Применение системы MathCad для моделирования шарнирного четырехзвенника

 

Содержание

Введение

. Математическое моделирование Программное обеспечение

.1 Понятие математической модели

1.2 Классификация математических моделей

1.3 Применение числовых методов в математическом моделировании

.4 Решение систем уравнений и неравенств

.5 Аппроксимация и интерполяция данных

. Постановка и алгоритмический анализ задачи

.1 Постановка задачи

.2 Алгоритмический анализ задачи

.3 Блок- схема решения задачи

.4 Теоретические сведения к работе

Заключение

Литература

Введение

Рациональное и умелое использование богатейших возможностей ЭВМ является одной из серьезных проблем настоящего периода развития общества, и актуальность решения этой проблемы растет по мере увеличения парка ЭВМ и совершенствования их технического и программного оснащения.

Эффективный путь решения указанной проблемы состоит в глубоком освоении и широком использовании на практике языков программирования высокого уровня, позволяющих записывать алгоритмы решаемых задач в довольно естественном для пользователя виде и затем использовать средства системного программного обеспечения ЭВМ для доводки про грамм до машинной реализации.

Применение математических моделей и расчет их на ЭВМ позволяет получить новые результаты или новые свойства какого-либо объекта исследования, причем эти объекты могут быть очень сложными - например, погодные условия в какой-либо области земного шара. Это очень удобно в случае невозможности использования самого объекта. Используя всю мощь современную вычислительную технику можно моделировать очень сложные физические процессы. Вручную выполнить такие расчеты невозможно, т.к. это займет огромное количество времени.

Именно автоматизации таких расчетов на ЭВМ позволяет проводить моделирование таких процессов. В данной работе рассматривается довольно простая колебательная система, однако автоматизация этого расчета позволит сэкономить значительное количество времени.

Данная курсовая работа предполагает использование пакета МаthCAD для построения математической модели динамической системы, на которую воздействует гармоническая возмущающая сила, сила жесткости пружины и сила сопротивления демпфера.

Цели и задачи курсовой работы:

углубление и расширение теоретических знаний в данной предметной области;

приобретение навыков самостоятельного решения прикладной инженерной задачи с использованием компьютерных систем;

умение формулировать выводы по проделанным исследованиям;

получение навыков сбора, анализа, обобщения информации по данной предметной области, работы с источниками литературы;

приобретение навыков подготовки доклада по проделанной работе, подготовка ответов на вопросы комиссии.

1. Математическое моделирование. Программное обеспечение

.1 Понятие математической модели

Моделирование представляет собой процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определяться различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и другие факторы.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом (например, модель гидравлической или механической системы). Если модель и объект одной и той же физической природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование широко применялось до недавнего времени при создании сложных технических объектов. Обычно изготавливался макетный или опытный образец технического объекта, проводились испытания, в процессе которых определялись его выходные параметры и характеристики, оценивались надежность функционирования и степень выполнения технических требований, предъявляемых к объекту. Если вариант технической разработки оказывался неудачным, все повторялось сначала, осуществлялось повторное проектирование, изготовление опытного образца, испытания.

Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами ,моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т. п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказаться от физического моделирования, значительно сократить объемы испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель - это совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающая физические свойства создаваемого технического объекта. В качестве математических объектов выступают числа, переменные, множества, векторы, матрицы. Процесс формирования математической модели и использования ее для анализа и синтеза называется математическим моделированием. В конструкторской практике под математическим моделированием обычно понимается процесс построения математической модели, а проведение исследований на модели в процессе проектирования называют вычислительным экспериментом. Такое деление удобно для проектировщиков и функционально вполне обосновано, поэтому в дальнейшем будем придерживаться этой терминологии.

Для осуществления вычислительного эксперимента на ЭВМ необходимо разработать алгоритм реализации математической модели.

Алгоритм - это предписание, определяющее последовательность выполнения операций вычислительного процесса. Алгоритм автоматизированного проектирования представляет собой совокупность предписаний, обеспечивающих выполнение операций и процедур проектирования, необходимых для получения проектного решения. Для наглядности алгоритмы чаще всего представляют в виде схем или графов, иногда дают их вербальное (словесное) описание. Алгоритм, записанный в форме, воспринимаемой вычислительной машиной, представляет собой программную модель. Процесс программирования называют программным моделированием.

1.2 Классификация математических моделей

Математические модели классифицируются по ряду признаков.

. По характеру отображаемых свойств проектируемого объекта модели делятся на функциональные и структурные.

Функциональные модели отображаю процессы функционирования объекта. Эти модели чаще всего имеют форму систем уравнений. В зависимости от физической природы отображаемых явлений среди функциональных моделей различают модели тепловые, электрические, оптические, гидравлические, электромеханические и другие.

Структурные модели отображают только структурные (в частности, геометрические) свойства объекта. Эти модели могут иметь форму матриц, графиков, списков векторов и выражать взаимное расположение элементов в пространстве, наличие непосредственных связей между элементами в виде каналов, проводников. Структурные модели обычно используют в случаях, когда задачи структурного синтеза удаётся ставить и решать, абстрагируясь от особенностей физических процессов в объекте.

Поскольку структурные и функциональные свойства объектов тесно взаимосвязаны, в большинстве проектных процедур требуются модели с отображением особенностей как структуры объекта, так и характера физических или информационных процессов, происходящих в нём. Это требование реализуется в функциональных моделях, которые по этой причине следует считать основным типом моделей в САПР.

По характеру переменных, фигурирующих в модели, различают модели фазовые и факторные.

Фазовые модели - модели, в которых фигурируют фазовые переменные. Если предмет исследования - процессы функционирования объекта, переменные в моделях рассматриваются как функции времени, то фазовые модели называют имитационными моделями. При использовании имитационных моделей входные воздействия и результаты исследования представляются зависимостями соответствующих фазовых переменных от времени.

Факторная модель - это модель вида F(Q,Y) = 0 (Q-внешние параметры, Y-выходные параметры).

В большинстве случаев факторные модели удаётся получить в явной форме:

?=F(Q).

Модели, в которых искомые переменные явно выражены через известные величины, называют аналитическими моделями. В отличае от них в алгоритмических моделях вычисление значений искомых величин связано с необходимостью решения систем уравнений. Использование аналитических моделей приводит к существенно меньшим затратам машинных времени и памяти, однако такие модели обычно уступают алгоритмическим по степени универсальности и точности. Математические модели в большинстве случаев могут представляться как непосредственно в виде математических соотношений, так и в виде некоторого графического эквивалента, например графической или эквивалентной схемы. Такое представление нагляднее и удобнее для восприятия. В случае функциональных моделей графическое представление обязательно должно сопровождаться правилами его преобразования в систему уравнений.

1.3 Применение числовых методов в математическом моделировании

С помощью математического моделирования решение научно - технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: графические, аналитические и численные. Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путём геометрических построений. Например: для нахождения корней уравнения f(x)=0 строится график функции y=f(x), точки пересечения которого с осью абсцисс и будут искомыми корнями. При использовании аналитических методов решение задачи удаётся выразить с помощью формул. В частности, если математическая задача состоит в решении простейших алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений, то использование известных из курса математики приёмов сразу приводит к цели. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи. Главным инструментом для решения сложных математических задач являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений. Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислении вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоёмких задач.

1.4 Решение системы уравнений и неравенств

MathCAD дает возможность решать системы уравнений и неравенств.

Наиболее распространенным методом решения уравнений в Mathcad является блочный метод. Для решения системы этим методом необходимо выполнить следующее:) задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений;

б) задать ключевое слово Given, которое указывает, что далее следует система уравнений;

в) ввести уравнения и неравенства в любом порядке (использовать кнопку логического равенства на панели знаков логических операций для набора знака «=» в уравнении);

г) ввести любое выражение, которое включает функцию Find.

Решающим блоком называется часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Find.

После набора решающего блока Mathcad возвращает точное решение уравнения или системы уравнений.

Обратиться к функции Find можно несколькими способами:(x1, x2,…) = - корень или корни уравнения вычисляются и выводятся в окно документа.:= Find(x1, x2,…) - формируется переменная или вектор, содержащий вычисленные значения корней.

Сообщение об ошибке «Решение не найдено» появляется тогда, когда система не имеет решения или для уравнения, которое не имеет вещественных корней, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

Приближенное решение уравнения или системы можно получить с помощью функции Minerr. Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и для функции Find. Часть документа, расположенная между ключевыми словами Given и Minerr так же носит название решающего блока.

Примеры решения систем уравнений с помощью решающего блока приведены на рисунке.

Для решения систем линейных уравнений можно использовать общепринятые математические методы: метод Крамера, матричный метод и т.д.

Матричный метод решения системы линейных уравнений реализован в функции lsolve. Общий вид функции:

(а, b)

где а - матрица коэффициентов перед неизвестными, b - вектор свободных членов.

1.5 Аппроксимация и интерполяция данных

В инженерной практике часто необходимо получить аналитическую функциональную зависимость по результатам эксперимента, заданным табличной функцией. Этот процесс называется приближением или аппроксимацией.

Аппроксимация - замена данной функции f(x), функцией f(x) так, чтобы отклонение f(x) от f(x) было наименьшим. Интерполяция - замена исходной таблично заданной функции f(x) функцией f(x) так, чтобы f(x) точно проходила через точки исходной функции f(x).Интерполяция еще называется точечной аппроксимацией.

Экстраполяция - аппроксимация функции вне заданной области изменения аргумента. Основной мерой отклонения функции аппроксимации от заданной функции является сумма квадратов между значениями аппроксимирующей и исходной функции.

Для выполнения аппроксимации по методу наименьших квадратов вMathCAD существуют две функции: linfit и genfit.- аппроксимирует исходную функцию линейной комбинацией произвольных функций.

Genfit - аппроксимирует исходную функцию нелинейной комбинацией произвольных функций.

Пример: подобрать аналитическую зависимость данных, используя в качестве вектора F(x) суперпозицию функции .

Задается вектор F(x):

Получить вектор коэффициентов перед функциями, следующим образом ;

:=linfit(VX,VY,F)=

получить аппроксимирующую функцию на любом аргументе, умножением функции F(x) на вектор a.:=0.1,0.11..9.5

:=a*F(x)

VX,t

Рисунок 1 - График исходной и аппроксимирующей функций

В данной курсовой работе используем функцию linfit для получения аппроксимирующей зависимости результатов исследования.

2. Постановка и алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи

. С использованием системы MathCAD получить параметры заданной графически аналитической функции закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника. Построить график исходной табличной и результирующей аналитической функций.

. Рассчитать длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника с использованием метода интерполирования.

. Проверить, соответствуют ли вычисленные значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями a и b условиям существования механизма и ограничениям:

u £ uд и a < d

. Рассчитать значение функции погрешности DY(j), построить графики зависимости Y(f) и Y(f)+DY(j), сделать выводы по полученным результатам.

2.2 Алгоритмический анализ задачи

В общем случае при синтезе плоского шарнирного четырехзвенника требуется подобрать пять параметров: относительные длины звеньев a, b, c (d=1) и начальные углы a и b таким образом, чтобы проектируемый механизм обеспечивал определенный закон преобразования движения Y=f(j), 0£j£jm, и максимальный угол давления шатуна на звено CD был меньше допустимого значения uд.

В основу методики решения сформулированной задачи положен метод синтеза механизмов на основе приближающих функций, разработанный П.Л. Чебышевым и получивший развитие в работах Н.И. Левитского [1]. По методике интерполирования углы a и b задаются в качестве исходных данных, а параметры механизма вычисляются по формулам: В первом блоке вводятся значения исходных данных, т.е. Vд =1.2,

математический моделирование динамический пружина

,

Во втором блоке проведение интерполяции с помощью функции linfit и построение графиков

В третьем блоке рассчитываем значения параметров по формуле (4) :

В четвертом блоке рассчитываем параметры по формуле (5):

В пятом блоке решаем систему линейных уравнений (2) с помощью функции lsolve

В шестом блоке рассчитываем параметры механизма a,c,b по формулам

В девятом строим графики:

Рисунок 4.1 - Схема шарнирного четырехзвенника

Блок схема

2.4 Теоретические сведения к работе

Основы синтеза механизмов в его аналитической форме были заложены в 19 веке в работах русского математика и механика П. Л. Чебышева <#"justify">Указанные три этапа синтеза механизмов составляют основное содержание задачи при их проектировании, так как все последующие операции по расчёту на прочность деталей и по установлению конструктивных форм уже не могут существенно изменить его кинематических и динамических свойств. Дальнейшее развитие методов синтеза механизмов в работах русских учёных А. П. Котельникова (1865-1944), В. В. Добровольского (1880-1956) и других отечественных и зарубежных учёных состояло в отыскании наиболее целесообразных методов выполнения отдельных этапов синтеза и применения их к различным видам механизмов (с гидравлическими и электрическими устройствами, пространственные со сложным движением рабочего звена, самонастраивающиеся механизмы и т. п.). При этом выяснилось, что в простейших случаях можно удовлетворить требованиям, предъявляемым к основному критерию и ограничивающим условиям, используя несложные графические методы. Однако применение этих методов не избавляет от необходимости решать задачу синтеза в нескольких вариантах для получения результата, близкого к оптимальному. Только появление ЭВМ дало возможность эффективно и быстро выполнять третий этап синтеза, определяя оптимальные сочетания параметров механизма и даже решая такие задачи синтеза, которые ранее не могли быть решены из-за сложности и трудоёмкости вычислений. В 1965-72 для типовых задач синтеза механизмов были составлены

Строением механизма определяются такие его важнейшие характеристики, как виды осуществляемых движений, способы их преобразования, число степеней свободы. Формирование механизма, то есть соединение отдельных его частей в единую систему, сопровождается наложением связей. Правильное их распределение в строении механизма в сильной степени предопределяет его надежную эксплуатацию. Поэтому при проектировании нужно из множества разнообразных механизмов выбрать самый подходящий и правильно подобрать его основные структурные элементы. А для этого, прежде всего надо знать основные виды современных механизмов, их структурные характеристики, закономерности их строения.

Звенья - твердые тела из которых образуется механизм. При этом имеются ввиду как абсолютно твердые, так и деформируемые и гибкие тела. Звено - либо одна деталь, либо совокупность нескольких деталей, соединенных в одну кинематически неизменяемую систему. Звенья различают по конструктивным признакам (шатун, зубчатое колесо, вал) и по характеру их движения.

Кинематической парой называют подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев. Совокупность поверхностей, линий и точек звена, входящих в соприкосновение с другим звеном пары называют элементом пары. Для того чтобы элементы пары находились в постоянном соприкосновении, пара должна быть замкнута геометрически или силовым способом. Кинематические пары во многом определяют работоспособность и надежность машины, поскольку через них передаются усилия от одного звена к другому, в кинематических парах, вследствие относительного движения, возникает трение, элементы пары находятся в напряженном состоянии и в процессе изнашиваются. Поэтому правильный выбор вида кинематической пары, ее геометрической формы, размеров, конструкционных и смазочных материалов имеют большое значение при проектировании .

Систему звеньев, образующих между собой кинематические пары, называют кинематической цепью. Различают замкнутые и незамкнутые кинематические цепи. В замкнутой цепи каждое звено входит не менее чем в две кинематические пары, в незамкнутой цепи есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару. Механизм - кинематическая цепь, в состав которой входит неподвижное звено (стойка) и число степеней свободы которой равно числу обобщенных координат, характеризующих положение цепи относительно стойки. Неподвижность звена показывают на схеме штриховкой. Различают входные и выходные звенья механизмов. Выходным называют звено, совершающее движение, для которого предназначен механизм. Входным называют звено которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемое движение выходного звена. Число входных звеньев обычно равно числу степеней свободы механизма, то есть числу его обобщенных координат, но возможно и несовпадение их.

Кинематические пары различают по характеру соприкосновения звеньев: пару называют низшей, если элементы звеньев соприкасаются только по поверхности, и высшей, если только по линиям или в точках. При этом линейный или точечный контакт понимается как первоначальный - при соприкосновении звеньев без усилия, - а под нагрузкой звенья, образующие высшую пару, будут соприкасаться по некоторой фактической поверхности, называемой пятном контакта.

Кинематические пары классифицируют по числу степеней свободы в относительном движении звеньев и по числу условий связи (ограничений), накладываемых парой на движение одного звена относительно другого.

Механизма классифицируют по различным признакам, и в первую очередь их делят на механизмы с низшими и высшими парами; те и другие могут быть и плоскими и пространственными. Плоским называется механизм, все подвижные точки которого движутся в параллельных плоскостях. Механизм является пространственным, если подвижные точки его звеньев описывают неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях.

Кривошипно-ползунный механизм является основным механизмом в поршневых машинах.

Шарнирный четырехзвенный механизм служит для преобразования одного вида вращательного движения в другое и может быть в зависимости от размеров звеньев кривошипно-коромысловым, двухкривошипным, двухкоромысловым; применяется в прессах и ковочных машинах, качающихся конвейерах, прокатных станах. шарнирный четырехзвенник применяют и для случая, когда одна из его точек должна двигаться по замкнутой траектории.

Заключение

При проведении исследований закона движения коромысла шарнирного четырехзвенника были построены графики исходной табличной и результирующей аналитической функций, также были найдены длины звеньев шарнирного кривошипно-коромыслового четырехзвенника. Значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями a и b соответствуют условиям существования механизма и ограничениям: u £ uд и a < d

Исследование проводилось для того чтобы оценить зависимость усилия в шатуне от значения параметров a (длина кривошипа), b (длина шатуна) и c (длина коромысла) с заданными значениями a и b.

Цель исследования выявить какое усилие в шатуне при определенных условиях существования механизма и ограничениях: u £ uд и a < d. Усилие в шатуне равно: V=0.932[рад.] и меньше заданного Vд=1.2[рад.], a=0.279(м) d=1(м).

Литература

1.Трохова Т.А. Основные приемы работы в системе MathCAD версии 6.0. М/к 2286. Гомель ГГТУ 1998г.

.Новиков А.А. Решение инженерно-экономических задач в среде MathCAD . М/к 2477. Гомель, ГГТУ, 2000г.

.Маркова Л.В., Мастяница В.С. Расчеты в среде MathCAD 7.0. Мн.1999г.

.Турчак Л.И. Основы численных методов МathCAD, 1987г.

.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике. / Под ред. Яблонского А.А. / М. Высшая школа, 1985г.

.Останина А.М. Применение математических методов и ЭВМ. Мн.1985г.

.Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. Мн. 1997г.

.Токочаков В.И. Решение систем алгебраических уравнений в среде MathCAD. М/к 2453. Гомель ГГТУ 2000г.

.Краскевич В.Е.,Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях. Киев.1986г.

.Новожилов И.В.,Зацепин М.Ф. Типовые расчеты по теоретической механике на базе ЭВМ. М. Высшая школа, 1986г.

.11. /Под ред. Фролова К.В./ Теория механизмов и машин. М. 1987г.

. Теория машин и механизмов, в. 1-108, М., 1947- 65; Механика машин, в. 1-36- , М., 1966- 72-. И. И. Артоболевский, Н. И. Левитский.

Содержание Введение . Математическое моделирование Программное обеспечение .1 Понятие математической модели 1.2 Классификация математических мод

Больше работ по теме: