"»нкарнаци€" кватернионов

 

Ђ»нкарнаци€ї кватернионов

 

¬водные замечани€

 ватернион, долгие годы считавшийс€ бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в насто€щее врем€ начинает свое триумфальное шествие по науке (физика, хими€ кристаллов, информатика) и информационно-интерактивным технологи€м.

—воим открытием и названием сам кватернион об€зан ирландскому математику ”.–. √амильтону (1805-1865) [2].

”иль€м –оуан √амильтон был человеком многосторонне развитым. ¬ четырнадцать лет владел дев€тью €зыками, в 19 лет опубликовал в трудах  оролевской »рландской јкадемии работу, посв€щенную геометрической оптике, а в 23 года получил звание королевского астронома »рландии.   1833 г. √амильтон занимал пост директора обсерватории в ƒенсинке и был известен работами по оптике и аналитической механике. ќн предсказал эффект двойной конической рефракции в двуосных кристаллах.

¬ числе других математических задач он 10 лет безуспешно пыталс€ найти описание поворотов трехмерного пространства на основе алгебры трехмерных чисел, пока не увидел, что их описание соответствует другой алгебре не с двум€ мнимыми числами, а с трем€. ќбщепризнанно, что от типа алгебры, которой подчинена та или ина€ природна€ система, завис€т ее геометри€, физические законы сохранени€.

¬ одном из писем к своему сыну ”.–. √амильтон писал: ЂЁто был 16-й день окт€бр€, который случилс€ в понедельник, в день заседани€ —овета  оролевской »рландской јкадемии, где € должен был председательствовать. я направл€лс€ туда с твоей матерью вдоль  оролевского канала; и, хот€ она говорила мне какие-то отдельные фразы, € их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Ќеожиданно как будто бы замкнулс€ электрический контур; блеснула искра, предвещающа€ многие длительные годы определенно направленной мысли и труда, моего - если доведетс€, или труда других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. я оказалс€ не в состо€нии удержатьс€ от желани€ высечь ножом на м€гком камне Ѕрогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. ќднако более прочное упоминание осталось в  ниге записей —овета јкадемии за этот день, где засвидетельствовано, что € попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в ѕонедельник 13-го следующего мес€ца - но€бр€ї.

—тоит упом€нуть, что оригинальное описание движени€ твердого тела с помощью кватерниона дал в 1873 году ”.  лиффорд (1845-1879), а ј.ѕ.  отельникову (1865-1944) в 1895 году удалось истолковать все формулы теории кватернионов, как Ђнеразвернутыеї формулы теории обобщенных, т.н. дуальных кватернионов [3-6]. ѕрименительно к кинематике этот подход устанавливает соотношение между движени€ми тела с одной неподвижной точкой и движени€ми произвольного вида [7].

ѕостановка проблемы

¬ различных разделах математики возникает потребность рассматривать векторные пространства (над данным полем k), в которых кроме действий сложени€ и умножени€ на скал€ры определено еще действие умножени€, сопоставл€ющее каждой упор€доченной паре векторов третий вектор того же пространства - их произведение. ¬ этой ситуации всегда естественно предполагать, что результат умножени€ λy линеен по каждому из множителей при фиксированном втором, то есть:


,


ѕространство с умножением, удовлетвор€ющим такому требованию билинейности, называетс€ алгеброй над полем k.

јлгеброй кватернионов называетс€ алгебра размерности 4 над основным полем, обладающим единицей 1 и имеющим базис 1, i, j, k со следующей таблицей умножени€ [1]:


x i j k

i -1 k j

j - k -1 i

k - j - i -1





»ли в более удобной форме:


†††


ѕри этом основное поле может быть вз€то произвольно.

јлгебра кватернионов над полем R

Ќаиболее интересной €вл€етс€ алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел.

ѕрежде всего, установим ассоциативность алгебры кватернионов. ƒл€ этого следует проверить 27 равенств: по три возможности дл€ каждого из 3-х множителей в равенствах типа (ab) c=а(bc), провер€емых дл€ базисных элементов i, j, k.

»збежать этого можно, установив изоморфизм алгебры кватернионов над †и некоторой алгебры матриц специального вида над C. ≈динице сопоставим единичную матрицу2-го пор€дка, матрицу(здесь i - мнима€ единица, ), матрицу †и матрицу .

ќтсюда следуют равенства: (проверить знак) †††ќни означают, что пространство матриц ≈, I, Y, K образуют алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

Ќа основании ассоциативности умножени€ матриц делаем заключение об ассоциативности алгебры кватернионов.

«аметим, что если за основное поле прин€то поле C комплексных чисел, то алгебра кватернионов над C окажетс€ изоморфной алгебре ћ2(C) всех квадратных матриц 2-го пор€дка над C, ибо матрицы ≈, I, J, K линейно независимы над C и их линейные комбинации заполн€ют всю алгебру ћ2(C).

—в€зь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном эвклидовом пространстве

ѕусть α = а + вi + сj + dk - кватернион. „исло а называетс€ скал€рной частью кватерниона. —умма вi + сj + dk называетс€ векторной частью кватерниона α.  ватернион с нулевой скал€рной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаютс€ как векторы трехмерного эвклидова пространства.

ѕусть †и †- два вектора-кватерниона. ¬ычислим их произведение (в алгебре кватернионов):



«десь †- векторное, а (u1, u2) - скал€рное произведение кватернионов U1 и U2. “аким образом, скал€рной частью кватерниона-произведени€ U1U2 оказываетс€ скал€рное произведение векторов u1 и u2, вз€тое с обратным знаком. ¬екторна€ же часть кватерниона u1u2 равна вектору произведени€ векторов u1, u2. “ем самым операци€ умножени€ векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объедин€ет оба умножени€ векторов - скал€рное и векторное.


ƒалее, можно видеть, что:



ќтсюда,



»з последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение якоби дл€ условных u1, u2, u3:


[u1, u2, u3] + [[u2, u3], u1] + [[u3, u1], u2] = 0.


ƒл€ этого достаточно прин€ть во внимание св€зь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ћи.

јлгебра кватернионов как алгебра с делением

ѕусть дан кватернион α = а + вi + сj + dk = а + u.

 ватернион †= а - вi - сj - dk = а - u, отличающийс€ от α знаком векторной части, называетс€ сопр€женным с кватернионом α. ясно, что .

”множим кватернион α на сопр€женный ему . ѕолучим


α= (а + u) (а - u) = а2 + аu - аu - u2 = a2 + (u, u) - [u, u] = а2 + (u, u) = а2 + в2 + с2 + d2.


ѕоэтому, если α ≠0, то α>0. «аметим еще, что α=α.

„исло †называетс€ модулем (нормой) кватерниона α и обозначаетс€ через модуль . “еперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион α имеет обратный. ƒействительно, , так что обратным кватернионом дл€ кватерниона α €вл€етс€ . “аким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. «аметим, что здесь существенно было использовано то обсто€тельство, что за основное поле прин€то поле R, заключение о неравенстве a2 + b2 + d2 ≠ 0 при α ≠0 было бы неверно, например, дл€ пол€ C или дл€ вычетов по простому модулю.

“ождество Ёйлера

Ќачнем с уникально интересной теоремы.

“еорема. ћодуль произведени€ 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

ƒоказательство.

—начала докажем, что кватернион, сопр€женный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопр€женных кватернионов, вз€тых в обратном пор€дке.

ƒействительно, пусть α = а + u, β = в + v, где а, в †R, u и v - вектор-кватернионы. “огда αβ = аb + аv + вu + vu = ab - (uv) + av + bu + [u, v].

ƒалее, = аb - ub + vu = аb - (u, v) - аv - bu + [v, u] = аb - (u, v) - аv - bu - [u, v] = αβ.

“еперь имеем:


,


откуда , что и требовалось доказать.

–ассмотрим теперь тождество через компоненты кватернионов, положив


α = а1 - b1i - c1j - d1k, β = а2 - в2i - с2j - d2k так, что


αβ=a1a2+b1b2+c1c2-d1d2+(а1b21a21d2+d1c2) i+(а1c2+b1d21a2-d1b2) j+(а1a21c21b2-d1a2) k.


ѕолучим известное тождество Ёйлера:


121212+d12) (а222222+d22)=(а1a2+b1b21c2+d1d2)2+(а1b2-b1a21d2+d1c2)2+(а1c2-b1d21a2-d1b2)2+(а1d2-b1c21b2-d1a2)2,


позвол€ющее выразить произведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений. јналогичные тождества имеют место дл€ сумм двух квадратов (это тождество св€зано с умножением комплексных чисел) и дл€ сумм 8 квадратов. ќказываетс€, что аналогичных тождеств дл€ сумм n квадратов, кроме перечисленных при n = 2,4,8 и тривиального тождества при n = 1, не существует.

¬ращение трехмерного евклидова пространства

ѕусть u, v, w - тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированна€ так же, как тройка i, j, k. “огда согласно правилу умножени€ векторов в алгебре кватернионов получим υ2 = v2 = ω2 = -1. ƒалее, υv = - vυ + [υ, v] = [υ, v] = ω. «десь воспользуемс€ тем, что векторное произведение взаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i, j, k. јналогично, vυ = -ω; vω = -ωv = υ; ωυ = -υω = ω. “аким образом, правило умножени€ векторов υ, v, ω €вл€етс€ полным аналогом правила умножени€ векторов i, j, k. »ными словами, отображение 1→1, i→υ, j→v, k→ω задает изоморфизм алгебры кватернионов на себ€, то есть, автоморфизм этой алгебры. Ћинейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку i, j, k на тройку υ, v, ω, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространства векторов.

¬се автоморфизмы получаютс€ указанным способом.

ƒействительно, пусть υ, v, ω - φ-образы i, j, k при некотором автоморфизме. “огда υ2 = v2 = ω2 = -1; vυ = -υv = ω; vω = -ωv = υ и ωυ = -υω = v. »з равенства υ2 = 1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. ƒействительно, пусть υ = а + υ1, где а - скал€рна€ часть υ. “огда -1 = υ2 = а2 + 2аυ1 - , откуда 2аυ1= 0. ≈сли допустить, что υ1= 0, то 1 = а2, что невозможно. ѕоэтому υ ≠ 0, следовательно, а = о, . ѕо той же причине кватернионы υ и v €вл€ютс€ векторами единичной длины. ƒалее, из того, что скал€рна€ часть кватерниона υv = ω равна 0, заключаем, что векторы υ и v ортогональны. ѕо той же причине ортогональны векторы υ, ω и ω, υ, так что υ, v, ω составл€ют тройку попарно ортогональных единичных векторов. ќриентаци€ этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, j, k, ибо в противном случае было бы υv = ω, а не vυ = ω.

ѕусть теперь α - некоторый кватернион единичного модул€. ќтображение х→α-1хα есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществл€ет некоторое собственное вращение пространства векторов. ѕусть α=а+υ0, где а - скал€рна€ часть α. “огда , так что можно положить а = соsφ, = sinφ, 0≤φ≤. “огда α = cosφ + υsinφ, где υ - вектор единичной длины (если α = -1, то υ0 = 0 и в качестве υ можно вз€ть любой единичный вектор).

ѕусть теперь v - какой-либо вектор единичной длины, ортогональный векторам υ, v, и пусть ω = υv. ¬ы€сним, как действует автоморфизм х→α-1хα на векторы υ, v, ω. ясно, что векторы α и υ коллинеируют, так что α -1υα = υ.

ƒалее,


α-1= cosφ-υsinφ; α=cosφ+υsinφ;

α-1vα=(cosφ-υsinφ) v (cosφ+υsinφ)=(vcosφ-ωsinφ) (cosφ+υsinφ)=

=vcos2φ-ωsinφcosφ+vυsinφcosφ-ωυ2sinφ=v (cos2φ-sin2φ)-2ωsinφcosφ=vcos2φ-ωsin2φ;

α -1ωα =(ωcosφ+vsinφ) (cosφ+υsinφ)=vsin2φ+vcos2φ.


»так, автоморфизм х→α-1хα не мен€ет вектор υ и поворачивает на угол 2φ плоскость, нат€нутую на вектора v и ω (считаем положительным направление вращени€ от v к ω), то есть, вращает пространство векторов вокруг оси, проход€щей через вектор υ, на угол 2φ. »звестно, что вс€кое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриватьс€ как трансформаци€ х→α-1хα пространством кватерниона с единичным модулем.

«аметим, что преобразование х→α-1хα при не дает ничего нового, если положить †и при любом кватернионе х.

¬ любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент α порождает автоморфизм алгебры х→α-1хα, называемый внутренним автоморфизмом алгебры.

 ватернионы единичного модул€ образуют группу относительно умножени€. —опоставление каждому такому кватерниону вращени€ х→α-1хα трехмерного пространства векторов есть гомоморфное отображение, ибо, то есть, произведению кватернионов отвечает произведение вращени€. ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов .

ƒействительно, α = а + bi + сj + dk принадлежит €дру, если α-1хα = х, при любом векторе х, т.е., если хα = αх. ѕоложив х = i, получим с = d = 0, а, положив х = j, получим

b = d = 0.

»так, α = а =1, ибо. “ем самым получаем, что группа S0 (3) собственных вращений трехмерного пространства изоморфна фактор-группе кватернионов единичного модул€ по подгруппе {1}.

ѕредставление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, св€занный с вращением, определ€ет непосредственно его геометрические характеристики - ось вращений и угол поворота. ѕри обычном задании вращени€ при помощи ортогональной матрицы дл€ определени€ оси вращени€ и угла нужно произвести некоторые вычислени€. «акон умножени€ кватернионов тоже проще закона умножени€ матриц 3 пор€дка.

«аметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе u(2) унитарных матриц 2-го пор€дка с определителем равным единице.

ƒействительно, кватерниону α = а + bi + сj + dk соответствует матрица


,


а сопр€женна€



- кватерниону .

»з равенства †следует, что јј*=≈, т.е. матрица произведений €вл€етс€ унитарной.

ƒалее, detј = а2 + b2 + с2 + d2 = 1, если матрица Ж=унитарна и detј=1, то равенство ј-1=ј* дает δ=, γ= - β, то есть, .

“аким образом, отображение α→ј осуществл€ет изоморфизм группы кватернионов единичного модул€ и группы вращений u(2) - группа алгебраических преобразований Ћоренца.

 ватернион как перспективный инструментарий фундаментальных физических моделей

¬ данной работе лишь став€тс€ задачи, которые представл€ют интерес с точки зрени€ физики, а точнее, новой еще не существующей науки - Ђфизической математикиї.

1. –еабилитаци€ и развитие т.н. нестандартной математики в полном объеме, в которой аппарат дифференциального исчислени€ и дифференциальных уравнений считаетс€ некорректным. “оже касаетс€ теории векторов, которые имеют смысл лишь в абсолютно изотропном и пр€мом пространстве, отказыва€ в корректности и компактности в любом криволинейном пространстве даже посто€нной кривизны, не говор€ уже о произвольном т.н. Ђфиндслеровомї пространстве.

2. ѕри этом станов€тс€ актуальными не только гиперкомплексные числа [5, 6], среди которых Ђскомпрометированныеї своей некоммутативностью кватернионы, но и забыта€ сегодн€ функци€ sinvers, которой было предсказано большое будущее еще нашим русским математиком ѕ.Ћ. „ебышевым.

3. »з всех проблем, способных с большей или меньшей веро€тностью зан€ть место великой теоремы ‘ерма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров. ѕроблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду. ћолодым математикам така€ задача досталась в наследство от »оганна  еплера. ѕроблема родилась в 1611 году, когда  еплер написал небольшое сочинение Ђќ шестиугольных снежинкахї. »нтерес  еплера к расположению и самоорганизации частиц вещества и привел его к обсуждению другого вопроса - о плотнейшей упаковке частиц, при которой они занимают наименьший объем. ≈сли предположить, что частицы имеют форму шаров, то €сно, что как бы они ни располагались в пространстве, между ними неизбежно останутс€ зазоры, и вопрос состоит в том, чтобы объем зазоров свести к минимуму. ¬ работе [8], например, утверждаетс€ (но не доказываетс€), что такой формой €вл€етс€ тетраэдр, оси координат внутри которого определ€ют базисный угол ортогональности в 109о28Т, а не 90о. Ёта проблема имеет огромное значение дл€ физики элементарных частиц, кристаллографии и других разделов естествознани€. Ќа рис. 1 приведена иллюстраци€ наиболее Ђэкономнойї упаковки разных и одинаковых частиц в классическом трехмерном пространстве (рис. 1а), в которой координатное пространство имеет четыре, а не три орта, представл€ющие прекрасную задачу дл€ гипергеометрических чисел от кватернионов до октав (бикватернионов) и более [5, 6]. ’от€ кватернион и описывает Ђориентациюї объекта в пространстве и Ђвращениеї, но прин€то считать, что это вращение ограниченно именно лишь ±180. ¬ то же врем€ упаковка типа тетраэдра может быть названа группой лишь в рамках 6-осевых поворотов, и Ђплоскоугольна€ї проекци€ ортогональности между всеми базисными орт-векторами равна не 90, а Ђволшебныеї 10928Т (рис. 1б) подобно ос€м молекулы —Ќ4 (рис. 1в).

4. –ецепт ƒирака создани€ Ќовой ‘изики: Ђѕрежде всего, - говорил ƒирак, - нужно отбросить все так называемые Ђфизические представлени€ї, ибо они - не что иное, как термин дл€ обозначени€ устаревших предрассудков предшествующих поколенийї.

Ќачинать, по его словам, следует с красивой математической теории. Ђ≈сли она действительно красива, - считал ƒирак, - то она об€зательно окажетс€ прекрасной моделью важных физических €влений. ¬от и нужно искать эти €влени€, развивать приложени€ красивой математической теории и интерпретировать их как предсказани€ новых законов физикиї, - так строитс€, по словам ƒирака, вс€ нова€ физика, и рел€тивистска€, и квантова€.

≈ще менее известно, по мнению јрнольда, что рел€тивистские электронные уравнени€ ƒирака имеют корни в виде кос - древней математической теории. ќн заметил, исход€ из топологии семейства эллиптических кривых в алгебраической геометрии, что в группе сферических кос из четырех нитей существует элемент второго пор€дка, и интерпретировал это свое открытие в виде теории спина электрона, имеющего 2 значени€. Ёто означает, что дл€ того, чтобы частица вернулась в прежнее положение, ей нужно повернутьс€ не на 3600, а на 720.

Ёто было никому не пон€тно, и поэтому ему не верили. „тобы убедить физиков в справедливости соответствующей странной математической теоремы, утверждающей, что фундаментальна€ группа SO(3) вращений трехмерного пространства состоит из двух элементов, ƒирак продемонстрировал соответствующий эксперимент, изготовив физически свою сферическую косу второго пор€дка. ѕочему коса? Ѕерутс€ две концентрические сферы и соедин€ютс€ четырьм€ переплетенными нит€ми. Ќе шестью, как если бы хоть одно соединение было осевым и отвечало бы евклидовой (а, точнее, галилевой) симметрии, а четырьм€. ≈ще одну внутреннюю концентрическую сферу также соедин€ют четырьм€ переплетенными нит€ми, скрученными между собой (это называют Ђсферической косойї). “еперь, если убрать среднюю сферу, сама€ больша€ сфера окажетс€ св€зана с самой маленькой незапутанными нит€ми. ѕолучаетс€ тривиальна€ коса. Ќо ни ƒирак, ни јрнольд не обращают внимани€ на то, что здесь и по€вл€етс€ радиально-сферическа€ система координат с ортогональностью не 900 или поворотом-фракталом 3600, а все те же Ђкристаллические 10928Т.

Ђћежду прочим, сейчас ни физики, ни математики этого уже не знают. ћожет, один € прочитал у ƒирака, как это делаетс€ и как он это придумал. ј в спин физики вер€т, потому что провозглашено там, дают за это нобелевские премии, значит, что уже это всем известно, что это знаменита€, велика€ вещь. » все вер€т, просто потому, что это провозглашено, что это так. Ќу так вот. Ќа самом деле, это открытие ƒирака - теори€ спина - было основано на эксперименте, доказавшем математическую теоремуї. - Ёто цитата ¬.». јрнольда.

5.  ватернион и попытка описать античастицы в микрофизике. ¬озможно, этому поможет то, что инверсным единичному кватерниону, €вл€етс€ его сопр€женный.

6. »сследование возможности использовани€ кватернион-представлений в группах вращательных симметрий S0 (m, n) собственных вращений n-мерного пространства, например, групп S0 (1,4) и S0 (2,3) де —иттера (de Sitter) [8], постулирующих неустранимую кривизну и фундаментальную приоритетность вращательных движений при описании любых физических объектов и объ€снении известных физических €влений [8-10]. Ёто удобно, т. к. можно циклически получать кватернион из матрицы и обратно матрицу из кватерниона. ¬ этом случае мы получим интегрирование вращени€ без использовани€ тригонометрических функций или квадратных корней.  райне интересным обсто€тельством €вл€етс€ то, что в работе [7] автор формулирует четыре своеобразные аксиомы, из которых следует, что первые три из них обосновывают специальную теорию относительности, а при отказе от четвертой - ѕуанкаре-инвариантности, мы получаем кватернионное описание пространства-времени. Ќо в [6] перспективные результаты получены именно при аналогичном отказе от фундаментальности 10-параметрической группы ѕуанкаре. ѕоэтому аппарат кватернионов может быть использован дл€ описани€ метрики √. ћинковского (1864-1909), инвариантной относительно преобразовани€ ’. Ћоренца (1853-1928). ќсобенно перспективно, на взгл€д автора, использование целочисленных алгебр √алуа, диофантовых уравнений и кватернионов в физическом моделировании космо- и микромира [6, 8].

 

 


Ћитература

 

1.† ћантуров ќ.¬. и др. “олковый словарь математических терминов / под ред. проф. ¬.ј. ƒиткина. ћ.: Ђѕросвещениеї. - 1965. - 539 с.

2.††††† Hamilton W.R. On quaternions; or on a new system of imaginaries in algebra. Philos. Mag., 1844, v. 25. - P.10-13.

3.†  отельников ј.ѕ. ¬интовое счисление и некоторые приложени€ его к геометрии и механике.  азань, 1895.  отельников ј.ѕ. “еори€ винтов и комплексные числа. —б. Ќекоторые приложени€ идей Ћобачевского в механике и физике. ћ.: √остехиздат, 1950.

4.††††† ƒиментберг ‘.ћ. “еори€ винтов и ее приложени€. ћ., Ќаука, √л. ред. физ-мат лит., 1978.

5.†  антор ».Ћ., —олодовников ј.—. √иперкомплексные числа. ћ.: Ќаука, 1973. - 144 с.

6.††††† ѕонтр€гин Ћ.—. ќбобщени€ чисел. ћ.: Ќаука, 1986. - 120 с.

7.† „елноков ё.Ќ.  ватернионные и бикватернионные модели и методы механики твердого тела и их приложени€. √еометри€ и динамика движени€. ћ.: ‘»«ћј“√»«. 2006. - 289 c.

8.††††† ћирмович Ё.√., ”сачЄва “.¬. јлгебра кватернионов и вращени€ в трехмерном пространстве // Ќаучные и образовательные проблемы гражданской защиты є1, 2009. - —. 75-80.

9.††††† ћирмович Ё.√., Ћев ‘.ћ. Ќекоторые аспекты ƒе-—иттер-инвариантной динамики / ƒеп. в ¬»Ќ»“» є6099-84. 06.09.84 г. ’абаровск: —¬  Ќ»» ƒ¬Ќ÷ јЌ ———–. 1984. - 33 с. (Lev F.M. and Mirmovich E.G., VINITI No 6099 Dep.; Lev F.M. A possible mechanism of gravity Artwork Conversion Software Inc., 1201 Morningside Drive, Manhattan Beach, CA 90266, USA. arXiv:hep-th/0307087 v1 9 Jul 2003).

10.††† ≈фремов ј.ѕ.  ватернионы: алгебра, геометри€ и физические теории // √иперкомплексные числа в геометрии и физике. ћ.: ћ√“” им. Ќ.Ё. Ѕаумана. є1. 2004. - —. 112-122 (www.hypercomplex.ru).

11.††† „уб ¬.‘. ”равнени€ инерциальной навигации и кватернионна€ теори€ пространства-времени // “ам же. є1 (7). 2007. - —. 133-140.

12.††† Ѕерезин ј.¬.,  урочкин ё.ј., “олкачев ≈.ј.  ватернионы в рел€тивистской физике. ћинск: Ќаука и техника. 1989. - 211 c.

13.†††  ассандров ¬.¬. јлгебродинамика: кватернионный код ¬селенной. ¬ сб.: ћетафизика. ¬ек ’’I / –ед. ё.—. ¬ладимиров. ћ.: Ћаборатори€ знаний. Ѕ»Ќќћ. 2006. - —. 142.


Ђ»нкарнаци€ї кватернионов   ¬водные замечани€  ватернион, долгие годы считавшийс€ бесперспективным с подачи ортодоксальных математиков [1], в на

Ѕольше работ по теме:

ѕредмет: ћатематика

“ип работы: —тать€

найти  

ѕќ»— 

Ќовости образовани€

 ќЌ“ј “Ќџ… EMAIL: MAIL@SKACHAT-REFERATY.RU

—качать реферат © 2018 | ѕользовательское соглашение

—качать      –еферат

ѕ–ќ‘≈——»ќЌјЋ№Ќјя ѕќћќў№ —“”ƒ≈Ќ“јћ