Расчет показателей тесноты связи

 

Контрольная работа

по предмету

«Эконометрика»

Челябинск 2008 г.

1. Расчет показателей тесноты связи между двумя экономическими показателями из статистических данных

Таблица 1. Исходные статистические данные

№п/пКвартал, годЧистая прибыль, млн. долл. СШАARPU, доллары СШАСредний ежемесячный трафик на одного абонентаОбщее число абонентов на конец периода, млн. чел.14 кв, 200285,221,21756,6421 кв, 200380,218,51489,4232 кв, 2003128,518,716211,3443 кв, 2003155,718,815913,8954 кв, 2003152,716,314016,7261 кв, 2004207,814,114719,1972 кв, 2004267,514,116022,7883 кв, 2004338,314,016826,6394 кв, 2004209,111,216434,22101 кв, 2005232,59,113838,69112 кв, 2005303,99,313444,07123 кв, 2005347,48,913050,36134 кв, 2005242,67,312358,19141 кв, 2006184,46,211861,05152 кв, 2006294,77,112864,10163 кв, 2006486,37,813567,59174 кв, 2006280,38,313372,86181 кв, 2007448,68,213474,16192 кв, 2007507,99,215174,67203 кв, 2007654,710,016777,97сумма5608,3238,32914844,54среднее280,4211,92145,742,23

Рисунок 1

Построение описательной экономической модели.

Данная работа будет посвящена анализу связи между количеством абонентов в сети, средней ежемесячной выручкой от продажи услуг в расчете на одного абонента (ARPU) и чистой прибылью оператора связи на конец отчетного периода.

Исходя из сделанного предположения строим эконометрическую модель, которая относится к классу факторных статических моделей:

y=f(x1, x2)

гдеx1 - количество абонентов в сети (объясняющая переменная)

x2 - средняя ежемесячная выручка от продажи услуг в расчете на одного абонента (ARPU) (объясняющая переменная)

y - чистая прибыль (зависимая переменная)

Чтобы убедиться в том, что выбор объясняющих переменных оправдан, оценим связь между признаками количественно, для этого заполним матрицу корреляций:

Таблица 2. Матрица корреляций между исходными статистическими признаками

x1x2yx11-0,970,72x2-0,971-0,71y0,72-0,711

Анализируя матрицу корреляций, можем сделать вывод о наличии сильной положительной связи между количеством абонентов и чистой прибылью оператора. В то же время также существует сильная отрицательная связь ARPU и чистой прибылью.

Для дальнейшего исследования модифицируем модель к виду парной регрессии: y=f(x1).

Для выбора функциональной формы модели проанализируем корреляционное поле:

Рисунок 2. Корреляционное поле (x1 - кол-во абонентов в сети, млн. чел.; y - чистая прибыль оператора

Визуальный анализ показывает, что для построения модели вполне подойдет степенная функция:

Для дальнейшего исследования приведем наше уравнение к линейному виду. То есть:

,

где .

Таким образом, все дальнейшие исследования будем проводить с этим уравнением.

Оценка параметров модели.

Проведем оценку параметров модели при помощи различных способов.

Метод средних.

Предположим, что изменение чистой прибыли обусловлено только изменением количества абонентов (т.е. ?0 = 0). Тогда оценка a1 и a2 неизвестного параметра ?1 и ?2 определится по формулам:

Тогда модель принимает вид: y=4,7985×x1,35881+e.

Метод выбранных точек.

Проанализируем корреляционное поле и выберем точки, которые ближе всех лежат в предполагаемой прямой линии, описывающей модель. Это будут точки 4 кв. 2004 г. (209,1; 34,22) и 2 кв. 2007 г. (507,9; 74,67).

Рассчитаем параметры модели:

уравнение регрессии выглядит следующим образом:

Метод наименьших квадратов.

Для применения этого метода составим вспомогательную таблицу:

Таблица 3

№ п/пКвартал, годЧистая прибыль, млн. долл. США yОбщее число абонентов на конец периода, млн. чел. xx2xy14 кв, 20024,4450011,8931123,5838738,41488521 кв, 20034,3845242,2428355,0303099,83376432 кв, 20034,8559292,4283365,89681611,79182743 кв, 20035,0479312,6311696,9230513,2819654 кв, 20035,0284752,8166067,93326914,16323361 кв, 20045,3365762,9543898,72841415,76632172 кв, 20045,589123,1258839,77114517,47093583 кв, 20045,8239333,28203810,77177319,11436994 кв, 20045,3428133,5328112,4807518,875143101 кв, 20055,448893,65558113,36327219,918859112 кв, 20055,7166993,78577914,33212321,642159123 кв, 20055,8504773,91919715,36010522,929172134 кв, 20055,4914144,06371416,51377122,315536141 кв, 20065,2171074,11169316,90601921,451142152 кв, 20065,6859584,16044417,30929423,65611163 кв, 20066,1868264,2134617,7532526,067944174 кв, 20065,635864,2885418,3915824,16961181 кв, 20076,1061324,30622518,54357426,294378192 кв, 20076,2302854,31307818,60264226,871705203 кв, 20076,4841774,35632418,97755928,247176сумма109,90812770,081213257,172588392,276228среднее5,4954063,50406112,85862919,613811

Составим систему для расчета значений параметров на основе следующей системы уравнений:

Решив эту систему, получаем значения

a1 = 31,766

a2 = 0,5833

Линия регрессии описывается уравнением:

.

Таблица 4. Уравнения регрессий, полученные при помощи разных методов

№п/пМетод расчетаУравнение регрессии1.Метод средних2.Метод выбранных точек3.Метод наименьших квадратов

Покажем на графике различие между полученными линиями регрессии:

Рисунок 3. Линии регрессии, полученные при помощи различных методов

теснота корреляция регрессионный зависимость

2. Определение и графическое изображение регрессионной зависимости между рассматриваемыми показателями по методу выбранных точек и МНК линейная модель и любая на выбор (квадратичная, логарифмическая). Оценка адекватности построенной модели

Проверка качества построенной модели.

Выполним оценку качества поэтапно.

Оценим адекватность модели в целом, для каждой из выбранных моделей. Так как выбранная нами модель является нелинейной, то приведем исследуемые модели к линейному виду.

Таблица 5. Уравнения регрессий, приведенных к линейному виду

№п/пМетод расчетаУравнение регрессии1.Метод средних2.Метод выбранных точек3.Метод наименьших квадратов

Таблица 6. Предварительные расчеты для вычисления дисперсий случайных отклонений

№ п/пx1ye2МСМВТМНКМСМВТМНК11,894,454,14043,47804,56270,09280,93520,013822,244,384,61563,87564,76660,05340,25900,146032,434,864,86764,08664,87480,00010,59190,000442,635,055,14324,31724,99320,00910,53400,003052,825,035,39524,52815,10130,13450,25040,005362,955,345,58244,68475,18170,06040,42490,024073,135,595,81544,87975,28170,05120,50320,094583,285,826,02765,05735,37280,04150,58770,203593,535,346,36845,34255,51911,05180,00000,0311103,665,456,53525,48215,59071,18010,00110,0201113,795,726,71215,63015,66660,99090,00750,0025123,925,856,89345,78185,74451,08770,00470,0112134,065,497,08985,94615,82882,55480,20680,1138144,115,227,15506,00075,85683,75530,61400,4091154,165,697,22126,05615,88522,35700,13700,0397164,216,197,29326,11645,91611,22420,00500,0733174,295,647,39536,20185,95993,09550,32030,1050184,316,117,41936,22195,97021,72440,01340,0185194,316,237,42866,22975,97421,43600,00000,0656204,366,487,48746,27895,99941,00640,04210,2350сум.70,08109,93126,5863106,1953110,046321,90715,43821,6154ср.3,55,56,32935,30985,50231,09540,27190,0808

Примечание:

МС - метод средних

МВТ - метод выбранных точек

МНК - метод наименьших квадратов

На основе таблицы для каждой модели рассчитаем значение дисперсий случайного остатка

,

и значения коэффициента детерминации

.

Результат запишем в таблицу:

Таблица 7. Оценка адекватности моделей парной регрессии

№п/пМетод расчетаДисперсия случайного остатка (s2e)Коэффициент детерминации (R2)1.Метод средних1,2171-2,64552.Метод выбранных точек0,30210,0953.Метод наименьших квадратов0,08970,7312

Как видно из таблицы, наилучшее качество имеет модель, построенная по методу наименьших квадратов.

Следующие этапы оценки качества проведем только для этой модели.

Для нее расчетное значение F-критерия равно:

,

а соответствующее критическое значение - F0,05;1;18 = 4,41. Поскольку расчетное значение больше критического, то модель признается статистически значимой.

Вычислим дисперсии оценок коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся формулами:

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии будут равны:

Оценим статистическую значимость коэффициентов регрессии. Для этого рассчитаем t-статистику для каждого коэффициента:

Сравним с критическими значениями, взятыми из таблицы (#"justify">№п/п? (уровень значимости)1.0,11.73412.0,052.10093.0,012.8784Можно сделать вывод, что коэффициенты регрессии статистически значимы при 1%-м уровне значимости.

Оценим доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при разных уровнях значимости. Для этого воспользуемся формулами

для ?1 -

для ?2 -

Доверительный интервал определяет границы, в которых будет находиться значение теоретического коэффициента регрессии с уровнем значимости ?.

Уровень значимости ? определяется исходя из требуемой точности. Обычно - 0.1, 0.05 или 0.01.

Результат расчета занесем в таблицу:

Таблица 9. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии при различных уровнях значимости

№п/пУровень значимостиКоэффициентДоверительный интервал1.0,1a12,91284,00392.a20,43120,73533.0,05a12,79744,11934.a20,3990,76755.0,01a12,55294,36396.a20,33080,8357

Рассчитаем доверительные интервалы для зависимой переменной. Для этого воспользуемся формулами

для расчета доверительного интервала для среднего значения и

для расчета доверительного интервала для индивидуальных значений. Результаты расчета для 5%-го уровня значимости представлены в таблице и на графиках:

Таблица 10. Доверительные интервалы для зависимой переменной (уровень значимости - 5%)

№п/пxyдоверительный интервалдля среднего значениядля индивидуального значениянижний пределверхний пределнижний пределверхний предел11,894,454,56270,83274,83430,39445,272522,244,384,76661,08374,99120,62295,452032,434,864,87481,21555,07570,74205,549342,635,054,99321,35825,16970,87045,657652,825,035,10131,48655,25770,98605,758362,955,345,18171,58015,32491,07085,834273,135,595,28171,69375,41131,17505,930083,285,825,37281,79355,49371,26866,018793,535,345,51911,94455,63531,41616,1637103,665,455,59072,01395,70911,48726,2359113,795,725,66662,08455,79041,56166,3133123,925,855,74452,15395,87671,63706,3936134,065,495,82882,22635,97281,71766,4815144,115,225,85682,24986,00531,74416,5110154,165,695,88522,27356,03841,77096,5410164,216,195,91612,29916,07481,80006,5738174,295,645,95992,33496,12661,84096,6205184,316,115,97022,34326,13881,85056,6316194,316,235,97422,34656,14361,85426,6358204,366,485,99942,36686,17371,87766,6629сред.3,55,54,85сумм.70,08109,9397,03

Рисунок 4. Доверительные интервалы для среднего и индивидуального значений зависимой переменной. Уровень значимости - 5%

Определение коэффициента детерминации R2.

Коэффициент детерминации R2 достаточно высок (0,73), расчетное значение F-статистики для R2 (48,93) более чем в 10 раза больше критического (4,41), следовательно может использоваться на практике. В то же время существование необъясненной дисперсии предполагает возможность улучшить качество модели путем введения еще одной переменной.

Список литературы

1. В.П. Носко, Эконометрика для начинающих: Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов, Москва 2000. - 240 стр.

. Бархатов В.И. Плетнев Д.А. Эконометрика // Учебно-методическое пособие

Контрольная работа по предмету «Эконометрика»

Больше работ по теме: