слева звено заменяется на образующий элемент так, чтобы середина звена смещалась влево от направления движения, а при замене следующих звеньев, направления смещения середин отрезков должны чередоваться. На рис.9 представлены несколько первых поколений и 11-е поколение кривой, построенной по вышеописанному принципу. Предельная фрактальная кривая (при n стремящемся к бесконечности) называется драконом Хартера-Хейтуэя.


Рис. 9. Построение "дракона" Хартера-Хейтуэя [7].


К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

·множество Кантора;

·треугольник Серпиньского;

·коврик Серпиньского;

·кладбище Серпиньского;

·губка Менгера;

·дерево Пифагора.

В машинной графике использование геометрических фракталов необходимо при получении изображений деревьев, кустов, береговой линии. Двухмерные геометрические фракталы используются для создания объемных текстур (рисунка на поверхности объекта) [6, 7].

2.7 Триадное канторовское множество


Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам.

Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале 0<D<1. Как показано на рис. 10, затравкой служит единичный отрезок [0, 1], а образующий элемент делит его на три равные части и отбрасывает открытую среднюю часть, оставляя ее концевые точки. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся подынтервалов и т. д. Такая процедура очень быстро приводит к очень коротким отрезкам. Поскольку наша графика имеет конечное разрешение, мы обнаруживаем, что 6-е поколение отрезков неотличимо от 5-го. После бесконечного числа поколений оставшееся бесконечное множество точек рассеяно по единичному отрезку. Это множество называется канторовской пылью [4].

Вычислим теперь для канторовского множества различные размерности, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с размерности Хаусдорфа-Безиковича, определяемой выражением (2.3). В n-м поколении канторовское множество состоит из N=2n отрезков длиной li = (1/3)n, i=1, 2,...,N. Если попытаться покрыть множество прямолинейными отрезками длины ?=li и расположить их аккуратно, то нам удастся покрыть все отрезки п-го поколения и, следовательно, все точки канторовского множества. Мера, определяемая формулой (2.3), равна величине


(11)

Рис. 10. Построение Триадного канторовского множества. Затравка-единичный отрезок [0,1]. Образующий элемент удаляет среднюю треть. На рисунке показаны первые пять поколений. D = ln2/ln3 = 0,6309.


Эта мера расходится или стремится к нулю при ?? 0, если только мы не выберем d= D = ln2/ln3 = 0,6309. Топологическая размерность канторовского множества определяется величиной DT = 0. Так как DT < D, мы заключаем, что Триадное канторовское множество есть фрактальное множество с фрактальной размерностью


(12)


Описываемое здесь канторовское множество не вполне самопо-добно. Однако мы можем расширить его с помощью процедуры экстраполяции, охватывающей область [0, 3] двумя канторовскими множествами, которые покрывают интервалы [0, 1] и [2, 3]. Повторяя этот процесс неограниченное число раз, мы можем построить самоподобное множество на полупрямой [0, ?]. Если изменить масштаб в r = 1/3 раза, то, чтобы покрыть исходное множество, нам понадобится N - 2 таких множеств. Из определения размерности подобия Ds получаем


(13)


Размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью Триадного канторовского множества.

Формула (13) позволяет тривиальным образом построить канторовское множество с любой заданной размерностью из интервала 0 < D < 1. В качестве примера на рис. 11 показаны два различных построения, которые оба приводят к одной и той же размерности D = 1/2. Внешне два множества "выглядят" по-разному, хотя они оба имеют одну и ту же фрактальную размерность: у них различная лакунарность [4].

Размерность кластера, или размерность массы, мы получим, если рассмотрим экстраполированный вариант канторовского множества. Начнем с "мономеров" длиной R0 и образуем "кластер" из N = 2 мономеров длиной R=3R0, после чего все повторим сначала, приняв димер за новый исходный мономер, и т.д. Кластер из N = 2n мономеров имеет диаметр R = 3n. Следовательно, фрактальная размерность этого кластера, определяемая соотношением (13), равна


(14)


Рис. 11. Два построения канторовского множества с D = 1/2. Вверху: N = 2 и r = 1/4; внизу: N = 3 и r = 1/9.


Размерность кластера совпадает с фрактальной размерностью этого канторовского множества.

Мы заключаем, что для весьма простого Триадного канторовского множества все определенные выше различные размерности совпадают.

2.8 Алгебраические фракталы


Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят - аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.


Рис. 12. Множество Мандельброта [6].

В качестве примера рассмотрим множество Мандельброта (см. рис.10 и рис.11). Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом итеративном выражении [6]:

[i+1] = Z[i] * Z[i] + C(15)


где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области - подмножестве комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в течение достаточно большого количества итераций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).


Рис. 13. Участок границы множества Мандельброта, увеличенный в 200pаз [7].


Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому множеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, которые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки, имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за конечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон) [6].

Примеры алгебраических фракталов:

·множество Мандельброта;

·множество Жюлиа;

·бассейны Ньютона;

·биоморфы.


2.9 Размерность фрактала


В евклидовой геометрии есть понятие размерности: размерность отрезка - единица, размерность круга - два, шара - три (или: прямая - 1, плоскость - 2, ...). Например, если мы будем измерять длину отрезка, то, например, метровых отрезков в нём будет N, полуметровых 2N, дециметровых - 10N и так далее. В данном случае наблюдается прямая пропорциональная зависимость. В случае измерения площади мы уже получим следующие значения: 4N, 100N, то есть здесь зависимость уже квадратичная. Объём трёхмерных фигур пропорционален кубу их линейных размеров [8].

Если попытаться применить эти правила к фрактальным объектам, возникает парадоксальная ситуация - их размерность окажется дробным числом. Так как фрактал состоит из бесконечного числа повторяющихся элементов, невозможно точно измерить его длину. Это означает, что чем более точным инструментом мы будем его измерять, тем большей окажется его длина. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за пределы одномерного пространства, вторгаясь в двумерное. Таким образом, фрактальная размерность кривой Коха будет находиться между 1 и 2.

Самым удивительным оказывается то, что и многие природные объекты обладают как бы дробной размерностью, хотя, строго говоря, для природных объектов такую размерность вычислить невозможно. Правильнее сказать, что в определённых диапазонах наблюдения природные объекты, возникшие в результате долгой диффузии и абсорбции, похожи на фрактальные множества. Например, размерность побережья лежит между 1,01 и 1,6, а кровеносной системы человека - между 2,4 и 2,6 [8].

Дадим теперь общее определение фрактальной размерности. Пусть d - обычная Евклидова размерность пространства, в котором находится наш фрактальный объект. Покроем теперь этот объект целиком d-мерными "шарами" (под "шаром" в зависимости от задачи мы будем понимать также и куб, и квадрат, и просто отрезок прямой) радиуса l. Предположим, что нам потребовалось для этого не менее чем N(l) шаров. Тогда, если при достаточно малых l величина N(l) меняется с l по степенному закону [6]:


,(16)


то D - называется хаусдорфовой или фрактальной размерностью этого объекта.

Формулу (16) можно переписать также в виде


(17)


Это и служит общим определением фрактальной размерности D. В соответствии с ним величина D является локальной характеристикой данного объекта.

Покажем, что это определение дает привычные для нас целочисленные значения размерности для обычных хорошо известных множеств. Так, для множества, состоящего из конечного числа изолированных точек, N, минимальное число d-мерных "шаров", с помощью которых мы можем покрыть это множество, при достаточно малом размере шаров совпадает, очевидно, с количеством точек, т. е. N(l) = N и не зависит от диаметра этих шаров l. Следовательно, согласно формуле (17), фрактальная размерность этого множества D = 0. Она совпадает с обычной Евклидовой размерностью изолированной точки d = 0 (точка - нульмерный объект).

Для отрезка прямой линии длиной L (состоящего из бесконечного числа точек) минимальное число N(l) одномерных отрезков размера l, с помощью которых можно покрыть данный отрезок целиком, равно, очевидно, N(l) = L/l. В этом случае, согласно формуле (17) (или (16)), фрактальная размерность D = 1, т.е. совпадает с Евклидовой размерностью отрезка прямой d = 1. Для области площадью S гладкой двумерной поверхности число необходимых для ее покрытия квадратиков N(l) = S/l2 (при достаточно малых l), поэтому фрактальная размерность гладкой поверхности D = 2. И наконец, для покрытия некоторого конечного объема V необходимо N(l) = V/l3 кубиков с ребром l. Следовательно, фрактальная размерность этого множества D = 3.

Разберем теперь некоторые классические примеры регулярных фракталов, которые обладают свойством идеального самоподобия. Их покрытие можно осуществлять элементами, из которых состоит данный фрактал. В этом случае имеет место упрощенный вариант формулы (17) для определения фрактальной размерности. Пусть на некотором этапе покрытия фрактала нам пришлось использовать, как минимум, N(l) таких элементов характерного размера l, а на другом N(l') элементов размера l'. Тогда величина фрактальной размерности D может быть вычислена по формуле [6]:

(18)


Очевидно, эту формулу можно переписать в виде:


(19)


что является следствием выражения (16).


.10 Фрактальная размерность кластеров


Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича D и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус Ro атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую линию необходимо заменить линейной цепочкой "молекул", или мономеров. Двумерное множество точек мы заменяем плоским набором мономеров, а объем - некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи длиной L=2R равно [1]:


(20)


Для набора мономеров, образующих круглый диск, получаем


(21)

Плотность числа мономеров для плотно упакованных сфер составляет . Выписанные нами соотношения применимы только в пределе при R/Ro " 1, поскольку и периметр круглого диска, и сферическую поверхность шара можно покрыть мономерами только приближенно. Для трех перечисленных только что случаев мы можем указать асимптотическую форму для соотношения между числом частиц и размером "кластера", который оценивается по радиусу R наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя; она имеет вид


, (22)


Величина D в этом соотношении "число частиц-радиус" называется размерностью кластера. Так как масса всех мономеров одинакова, число частиц N часто интерпретируют как массу, - как плотность массы, а размерность кластера называют размерностью массы.

Плотность зависит от того, как упакованы мономеры. Например, если сферы упакованы в объеме случайным образом, то плотность понижается с до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит множители, учитывающие форму кластера. Например, для эллипсоида вращения с отношением полуосей b/а величина для плотной упаковки сфер определяется выражением . В то же время размерность кластера D не зависит от формы кластера или от того, является ли упаковка мономеров упаковкой плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.

Важно сознавать, что размерность D, определяемая соотношением (22), может быть нецелой, т.е. фрактальной. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся снова к триадной кривой Кох. Построение триадной кривой Кох на рис.1 состоит из повторного применения образующего элемента, который разбивает прямолинейные отрезки на более мелкие отрезки. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать каждый предфрактал как некую конструкцию из мономеров: один мономер соответствует одному образующему элементу. Радиус мономера, т. е. образующего элемента, равен , если образующий элемент, как обычно, покрывает единичный отрезок. Сам образующий элемент представляет собой наименьший кластер, или исходное поколение в процессе роста кластера. Первое поколение содержит N = 4 мономеров и имеет радиус R = 3R0. В следующем поколении число мономеров возрастает до N = 42 = 16, а радиус кластера - до R = = 32RO = 9R0. В n-м поколении получаем и . Мы видим, что триадные "кластеры" Кох удовлетворяют соотношению число частиц-радиус (22) вида N = (R/R0)D с размерностью кластера, равной фрактальной размерности D = ln 4/ln 3 триадной кривой Кох. В общем случае мы называем показатель D в соотношении число частиц-радиус фрактальной размерностью кластера.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой одной из особенностей кластера, а именно заполнения им пространства. Заметим, что фрактальная размерность кластера не описывает его форму. Существуют и другие характерные особенности кластера, которые также допускают количественное описание. Например, разветвленность кластера есть мера числа связей, которые нужно перерезать, чтобы изолировать произвольно большую часть кластера [5].


Глава 3. Разработка элективного курса


.1 Цели и задачи курса


Элективные курсы в условиях профильной школы наряду с собственно профильными предметами способствуют созданию необходимой базы для понимания вузовских программ и научной литературы вообще, а также для формирования компетентности учащихся.

В данной работе мы предлагаем программу элективного курса по физическим основам теории протекания для учащихся XI класса физико-математического профиля. Курс рассчитан на 25 ч (14 лекций и 12 семинаров) и может быть проведен, например, за счет школьного компонента учебного плана.

Цели элективного курса: расширить и углубить знания учащихся о процессе научного познания, познакомить учащихся с теорией протекания и методами моделирования задач теории протекания.

Достижение данных целей связано с решением следующих задач:

1.Расширение общеучебных и предметных для физико-математического профиля умений учащихся: измерительных, графических, вычислительных умений, умений систематизировать результаты измерений.

2.Освоение учащимися использования компьютеров для обработки полученных данных и моделирования физических процессов.

Задачи курса:

·развитие культуры исследовательской деятельности у учащихся (постановка задачи, планирование деятельности, знакомство с методами исследования, анализ и оценка полученных результатов);

·формирование навыков разработки и презентации проектов;

·развитие самостоятельности учащихся;

·формирование аналитического и критического мышления учащихся в процессе выполнения исследований.

Основные формы организации знаний: лекции по теории, семинарские и практические занятия.


.2 Тематический план


№ урокаТема урокаТип урокаКоличество часов1ПротеканиеВводное занятие, изучение нового материала12Бесконечный кластер при протеканииИзучение нового материала13Конечный кластер при протеканииИзучение нового материала14Теория протеканияСеминар (доклады и сообщения)15Остов перколяционного кластераКомбинированный16Задачи по Т.протеканияПрактическое занятие17Задача узлов (протекание на одномерной решетке)Практическое занятие18Задача связейПрактическое занятие19Моделирование задачи узлов с помощью ПКПрактическое занятие310Моделирование задачи связей с помощью ПКПрактическое занятие311Понятие "фрактал"Изучение нового материала212Геометрические фракталыИзучение нового материала113Триадное канторовское множествоИзучение нового материала 114ФракталыСеминар (доклады и сообщения)215Алгебраические фракталыИзучение нового материала216Размерность фракталаИзучение нового материала117Фрактальная размерность кластеровИзучение нового материала218Определение фрактальной размерности триадной кривой КохаПрактическое занятие119Заключительный урокОбобщение1

3.3 Разработка уроков


Урок №1 Протекание

Тип урока: Вводное занятие, изучение нового материала.

Цели урока: ученик должен знать, что такое "Теория протекания" и основные понятия этой теории.

Задачи урока:

Образовательные:

- познакомить учащихся с теорией протекания;

раскрыть основные понятия и положения теории протекания.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Теоретический материал к уроку смотреть в 2.1. Протекание.

Урок №2 Бесконечный кластер при протекании

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели урока: ученик должен знать понятие "бесконечный кластер" и его особенности.

Задачи урока:

Образовательные:

- познакомить учащихся с понятием "БК";

раскрыть основные понятия (масса кластера, число узлов, длина решетки и т.д.).

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся;

эстетическое воспитание (просмотр слайдов).

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Теоретический материал к уроку смотреть в 2.2. Бесконечный кластер при протекании.

Урок №3 Конечные кластеры при протекании

Тип урока: Изучение нового материала.

Цели урока: ученик должен знать, что такое "конечный кластер" и его основные характеристики.

Задачи урока:

Образовательные:

- познакомить учащихся с понятием "конечный кластер";

раскрыть основные понятия.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Теоретический материал к уроку смотреть в 2. 3. Конечные кластеры при протекании.

Урок №4 Теория протекания

Тип урока: Семинарское занятие.

Цели урока: ученик должен иметь представления о "Теории протекания"; о научных деятелях, работавших над этой теорией.

Задачи урока:

Образовательные:

-организовать исследовательскую деятельность учащихся;

-познакомить учащихся с историей создания теории протекания.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся;

формировать уважение к выступающим.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

развивать навыки исследовательской деятельности и умение работать с литературой;

развивать навыки выступления перед аудиторией;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Ученики выступают с докладами и сообщениями.

Темы докладов:

1.Порог протекания в сетке 2x2

2.Белое протекание и чёрное протекание

.Покрывающие и включающие решётки

.Что такое метод Монте-Карло

.Мы сажаем фруктовый сад (задача связей)

.Ориентированное протекание.

Урок №6 Задачи по теории протекания

Тип урока: Практическое занятие.

Цели урока: ученик должен уметь решать задачи по теории протекания.

Задачи урока:

Образовательные:

организовать познавательную деятельность учащихся;

- научить решать задачи по теории протекания;

организовать самостоятельную деятельность учащихся.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

формирование умение решения задач;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Возможные задачи [5]:

1. Определим порог протекания как то значение х, при котором возникает протекание сверху вниз, а не слева направо. Изменятся ли при этом результаты отдельных опытов, xc(N), xс? Сетку считать квадратной.

. Тот же вопрос при условии, что порогом протекания названо минимальное значение х, при котором существует протекание и слева направо, и сверху вниз.

. Тот же вопрос при условии, что порогом протекания названо максимальное значение х, при котором отсутствует протекание и слева направо, и сверху вниз.

4. Найдите Р(х) для квадратной решетки, пользуясь условием x<<1.

. Найдите Р(х) для квадратной решетки, не пользуясь условием x<<1.

Урок №8 Задача узлов (протекание на одномерной решетке)

Тип урока: Практическое занятие.

Цели урока: ученик должен знать, что такое задача узлов.

Задачи урока:

Образовательные:

организовать познавательную деятельность учащихся;

- познакомить учащихся с особенностями задачи узлов в теории протекания.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

формирование умение решения задач;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Рассмотрим задачу узлов теории протекания для одномерной решетки. Узлам сопоставляются числа заполнения, равные 0 или 1. В первом случае узел блокирован, во втором - является целым. При таком подходе моделируется одномерное разупорядочение без учета определенного взаимодействия. Два целых узла являются связанными, если они расположены рядом или соединены цепочкой из целых узлов (радиус протекания равен единице). В случае, когда радиус протекания R равен двум, два целых узла являются связанными, если между ними блокированные узлы встречаются только по одному (радиус протекания больше двух определяется аналогичным образом). Протекание есть, если связаны противоположные стороны решетки [9].

Порог протекания - это средняя максимальная доля целых узлов, при которой протекания нет.

Радиус протекания - это величина, показывающая какие соседи могут быть связаны непосредственно.

Кластером называется совокупность связанных целых узлов. Размер или масса кластера - число целых узлов в нем.

Масса кластера определяется по формуле [10]:


(23)


M(N) - масса кластера.

D - Размерность массы кластера.

N - Число узлов решетки.

Пусть у нас есть две одномерные решетки с количеством узлов N и N1, причем N1=N-m, где m - разность количества узлов в решетках, тогда:


(24)


Разделим (23) на (24):



Прологарифмируем (25):

(26)

(27)


Выражаем D из (27):


(28)


Подставляем (29) в (27) и получаем выражение для вычисления D [10]:


(29)

(30)


Урок №14 Фракталы

Тип урока: Семинарское занятие.

Цели урока: ученик должен иметь представления о фракталах.

Задачи урока:

Образовательные:

-организовать исследовательскую деятельность учащихся;

-познакомить учащихся с историей создания теории протекания.

Воспитательные:

формировать мировоззрение учащихся;

формировать уважение к выступающим.

Развивающие:

развивать мышление и кругозор учащихся;

развивать навыки исследовательской деятельности и умение работать с литературой;

развивать навыки выступления перед аудиторией;

формировать умения анализировать и делать выводы.

Ход урока

Ученики выступают с докладами и сообщениями.

Темы докладов:

1.Треугольник Серпинского

2.Коврик Серпиньского

.Губка Менгера

.Дерево Пифагора

5.Множество Мандельброта

6.Множество Жюлиа.


Заключение


Элективные курсы в условиях профильной школы наряду с собственно профильными предметами способствуют созданию необходимой базы для понимания вузовских программ и научной литературы вообще, а также для формирования компетентности учащихся.

Теория протекания широко используется для изучения разных явлений в неупорядоченных системах, которые представляют интерес, как с прикладной, так и с фундаментальной точки зрении.

В результате изучения учебно-методической литературы по теме - теория протекания, мной был отобран необходимый материал и разработан элективный курс на тему "Физические основы теории протекания" для учащихся профильной школы. Курс рассчитан на 25 ч (14 лекций и 12 семинаров). элективный общеобразовательный педагогический школа

Данный элективный курс предполагается апробировать на педагогической практике на пятом курсе.

Ожидаемые образовательные результаты курса:

·умение искать, отбирать и оценивать информацию;

·умение систематизировать знания;

·умение решать исследовательские задачи и анализировать полученные результаты;

·расширение кругозора;

·приобретение опыта презентации и защиты своей работы.

Поставленные цели и задачи считаю выполненными.


Библиографический список:


1.Орлов, В. А. Элективные курсы по физике и их роль в организации профильного и предпрофильного обучения / В. А. Орлов // Журн.

2.Сакович, Л. П. Элективные курсы по физике: региональные аспекты / Л. П. Сакович // Журн. Физика в школе. - 2007. - № 3. - С. 45.

. Белянин, В. А. Изучение радиоактивности (элективный курс) / В. А. Белянин, Г. И. Мамочкина // Журн. Физика в школе. - 2008. - № 2. - С. 40.

.Федер, Е. Фракталы // Перевод с английского Ю. А. Данилова

.Эфрос, А. Л. Физика и геометрия беспорядка // Библиотечка "квант", выпуск 19. М., Изд. "Наука", Гл. редакция физ.- мат. Литературы, 1982. - 270

.Божокин, С. В. Фракталы и мультифракталы / С. В. Божокин

.Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

.Шпигальская Е. О., Удодов В. Н., Потекаев А. И. Критические явления в теории протекания в малых одномерных системах // Тез. докл. IX Российской науч. студ. конф. по физике твердого тела, 12 - 14 мая 2004 г. - Томск, 2004

.Лекции по Основам научных исследований. Удодов В. Н. ХГУ - Абакан

.Шкловский, Б. И. Теория протекания и проводимость сильно неоднородных сред / Шкловский Б. И., Эфрос А. Л // УФН. - 1975. - Т. 117

.Профильное обучение: педагогическая система и управление. Кн. 1 - 2. Методическое пособие./ Под ред. Н.В. Немовой - М: АПКиПРО, 2004.

12.Physics in One Dimension. Ed. J. Bernasconi, T. Schneider - Berlin; Heidelberg; Hew-York: Springer-Verlag // Springer Series in Solid-State Sciences

13.Тарасевич, Ю. Ю. Математическое и компьютерное моделирование. Вводный курс: Учебное пособие. Изд. 3-е, испр. - М.: Едиториал УРСС

.Гильмиярова, С. Г. Технологический подход к разработке и оценке авторских учебных программ в России и Северной Америке.// Школьные технологии. - 2002. - № 2. - С.141 - 145.


Содержание Введение Глава 1. Элективные курсы в современной школе Глава 2. Теоретическая часть 2.1 Протекание .2 Бесконечный кластер при прот

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ