Функции нескольких переменных. Ряды. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения

 
















Контрольная работа №3 (3 семестр)

Темы: Функции нескольких переменных. Ряды Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения


Задача 1.

Задана функция . Найти:

а) наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области Д,

б) вектор - градиент функции в точке А. Область Д и вектор изобразить на чертеже.

.10. ; а) Д: ; б) .

Решение

а) наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области Д .

Построим область Д.



Найдем стационарные точки:


функция ряд интеграл дифференциальный

М(0; 0) - стационарная точка


? = АС - В2 = 2?2 - 02 = 4 > 0


В т. М(0; 0) минимум функции Z. Zmin = 02 + 02 + 4 = 4

Рассмотрим по отдельности три отрезка:


1) АВ: y = 2 + x, -4 ? x ? 0. = x2 + (2 + x)2 + 4 = 2x2 + 4x + 8



В т.x = -1 - min функции

z(-1) = 2?(-1)2 + 4(-1) + 8 = 6


2) ВС: y = 2 - 2x, 0 ? x ? 2. = x2 + (2 - 2x)2 + 4 = 5x2 - 8x + 8



В т.x = 0,8 - min функции

z(0,8) = 5?0,82 - 8?0,8 + 8 = 4,8

3) AC: y = -2, -4 ? x ? 2.


z = x2 + (-2)2 + 4 = x2 + 8


Данная точка уже исследовалась.

Найдем значения функции в граничных точках:


z(A) = z(-2; -4) = (-2)2 + (-4)2 + 4 = 24

z(B) = z(0; 2) = 0 + 22 + 4 = 8

z(C) = z(2; -2) = 22 + (-2)2 + 4 = 12


Таким образом, получим, что наименьшее значение функции z достигается в точке (0; 0) zнаим = 4, а наибольшее значения функции в точке А(-2; -4) zнаиб = 24.

б) вектор - градиент функции в точке А(1; -1).




Задача 2

Исследовать на сходимость данный ряд:


.


Решение

Воспользуемся интегральным признаком Коши:



Так как интеграл расходится, то и ряд тоже расходится.


Задача 3

Найти область сходимости данного ряда.


.10. .


Решение

Общий член ряда

Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера.



Таким образом, при , то есть при -1 < x < 1 исходный ряд сходится абсолютно.

Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.

При х = -1 заданный ряд принимает вид:



Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.

При х = 1 заданный ряд принимает вид:



Ряд расходится как гармонический.

Область сходимости исходного степенного ряда: . Вне этого интервала ряд расходится.

Задача 4

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:


.


Решение



Полагаем y = uv, где u и v - неизвестные функции от х,

Подставим в исходное уравнение



Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в скобке было равно нулю.



Для определения функции u(x) имеем



Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:



Задача 5.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.


,,.


Решение

Находим общее решение Y однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения.



Составим характеристическое уравнение


k2 - 3k + 2 = 0


Общее решение однородного уравнения имеет вид:



Подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения.



Подставим в исходное уравнение.



Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид



Найдем частное решение дифференциального уравнения.

Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С1 и С2.



Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:



Контрольная работа №3 (3 семестр) Темы: Функции нескольких переменных. Ряды Обыкновенные дифферен

Больше работ по теме:

Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии
Контрольная работа
Высшая математика
Контрольная работа
Действия с матрицами
Контрольная работа
Задачи по математике
Контрольная работа
Исчисление функции одного переменного
Контрольная работа

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ