Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин для любого типа шкал
Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин для любого типа шкал.
С.В. Усатиков, кандидат физ-мат наук, доцент; С.П. Грушевский, кандидат физ-мат наук, доцент; М.М. Кириченко, кандидат социологических наук
Во многих практических задачах мы исследуем объекты, обладающие несколькими (двумя или более) признаками, и хотим выяснить, насколько эти признаки связаны между собой. Например, у каждого человека есть возраст и место рождения, уровень образования и годовой доход, пол и социальная принадлежность и т.п. Вопрос состоит в том, можно ли по степени выраженности одного признака судить о степени выраженности другого, либо же знание об одном ничего не добавляет к знанию о другом (т.е. эти признаки проявляются независимо друг от друга). Ответы на такие вопросы могут иметь значительную практическую ценность. Например, если мы установим, что признаки “профессия” и “политические убеждения” независимы, то социологические опросы по предсказанию результатов выборов можно проводить без учета профессии опрашиваемых.
Прежде всего следует дать определение интуитивно понятной вероятностной независимости. А именно, случайное событие А независимо от случайного события В, если вероятность одновременного появления и события А, и события В в опыте равна произведению вероятностей этих событий.
Иногда признаки связаны жестко: если профессия - горняк или сталевар, то пол, несомненно, мужской. Тем самым по некоторым значениям признака “профессия” можно узнать значение признака “пол”. Другая крайность - отсутствие связи: если глаза серые, то какая профессия? Исследователя в подобных задачах интересует, насколько точно можно предсказать значение одного признака по значению другого. Этой проблеме должна предшествовать более простая: надо сначало проверить существует ли вообще какая-либо связь между этими признаками? Таким образом, возникает и требует проверки следующая нулевая гипотеза: проявления одного признака независимы от проявлений другого в опыте.
Отметим еще одно важное обстоятельство. Ведь необходимо исследуемые признаки как-то измерить, представить в виде делений какой-то шкалы, и очень часто это не деления секундомера или линейки. Как измерить” профессию”, “политические убеждения” или “степень доверия”? Если присвоить проявлениям признака какие-либо числовые значения, очень часто эти числа нельзя даже упорядочить по возрастанию.
Заметим еще также, что к проверке независимых признаков очень часто можно свести задачу однофакторного анализа об отсутствии эффекта обработки. Тогда одним признаком становится отклик, а другим - способ обработки. Причем в отличие от рассмотренного в предыдущем пункте критерия Вилкоксона, Манна и Уитни, способов обработки может быть и два, и три, и больше трех.
Пусть первый признак имеет шкалу х1,...,хк. Например, признак “лекарство” может быть х1=“первое”, х2=“второе”, х3=“третье”. Второй признак имеет шкалу у1,...,уl. Например, признак “результат” может быть у1=“благоприятный” или у2=“неблагоприятный”
Проведено n экспериментов, в которых nij ряд деления шкал xi (1Ј iЈ k) и y1 (1Ј jЈ l) появились вместе. Эти числа nij удобно записать в виде таблицы сопряженности признаков размера k· l.
Например: