Процес навчання математики з впровадженням елементів історизму

 

1. Науково-теоретичні основи дослідження


1.1 Періодизація історії математики


Слово «математика» грецького походження, означає наука, знання. Математика - одна з найдревніших наук. Вона виникла на світанку розвитку людського суспільства з практичних потреб людини і завжди була її постійним супутником, порадником, помічником в осмисленні навколишнього світу, вдосконаленні знарядь праці, у наукових відкриттях, у пізнанні самої себе. Математика історично склалася як своєрідна мова узагальнення людського досвіду, досягнень розуму, як фрагмент людської мови, що дає змогу чітко і лаконічно висловлювати думки, доводити істини.

Історичне минуле математики цікаве і повчальне для нас, оскільки дає змогу повніше оцінити досягнення, збагнути силу математичних знань, їх красу і велич, можливості сьогодення і перспективи майбутнього.

В історії розвитку математики виділяють чотири періоди:

1.період зародження математики, що охоплює час до VII ст. до н. е. Розвиток її в цей час пов'язаний з практичними задачами на лічбу і вимірювання. В процесі безпосередньої практики відбувається формування первісних понять арифметики і геометрії, поняття числа і фігури, виробляються правила лічби, прийоми виконання 4-х арифметичних дій. Створюється система числення. Підготовляється (але ще не здійснюється) перехід до арифметики, як математичної теорії (перехід від конкретних задач до абстрактних міркувань).

В геометрії - визначення найпростіших площ і об'ємів, але не є ше геометрія теоретичною наукою (з теоріями і логічними доведеннями).

З чого ж власне починається розвиток математики як науки? З того часу, коли людина навчилася абстрагувати від конкретної природи об'єктів, які лічать або вимірюють - вивчення реального матеріалу, абстрагуючись від його конкретного змісту і якісних особливостей (в цьому різниця математики від природничих наук).

Засновником математики була та людина, яка почала керувати поняттями. Вона зрозуміла, що існує не тільки дві руки, два ока, а поняття «два» взагалі.

2.Другий період: період математики сталих величин (VI ст. до н е. - XVI ст. н.е.); період становлення математики як науки.

За математичним змістом цей період можна поділити на два періоди:

-Період переважного розвитку геометрії (VI ст. до н.е. - II ст. н.е).

-Період переважного розвитку алгебри і тригонометрії (ІІ - XVI ст. н.е.).

У Стародавній Греції математика змінилася якісно; необхідною її складовою частиною стало логічне доведення, обгрунтування. Розвиток математики здійснювали вчені та їх школи. Це Мілетська школа на чолі з Фалесом (640-546 до н.е.), який дав доведення декількох тверджень геометрії, а саме: діаметр поділяє круг на дві рівні частини; кути при основі рівнобедреного трикутника рівні між собою; вертикальні кути рівні; два трикутники рівні за рівними у них стороні і прилеглими до неї кутами.

Школа Піфагора Самоського (580-560 до н.е.) була філософською, але в ній приділяли увагу розвитку математики. Вчення Піфагора та його учнів стосувалися гармонії, геометрії, теорії чисел, астрономії. Головна філософська теза піфагорійців - «все є число», тобто кожна річ має числову характеристику і числове відношення. Теорема про співвідношення між сторонами прямокутного трикутника була відома раніше вавілонянам, китайцям, єгиптянам, але вважається, що доведення її дав Піфагор. Йому приписують ряд інших відкриттів: теорему про суму внутрішніх кутів трикутника, задачу про ділення площини на правильні многокутники. Піфагорійці ввели поняття простого і складеного числа, вивчали властивості подільності та інше.

Найбільшою заслугою школи Піфагора було відкриття несумірних величин на прикладі несумірності діагоналі квадрата з його стороною. Але це відкриття порушувало головну тезу піфагорійців «все є число» (а знали вони лише натуральні та раціональні додатні числа).

Це була перша криза в історії математики на ґрунті поняття про число.

Грецькі математики вийшли з цього положення тим, що раціональні числа стали розглядати як відношення всіх величин - як сумірних, так і несумірних, хоч раніше вони розглядали відношення тільки сумірних величин. На цій основі грецький математик Евдокс Кнідський (480-355 до н.е.) побудував строгу загальну теорію відношення величин, яка є геометричною теорією дійсних чисел. Евдоксу належить також відкриття методу вичерпування для обчислення площ криволінійних фігур. У цей період з'явились три знамениті задачі на побудову, які не розв'язуються циркулем та лінійкою: трисекція кута, подвоєння куба, квадратура круга.

В Афінах велике значення мала філософська школа Платона (427-347 до н.е.) «Академія». Платон вважав, що філософи повинні вивчати математику, на дверях його Академії був напис: «Нехай той, хто не знає геометрії, не входить сюди». Він запровадив традицію давати бездоганні означення і визначати, які твердження у математичних міркуваннях можна приймати без доведення. Платон велику увагу приділяв геометричним побудовам циркулем і лінійкою, ввів терміни «аналіз», «синтез», розробив схему розв'язування задачі на побудову, яка збереглася до наших днів. Платону приписують також класифікацію правильних многогранників, встановлення пяти їх типів: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр; їх ще називають «платоновими тілами».

Засновником Олександрійської математичної школи (300 до н е. - 640 не.) був Евклід (325-300 до н.е.) - учень Платона. На цей час був накопичений значний теоретичний матеріал з математики, зокрема з геометрії, виникла потреба систематизувати наявний матеріал, привести його в систему. Завдання логічного обґрунтування геометрії ставили уже Платон і Аристотель, який у своєму творі «Логіка» сформулював основні положення логічної побудови науки.

Аристотель (384-322 до н.е.) фактично заклав основи дедуктивного викладу матеріалу певної науки, за яким спочатку треба дати означення об'єктів науки, сформулювати вихідні положення (аксіоми і постулати), а потім усі твердження доводити за законами логіки.

Завдання систематизації геометричних фактів, створення геометрії як науки розв'язав Евклід у своїх «Початках», написаних біля 300 р. до н.е. У «Початках» Евклід виклав матеріал тільки елементарної геометрії, хоч на той час уже було багато відомостей про конічні перерізи, про деякі криві третього і четвертого порядку.

Проблема повної аксіоматизації елементарної геометрії - одна з проблем геометрії, що виникла в Стародавній Греції у зв'язку з критикою цієї першої спроби побудувати повну систему аксіом так, щоб всі твердження евклідової геометрії слідували з цих аксіом чисто логічним висновком без наочності креслень.

В «Засадах» Евкліда була дана наступна аксіоматика:

1.Від будь-якої точки до будь-якої точки можна провести пряму.

2.Обмежену пряму можна безперервно продовжувати по прямій.

3.З будь-якого центру всяким розчином може бути описаний коло.

4.Усі прямі кути рівні між собою.

.Якщо пряма, що перетинає дві прямі, утворює внутрішні односторонні кути, менші двох прямих, то, продовжені необмежено, ці дві прямі зустрінуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих.

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту.

Після Евкліда грецькі вчені продовжили розвиток геометрії і арифметики. Так, Архімед (287-212 до н.е.) вдосконалив методи знаходження площ і об'ємів, поєднав математичні досягнення з технічними методами (важелі, водяні насоси, блоки, військові машини та ін.), Аполлоній (262-190 до н.е.) дослідив конічні перерізи, Гіппарх (180-125 до н.е.) виклав основи тригонометрії, Менелай (І ст. н.е.) - основи сферичної геометрії, Діофант (ПІ ст. н.е.) запровадив літерну символіку у своєму творі «Арифметика», дав способи розв'язування неозначених рівнянь.

Арабська математика (У-ХІ ст.). Після занепаду Римської імперії (V ст. н.е.) розвитку набули Візантія, Арабський халіфат, країни Західної Європи. На початку VII ст. на світову арену виходить енергійний кочовий народ Аравії - араби, які вели загарбницькі війни, підкорили Сірію, Іран, Єгипет, Північну Африку, Піренейський півострів, Закавказзя, Індію, Середню Азію - утворився Арабський халіфат.

Потреби виробничої діяльності, сухопутної і морської торгівлі зумовили розвиток науки, зокрема математики. Спочатку араби засвоїли надбання математиків Сходу і Греції, потім включились у самостійну дослідницьку роботу. Арабська математика, як і грецька, мала переважно обчислювальний характер: практична арифметика, вимірювальна геометрія, тригонометрія, числова алгебра, але був високий рівень і теоретичних досліджень. Вони повністю володіли десятковою позиційною нумерацією. Арабська математика - це обсяг математичних знань, написаних арабською мовою представниками різних народів в період панування Арабського халіфату.

Науковий центр був у місті Багдаді. Першим знаменитим ученим був Мухаммед бен-Муса ал-Хорезмі (ЕХ ст.). У його творі «Хісаб ал-Хінд» («Про індійські числа») вперше сформульовані правила порозрядного виконання дій над багато цифровим и числами, які пізніше в Європі назвали на честь ал - Хорезмі алхоризмами (звідси нині широко вживаний термін «алгоритм»), а в книзі «Китаб аль-джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення і протиставлення») він використовує від'ємні числа, формулює правила розвязування рівнянь першого і другого степеня.

Інший арабський вчений Омар Хайям (1048-1131) у творі «Про доведення задач ал-джебр ал-Мукабала» визначає алгебру як теорію рівнянь, елементами якої є многочлени, дає правила розв'язання рівнянь третього степеня. Він дає перевагу арифметиці перед геометрією.

Джемшід аль Коші (XV ст.) у творі «Ключ арифметики» виклав всі відомості з алгебри і арифметики.

Араби внесли значний вклад і в розвиток геометрії. Брати Бану Муса (IX ст.) у творах «Книга вимірювання плоских і просторових фігур», «Книга трьох братів про геометрію» досліджують питання про площу круга, встановлюють межі для числа я, дають розв'язання задачі про трисекцію кута.

Сабіт ібн Корра (836-901) обчислював площу параболічного сегмента методом вичерпування за допомогою інтегральних сум, об'єми тіл обертання.

Учений Абу Райхан Біруні (973-1048) при вивченні нерівномірного руху вводить поняття миттєвої швидкості і прискорення.

Західноєвропейський період (ХІ-ХVI ст.). Рівень математичних знань у Європі до цього періоду був досить низьким (епоха Середньовіччя).

В епоху Відродження поступово активізується розвиток науки: з 1453 р. почалось книгодрукування, італійський математик Фібоначчі (1170-1228) написав твір «Книга про абак» (абак - арифметика), по якому вивчали арифметику в Європі, Кардано (1501-1576) і Ферро (1465-1526) дали способи розв'язання рівнянь третього степеня, Ф.Вієт (1540-1603) розробив методи розв'язування алгебраїчних рівнянь, ввів літерні коефіцієнти. Взагалі алгебра виділяється в окремий самостійний математичний предмет.

У XVI ст. європейська математика перевершує досягнення грецьких і арабських математиків: удосконалюється літерна символіка, знайдені методи розв'язання рівнянь 3-го і 4-го степенів і на цій основі вводяться комплексні числа, винаходять і впроваджують у практику логарифмічні обчислення.

Отже, у Європі до кінця XVI ст. математика сталих величин була досить потужним і розгалуженим апаратом.

3.Період математики змінних величин (ХVІІ-ХІХ ст.). Характерні особливості періоду: математика вивчає рух, зміни, процеси; предметом вивчення стають змінні величини та зв'язки між ними, функції. Але математика цього періоду не виходить за межі тривимірного простору; значення аргументів і функцій набувають лише числових значень, вивчення сталих величин також продовжується.

Кеплер в 1609-1619 рр. відкрив і математично сформулював закони руху планет. Галілей до 1638 створив механіку вільного руху тіл, заснував теорію пружності, застосував математичні методи для вивчення руху, для відшукання закономірностей між шляхом руху, його швидкістю і прискоренням. Ньютон до 1686 сформулював закон всесвітнього тяжіння.

Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин була поява книги Декарта «Геометрія». Основними заслугами Декарта перед математикою є введення ним змінної величини і створення аналітичної геометрії. Перш за все, його цікавила геометрія руху, і, застосувавши до дослідження об'єктів алгебраїчні методи, він став творцем аналітичної геометрії.

Аналітична геометрія починалася з введення системи координат. На честь творця прямокутна система координат, що складається з двох пересічних під прямим кутом осей, введених на них масштабів вимірювання та початку відліку - точки перетину цих осей - називається системою координат на площині. У сукупності з третьою віссю вона є прямокутної декартовій системою координат у просторі.

До 60- х років XVII ст. були розроблені численні метоли для обчислення площ, обмежених різними кривими лініями. Потрібен був тільки один поштовх, щоб з розрізнених прийомів створити єдине інтегральне числення.

Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато задач практики приводили до постановки оберненої задачі. У процесі виконання завдання з'ясовувалося, що до неї застосовні інтеграційні методи. Так була встановлена глибока зв'язок між диференціальними і інтегральними методами, що створило основу для єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального й інтегрального числення є теорія флюксий, побудована Ньютоном.в. дав математики потужний апарат - аналіз нескінченно малих величин. У цей період Ейлер ввів в математику символ f (x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення приватних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.

У XVIII в. з математичного аналізу виділився ряд важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення. У цей час почалася розробка теорії ймовірностей.

Сучасний світ неможливо уявити без математики як основоположної науки. Вона за допомогою розрахунків і обчислень втілює в життя найнеймовірніші прагнення людства. Математична наука інтегрована в різні сфери діяльності людей. І можна сказати, що в недалекому майбутньому вона буде грати, безсумнівно, ще більш важливу роль.

Основні результати математики цього періоду - головний зміст математичної освіти інженерних факультетів (основи аналітичної геометрії, вищої алгебри, математичного аналізу тощо).

Четвертий період: період сучасної математики (з кінця XIX ст.). Характеризується зростанням абстрактного рівня математичних теорій, поширенням тенденції до їх аксіоматичної побудови.

Математика знаходить все нові й нові застосування в таких нетехнічних науках як педагогіка, психологія, мовознавство, медицина тощо. Виникають нові розділи математики: математична економіка, математична лінгвістика, математична психологія, математичне програмування, кібернетика, математична логіка.

Загальним природним фундаментом математики стає теоретиком-множинна точка зору. Поява парадоксів в інтуїтивній канторівській теорії множин стимулювала процес аксіоматизації математики, алгебраїзації, посилення інтересу до її основ. Тому зростає інтерес до таких розділів як математична логіка і формальна теорія алгоритмів, де уточнюються поняття математичного доведення.

На даному періоді розвитку математики набуває глибокого розвитку аксіоматичний метод. Математика, як і всяка інша наука, знаходиться в безперервному розвитку, що обумовлений двома основними причинами: потребами життєвої практики та внутрішніми потребами становлення самої математики. Бурхливий розвиток математики створює великий вплив на розвиток техніки, управління виробництвом та інші науки, в тому числі на педагогіку і методику математики.

Поява в 50-х роках XX ст. нової обчислювальної техніки стала визначальною подією у створенні нової математичної дисципліни - інформатики, до складу якої входить моделювання задач, алгоритмізація і програмування. На її основі перебудовуються класичні розділи математики: являються комп'ютерна алгебра, комп'ютерний аналіз, широко застосовується інформатика в різних розділах геометри. Елементи інформатики включені в програму з математики середньої школи

Заналізу періодів розвитку математики особливе значення надаємо досягненням другого періоду, оскільки його результати складають основу змісту шкільної математичної освіти, яка структурується за такими змістовими лініями: числа; вирази та їх перетворення; рівняння і нерівності; функції; геометричні фігури; геометричні величини; координати і вектори; геометричні перетворення; тригонометрія.


1.2 Психолого-педагогічні особливості реалізації принципу історизму


Підлітковий вік характеризується значним розвитком психіки, пізнавальних процесів. У підлітковому віці учіння залишається провідним видом діяльності, проте воно зазнає значних змін, відбувається подальша його перебудова, що характеризується зростанням його самостійності. Воно характеризується довільністю, зростанням активності н самостійності, зміною пізнавальних і соціальних мотивів навчання. Удосконалюється сприйняття, стаючи більш плановим, різнобічним, але не досягає ще повного розвитку. На нього впливає не лише характер об'єкта, що сприймається, але й емоційний стан підлітка. Учбова діяльність підлітка характеризується вибірковою готовністю, підвищеною сприйнятливістю до навчання. Великим досягненням підлітка є його готовність до усіх видів учбової діяльності, які роблять його дорослим у власних очах. Та проблема полягає у тому, що цю свою готовність він ще не вміє реалізувати, оскільки не оволодів способами виконання нових форм учбової діяльності.

Зазнає якісних змін мотивація навчання. Поглиблюючись і диференціюючись, пізнавальні інтереси підлітків стають виразнішими, стійкішими і змістовнішими. Навчальний процес ставить підвищені вимоги до уваги підлітків, здатності зосереджуватись на змісті навчальної діяльності й відволікатись від сторонніх показників. Навчання вимагає як мимовільної, так і довільної уваги, сприяє зростанню обсягу уваги, вдосконаленню уміння розподіляти і переключати її. Для підлітків характерним є прагнення виховувати в собі здатність бути уважними, елементи самоконтролю й саморегуляції.

Підлітки прагнуть до логічного осмислення матеріалу, застосовуючи при цьому порівняння, зіставлення, узагальнення, класифікацію тощо. Підвищується рівень абстрагування, формуються системи прямих і зворотних логічних операцій, міркувань та умовиводів, що стають більш свідомими, обґрунтованими.

Память набуває більшої логічності, довільності й керованості. Підлітки використовують різноманітні засоби запамятовування: логічну обробку матеріалу, виділення опорних пунктів, складання плану, конспектування.

Розширюються і поглиблюються пізнавальні інтереси учнів, більш вибірковим стає інтерес до навчальних предметів.

Починаючи з 5 класу в учнів спостерігається другий спад успішності, повязаний з переходом на предметну систему навчання. Підлітку важко адаптуватися до вимог кожного вчителя-предметника.

А.М. Леонтьєв вказував, що нерідко у підлітків знижується і загальний інтерес до школи, відбувається «внутрішній відхід від школи» [26]. Основна причина такого відходу полягає у несформованості учбової діяльності, що не дає можливості задовольнити актуальну потребу віку - потребу у самоствердженні.

Сформованою називається така учбова діяльність, коли учні, спонукаючись прямими мотивами самого учіння, можуть самостійно визначати учбові задачі, вибирати раціональні прийоми та способи їх розвязування, контролювати та оцінювати свою роботу.

Багатша і складніша змістова, предметна сторона знань вимагає від учнів і досконаліших способів їх набування. Зазнає якісних змін мотивація учіння підлітків. Структура мотивів учіння у підлітків ускладнюється, у них поєднуються широкі соціальні мотиви (усвідомлення обовязку, прагнення зберегти почесне місце у сімї, класі, усвідомлення ролі знань у підготовці до майбутньої трудової діяльності) із власне пізнавальними особистими мотивами (прагнення пізнати щось невідоме, уникнути покарання за невиконання домашніх завдань).

Причини послаблення інтересу до навчання:

.нестійкість чи недостатність сформованості позитивного ставлення до учбової діяльності;

.при загалом свідомому і відповідальному ставленні до навчання верх беруть захоплення чимось стороннім (читанням пригодницької літератури, футболом, лижами, ковзанами, компютером), що призводить до нехтування обовязку щоденно готувати уроки;

.послаблення інтересу як реакція на невдачі у навчанні. Реально гостро переживаючи ці невдачі, підліток маскує свої переживання, робить вигляд, ніби оцінки не мають для нього істотного значення;

.неприученість до трудових зусиль, неготовність і неспроможність без допомоги батьків (як це було раніше у початкових класах) справлятись із навчальними завданнями;

.несистематичність виконання навчальних завдань, праця ривками, що зумовлює бажання вдаватись до різних легких нечесних способів (шпаргалок, списування у товаришів);

.вади деяких аналізаторів (слабкість зору, слуху). Учень соромиться признаватися у цьому своїм одноліткам, не переборює труднощів і втрачає інтерес до навчання;

.негативні оцінні судження учителів, прояви з їх боку нетактовності, несправедливе оцінювання знань учнів, необєктивне применшування успіхів чи переоцінювання.

Формування мотивів учіння безпосередньо повязані із задоволенням домінуючих потреб віку, зокрема пізнавальної потреби. При умові її задоволення у підлітка формується стійкі пізнавальні інтереси, які визначають його позитивне ставлення до навчальних предметів. Незадоволення пізнавальної потреби породжує у підлітка не лише байдужість, апатію, але й негативне ставлення до нецікавих предметів.

Усвідомлення підлітком життєвої значущості знань є важливим мотивом їх учбової діяльності. Для підлітка дуже важливо усвідомити, осмислити значення знань для розвитку їх особистості. Позитивним є те, що знову зростає престиж знань. Пізнавальні і соціальні мотиви учіння підлітків розвиваються в єдності.

У підлітковому віці розширюється зміст поняття «учіння», що зумовлено самостійним набуттям знань, які виходять за межі навчальної програми. Учіння набуває особистісного смислу і перетворюється у самоосвіту.

Тому основна роль в забезпеченні рівня математичної підготовки учнів основної школи, що відповідає соціальному замовленню, належить вчителю математики. Глибоке знання свого предмету, уміння розв'язати завдання різного рівня складності, вільне володіння традиційними і сучасними методами, формами і засобами навчання, обізнаність в психолого - педагогічних основах математики завжди визначали і визначають в даний час професійну компетентність вчителя математики. Крім того, сьогодні вчитель повинен бути підготовлений до навчання математиці в умовах демократизації, гуманізації і диференціації навчального процесу, до використання нових інформаційних технологій.

Новій концепції навчання, а саме гуманізації та гуманітаризації буде відповідати формування та виховання інтересу учнів до вивчення математики, а саме використання історико-математичного матеріалу при вивченні сучасного шкільного курсу математики. Адже історія математики це історія розвитку людства. Сьогодні майже всі випускники шкіл недостатньо обізнані з історією розвитку математичної думки.

Майбутньому вчителю математики необхідно бути обізнаним з історією розвитку математики від стародавніх часів до Ньютона, а далі від Ньютона до Ейнштейна; з біографіями і працями великих вчених Індії і Китаю, більш відомих вчених, «великанів» науки - Евкліда, Піфагора, Архімеда, Беруні, ал-Хорезмі та інших; знати трагічні долі Галуа, Бояі, Лобачевського, познайомитись з ідеями сучасних вчених - Вінера, Глушкова, Колмогорова, Келдиша та інших. Приклади життя великих умів минулого, їх наукові та моральні вчинки впливають на процеси самовдосконалення та самовиховання учнів. Наприклад, великий вчений Бернулі, відомий геніальними відкриттями в області математики, астрономії, географії, ботаніки, геології увійшов в історію людства як видатний філософ-гуманіст і поет. Що ж дало силу відкриттям Бернулі для наступного розвитку наук і практичного використання отриманих ним наукових результатів? Головним для нього було - вивчити і зрозуміти. А тому, для сучасного вчителя, закладення цієї істини до фундаменту моральних поглядів, повинно представляти не меншу важливість, ніж ознайомлення учнів з прийомами вимірювання радіусу Землі, які і застосовував Беруні.

В поєднанні з вивченням навчального матеріалу шкільного курсу математики історичні відомості добре запам'ятовуються, а тому можуть бути засобом запам'ятовування навчальної інформації. З цієї точки зору важливо, щоб у свідомості учнів залишились не окремі, розрізнені епізоди з історії розвитку математики, а процес формування її основних ідей і методів. Не менш важливим є те що історія науки лає можливість учням спостерігати в дії взаємозв'язок і взаємообумовленість теоретичного наукового пізнання і практичної діяльності людини А не, в свою чергу, сприяє ефективному формуванню діалектико-матеріалістичного світогляду і наукового мислення школярів.

В процесі навчання математиці розрізняють такі вили історико - математичного матеріалу:

.Епізодичний екскурс в історію математики, походження терміну, посилання на першовідкривача формули, теореми або метолу.

.Більш тривала бесіда або розповідь

.Огляд життя і творчості окремих видатних математиків.

.Аналіз математичних результатів отриманих в певну епоху або тих. що відносяться до розвитку певних математичних теорій.

.Узагальнення і систематизація знань учнів з допомогою поглибленого історичного огляду, в якому аналізується розвиток тій чи іншої змістової лінії шильного курсу (числової, функціональної, лінії рівнянь і нерівностей толю).

Теоретично можливих таких видів, звичайно, набагато більше

За основу класифікації використання історичного матеріалу на уроках математики можна взяти:

Форму його подачі:

.Повідомлення-факт (коротка історична довідка).

.Бесіда або повідомлення-розповідь (взаємоповязані історичні факти, які можуть супроводжуватися перед розглядом ілюстративного матеріалу, наведенням і розвязанням історичних задач тощо).

.Повідомлення-огляд (наводиться більш глибокий аналіз розвитку тієї чи іншої змістової лінії опального курсу математики: числової, функціональної, диференціальні тощо).

Час, який відображено в цьому викладі: «вертикальний» зріз (характеристика історичного розвитку тієї чи іншої вітки математики); «горизонтальний» зріз (характеристика певної історичної епохи); персоналії (характеристика життя і діяльності того чи іншого великого майбутнього та минулого).

Функції історико-математичного матеріалу можуть бути: пізнавальні, виховні, методологічні, розвивальні, навчальні.

На практиці використовуються різні комбінації вказаних вище видів. Вибір того чи іншого виду буде залежати від зв'язків історичного матеріалу з навчальним, оскільки, домінуючою має виступати навчаюча (освітня) функція.

Аналіз різних функцій використання історичного матеріалу має велике значення, оскільки його результати мають вплинути на методику роботи вчителя.

В даний час принцип історизму набуває цілком іншого звучання в зв'язку з його винятковою роллю. Фрідман Л.М., відомий психолог і методист відмічає: «…проблема історизму до сих пір не отримала правильного рішення. Елементи історії математики вводяться в навчання «дуже несміло», в недостатньому обємі, у відриві із вивченим матеріалом» [15].

При введенні елементів історизму в шкільний курс математики необхідно дотримуватись наступних положень:

.Формувати в учнів діалектику матеріалістичного розуміння умов і причин зародження математики як науки.

.Історію математики необхідно використовувати для розкриття логіки її розвитку.

.Використання історизму у навчанні математиці дає можливість для створення проблемних ситуацій.

.Історизм слід застосовувати для виховання учнів патріотизму, національної гідності в досягненні вітчизняної математики та інтернаціоналізму.

.Введення історико-математичного матеріалу необхідне в органічній єдності зі змістом матеріалу, що вивчається.

Які існують шляхи органічного включення історико-математичних фактів в навчальний процес? Відповідь на поставлене запитання потребує знань методології математичної науки та методологічних основ побудови навчального процесу. Відомий автор навчального посібника «Історія математики» К.О. Рибніков вважає, що при самому широкому визначенні методології математики можна говорити про нерозривність історії і методології математики [41]. А одним із основних принципів наукової методологи є вимога вивчення зв'язків теорії і практики. Вплив виробництва і суспільної практики людей на розвиток математичної науки можна розкрити учням тільки на історико-математичному матеріалі. Звідси випливає доцільність побудови навчального процесу на основі історико-математичних фактів, бесід.

В діючих підручниках математики містяться сучасні трактовки того чи іншого математичного поняття, теорії. Але в поясненні вчителя, у змісті проведеної ним бесіди повинне знайтися місце і історії математики.

Вивчення теми розділу можна провести економно в часі, наприклад, запропонувавши учням самостійно вивчити текст з підручника математики або відповідну статтю історико-математичного змісту. Цим самим вчитель виграє в дохідливості свого пояснення, у формуванні інтересу учнів до вивчення математики, до історії науки і країни, до видатних особистостей минулого, які живуть в народній пам'яті цілі тисячоліття.

Слід відмітити, що реалізація принципу історизму при вивченні нової теми в процесі навчання математики в школі не повинна зводитися до пригадування двох-трьох прізвищ вчених. Мова йде про постійне прагнення вчителя продумано і систематично використовувати історичний матеріал.

Історія науки мусить бути головним провідником учня в його навчанні, оскільки:

В процесі шкільного викладення математики короткі історичні екскурси в минуле, розповіді про використання математики в задачах, які виникали перед людством, про значення питань практичного життя для розвитку самої математики завжди викликають жвавий інтерес учнів. А інтерес до предмету означає одночасно і створення умов для більш успішного його вивчення.

Бесіди учителя з учнями з історії науки створюють великі можливості для збудження творчих сил молоді, для зміцнення їх віри у власні можливості.

Елементи історії математики сприяють свідомому засвоєнню фактів, понять, законів, вони гуманітаризують зміст шкільної математики, сприяють реалізації міжпредметних зв'язків курсів алгебри, геометрії, фізики, астрономії.

Історія математики зрештою необхідна вчителю математики, бо він покликаний не тільки передавати своїм учням деяку суму знань і навичок, а і формувати їх свідомість, світогляд, готувати майбутніх творців і носіїв людської культури.


1.3 Внесок українських вчених в розвиток математики


Ще в Стародавньому Римі була сформульована думка: історія - вчителька життя. Стали крилатими і такі висловлювання: «виховання історією», «виховуючий потенціал історії», «готуючись до майбутнього, не забувай про минуле». Вони означають, що вся сукупність форм, методів і засобів, які використовуються для розповсюдження історичних знань, а не псевдознань, повинна сприяти відновленню самосвідомості мас і загальнолюдських цінностей.

Англійський філософ XVIII ст. Роджер Бекон писав: «Знання треба впроваджувати тим шляхом, яким воно входило в життя», а великий німецький вчений і математик Готфрід Лейбніц (1646-1716) стверджував: «Хто хоче обмежитись сучасним, без знань минулого, той ніколи його не зрозуміє».

Взагалі без історії предмета нема теорії предмета, а без предмета немає й думки про сам предмет. Наука починається з історії. Не знаючи історії науки, не можна правильно оцінити її сучасне і передбачити майбутнє.

Історико-педагогічне мислення допомагає вчителеві правильно оцінювати виховничо-освітні явища, як минулого так і сучасного. Воно попереджує його від помилок, перекручень, які зустрічаються в минулому і існують в сучасному.

О.С. Пушкін писав: «Повага до минулого - ось риса, яка відрізняє освіченість від дикунства». Цицерон стверджував: «Не знати, що трапилось до твого народження, значить завжди бути дитиною».

Отже, принцип історизму має особливе значення в розробці системи психолого-педагогічних і методичних наук, педагогічної освіти і перспектив її подальшого удосконалення.

Дійсно, сучасна педагогіка і методична наука є закономірним розвитком педагогічних цінностей, накопичених протягом всієї історії суспільного життя. Для підготовки кваліфікованого вчителя необхідно зорієнтувати його на глибоке вивчення всього людського досвіду в галузі викладання тієї дисципліни, яку він буде викладати в школі. Володіти почуттям історичної орієнтації повинен кожний вчитель в школі. Історико - педагогічне мислення дозволяє вчителеві правильно оцінювати виховничо-освітні явища як минулого так і сучасного. Огляд розвитку методики навчання будь-якого навчального предмету є доброю базою для створення ефективних сучасних форм і методів навчання цих предметів.

Знання з методики викладання математики і зацікавленість нею у вчителя значно підсилюються, якщо він добре обізнаний з історією рзвитку цієї науки. Рух до майбутнього неможливий без знання всього попереднього і історичного ланцюга, без засвоєння всього багатства досягнутого розвитку в даній науці: треба пам'ятати, що готуючись до майбутнього, треба не забувати минулого.

Зараз, коли йде реформа національної школи, особливо треба брати на озброєння все краще, що залишила нам класична педагогіка і методика - теорія навчання окремої шкільної дисципліни.

Біографічні дані кожної людини повчальні для учнів, а знаменитої - неоціненні, тому що в ній простежується весь аспект творчості вченого, і розповідь про великого вченого викликає природне бажання в учня бути схожим на нього. Зупинимось на біографіях наших земляків.

Єрмаков Василь Петрович (1845-1922)

Єрмаков Василь Петрович - український математик, член-кореслондент Петербурзької АН (з 1884 р.). Народився в с. Терюхи, біля Гомеля. Середню освіту В.П.Єрмаков одержав у Гомельській, а потім в Чернігівській гімназії. Закінчив Київський університет і був залишений при цьому університеті для підготовки до викладацької діяльності. З 1877 р. - професор Київського університету. Коло наукових інтересів В.П.Єрмакова досить широке. Йому належать дослідження з теорії диференційних рівнянь, теоретичного аналізу, варіаційного числення, теорії наближених обчислень та ін. У 1870 р. відкрив нову, досить цікаву і просту ознаку збіжності рядів. В.П.Єрмаков приділяв багато уваги педагогічній діяльності, влаштовував диспути про кращі методи викладання, друкував статті на педагогічні теми; у 1884-1885 рр. видавав «Журнал элементарной математики». Цей журнал під назвою «Вестник опытной физики и элементарной математики» видавався аж до 1917 р.

Діяльність В.П.Єрмакова залишила глибокий слід в методиці математики. Він був переконаний, що математику може вивчати кожний із середніми здібностями. Все залежить від педагогічної майстерності першого вчителя математики. Він писав: «В різноманітності методів і приймів - вся сила і зваба науки».

Георгій Феодосійович Вороний (1868-1908)

Георгій Феодосійович Вороний - одна з найяскравіших особистостей в історії математики кінця XIX-початку XX ст. Його перша праця «Розклад многочленів та множників, заснованих на властивостях коренів квадратних рівнянь», яка відноситься до гімназичних років (1885 р.), була надрукована на сторінках журналу з елементарної математики. Варто відмітити, що особливе захоплення математикою проявилось у Георгія Вороного не тільки завдяки природним здібностям, а також у результаті впливу на свідомість і захоплення юнака його викладача математики, Івана Володимировича Богословського.

Навчаючись у Петербурзькому університеті (1885-1889 рр.), Вороний формувався як учений. Його основною галуззю досліджень була теорія чисел, а науковим наставником був професор Андрій Марков.

Вороний самостійно, глибоко, детально дослідив розклад раціональних чисел на ідеальні множники в кубічному полі алгебраїчних чисел, узагальнивши на цей випадок алгоритм неперервних дробів [1, с. 17-23]. Разом з тим він установив ряд важливих теорем геометричного характеру і в подальшому велику увагу приділив дослідженням у галузі створюваної ним геометрії чисел. Зокрема це стосується глибоких досліджень многогранників. Так, відома теорема Вороного про паралелоедри: будь-який примітивний паралелоедр афінно еквівалентний DV-області деяких ґраток. Б. Делоне дав таку оцінку цим дослідженням: «Мемуар Вороного про паралелоедри - одне із найглибших досліджень у галузі геометрії чисел в усій світовій літературі, а своєрідність методів чисто геометричної першої частини накладає на мемуар відбиток геніальності».

Характерною рисою діяльності Вороного був інтерес до конкретних наукових проблем корінного значення, зокрема, майстерне володіння математичними методами, що в свою чергу давало змогу видатні наукові результати здобувати порівняно простим математичним апаратом, а також постійне звертання до практики, як джерела й важливого корінного фактора теоретичних досліджень.

Георгій Вороний, працюючи професором Варшавського університету, написав дві дисертації: магістерську - «Про цілі числа, залежні від кореня рівняння третього ступеня» (1894 рік) та докторську - «Про одне узагальнення алгоритму неперервних дробів» (1896 рік). Ним розроблені й створені нові напрями й методи досліджень у теорії чисел, зокрема дослідження асимптоматичних властивостей арифметичних формул. На основі цих досліджень організована російська школа теорії чисел.

Світове визнання Вороному принесли діаграми, названі на його честь, що застосовуються у багатьох галузях знань: у компютерній графіці, геометричному моделюванні, конструюванні роботів, розпізнанні образів, побудові географічних інформаційних систем. Діаграма Вороного - це особливий вид розбиття метричного простору, що визначається відстанями до заданої дискретної множини ізольованих точок цього простору. Цьому математичному обєкту присвячено багато статей. В 1992 році в Англії видано монографію A. Okabe, B. Boots, K. Sugiharan «Просторові мозаїки: Поняття та застосування діаграм Вороного».

Оскільки метод побудови за його діаграмами дозволяє створювати максимально міцні структури з використанням мінімальної кількості матеріалу, то цей метод часто використовується в інженерії, медицині, архітектурі тощо (прикладом застосування діаграм Вороного може слугувати Лампа-Гриб, дизайнера Андре Коельо).

Праці Георгія Вороного набули особливо великого значення за останні двадцять років. Це пов'язано із розвитком комп'ютерної графіки, молекулярної біології, радіаційної фізики, космології, творенням штучного інтелекту. За своє коротке життя він написав усього 12 наукових робіт, причому 8 з них успішно використовуються в наш час. Його наукові праці поклали початок кільком новим напрямкам в аналітичній теорії чисел, алгебраїчній теорії чисел, теорії функцій. Результати Вороного з теорії досконалих форм стали суттєвим внеском у теорії квадратних форм і стимулювали подальший розвиток у цьому розділі чистої математики. Ці дослідження продовжують сучасні математики. У книзі «Великі математики Європи» в числі таких, ста імен знаменитих учених, як Піфагор, Лобачевський та інші вписано й імя Георгія Вороного - нашого славного земляка, а його дослідження успішно продовжили такі математики як І.М. Виноградов, Б.О. Вєнков, Б.М. Делоне.

Результати досліджень Георгія Вороного та методи їх одержання привертають увагу вчених усього світу. Це свідчить, що, хоч наукові роботи українського математика були визнані геніальними ще його сучасниками, справжнє значення його наукового спадку розкривається лише в наш час.

Віктор Михайлович Глушков (1932-1982)

Творчий зліт В.М. Глушкова вражає своєю нестримністю. Його життя вистачило б на кілька життів. Випереджати час Віктор Михайлович умів уже в середній школі. Діапазон його захоплень був надзвичайно широкий: філософія, математика, фізика, література, ботаніка. Він вивчав окремі дисципліни в обсязі вузівських курсів. Заради улюбленої математики в нього вистачило сили відмовитися від улюбленої гри в шахи.

Народився Віктор Глушков у 1923 році у сім'ї вчителя в м. Ростовна-Дону. Його молодість припала на роки Великої Вітчизняної війни. Разом з іншими Віктор рив окопи і зводив оборонні споруди на Сталінградському фронті. Але кожної вільної хвилини він діставав свої книжки і продовжував штурмувати науки.

Під час війни юнака спіткало велике горе - від кулі фашистських окупантів загинула його мати.

У повоєнні роки Віктор Глушков працював на шахті і навчався одночасно у двох вузах - Новочеркаському політехнічному інституті та Ростовському університеті на механіко-математичному факультеті. Працювати доводилося, не переводячи подиху. Якось за десять днів сесії він склав на «відмінно» двадцять п'ять вузівських екзаменів.

Після закінчення навчання В. Глушков працював викладачем Уральського лісотехнічного інституту в м. Свердловську і паралельно займався дослідницькою роботою - шукав нові шляхи у розвитку техніки швидких обчислень. На той час, вже кандидат фізико-математичних наук, В.М. Глушков захистив дисертацію на вчений ступінь доктора математичних наук. У ній молодий вчений розв'язав одну з найскладніших алгебраїчних задач, яку поставив відомий німецький математик Д. Гільберт.

У 1956 році при Київському Інституті математики Академії наук УРСР було організовано лабораторію обчислювальної техніки із 60 науковців на чолі з В.М. Глушковим, з колективом якої Віктор Михайлович і здійснив свій кібернетичний старт. У 1957 році на базі цієї лабораторії створюється Обчислювальний центр АН УРСР, реорганізований згодом в Інститут кібернетики АН УРСР. Його керівником було призначено В.М. Глушкова. Кібернетика розвивалася з вражаючою швидкістю. Київські вчені створювали все потужніші й досконаліші ЕОМ, яких вимагало виробництво. За допомогою ЕОМ «Киев» уперше в світі здійснювалось керування з Києва технологічними процесами на відстані 500 км - вибір часу «плавки» сталі на Дніпродзержинському металургійному заводі. Потім були «Днепр - 1», «Промінь», «Мир - 1», «Днепр - 2», «Киев - 67», «Мир - 2», «Киев - 70». І це ще далеко не повний перелік ЕОМ і обчислювальних систем, створених під науковим керівництвом Віктора Михайловича.

Міжнародна популярність Інституту кібернетики Української РСР була величезною. Наприклад, у 1969 році В.М. Глушков одержав понад сто запрошень, в яких йому пропонували прочитати лекції з різних питань кібернетики. В.М. Глушкову належить понад 400 праць, з них 10 - спеціальних монографій. Через все своє життя Віктор Михайлович проніс радість першовідкриття і виховав багато молодих учених. Із запропонованих нарисів ти довідаєшся про цікаві відкриття академіка В.М. Глушкова та його колег у галузі кібернетики.

Мирон Онуфрійович Зарицький (1889-1961)

Ім'я М.О. Зарицького - талановитого математика, обдарованого педагога і популяризатора математичних знань, майже невідоме в Україні, хоча свого часу на праці українського вченого посилалися або цитували їх окремі положення французький математик Фреше, німецький математик Гільберт, професор з Варшави Серпінський та інші.

Народився Мирон Зарицький на Тернопільщині в родині сільського священика. Початкову школу Мирон закінчив у свого діда, а ще до неї самотужки навчився читати, писати і рахувати. Середню освіту він здобув у гімназіях міст Бережани і Тернопіль, а потім два роки навчався в українській гімназії у Перемишлі, яку закінчив 1907 року. Того ж року Мирон Зарицький вступив до Віденського університету. Після першого курсу батьки перевели його до Львівського університету. Тут він студіював математичні та фізичні дисципліни, а також продовжував займатися філософією, самотужки вивчав французьку мову. У 1912 році Мирон Зарицький закінчив університет, через рік склав учительський іспит і отримав звання учителя середніх шкіл з математики та фізики. Вчителюючи у гімназіях, він також робив перші кроки в науковій роботі з математики. У 1925 році М.О. Зарицкий, вже одружений, переїхав до Львова, де продовжив займатися науковою роботою. У той час учені-українці Галичини зосереджували свою наукову діяльність здебільшого на Науковому Товаристві ім. Т. Шевченка.

року М.О. Зарицького обирають дійсним членом цього Товариства, де працювали відомі на той час українські математики: В.Й. Левицький та М.А. Чайковський. Багато спільного було в житті та долі цих трьох вчених. Їхні наукові розробки були актуальними і стояли на рівні світової математичної науки того часу.

У 1930 році Львівський університет присудив Мирону Онуфрійовичу вчений ступінь доктора філософії. До 1939 року він надрукував близько 20 наукових праць у львівських та іноземних виданнях і в цей період сформувався як серйозний математик з філософським ухилом. Потім була напружена і цікава робота в Львівському університеті, Львівському політехнічному інституті, Ужгородському університеті. 1945 р. йому було присвоєно звання професора, а 1946 р. - вчений ступінь кандидата фізико-математичних наук.

Коло інтересів професора М.О. Зарицького не обмежувалось однією математикою. Він був обізнаний з природничими науками, з світовою літературою, філософією. На науку він дивився, в першу чергу, як на правду і красу, що підносить людину на вищий щабель її духовного розвитку. Недаремно професора М.О. Зарицького називали «поетом формул».

Прочитавши нариси та статтю, ти довідаєшся, як багато встиг зробити вчений для свого народу, а ознайомившись зі спогадами (додаються до нарисів Б. Пташника), ти зрозумієш, чому такою великою повагою користувався М.О. Зарицький і як учений, і як громадянин, і як людина.

Михайло Пилипович Кравчук (1892-1942)

«Михайло Кравчук - математик широкого масштабу. Його ім'я добре відоме у світовій математичній науці. Світ не знав лише, що він - українець.» Довго не знали про цю надзвичайно талановиту людину і його земляки. Про це з болем пише у своїй статті його син О.М. Кравчук, доцент Волинського державного університету. Адже ім'я М. Кравчука було занесено до списку «ворогів народу», а сам він, повний енергії і творчих задумів, був засланий на Колиму і пішов з життя у неповних п'ятдесят років.

Лише 1992 року, після довгих літ забуття, наукова громадськість України та світу широко відзначила 100-річчя від дня народження видатного вченого. Його ім'я було занесено по лінії ЮНЕСКО до Міжнародного календаря визначних наукових діячів. Для цього були поважні підстави, адже праці М.П. Кравчука становлять фундаментальне надбання кількох галузей математичної науки.

З наведених нарисів та статей ти довідаєшся, що народився М. Кравчук 1892 року у селі Човниці на Волині в сім'ї інженера-землеміра. Початкову освіту він здобув удома. Його мати була освіченою жінкою, знала кілька іноземних мов і добре виховувала чотирьох дітей. 1901 року сім'я переїхала до Луцька, де в 1910 році Михайло Кравчук закінчив гімназію із золотою медаллю. Цього ж року він вступив на математичне відділення фізико-математичного факультету університету Св. Володимира в Києві, закінчив його у 1914 р. з дипломом 1-го ступеня і залишився в ньому працювати.

Відтоді й почалася його титанічна творча наукова і педагогічна праця. Він викладав різні математичні курси у багатьох вищих та середніх закладах м. Києва.

У роки громадянської війни М. Кравчук виїжджає на село. У 1919-21 рр. він був викладачем і директором школи в селі Саварці на Богуславщині. Його колишні учні, які вступали до технікумів та вузів, вражали викладачів своїми знаннями з математики. У цій школі під опікою М.П. Кравчука розпочав свій шлях у велику науку сільський хлопець Архип Люлька, пізніше - відомий український вчений, творець реактивних авіадвигунів. До речі, у Київському політехнічному інституті лекції М. Кравчука слухав і майбутній славетний конструктор космічних кораблів Сергій Корольов.

Михайло Пилипович був людиною неабиякої ерудиції та культури. У 25 років він став приватдоцентом кафедри математики, у 33 - доктором наук, у 37 - дійсним членом Всеукраїнської академії наук. Вільно володіючи кількома мовами, він підтримував наукові й особисті дружні стосунки з відомими математиками світу - Адамаром, Гільбертом, Курантом та ін. Свої наукові праці писав різними мовами, але найбільше - рідною. Академік М.П. Кравчук брав найактивнішу участь у творенні української наукової термінології та у запровадженні наукової мови в математичну галузь.

М.П. Кравчук належав до тих учених, чиї праці відкривають нові шляхи у розвитку науки і передбачають напрямки її розвитку в майбутньому.

«Моя любов - Україна і математика», - ці слова Михайла Пилиповича Кравчука викарбовано на гранітному постаменті пам'ятника, який встановлено йому в 2003 році перед корпусом музею Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут». У селі, де він народився, в 1979 році відкрито музей та встановлено погруддя великого патріота і математика.

Володимир Йосипович Левицький (1872-1956)

«Основоположник математичної культури нашого народу», - так сказав про Володимира Левицького академік Михайло Кравчук.

І мав на це всі підстави. Саме професор В.Й. Левицький першим написав справжню фахову статтю з математики українською мовою, був незмінним редактором першого українського наукового часопису з природничих наук, першим згуртував навколо себе математиків-українців для наукової роботи…

Народився Володимир Левицький у Тернополі у старовинній родині священика. Прадід і дід майбутнього математика були священиками, а вже батько - Йосип Левицький - закінчив правничий факультет Львівського університету. Коли Володимирові минуло п'ять років, померла мати. Родина переїхала до Золочева. Там у п'ятирічному віці хлопець пішов до першого класу школи. Потім було навчання в Тернопільській гімназії та польській гімназії Франца Йосифа, яку він закінчив з відзнакою. 1890 року В. Левицький вступив до Львівського університету на філософський факультет, де слухав лекції з математики і фізики, самостійно читав наукові роботи видатних математиків. А 1893 р. він увійшов до складу математично-природописно-лікарської секції Наукового товариства ім. Т. Шевченка. Вже на п'ятому засіданні секції молодому випускникові університету було доручено укласти українську фізичну і математичну термінологію.

Після закінчення навчання В. Левицький йде на рік до війська, а потім продовжує викладацьку діяльність у Тернопільській гімназії. У Тернополі ж він одружився зі своєю своячкою Софією.

У 1989 р. В.Й. Левицький входить до складу національно-демократичної партії. Одним з пунктів практичної політики партії було створення українського університету у Львові. У зв'язку з цим Володимир Левицький проходив стажування у Німеччині. Після цього аж до першої світової війни він працює в гімназії у Львові, друкує багато статей.
З 1924 року В. Левицький працював у гімназіях фаховим інструктором з математики і фізики, одночасно багато сил і часу віддаючи Науковому товариству ім. Т. Шевченка, головою якого він був з 1932 по 1934 рік.
Після приєднання Західної України до Радянського Союзу В.Й. Левицький працював спочатку в новоствореному Львівському педагогічному інституті, а з 1940 року - у Львівському університеті, де через рік йому було присвоєно звання професора.

Володимир Йосипович Левицький написав майже 100 науково-популярних статей і перекладів. Свої праці він друкував українською, польською, німецькою, французькою, англійською та іспанською мовами. Майже вся наукова і громадська робота В.Й. Левицького проходила в Науковому товаристві ім. Т. Шевченка. Він був також членом Польського астрономічного товариства, Французького та Німецького наукових товариств.

Детальніше про наукову та громадську діяльність професора В.Й. Левицького ти прочитаєш у статті та нарисі.

Михайло Васильович Остроградський (1801-1862)

Михайлу Остроградському належить одне з найпочесніших місць в історії світової математичної науки. Непересічний талант, сміливий і гострий розум, висока математична ерудиція, знання сучасного природознавства дозволили Михайлу Васильовичу зробити першорядні відкриття в багатьох галузях математики і механіки.

Народився Михайло Остроградський у селі Пашенна Кобеляцького повіту на Полтавщині. Тут пройшли його дитячі та шкільні роки. Він походив з відомого українського козацько-старшинського роду і завжди цим пишався.

Життєвий шлях видатного математика був цікавим, але тернистим. Його математичні нахили почали проявлятися ще в дитинстві. Все, що його оточувало, хлопець намагався вивчати з математичної точки зору: вимірював глибину колодязя, визначав розміри іграшок, грядок, будівель і для цього завжди носив з собою мотузку з прив'язаним камінцем.

У 1809 р. Михайла віддають до пансіону при Полтавській гімназії. Незважаючи на неабиякі здібності, які були помічені педагогами, науками він не захопився і мріяв тільки про одне - стати військовим. Поступаючись палкому бажанню сина та зваживши на його богатирську зовнішність, батько вирішив віддати Михайла до гвардійського полку. Проте, за порадою дядька П. Устимовича, він везе сина для підготовки і вступу до Харківського університету. І вже восени 1816 р. Михайло Остроградський стає вільним слухачем, а згодом - повноправним студентом відділення фізичних та математичних наук.

Його вчителями з вищої математики були професор А. Павловський та ректор університету Т. Осиповський. Помітивши математичні здібності М. Остроградського, вони змогли пробудити в нього спочатку інтерес, а потім і палку любов до математики. М. Остроградський блискуче склав іспити, але одержати атестат про закінчення університету йому не довелось через переслідування реакційних чиновників-викладачів.

Для завершення освіти Михайло Остроградський 1822 р. їде в Париж, де відвідує лекції відомих математиків: П. Лапласа, О. Коші, С. Пуассона, А. Ампера, Ж. Фур'є та ін. У Парижі М.В. Остроградський провів шість нелегких років. Тут остаточно визначилися напрями його пошукових інтересів, і він пише перші наукові роботи. Матеріальне становище М. Остроградського було дуже скрутним, і ще трохи протриматись у Парижі дало йому змогу місце викладача і завідуючого кафедрою математики у коледжі Генріха ІV, отримане за рекомендацією О. Коші.

р. М. Остроградський повернувся до Росії, в Петербург. Роботи Михайла Васильовича одержали визнання в усьому світі. Його обирають членом-кореспондентом Паризької Академії наук, академіком Російської, Туринської, Римської, Американської академій, почесним членом Київського, Московського університетів та багатьох наукових товариств.

М.В. Остроградський був справжнім патріотом. Він любив свій рідний край і українську культуру. Крім своєї рідної української мови, вчений вільно розмовляв російською та французькою. Був знайомий з багатьма представниками передової української інтелігенції того часу: І. Котляревським, Т. Шевченком, С. Гулаком-Артемовським, М. Лисенком, М. Максимовичем та ін. Значну частину творів Т. Шевченка великий математик знав напам'ять.

Помер М.В. Остроградський раптово, в Полтаві, їдучи до Харкова на лікування. Поховали його в рідному селі Пашенна. У Полтавському педінституті відкрито перший в Україні музей М.В. Остроградського. На пропозицію Національної комісії України у справах ЮНЕСКО 200-річчя від дня народження видатного українського математика внесено до календаря пам'ятних дат ЮНЕСКО.


2. Методична система використання елементів історизму в процесі вивчення математики в основній школі


2.1 Методичні особливості використання елементів історизму на уроках математики


Використання історичного матеріалу «гуманізує» і «гуманітаризує» шкільну математику. Думка, що історичний матеріал забирає багато часу і перевантажує учнів, є хибною. Відомості з історії математики пожвавлюють уроки, дають можливість більш грунтовно і свідомо засвоїти математичні поняття, створюють уявлення про математику як науку, що постійно розвивається.

Роль математики в різні часи оцінювали по-різному. Одні вчені розглядали її як інструмент для інженерів і науковців, інші - як засіб для розвитку логічного мислення. Тепер бажано дивитись на неї ширше: історія математики є частиною історії культури. Вона знайомить учнів з фактами культурного життя людства, демонструє тернистий шлях вчених та їх теорій до повного визнання і сприйняття сучасниками чи, можливо, лише наступними поколіннями. Математичні поняття, відношення і теорії завдяки історичній динамічності стають ближчими і зрозумілішими учням.

Знайомство учнів з історією математики означає продумане, сплановане використання на уроках фактів з історії науки та їх органічне переплетення з систематичним викладом усього матеріалу програми. Всі повідомлення з історії математики мають бути достовірними, доступними розумінню учнів і не повинні заважати вивченню програмного матеріалу.

Основна форма ознайомлення з історією математики - короткі історичні повідомлення. Цей матеріал, може бути використаний на будь-якому етапі уроку (але не на кожному уроці). Навчання математики слід супроводжувати історичними екскурсами, відступами, порівняннями, історичними задачами. Ці повідомлення, як правило, мають займати небагато часу, не повинні відволікати учнів надто далеко від безпосередніх інтересів теми, що вивчається Іноді такі історичні відступи, екскурси корисно провести на початку вивчення того чи іншого матеріалу, іноді пов'язати з яким-небудь конкретним питанням теми, уроку чи навіть задачі, інколи наприкінці уроку Такі повідомлення можуть бути обмеженими кількома словами, іноді можна більш конкретно висвітлити історію того чи іншого питання, біографічні відомості про того чи іншого математика.

Виклад історичних відомостей не може бути відірваним від самої математики. Історичні екскурси можна пропонувати учням на різних етапах уроку і з різною метою. А саме: з метою мотивації або підвищення інтересу до її вивчення, як засіб активізації навчально-пізнавальної діяльності учнів; узагальнення та систематизації вивченого матеріалу, реалізація виховної мети уроку.

Розкриємо методичні особливості введення елементів історизму з вказаними вище цілями.

Перед вивченням нової теми - з метою мотивації або підвищення інтересу до її вивчення.

Важливим місцем у роботі вчителя є формування мотивації навчання в учнів. Бо якщо в учнів є бажання і інтерес до навчання, якщо вони вчаться не з примусу, а за бажанням і внутрішніми потребами і мають сформовані стійкі мотиви до навчання, то вони можуть більше реалізувати свої здібності у вивчені різних предметів: математики, фізики, хімії, будуть зацікавлені предметом. А якщо в учня нема мотивів вивчати математику або ці мотиви слабкі, його вчення перетворюється на безцільну муку. У цьому полягає одна з найважливіших причин відставання багатьох школярів з математики. Усунути цю причину можна лише одним способом: своєчасно сформувати дієві мотиви учіння.

Мотивація навчальної діяльності не тільки забезпечує високу ефективність цій діяльності, але й має моральний аспект: у кінцевому результаті вона виступає як реалізація потреби бути особистістю. Цілком справедливо відзначав В.О. Сухомлинський: «Найстрашніше лихо для школи, лихо для суспільства, якщо молодій людині не хочеться знати» [8]. Власне тому проблема формування мотивації навчання як одного із основних напрямків педагогічної діяльності вчителя на шляху оптимізації навчання і виховання школярів за останні роки стала обєктом пильної уваги вчених і вчителів. Тому актуальність вивчення проблеми мотивації, мотивів навчання е незаперечною.

Проблема мотивації навчання давно стоїть і перед педагогічною теорією та практикою. Ще Я.А. Коменський писав, що всіма можливими засобами треба запалювати в дітях палке прагнення до знань та навчання.

Дидактика сучасної школи під мотивами навчальної діяльності школярів розуміє внутрішні імпульси, які спонукають уважне відношення до своїх навчальних обовязків, до ретельності, охайності при виконанні завдань.

Проблема підвищення рівня знань з математики нині особливо актуальна. Недоліки системи шкільної освіти, соціальні умови призвели до того, що більшість школярів почали просто уникати цей предмет. Одні вважають, що він їм не під силу, інші, що знання з математики не знадобляться у житті. Завдання вчителя: переконати кожного учня в тому, що навіть мінімальний рівень математичних знань піднімає його на більш високий рівень людського спілкування. Вивчення математики - нелегка праця, але математика виховує розсудливість, гнучкість розуму, логічність думки і здатність прогнозувати певні ситуації наперед. А це особливо потрібно кожному у ринкових умовах.

Мотивація навчання математиці - це система пізнавальних мотивів, тобто сукупність, комплекс усіх спонукань до знань, допитливості, пізнавальної потреби, навчальної діяльності, зацікавленості до наукового пізнання та пошуку істини.

Одним із способів та методів стимулювання й мотивації інтересу до навчання математики у учнів є використання історичного матеріалу.

Математика, на відміну від інших навчальних предметів, має узагальнюючий і абстрактний характер. Учням приходиться оперувати такими поняттями як число і міра, просторові форми, і вони сприймаються ними як формальні, відірвані від життя немов би продукт чистого мислення.

Тому перед учителем постає завдання перебороти цю тенденцію, пов'язати навчання з життям і показати учням, що виникнення математичних понять і задач пов'язане з практичною діяльністю людини і є результатом узагальнення нею явищ дійсності, творіння пращурів.

Багато вчених-педагогів відмічають, що при виборі методів навчання історія науки повинна бути головним джерелом. Щоб у школярів виникла підвищена зацікавленість до математики, щоб вона не здавалась їм нудною, сухою наукою, доцільно включити в навчальний процес елементи історизму, народності, систематично пропонувати вправи з розв'язування і складання задач з життєвим змістом, розглядати старовинні і народні задачі, створювати такі умови, щоб учні мали можливість спостерігати як і з яких джерел випливають математичні істини. Учням треба доступно показати, що математика виникла під впливом розвитку суспільства, економіки, техніки і природничих наук, що системи математичних знань є наслідком соціального досвіду культури, цілеспрямованої діяльності людей.

Наведемо приклад.

Вивчаючи у 6 класі тему «Додатні та відємні числа. Число 0», щоб зацікавити учнів, розповідаємо про походження, історію відємних чисел та числа 0, пояснюємо учням наскільки важливим стало для людей відкриття відємних чисел та числа 0.

Введення негативних величин вперше відбулося у Діофанта. Він навіть використовував спеціальний символ для них (зараз ми в цій якості використовуємо знак «мінус»). Правда, вчені сперечаються, позначав чи символ Діофанта саме від'ємне число або просто операцію віднімання, тому що у Діофанта негативні цифри не зустрічаються ізольовано, а тільки у вигляді різниць позитивних; і в якості відповідей у завданнях він розглядає тільки раціональні позитивні числа. Але в той же час Діофант вживає такі звороти мови, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило знаків: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивний, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне».

Після цього діти більш зацікавлено відносяться до вивчення даної теми, що дає змогу активніше з ними працювати.

У 7 класі починається вивчення одного з фундаментальних понять шкільної математики - функції. В основі поняття функції лежить поняття про змінну величину. Необхідність у цьому понятті виникла під час розвязування практичних проблем механіки (І. Ньютон, XVII ст.), а також як внутрішня проблема математики, повязана з геометричними питаннями (П. Ферма, Р. Декарт, XVII ст.), в яких розглядалася залежність між ординатою і абсцисою точки, що описує певну лінію.

Введення терміна «функція» належить німецькому вченому Лейбніцу (1694 р.), який вивчав рух точки, що описує лінію. У тому тлумаченні, яке зараз дається у школі (тобто як залежність між двома змінними), функція вперше була означена російським вченим М.І. Лобачевським (1834 р). Це означення було дещо уточнене німецьким вченим Л. Діріхле (1837 р).

Поняття функції набуває свого виключного значення в математиці у XVII ст. завдяки працям Р. Декарта (він ввів поняття змінної величини і функції, створив метод прямолінійних координат), І. Ньютона (вивчав і використовував це поняття для дослідження шляху і швидкості - функції від часу), Г. Лейбніца (ввів терміни: функція, абсциса, ордината, координата).

Введення буквеної символіки сприяло дослідженню зміни величин, оскільки кожній букві можна було надавати безліч різних значень Поява поняття змінної величини в свою чергу викликала бурхливий розвиток математики, розширила можливості її застосування для розв'язання прикладних задач мореплавства, геодезії, фізики, техніки та ін.

З цього приводу Ф. Енгельс писав, що поворотним пунктом у математиці була Декартова змінна величина.

У XVII ст. в поняття функції вкладався геометричний і механічний зміст, швейцарський вчений І. Бернуллі під функцією розумів формулу, яка повязує одну змінну величину з другою, відповідною їй. Його учень Л. Ейлер дав остаточне формулювання означення функції як аналітичного виразу. Так склався аналітичний спосіб функції формулою. Прообразом табличного способу завдання функції можна вважати стародавні вавілонські таблиці квадратів і кубів, близькосхідні таблиці тангенсів і котангенсів і т. п.

Відомий французький математик П. Ферма (XVII ст.) одночасно з Р Декартом, але незалежно від нього, встановив відповідність між алгебраїчними рівняннями з двома змінними та їх графіками на площині, де задана система прямокутних координат. Учений розглядав графіки загального лінійного рівняння, рівняння кола, гіперболи ух а (але лише її вітку у 1 квадранті), а також деякі конічні перерізи, відомі з творів давньогрецьких геометрів.

Метод координат почав широко застосовуватися для графічного дослідження функцій. Важливим кроком у розвитку математики стало встановлення залежності між лініями (графіками) і рівняннями (формулами), які їм відповідають.

В наш час графіки функцій, які дають наочне уявлення про характер залежності між величинами, широко застосовуються у різних галузях фізики, техніки, а також у суто математичних дослідженнях.

На перших уроках геометрії 7 класу доцільно розповісти про історію розвитку геометричних понять. Зародження основних геометричних понять почалося ще в доісторичний період. Перші реальні передумови виникнення наукових знань із геометрії повязані з трудовою діяльністю людини, з необхідністю створення знарядь праці та засобів існування. Матеріальні потреби змушували людей виготовляти знаряддя праці, будувати житло і культові споруди, ліпити глиняний посуд. Виконуючи ці операції тисячі разів, вони поступово дійшли до одного з перших абстрактного геометричного поняття - прямої лінії. Приблизно таким же способом виникли і інші геометричні поняття: точки, поверхні геометричного тіла тощо. Саме цей початковий період розвитку геометрії характеризується нагромадженням фактів і встановленням перших найпростіших залежностей між геометричними образами та об'єктами.

Лінія (крива) є одним із найважливіших геометричних об'єктів, однією з основних чистих геометричних форм, що має широке використання в різних галузях математики і її застосуваннях. Формування і кристалізація загального означення лінії тривало більше 2000 років, від означення Евкліда «лінія - це довжина без ширини» до строгого внутрішньо геометричного означення П.С. Урисона «лінія - це зв'язний континуум топологічної розмірності 1». На сучасному етапі поняття лінії означають через трактування її Декартом, Жорданом, Кантором, Пеаном тощо. Не дивлячись на відносну простоту поняття лінії на інтуїтивному рівні, його загальне означення вимагає фунтовної підготовки з використанням, зокрема, топологічних понять, що забезпечити при викладанні традиційних курсів аналітичної геометрії.

В курсі алгебри 8-го класу вивчається тема «Теорема Вієта». Як зацікавити учнів? Можна розповісти цікавий момент з життя Франсуа Вієта. За освітою він юрист і служив при дворі французького короля Генріха IV. Під час війни Франції з Іспанією Вієт знайшов ключ до шифру, який застосовували іспанці і засіб стежити за всіма змінами у ньому. Довгий час хід війни змінювався на користь Франції. Коли в Іспанії дізналися, що Вієт розшифрував їхню секретну інформацію, його заочно приговорили до спалення. Врятувало Вієта тільки те, що король не видав його іспанській інквізиції.

Учням корисно буде дізнатися, що в математику Вієт увійшов шляхом самоосвіти і став «батьком символічної алгебри». Саме у працях Вієта алгебра стає наукою про алгебраїчні рівняння, яка грунтується на символічних позначеннях. Вієт уперше став позначати буквами не тільки невідомі, а й коефіцієнти рівнянь, що дало змогу вивчати загальні властивості рівнянь та їх коренів.

Знайомлячись з теоремою Піфагора на уроках геометрії у 8 класі, корисно повідомити біографію великого вченого Піфагора. Піфагор народився на Самосі близько 580-500 р. до н.е. Згідно з легендою, його батько, Мнесарх, звернувся до Піфії з приводу однієї дуже важливої для нього подорожі. Він отримав відповідь, що подорож буде успішною, а його дружина народить дитину, яка буде виділятися з-поміж усіх, хто жив коли - небудь, красою й мудрістю, і принесе людському роду дуже велику користь на всі часи. Після пророцтва Мнесарх дав своїй дружині нове ім'я - Піфаїда, а новонародженому - Піфагор. У молоді роки Піфагор виїхав до Єгипту вивчати науки і пробув там майже 22 роки. Під час завоювання Єгипту Персією, його захопили в полон і вивезли до Вавилону, де він прожив близько 12 років. У Вавилоні Піфагор вивчав, крім математики, астрологію й астрономію.

Здобувши широкі знання в галузі природничих наук (у тому числі й математичних), Піфагор повернувся на о. Самое, де мав намір створити свою школу. Але в своєму рідному місті Піфагор не знайшов однодумців і переселився до м. Кротона, де організував гурток, який пізніше дістав назву Піфагорійської школи. Організація піфагорійців була таємною, одночасно і філософською школою, і політичною партією, і релігійним братством.

Наукові, насамперед математичні, дослідження Піфагора і його школи були органічно пов'язані з філософією. Так, числам натурального раду вони надавали надприродного, містичного значення, тому математика в їх філософському трактуванні мала таємничий характер, недоступний, на їх думку, для звичайних людей. Вони висловлювалися так: «Речі - відображення чисел, числа - закон і зв'язок світу, це сила, що керує богами і смертними…».

Піфагор першим з грецьких математиків знайшов пропорції і найпростіші прогресії.

Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну.

Піфагор установив, що коли довжини струн музичного інструмента відносяться як 6: 4: 3, то в звучанні вони дають правильний гармонійний акорд. Назву «гармонічна» пропорція, очевидно, взято звідси.

Піфагорійці розрізняли такі види чисел: числа добрі - непарні числа, числа злі - парні числа, числа досконалі, що дорівнюють сумі своїх дільників (наприклад, 6 = 1 +2 + 3), числа дружні - такі, з яких кожне дорівнює сумі Дільників другого, але без самого числа, числа пірамідальні, многокутні тощо.

Можна припустити, що найпростіший з трикутників, так званий єгипетський, зі сторонами 3, 4, 5 став відомим Піфагору після подорожі країнами сходу (Єгипет, Вавилон). Вважають, що Піфагор знайшов правило (теорему Піфагора) для знаходження сторін такого трикутника, яке можна подати формулою: х2 + у2 = z2.

Відкриття цієї теореми, яку історики приписують самому Піфагору, мало вирішальний вплив на подальший розвиток античної математики, бо привело до встановлення існування несумірних відрізків у геометрії та ірраціональних чисел в алгебрі.

Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180,

Доля Піфагора, як і його школи в Кротоні, трагічна. Один із впливових людей Кротона, Кілон, претендував на дружбу Піфагора. Коли його не прийняли до братства через важкий і владний характер, він став його ворогом і організував змову проти піфагорійців. Прихильники Кілона підпалили дім, де збирались піфагорійці. Чи був там Піфагор, точно не відомо, але, за переказами, врятуватися вдалось лише двом: Архіппу та Лісиду. За іншою версією, Піфагор, втікши від заколотників, загинув у Метапонті, у святилищі муз.

У процесі вивчення теми - як засіб активізації навчально - пізнавальної діяльності учнів.

Приклад. У 7-му класі вивчається тема «Формули скороченого множення». Вправи до цієї теми досить одноманітні. Теоретичний матеріал займає мало часу. Доцільно згадати, що формули скороченого множення були доведені геометрично ще в VI ст. до н. е. в школі Піфагора і запропонувати учням вивести їх так, як робили це стародавні греки, використавши малюнок з підручника.

В класі обов'язково знайдуться учні, які помітять, що площа великого квадрата (а+b)2 дорівнює сумі площ двох квадратів а2 і b2 та двох прямокутників 2ab. Отже, (a+b)2= а2 +2аb+ b2.

Після такого доведення бажано запитати в учнів, чи не можна у виведенні формули квадрата суми обмежитись геометричним доведенням. Цим самим створюється проблемна ситуація. Якщо учні не можуть самостійно її розв'язати, то вчитель має наголосити, що таке доведення справедливе лише для додатних чисел, а формули скороченого множення справедливі для будь-яких чисел, про що свідчить алгебраїчне доведення. Стародавні греки не знали відємних чисел і тому їх влаштовувало геометричне доведення, коли число представляли у вигляді відрізка.

Багато авторів вміщувало ці малюнки чи в теоретичну частину підручника математики чи в систему вправ, але більшість вчителів обминають їх, так і не усвідомивши їх розвивальний характер.

При вивченні теми «Теорема Піфагора» у 8 класі розглядають, як правило, одне формулювання і не більше двох доведень теореми, тому бажано ознайомити учнів із різними способами доведення та формулювання теореми, наголосити на тому, що у наш час теорему доведено більше як 300 способами.

Історія теореми Піфагора про залежність між сторонами прямокутного трикутника починається задовго до Піфагора, її історія оповита легендами. Виявляється, що вона була відома єгиптянам, вавілонянам, китайцям та індійцям задовго до Піфагора. Німецький історик математики Г. Кантор вважає, що рівність 32+42=52 була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н.е.

На його думку гарпедонапти («натягувачі мотузок») будували прямі кути за допомогою прямокутного трикутника з сторонами 3, 4, 5. Можна легко уявити, як це вони робили.

Візьмемо мотузку довжиною 12 м і прив'яжемо до неї кольорові стрічки

На відстані Зм від одного кінця і 4 м від другого. Потім натягнемо мотузку так, як показано на малюнку. Прямий кут буде між сторонами 3 м і 4 м.

Теорема Піфагора була відома вавілонянам раніше, ніж за 1000 років до Піфагора і правила їм за джерело задач на квадратні рівняння.

Властивості трикутника із сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н.е., про це о засвідчує математична книга Чу-Пей.

Геометрія індусів, як і в єгиптян і вавілонян, була тісно пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько УШ ст. до н.е.

Теорема Піфагора має різні формулювання. В «Початках» Евкліда вона формулюється так: у прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут. Евклід у своїх «Початках» наводить вісім способів доведення.

Латинський переклад арабського тексту: у всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутій над прямим кутом. Дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що замикають прямий кут.

У перекладі з німецької читається так: площа квадрата, виміряна довгою стороною трикутника, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні Двома сторонами його, що прилягають до прямого кута.

У першому російському перекладі евклідових «Початків», зробленому з грецької Ф.І. Петрушевським у 1819 році, теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат із сторони, протилежної прямому куту. Дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут».

В Франції і деяких областях Німеччини теорему Піфагора називали «МОСТОМ ослів» (якщо учень не зумів через нього перейти, то це був справжній осел). Вважають, що вона формулювалась так: «Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах».

Після вивчення і закріплення теми - з метою узагальнення та систематизації вивченого матеріалу.

Приклад. На уроці систематизації та узагальнення знань з теми «Додавання та віднімання дробів» у 6-му класі бажано розглянути еволюцію дробів у різних країнах.

Для прикладу наведемо фрагмент уроку узагальнення і систематизації знань з теми «Послідовності. Прогресії», який містить елементи історизму.

Послідовності - явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих П тисячоліттям до н. е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж віків людей приваблювала внутрішня гармонія і строга краса числових рядів.

Цікаві властивості має послідовність простих чисел. До цього часу для її членів не знайдена ні рекурентна формула ні формула для п-го члена. їх можна знайти лише відомим із стародавніх часів способом - за допомогою так званого решета Ератосфена.

Італійський математик Фібоначчі у зв'язку із задачею про розмноження кролів увів послідовність, де кожний наступний член дорівнює сумі двох попередніх: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…. Для цієї послідовності є і рекурентна формула ап+2 = аn+1 + аn і формула n-го члена


Є й чудові зразки скінченних послідовностей. Наприклад, послідовності, Що виражають залежність між кількістю правильних многокутників, якими може бути повністю покрита вся площина навколо точки та числом сторін таких многокутників. Ще в школі Піфагора було встановлено, що такими многокутниками можуть бути лише трикутники, чотирикутники, шестикутники. Відповідні послідовності: 3, 4, 6 та 6,4, 3.

Задачі, створені на основі арифметичної та геометричної прогресій, були і запишаються доброю нагодою випробувати кмітливість та гнучкість розуму. В шкільному підручнику вміщено близько десяти історичних задач на прогресію - це лише незначна частина. Розглянемо ще кілька таких задач. Задачі з історичним вмістом є досить цікавими та стимулюють дітей.

Задача. Забавная арифметика» М.М. Аменицького та І.П. Сахарова, 1910 р). Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на два тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 карбованець, другого - 2, третього - 3, і т.д., збільшуючи щоденну плату на 1 карбованець. Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 копійку, другого - 2, третього - 4 і т.д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю на це згодився, вважаючи умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?

Розв'язання. Сума, яку має сплатити бідняк багатію, складає суму 14 членів арифметичної професії, перший член та різниця якої дорівнює 1 (105 карбованців). А багатій бідняку сплачує суму, яка складає суму 14 членів геометричної прогресії з першим членом, рівним 1, та знаменником 2 (16383 копійки або 163 карбованці 83 копійки).

Отже, багатій не лише не отримав зиску від цієї угоди, а змушений був доплатити бідняку 58 карбованців 83 копійки.

Задача ('Бахшалійська рукописна арифметика», Індія, VII ст.). Подорожній в перший день проходить дві одиниці шляху, а в кожний наступний день - на три одиниці більше. Другий подорожній проходить в перший день три одиниці шляху, а в кожний наступний - на дві одиниці більше. Коли перший наздожене другого?

Відповідь. На кінець третього дня.

Задача (З індійського фольклору). Цар дуже любив шахи і обіцяв винахідникові гри дати велику винагороду. Винахідник запросив дати йому за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу - дві, за третю - чотири і далі за кожну клітину вдвічі більше, ніж за попередню. Цар здивувався, щовинахідниктакмалозапросив.Алеобіцянку не зміг виконати. Чому?

Задача (Задача Архімеда). Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії +

Використання історичного матеріалу на уроках математики вимагає врахування вікових особливостей учнів, їх інтересів та профілів навчання. З цією метою вчителю бажано мати розробки, що містять історичні аспекти навчальних тем, які дають можливість підготувати цікавий матеріал для класів різного профілю. Наведемо таку розробку з теми «Призма».

Виготовляючи необхіднідлясебепредмети,людинаслідували різні природні форми.Єгипетськіпапірусита глиняні дощечки з Вавилону свідчать, що давні люди за 2000 років до нашої ери розв'язували задачі прикладного характеру і визначали об'єм призми як добуток площі основи на висоту. Практичні правила знаходження обємів тіл призматичної (в тому числі кубічної) форми були відомі також у Стародавніх Індії та Китаї Прямий паралелепіпед з квадратною основою, прямі призми з трапецієподібними і трикутними основами розглядалися у V книзі стародавнього китайського математичного твору «Математика в дев'яти книгах».

Загальні уявлення про геометричні тіла почали формуватися в VI ст. до не. в Греції. Давньогрецьким геометрам були відомі поняття «куб», «паралелепіпед», «призма». Грецьке слово «кібос» буквально означає «гральна кісточка». Тіла, що мали схожі форми, назвали кубами. Цей термін зустрічається в Евкліда. Слово «призма» - також грецького походження і буквально означає «відпиляне» (тіло).

Основні теореми стереометрії викладені в XI книзі «Начал» Евкліда (ІІІст. до н. е.). В кінці XI книги автор розглядає паралелепіпед і вводить загальне поняття призми. Ще в давні часи існувало два підходи до означування геометричних понять:

-від фігур вищого порядку до фігур нижчого порядку (від загального поняття тіла через характеристичні ознаки до конкретної фігури);

-від фігур нижчого порядку до фігур вищого порядку (від точки через спосіб утворення до конкретної фігури).

Евклід дотримувався першого підходу. У нього «тілом називається те, що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні…» Він розглядав многогранники не порожні, а заповнені (у нашому розумінні простором) і дає таке означення: «Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограмами Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами…». Евклід не застосовував терміна «об'єм». Для нього термін «куб», наприклад, означав і об'єм куба. В XI книзі «Начал» наводяться теореми про порівняння об'ємів паралелепіпедів. Теорему про об'єм призми знав Архімед. Правила для обчислення об'ємів куба, призми, паралелепіпеда є в творах прикладного характеру Герона Александрійського (ймовірно І ст.). Він вперше поєднав два підходи до означування геометричних понять.

В XVI столітті Христофор Клавіус сформулював теорему про центр симетрії паралелограма: «Якщо паралелепіпед розсікається площиною, що проходить через центр, то він розбивається навпіл і, навпаки, якщо паралелепіпед розсікається навпіл, то площина проходить через центр».

Формула об'єму призми доводилася методом неподільних, запропонованим Б. Кавальєрі. Методом рівноскладеності її доведено в підручнику французького математика А. Лежандра «Початки геометрії», який замінив підручники, що грунтувалися на «Началах» Евкліда Лежандр показав, що у прямого паралелепіпеда є три площини симетрії, перпендикулярні до ребер, а у куба - 9 площин симетрії, з яких З перпендикулярні до ребер, а інші 6 проходять через діагоналі граней.

До означення призми повергалися математики у XVIII ст. Так, Брук Тейлор дав таке означення призми: не многогранник, у якого всі грані, за винятком двох, паралельні до однієї прямої.

Формула для обчислення об'єму прямокутного паралелепіпеда була доведена французьким математиком Емілем Борелем, який розглядав три випадки вираження вимірів паралелепіпеда різними числами.

З обчисленням об'єму куба пов'язана визначна задача про подвоєння куба, яка була поставлена у V ст. до н. е. Усі розв'язки цієї задачі, які були запропоновані стародавніми вченими, містить твір німецького математика Йогана Вернера. Неможливість розв'язати задачу про подвоєння куба за допомогою циркуля та лінійки вперше довів французький математик П'єр Вантцель у 1837 році.

У процесі вивчення теми - реалізація виховної мети уроку.

Принцип виховуючого навчання вимагає забезпечувати в навчальному процесі сприятливі умови для розвитку пізнавальних можливостей учнів, формування в них основ діалектико - матеріалістичного світогляду, позитивних моральних якостей.

Реалізуючи виховні завдання в навчанні математики, враховують особливості її змісту, абстрактність понять, багатогранність застосувань. Основу для систематичної виховної роботи вчителя математики складають формування наукового світогляду учнів і розвиток моральних рис особистості.

Іншими словами, виховна функція навчання реалізується у нерозривному зв'язку з освітньою функцією, розвитком в учнів волі, інтелекту, емоційної сфери, формуванням мотивів і потреб учіння, пізнавальних інтересів і творчих здібностей.

Велику виховну роль відіграє ознайомлення учнів з біографіями вчених, зумовами їх життя, з методами їх робота і творчістю. Це завжди для учнів корисно, повчально і цікаво, адже великий вчений, незалежно від чисто особистих рис його характеру, - с прикладом величезної працьовитості, цілеспрямованості в роботі, самобутньої праці на користь людства. І педагогічний висновок із вивчення його біографії для учнів один: «Намагатись хоч трохи бути схожим на нього».

Сучасні підручники з математики містять багато історичних відомостей, старовинних задач і портретів відомих математиків, таких як - Ф. Вієт, Р. Декарт, П. Ферма, Г. Лейбніц, М. ал-Хорезмі та інші.

Використання елементів історизму у викладанні математики відкриває перед учнями ширині можливості для узагальнення трактування окремий математичних понять, дає можливість глибше зрозуміти рушійні сили науки, дати аналіз світогляду окремих учених. Поруч з іншими навчальними предметами математика розкриває перед учителем широкі можливості в цьому напрямі. Однією з доцільних форм роботи, яку вчитель може використовувати при ознайомленні учнів з історією розвитку математики на уроках є ознайомлення учнів з життям і діяльністю діячів математичної науки.

Використання історичного матеріалу на уроці математики дає змогу не тільки ознайомити учнів з логікою розвитку науки, а й вводити їх у творчу лабораторію вчених. Біографія вченого, крім виконання своєї історико - наукової функції, повинна викликати інтерес до науки і знайомити учнів зі стилем роботи вчених. Геніальний український математик М. Остроградський і французький педагог А. Блум наголошували: «Було б злочином для людей, вивчаючи матеріали, не шанувати не тільки імен дослідників, а й їхніх методів і результатів, яких вони досягли…». Біографії людей, корисних для науки і мистецтва, є одним із методів, який ми використовуємо для привернення уваги учнів: Зацікавити дитину - саме в цьому один із найважливіших принципів теорії. Наука робиться людьми і знайомство з її основами одночасно із зверненням до життя вчених, їхньої творчості, збагачує уявленім учнів про науку, дає їм змогу побачити ті неповторні особливості, які привносять у неї видатні особистості. Водночас повідомлення учням яскравих фактів з біографій учених допомагає виховувати в них цілу низку важливих людських якостей. Ознайомлення з життям і діяльністю видатних учених-математиків дуже важливе для учнів тому, що їх приклади стимулюють творчу активність, виховують мужність і наполегливість у роботі, є орієнтирами у вирішенні моральних проблем, навчають стилю наукової роботи. Досить важко обґрунтувати вибір тих чи інших імен учених. Питання методики роботи над біографіями вчених у школі ще не досить розроблені, але можна висунути деякі основні положення:

.Життєвий шлях ученого слід поєднувати з висвітленням його творчого шляху.

.Біографія вченого має супроводжуватися окремою характеристикою епохи.

.Розглядаючи біографію вченого, бажано зробити висновок про значення його робіт для подальшого розвитку математики і тим самим оцінити наукову спадщину вченого.

.Біографію вченого потрібно подати так, щоб вона зацікавила учнів і це викликало у них бажання наслідувати окремі кроки.

Зупинимося детальніше па кожному з цих положень.

.Життєвий шлях ученого не має бути відірваним від його творчого шляху Це означає, що слід зупинятися переважно на тих фактах особистого життя, які мали важливе значення для формування світогляду вченого. Так, при вивченні в 7 класі теми «Графік лінійного рівняння з двома змінними» необхідно згадати, що введення загальних методів графічного розв'язання є заслугою Рене Декарта. У зв'язку з цим можна згадати Декарга, який був напівсиротою і готували до військової служби. Але під час стоянки на зимових квартирах у невеличкому голландському місті з ним трапився випадок, який штовхнув його на шлях поглибленого вивчення математики. Одного разу Рене побачив натовп людей на вулиці, які читали наклеєне на стіні будинку велике оголошення фламандською мовою. Декарт звернувся до незнайомця з проханням перекласти його зміст. То був професор математики Бекман, який з цікавістю оглянув молодого солдата і сказав, що це - публічний виклик на змагання у розв'язуванні складної геометричної задачі. Проте юнак не заспокоївся, а попросив усе-таки перекласти текст, щоб знати, про яку саме задачу йдеться. Здивований професор виконав прохання солдата. Давши йому свою адресу, попросив знайти, якщо він розв'яже задачу. А вранці другого дня Декарт приніс Бекману своє розв'язання. Здивований і розчулений професор запропонував юнакові безкоштовно навчати його математики, на що Декарт охоче погодився.

.Творчість кожного вченого тісно пов'язана з тією епохою, в яку він жив та працював, і причини його успіху чи невдач потрібно шукати в особливостях епохи та оточення вченого. Тому біографія вченого повинна супроводжуватися основною характеристикою епохи. Таким прикладом може бути випадок з життя вченого-математика Еварісга Галу а, який займався розв'язуванням рівнянь вище четвертого степеня. Лише з 16 років Галуа почав читати серйозні математичні роботи. У числі інших йому ^ попався мемуар Нільса Абеля про рішення рівнянь довільного степеня. На Ідумку викладачів, саме математика перетворила його з слухняного учня в видатного. Тема захопила Галуа, він почав власні дослідження і вже в 17 років опублікував свою першу роботу в журналі «Аішаїез сіє (Зе^оппе». Однак талант Галуа не сприяв до його визнання, так як його розвязок часто перевершували рівень розуміння викладачів, проясненню його доведень не сприяло також те, що він не трудився ясно викладати їх на папері і часто опускав очевидні для нього речі. У 1828-1829 роках на Галуа обрушується низка нещасть: Галуа двічі, з розривом у рік, провалює іспит у Політехнічну школу. Першого разу стислість розвязків і відсутність пояснень на усному іспиті призвели до того, що Галуа не був прийнятий. Через рік на усному іспиті він опинився в тій же ситуації і в розпачі від нерозуміння екзаменатора кинув у нього ганчіркою.

Наступна невдача була в тому, що схвалена Коші робота у двох частинах, відправлена йому на рецензію, потім була загублена Коші і не потрапила в Паризьку Академію на конкурс математичних робіт. У 1829 році свяшеник єзуїт, знову прибулий до рідного міста Галуа, доводить батька Еваріста до самогубства, написанням від його імені кількох злісних памфлетів. У 1829 році Галуа все-таки вдається вступити в Вишу нормальну школу, в якій він провчився лише рік і був виключений за участь у політичних виступах республіканського напрямку. Фатальний невезіння триває. Галуа посилає Фур'є для участі в конкурсі на приз Академії мемуар про свої відкриття, але через кілька днів Фур'є несподівано помирає, так і не встигнувши його розглянути. Після його смерті у паперах рукопис не була виявлена. Приз отримує Абель. Все ж таки Галуа вдається опублікувати З статті з викладом основ своєї теорії. Двічі був ув'язнений у в'язницю Сент - Пелажі. Рано вранці 30 травня біля ставка Гласьер в Жантійі Галуа був смертельно поранений на дуелі, формально зв'язаної з любовною інтригою.

.Біографія допомагає учневі встановити зв'язок творчості даного вченого з працями його колег і попередників, зробити висновок про значення його робіт дія подальшого розвитку математики і тим самим оцінити наукову спадщину вченого. Наприклад, при вивченні теми «Функція» у 7 класі обов'язково згадуємо, що цей термін ввів видатний німецький математик Г. Лейбніц творчість якого мала величезне значення для розвитку світової науки. Найвизначніших успіхів, водночас із Ньютоном і абсолютно незалежно від нього, Лейбніц досяг у розробці основ диференціального і інтегрального числення, основи яких учні будуть вивчати в 11 класі, а далі детальніше в університеті. У своїх математичних працях учений виклав відповідні правила без доведень, відразу показуючи їх практичне застосування. Часом дуже важко відокремити те, що зробив Ньютон, від того, що створив Лейбніц у розвитку математики як науки. Обидва вчені незалежно один від одного дійшли однакових висновків у поставленій проблемі, розв'язавши її кожний по-своєму. Внаслідок цього виникли суперечки про пріоритет у розробках, але вони не мають принципового значення в історичному розвитку науки. Головне, що титанічна праця двох великих учених поклала початок нової епохи у розвитку математики.

.Біографія повинна бути подана так, щоб після ознайомлення з нею вчений став близьким, навіть другом, якого б любили, пишалися б ним і на нього рівнялися. Ознайомлення з життям і діяльністю більшості великих учених допомагає учням сформувати власний світогляд, змушує їх замислюватися над тим, як потрібно жити, чому вчитись, які якості виховувати в собі.

Подолання труднощів у процесі активної праці, напруження сил і здібностей, пізнання радості творчості наочно виявляють моральну цінність праці, виховують повагу до неї. Слід домогтись, щоб учні усвідомили, що успіхи у навчанні математики зумовлюються не лише наявністю специфічних здібностей, а й напруженою щоденною працею, що здібності можна і треба розвивати систематичною роботою над собою.

Певний вплив на формування рис характеру справляють численні приклади з історії математики, які ілюструють вияв таких якостей родини, як сумлінність, наполегливість у досягненні мети, ^громадянську сміливість, відданість науці (життя і творчий шлях Архімеда, Л. Ейлера, математиків середньовіччя, М.І. Лобачевського та ін.).

Леонард Ейлер (1707-1783) народився у Швейцарії. Двадцятирічним юнаком приїхав у Росію, через 3 роки очолив кафедру фізики, а ще через З роки став академіком. У Петербурзі він прожив 30 років, де й похований. Більшу частину своїх математичних творів Ейлер написав у Росії. Майже в усіх галузях математики він залишив настільки глибокий слід, що й зараз основоположними є теореми Ейлера, формули Ейлера, кути Ейлера, рівняння Ейлера, критерії Ейлера, підстановки Ейлера, функція Ейлера, коло Ейлера, пряма Ейлера, ейлерова характеристика, ейлерів клас тощо. Загалом він написав 900 робіт, понад 50 томів. Серед них «Вступ в аналіз нескінченно малих», «Диференціальне числення», «Інтегральне числення», «Морська наука», «Елементи алгебри», «Обчислення затемнення Сонця», «Нова теорія Місяця», «Навігація», 3 томи з питань оптики, 3 томи з артилерії, більше 140 праць з теорії чисел. Більше половини своїх праць він написав, будучи сліпим.

Особливо вагомий внесок у розвиток геометрії М.І. Лобачевського. Він перший відкрив існування зовсім нової геометрії, пізніше названої на його честь геометрією Лобачевського.

Микола Іванович Лобачевський (1792-1856) народився у Нижньому Новгороді (Росія), навчався у Казанському університеті, пізніше був викладачем, деканом, а з 1827 по 1846 рр. - ректором цього університету. Його рід походив з Волині. Відкриття М.І. Лобачевського було настільки глибоким і несподіваним, що навіть деякі видатні вчені спочатку визнали його дивацтвом і висміювали автора. Тільки пізніше виявилося, що до подібних висновків незалежно один від одного прийшли також К.Ф. Гаусс і Я. Больяї. Але Больяї опублікував свою працю на кілька років пізніше, ніж обачевський, а Гаусс результатів з цієї теми взагалі не публікував, обоюючись, що його ідеї не будуть зрозумілими. Ось чому нову геометрію в усьому світі справедливо називають геометрією Лобачевського.

Ця геометрія істотно відрізняється від евклідової. Наприклад, у ній стверджується, що через дану точку можна провести безліч прямих, паралельних даній прямій, що сума кутів будь-якого трикутника менша від 180°. У геометрії Лобачевського не існує прямокутників, подібних трикутників тощо. Багато в чому дивна і незвичайна ця геометрія, хоча в логічному відношенні не поступається евклідовій.

Прикладом надзвичайної сили волі, наполегливості в досягненні мети є життя і творча діяльність.

Нестача часу створює великі труднощі при викладанні біографічного матеріалу. Тому є сенс повідомляти короткі біографії і тільки тих учених, які зробили найбільший, вирішальний внесок у розвиток математики (Б. Паскаль, Діофант, Піфагор, Ф. Вієт, Фалес тощо). Більш розширені біографічні довідки і цікавинки, а також факти, пов'язані з іменами інших учених, доцільно повідомляти на позакласних заняттях.

Зрозуміло, що повне вивчення життя і творчості будь-якого вченого в школі здійснити неможливо і тому потрібно давати лише ті його роботи, які доступні розумінню учнів і вивчення яких входить у шкільний курс математики. На уроках, як правило, немає можливості виділити багато часу на розповідь про життя і діяльність ученого. Тому особливо важко ретельно відібрати матеріал, розмістити його в певній системі, зробити розповідь яскравою і зрозумілою для учнів. Потрібно, щоб ідеї, заради яких наводиться біографія, дійшли до свідомості учнів, інакше краще її зовсім не давати. Наочності уявлень учнів про життя і діяльність ученого буде сприяти показ учителем портретів, картин, що відтворюють перед учнями ту історичну обстановку, в якій проходила діяльність ученого, читання уривків із його робіт, листів, висловів сучасників. Природно, що повідомлена вчителем інформація не завчається і забувається. Щоб уникнути цього, необхідно при вивченні інших робіт даного вченого згадати про сказане раніше, збагачуючи образ ученого у свідомості учнів. Необхідно також стимулювати учнів до засвоєння біографічних даних видатних учених.

Отже, основний зміст біографій учених мають складати окремі дані особистого життя, опис їх робіт, умов праці, характеристику епохи, ті особисті якості, які допомогли їм вирішити поставлені завдання. Виклад математики з використанням елементів історизму сприяє більш глибокому засвоєнню навчального матеріалу, розумовому розвитку учнів, формуванню наукового світогляду та розвитку у них зацікавленості до вивчення математики. Окрім того, знання історії математики є невід'ємною частиною загальної математичної освіти.


2.2 Питання історії науки в позакласній роботі з математики.


Кожен учитель прагне зацікавити учнів предметом, який він викладає, бо це є запорукою успішного навчання. Таке завдання, очевидно, ставлять перед собою і вчителі математики.

«Зацікавити розум дитини ось що є одним із основних положень нашої доктрини І ми нічим не нехтуємо, щоб прищепити учневі смак, ми сказали б, навіть пристрасть до навчання», - писав видатний російський математик М.В. Остроградський.

Одним із засобів зацікавлення учнів математикою є добре продумана позакласна робота.

Позакласні заняття дають можливість ширше пропагувати досягнення і значення математичної науки, прищепити учням любов до математики, сприяють розвитку й виявленню здібностей учнів, а також засвоєнню ними програмного матеріалу

На таких заняттях можна організувати розв'язування складних і цікавих вдач, що розвивають кмітливість і математичне мислення, вивчати елементи історії математики, ознайомлювати учнів із життям діяльністю славетних математиків, особливо вітчизняних, з практичним застосуванням цієї науки. Тут створюються широкі можливості для переконання учнів у тому, що саме через шкільну математику лежить шлях до широкого ознайомлення з досягненнями сучасної математичної науки. Ознайомлення з її досягненнями маютъ у загальних рисах пробуджує в учнів бажання до творчих пошуків, до і глибокого пізнання й оволодіння математичними знаннями.

До позакласної роботи з математики відносять усі добровільні заняття, які проводять учителі в поза урочний час у школі або поза школою, і на яких учні розглядають питання математики І ця робота спрямована на шомлемні інтересів і запитів учнів.

Основні завдання позакласної роботи з математики:

.Пробудження і розвиток стійкого інтересу учнів до математики.

.Забезпечення найглибшого розуміння важливих ідей математики

.Допомога в оволодінні головними методами математики.

.Розвиток математичних здібностей учнів (логічного мислення, просторових уявлень і уяви, алгоритмічної культури, памяті тощо), прищеплення учням певних навичок науково-дослідного характеру.

.Розвиток позитивних рис особистості (розумової активності, пізнавальної самостійності, пізнавального інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптуватися до умов, що змінюються, ініціативи, творчості тощо) та навичок самостійно і творчо працювати з навчальною та науково - популярною літературою з математики.

.Створення активу, здатного надати вчителю математики допомогу в організації ефективного навчання математики всього колективу.

Математика також дає учням змістовне, цікаве, корисне дозвілля.

Проведення позакласної роботи з математики здійснюється на основі загально педагогічних принципів, а також тих, що відбивають її особливість.

Саме в проведенні різних позакласних заходів з математики з використанням історичного матеріалу вчитель має найбільше можливостей розкрити діалектичний характер математики, показати джерела виникнення і рушійні сили її розвитку, наголосити на драматичних сторінках її історії, коли прогрес здобувався ціною справжнього героїзму окремих учених.

Пізнання, які учень здобуватиме на таких позакласних заходах, мають базуватися на достовірних, перевірених фактах науки. Вони повинні стати окремими етапами, сходинками пізнання навколишнього середовища, засобами математики.

Важливим є також дотримання принципів добровільності, інтересу, самодіяльності.

Учитель не повинен змушувати учнів брати участь в позакласній роботі з математики, засуджувати тих, хто не бере в ній участь. Залучати до позакласної роботи з математики можна різними, але педагогічно виправданими засобами. Дотримання принципу звязку з життям стимулюватиме учнів до участі у цій роботі, оскільки вони розумітимуть, що набуті знання і набуті навички будуть потрібні їм у майбутньому. Дотримання принципу зацікавленості розкриває учням своєрідну красу математики, дає їм змогу відчути радість пізнання, перших наукових пошуків і перемог.

Залежно від можливостей учнів, їх інтересів і потреб, а також вікових особливостей поза класна робота різниться за характером та змістом. Так для учнів 5-9 класів потрібно підбирати матеріал цікавого, історичного характеру. Тому для цих класів варто підбирати матеріал з історії розвитку математики, історії розвитку чисел, цікаві стародавні задачі, вивчати біографії відомих математиків.

Мета позакласних занять з використанням історичного матеріалу:

-ознайомити учнів з історією математики, з іменами та біографіями видатних учених, які створювали математику, починаючи від стародавніх вчених і закінчуючи видатними українськими математиками - М. Остроградський, В. Буняковський, М. Кравчук та ін.

-ознайомити з найважливішими відкриттями в галузі математики.

-розглянути застосування математики в різних галузях науки і техніки та її роль у пізнанні навколишнього світу; формування навичок математизації ситуацій під час дослідження явищ природи і суспільства.

-формування наукового світогляду, загальнолюдських духовних цінностей, виховання національної свідомості, поваги до національної культури і традицій України; формування позитивних рис характеру (чесності і правдивості, наполегливості й волі, культури думки й поведінки, обгрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо).

Оскільки позакласна робота повинна бути диференційована, спрямована на задоволення інтересів і запитів учнів, а учні проявляють різні здібності та інтереси, тому розрізняють три напрямки позакласної роботи з учнями при вивченні математики:

Які не досягли обовязкового рівня у вивченні програмного матеріалу (додаткові позакласні заняття);

Які бажають підвищити свій рівень навчальних досягнень з певної теми;

Що виявили до вивчення математики підвищений інтерес та здібності (це позакласна робота у традиційному розумінні).

Розглянемо третій напрямок; робота з учнями, що виявили до вивчення математики підвищений інтерес та здібності.

За формами організації ця позакласна робота з математики поділяється на масову, групову та індивідуальну. Кожна з них має свої переваги та недоліки. Масова робота дає змогу залучати до неї колектив учнів. У такому масовому вияві творчості легко організовувати змагання, проте важко забезпечити глибоке проникнення всіма учасниками в суть пропонованих математичних залежностей, проконтролювати діяльність кожного учасника. Зрозуміло, що важко й підтримувати тривалий час продуктивну роботу великого учнівського колективу.

Більш результативною є робота з невеликою групою, як правило, тих самих учнів, наприклад, членів математичного гуртка. Індивідуальна робота проводиться тут відповідно до інтересів учнів.

У проведенні позакласної роботи з математики треба враховувати вікові Особливості учнів. Так, у 5-6 класах доцільно розглядати цікаві питання теоретико-числового і геометричного матеріалу. Слід памятати, що розвага не самоціль, а тільки один з дидактичних прийомів, який стимулює пізнавальну активність учнів. Розважальний матеріал збуджує увагу, викликає певні позитивні емоції та ситуаційний, епізодичний інтерес. Завдання вчителя - перетворити цей інтерес у стійкий, активний.

Використовуючи історичний матеріал, треба звертати увагу учнів не на зовнішні факти, а на суть питання, пробуджувати думку, розвивати допитливість.

Традиційними і найбільш поширеними формами позакласної роботи з математики є:

-математичні гуртки;

-математичні вечори;

-тиждень математики;

-математична преса;

-клуби веселих і кмітливих математиків;

-математичні екскурсії.

На таких формах позакласної роботи досить вдалим є застосування історичного матеріалу, що зумовлює активізацію позакласної роботи.

Спеціальні розділи з історії математики включено до програми факультативних занять з математики в основній школі. Вчителі можуть розглядати ці теми і на гуртках чи інших позакласних заняттях.

Нами розроблено тематику факультативного курсу:

клас.

Тема 1. Історія розвитку поняття числа.

.Історія розвитку поняття натурального числа.

.Коротка історія систем числення в математиці.

.Позиційні і непозиційні системи числення: римська, вавілонська, десяткова, двійкова та інші.

.Основні етапи розвитку дробів. Єгипетські дроби.

.Папірус Райда.

.Виникнення дій над числами.

.Загадкові прості числа.

Тема 2. Історичні задачі.

.Кілька задач з «Арифметики» Магницького.

.Задачі з математичного рукопису XVII ст.

.Три задачі Лойда.

.Задача Ньютона.

.Задачі із старовинного задачника з арифметики Войтяхівського.

.Математика і біблейське сказання про потоп.

.Задачі Метродора.

.Старовинні китайські та японські задачі.

Тема 3. Геометрична мозаїка.

.Історія розвитку геометричної науки.

.Магічні квадрати.

.Сірникова олімпіада.

.Розрізання на частини.

.Старовинні геометричні ломиголовки.

Тема 4. Старовинні математичні ігри.

.Гра «Танграм».

.Чудові спіралі.

.Паліндроми.

.Різновиди гри в «Хрестики-нулики».

.Гра «Нім Фібоначчі».

.Зашифроване листування. Решітка.

.Башта Брами.

клас.

Тема 1. Історія розвитку алгебри.

.Піфагор і вчення про поняття числа.

.Біографі Діофанта у математичній задачі.

.Геометрична алгебра греків.

.Алгебра і наука про рівняння.

.Розвиток алгебраїчної символіки.

Тема 2. Історія розвитку геометрії.

.Як виникла геометрія?

.Фалес Мілетський - засновник грецької геометрії.

.Логічна будова геометрії в «Началах» Евкліда.

.Три знамениті задачі старовини.

Тема 3. Цікава геометрія.

.Магічні квадрати.

.Математичні ребуси та загадки

.Листок Мебіуса.

.Круги Ейлера.

.Математичні софізми.

.Розвязування олімпіадних задач.

клас.

Тема 1. Історія розвитку поняття про число.

.Несумірні відрізки й ірраціональні числа.

.Від'ємні числа і нуль.

.Дійсні числа.

.Поняття комплексного числа.

Тема 2. Історія розвитку алгебри.

.Розв'язування квадратних рівнянь геометричним способом.

.Кубічні рівняння і рівняння четвертого степеня.

.Вклад в алгебру Ф. Вієта, Р. Декарта та І. Ньютона.

.Розвиток алгебраїчної символіки.

.Нерозв'язність у радикалах алгебраїчних рівнянь вище четвертого степеня.

.Числа Фібоначчі і золотий переріз.

Тема З. Теорема Піфагора і різні способи її доведення.

.Піфагор у легендах і реальному житті.

.Сучасні геометричні доведення.

.Доведення Бхаскари.

.Давньокитайське геометричне доведення.

.Доведення Насіреддіна.

.Доведення Гофмана.

клас.

Тема 1. Історія розвитку сучасних розділів математики.

.Комбінаторика.

.Теорії ймовірностей.

.Математична статистика, топологія.

.Фрактальна геометрія і фрактальний аналіз.

.Розвиток математики в Україні.

Тема 2. Математична мозаїка.

.Послідовність Фібоначчі.

.Знаходження сум.

.«Сніжинка Коха».

.«Килим Серпинського».

.Геометрія орнаментів і паркетів.

.Логічні задачі.

.Розв'язування олімпіадних задач.

Що стосується змісту роботи гуртка, то тут основним є доповіді учасників, розвязування задач, розгляд нових доведень теорем, знайдених учнями, виведення формул, випуск математичних газет тощо.

В позакласній роботі нами розроблено тематика занять математичного гуртка для учнів 7-8 класів:

-Математика Стародавньої Греції;

-Математика Стародавнього Сходу;

-Виникнення та розвиток математики в Середній Азії та на Ближньому Сході;

-Виникнення та розвиток математики в Стародавній Індії;

-Виникнення та розвиток математики в Китаї;

-Розвиток математики в Західній Європі до XVI ст.;

-Розвиток математики в Росії до XVIII ст.

Ми відібрали для математичного гуртка систему задач історичного характеру.

Вивчення даного курсу можна продовжити і в наступних класах. Він буде корисним усім, хто цікавиться математикою.

Висновки


Новій концепції навчання, а саме гуманізації та гуманітаризації буде відповідати формування та виховання інтересу учнів до вивчення математики, а саме використання історико-математичного матеріалу при вивченні сучасного шкільного курсу математики.

Одним із важливих напрямів поліпшення ефективності навчально - виховного процесу є застосування елементів історизму під час проведення різних форм занять.

Історія науки мусить бути головним провідником учня в його навчанні, оскільки:

-в процесі шкільного викладення математики короткі історичні екскурси в минуле, розповіді про використання математики в задачах, які виникали перед людством, про значення питань практичного життя для розвитку самої математики завжди викликають жвавий інтерес учнів. А інтерес до предмету означає одночасно і створення умов для більш успішного його вивчення.

-бесіди учителя з учнями з історії науки створюють великі можливості для збудження творчих сил молоді, для зміцнення їх віри у власні можливості.

-елементи історії математики сприяють свідомому засвоєнню фактів, понять, законів, вони гуманітаризують зміст шкільної математики, 1 сприяють реалізації міжпредметних зв'язків курсів алгебри, геометрії, фізики, астрономії.

Дана магістерська робота присвячена методиці використання елементів історизму в процесі навчання математики основної школи. З цією метою:

.Розглянуто та проаналізовано періоди розвитку історії математики, як науки від стародавніх часів і до наших днів.

.Охарактеризовано психолого-педагогічні особливості реалізації одного із принципів дидактики - принципу історизму, оскільки принцип історизму має особливе значення в розробці системи психолого-педагогічних і методичних наук, педагогічної освіти і перспектив її подальшого удосконалення.

.Опрацьовано та проаналізовано діючу програму та підручники, зясовано, яке місце відведене елементам історії в діючих підручниках з математики основної школи.

.Розроблено фрагменти уроків з використанням елементів історизму відповідно до поставленої мети уроку.

.Подано тематику позакласних заходів з використанням елементів історії.

Історія математики зрештою необхідна вчителю математики, бо він покликаний не тільки передавати своїм учням деяку суму знань і навичок, а і формувати їх свідомість, світогляд, готувати майбутніх творців і носіїв людської культури.


Література


1.Апостолова Г.В. Геометрія: 9: дворівн. підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / Г.В. Апостолова. - К.: Генеза, 2009. - 304 с.

2.Бевз Г.П. Алгебра: підруч. для 8 кл. загальноосв. навч. закл / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. - К: Зодіак - ЕКО, 2009, -256 с.

.Бевз Г.П. Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосв. навч. закл./ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. - K.: Зодіак - ЕКО, 2009, -288 с.

.Бевз Г.П. Математика: Підруч. для 5 кл. загальноосвіт. навч. закл/ Г.П. Бевз, В.Г. Бевз. - K.: Зодіак-ЕКО, - 352 с.

.Бевз В.Г. Практикум з історії математики: Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів педагогічних університетів/ В.Г. Бевз. - К.: НПУ М.П. Драгоманова, 2004, - 312 с.

.Бородін О.І. Історія розвитку питанняпро число ісистеми числення/ О.І. Бородін. - K.: Рад. школа, 1978.

.Бурда М.І. Геометрія: підруч. для 9 кл. загальноосв. навч. закл./ М.І. Бурда, Н.А. Тарасенкова - K.: Зодіак - ЕКО, 2009, - 242 с.

.Волкова Н.П. Педагогіка: посібник / Н.П. Волкова. - К.: Академія, 2003. - 576 с.

.Глейзер Г.Н. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.Н. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970.

.ГлейзерГ.Н. История математики вшколе IV-VIклассы/ Г.Н. Глейзер. - М.: Просвещение, 1981.

.ГлейзерГ.Н. История математики вшколеVII-VIII классы/ Г.Н. Глейзер, - М.: Просвещение, 1982.

.ГлейзерГ.Н. История математики в школе IX-X классы/ Г.Н. Глейзер. - М.: Просвещение, 1983.

.ГнеденкоБ.В. Про бесіди з історії науки на уроках математики/ Б.В. Гнеденко // Рад. школа. -1951. - №8.

.Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике/ Я.И. руденов - М: Педагогика, 1987.

.Давыдов В.В. Психология обучения / В.В. Давыдов. - М: Педагогика, 1978.

.Депман И.Я. Рассказы о математике / И.Я. Депман. - Л.: Детгиз, 1954.

.Дорошенко Н.І. Народознавство і математика / Н І. Дорошенко // Початкова школа. -1995. - №7.

.Клименченко Д.В. Навчати математики - розвивати мислення/ Д.В. Клименченко // Початкова школа. -1976. - №6.

.Конфорович А.Г. Визначні математичні задачі / А.Г. Конфорович - К: Рад. школа, 1981.

.Костюк Г.С. Навчально-виховний процес і психічний розвиток особистості / Г.С. Костюк. - К.: Рад. школа, 1989.

.Кравчук В. Алгебра:підручникдля7 кл.класу/В. Кравчук, М. Підручна, Г. Янченко. - Тернопіль: Підручники і посібники, 2008.

.Кравчук В. Алгебра:підручникдля 8 кл.класу/В. Кравчук, М. Підручна, Г. Янченко. - Тернопіль:Підручники і посібники, 2008. - 224 с.

.Кравчук В. Математика. Підручникдля 5класу/В. Кравчук, Г. Янченко. - Тернопіль: Підручники і посібники. 2008. - 280 с.

.Крутецкий В.А. Психологияматематических способностей школьников / В.А. Крутецкий. - М.: Педагогика, 1968.

.Макарова Л.Л. Загальна психологія: навчальний посібник для вищих навч. закладів / Л.Л. Макарова, В.М. Синельніков. - К.: Центр навчальної літератури, 2005. - 200 с.

.Максименко С.Д. Загальнапсихологія: навч. посібник/ С.Д. Максименко, В.О. Соловієнко. - К.: МАУП, 2001 - 256 с.

.Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе / К.А. Малыгин. - М.: Учпедгиз, 1958.

.Мальований Ю.І. Алгебра: підруч. для 8 кл. загальноосв. навч. закл./ Ю.І. Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк. - Тернопіль. Богдан, 2009.

.Мальований Ю.І. Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосв. навч. закл./ Ю.І. Мальований, Г.М. Литвиненко, Г.М. Возняк. - Тернопіль. Богдан, 2009. - 286 с.

.Мерзляк А.Г. Алгебра: підруч. для 7 кл. загальноосв. навч. закл./ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Харків.: Гімназія. 2008.

.Мерзляк А.Г. Алгебра: підруч. для 8 кл. загальноосв. навч. закл / Г. Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір. - Харків.: Гімназія. 2008. - 253 с.

.Мерзляк А.Г. Математика: Підруч. для 5 класу / А.Г. Мерзляк, Б. Полонський, М.С. Якір. - Харків: Гімназія. - 288 с.

.Минковский В.Л. За страницами учебника математики/ В.Л. Минковский. - М.: Просвещение, 1966.

.Мойсеюк Н.Є. Педагогіка: навч. посібник для сіуд. вищих пед. навч. закладів/ Н.Є. Мойсеюк. - 4-є вид., доп. - К.: Либідь, 2003. - 615 с.

.М'ясоїд П.А. Загальна психологія навчальний посібник/ П.А. Мясоїд. - К.: Вища школа, 2000. - 479 с.

.Назаров В.Ю. Елементи історії математики. Навчальний посібник для студентів фізико-математичних факультетів / В.Ю. Назаров. - Ніжин: НДПУ, 2002.

.Олехин О.Н. Старинные занимательные задачи / О.Н. Олехин, Ю.В. Нестеренко. - М.: Наука, 1985.

.Погорєлов О.В. Геометрія: підруч. для 7-11 кл. серед, шк./ О.В. Погорєлов. - К.: Рад. шк., 1991. - 352 с.

.Програмадля загальноосвітніх навчальних закладів. Математика 5-12 класи. - К.: «Перун», 2005. - 65 с.

.Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки/К.А. Рыбников. - М.: Просвещение, 1987.

.Рыбников К.А. История математики/ К.А. Рыбников. - М.: Издательство Московского университета, 1960, - 190 с.

.Сав'инМ В Вікова психологія: навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів / М.В. Савчин, Л.Г. Василенко - К Академвидав, 2005. - 360 с.

.Скрипченко О.В Загальна психологія підручник для студентів вищих навчальних закладів / О.В Скрипченко, Л В Долииська.З.В., Огороднійчук. - К.: Либіщ 2005. - 464 с.

.Стройк Д. Коротка історія математики / Д. Стройк К Рад. школа, 1960.

.Теслеико Ф. Формування діалектикониатеріалістичного світогляду учиш при вивченні математики / 1.Ф. Тесленко. - К. Рад. школа, 1982.

математика школа педагогічний історизм


1. Науково-теоретичні основи дослідження 1.1 Періодизація історії математики Слово «математика» грецького походження, означає наука, зна

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ