Расчет индуктивности и напряжения
Расчёт iL(t) и Uc(t) классическим методом
Исходные данные
Изобразим исходную схему электрической цепи (рис 1.1)
. Рассчитаем ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе до коммутации по схеме электрической цепи, представленной на рис. 1.1 при замкнутом ключе К1.
Так как в цепи включен источник синусоидального напряжения, расчет проводим символическим методом.
Определим реактивное сопротивление индуктивности и емкости.
Определим эквивалентное комплексное сопротивление цепи по отношению к источнику Э.Д.С до коммутации (ключ К1 замкнут).
Комплексная амплитуда тока в ветви с источником до коммутации
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью до коммутации
Мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью до коммутации
Пологая в последнем выражении t = 0 - получим величину тока в индуктивности непосредственно перед коммутацией
Т.к. до коммутации конденсатор закорочен (ключ К1 замкнут),то значение напряжения на конденсаторе до коммутации равно нулю.
Uc(0 -) = 0
На основании законов коммутации запишем независимые начальные условия:
2. Рассчитываем установившийся режим после коммутации для определения принужденных составляющих переходного процесса
Комплексное сопротивление цепи по отношению к источнику в установившемся режиме после коммутации
Комплексная амплитуда тока в ветви с источником в установившемся режиме после коммутации
Комплексная амплитуда тока в ветви с индуктивностью в установившемся режиме после коммутации
Комплексная амплитуда тока в ветви с емкостью в установившемся режиме после коммутации
Комплексная амплитуда напряжения на ёмкости в установившемся режиме после коммутации
Мгновенное значение напряжения на ёмкости в установившемся режиме после коммутации (искомая принужденная составляющая напряжения на ёмкости)
Мгновенное значение тока через индуктивность в установившемся режиме после коммутации (искомая принужденная составляющая тока через индуктивность)
3. Составим и решим характеристическое уравнение цепи
Сопротивление цепи по отношению к источнику в установившемся режиме после коммутации
Характеристическое уравнение цепи получаем из условия Z(p) = 0 или :
Решая характеристическое уравнение получаем корни:
4. Т.к. корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, свободные составляющие переходных процессов по току в индуктивности и напряжению на ёмкости будем искать в виде
где А, , B, - неизвестные постоянные интегрирования
Полный переходной ток в индуктивности равен сумме принужденной и свободной составляющих
Полное переходное напряжение на емкости аналогично определяется :
5. Определим неизвестные постоянные интегрирования
.1. Для определения двух неизвестных постоянных интегрирования А и необходимы два уравнения, первое из которых есть уравнение iL(t), а второе получаем, дифференцируя первое:
Для момента времени t = 0 получаем:
Производная тока в индуктивности в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 + послекоммутационной цепи:
Из системы уравнений определяем
Тогда уравнения для постоянных интегрирования окончательно имеют вид:
Постоянные интегрирования определяются из данной системы и равны:
.2. Постоянные интегрирования В и определяем аналогично
Одно уравнение для переходного напряжения на емкости мы уже имеем:
Второе уравнение для определения В и получаем дифференцируя уравнение uc(t)
Для момента времени t = 0 получаем:
Производная напряжения на емкости в момент коммутации относится к зависимым начальным условиям. Для определения производной напряжения на емкости воспользуемся системой уравнений по законам Кирхгофа для момента времени t = 0 + составленной выше.
Тогда система уравнений для постоянных интегрирования В и окончательно имеет вид :
Из системы уравнений находим постоянные интегрирования, которые равны :
. Таким образом, законы изменения тока через индуктивность и напряжения на емкости имеют вид :
. Построение графиков.
Т.к. переходные процессы затухают, как правило, за время (3...5)t , где t - постоянная времени цепи, то ?графики зависимостей iL(t) и uC(t) строим в диапазоне значений времени t от 0 до 5t.
Постоянная времени определяется :
Графики переходных процессов по току в индуктивности iL(t) и напряжению на емкости uс(t) представлены на рис.1.2 и 1.3 соответственно.
Операторный метод
Схема электрической цепи до коммутации показана на рис.2.1.
До коммутации для постоянного тока индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а емкость бесконечно большим, поэтому эти элементы соответственно будут изображаться на схеме цепи до коммутации как короткое замыкание и обрыв. Представим схему цепи до коммутации (рис.2.2).
Ток в цепи индуктивности до коммутации равен
Напряжение на емкости до коммутации
Согласно законам коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости в момент коммутации не могут изменяться скачком. Следовательно :
Составляем операторную схему замещения цепи для послекоммутационного состояния (рис.2.3)
Для схемы рис.2.3 составим и решим систему уравнений по методу контурных токов в операторной форме
Решая полученную систему с помощью определителей, получим :
Подставив числовые значения получим выражения для контурных токов:
Операторный ток через индуктивность iL(p) равен :
Для перехода от операторного изображения тока к оригиналу воспользуемся теоремой разложения. Представим iL(p) = M(p) / где :
Решим характеристическое уравнение N(p) = 0, т.е:
решив уравнение получаем два корня
При этом ток в индуктивности iL(t) в соответствии с теоремой разложения и учетом того , что корни комплексно сопряженные запишется в виде:
Окончательно выражение для тока в индуктивности iL(t) имеет вид :
Выражение для операторного напряжения на емкости имеет вид
ток индуктивность электрический напряжение
Переходное напряжение на емкости вычислим используя свойство линейности преобразования Лапласа
Изображению U1(p) в области оригиналов будет соответствовать константа:
Оригинал u2(t) определим используя теорему разложения. Представим выражение U2(p) = M(p) / N(p) и решим при этом характеристическое уравнение N(p) = 0 , которое имеет три корня:
Тогда выражение для u2(t) с учетом того, что корни p2 и p3 комплексно сопряженные имеет вид :
Отсюда получаем выражение для u2(t)
Тогда с учетом того, что u(t) = u1(t) + u2(t) получаем выражение для переходного напряжения на емкости u(t) :
Т.к. переходные процессы затухают, как правило, за время (3...5)t , где t - постоянная времени цепи, то ?графики зависимостей iL(t) и uс(t) строим в диапазоне значений времени t от 0 до 5t.
Постоянная времени определяется:
Графики переходных процессов по току в индуктивности iL(t) и напряжению на емкости uс(t) представлены на рис.2.4 и 2.5 соответственно.
Больше работ по теме:
Предмет: Физика
Тип работы: Контрольная работа
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ