Проектирование цифровой системы управления с заданным быстродействием

 

Оглавление

Цель работы

Техническое задание

.Проектирование аналоговой системы

.1 Теоретическая часть

.1.1 Вывод формул для вычисления параметров аналогового фильтра при

буквенных значениях коэффициентов a , n ,

.1.2 Построение переходных процессов в замкнутой системе

.1.3 Нахождение начальных и установившихся значений при ступенчатых

воздействиях

.2 Исследовательская часть

.2.1 Определение оптимального значения параметра а.

.2.2 Определение а, при котором установившееся значение W1(p) равно нулю

.3 Расчётно-графическая часть

.3.1 Графики переходных процессов замкнутой системы

.3.2 Графики переходных процессов фильтра

.3.3 Графики переходных процессов при нулевом входном сигнале и

ненулевой помехе

. Проектирование цифровой системы

.1 Построение цифрового фильтра

.1.1 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического

метода без производных

.1.2 Цифровая реализация аналогового фильтра

.1.3 Графики выхода цифрового фильтра, построенного с помощью

полуаналитического метода без производных, при разных шагах дискретизации

.1.4 Моделирование замкнутой системы с цифровым фильтром

.1.5 Графики переходного процесса системы с фильтром, построенным полуаналитическим методом без производных

.1.6 Графики переходных процессов в системе с учетом запаздывания

.2 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического

метода с одной производной

.2.1 Построение переходных процессов цифрового фильтра,

построенного полуаналитическим методом с одной производной

.2.2 Переходные процессы замкнутой системы с цифровым фильтром, построенным методом с одной производной

.2.3 Графики переходных процессов в системе с учетом задержки

. Выводы

Цель работы:

Для объекта с известной передаточной функцией спроектировать цифровую систему управления с заданным быстродействием.

В зависимости от требований Технического задания необходимо выбрать:

Структурную схему системы управления

Структуру и параметры аналогового фильтра

Метод дискретизации и параметры цифрового фильтра, обеспечивающие требования Технического задания

Техническое задание

Назначение системы управления

Система управления предназначена для нейтрализации внешних возмущений f, приложенных к объекту, и поддерживания выходного параметра ХВЫХ равному или пропорциональному управляющему сигналу ХВХ.

Структурная схема системы управления

Рис. 1. Структурная схема системы управления.

Исходные данные

Передаточная функция объекта:

,

где .

Передаточная функция фильтра:

.

Динамические требования к системе управления.

Заданы следующие значения коэффициентов характеристического уравнения замкнутой системы:

,

где n - относительное удаление второй пары корней от мнимой оси, - степень устойчивости

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

где ,

Длительность переходного процесса:

Задание к аналоговой части:

Вывести формулы для вычисления параметров аналогового фильтра при буквенных значениях коэффициентов a, n и .

Варьируя численно коэффициент a, найти значение aопт, при котором перерегулирование в замкнутой системе минимально.

Рассчитать и построить графики переходных процессов для фильтра и замкнутой системы при , .

Определить основные параметры для каждого графика: Т, перерегулирование и т.п.

Задание к цифровой части:

Расчет цифрового фильтра следует вести

полуаналитическим методом без производной;

полуаналитическим методом с одной производной, где производная находится как .

Для каждого метода построить алгоритм и программу реализации цифрового фильтра. Построить графики переходных процессов в фильтре при различных шагах дискретизации при . Сравнить с аналоговым случаем.

Привести структурную схему системы с цифровым фильтром. Построить алгоритм и программу моделирования замкнутой системы с цифровым фильтром с учетом запаздывания. Выбрать шаг дискретизации h при отсутствии запаздывания из условия среднеквадратического отклонения от аналогового процесса равного 0,03. Построить графики переходных процессов в замкнутой цифровой системе для выбранного шага при

t = 0, t = h/2, t = h.

1. Проектирование аналоговой системы

.1 Теоретическая часть

.1.1 Вывод формул для вычисления параметров аналогового фильтра при буквенных значениях коэффициентов a , n , .

Рассчитаем параметры аналогового фильтра.

Передаточная функция аналогового фильтра имеет следующий вид

(1.1)

Передаточная функция объекта:

(1.2)

Передаточная функция разомкнутой системы:

(1.3)

Передаточная функция замкнутой системы (при единичной отрицательной обратной связи):

(1.4)

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

A(p)=(1.5)

где и

(1.6)

Таким образом возможно вычислить коэффициенты ,,,, через заданные по условию и . Для этого необходимо приравнять слагаемые при одинаковых степенях p в выражениях 1.5 и 1.6.

=

=

Из данной системы уравнений возможно получить формулы лишь для четырех коэффицентов из пяти. В данной работе будем варьировать коэффициент a, и выберем его из условия минимального перерегулирования в замкнутой системе.

Теперь найдем формулы для коэффициентов ,,,

(1.7)

==3200-100а(1.8)

(1.9)

=(1.10)

Выводы по разделу

В данном разделе были выведены формулы для коэффициентов передаточной функции аналогового фильтра, исходя из заданных в условии степени устойчивости и относительного удаления второй пары мнимых корней от мнимой оси n. Коэффициент а будет найден далее, исходя из условия минимального перерегулирования в замкнутой системе.

1.1.2 Построение переходных процессов в замкнутой системе

Передаточная функция системы при отсутствии помехи: .

Рис 1.1. Система при отсутствии помех

Передаточная функция этой системы:

(p) (1.11)

Положим a=0. Тогда =(1.12)

Передаточная функция системы по отношению к нулевому входному воздействию: .

Рис. 1.2 Система при нулевом входном сигнале

Найдем передаточную функцию

Тогда (1.13)

Сигнал на выходе фильтра: .

Рис 1.3. Система при нулевых помехах.

Тогда:

(1.14)

.1.3 Нахождение начальных и установившихся значений при ступенчатых воздействиях

Найти начальные и установившиеся значения можно, применив предельные теоремы:

Выполним данные действия в пакете MathCad 14.

Для нулевых помех:

Для нулевого входного сигнала:

Выводы по разделу

В данном разделе, исходя из структурной схемы системы, были выведены выражения для передаточной функции системы при отсутствии помех, передаточной функции системы при нулевом входном сигнале и ненулевых помехах, для передаточной функции системы на выходе фильтра. В этих выражениях содержится коэффициент а. Данные выражения будут использоваться в последующих разделах.

.2 Исследовательская часть

.2.1 Определение оптимального значения параметра а

Переходный процесс - реакция системы на единичное ступенчатое входное воздействие. Выражение для него можно получить, домножив передаточную функцию замкнутой системы на и проведя обратное преобразование Лапласа к полученному выражению.

Будем варьировать значения параметра а и найдём его оптимальное значение , при котором перерегулирование ? в переходном процессе замкнутой системы минимально.

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.15)

(1.16)

Теперь будем варьировать а для получения переходного процесса с минимальным перерегулированием. Будем строить графики переходного процесса для времени t=0..1c и для различных а.

Приведем таблицу зависимости перерегулирования ? и момент времени , в который перерегулирование максимально от параметра а.

a0123456789101112?0,4640,4430,4220,4020,3860,3710,3580,3490,3440,3420,3450,3540,366t0,190,1850,180,180,1750,1750,1650,160,150,1450,140,130,125

Построим через полученные точки аппроксимирующую кривую и найдем, при каком а перерегулирование минимально.

Рис 1.4 Зависимость перерегулирования от коэффициента а.

Таким образом, оптимальное значение а=8,56. Теперь можно записать выражения для передаточных функций фильтра и замкнутой системы для а=8.56.

(1.17)

(p)(1.18)

.2.2 Определение параметра а, при котором установившееся значение W1(p) равно нулю

Из (1.13)

Найдем установившееся значение передаточной функции :

(1.19)

=0, таким образом 32.

Выводы по разделу:

В данном разделе мы нашли значение коэффициента а двумя способами. В первом случае мы варьировали значение коэффициента а, и нашли такой а, при котором перерегулирование в замкнутой системе минимально. Во втором случае мы нашли а из условия равенства нулю статической ошибки от внешнего воздействия.

1.3 Графическая часть

.3.1 Графики переходных процессов замкнутой системы

Рис 1.5. Переходные процессы в замкнутой системе при различных а

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 1.464

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

При а=8.56 (оптимальное)

Максимальные отклонения: 1.342

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

Рис 1.6. Переходный процесс в системе при а=32.

При а=32

Максимальные отклонения: 1.51

Длительность переходного процесса:

Перерегулирование:

Установившееся значение

Также рассмотрим переходные процессы в системе при больших значениях параметра а

Из данных графиков видно, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться. Также с ростом параметра а в системе увеличивается колебательность. При а=8.56 величина перерегулирования минимальна, чего мы и добивались. Сравнивая переходные процессы при a=8.56 и при a=32 (из условия равенства нулю установившегося значения W1(p) ), видим, что переходный процесс при а=32 имеет большую длительность и большую колебательность.

.3.2 Графики переходных процессов фильтра

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.20)

Рис 1.7. Графики переходных процессов фильтра

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 2.959,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=8.56 (оптимальное)

Максимальные отклонения: 9.0,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

1.3.3 Графики переходных процессов Xвых(t) при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении

Вычислив обратное преобразование Лапласа для (p) с помощью Mathcad, получим:

(1.21)

Рис 1.9. Графики переходных процессов при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении

Параметры переходных процессов

При а=0

Максимальные отклонения: 0 ,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=8.56

Максимальные отклонения: 0,

Длительность переходного процесса:

Установившееся значение

При а=32 (оптимальное из условие равенства статической ошибки нулю)

Максимальные отклонения: 0.018

Установившееся значение

Выводы по разделу:

Целью данной части работы было проектирование аналоговой системы управления для объекта, заданного своей передаточной функцией. Таким образом, необходимо было получить все параметры в передаточной функции фильтра: .

Сначала были выведены формулы для коэффициентов передаточной функции аналогового фильтра, исходя из заданных в условии степени устойчивости и относительного удаления второй пары мнимых корней от мнимой оси n. Получили следующие коэффициенты:

, , , =3200-100а.

Далее был получены два значения для коэффициента а: одно исходя из минимального перерегулирования в замкнутой системе (a=8.56) Для этого с помощью пакета Mathcad произвели обратное преобразование Лапласа к передаточной функции замкнутой системы, и варьируя значение а нашли такое, при котором перерегулирование минимально.

Второе значение коэффициента а было найдено исходя из равенства нулю статической ошибки при нулевом входном сигнале и ненулевом внешнем возмущении (a=32). В ТЗ задано условие минимального перерегулирования, поэтому выбираем а=8.56. Таким образом выражение для передаточной функции фильтра имеет вид:

Далее были построены графики переходных процессов в замкнутой системе для а=0, а=, a=32. Было выяснено, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться.

Затем мы построили графики переходного процесса в фильтре при а=0, а=, a=32. Выяснили, что параметр а влияет на время переходного процесса в фильтре, причем с ростом параметра а время переходного процесса уменьшается.

2. Проектирование цифровой системы управления

.1 Построение цифрового фильтра

.1.1 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического метода без производных

Передаточная функция фильтра: (2.1)

Для нахождения коэффициентов разностного уравнения воспользуемся полуаналитическим методом без производной. Методы, называемые полуаналитическими, основываются на том факте, что часть общего решения, описывающая свободное движение, имеет простую аналитическую форму, и может быть вычислена точно. Таким образом, погрешность общего решения будет определяться только погрешностями вынужденной части решения.

Из (2.1) следует, что

(2.2)

Запишем дифференциальное уравнение для фильтра:

(2.3)

Введем промежуточное вспомогательное уравнение:

(2.4)

Тогда получим неоднородное дифференциальное вспомогательное уравнение:

, где .

(2.5)

Из (2.1) и (2.4):

Таким образом,

Теперь можно сформировать решение по x:

(2.6)

Решение уравнения (2.5) на шаге h с заданными начальными условиями можно представить в виде

, (2.7)

где - общее решение однородного уравнения

- частное решение

Характеристическое уравнение диф. уравнения (2.5) имеет вид:

, (2.8)

где корни

Общее решение однородного уравнения:

,(2.9)

где А и В - const и определяются из начальных условий,

Разложим внешнее возмущение y(t) в ряд Тейлора

(2.10)

Частное решение будем искать в виде:

,(2.11)

где - пока неизвестные константы.

Тогда:

(2.12)

(2.13)

Подставив (2.10), (2.11), (2.12), (2.13) в (2.5) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h, получим коэффициенты для :

(2.14)

(2.15)

(2.16)

Так как в условии курсовой работы задано применить полуаналитический метод без производных, будем считать, что в разложении Тейлора .

Тогда мы можем найти коэффициенты :

,

Таким образом, общее решение будет:

(2.17)

Продифференцировав уравнение (2.17) по t, получим:

(2.18)

Для того, чтобы найти А и В, примем h = 0 и подставим в уравнения (2.17) или (2.18):

Таким образом, алгоритм вычислений будет иметь следующий вид:

По известному вычисляется значение .

Вычисляются текущие коэффициенты A и B.

Полученные величины используются для вычисления и, которые будут условиями для следующего шага.

Вычисляется реакция фильтра в текущий момент времени

п.1-4 повторяются заданное шагом дискретизации количество раз.

Выводы по разделу

В данном разделе были построен алгоритм для реализации цифрового фильтра полуаналитическим методом без производных.

.1.2 Цифровая реализация аналогового фильтра

Программа цифровой реализации аналогового фильтра, алгоритм которой был описан в предыдущем пункте, была разработана и написана с помощью пакета математически[ вычислений MATLAB R2007a.

Перед началом работы алгоритма необходимо описать все параметры участвующие в программе.

- шаг дискретизации (окончательно он будет выбран при разработке замкнутой системы с цифровым фильтром - см. следующий пункт данного параграфа).

- количество точек (отсчетов, охватывающих время переходного процесса), взятых для реализации переходного процесса в фильтре. Будем исследовать переходный процесс на протяжении 1 секунды от момента его начала. За это время переходный процесс успеет завершиться, к тому же, масштаб графиков переходного процесса удобен для их исследования. Таким образом, количество отсчетов, охватывающих время переходного процесса, вычисляется по формуле . (2.19)

Листинг программы:

>> alfa = 30;

>> beta = 13.5;

>> k = 100;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> b0 = 100;

>> y = ones(1, k);

>> for i = 1:k;

>> alfa0 = y(i) / 944;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa));

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + sin(beta*h) *

(-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = (8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 1600 * z(i+1));

>> end;

2.1.3 Графики выхода цифрового фильтра, построенного с помощью полуаналитического метода без производных, при разных шагах дискретизации.

Построим графики переходных процессов цифрового фильтра для шагов h = 0.01, 0.004 и 0.002 соответственно (при нулевых начальных условиях).

Рис 2.1. Переходный процесс на выходе фильтра при различных шагах дискретизации

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,01с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 6,7.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,004с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 7,80.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,002с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 8,02.

Из графика видно, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе переходный процесс цифрового фильтра к переходному процессу аналогового фильтра. Значительное расхождение в начале переходного процесса связано с тем, что при реализации цифрового фильтра были взяты нулевые условия (А=0, В=0).

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации0,010,0040,002Аналоговый фильтрМаксимальное знач.6,77,808,028.56Установившееся знач.1,7761,7761,7761,776

Вывод по разделу

В данном разделе были построены графики переходных процессов цифрового фильтра, построенным полуаналитическим методом без производных, и был сделан вывод о том, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

.1.4 Моделирование замкнутой системы с цифровым фильтром

Рассмотрим работу замкнутой системы с цифровым фильтром.

Рис. 2.2 - Замкнутая система с цифровым фильтром.

Рис 2.3. Временная диаграмма работы цифрового фильтра

Процесс работы замкнутой системы с цифровым фильтром выглядит следующим образом. Пусть текущий момент tk+1. В этот момент АЦП измеряет входной сигнал - y(k+1). В памяти ЦВМ в этот момент находятся значения x(k), y(k) по которым она вычисляет значение x(k+1). Затем это значение выставляется на выход фильтра только в момент времени tk = tk + t. Где t - чистое запаздывание, включающее в себя время срабатывания АЦП, ЦАП, машинное время вычисления и, при необходимости, специально введенное дополнительное запаздывание.

На интервале времени [tk ; tk + t] уравнение объекта имеет вид:

, где .(2.20)

Отсюда

;(2.21)

.(2.22)

На интервале времени уравнение объекта , откуда

;(2.23)

(2.24)

Эти соотношения являются моделью объекта управления .

Для окончательного описания замкнутой системы нужно добавить уравнение отрицательной обратной связи . Вышеперечисленные действия реализованы в Matlab.

>> alfa = 30;

>> beta = 13.5;

>> k = 1000;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> tau = 0;

>> b0 = 100;

>> u = zeros(1, k);

>> up = zeros(1, k);

>> ut = zeros(1, k);

>> utp = zeros(1, k);

>> y = ones(1, k);

>> for i = 1:k;

>> alfa0 = y(i) / 1000;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa));

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + sin(beta*h) >> >> * (-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = (8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 16000 * z(i+1));

>> upt(i) = up(i) + b0 * x(i) * tau;

>> ut(i) = u(i) + up(i) * tau + (b0 * x(i) * tau * tau) / 2;

>> up(i+1) = upt (i) + b0 * x(i+1) * (h-tau);

>> u(i+1) = ut(i) + upt(i) * (h-tau) + (b0 * x(i+1) * (h-tau) * (h-tau)) / 2;

>> y(i+1) = 1 - u( i+1);

>> end;

Вывод по разделу:

В данном разделе был построен алгоритм и программа моделирования замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных

2.1.5 Графики переходного процесса системы с фильтром, построенным полуаналитическим методом без производных, при разных шагах дискретизации.

Построим графики переходных процессов замкнутой системы для шагов дискретизации 0.01, 0.004 и 0.002 соответственно при нулевом запаздывании.

Рис 2.4. Переходной процесс в системе с цифровым фильтром при различных h

Переходный процесс в системе при h = 0,01с

Время переходного процесса Т = 0,44с.

Максимальное значение (1,48) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс в системе при h = 0,004с

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,39) достигается в 0,14с от начала переходного процесса

Переходный процесс в системе при h = 0,002с

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,36) достигается в 0,135с от начала переходного процесса

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации, h0,010,0040,002Аналоговый случайВремя перех. процесса, Т, с0,440,290,290,285Перерегулирование, %47393634,2

По данным таблицы можно сделать вывод, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром.

Среднеквадратическое отклонение системы с цифровым фильтром от замкнутой аналоговой системы рассчитывается по формуле

(2.25)

Найдем СКО следующим образом:

Реализуем в Simulink реализацию системы с аналоговым фильтром

Рис 2.5. Система с аналоговым фильтром

Сравним сигнал с ее выхода с сигналом системы и цифровым фильтром:

>> k = 100;// задаем в зависимости от шага дискретизации

>> for i = 1:k;

>>s=s+(u(i)-analog)*(u(i)-analog)

>>end;

>>s=s/k;

>>sko=s^.0.5;

В случае, когда h=0.01, СКО=10%

В случае, когда h=0.004, СКО=2.85%

В случае, когда h=0.002, СКО=0.8%

Таким образом, выберем шаг h=0.004. поскольку он удовлетворяет заданному условию.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром. Исследовал среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от системы с аналоговым фильтром, видим, что для достижения заданной точности (СКО<=3%) достаточно взять шаг дискретизации h=0.004.

2.1.6 Графики переходных процессов в системе с учетом запаздывания.

Для того, чтобы исследовать переходный процесс в системе при ненулевом запаздывании, необходимо всего лишь изменить в листинге программы, приведенной на стр. 21, строку:

>> tau = 0;

на строку

>> tau = h/2; (для задания запаздывания )

А затем на строку:

>> tau = h; (для задания запаздывания )

Рис 2.5. Переходной процесс в системе с цифровым фильтром при h=0.004 и различном времени запаздывания

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,285с.

Максимальное значение (1,39) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,29с.

Максимальное значение (1,43) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Переходный процесс замкнутой системы с цифровым фильтром при .

Время переходного процесса Т = 0,395с.

Максимальное значение (1,48) достигается в 0,15с от начала переходного процесса.

Мы видим, что перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации. Длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании. При нулевом запаздывании переходный процесс наиболее близок к аналоговому.

Вывод по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом без производных, при запаздываниях t = 0, t = h/2, t = h и был сделан вывод о том, перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации, а длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

2.2 Построение цифрового фильтра при использовании полуаналитического метода с одной производной

Передаточная функция и все начальные расчеты совпадают с началом пункта 2.1. Отличие составляет функция y(t), которая подается на вход фильтра.

Разложим y(t) в ряд Тейлора:

(2.26)

Частное решение будем искать в виде:

,(2.27)

где - пока неизвестные константы.

Тогда:

(2.28)

(2.29)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях h, получим коэффициенты для :

(2.30)

(2.31)

(2.32)

Так как в условии курсовой работы задано применить с одной производной, будем считать, что в разложении Тейлора .

Тогда мы можем найти коэффициенты :

, , , где производная находится как .

Таким образом, общее решение будет:

(2.33)

Продифференцировав уравнение (2.31) по t, получим:

(2.34)

Для того, чтобы найти А и В, примем h = 0 и подставим его в уравнения (2.33) и (2.34):

Таким образом, алгоритм вычислений будет иметь следующий вид:

1.По известному вычисляется значение .

.Вычисляются текущие коэффициенты A и B.

.Полученные величины используются для вычисления и, которые будут условиями для следующего шага.

.Вычисляется реакция фильтра в текущий момент времени

5.п.1-4 повторяются заданное шагом дискретизации количество раз.

Листинг программы:

>> alfa0 = 0.001;

>> alfa = 30;

>> beta = 13.25;

>> k = 1000;

>> z = zeros(1, k);

>> x = zeros(1, k);

>> zp = zeros(1, k);

>> zpp = zeros(1, k);

>> y = ones(1, k);

>> y(1) = 0;

>> yp = zeros(1, k);

>> A = 0;

>> B = 0;

>> h = 1/k;

>> tau = 0;

>> b0 = 100;

>> u = zeros(1, k);

>> up = zeros(1, k);

>> ut = zeros(1, k);

>> utp = zeros(1, k);

>> for i = 2:k ;

>> y(i+1) = y(i) + yp(i) * h;

>> yp(i+1) = (y(i+1)-y(i-1))/2*h;

>> alfa0 = y(i+1)/944;

>> alfa1 = yp(i+1)/944;

>> A = z(i) - alfa0;

>> B = (zp(i)+ alfa * A)/beta;

>> z(i+1) = exp(-alfa*h)*(A*cos(beta*h)+B*sin(beta*h)) + alfa0 + alfa1 * h;

>> zp(i+1) = exp(-alfa*h)* (cos(beta*h)*(-A*alfa + B*beta) - sin(beta*h)*(A*beta + B*alfa)) + alfa1;

>> zpp(i+1) = (-1) * exp(-alfa*h) * (cos(beta*h) * (-A*alfa*alfa + 2*alfa*beta*B + A*beta*beta) + >> >> sin(beta*h) * (-B*alfa*alfa -2*A*alfa*beta+ B*beta*beta));

>> x(i+1) = 8.56 * zpp(i+1) + 240 * zp(i+1) + 16000 * z(i+1);

>> upt(i) = up(i) + b0 * x(i) * tau;

>> ut(i) = u(i) + up(i) * tau + (b0 * x(i) * tau * tau) / 2;

>> up(i+1) = upt (i) + b0 * x(i+1) * (h-tau);

>> u(i+1) = ut(i) + upt(i) * (h-tau) + (b0 * x(i+1) * (h-tau) * (h-tau)) / 2;

>> y(i+1) = 1 - u( i+1);

>> end;

Выводы по разделу:

В данном разделе был построен алгоритм и программа реализации цифрового фильтра полуаналитическим методом с одной производной.

2.2.1. Построение переходных процессов цифрового фильтра, построенного полуаналитическим методом с одной производной, при различных шагах дискретизации

Построим графики переходных процессов цифрового фильтра для шагов дискретизации 0.01, 0.005 и 0.002 соответственно.

Рис. 2.2.2 Графики переходного процесса фильтра.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,01с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 6,8.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,005с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 7,92.

Переходный процесс цифрового фильтра при h = 0,002с

Установившееся значение равно 1,776.

Максимальное значение 8,08.

Сравним полученные значения с аналоговым случаем:

Шаг дискретизации0,010,0050,002Аналоговый фильтрМаксимальное знач.6,87,928,088.56Установившееся знач.1,7761,7761,7761,776

По данным таблицы можно сделать вывод, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов цифрового фильтра, реализованного полуаналитическим методом с одной производной, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что чем меньше шаг дискретизации, тем ближе выход с цифрового фильтра к выходу с аналогового фильтра.

.2.2 Графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, построенным полуаналитическим методом с одной производной

Построим графики переходных процессов замкнутой системы для шагов дискретизации 0.01, 0.005 и 0.002 соответственно при нулевом запаздывании.

Рис. 2.8.1 Переходный процесс замкнутой системы при различных h

Сравним полученные значения с аналоговым случаем

Шаг дискретизации, h0,010,0050,002Аналоговый случайВремя перех. процесса, Т, с0,440,2880,2870,285Перерегулирование, %44383634,2

По данным таблицы можно сделать вывод, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром.

Способом, аналогичным тому, который использовался при расчете СКО для полуаналитического метода без производных, рассчитаем СКО для метода с одной производной.

В случае, когда h=0.01, СКО=9,11%

В случае, когда h=0.005, СКО=2.82%

В случае, когда h=0.002, СКО=0.55%

Таким образом, выберем шаг h=0.005. поскольку он удовлетворяет заданному условию.

Выводы по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом с одной производной, при разных шагах дискретизации и был сделан вывод о том, что при уменьшении шага дискретизации величина перерегулирования уменьшается и время переходного процесса замкнутой системы с цифровым фильтром приближается ко времени переходного процесса замкнутой системы с аналоговым фильтром. Исследовав среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от системы с аналоговым фильтром, видим, что для достижения заданной точности (СКО<=3%) достаточно взять шаг дискретизации h=0.005.

.2.3 Графики переходных процессов в замкнутой системе с учетом задержки

1. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,285с

Максимальное значение (1,36) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,285с

Максимальное значение (1,42) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

. Запаздывание .

Время установившегося процесса Т = 0,42с

Максимальное значение (1,45) достигается в 0,14с от начала переходного процесса.

Видно, что перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации. Длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

Вывод по разделу:

В данном разделе были построены графики переходных процессов замкнутой системы с цифровым фильтром, реализованным полуаналитическим методом с одной производной, при запаздываниях t = 0, t = h/2, t = h и был сделан вывод о том, перерегулирование минимально при нулевом запаздывании и максимально при запаздывании равном шагу дискретизации, а длительность переходного процесса также максимальна при максимальном запаздывании.

передаточная функция цифровой фильтр

3.Выводы

Целью данной курсовой работы было проектирование цифровой системы управления с заданным быстродействием для объекта, заданного передаточной функцией . Была задана передаточная функция фильтра: , где коэффиценты надлежало найти, исходя из динамических требований к системе. Была задана оценка длительности переходного процесса T=0.3c.

Сначала была построена аналоговая система управления. Были выведены уравнения для коэффициентов . Коэффициент а был найден далее двумя способами.

В первом случае коэффициент а был найден, исходя из условия минимального перерегулирования передаточной функции W(p). При этом, варьируя коэффициент а, были получены различные значения перерегулирования. Оказалось, что перерегулирование в системе минимально при a=8.56.

Во втором случае коэффициент а был найден, исходя из условия, что установившееся значение на выходе системы с нулевым входным воздействием, и ненулевой помехой (передаточная функция W1(p)) , равно нулю. Получили а=32.

Поскольку, в условии курсовой работы сказано, что а необходимо выбрать из условия минимального перерегулирования, то выберем а=8.56. Передаточная функция фильтра при этом имеет вид, а передаточная функция системы имеет вид

.

Далее было исследовано влияние коэффициента а на параметры переходного процесса.

Переходной процесс в системе:

a=0a=8.56a=32a=34а=36Длительность перех. Процесса, c0.360.2850.360.40.4Перерегулирование, %46.434.2516576

Из таблицы видно, что параметр а влияет на время переходного процесса, причем с ростом а (в некотором диапазоне) время переходного процесса уменьшается. С дальнейшим ростом параметра а время переходного процесса начинает увеличиваться. Также с ростом параметра а в системе увеличивается колебательность.

Во второй части работы была спроектирована цифровая система управления.

При этом были исследованы два метода перехода от аналогового фильтра к цифровому - полуаналитический метод без производных, и полуаналитический метод с одной производной. Для обоих методов были построены алгоритмы их реализации, и они были реализованы в Matlab.

Далее было проведено исследование влияния шага дискретизации на переходный процесс в системе с цифровым фильтром. Результаты исследования были сведены в таблицы:

Переходной процесс в системе с цифровым фильтром (метод без производных)

Шаг дискретизации, h0,010,0040,002Аналоговый случайВремя перех. процесса, Т, с0,440,290,290,285Перерегулирование, %47393634,2

Переходной процесс в системе с цифровым фильтром (метод с одной производной)

Шаг дискретизации, h0,010,0050,002Аналоговый случайВремя перех. процесса, Т, с0,440,2880,2870,285Перерегулирование, %44383634,2

Как и предполагалось, с уменьшением шага дискретизации переходной процесс в системе с цифровым фильтром, приближался к переходному процессу в системе с аналоговым фильтром.

Далее, для каждого из выбранных шагов дискретизации было рассчитано среднеквадратическое отклонение выхода системы с цифровым фильтром от выхода системы с аналоговым фильтром. Результаты расчетов были сведены в таблицы:

СКО (метод без производных)

Шаг дискретизацииh=0.01h=0,004h=0.002СКО, %102.850.8

СКО (метод с одной производной)

Шаг дискретизацииh=0.01h=0,005h=0.002СКО, %9.112.820.55

Поскольку в задании сказано, что СКО не должно превышать 3%, то были выбраны следующие шаги дискретизации:

Для метода без производных - h=0,004

Для метода с одной производной - h=0,005

Наконец, было исследовано влияние задержки на переходной процесс для обоих методов (при выбранных шагах дискретизации).

Влияние задержки на переходной процесс (метод c одной производной)

tau=0tau=h/2tau=hМакс. значение на выходе1,361,421,45Время перех. Процесса0,2850,2850,42

Влияние задержки на переходной процесс (метод без производных)

tau=0tau=h/2tau=hМакс. значение на выходе1,391,431,48Время перех. Процесса0,2850,290,395

Оказалось, что с увеличением задержки растет время переходного процесса, и увеличивается колебательность в системе. То есть, как и предполагалось, задержка ухудшает переходной процесс, и надо стремиться к ее уменьшению.

Таким образом, исследовав оба метода, можно сказать, что метод с одной производной обеспечивает большую точность, чем метод без производных, поскольку:

.Для того, чтобы СКО не превышало 3%, в методе без производных должен быть шаг дискретизации не больше 0,004, а в методе с одной производной - достаточно взять шаг не больше 0,005.

.При одной и той же величине запаздывания, переходной процесс в системе с фильтром, построенным по методу с одной производной ближе к аналоговому случаю, чем в системе с фильтром, построенным по методу без производных.

1.

Оглавление Цель работы Техническое задание .Проектирование аналоговой системы .1 Теоретическая часть .1.1 Вывод формул для вычисления пар

Больше работ по теме: