Прямая линия на плоскости

Лекция №11. Прямая линия на плоскости

Вопросы:

1. Общее уравнение прямой;
2. Каноническое уравнение прямой;
3. Параметрические уравнения прямой;
4. Уравнение прямой с угловым коэффициентом;

Общее уравнение прямой

Утверждение 1. Если на плоскости зафиксирована произвольная декартова прямоугольная система Oxy то всякое уравнение первой степени с двумя переменными

(1), в которых хотя бы одна из постоянных отлична от нуля, определяет относительно этой системы прямую линию.

Докажем это утверждение. Для того что бы утверждение было справедливым необходимо найти такой вектор который был бы перпендикулярен этой линии в любой ее точке.

Для этого выберем любое (хотя бы одно) решение удовлетворяющее исходному уравнению .

Обозначим эту точку . Координаты произвольной точки, лежащей на исходной линии обозначим как . Покажем, что вектор , если уравнение первой степени - линия, всегда ортогонален вектору . Для этого вычтем из исходного уравнения тождество

. Получим эквивалентное уравнение вида:

.

Полученное уравнение не что иное, как условие ортогональности векторов, выраженное через их скалярное произведение. (Векторы ортогональны, если сумма соответствующих координат этих векторов и равна нулю. Имеем в виду:

, ).

Следовательно уравнение (1) есть уравнение прямой.

Уравнение (1) с произвольными коэффициентами и , первые два из которых не равны нулю одновременно, называется общим уравнением прямой.

Прямая, определяемая общим уравнением, ортогональна вектору , называемому нормальным вектором прямой.

Общее уравнение называется полным, если все его коэффициенты и не равны нулю. Если хотя бы один из этих трех коэффициентов не равен нулю, уравнение называется неполным.

Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений:

1.. Уравнение определяет прямую, проходящую через начало координат (поскольку начало координат удовлетворяет этому уравнению).

2.. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси ).

3.. Уравнение определяет прямую, параллельную оси . (Поскольку нормальный вектор этой прямой ортогонален оси ).

4. и . Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат).

5. и . Уравнение определяет ось (поскольку прямая, определяемая этим уравнением, параллельна оси и проходит через начало координат)

Полное уравнение прямой может быть приведено к следующему виду:

.

Этот вид уравнения прямой называется уравнением прямой в отрезках.

Общее уравнение к уравнению в отрезках приводится следующим образом:

, т.е. , .

Уравнение прямой в отрезках имеет простой геометрический смысл (см. рис.2).

Отрезки и определяют точки пересечения прямой осей и .

В этом не трудно убедится положив сначала , а за тем

Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой называется направляющим вектором этой прямой. Каноническое уравнение можно получить, если запишем уравнение прямой проходящей через заданную точку в заданном направлении.

Пусть задана точка и направляющий вектор .

Очевидно, что точка лежит на указанной прямой в том случае, если векторы и коллинеарны. Если вектора коллениарны, то . Через координаты это свойство может быть выражено так

.

Соотношение (2) является искомым каноническим уравнением прямой.

В заключении запишем уравнение прямой, проходящей через две данные и отличные друг от друга точки и . Для этого достаточно в каноническом уравнении (2) взять в качестве направляющего вектора . Мы получим при этом уравнении

. (3)

Параметрические уравнения прямой

Параметрическое уравнение прямой вытекает из канонического уравнения (2). Если в качестве постоянной взять переменный параметр , изменяющийся в диапазоне (бесконечная прямая), то

, или окончательно

. (4)

Уравнение (4) является искомым параметрическим уравнением прямой. Эти уравнения допускают наглядную механическую интерпретацию. Если параметр - это время, то параметрическое уравнение описывает движение материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью равной

.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Введем понятие угла наклона прямой к оси . Пусть прямая не параллельна оси и ее пересекает в точке . Выберем на оси точку лежащую по ту сторону от куда направлена ось . На прямой точку по ту сторону от куда направлена ось . Тогда углом наклона этой прямой к оси называется угол .

Если прямая и ось параллельны, то полагаем, что угол наклона .

Тангенс угла наклона прямой к оси назовем угловым коэффициентом этой прямой и обозначим . И так . Для прямой параллельной оси угловой коэффициент равен нулю.

Введем уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющий данный угловой коэффициент .

Покажем, что какой бы угол наклона к оси (острый или тупой) не имела прямая линия и в какую бы сторону не был направлен направляющий вектор этой прямой. Угловой коэффициент этой прямой всегда равен отношению - координат направляющего вектора.

В случае (Рис. 3, 4) , где - угол между направляющим вектором и осью ;

, ;

;

В случае (Рис. 5, 6) ;

.

.

Итак, всегда .

Используя каноническое уравнение (2) можно записать

или .

Обозначив получим

. (5)

уравнение линия отрезок вектор тангенс

Уравнение прямой (5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении b представляет собой отрезок отсекаемый прямой на оси (при см. рис. 7).

Больше работ по теме: