Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы "Логарифмические уравнения"

 

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени академика И.Г. Петровского

филиал БГУ в г. Новозыбкове

Кафедра математики, физики и информатики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы "Логарифмические уравнения"

Выполнил: студент 5 курса ФМФ

Москальков Максим Васильевич

Научный руководитель: старший преподаватель

Воронкова Зинаида Ипатовна

Новозыбков 2007

Содержание

Введение

Глава 1. Исторические аспекты и современные тенденции развития профильного обучения

§ 1. Профильное обучение в России и за рубежом

1.1 История возникновения профильного обучения в России

1.2 О профильном образовании за рубежом

§ 2. Профильное обучение на современном этапе развития образования

2.1 Профильное обучение как направление модернизации образования

2.2 Основные цели и направления профилизации образования

2.3 Организация профильного обучения

2.4 Результаты анализа учебных планов школ, участвующих в эксперименте по введению профильного обучения

§ 3. Информационные технологии

§ 4. Проблемы профильного обучения

§ 5. Профильный экзамен по математике

Глава 2. Изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах разного профиля

§ 1. Сравнительный анализ стандартов среднего (полного) общего образования по математике базового и профильного уровней

§ 2. Примерное распределение времени на изучение темы "Логарифмические уравнения"

§ 3. Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме

§ 4. Модульная карта изучения темы "Логарифмические уравнения"

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы "Логарифмические уравнения"

5.1 Физико-математический профиль

5.2 Общеобразовательный и гуманитарный профиль

§ 6. Использование компьютерных технологий при изучении темы "Логарифмические уравнения"

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Овладение практически любой современной профессией требует определённых математических знаний.

Представление о роли математики в современном мире, математические знания стали необходимым компонентом общей культуры. Для жизненной самореализации, возможности продуктивной деятельности в информационном мире требуется достаточно прочная математическая подготовка.

Роль и место математики в науке и жизнедеятельности общества, ценность математического образования, понимание предмета обуславливают цели математического образования.

Выбор уровня математической подготовки должен определяться способностями и потребностями учащихся, их выбором будущей профессии. Поэтому учащиеся, готовящиеся к естественно-научным, математическим специальностям должны иметь возможность обучаться по программе углубленного курса математики. Кроме обеспечения прочного сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений - основной задачей обучения математике в школе, "углубленное изучение математики в учебном процессе предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой". [18]

На самоопределение учащихся большое влияние оказывают факультативные занятия, курсы по выбору, классы с математическим уклоном.

Реализация идеи профильности старшей ступени образования в школе позволяет углубить знания учащихся по отдельным предметам и подготовить их к дальнейшему поступлению в ВУЗы, где уже давно сформировалась "математика вступительных экзаменов", и обучение этой весьма специфической математике стало главной целью учеников и учителей.

Ярким примером может служить решение логарифмических уравнений, которые систематически встречаются на экзаменах. Но для их решения фактически достаточно знать хотя бы один конкретный алгоритм, и учащееся тратят уйму времени на его освоение - и в школе, и на подготовительных курсах, и с репетитором. Однако большинство учащихся не могут обосновать применяемый алгоритм, объяснить, зачем они производили то или иное действие; уделяя так много внимания появлению посторонних корней, они совершенно не заботились о потере корней. [8]

Аппарат уравнений широко используется в научных исследованиях. А в рамках профильного курса математики он позволяет сформировать у учащихся более глубокие представления о сущности математического моделирования, заполнить пробелы как в теоретических знаниях, так и практических навыков решения уравнений.

Всё выше изложенное подтверждает актуальность темы данной работы "Проблема обучения математике в профильных классах на примере темы "Логарифмические уравнения"".

Целями исследования являются: выявление сущности профильного обучения, определение особенностей изучения логарифмических уравнений в классах разного профиля.

Объектом исследования являются особенности учебного процесса при обучении математике в классах разного профиля. Предметом - реализация методических особенностей при изучении логарифмических уравнений в классах разного профиля.

Для осуществления поставленных целей выделим следующие задачи:

Теоретически обосновать понятие профильного обучения и его сущность.

2Выявить требования государственного стандарта к изучению вопросов рассматриваемой темы.

Описать содержание алгебраической части профильного курса по изучению логарифмических уравнений.

Провести анализ учебной и учебно-методической литературы.

Раскрыть специфику обучения избранному вопросу в классах разного профиля.

В основу исследования положена гипотеза о том, что от количества часов, отводимых на изучение конкретной темы, зависит и объём изучаемого материала. В непрофильных классах осуществляется начальное знакомство с основными моментами темы в отличие от профильных, где происходит более полное и подробное изучение предмета.

При выполнении работы были использованы следующие методы исследования:

1.Изучение научной и методической литературы по данной теме;

2.Изучение научно-популярной литературы;

.Анализ школьных учебников;

.Анализ задачного материала;

.Теоретическое исследование проблемы.

В процессе выполнения выпускной работы была определена её структура: введение, теоретическая и практическая часть, заключение, список литературы, приложение.

Во введении обоснована актуальность, поставлены цели и задачи выпускной квалификационной работы, а также выделены методы для их решения.

В первой главе рассмотрена история профильного развития как в России так и за рубежом. Раскрыты современные тенденции профилизации образования; акцентировано внимание на проблемах профильного обучения и путях их решения.

Вторая глава посвящена практическому исследованию поставленной проблемы на примере логарифмических уравнений. Для этого проанализированы стандарты образования и тематическое содержание школьных учебников. Как одно из направлений дифференциации составлены модульная карта и урок модульного обучения. Рассмотрены информационные технологии. В заключении подводятся итоги о проделанной работе.

В приложении приводятся решения и ответы к заданиям, разработанным в основной части ВКР.

профильный класс математика обучение

Глава 1. Исторические аспекты и современные тенденции развития профильного обучения

§ 1. Профильное обучение в России и за рубежом

1.1 История возникновения профильного обучения в России

Одна из первых попыток осуществления дифференциации обучения в школе относится к 1864 г. Соответствующий указ предусматривал организацию гимназий двух типов: классическая (цель - подготовка в университет) и реальная (цель - подготовка к практической деятельности и поступлению в специализированные учебные заведения). Специализация учащихся начиналась очень рано - в первом классе, что было со временем признано ошибочным.

Новый импульс идея профильного обучения получила в процессе подготовки реформы образования в 1915-1916 гг., осуществлявшейся под руководством министра просвещения П.Н. Игнатьева. По предложенной структуре 4-7-е классы гимназии разделялись на три ветви: новогуманитарную, гуманитарно-классическую, реальную. Однако в связи с отставкой министра реформа не была проведена.

В 1918 г. советским правительством было принято Положение о единой трудовой школе, среди прочего предусматривающее профилизацию содержания обучения на старшей ступени школы. Были выделены три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. К сожалению, многие задачи, поставленные создателями новой школы, оказались нереализованными. После долгих педагогических экспериментов, не оправдавших возлагаемых на них надежд, было решено вернуться к общеобразовательной школе и классно-урочной системе занятий.

В 1958 г. на заседании Академии педагогических наук с докладом.0 введении фуркации в старших классах средней школы, выступил профессор Н.К. Гончаров. Он отметил недостатки сложившейся системы обучения и предложил организовать дифференцированное обучение старшеклассников. Предполагалось создание следующих четырех отделений: физико-технического, химико-технического, естественно-агрономического и гуманитарного. Однако проект осуществлен не был.

В 1966 г. были введены две формы дифференциации содержания образования по интересам школьников: факультативные занятия в 8-10-х классах и школы (классы) с углубленным изучением предметов. Факультативные занятия на какое-то время прижились в школе, хотя их введение сопровождалось определенными трудностями (см. журнал 9. Математика в школе за 75,0 1966-1975 гг.).

В конце 1980-х - начале 1990-х годов в стране появились новые виды общеобразовательных учреждений (лицеи, гимназии), ориентированные на углубленное обучение школьников по избираемым ими образовательным областям с целью дальнейшего обучения в вузе. Также многие годы успешно существовали и развивали специализированные (в известной мере, профильные) художественные, спортивные, музыкальные и другие школы. Таким образом, отечественная школа имеет некоторый опыт массового дифференцированного обучения, а также весьма богатые традиции. элитарного профильного обучения - ориентированного на небольшую по численности группу способных учащихся. Этот опыт требует критического осмысления в условиях современного реформирования образования России. [15], [16]

1.2 О профильном образовании за рубежом

В большинстве стран Европы все учащиеся до шестого года обучения в основной общеобразовательной школе получают примерно одинаковую подготовку, К седьмому году обучения ученик должен определиться в выборе своего дальнейшего пути. Каждому ученику предлагаются два варианта продолжения образования в основной школе: "академический", который в дальнейшем открывает путь к высшему образованию, и "профессиональный", в котором обучаются по упрощенному учебному плану, содержащему преимущественно прикладные и профильные дисциплины. В США профильное обучение существует на последних двух или трех годах обучения в школе. Учащиеся могут выбрать три варианта профиля: академический, общий и профессиональный, в котором дается предпрофессиональная подготовка.

Анализ зарубежного опыта позволяет выделить следующие наиболее характерные черты организации обучения на старшей ступени общего образования:

. Общее образование на старшей ступени во многих странах является профильным.

. Как правило, профильное обучение охватывает три, реже два последних года обучения в школе.

З. Количество направлений дифференциации, которые можно считать аналогами профилей, невелико. Например, два - в англоязычных странах (академический и неакадемический), три - во Франции (естественно-научный, филологический, социально-экономический) и три - в Германии (язык - литература - искусство, социальные науки, математика-точные науки-технология).

. Организация профильной подготовки различается по способу формирования индивидуального учебного плана обучающегося: от достаточно жестко фиксированного перечня обязательных учебных курсов (Франция, Германия) до возможности набора из множества курсов, предлагаемых на весь период обучении (Англия, Шотландия, США и др. страны).

. Количество обязательных учебных предметов (курсов) на Старшей ступени по сравненью с основной существенно меньше. Среди них присутствуют естественные науки, иностранные языки, математика, родная словесность, физическая культура. [15]

§ 2. Профильное обучение на современном этапе развития образования

2.1 Профильное обучение как направление модернизации образования

В соответствии с Концепцией модернизации российского образована на период до 2010 года, утверждённой распоряжением Правительства Российской Федерации от 29 12 2001 г. №756-р, Министерством образования РФ совместно с Российской академией образования подготовлен проект Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, который широко обсуждался педагогической общественностью, был в целом поддержан органами управления образованием субъектов РФ, доработан по замечаниям и предложениям Федерального координационного совета по общему образованию Всероссийского совещания руководителей органов управления образованием и руководителей учреждений повышения квалификации работников образования.

Поставлена задача создания "системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию обучающихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда… отработки гибкой системы профилей и кооперации старшей ступени школы с учреждениями начального, среднего и высшего профессионального образования".

В 2003/04 учебном году в эксперименте по профильному обучению участвуют 10 регионов, 20 муниципальных образовании Российской Федерации

Прежде всего следует разграничить понятия "профильное обучение" и "профильная школа".

Профильное обучение - средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями продолжать образование. Профильная школа есть институциональная форма реализации этой цели. Это основная форма, однако перспективными в отдельных случаях могут стать иные формы организации профильного обучения, в том числе выводящие работу по соответствующим образовательным стандартам и программам за стены отдельного общеобразовательного учреждения.

Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможность ученика выстраивать индивидуальную образовательную траекторию. [13]

Профильная школа создается по многим причинам среди них:

отчетливая дифференциация интересов и жизненных планов учащихся (70% старшеклассников изъявляют желание изучать большую часть общеобразовательных предметов на уровне основ, а углубленно - лишь те которые необходимы для дальнейшей профессиональной специализации);

по мнению учащихся, современная школа не создает условии для подготовки к будущей профессиональной деятельности и построения успешной карьеры;

необходимость осознанно выбирать будущую профессию должна повысить экономическую эффективность образования, а также способствовать успешной социализации выпускников;

специфические требования, предъявляемые к выпускникам школ учреждениями профессионального (высшего) образования соблюдение преемственности между школой и вузом, устранение недостатков довузовской подготовки (репетиторство, платные подготовительные курсы). [6]

2.2 Основные цели и направления профилизации образования

Основные цели перехода к профильному обучению таковы:

обеспечить углубленное изучение отдельных предметов программы полного общего образования;

создать условия для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников с широкими и гибкими возможностями построения школьниками индивидуальных образовательных программ;

способствовать установлению равного доступа к полноценному образованию разным категориям обучающихся в соответствии с их способностями, индивидуальными склонностями и потребностями;

расширить возможности социализации учащихся, обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием, более эффективно подготовить выпускников школы к освоению программ высшего профессионального образования.

Основными направлениями профилизации являются следующие:

естественно-математическое;

социально-экономическое;

гуманитарное;

технологическое (специализация - информационные технологии).

Возможно существование и универсального профиля. [15]

Как ученику выбрать подходящий профиль?

В выборе профиля учащемуся должна помочь предпрофильная подготовка, которая может быть реализована в 9-м классе. Базовый минимальный объем предпрофильной подготовки следует определить примерно в 100 ч. Большую часть времени, две трети (2 ч в неделю), нужно отводить на специально организованные краткосрочные (от нескольких недель до полугода) курсы по выбору. Содержание, форма организации этих курсов должны быть ориентированы не только на расширение знаний ученика по тому или иному предмету, но прежде всего на самоопределение ученика относительно профиля обучения в старшей школе. Треть объема предпрофильной подготовки (примерно 30-35 ч в год) предлагается отводить на информационную работу: знакомство с местными учреждениями возможного продолжения образования после 9-го класса, мероприятия профориентационного характера; анкетирование и консультирование десятиклассников.

Основная функция курсов по выбору - профориентационная. В этой связи число таких курсов должно быть по возможности значительным Они должны носить краткосрочный и чередующийся характер, являться своего рода учебными модулями. Курсы по выбору необходимо вводить постепенно. Единовременное введение целого спектра разнообразных курсов по выбору может поставить ученика перед трудноразрешимой задачей. Необходима целенаправленная, опережающая работа по освоению учеником самого механизма принятия решения, освоения "поля возможностей и ответственности". [9], [14]

2.3 Организация профильного обучения

Типы учебных предметов, изучаемые в профильной школе:

Модель общеобразовательного учреждения с профильным обучением на старшей ступени предусматривает возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что и будет обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные.

Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся во всех профилях обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных предметов: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществоведения (для естественно-математического, технологического и иных возможных профилей), естествознания (для гуманитарного, социально-экономического и иных возможных профилей).

Профильные общеобразовательные предметы - предметы повышенного уровня, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения. Например, физика, химия, биология - профильные предметы в естественно-научном профиле; литература, русский и иностранные языки - в гуманитарном профиле; история, право, экономика - в социально-экономическом профиле и т.д. Профильные учебные предметы являются обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения.

Содержание указанных двух типов учебных предметов составляет федеральный компонент государственного стандарта общего образования.

Достижение выпускниками уровня требований государственного образовательного стандарта по базовым общеобразовательным и профильным предметам определяется по результатам единого государственного экзамена

Элективные курсы - обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента учебного плана и выполняют две функции. Одни из них могут "поддерживать", изучение основных профильных предметов на заданном профильным стандартом уровне. Например, элективный курс "Математическая статистика" поддерживает изучение профильного предмета "Экономика". Другие элективные курсы служат для внутрипрофильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий. Например, курсы "Информационный бизнес", "Основы менеджмента" - в социально-гуманитарном профиле; курсы "Химические технологии", "Экология" - в естественно-научном профиле. Количество элективных курсов, предлагаемых в составе профиля, должно быть избыточно по сравнению с числом курсов, которые обязан выбрать учащийся. По элективным курсам единый государственный экзамен не проводится. [10], [15]

Организация профильного обучения:

Модель внутришкольной профилизации. Общеобразовательное учреждение может быть однопрофильным (реализовывать только один избранный профиль) и многопрофильным (организовать несколько профилей обучения).

Общеобразовательное учреждение может быть в целом не ориентировано на конкретные профили, но за счет значительного увеличения числа элективных курсов предоставлять школьникам возможность (в том числе в форме многообразных учебных межклассных групп) в полной мере осуществлять свои индивидуальные профильные образовательные программы, включая в них те или иные профильные и элективные курсы.

Модель сетевой организации. В подобной модели профильное обучение учащихся конкретной школы осуществляется за счет целенаправленного и организованного привлечения образовательных ресурсов иных образовательных учреждений. Оно может строиться в двух основных вариантах.

Первый вариант связан с объединением нескольких общеобразовательных учреждений вокруг наиболее сильного общеобразовательного учреждения, обладающего достаточным материальным и кадровым потенциалом, которое способно играть роль "ресурсного центра". В этом случае каждое общеобразовательное учреждение данной группы обеспечивает преподавание в полном объеме базовых общеобразовательных предметов и ту часть профильного обучения (профильные предметы и элективные курсы), которую оно способно реализовать в рамках своих возможностей. Остальную профильную подготовку берет на себя ресурсный центр.

Второй вариант основан на кооперации общеобразовательного учреждения с учреждениями дополнительного, высшего, среднего и начального профессионального образования и привлечении дополнительных образовательных ресурсов. В этом случае учащемуся предоставляется право выбора получения профильного обучения не только там, где он учится, но и в кооперированных с общеобразовательным учреждением образовательных структурах (дистанционные курсы, заочные школы, учреждения профессионального образования и др.). [18]

2.4 Результаты анализа учебных планов школ, участвующих в эксперименте по введению профильного обучения

Одним из важнейших направлений опытно-экспериментальной работы в ходе эксперимента по введению профильного обучения на старшей ступени общеобразовательной школы является отработка механизмов формирования учебных планов по отдельным профилям.

БУП от 09.03.2004 г. устанавливает объем учебного времени отдельно по ступеням общего образования и предусматривает разделение обучения на базовый и профильный уровни в течение двух лет старшей школы в вариативной части.

В соответствии с БУП:

федеральный компонент составляет не менее 75% от общего нормативного времени, отводимого на освоение основных образовательных программ общего образования;

региональный (национально-региональный) компонент - не менее 10%;

компонент образовательного учреждения - не менее 10%.

Продолжительность уроков:

для 1-го класса - 35 минут;

для 2-4-х классов - от 35 до 45 минут;

для 5-9-х классов - 45 минут.

БУП предусматривает разбивку количества часов по трем ступеням общего образования по количеству часов в год, однако, так же как и БУП 1998 г., устанавливает учебную нагрузку обучающихся в пределах всего разрешенного СанПиН объема (если перевести количество часов за год в недельное исчисление).

Благодаря построению по новым принципам позволяет сократить объемы и разгрузить содержание базовых (непрофильных) учебных предметов, сосредоточив основное внимание школьников на изучении предметов, составляющих основу выбранного ими направления последующего профессионального образования. [24]

Базисный учебный план образовательных учреждений Российской Федерации

Среднее (полное) образование

Федеральный компонентИнвариантная частьОбязательные учебные предметы на базовом уровнеУчебные предметыКоличество часов на два года обученияБазовый уровеньРусский язык70 (1/1) Литература210 (3/3) Иностранный язык210 (3/3) Математика280 (4/4) История140 (2/2) Обществознание (включая экономику и право) 140 (2/2) Естествознание210 (3/3) Физическая культура140 (2/2) Вариативная частьУчебные предметы по выбору на базовом или профильном уровняхУчебные предметыКоличество часов на два года обученияБазовый уровеньПрофильный уровеньРусский язык-210 (3/3) Литература-350 (5/5) Иностранный язык-420 (6/6) Математика-420 (6/6) История-280 (4/4) Физическая культура -280 (4/4) Обществознание70 (1/1) 210 (3/3) Экономика350 (0.5/0.5) 140 (2/2) Право35 (0.5/0.5) 140 (2/2) География70 (1/1) 210 (3/3) Физика140 (2/2) 350 (5/5) Химия70 (1/1) 210 (3/3) Биология70 (1/1) 210 (3/3) Информатика и ИКТ70 (1/1) 280 (4/4) Искусство (МХК) 70 (1/1) 210 (3/3) Технология70 (1/1) 280 (4/4) ОБЖ35 (1/-) 140 (2/2) ВсегоНе более 2100 (не более 30/не более 30) Региональный (национально-региональный) компонентВсего140 (2/2) Компонент образовательного учрежденияВсегоНе менее 280 (не менее 4/не менее4) ИтогоДо 2520 (36/36) Предельно допустимая аудиторная уч. нагрузка при 6-ти дневной уч. неделе 2520 (36/36) Предельно допустимая аудит. учебная нагрузка при 5-ти дневной уч. неделе 2450 (35/35)

Институтом содержания и методов обучения РАО были проанализированы учебные планы 266 школ, из них 15 учебных планов - более детально. [24]

Приведём пример учебного плана физико-математического и филологического профилей:

Примерный учебный план физико-математического профиля

Учебные предметы Число недельных учебных часов за два года обученияI. Федеральный компонентБазовые учебные предметыРусский язык 2Литература6Иностранный язык6История4Обществознание (включая экономику и право) 4Естествознание6Физическая культура4Профильные учебные предметыМатематика12Информатика и ИКТ8Физика10II. Региональный (национально-региональный) компонентПо усмотрению субъекта Российской Федерации 4III. Компонент образовательного учрежденияЭлективные курсы, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность 8

Примерный учебный план филологического профиля

Учебные предметыЧисло недельных учебных часов за два года обученияI. Федеральный компонентБазовые учебные предметыМатематика8История6Обществознание (включая экономику и право) 4Естествознание6Мировая художественная культура2Физическая культура4Профильные учебные предметыРусский язык6Литература10Иностранный язык12Второй иностранный язык4II. Региональный (национально-региональный) компонентПо усмотрению субъекта Российской Федерации4III. Компонент образовательного учрежденияЭлективные курсы, учебные практики, проекты, исследовательская деятельность 6

Во всех проанализированных учебных планах, несмотря на их разнородность по форме и по содержанию, выдержано соответствие суммарного объема аудиторной нагрузки учебных планов максимальным показателям, установленным СанПиНами. Как правило, суммарный объем обязательной аудиторной нагрузки при шестидневной учебной неделе составляет 36 ч, в редких случаях этот показатель равен 34-35 ч или 37 ч.

Предложенное в концепции профильного обучения примерное соотношение объемов базовых, профильных и элективных курсов - 50-30-20% - в представленных учебных планах практически не выдержало. Так, например, доля часов, отводимых анализируемыми учебными планами на освоение предметов базового уровня, зачастую составляет 57-64%, а иногда доходит до крайних показателей (71%, 75%, 88%).

Доля часов, отводимых учебными планами на изучение элективных курсов, как правило, незначительна:

в лучшем случае 15-18%;

как правило, 9-11%;

в редких случаях 6%.

У учащихся нередко практически отсутствует выбор элективных курсов. В отдельных случаях элективные курсы заменены базовыми учебными предметами в расширенном объеме.

В ходе анализа выявлена недостаточная готовность школ к внедрению в учебный процесс на старшей ступени исследовательской деятельности, учебных проектов, практик; все это свидетельствует о недостаточно эффективном использовании возможностей компонента образовательного учреждения.

В целом прогноз уровня востребованности отдельных профилей оказался правильным. Гуманитарный/филологический профиль выбрали 26% учащихся, физико-математический - 23%, социально-экономический - 15%, агротехнический/агротехнологический - 12%, естественно-научный, информационно-технологический и универсальный - по 8%. Исключение составляет только универсальный профиль, то есть фактически непрофильное обучение. Ожидания, что таких школ в ближайшие годы будет около 30 - 35%, в целом не оправдались. Среди школ в рамках эксперимента их оказалось 8 - 10%. Следует думать, что в массовой практике их будет несколько больше, но не 30 - 35%.

Эксперимент показал, что построение содержания профильного обучения только на основе уровневой дифференциации содержания учебных предметов (базовый и профильный уровни) в некоторых случаях является неэффективным. По таким учебным предметам, как математика, информатика, география, иностранный язык, необходима профильная дифференциация и создание не двух (базовая и профильная), а трех-четырех примерных программ, отражающих специфику и потребности межпредметных связей в рамках отдельных профилей. [15], [16]

Предпочитаемые профили обучения.

§ 3. Информационные технологии

Как правило, в учебно-методический комплект, обеспечивающий работу по любой из новых программ, входит методическое пособие для учителя, в котором приводится примерное тематическое планирование, требования к контролю знаний учеников, проведению практических занятий и т.д. И это можно только приветствовать, но практически во всех учебно-методических комплектах отсутствует очень важный и на сегодняшний день абсолютно необходимый "ингредиент" - это так называемая электронная поддержка учебного курса. Нужны компакт-диски для учителя математики с видеозаписями фрагментов уроков, анимационными ресурсами, интерактивными моделями и т.п. Эти диски должны легко "встраиваться" в тот или иной учебный курс, иметь чётко структурированные указатели и аннотации. Все CD, существующие сегодня, ориентированы "сами на себя", поэтому их могут использовать только учителя-энтузиасты.

Известно, что мировой тенденцией развития образования становится идея непрерывного образования. Невозможно сегодня определить, спрогнозировать ту сумму знаний, которая в дальнейшем будет необходима школьнику. А для того чтобы научить ребят ориентироваться в сложном потоке новой информации, учителя математики должны сами овладеть сетевыми и программными ресурсами. В последние годы педагоги создали множество интереснейших методических разработок, позволяющих использовать компьютеры и Интернет-ресурсы на уроках математики. Надо правильно распорядиться этим богатством. Не может учитель-предметник учить детей тому, чего не умеет сам, поэтому при переподготовке надо так вести занятия с учителями, чтобы они на своём опыте убедились: использовать компьютеры, сетевые и программные ресурсы на уроках алгебры и геометрии полезно, интересно, не очень трудоёмко. Только тогда, когда учитель это увидит, он попробует этим воспользоваться.

Пока ещё робкое появление в школе "реального" Интернета с его практически неисчерпаемыми информационными ресурсами показало, что увеличивается база информационных ресурсов, к сожалению, не всегда качественных, поэтому эти ресурсы нужно постоянно рецензировать.

Обмен методическими материалами и наработками, телеконференции, общение по электронной почте с коллегами - ко всему этому может приучить сетевое методическое объединение учителей. Привычное географическое деление на окружные и даже городские методические объединения - это условность, которой не знают глобальные сети: в работе могут принять участие коллеги из любых городов и даже стран.

Весь сложившийся опыт использования глобальных компьютерных телекоммуникаций в школе показывает, что учебная работа с использованием сетевых средств и возможностей требует регулярной методической поддержки. Лишь тогда, когда появится постоянно работающие сетевые методические объединения учителей математики, можно будет говорить о перспективах широкого, выходящего, наконец, за рамки поисковых экспериментов использования телекоммуникаций в учебном процессе.

Методические службы должны оказывать консультативную помощь, информировать учителей (на основе серьёзного анализа) о том, что появилось нового в учебно-методической литературе. Учитель ведь часто не в состоянии выбрать наиболее подходящий учебник ещё и потому, что у него не хватает ни времени, ни сил на то чтобы с ними познакомиться.

Информационные технологии - это мощнейшие инструменты поиска и обработки информации. В последние годы создано множество разработок, пока не востребованных. Правильно распорядиться этим богатством - важнейшая на сегодняшний день задача.

Предпрофильная подготовка девятиклассников может быть использована для того, чтобы поддержать интерес к изучению математики, установить межпредметные связи. Но для успешной предпрофильной подготовки тоже нужны учебно-методические материалы, а их почти нет. И новые элективные курсы только ещё начинают появляться.

Профильная школа существует в нашей стране давно (физико-математические школы, литературные кружки при Домах пионеров, всевозможные курсы). По сути, в профильном образовании нет ничего нового, специализированные математические, спортивные, языковые школы и классы советских времён тоже можно считать профильными. Их, конечно, было мало, да и специализация полагалась "в нагрузку" к основным учебным предметам. Появившиеся в последние 10-15 лет гимназии, лицеи и колледжи придают направленность образованию тоже за счёт дополнительных занятий - вводя новые предметы и увеличивая нагрузку по отдельным дисциплинам.

Необходимость изменить содержание курсов естественно-научных дисциплин в гуманитарных классах стала очевидной уже давно. И вот сейчас появляются для этого возможности. Нужно изменить курс, скажем, физики таким образом, чтобы этот учебный предмет заинтересовал даже столь далёких от неё ребят, как будущие филологи и историки. При этом курс должен обеспечить изучение базового компонента в рамках стандарта образования по математике.

Бессмысленно укорачивать или сжимать курс математики. Его нужно наполнить новым содержанием и кардинально изменить структуру и методику проведения уроков. Может быть, имеет смысл попытаться начать изучение математики в гуманитарных классах с обзора истории развития, затем рассмотреть математику настоящего времени.

§ 4. Проблемы профильного обучения

Выбор уровня обучения диктует выбор объема изучаемого материала, количество решаемых задач, распределение форм учебной работы. В практике последних лет, как было изложено ранее, спонтанно сложилось представление о трех основных уровнях изучения математики - основном, или стандартном, и двух других, отступающих от него в разные стороны, - минимальном и повышенном (углубленном).

Термин "профиль обучения" оказался очень размытым. В профессиональном обучении этот термин имеет достаточно ясный смысл и связан с получаемой профессией. Одно из возможных направлений профилизации обучения математике идёт как раз из сферы профессиональной подготовки. Сохраняются представления о профилизации математики для крупных групп специальностей (математика для будущих экономистов, для электро-радиотехнических специальностей, для работников гуманитарной сферы и т.п.). Такой тип профилизации обычно проявляется в выборе примеров и задач, а также в добавлении (исключении) отдельных тем программы. В целом для общего среднего образования такой подход потерял свою актуальность.

В годы перехода от единого стандартизованного обучения к дифференцированному появилось понятие профильного класса (школы). Школы математического профиля появились еще раньше под давлением ученых (физиков и математиков), к мнению которых государство вынуждено было прислушиваться. Это направление профилизации не привело к построению курса математики "для всех", а лишь вызвало к жизни написание программ и учебников для "углубленного обучения математике. За основу брались университетские представления о курсе математики, и углубление происходило, прежде всего, с помощью включения элементов университетского курса. Для постановки преподавания в условиях изменения содержания курса математики в обычной школе это скорее имело отрицательные последствия, так как препятствовало поиску принципиально новых подходов, настраивало на адаптацию университетского курса как единственного средства модернизации школьного курса математики.

Происходящая в настоящее время модернизация всей системы образования выдвинула в качестве одной из своих задач профилизацию старшей школы. Остановимся на применении её к математике.

Математику можно учить много и учить мало, но и то и другое можно делать по-разному. Профиль характеризуется выбором ведущих способов деятельности, их взаимодействием и сбалансированностью. В изучении математики можно формировать тот или иной её профиль, по-разному ориентируя использование различных познавательных стилей.

Развиваемое нами пониманиё профиля обучения математике легко сопрягается с выбором будущей профессии. Среди различных классификаций спектра профессий есть и такая, которая во главу угла ставит ведущую специфику профессиональной деятельности, что поможет определить выбор ведущих познавательных стилей в обучении математике.

Традиционно построенные курсы и учебники математики можно в первом приближении отнести к техническому профилю (еще недавно наша школа называлась "политехнической" и была нацелена на подготовку будущих рабочих, техников и инженеров). Этому профилю соответствует преобладание алгоритмических и конструктивных способов действия. Визуальные методы используются лишь для подкрепления материала наглядными образами, очень осторожно используются логика и рассуждения, усилено внимание к приложениям и межпредметным связям.

Слова "гуманитарный профиль" понимаются по-разному. Многие видят в нем вариант компенсированного обучения математике, ориентированного на тех, кто математикой заниматься не хочет и/или не может. Более серьезная точка зрения ориентирована на принципиальную перестройку курса математики в сторону его общекультурной составляющей, что потребует значительного расширения визуально-образных и ассоциативных способов познания (за счет сокращения его алгоритмической составляющей), изменения характера приложений и возможного усиления логики и дедукции.

С проблемой профилизации обучения тесно связана проблема его индивидуализации.

Отказ от позиций единого подхода к обучению, его целям и результатам, произошедший на грани 80-х и 90-х годов (связанный, разумеется, с общей демократизацией общественной жизни), выдвинул на первый план проблему дифференциации обучения. Решение этой проблемы шло двумя путями - созданием профильных классов и школ и публикацией разнообразных дидактических материалов. Появились параллельно действующие учебники, стали разрабатываться различные программы и системы обучения. Работа по дифференциации обучения имела, несомненно, положительные результаты, однако меняющиеся социальные условия жизни обострили всегда существовавшую потребность в индивидуализации обучения.

Появилась потребность в разработке технологии, которая обеспечила бы индивидуальную траекторию обучения, способную учесть реально достигнутый уровень образования и воспитания подростка, а затем гибко реагировать на происходящие изменения.

В поисках решения названной проблемы международная группа педагогов-исследователей в 1988 - 1990 гг. начала теоретическую и практическую разработку новой педагогической системы, называемой продуктивным обучением. Основные положения концепции таковы.

. Обучение реализуется в виде последовательности учебных модулей, составляющих индивидуальную образовательную траекторию участника программы.

. Учебный модуль представляет собой самостоятельный фрагмент учебной программы, имеющий четкую учебную цель и завершающийся "продуктом" - отчетом, рефератом, защитой проекта и т.п. Модули часто имеют интегративный характер, соединяя задания из разных образовательных областей. Модуль может выполняться в группе или самостоятельно, в стенах школы или вне ее (на "ресурсах" - местах практики) и, как правило, соединен с предпрофессиональной подготовкой.

. Система существенно меняет взаимоотношения между учителем и учеником. Учитель становится, прежде всего, советчиком, консультантом. Большую роль играет "тьютор" - учитель, составляющий вместе с участником его образовательную траекторию, корректирующий и контролирующий ее.

. Повышается ответственность участника за свое образование. Развитие необходимой мотивации поддерживается участием во "взрослой жизни" (прохождение системы практик). Развиваются коммуникативные навыки. Большую роль играет компьютерная техника, работа на которой входит в обязательную программу (мастерские продуктивного обучения).

Идеи продуктивного обучения нашли свое отражение в преподавании математики. Сюда можно отнести:

Øновые формы индивидуальных заданий: сюжетные циклы, исследовательские работы, игры, которые имеют вид законченных модулей, позволяющих ученику добиться запоминающихся результатов и предполагающих индивидуальный темп и стиль работы;

Øиспользование метода проектов, который ориентирован на выполнение комплексных заданий - как правило прикладного характера;

Øрасширение технических средств обучения математике, использование компьютерных учебников и вспомогательных программ;

Øразвитие интереса к математике и осознание ее важности в жизни.

Система продуктивного обучения весьма плодотворно связывает индивидуализацию обучения с использованием и развитием познавательных стилей. Эта система признает право каждого ученика на индивидуальной выбор и, соответственно, отказывает школе в праве на жесткий прогноз и жесткое управление учебной жизнью. [6]

§ 5. Профильный экзамен по математике

К индивидуальному подходу в образовании в настоящее время устремлены единые государственные экзамены. В настоящее время ЕГЭ разработан в расчёте на выпускников школы, изучающих математику 5 часов в неделю. Структура экзаменационных заданий такова:

Часть 1Часть 2Часть 3Общее число заданий - 25 13 10 3Уровень сложностиБазовыйПовышенныйВысокийТип заданий А1-А10 с выбором ответа В1, В2, В3 с кратким ответом В3, В4 (с кратким ответом в виде записи нескольких цифр). В4-В11 с кратким ответом. С1, С2 с развёр-нутым ответом С3, С4, С5 с развёрнутым ответом (полная запись решения)

Возникает необходимость выработать подходы к составлению вариантов контрольных измерительных материалов (КИМ) для проведения ЕГЭ на профильном уровне (ЕГЭ - профильный).

Основная цель - обеспечить аттестацию по курсу алгебры выпускников профильных классов, изучающих курс математики не менее 6 часов в неделю, и дифференцировать учащихся по уровню математической подготовки для зачисления в высшие и средние учебные заведения.

Планируется в ближайшем будущем введение другой структуры ЕГЭ для профильных классов.

Структура пробного варианта КИМ "ЕГЭ - профильный, 2007"

Часть 1Часть 2Часть 3Общее число заданий - 25 12 10 3Уровень сложностиБазовыйПовышенныйВысокийТип заданий и форма ответаА1-А8 с выбором ответа (из четырёх предложенных) В1, В2 с кратким ответом (в виде целого числа или числа, записанного в виде десятичной дроби) В3, В4 (с кратким ответом в виде записи нескольких цифр, которыми обозначены верные ответы, предложенные к заданию) В5-В12 с кратким ответом (в виде целого числа, записанного в виде десятичной дроби) С1, С2 с развёрнутым ответом (полная запись решения) С3-С5 с развёрнутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

Таким образом, предлагается модель ЕГЭ - профильный ориентированный на проверку достижений тех целей, которые поставлены при обучении математике в профильных классах. [7]

Глава 2. Изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах разного профиля

§ 1. Сравнительный анализ стандартов среднего (полного) общего образования по математике базового и профильного уровней

Сравнивая стандарты базового и профильного уровней, следует отметить, что различия содержания, обязательного минимума основных образовательных программ, обязательных умений учащихся обусловлены различием целей базового и профильного уровня обучения математике.

Цели изучения математики на базовом уровне предполагают формирование представлений о математике как универсальном языке науки и лишь об общих идеях и методах математики; развитие логического мышления и пространственного воображения лишь на уровне необходимом для будущей профессиональной деятельности и дальнейшего обучения, не ставится цель развития математического мышления, творческих способностей и самостоятельной деятельности в области математики; овладение математическими знаниями, не требующее углубленной математической подготовки; понимание математики, как части общечеловеческой культуры.

Изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования направлено на достижение следующих целей:

.Формирование представлений об идеях и методиках математики, о математике, как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов;

2.Овладение языком математики в устной и письменной форме, математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин, продолжения образования и освоения избранной специальности на современном уровне;

.Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности;

.Воспитание средствами математики культуры личности через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей, понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Обязательный минимум содержания основных образовательных программ профессионального уровня при изучении логарифмических уравнений:

Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Логарифм произведения, частного, степени; переход к новому основанию. Десятичный и натуральный логарифмы, число e.

Преобразования выражений, включающих арифметические операции, а также операции возведения в степень и логарифмирования.

Решение логарифмических уравнений и неравенств. [15], [19]

В результате изучения математики на профильном уровне ученик должен уметь:

решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, иррациональные и тригонометрические уравнения, их системы;

доказывать несложные неравенства;

решать текстовые задачи с помощью составления уравнений, и неравенств, интерпретируя результат с учетом ограничений условия задачи;

изображать на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем;

находить приближенные решения уравнений и их систем, используя графический метод;

решать уравнения, неравенства и системы с применением графических представлений, свойств функций, производной.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей.

Требования к подготовке школьников, изучающих математику по программе базового уровня, не предусматривают детального изучения логарифмических уравнений; от учащихся требуется умение решения простейших логарифмических уравнений, в большинстве случаев без глубокого анализа полученного ответа.

В целом, содержание материала темы "Логарифмические уравнения" на базовом и профильном уровнях остается практически одинаковым, однако глубина изучения материала на этих уровнях существенно различается.

§ 2. Примерное распределение времени на изучение темы "Логарифмические уравнения"

В данном параграфе приведены примеры распределения времени на изучение логарифмических уравнений для профилей, в которых математика не является профилирующим предметом (варианты I и II), и для профилей, в которых математика является профилирующим предметом (варианты III и IV). В зависимости от уровня подготовки класса, и при наличии дополнительных учебных часов учитель вносит коррективы в учебное планирование.

С.М. Никольский (10 класс)

I - 2,5 часа в неделю, всего 85 часов.

II - 3 часа в неделю, всего 102 часов.

III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

Название темыКоличество часов по вариантамIIIIIIIVЛогарифмические уравнения2223

А.Н. Колмогоров (11 класс)

I - 2 часа в неделю в первом полугодии, всего 86 часов,

часа в неделю во втором полугодии.

II - 3 часа в неделю, всего 102 часа.

III - 4 часа в неделю, всего 136 часов.

Название темыКоличество часов по вариантамIIIIIIРешение логарифмических уравнений и неравенств 4 5 5

А.Г. Мордкович (11 класс)

часа в неделю, всего 102 часа.

Название темыКоличество часовЛогарифмические уравнения3

Н.Я. Виленкин (11 класс)

часов в неделю, всего 170 часов.

Название темыКоличество часовЛогарифмические уравнения6

[10], [17], [20]

§ 3. Сравнительный анализ содержания школьных учебников по теме

Логико-дидактический анализ представляет последовательность действий: определение цели обучения теме; логический и математический анализ содержания темы (теоретического и задачного материала); постановка основных учебных задач и выбор соответствующих учебно-познавательных действий; отбор основных средств, методов и приёмов обучения; определение форм контроля и оценки процесса и результата учебной деятельности учащихся.

Логический анализ темы, прежде всего, сводится установлению логической организации учебного материала в ней с учётом специфики аксиоматического метода. Математический анализ сводится к выяснению основной математической идеи темы (ответ на вопрос, о чём в этой теме узнаем), к выяснению математических обоснований выполняемых преобразований, исследований, доказательств, к осмыслению применяемых в теме математических методов и приёмов. Результатом выполнения логико-математического анализа будет определение "ядерного" материала, логической строгости его изучения и математических методов и приёмов изучения этого материала. На основе логико-математического анализа теоретического материала темы выполняется анализ математических задач. Результатом анализа математических задач будет в каждой теме своя типология; основные задачи, которые необходимо решать в классе; методическое отношение к остальным задачам.

Проведём логико-математический анализ темы "Логарифмические уравнения" в различных школьных учебниках. С этой целью выясним:

·какие новые понятия рассматриваются, даются ли им определения;

·какие новые утверждения изучаются, что они отражают, каковы основные идеи доказательств;

·какие новые виды задач и примеров рассматриваются в объяснительном тексте, каково их назначение, приводятся ли алгоритмы их решения;

·какие задачи приводятся в задачном материале пункта.

В рассматриваемых учебниках исследуемой теме отводится разное место. Так, в учебнике А.Н. Колмогорова [5] тема "Логарифмические уравнения" изучается в десятом параграфе пункт 39 главы "Показательная и логарифмическая функции". В учебнике С.М. Никольского [4] она изучается в шестом параграфе пункт 6.2 главы "Корни, степени, логарифмы". В учебнике Н.Я. Виленкина [1] во втором параграфе пункты 3-4 главы "Показательная, логарифмическая и степенная функции". А в учебнике А.Г. Мордковича [2] данная тема изучается в пятьдесят втором параграфе главы "Показательная и логарифмическая функции".

Проанализируем пункты этих учебников в отдельности.

В учебнике А.Н. Колмогорова тема "Логарифмические уравнения" объединена с логарифмическими неравенствами в пункте "Решение логарифмических уравнений и неравенств". Сразу (без определения) даётся простейшее логарифмическое уравнение и рассматриваются его свойства на примере логарифмической функции, из определения логарифма делается вывод, что его решением является . Затем рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений и неравенств.

В учебнике С.М. Никольского тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Логарифмическое уравнение вводится следующим образом:

"Пусть a - данное положительное, не равное 1 число, b - данное действительное число. Тогда уравнение

называют простейшим логарифмическим уравнением".

далее в параграфе рассматриваются различные примеры решения уравнений.

В учебнике Н.Я. Виленкина данная тема разбита на два пункта и рассматривается одновременно с логарифмическими неравенствами:

1."Простейшие логарифмические уравнения и неравенства", где вводится понятие логарифмического уравнения, корня уравнения и рассматриваются простейшие примеры:

"Простейшим логарифмическим уравнением (т.е. уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , . Так как равенство равносильно равенству , то получем:

Если , то корень уравнения равен ".

2."Решение логарифмических уравнений и неравенств", где формулируется теорема:

Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

Даётся краткий алгоритм для решения логарифмических уравнений:

Для решения уравнения при , нужно:

) решить уравнение f (x) =g (x);

) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Далее рассматриваются примеры решения логарифмических уравнений, но в данном учебнике они более сложные.

В учебнике А.Г. Мордковича тема "Логарифмические уравнения" выделена отдельным пунктом. Понятие логарифмического уравнения дано следующим образом:

"Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида

,

где a - положительное число, отличное от 1, и уравнения, водящиеся к этому".

Сформулирована теорема:

Если и , то логарифмическое уравнение (где , ) равносильно уравнению .

Выделяются три основных метода решения логарифмических уравнений:

) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функции (он был рассмотрен ранее при изучении свойств функции).

) Метод потенцирования. Он основан на теореме, изложенной в параграфе.

) Метод введения новой переменной.

Все методы решения логарифмических уравнений рассмотрены в данном параграфе на примерах, или в предыдущих параграфах.

Задачный материал включает: простейшие логарифмические уравнения, а также более сложные, содержащие в подлогарифмическом выражении квадратный трёхчлен и иррациональность, содержащие в основании дробные числа, выражения с переменной и иррациональность, дробные логарифмические уравнения, уравнения, содержащие логарифм в степени, логарифмические неравенства и системы уравнений. В учебниках Колмогорова и Мордковича выделены обязательные задания и задания повышенного уровня. Профильное различие заключается в количестве практического материала и в сложности предлагаемых заданий.

Сравнительный анализ содержания школьных учебников показал, на наш взгляд, что для работы в классе с углубленным изучением математики, т.е. для физико-математических классов, больше всего подходит учебник Н.Я. Виленкина, для общеобразовательных классов учебники С.М. Никольского и А.Г. Мордковича, для гуманитарных классов, в которых математика изучается по минимуму учебник А.Н. Колмогорова.

Специально разработанные учебники по математике для разных профилей на данный момент ещё не получили широкого распространения, поэтому при подготовке к уроку учитель пользуется несколькими учебниками и различными методическими пособиями. Например, при подготовке к уроку математики в классе физико-математического профиля некоторые учителя пользуются одновременно учебниками А.Г. Мордковича и Н.Я. Виленкина, что обусловлено полнотой содержания по данной теме и трудностью подобранного задачного материала. В этом состоит одна из проблем обучения математике в классах разного профиля.

§ 4. Модульная карта изучения темы "Логарифмические уравнения"

1. Учебная цель: познакомить учащихся с логарифмическими уравнениями и способами их решения, научить решать логарифмические уравнения. 2. Блок информации: учебник Урок 1. Решение логарифмических уравне-ний (с использованием модульного обучения и лекционного метода. Промежуточный контроль: Работа по карточкам, индивидуальная работа, самостоятельная работа, взаимоконтроль и взаимопомощь. Проверка домашних дифференцированных работ. Урок 2. "Подготовка к контрольной работе". Взаимоконтроль, выставление рейтинговых оценок, самооценка. Урок 3. Контрольная работа по теме: "Логарифмические уравне-ния". Промежуточный контроль: самоконтроль, взаимоконтроль, домашняя дифференцированная работа, контроль учащихся при выполнении заданий. Содержание карточек. 1) Решите уравнения: , ,

,

,

, на "3"

,

,

.

) Решите уравнения:

,

,

,

Найдите больший корень уравнения.

Решите уравнения: на "4"

,

.

) Решить уравнения:

,

,

,

на "5"

Самостоятельная работа "Логарифмические уравнения".

Решить уравнения:

На "3":

,

,

.

На "4":

,

,

.

На "5":

,

,

.

На данном этапе решаются задания аналогичные заданиям в контрольной работе.

Все задания поделены на три уровня. Со слабыми учениками решение всех заданий осуществляется на доске.

Учащиеся, имеющие более высокие знания, решают самостоятельно, а затем проверяют своё решение по листу самоконтроля.

Контрольная работа предполагает задания на "3", "4" и "5".

Приведём примеры заданий:

На "3":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:

На "4":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение: .

На "5":

Найти x, если: .

Найти область определения функции: .

Решите уравнение:

§ 5. Методические рекомендации к изучению темы "Логарифмические уравнения"

5.1 Физико-математический профиль

Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.

Урок 1 "Решение логарифмических уравнений".

Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:

Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где , .

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция возрастает (или убывает) на промежутке , число - любое из значений, принимаемых на этом промежутке. Тогда уравнение имеет единственный корень в промежутке . Отсюда следует, что для любого данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что является таким решением.

То есть если , , то корень уравнения равен .

Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.

При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.

Теорема: Уравнение , где , , равносильно системе:

состоящей из уравнения и двух неравенств.

(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).

Таким образом для решения уравнения при , нужно:

) решить уравнение f (x) =g (x);

) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.

Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:

1.На основании определения логарифма.

Так решаются уравнения вида .

Приведём пример такого уравнения и решим его.

Пример: Решить уравнение .

Решение: ОДЗ: .

По определению логарифма имеем: (по формуле ).

Отсюда:

Проверка: - верно.

- верно.

Ответ:

2.Метод потенцирования.

Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при , ) равносильно системе

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Перенесём из правой части в левую: , а из левой в правую: , получим:

Применим свойства логарифмов:

; .

Проверка:

) , - корень.

2) - не существует.

Ответ: .

3.Метод подстановки.

Обычную замену (подстановку) производят после некоторых преобразований

Пример: Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

Используя формулы, запишем уравнение так:

, то есть .

Заменяем . Тогда , то есть .

Отсюда ,.

Поэтому и .

Отсюда и

Сделав проверку можно убедиться, что оба корня - корни данного уравнения.

Ответ: , .

4.Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Используются формулы:

.

Как правило, метод приведения к одному основанию "работает" с методом подстановки.

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

, перейдём к основанию 2:

, то есть

.

Обозначим . Тогда , то есть

,

.

Значит, .

Ответ: .

5.Метод логарифмирования.

Обычно логарифмируют уравнения вида . Поясним этот метод на примере.

Пример: Решить уравнение .

Решение:

Область допустимых значений переменной x дана в условии задания.

Логарифмируем по основанию 10:

, то есть

.

Обозначим . Тогда , то есть

и

Получаем: и и .

Ответ: , .

6.Графический метод.

Пример: Решить графически уравнение .

Решение:

ОДЗ:

В одной и той же системе координат строим графики функций и

Абсцисса точки пересечения графиков функций и равна примерно двум. Нетрудно проверить, что это точный корень данного уравнения.

Проверка:

Ответ: .

Домашнее задание можно предложить следующее: составьте опорный конспект по теме "Логарифмические уравнения".

Заполните следующую таблицу:

Таблица "Методы решения логарифмических уравнений".

Виды логарифмических уравнений Методы решенияПримеры логарифмических уравнений

Решите примеры из заполненной таблицы.

Урок 2-3 следует начать с письменной проверки опорного конспекта (не более 10 минут). После чего можно предложить выполнить следующие задания.

Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.

1) .

) .

) .

) .

) .

) .

Задание 2: Проверьте по листу самоконтроля, правильно ли вы определили метод решения.

Задание 3: Решите уравнения задания 1, используя правильный метод решения.

Задание 4: Осуществите взаимопроверку задания 3 по листу самоконтроля.

Задание 5: Тестовое задание: Решите предложенные уравнения и выберите правильный ответ из предложенных четырёх.

)

а) 1; - 5б) - 2; 1в) - 5; 4г) 1.

)

а) - 2б) 2в) г) - 1.

)

а) - 5; 5б) - 5в) г) 5.

)

а) 4; 8б) в) 2; 3г) 8; 2.

Задание 6: Сдайте учителю на проверку ответы предложенных заданий.

Задание 7: Решите следующие уравнения, сложность которых оценена в баллах.

(3), (3),

(4), (4),

(5).

(5),

(5).

Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.

-29 баллов - оценка "5",

-25 баллов - оценка "4",

-19 баллов - оценка "3".

Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на "3", "4", "5"). [1], [2], [11]

В дальнейшем, при окончании изучения темы "Логарифмические уравнения", необходимо рассмотреть уравнения с параметрами, которые включаются в задания ЕГЭ, например: "Найдём все значения , при которых уравнение имеет единственный корень.

При наличии времени на уроках рекомендуется рассмотреть так называемые "нестандартные уравнения". Приведём пример такого уравнения: "Решить уравнение .

5.2 Общеобразовательный и гуманитарный профиль

Для классов общеобразовательного профиля излагать тему можно аналогичным образом. При этом раскрываются подробно три основных метода решения логарифмических уравнений:

)Функционально-графический метод.

2)Метод потенцирования.

)Метод введения новой переменной.

Из-за уменьшения количества часов, выделяемых на изучение данной темы, остальные методы можно назвать для ознакомления учащихся, не уделяя им много времени.

На уроке должно больше внимания уделяться практической работе и решению более лёгких уравнений (чтобы лучше разобрались отстающие ученики).

В гуманитарных классах меньше внимания уделять теоретическому аспекту, нужно познакомить учащихся с тремя выше названными методами решения. Далее отрабатываются умения решать наиболее распространённые логарифмические уравнения.

Задания составляются с учётом уровня подготовки учащихся и требованиями стандарта образования.

§ 6. Использование компьютерных технологий при изучении темы "Логарифмические уравнения"

При объяснении темы "Логарифмические уравнения", во время раскрытия методов решения логарифмических уравнений можно воспользоваться мультимедийной программой "Математика. Решение уравнений и неравенств" [22]. Её курс построен на визуальном и фонематическом восприятии информации. На экране воспроизводится уравнение и его решение. Объяснение решения сопровождается при помощи звукового ряда и выделения основных моментов решения.

Современный учебно-методический комплекс "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников" [21] предназначен для отработки умений решать различные типы уравнений, в том числе логарифмических. Он может служить для отработки навыков решения логарифмических уравнений, снабжён подсказками и ссылками на теоретическую часть.

При помощи этой программы, используя компьютерное обеспечение, можно проводить уроки по отработке навыков решения уравнений. В данном случае учитель будет играть роль контроллера учебного процесса. Помощником при решении уравнений будет само программное обучение.

Обе программы содержат теоретический и практический материал.

Заключение

Данная выпускная квалификационная работа посвящена проблемам обучения математике в профильных классах.

Проделанная работа позволяет сделать вывод о реальности возникающих проблем при введении профильного обучения в России, а также актуальности их решения на современном этапе развития общества.

Рассмотрев изучение темы "Логарифмические уравнения" в классах различных профилей, мы можем сделать вывод, что количества часов, отводимых на изучение конкретной темы, влияет на глубину и объём изучаемого материала, а также на методы его преподавания.

Проведён анализ методической литературы и школьных учебников с точки зрения обучения решению логарифмических уравнений в профильных классах.

Разработан модуль "Логарифмические уравнения" и урок модульного обучения для физико-математического профиля.

Даны рекомендации по обучению теме в общеобразовательных и гуманитарных профильных классах.

Рассмотрены мультимедийные программы, которые можно применять при обучении учащихся теме: "Логарифмические уравнения".

Работа может быть интересна как с теоретической, так и практической точки зрения для студентов и молодых специалистов.

Литература

1.Алгебра и математический анализ.11 кл.: Учеб. пособие для шк. и кл. с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2001. - 288 с.

2.Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. / А.Г. Мордкович. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 375 с.

.Алгебра и начала анализа.10-11 кл.: В двух частях. Ч.2: Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Л.О. Денищева, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская; Под ред.А.Г. Мордковича. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.

.Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразоват. учреждений/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2001. - 383 с.

.Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. сред. шк. /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.: Под ред.А.Н. Колмогорова. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.

.Башмаков М. Профили и уровни обучения математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.18-21.

.Данищева Л.О., Краснянская К.А. Профильный экзамен по математике. \\ Оценка качества образования. - 2007. - №1 - с.41-47.

.Дорофеев Г.В., Кузнецов Л.В., Седова Е.А. Об учебнике "Алгебра и начала анализа" для профильного курса математики в 10 классе. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.38-39.

.Ермаков Д., Петрова Г. Элективные учебные курсы для профильного обучения. \\ Народное образование. - 2002. - №2 - с.114-118.

.Завич Л.И., Чинкина М.В. Классы с углубленным изучением материала. \\ Математика в школе. - 2004. - №6 - с.17-23.

.Колягин Ю.М., Оганесян В.А., Саннинский В. Я, Луканкин Г.Л. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика. Учебное пособие для студентов физ. - мат. пед. институтов. М.: "Просвещение", 1975. - 462с.

.Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия.: Учебное пособие физ. - мат. спец. пед. институтов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ABF, 1995. - 352 с.

.Министр образования России В.М. Филиппов. Об утверждении концепции профильного обучения на старшей ступени общего развития. \\ Народное образование. - 2002. - №9 - с.29.

.Новожилова Н., Фирсова М. Курсы по выбору: отбор содержания и технологии проведения. \\ Народное образование. - 2004. - №2 - с.29.

.Профильное обучение: вопросы и ответы. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.2-9.

.Рушель Р. О попытках введения профильной дифференциации в русской школе в 19-начале 20 века. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.16-18.

.Саакян С.М., Дудницин Ю.П. Примерное планирование учебного материала по математике в 10-11 классах. \\ Математика в школе. - 2004. - №7 - с.2-9.

.Смирнова И.М. Профильная модель обучения математике. \\ Математика в школе. - 1997. - №1 - с.32-35.

.Стандарт среднего (полного) общего образования по математике. \\ Математика. - 2006. - №14 - с.9-16.

.Тульчинская Е.Е. Поурочное планирование и контрольные работы по алгебре и началам анализа. \\ Математика в школе. - 2005. - №8 - с.32-35.

.Мультимедийная программа: "Алгебра и начала анализа. Итоговая аттестация выпускников"

.Мультимедийная программа: "Математика. Решение уравнений и неравенств"

.Электронный ресурс: #"center">Приложения

Приложение 1

Лист самоконтроля

Задание 1: Определите, каким методом следует решить уравнение.

1) .

) .

) .

) .

) .

) .

Ответы:

1)Методом потенцирования.

2)Методом приведения к одному основанию.

)По определения логарифма.

)Методом подстановки.

)Методом логарифмирования.

)Графическим методом.

Задание 3: Решите уравнения задания 1.

1)

Решение:

ОДЗ: (1)

Перепишем уравнение так:

Потенцируем:

, то есть

Знак модуля можно опустить, так как из первого условия (1) следует, что . Поэтому имеем

то есть

При этих значениях условия (1) выполняются. Ответ:

) .

Решение:

Отметим, что Переходим к основанию 2:

Обозначим Тогда

Отсюда (т.е. ) и

Тогда

Ответ: .

) .

Решение:

По определению логарифма

Отсюда

Ответ:

) .

Решение:

Отметим, что . (1)

Упрощаем выражение: тогда с учётом (1) имеем Обозначим . Тогда . Отсюда , , . Получаем

и

Ответ: ,

) .

Решение:

. Проведём некоторые упрощения:

Поэтому уравнение имеет вид:

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию x:

Обозначим . Тогда

Следовательно: или

и

Ответ: , .

) .

Решение:

ОДЗ:

В одной и той же системе координат строим графики функций и

Абсциссы точек пересечения графиков функций и равны примерно 1 и 2. Нетрудно проверить, что это корни данного уравнения.

Проверка: - верное равенство,

- верное равенство.

Ответ: , .

Задание 5: Тестовое задание:

) а;

) в;

) г;

) а.

Решение тестового задания:

Решите уравнение:

) .

Решение:

Данному уравнению удовлетворяют те значения x, для которых выполнено равенство . Мы получили квадратное уравнение , корни которого равны и . Следовательно, числа и - решения данного уравнения.

Ответ: , .

) .

Решение:

Это уравнение определено для тех значений x, при которых выполнены неравенства и . Для этих x данное уравнение равносильно уравнению , из которого находим . Число не удовлетворяет, однако, неравенству . Следовательно, данное уравнение корней не имеет.

Ответ: корней нет.

) . (1)

Решение:

Учитывая, что , преобразуем данное уравнение к виду (2)

Это уравнение, как легко установить, имеет решения , .

Обратим внимание на то, что в уравнении (2), выражение определено для всех , в то время как в исходном уравнении (1) соответствующее выражение определено лишь при . Проверка показывает, что из двух решений уравнения (2) лишь является решением уравнения (1).

Ответ: .

) .

Решение:

Обозначим: , получаем уравнение

Ответ:

Задание 7: Решите уравнения:

.

Решение:

Потенцируя по основанию 2, получаем

Подставляя эти решения в уравнение, убеждаемся в том, что они являются решениями и этого уравнения.

Ответ:

.

Решение:

Преобразуем сумму логарифмов в логарифм произведения: .

Это уравнение имеет решения (смотри предыдущий пример) Подставляя в исходное уравнение, получаем верное равенство , значит - решение исходного уравнения. При подстановке уже в первом слагаемом левой части получаем выражение: , которое не определено. Значит, не является решением исходного уравнения.

Ответ: .

.

Решение:

Преобразуем данное уравнение:

Отсюда , . Для все выражения, стоящие под знаком логарифмов в исходном уравнении, положительны, значит - решение этого уравнения. Для не определён уже , поэтому не является решением исходного уравнения.

Ответ: .

.

Решение:

Пусть , тогда и, значит,

Это число не удовлетворяет неравенству: , поэтому не является решением исходного уравнения.

Пусть , тогда и исходное уравнение сводится к уравнению . Его решением является . Это же значение x является и решением исходного уравнения.

Ответ: .

.

Решение:

Обозначим , перейдём к основанию 2 и воспользуемся формулой для логарифма произведения. Будем иметь

В результате исходное уравнение запишется в виде

Решив это уравнение, найдём, что . Следовательно, получаем

Ответ:

. (1)

Решение:

(1) запишется в виде

, то есть .

Решаем это уравнение методом введения новой переменной. Положим , получим: , корни которого , .

Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений: ; .

Из первого уравнения получаем , откуда .

Из первого уравнения получаем , откуда .

Проверка показывает, что оба найденных значения и являются корнями уравнения (1).

Ответ: ,

.

Решение:

Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

.

Введём новую переменную, положив . Получим:

.

Но

Ответ:

Задание 8: Проверьте решение уравнений по листу самоконтроля, и в соответствии с набранными баллами поставьте себе оценку.

-29 баллов - оценка "5",

-25 баллов - оценка "4",

-19 баллов - оценка "3".

Задание 9: Выполните предложенную самостоятельную работу, выбирая тот вариант, который вы решите сами (самостоятельная работа находится в модульной карте и рассчитана на три уровня: на "3", "4", "5").

(5), (1)

Решение:

(1) запишется в виде

, то есть .

Решаем это уравнение методом введения новой переменной. Положим , получим: , корни которого , .

Теперь задача свелась к решению совокупности двух уравнений: ; .

Из первого уравнения получаем , откуда .

Из первого уравнения получаем , откуда .

Проверка показывает, что оба найденных значения и являются корнями уравнения (1).

Приложение 2

Решение задания из ЕГЭ и "нестандартного уравнения"

Пример: Найдём все значения , при которых уравнение

. (1)

имеет единственный корень.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду .

Далее получаем , откуда

. (2)

Уравнение (1) имеет единственный корень в следующих случаях:

1)уравнение (2) имеет единственный корень и этот корень удовлетворяет уравнению (1);

2)уравнение (2) имеет два корня, но из этих корней один является посторонним для уравнения (1).

Рассмотрим первый случай. Уравнение (2) имеет один корень, если его дискриминант D равен нулю. Имеем

.

при или при . Случай, когда , отпадает, так как при правая часть уравнения (1) не определена. Если , то из уравнения (2) находим - единственный корень уравнения (2) и, как показывает проверка, удовлетворяющий и уравнению (1).

Рассмотрим второй случай, когда . В этом случае уравнение (2) имеет два корня:

.

Чтобы найденные корни были корнями уравнения (1), необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли неравенству . Значит, из найденных корней уравнения (2) один будет корнем уравнения (1), а другой не будет корнем этого уравнения тогда и только тогда, когда

или

где , .

Решим первую систему. Имеем:

откуда имеем , то есть .

Решим вторую систему. Имеем:

Эта система не имеет решений, так как либо , либо , то есть либо первое, либо второе неравенство последней системы не имеет решений. Итак, второй случай имеет место при .

Окончательно получаем, что уравнение (1) имеет единственный корень, если или если .

При наличии времени на уроках рекомендуется рассмотреть так называемые "нестандартные уравнения". Приведём пример такого уравнения:

Пример: Решить уравнение

. (1)

Решение:

Заметив, что , а , перепишем уравнение (1) в виде

. (2)

Нетрудно показать, что . Для этого достаточно переписать это неравенство в виде и воспользоваться неравенством , если . В то же время . В самом деле, , а (тогда в силу убывания функции ) .

Итак, левая часть уравнения (2) не меньше чем 2, а правая не больше чем 2, значит, каждая из них равна 2, то есть мы приходим к системе уравнений

или

Из второго (более простого) уравнения системы получаем . Тогда первое уравнение системы принимает вид , откуда .

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования БРЯНСКИЙ

Больше работ по теме: