Расчет и исследование динамики автоматической системы регулирования

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра АТПП

Курсовая работа по теории автоматического управления по теме:

«Расчет и исследование динамики автоматической системы регулирования»

Казань 2012

Содержание

Исходные данные

. Структурная схема системы

. Определение параметров ПФ по каналу регулирования

. Построение АФХ по каналу регулирующего воздействия

. Настройки регуляторов

. Настройки всех регуляторов

. Переходные процессы

. Анализ качества переходных процессов

. Определение эффективной полосы пропускания частот АСР

. Оценка точности аппроксимации

. Определение оптимальных настроек П, И, Пи и ПИД - регуляторов

Вывод

Исходные данные:

Канал регулирующего воздействия (изменение задания регулятору на 50С) - кривая разгона объекта.

Таблица 1

t, мин 00,511,522,5344,555,566,577,50С120120,1120,3120,6121,1121,5122,2123,4123,9124,5124,8125125,2125,3125,3

Канал возмущающего воздействия (изменение расхода продукта на 20 % хода регулирующего органа) - передаточная функция объекта в виде апериодического звена 1-го порядка Т=2,6 мин. , K=0,7

Содержание

1.Описание АСР: функциональная и структурная схема системы, передаточные функции системы по каналам регулирования и возмущения.

2.Определение параметров передаточной функции объекта по каналу регулирования путем обработки экспериментальной переходной функции. Проверка адекватности полученной моделей.

.Построение АФХ объекта по каналам регулирующего и возмущающего воздействия.

.Построение в полости параметров настройки ПИ-регулятора границы области устойчивости и границы области заданного запаса устойчивости по критерию m=0,221.

.Определение оптимальных настроек П. И. ПИ- и ПИД- регуляторов.

.Построение графиков переходных процессов АСР с различными типовыми законами регулирования:

·При ступенчатом воздействии по каналу регулирования;

·При ступенчатом воздействии по каналу возмущения;

7.Анализ качества переходных процессов в системе с разными законами регулирования.

8.Определения эффективной полосы пропускания частот АСР.

1.Структурная схема системы

- передаточная функция по каналу регулирования

- передаточная функция по каналу возмущения

2. Определение параметров ПФ по каналу регулирования

Построение математической модели линейной системы по экспериментальной переходной функции производится в следующем порядке:

1. На основании формы переходной функции и в зависимости от физических свойств исследуемой системы устанавливается вид передаточной функции модели;
2. Определяются значения коэффициентов передаточной функции из условия наилучшего приближения модели и объекта;
3. Производится оценка точности аппроксимации:

Рассмотрим метод площадей:

Рассмотрим функцию h(t), которая получена из экспериментальной переходной функции объекта путем исключения чистого запаздывания t и нормировки. Пусть h(0)=h(0)=0.

При аппроксимации функции h(t) на практике обычно задаются следующими структурами передаточной ф. модели:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Выражение:

обратное передаточной функции можно разложить в ряд по степеням p:

(1.4)

Очевидно, что для модели 1.1: a1=S1; a2=S2; a3=S3;

для модели 1.2: a1=S1; a2=S2; a3=S3;

для модели 1.3: коэффициенты b1 , a1 , … ,bi , ai где i=1,2,3 связаны с коэффициентами Si разложения 1.4 системой уравнений:

a1=b1+S1 ;a3=b1S2+S3 ;(1.5)a2=b1S1+S2 ;0=b1S3+S4 ;

• Для определения Si воспользуемся связью между S и некоторыми функциями от (1-h). Величину L(1-h) можно представить так:

• Отсюда:

• или

• (1.6)
• Разложим функцию e-pt в ряд по степеням pt:

• (1.7)
• Подставив этот ряд в уравнение (1.6), получим с учетом формулы (1.4) выражение:

• Из выражения (1.8) следует, что коэффициенты Si связаны с переходной функцией h(t) соотношением:

• Моментом i-го порядка функции 1-h(t) называется несобственный интеграл вида:

• тогда:
• S1 = M0 ;
• S2 = S1 М0 - M1 = S12 - M1;
• S3 = S2 М0 - S1 M1 + (1/2)* M2 ;
• S4 = S3 М0 - S2 M1 + (1/2)*S1 M2 - (1/6)*M3 ;
• Определив по графику h(t) значения Mi методом численного интегрирования и вычислив из соотношений величины площадей Si , определяют значения коэффициентов передаточной функции.
• Выбор вида передаточной функции модели производится из следующих соображений, если коэффициенты S1 , S2 , S3 положительны, то в зависимости от вида функции h(t) задаются моделью (1.1) или (1.2), если хоть один из коэффициентов S1 , S2 , S3 отрицателен, задаются моделью (1.3).
• В соответствии с выше изложенной методикой определим коэффициенты передаточной функции по программе 1 (KP1.BAS - далее KP1), выбрав шаг дискретизации Dt=0,5 и произведя нормировку в соответствии с формулой:

• получим следующие табличные значения (см. таблицу2 приложения А)
• Путем ввода последних (Dt , h(t) и t) в программу TAU, определим коэффициенты передаточной функции:
• a1=3,18; a2=4,21; a3=3,8
• В соответствии с этим выбираем передаточную функцию вида (1.1) или:

• Заключительным этапом построения математической модели объекта является оценка точности аппроксимации. Обычно принимают, что модель адекватна объекту, если разность между ординатами нормированных переходных функций модели и объекта не превышает 0,05¸0,08. Расчет переходной функции модели, имеющей выше приведенную передаточную функцию производят путем численного интегрирования на ЭВМ, описывающей ее системой дифференциальных уравнений по программе. Результат расчета переходной функции модели на ЭВМ и сравнение ее с эксперименталной показали, что максимальное расхождение между ними составило 0,070. Что лежит в допустимых пределах £ 0,08.
• Расчетная переходная функция модели (см. таблицу3 Приложения А)

3. Построение АФХ по каналу регулирующего воздействия

• Далее определяем :
• M(w)=|W(jw)| и arg W(jw)=j (для m=0)
• и
• M(w)=|W(m, jw)| и arg W(m, jw)=j (для m=0,221)
• По программе 4 путем варьирования частоты w получаем ряд значений модуля и фазы для степеней колебательности m=0 и m=0,221 по которым собственно и строятся АФХ (годографы).
• При m=0,221 получаем расширенную АФХ
• При m=0 - обычную

4. Настройки регуляторов

• Рассматриваемый метод базируется на критерии устойчивости Найквиста, который можно интерпретировать как критерий запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения, если ввести понятие расширенной амплитудно-фазовой характеристики.
• Расширенная амплитудно-фазовая характеристика является частным случаем передаточной функции. Для нее оператор p=-mw±jw, где w - круговая частота; m - степень колебательности (постоянная величина для данной расширенной амплитудно-фазовой характеристики, которая является критерием запаса устойчивости по расположению корней характеристического уравнения замкнутой системы).

• Подобно тому, как обычная АФХ есть отображение на плоскости передаточной функции мнимой оси плоскости комплексного переменного p , расширенная АФХ есть отображение лучей, исходящих из начала координат, в левой полуплоскости под углом arctg m по отношению к положительной и отрицательной полуосям. Эта характеристика может быть получена из передаточной функции подстановкой p=-mw±jw или определена графоаналитическим методом по обычной АФХ.
• Собственно расчет оптимальных настроек регуляторов методом расширенных АФХ:
• Амплитудно-фазовый критерий устойчивости как критерий запаса устойчивости по РАФХ можно сформулировать: Если расширенная АФХ устойчивой или нейтральной разомкнутой системы Wpo(m, jw) при изменении w от 0 до ¥ проходит через точку с координатами (-1; j0) не охватывая ее на более высоких частотах, то корни характеристического уравнения замкнутой системы будут расположены в левой полуплоскости на лучах -mw±jw и внутри сектора, ограниченного этими лучами.
• Аналитически это условие записывают в виде:
• Wpo(m, jw)= W0(m, jw)Wp(m, jw) = -1; (2.1)
• Имея в качестве исходных данных математическую модель объекта, из условия (2.1) можно найти параметры регулятора, обеспечивающего работу системы с заданным запасом устойчивости m=mзад. П-, И-, ПИ-закон регулирования.
• Пусть
• Wpo(m, jw)= W0(m, jw) Wp(m, jw) (2.2)
• где
• W0(m, jw)=U+jV (2.3)
• -амплитудно-фазовая характеристика объекта по каналу регулирующего воздействия.

• -амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора. Подставляя (2.2), (2.3), (2.4) в выражение (2.1), получим:

• или

из уравнения (2.6) получим систему двух уравнений с тремя неизвестными w, Kp , Kp /Ти :

(2.7)

Решая систему (2.7) относительно неизвестных (Kp/Ти) и Kp будем иметь:

АФХ объекта удобно представить в следующей форме:

(2.10)

где А0(m,w) - РАФХ объекта(m,w) - РАЧХ объекта

Из сравнения выражений (2.3) и (2.10) следует, что:

U=A0(m,w) cos F0(m,w) (2.11)= - A0(m,w) sin F0(m,w)

Подставляя эти выражения в формулы (2.8) и (2.9) получим окончательно:

(2.12)

В плоскости параметров настройки ПИ-регулятора (в плоскости с координатами Kp/Ти , Kp) выражения (2.11) и (2.12) описывают параметрическую кривую, которая вместе с прямой (Kp/Ти)=0 ограничивает область заданного запаса устойчивости. Эта область является отображением на плоскости параметров настройки Kp/Ти, Kp сектора в плоскости комплексного переменного p , ограниченного лучами, исходящими из начала координат в левой полуплоскости под углом arctg m. Изменение частоты w, а следовательно, и изменение положения точки на кривой, описываемой уравнениями (2.11) и (2.12), соответствует перемещению пары комплексно сопряженных корней характеристического уравнения по лучам p=- mw ± jw.

Настройки лежащие вне области, ограниченной кривой (2.11), (2.12) и прямой (Kp/Ти)=0, соответствуют корням характеристического уравнения вне сектора, ограниченного лучами p=- mw ± jw , И- и П-регуляторы являются частыми случаями ПИ-регулятора. Настройки их лежат соответственно на оси Kp=0 и (Kp/Ти)=0.

Для И-регулятора из выражения (2.12) следует, что:

С учетом этого получим:

где w* - частота, для которой выполняется условие:

Для П-регулятора из выражения (2.11) следует, что:

Sin F0(m,w)=0, т.е.(m,w)=p

С учетом этого из (2.12) получим:

где w** - частота, для которой выполняется условие:

(m,w**)=p (2.16)

ПИД-регулятор

Для определения параметров настройки ПИД регулятора из условия (2.1), получим формулы следующего вида:

Пространство параметров настройки регуляторов при этом трехмерное. Задаваясь различными значениями параметра KpTпр строят в плоскости Kp, Kp/Ти кривые равной степени колебательности. Определив оптимальные настройки (Kp/Ти)0 и (Kp)0 для каждого значения KpTпр, выбирают лучшую из них.

Оптимальные настроечные параметры регуляторов находятся из условия минимума интегрального квадратичного критерия качества:

Согласно которому определяется wр=1,2w0, соответствующая т. А на кривой m=mзад. П- и И-регуляторы являются частными случаями ПИ-регулятора. Настройку П-регулятора определяют при S0=0, а настройку И-регулятора - при S1=0 на кривой m=mзад.

Оптимальная настройка ПИД регулятора, соответствующая min критерию качества имеет вид:

Для определения настроек ПИД-регулятора, рассчитываем настройку S2 регулятора из условий:

• где

- время изодрома;

- время предварения;

Далее подставив в ту же программу значения S2 строим зависимость S0(S1) и определяем настройки ПИД-регулятора, аналогично тому как мы это делали для ПИ-регулятора.

5. Настройки всех регуляторов:

S0S1S2П-1,044-И0,1--ПИ0,48560,64-ПИД0,48560,64-

• 6. Переходные процессы

автоматический регулятор возмущающий канал

• Системы автоматического регулирования (САР), работающие с замкнутой цепью воздействия в общем виде могут рассматриваться, состоящими из двух взаимно воздействующих частей - объекта регулирования и автоматического регулятора.
• Предположим, что при отсутствии изменения возмущений и изменения управляющих воздействий или спустя некоторое время после прекращения их действия, на время выведшего систему из равновесия, система автоматического регулирования находится в состоянии равновесия, т.е. регулируемый параметр объекта регулирования, имеет в пределах допустимой точности не меняющееся со временем заданное значение. При появлении какого-либо возмущения или изменении управляющего воздействия система регулирования приходит в движение. При этом так называемая устойчивая система при установившихся значениях управляющих и возмущающих воздействий, спустя некоторое время, вновь приходит к установившемуся состоянию равновесия, а неустойчивая система, придя в движение, не приходит к установившемуся состоянию равновесия, а отклонение ее от состояния равновесия будет либо все время увеличиваться, либо непрерывно изменяться в форме постоянных незатухающих колебаний.
• Условие устойчивости системы состоит в том, что абсолютная величина отклонения регулируемого параметра от заданного значения по истечении достаточно большого времени должна стать меньше наперед заданного значения.
• Процесс перехода системы от одного состояния равновесия в другое состояние равновесия называется переходным процессом.
• При этом качество переходного процесса в устойчивой системе при прочих равных условиях будет тем выше, чем быстрее протекает переходный процесс и чем меньше за время его протекания изменяющиеся значения регулируемого параметра отклоняются от тех их постоянных значений, которые соответствуют новому установившемуся состоянию равновесия.
• При рассмотрении характера переходных процессов обычно пользуются безразмерными значениями анализируемых величин. Для этого текущие абсолютные отклонения величин относят к каким-либо постоянным их значениям, характерным для данной системы. Обычно это бывают либо номинальные, либо максимальные значения.
• Передаточная функция системы по каналу регулирования:
• Wp(p) - зависит от выбранного регулятора

(p) - передаточная функция объекта по каналу регулирования

- - передаточная функция объекта по каналу возмущения.

(В данном случае =0)

Передаточная функция системы:

Отсюда переходная функция:

где Wp(p)- передаточная функция регулятора;

Для П-регулятора Wp(p)=Kp=S1;

Для И-регулятора Wp(p)==

Для ПИ-регулятора Wp(p)=

Для ПИД-регулятора Wp(p)=

где KpTд = S2 - настройка дифференциального регулятора.

Передаточная функция системы по каналу возмущения:

• Передаточная функция системы в этом случае:

Здесь - передаточная функция объекта по каналу возмущения:

Переходная функция в этом случае:

Для табуляции значений h(t) и t переходных процессов по каналу регулирования и возмущения используется программа (KP5.BAS - далее KP5).

Исходными данными для этой программы являются:

расчетный коэффициент передачи ;

1. a1, a2, a3 - коэффициенты передаточной функции;
2. K2 - коэффициент передачи передаточной ф-ции объекта по каналу возм.;
3. a4=T;
4. S0, S1, S2 - настройки соответствующих регуляторов;
5. V1 - задающее воздействие;
6. f3 - возмущающее воздействие;
7. n=5 - число уравнений;
8. h - шаг интегрирования;

7. Анализ качества переходных процессов

Переходный процесс в системе является ее реакцией на внешнее воздействие, которое в общем случае может быть сложной функцией времени. чаще всего прямые оценки качества получают по кривой переходной характеристики h(t), т.е. при воздействии единичной ступенчатой функции:

и нулевых начальных условиях.

К прямым оценкам качества относят:

. Время регулирования. tp - минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью:

или

,

где D обычно =0,05hуст или оговаривается дополнительно.

. Перерегулирование d - максимальное отклонение переходной характеристики от установившегося значения выходной величины, выраженное в относительных единицах или процентах:

Обычно d=10¸30, но может и выходить за указанные пределы, это зависит от конкретной системы.

. Коэффициент затухания

8. Определение эффективной полосы пропускания частот АСР

1. Оценка ошибок от помех, обусловленных широкополосными воздействиями;
2. Эквивалентная полоса шумов.

ри широкополосном спектре помехи, при котором в пределах пропускания системы Sf(w)=Sf(0), ошибка от помех с определенным приближением вычисляется по формуле:

где wш - полоса шумов или эффективная полоса пропускания системы.

Полоса шумов аналитически определяется выражением:

,

т.е. равна умноженному на p табличного интеграла I, полиномы числителя и знаменателя подинтегрального выражения которого совпадают с соответствующими полиномами передаточной функции замкнутой системы.

Для приближенных расчетов можно полагать wш=(1,5¸2,5)wс,

где wс - частота среза разомкнутой системы.

9. Оценка точности аппроксимации

0,50012,84E-020,018861,59,32E-020,056620,191802520,11322,50,315133930,20730,451108720,283,50,587518750,41540,713915110,644,50,822688290,7350,909442360,8495,50,972829720,90561,01402880,9436,51,036033940,98171,0429007317,51,039054541

10. Определение оптимальных настроек П, И, Пи и ПИД - регуляторов

S1S00,35-0,291520,3918480,4-9,48E-020,4603690,450,1003055,13E-010,50,290285,40E-010,550,4717430,5346220,60,6412714,86E-010,650,7954453,83E-010,70,9308472,15E-010,751,044057-2,94E-020,81,131656-3,63E-01

И. Регулятор

XY задающееY возмущающее104,34911323,30E-027,34716930,19344919,33388540,505461110,4854350,933180210,9359461,41512810,8301271,89445910,3254582,3343749,57268392,7196468,696527103,0503247,786538113,3337426,898623123,5784716,062836133,7913165,292644143,9767324,592496154,1375223,962606164,275783,401269174,3935532,905665184,4930822,472019194,5767532,095692204,6469081,771392214,7056871,493508224,754931,256448234,7961751,054918244,8306870,8840854254,8595170,739649264,8835540,6178274274,9035540,515322284,920170,4292621294,9339580,3571579304,945390,2968557

Переходный процесс Пи- регулятора

XY задающего Y возмущающего104,34911320,77040067,1197132,4637517,88838444,6314336,57353356,5330173,74320467,521180,476807477,335575-2,05723486,195825-3,06617394,6781-2,419999103,450343-0,6462064112,9916571,343945123,4149552,661439134,4571492,798135145,625141,79453156,4223610,1657162166,554486-1,360561176,031336-2,167349185,133022-1,993913194,267604-1,009437203,7897510,2985563213,8592151,35673224,3937731,751328235,1268631,383651245,7358480,4800471255,98095-0,533499265,796334-1,227101275,300349-1,345179284,728577-0,8951697294,324935-0,1187523304,2399640,6309967314,4776791,046534324,9082270,9886108335,3346740,5274314345,581024-0,1068492355,562968-0,6349573365,313807-0,8488184374,959182-0,690671384,656085-0,262277394,5248590,2327581404,6029930,5831528414,8377140,658098425,1166330,4535029435,3200598,13E-02445,37122-0,2881614455,263829-0,5023376465,057797-0,4877998474,847986-0,2729056484,7215523,39E-02494,7226490,2966819504,8383640,4110872515,0096340,3442717525,1601870,1415768535,229772-9,99E-02545,197514-0,276431555,086707-0,3213906564,950859-0,2290162574,848609-0,0509347584,8189710,1308181594,867110,2407026604,9655160,2402862615,0685730,1405173

Переходный процесс ПИД регулятора

XY задающего Y возмущающего104,34911320,67346537,02473232,3793927,7296544,8103636,31445757,2153743,19951668,768274-0,613139578,928185-3,85397687,662589-5,44631795,461852-4,906422103,151584-2,520576111,5814330,7676364121,3106093,713206132,4075085,231468144,4351914,792041156,6238672,60037168,162377-0,4957541178,498301-3,33415187,535702-4,874442195,659922-4,579124203,584229-2,600229212,079070,29274221,6864983,011016232,5255064,555636244,257954,383892256,2239232,598938267,692689-0,1032825278,13392-2,704559287,408698-4,247565295,811672-4,187632303,952288-2,584112312,522626-6,45E-02322,0401542,420469332,6608723,954695344,1301543,994277355,8862232,559324367,2745490,2134839377,791472-2,156629387,266525-3,67604395,917575-3,803949404,261433-2,525484412,916239-0,3449801422,3710571,912153432,808443,411405444,0442033,617257455,6038882,483802466,9045530,4603176477,472356-1,685994487,114839-3,160437495,985392-3,434645504,518635-2,435332513,263537-0,5607554522,6782291,477162532,9630922,922772543,9928213,2565555,3702142,381048566,5790310,6474826577,177215-1,284695586,95826-2,698029596,021924-3,083145604,730316-2,321844613,568202-0,72162622,9613171,107665633,1206652,485808643,9696592,914845655,1790612,258536666,2943110,7842233676,906144-0,945172686,800528-2,285695696,033091-2,751814704,902338-2,191874713,833879-0,8362854723,2204570,7963504733,2778152,097266743,969212,594216755,0248382,122532766,0467850,8787326776,658802-0,6603712786,644618-1,920095796,024009-2,442174805,040025-2,05113814,064129-0,9124389823,4561730,5364325833,4319061,753744843,9867242,295769854,9024851,978219865,8329530,9382157876,434506-0,4237708886,492851-1,59778895,999079-2,155048905,148183-1,904305914,262381-0,9568262923,6692840,321651933,5809081,451767944,0181342,02003954,8074471,829839965,6494660,9689778976,232319-0,229376986,346991-1,315272995,962051-1,89071005,23112-1,7552221014,431898-0,9753321023,8608310,14627571033,7233041,1878671044,0599871,7670221054,7356511,6808131065,4931480,97650011076,051114-0,07171731086,208329-1,0691291095,916101-1,6489381105,292681-1,6069331114,575761-0,97305451124,0320085,09E-031133,8580090,95864321144,1093691,536371154,6834741,5338611165,3610210,96551921175,8896385,42E-021186,077762-0,85600291195,863894-1,4292251205,336275-1,4618441214,696848-0,9543849

Переходный процесс П- регулятора

XY задающего Y возмущающего104,3491120,993916,9768432,465257,5619543,534016,7127753,673255,5956563,018745,1818272,170835,7187481,725746,7458891,896857,54997102,455197,68563112,965657,21622123,109066,57647132,865616,22111142,468816,329152,2056,74303162,218237,13832172,445397,26528182,697777,09607192,807566,79907202,732046,59166212,556456,59038222,413816,75571232,389666,94832242,476227,03869252,595836,98875262,664816,85843272,648626,7477282,57456,72417292,501696,78586302,47696,87617312,506676,93122322,561046,92243332,600076,86807342,601616,81219352,572066,79115362,53666,81166372,519286,85229382,527716,88288392,551366,88565402,571986,86431412,576866,83738422,565966,82333432,549416,82869442,539016,84618452,540266,86212462,550056,86653472,560396,85884482,564496,8464492,560946,83816502,553546,83862512,547826,84577522,547146,85367532,550956,85708542,55596,85469552,558586,84917562,55776,84472572,554536,84398582,551576,84671592,550696,85046602,552046,85261612,554316,85209

Вывод

Выбираем Пи- регулятор, так как при данном регулировании получаем узад=5, увозм=0, с наименьшим временем регулирования, наименьшей частотой и амплитудой колебаний. При П- и И-регулировании узад=5 и у возм=0 не достигаются.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра АТПП Курсо

Больше работ по теме: