Расчет затрат на проектирование нового вида техники
Задачи о точках с рациональными координатами
Автор Фильчев Э.Г.
Россия
В результате анализа дерева ПТ возникли ряд интересных задач о пифагоровых треугольниках с целочисленными значениями сторон. Решение этих задач может найти практическое использование в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.
Y
М(x, y )
Z y
0 X x
Рис. 1 Точка в прямоугольной системе координат
Считаем, что координаты точки М имеют целочисленные значения.
Задача 1
Имеем массив ПТ с x и y. Известно, что в этом массиве имеются такие ПТ, у которых при одинаковых значениях x имеют место разные пары значений y и z. Требуется определить метод нахождения ПТ с одинаковыми значениями x
Значения X могут быть четными или нечетными. Для четных значений имеем
= 2m2 + 2mn= 2m(m + n ), тогда y = n2 + 2mn = n (n + 2m ) ( 1 )
Для нечетных значений имеем
= n2 + 2mn = n (n + 2m ), тогда y = 2m2 + 2mn = 2m(m + n ) ( 2 )
При z = n2 + 2mn + 2m2 = ( n + m )2 + m2 ( 3 )
. Пусть ( J ) x = 2m2 + 2mn, следовательно ( ? ) x = 2m(m + n ), y = n (n + 2m ).
Рассмотрим ПТ( 4, 3, 5 ). Здесь x = 4 = 2? 1?( 1 + 1 ) ? m = 1, n = 1. Других вариантов, представления в виде двух целых сомножителей, нет. Вывод: Других ПТ с x = 4 нет.
. На втором уровне дерева ПТ находятся три ПТ, а именно ПТ1( 120, 119, 129 ),
ПТ2( 12,5, 13 ), ПТ3( 15, 8, 17 ). Рассмотрим каждый из этих ПТ. Здесь x > y.
.1. J имеем ПТ1( 120, 119, 169 ). Здесь x = 120 = 2? 60 ? = 60, Число 60 имеет следующие варианты в виде двух целочисленных сомножителей 60 = 1?60 = 2? 30 = 3?20 = 4?15 = 5?12 = 6?10. Итого имеем 6 ПТ с x = 120. Определим эти ПТ.
.1.1. J x = 2? 1? 60. По формуле ( 1 ) x = 2m(m + n ) ? m = 1, (m + n ) = 60 ? n = 59. Определим элементы ПТ.
= 2m2 + 2mn = 2 + 2?1?59 = 120, y = n2 + 2mn = 3481 + 118 = 3599,
z = n2 + 2mn + 2m2 = 3599 + 2 = 3601? ПТ1( 120, 3599, 3601 ).
.1.2. Аналогично получим ПТ2( 120, 896, 904), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ),
ПТ5 ( 120, 119, 169 ), ПТ6( 120, 64, 136 ). Здесь имеют место как основные, так и не основные ПТ. Так, например, ПТ2( 120, 896, 904) и ПТ6( 120, 64, 136 ) - это не основные ПТ. Итого, при x = 120 получили 4 ПТ
ПТ1( 120, 3599, 3601 ), ПТ3( 120, 391, 409), ПТ4( 120, 209, 241 ), ПТ5 ( 120, 119, 169 ).
. J x имеет нечетные значения ? x = n2 + 2 mn = n ( n + 2m ). Рассмотрим ПТ( 15, 8, 17 ).
Здесь имеем x = 1? 15 = 3?5
.1 J x = 1? 15 ? n = 1, m = 7. Определим y = 2m2 + 2mn = 98 + 14 = 112 ? z = 113.
.2 J x = 3? 5 ? n = 3, m = 1. Определим y = 2m2 + 2mn = 2 + 6 = 8 ? z = 17
Таким образом при x = 15 имеем ПТ1( 15, 8, 17) и ПТ2( 15, 112, 113).
Задача решена!
Выводы 1. Число ПТ с четным целочисленным значением x равно числу вариантов в виде двух сомножителей.
. Число ПТ с не четным целочисленным значением x равно числу вариантов представления x в виде двух сомножителей.
. В числе полученных ПТ могут иметь место не основные ПТ.
Пример 1. Как элемент основного ПТ, задано x = 93240. Необходимо определить все ПТ с этим значением x.
Решение. 1. Определяем сомножители числа 93240. 93240 faktor ? 23?32?5?7?37
. Заданное число x - четное. Поэтому определяем = 22?32?5?7?37
. Определяем все возможные пары сомножителей числа
? 46620 = 1? 46620 = 2?23310 = 3? 15540 = 4?11655 = 5? 9324 = 6?7770 = 7? 6660 = 9?5180
= 10?4662 = 12?3885 = 14?3330 = 15? 3108 = 18? 2590 = 20? 2331 = 21?2220
= 28?1665 = 30? 1554 = 35?1332 = 36?1285 = 37?1260 = 42? 1110 = 45?1036
= 60? 777 = 63? 740 = 70? 666 = 74? 630 = 84? 555 = 90? 518 = 105? 444 = 111? 420
= 126? 370 = 140? 333 = 148? 315 = 180? 259 = 185? 252 = 210? 222
В результате получили 36 вариантов представления числа = 46620 в виде двух сомножителей, что соответствует утверждению В прямоугольной системе координат имеется 36 пифагоровых треугольников с целочисленными сторонами, при условии, что один из катетов равен числу 93240 .
. Определим эти ПТ. Пусть x = 2m2 + 2mn = 93240 ?
? m = 15, ( m + n ) = 3108 ? n = 3108 - 15 = 3093. Теперь, имея значения m и n , по формулам Системы mn параметров, вычислим значения всех элементов ПТ.
x = 2m2 + 2mn = 93240, y = n2 + 2mn = 30932 + 2?15?3093 = 9659439, z = y + 2mn
? z = 9659439 + 2?152 = 9659889. Получили ПТ(93240, 9659439, 9659889 ).
Аналогично определяются остальные 35 ПТ. Все 36 ПТ представлены в таблице 1.
пифагоров треугольник сомножитель задача
Таблица 1
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
Из данных этой таблицы следует, что если в значениях m и n имеется общий множитель, то ПТ является не основным. Так, например, ПТ ( 93240, 6707776, 6708424 ) - это не основной ПТ. Если разделить каждый из элементов на 8, то получим основной ПТ(11655, 838472, 838553).
Определим в таблице 1 не основные ПТ.
Строка 2 . Здесь имеем m =2, n = 23308, x = 93240, y = 543356096, z = 543356104 .
Запишем числа (x, y, z ) в виде произведения сомножителей ? x = 93240 faktor = 23?32?5?7?37,
y = 543356096 faktor = 26? 31?47?5827, z = 543356104 faktor = 23?3?29881. В этих числах общим множителем имеем 23 = 8. Сократим на 8 каждый из элементов, тогда получим основной ПТ,
ПТ ( 11655, 67919512, 67919513 ). Из данных таблицы 1 следует, что при x = 93240 имеется 17 основных ПТ и 19 не основных ПТ. Значения m, записанные в виде кортежа, для основных ПТ имеют вид ( 1, 4, 5, 7, 9, 20, 28, 35, 37, 45, 60, 63, 111,140, 148, 180,185 ).
Задача 1 Задано значение четное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x .
Данная задача в методическом представлении может иметь два варианта:
указать методику определения всех ПТ
при заданном четном числе x, определить все ПТ при разделении полученных данных на основные и не основные ПТ.
Задача 2
Задано значение нечетное значение x, как элемент основного пифагорова треугольника (ПТ), необходимо определить все ПТ с данным значением x .
В задаче 2 x = n2 + 2mn = n?( n +2m ). Здесь x надо записать в виде двух сомножителей. При этом за n надо принять меньший множитель. Тогда больший множитель будет равен ( n +2m ).
? m = .
Далее методика, определения ПТ, как в примере 1.
В заключении можно сделать два утверждения
Утверждение 1 Для четных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = 2m(m + n ). При этом общее число ПТ, как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей .
Утверждение 2 Для нечетных значений x, как элемента исходного ПТ, в соответствии с Системой mn параметров, x = n (n + 2m). При этом общее число ПТ , как основных, так и не основных равно числу вариантов представления исходного числа x в виде двух сомножителей .
Предложенная задача может найти применение в геодезии, в атомных и молекулярных структурах, и в астрономических расчетах.
Больше работ по теме:
Предмет: Эктеория
Тип работы: Курсовая работа (т)
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ