Применение пакета "Анализ данных" программы МS Ехcel в курсе статистики

 

ФГБОУ ВПО

Пензенская государственная технологическая академия

Кафедра «Прикладная математика и исследование операций в экономике»

Дисциплина «Статистика»

Курсовая работа

Выполнила:

студентка группы 10Эб

Суменкова Е.А.

Пенза 2012

Цель работы: освоение основных статистических величин, выполнение расчетов и применение пакета «Анализ данных» программы МS Ехcel в курсе статистики.

Задание 1

Используя пакет «Анализ данных» программы М5 Ехсе1, сформировать генеральную совокупность случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению с заданными параметрами объемом N = 1000.

Из полученной генеральной совокупности сформировать две выборки, объемом n = 75. Одну выборку сформировать собственно-случайным образом, другую механическим.

Для каждой выборки построить интервальный вариационный ряд (сформировать 8 интервалов), гистограмму, кумулятивную кривую.

По данным выборок и вариационных рядов определить средние значения, моду, медиану, размах выборки, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

№ варианта13145

Решение

Используя инструмент пакета «Анализ данных» программы М5 Ехсе1 «Генерация случайных чисел», формируем генеральную совокупность случайной величины, подчиняющейся нормальному распределению объемом = 1000 (рисунок. 1,2).

Рисунок 1 - Задание исходных данных для формирования генеральной совокупности случайной величины

Рисунок 2 - Фрагмент сформированной генеральной совокупности

Используя инструмент пакета «Анализ данных» программы М5 Ехсе1 «Выборка», из полученной генеральной совокупности формируем две выборки, объемом n = 75. Одну выборку формируем собственно-случайным образом (рисунок. 3,4), другую - механическим (рисунок. 5,6).

Рисунок 3 - Исходные данные для выборки, формируемой случайным образом

Рисунок 4 - Фрагмент выборки, сформированной случайным образом

Рисунок 5 - Исходные данные для выборки, формируемой механическим образом

Рисунок 6 - Фрагмент выборки, сформированной механическим образом

Для построения интервального вариационного ряда (8 интервалов), гистограммы, кумулятивной кривой ищем минимальный и максимальный элемент каждой выборки, используя функции МИН, МАКС соответственно (рисунок 7). Находим величину интервала для каждой выборки: от максимального элемента отнимаем минимальный элемент и делим на количество интервалов, в данном случае на 8 (рисунок 7).

Рисунок 7 - Минимальный и максимальный элементы, величина интервала

Формируем карманы для каждой из выборок. Первым карманом является минимальный элемент, вторым - минимальный элемент, увеличенный на величину интервала и т.д. вплоть до восьмого интервала (рисунок 8).

Рисунок 8 - Сформированные карманы

С помощью инструмента «Анализа данных» МS Ехсеl «Гистограмма» строим гистограмму, кумулятивную кривую для каждой выборки (рисунок 10, 12).

Рисунок 9 - Полученные данные для случайной выборки

Рисунок 10 - Гистограмма и кумулятивная прямая для случайной выборки

Рисунок 11 - Полученные данные для механической выборки

Рисунок 12 - Гистограмма и кумулятивная прямая для механической выборки

Применив инструмент «Анализа данных» МS Ехсеl «Описательная статистика» получим статистический отчет, содержащий средние значение, моду, медиану, размах выборки (интервал), дисперсию, среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) (рисунок 13, 14).

Рисунок 13 - Статистический отчет по случайной выборке

Рисунок 14 - Статистический отчет по механической выборке

По данным описательной статистики случайной выборки:

Среднее = 13,72;

Мода Mo= 18,02;

Медиана Me = 13,40;

Размах выборки R = 20,99;

Дисперсия = 26,34;

Среднего квадратическое отклонение =5,13.

По данным описательной статистики механической выборки:

Среднее = 13,32;

Медиана Me = 13,16;

Размах выборки R = 23,69;

Дисперсия = 29,08;

Среднего квадратическое отклонение =5,39.

Задание 2

Решить задачи по определению различных статистических показателей.

Известна структура произведенных затрат металлургических комбинатов России:

Статья затратУдельный вес в общих затратах, %Сырье и материалы Топливо и энергия Оплата труда Амортизация Прочие расходы 33 13 4 10 40Итого100

Вычислите относительные показатели координации

Решение

Относительный показатель координации характеризуют отношение частей данной совокупности к одной из них, принятой за базу сравнения.

В качестве базы сравнения выберем «Сырье и материалы».

Расчет ведется по формуле:

ОПК топливо и энергия = 13/33*1000 = 394 ‰

ОПК оплата труда = 4/33*1000 = 121 ‰

ОПК амортизация = 10/33*1000 = 303 ‰

ОПК прочие расходы = 40/33*1000 = 1212 ‰

Задание 3

Решить задачи по определению показателей вариации.

Средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины равен 100, а средняя - 15.

Определите, чему равен средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 10 и 25.

Решение

По условию:

= 100; ; x = 15 и x = 25, тогда:

2 = 100 + (10 - 15)2 = 125

2 = 100 + (25 - 15)2 = 200

Таким образом, средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от величины, равной 10 и 25 равен 125 и 200 соответственно.

Задание 4

Решить задачи по определению способа отбора и процедуры выборки, вычислению ошибок выборки, построению доверительных интервалов выборочных характеристик и определению необходимого объема выборки.

С целью определения средних затрат времени при поездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин. при среднем квадратическом отклонении 15 мин?

Решение

Находим значение предельной ошибки выборки:

мин.

Находим численность выборки:

человек

Таким образом, для того, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1 мин. при среднем квадратическом отклонении 15 мин. должно быть обследовано 255 человек.

Задание 5

Решить задачи по изучению взаимосвязи социально-экономических явлений.

Имеются следующие данные о стоимости основных фондов и среднесуточной переработки сырья:

Стоимость основных фондов, тыс. руб.Среднесуточная переработка сырья, тыс. ц.Итого3-55-77-99-11300-400 400-500 500-600 600-700 700-8002 5 2 - -- 2 4 2 -- - 6 3 2- - - 5 22 7 12 10 4Итого9811735

Определите вид корреляционной зависимости, найдите параметры уравнения регрессии, определите тесноту связи. Проанализируйте полученные результаты.

Решение

Составим дискретную корреляционную таблицу (середины интервалов):

XY46810350 450 550 650 7502 5 2 - -- 2 4 2 -- - 6 3 2- - - 5 2

Для расчета коэффициента корреляции необходимо рассчитать :

.

Коэффициент корреляции равен:

570 тыс. руб.

тыс. ц.

= 106 тыс. руб.

= 2 тыс. ц.

Между изучаемыми показателями обнаружена средняя прямая линейная зависимость (с увеличением стоимости основных фондов среднесуточная переработка сырья увеличивается).

Коэффициент детерминации равен:

Данный коэффициент показывает, что фактор x - стоимость основных фондов - не оказывает большого влияния на среднесуточную переработку сырья. Этот фактор объясняет вариацию среднесуточной переработки сырья на 36%. На долю остальных факторов, в том числе и случайных, приходится 64% вариации результирующего признака.

Параметры уравнения регрессии найдем из формул:

,

.

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

.

Задание 6

Решить задачи по изучению динамики социально-экономических явлений.

Объем продукции фирмы в 1992 г. по сравнению с 1991 г. возрос на 2 %; в 1993 г. он составил 105 % по отношению к объему 1992 г., а в 1994 г. был в 1,2 раза больше объема 1991 г. В 1995 г. фирма выпустила продукции на сумму: 25 млн. руб., что на 10 % больше, чем в 1994 г.; в 1996 г. - 30 млн. руб. и в 1997 г. - 37 млн. руб. Определите: а) цепные темпы роста; б) базисные темпы прироста по отношению к 1991 г.; в) среднегодовой темп роста и прироста за 1991-1997 гг.

Решение

По представленным данным находим значение объема продукции фирмы за 1991-1997 гг., млн. руб.:

Год1991199219931994199519961997Объем продукции18,7519,1320,0922,5025,0030,0037,00

а) Определяем цепные темпы роста:

Темп роста за 1991-1992 гг. = 19,13/18,75*100% = 102%

Темп роста за 1992-1993 гг. = 20,09/19,13*100% = 105%

Темп роста за 1993-1994 гг. = 22,50/20,09*100% = 112%

Темп роста за 1994-1995 гг. = 25,00/22,50*100% = 111%

Темп роста за 1995-1996 гг. = 30,00/25,00*100% = 120%

Темп роста за 1996-1997 гг. = 37,00/30,00*100% = 123%

б) Определяем базисные темпы прироста по отношению к 1991 г.:

Темп прироста за 1992 г. = (19,13 - 18,75)/18,75*100% = 2%

Темп прироста за 1993 г. = (20,09 - 18,75)/18,75*100% = 7%

Темп прироста за 1994 г. = (22,50 - 18,75)/18,75*100% = 20%

Темп прироста за 1995 г. = (25,00 - 18,75)/18,75*100% = 33%

Темп прироста за 1996 г. = (30,00 - 18,75)/18,75*100% = 60%

Темп прироста за 1997 г. = (37,00 - 18,75)/18,75*100% = 97%

в) Определяем среднегодовой темп роста и прироста за 1991-1997 гг.

Среднегодовой темп роста определяем, используя цепные коэффициенты роста, по формуле:

112%

Среднегодовой темп прироста рассчитываем по формуле:

= 112% - 100% = 12%

случайный выборка статистика регрессия

Задание 7

Решить задачи по изучению динамики социально-экономических явлений индексным методом.

Известны следующие данные по заводу строительных пластмасс:

Вид продукции Общие затраты на производство в предшествующем году, млн. руб. Изменение производства в натуральном выражении, % Линолеум Винилискожа Пеноплен Пленка 2427 985 1365 771+6,5 +4,5 -2,0 -11,0

Сделайте сводную оценку увеличения производства продукции (в натуральном выражении).

Решение

Индивидуальный индекс физического объёма продукции рассчитывается по формуле

и составляет:

Для линолеума: iq = (100 +6,5)/100 = 1,07

Для винилискожи: iq = (100 +4,5)/100 = 1,05

Для пеноплена: iq = (100 -2,0)/100 = 0,98

Для пленки: iq = (100 - 11,0)/100 = 0,89

Рассчитываем средний арифметический индекс физического объема по формуле:

Таким образом, в результате [1,02×100-100 = 2] увеличения физического объёма выпуска продукции в среднем на 2%, стоимость выпущенной продукции в отчётном периоде [5655-5548 = 107] увеличилась по сравнению с базисным периодом на 107 млн. руб.

Задание 8

Используя данные, определить показатели макро- и микроэкономической статистики:

№ п/пПоказателиЗначенияОбозначения1Численность постоянного населения на начало года, тыс. чел.2600Sн.г.2Численность трудоспособного населения на начало года, тыс. чел.1300ТРн.г.3Численность работающих лиц пенсионного возраста и подростков, тыс. чел.50Sпв и подр4В течение года у постоянного населения: Родилось, тыс. чел. 25 NУмерло, тыс. чел.23M5Прибыло на постоянное место жительства, тыс. чел.3П6Выбыло в другие районы, тыс. чел. 1В7Вступило в рабочий возраст, тыс. чел.50ТРвступ8Прибыло из других районов трудоспособного населения, тыс. чел.10ТРтр пр9Вовлечено для работы лиц пенсионного возраста, тыс. чел.3ТРпв вовл10Выбыло из состава трудовых ресурсов: а) с переходом в пенсионный возраст, тыс. чел. 40 ТРпв выбб) выбыло в другие районы трудоспособного населения, тыс. чел.8 ТРтр выб11Зарегистрировано браков19Б12Зарегистрировано разводов9Р13Отработано рабочими, млн. чел./дней169Р14Целодневные простои, млн. чел./дней1,5Рпр.15Неявки на работу, млн. чел./дней60Рнеяв.а) очередные отпуска, млн. чел./дней6,0Ротп.б) прочие неявки, млн. чел./дней22,0Рпроч.неяв.в) праздничные выходные дни, млн. чел./дней22,0Рпразд.16Отработано человеко-часов, всего1330Рчел./час.17Уд. вес численности рабочих в общей численности работающих, %81Сраб.18Установленная продолжительность рабочего дня, час8tуст19Валовой выпуск продукции в отраслях сферы материального производства, млрд. руб.900Qмат.20Оказано услуг в сфере нематериального производства, млрд. руб.90Qнемат.21Промежуточное потребление, млрд. руб. а) в сфере материального производства 450 Pмат.б) в сфере услуг45Pнемат.22Промежуточное потребление условно исчисленной продукции банков, млрд. руб.7Pпр.б.23Чистые налоги на продукцию и импорт, млрд.руб12N24Оплата труда работников, млрд. руб.43ZP25Другие налоги на пр-во, млрд. руб.3Nдр.26Потребление основных фондов, млрд. руб.63Pоф27Общее конечное потребление материальных благ, млрд. руб.184Pкон.28Валовые накопления, млрд. руб.316ВН29Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млрд. руб.120030ВВП, млрд. руб.500ВВП31Валовая прибыль, млрд. руб.215ВП

. Среднегодовую численность постоянного населения региона.

Рассчитываем численность постоянного населения на конец года - она складывается из численности постоянного населения на начало года, числа родившихся и прибывших на постоянное место жительства за вычетом умерших и выбывших в другие районы:

Sк.г. = Sн.г. + N + П - М - В

= 2600 + 25 + 3 - 23 - 1 = 2604 тыс. чел.

Среднегодовую численность постоянного населения региона определяем по формуле:

= (2600 + 2604)/2 = 2602 тыс. чел.

2. Относительные показатели естественного и механического движения населения, коэффициенты брачности и разводов за год.

Относительные показатели естественного движения населения:

= 25 - 23 = 2 тыс. чел.

Коэффициент рождаемости

‰

Коэффициент смертности

‰

Коэффициент естественного прироста

= ‰

Коэффициент жизненности Покровского

=

Относительные показатели механического движения населения:

тыс. чел.

Коэффициент механического прироста

= ‰

Коэффициент прибытия

‰

Коэффициент выбытия

‰

Коэффициенты брачности и разводов за год:

= 19/2602*1000 = 7,3 ‰

9/2602*1000 = 3,5 ‰

. Численность трудовых ресурсов на начало и конец года, среднегодовую численность трудовых ресурсов.

Численность трудовых ресурсов на начало года складывается из численности трудоспособного населения на начало года (1300 тыс. чел.), численности работающих лиц пенсионного возраста и подростков (50 тыс. чел.) и составляет:

ТРн.г. = 1300 + 50 = 1350 тыс. чел

Численность трудовых ресурсов на конец года получаем, прибавив к численности трудовых ресурсов на начало года (1350 тыс. чел.) вступивших в рабочий возраст (50 тыс. чел.), прибывшее из других районов трудоспособное население (10 тыс. чел.), вовлеченных для работы лиц пенсионного возраста (3 тыс. чел.) и вычтя выбывших из состава трудовых ресурсов с переходом в пенсионный возраст (40 тыс. чел.), выбывшее в другие районы трудоспособное население (8 тыс. чел.):

ТРк.г. = 1350 + 50 + 10 + 3 - 40 - 8 = 1365 тыс. чел.

Среднегодовая численность трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

тыс. чел.

4. Естественный, механический и общий прирост трудовых ресурсов. Коэффициенты естественного, механического и общего пополнения, выбытия и прироста трудовых ресурсов.

Общий прирост численности трудовых ресурсов определяем как разницу между численностью трудовых ресурсов на конец года (1365 тыс. чел.) и на начало года (1350 тыс. чел):

1365 - 1350 = 15 тыс. чел.

При расчете естественного прироста учитываем прирост (выбытие) численности по следующим причинам:

-в связи с вступлением в рабочий возраст (+50 тыс. чел.);

-в связи с привлечением к работе людей пенсионного возраста (+3 тыс. чел).

-в связи с переходом в пенсионный возраст (-40 тыс. чел.).

Таким образом, естественный прирост трудовых ресурсов составляет:

+ 3 - 40 = 13 тыс. чел.

При расчете механического прироста трудовых ресурсов учитываем прирост (выбытие) численности по следующим причинам:

-в связи с прибытием из других районов трудоспособного населения (+10 тыс. чел.);

-в связи с выбытием в другие районы трудоспособного населения (-8 тыс. чел.);

Таким образом, механический прирост трудовых ресурсов составляет:

- 8 = 2 тыс. чел.

Коэффициент естественного пополнения трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

, где

ПТРест. = численность вступившего в трудовой возраст населения (50 тыс. чел.) + число привлеченных к работе людей пенсионного возраста (3 тыс. чел) = 53 тыс. чел.

Кест. поп. = 53/1358*1000 = 39 ‰

Коэффициент естественного выбытия трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

где

ВТРест. - численность населения выбывшего из состава трудовых ресурсов в связи с переходом в пенсионный возраст (40 тыс. чел.).

Кест. выб. = 40/1358*1000 = 29 ‰

Коэффициент естественного прироста трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

Кест.пр. = Кест.поп. - Кест.выб. = 39 - 29 = 10 ‰

Коэффициент механического пополнения трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

, где

ПТРмех. - прибывшее из других районов трудоспособное население (10 тыс. чел.).

Кмех. поп. = 10/1358*1000 = 7 ‰

Коэффициент механического выбытия трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

где

ВТРмех. - выбывшее в другие районы трудоспособное население (8 тыс. чел.);

Кмех. выб. = 8/1358*1000 = 6 ‰

Коэффициент механического прироста трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

Кмех..пр. = Кмех..поп. - Кмех..выб. = 7 - 6 = 1 ‰

Коэффициент общего пополнения трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

Кобщ..поп. = Кест..поп. + Кмех..поп. = 39 + 7 = 47 ‰

Коэффициент общего выбытия трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

Кобщ. выб. = Кест. выб. + Кмех..выб. = 29 + 67 = 35 ‰

Коэффициент общего прироста трудовых ресурсов рассчитывается по формуле:

Кобщ..пр. = Кест..пр. + Кмех..пр. = 10 + 1 = 11 ‰

. Перспективную численность населения и трудовых ресурсов на предстоящие три года при условии, что коэффициент общего прироста сохраняется на прежнем уровне, а доля трудовых ресурсов будет ниже к началу первого года на 0,005; второго - на 0,01; третьего - на 0,015 пункта по сравнению с текущим годом.

Перспективная численность населения определяется по формуле:

,

где

-Sn - численность населения на начало планируемого периода;

-t - число лет, на которые прогнозируется расчет;

-Коп - коэффициент общего прироста населения.

Коэффициент общего прироста населения:

Ко. п. = Кест. пр.+ Кмех. пр. = 0,77 + 0,77 = 1,54‰

Пусть , тогда

1 = 2600*(1+) = 2604 тыс. чел.

2 = 2600*(1+)2 = 2608 тыс. чел.

3 = 2600*(1+)3 = 2612 тыс. чел.

Коэффициент общего прироста трудовых ресурсов:

Kоп ТР. = Кест.пр.ТР + Кмех.прир.ТР = 10 +1 = 11‰

Перспективная численность трудовых ресурсов:

Пусть , тогда

1 = (1300-0,005*1300)*(1+) = 1308 тыс. чел.

2 = (1300-0,01*1300)*(1+)2 = 1315 тыс. чел.

3 = (1300-0,015*1300)*(1+)3 = 1323 тыс. чел.

. Календарный, табельный и максимально возможный фонды времени в человеко-днях.

Календарный фонд времени - общий фонд времени за определенный календарный период - месяц, квартал, год, определяемый как сумма всех явок на работу и неявок, независимо от причин последних (отпуска, выходные и праздничные дни и др.).

Фк= Р+Рпр.+Рнеяв.= 169+1,5+60 = 230,5 млн. чел./дней

Табельный фонд времени представляет собой сумму списочных чисел за рабочие дни в отчетном периоде. Он равен календарному фонду времени минус праздничные и выходные человеко-дни.

ф= Фк-Рпразд.=230,5- 22,0 = 208,5 млн. чел./дней

Максимально возможный фонд времени - это максимальное рабочее время, которое могло быть отработано на предприятии в отчетном периоде в соответствии с трудовым законодательством при данной численности работников. Он вычисляется как разность между табельным фондом времени и очередными отпусками:

м.в.ф.= Tф-Ротп.=208,5-6,0 =202,5 млн. чел./дней

. Среднесписочную численность рабочих и всех работающих, если доля рабочих в общей численности рабочих составляет 80%.

Среднесписочная численность всех работающих за год:

= = = 0,63 млн. чел.

Среднесписочная численность рабочих, если доля рабочих в общей численности рабочих составляет 80%:

раб.=*Сраб =0,63 *0,8 = 0,5 млн. чел.

. Показатели использования календарного, табельного и максимально возможного фондов времени.

Для расчета вычисляем фактически отработанные часы в урочное время:

Тфакт.= Р-Рпр..= 169-1,5 = 167,5 млн. чел./дней

Коэффициент использования календарного фонда времени равен:

Kк.ф. = * 100 = * 100 = 73%

Коэффициент использования табельного фонда времени:

к.ф. = * 100 = * 100 = 80%

Коэффициент использования максимально возможного фонда рабочего времени:

м.в.ф. = * 100 = * 100% = 83%

. Коэффициенты использования установленной продолжительности рабочего дня, рабочего года.

Средняя фактическая продолжительность рабочего дня = Рчел./час./ Тфакт = 1330/167,5 = 7,9 часов

Коэффициент использования установленной продолжительности рабочего дня:

Ки.р.д = tфакт / tуст = 7,9 / 8 = 0,98 или 98%

Средняя максимально возможная продолжительность рабочего года = 208,5/0,63 = 331 день

Средняя фактическая продолжительность рабочего года = 167,5/0,63 = 266 дней Коэффициент использования установленной продолжительности рабочего года:

Ки.р.п = ПГср / ПГср.макс= или 80%

10. Интегральный коэффициент использования рабочего времени.

Интегральный коэффициент использования рабочего времени вычисляется путем деления числа фактически отработанных человеко-часов на максимально возможный фонд рабочего времени в человеко-часах:

Ки.р.п инт.= = или 82%

. Показатели фондоотдачи, фондовооруженности и производительности труда. Взаимосвязь между этими показателями.

Фондоотдача показывает, сколько продукции (или прибыли) получает организация с каждого рубля имеющихся у нее основных фондов.

f = =

Фондовооруженность - показатель, характеризующий оснащенность работников основными фондами.

fв= = =1904,76

Производительность труда:

W= = = 1571,43

Взаимосвязь между показателями труда:

W= f*fв= 0,83*1904,76 = 1580,95 или *

12. Валовую добавленную стоимость.

Валовая добавленная стоимость - разность между выпуском товаров и услуг и промежуточным потреблением.

ВДС = Q - Pмат.-Pнемат.- Pпр.б.= 990-450-45-7 = 488 млрд. руб.

. Объем ВВП (производственным, распределительным методом и методом конечного использования).

ВВП - это конечный результат производственной деятельности всех резидентных производственных единиц данной страны за определенный период времени.

Объем ВВП производственным методом:

ВВП =доб.ст.+N =ВВС+N= 488 +12 = 500 млрд. руб.

Объем ВВП методом конечного использования:

ВВП = Pкон.+ВН = 184+316 = 500 млрд. руб.

Объем ВВП распределительным методом:

ВВП = ZP + N+ ВН + ВП = 43+12+316+215 = 500 млрд. руб.

. Валовую прибыль экономики.

ВПЭ = ВВП - Pоф - Pкон. = 500 - 63 - 184 = 253 млрд. руб.

. Структуру ВВП на стадии образования доходов.

Y = ZP + N + Nдр.+ ВП + PОФ + Pкон. = 43+12+3+215+63+184 = 520 млрд. руб.

Вывод

в ходе выполнения курсовой работы были рассчитаны основные статистические величины и показатели, изучены вычислительные средства пакета «Анализ данных» программы МS Ехсеl для статистических операций и вычислений.

ФГБОУ ВПО Пензенская государственная технологическая академия Кафедра «Прикладная математика и исследование операций в экономике»

Больше работ по теме: