Правила использования структурных схем для моделирования системы автоматического регулирования
Задача 1
Задача решается в соответствии пособия [1].
По последней цифре шифра выбираем структурную схему:
Рис. 1.1
Используя правила преобразования структурных схем представленных в таблице 1.3 [1], приведем структурную схему к простейшему виду - одному элементу с результирующей передаточной функцией (см. рис. 2). На рис. приводятся этапы преобразований. Выражения для эквивалентных (результирующих) передаточных функций САУ в разомкнутом и замкнутом состояниях - и
Передаточная функция разомкнутой будет иметь вид
Передаточная функция замкнутой будет иметь вид
В соответствии с табл.1.1 выбираем соответствующие значения передаточных функций и подставляем их в соотношения для полученных передаточных функций и . Выбор осуществляется по предпоследней цифре шифра
Значения передаточных функций представлены в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Предпоследняя цифра шифраW1W2W3W4W5W6W74k21k4рk5рk6k7
Проведем подстановки значений передаточных функций в соотношения передаточных функций и .
Записать уравнения динамики САР в операторной форме и в форме линейного дифференциального уравнения.
Проведем преобразования.
Уравнения динамики разомкнутой САР в операторной форме
, где
Уравнения динамики разомкнутой САР в форме линейного дифференциального уравнения.
Уравнения динамики замкнутой САР в операторной форме
где к-ты представлены выше
Уравнения динамики разомкнутой САР в форме линейного дифференциального уравнения.
где n - выходной сигнал; где n0 - выходной сигнал
Рис. 1.2 - 1 этап
Рис. 1.3 - 2 этап
Рис. 1.4 - 3 этап
Рис. 1.5 - Преобразование структурной схемы к простейшему виду
Задача №2
Построение динамических моделей типовых регуляторов оборотов ГТД
. Типовая принципиальная схема САР оборотов ГТД выбирается по последней цифре шифра в соответствии с таблицей 2.1 [1]. Последняя цифра шифра 8. Имеем по заданию изодромный регулятор.
Рис. 2.1 - Изодромный регулятор
. Функциональная схема изодромного регулятора на рис.6.
Рис. 2.2 - Для функциональной схемы: x1- входной сигнал (либо n0), x2- выходной сигнал (либо n)
Для каждого элемента функциональной схемы записываем уравнение динамики и передаточной функции. В уравнениях динамики переменные должны соответствовать входным и выходным величинам, показанным на структурной схеме. Уравнения динамики типовых звеньев сведены в таблицу 2.2 [1].
Таблица 2.1
№Название звенаУравнения динамики1.Чувствительный элемент (ЧЭ)2.Преобразующий элемент (ПЭ)3.Гидравлический усилитель без обратной связи (УЭ)4.Корректирующее звено (КЗ): Гибкая обратная связь (ГОС)5.Регулирующий орган (РО)6.Объект регулирования
. Структурная схема. Используя, данные таблицы 2.2 запишем передаточные функции типовых звеньев. Передаточная функция для типового звена, описываемого дифференциальным уравнением выводится с помощью формулы (1)
(1)
Передаточные функции типовых звеньев представлены в таблице 2.2
Таблица 2.2
№Название звенаОбозначение передаточной функцииПередаточные функции отдельных звеньев1.Чувствительный элемент (ЧЭ)W1(p)2.Преобразующий элемент (ПЭ)W2(p)kп3.Гидравлический усилитель без обратной связи (УЭ)W3(p)4.Корректирующее звено (КЗ): Гибкая обратная связь (ГОС)W4(p)5.Регулирующий орган (РО)W5(p)kp6.Объект регулированияW6(p)
Структурная схема будет иметь вид:
Рис. 2.3 - Структурная схема
Используя правила преобразования структурных схем, находим передаточные функции замкнутой и разомкнутой систем регулирования.
Передаточная функция разомкнутой САР будет иметь вид
Передаточная функция замкнутой САР будет иметь вид
Уравнения динамики замкнутой и разомкнутой САР в форме обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение разомкнутой САР в общем виде
где А5=
А4=
А3=
А2=
А1=
А0=
В1=
Дифференциальное уравнение замкнутой САР в общем виде
где А5=, А4=
А3=
А2=
А1=
А0=
В1=
В0=
По таблице 2.3. и 2.4. [1] значения постоянных коэффициентов (времени и усиления) подставляем в уравнения динамики САР и оцениваем устойчивость. Устойчивость целесообразно оценивать по алгебраическим критериям. Численные значения коэффициентов уравнений
Таблица 2.3
Предпоследняя цифра шифра40,81,61,31,514
Численные значения коэффициентов уравнений
Таблица 2.4
Последняя цифра шифра81,20,46,30,70,41,3
С учетом данных по таблицам 2.3 и 2.4 коэффициенты в дифференциальных уравнениях будут равны:
для разомкнутой САР
А52,4192A4=11,2704A3=45,072A2=70,888A1=45,44A0=5,6B1=9,9372B0=24,843
для замкнутой САР
А5=2,4192A4=11,2704A3=45,072A2=70,888A1=55,3772A0=30,443B1=9,9372B0=24,843
Проведем оценку устойчивости разомкнутой системы САР с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ (система автоматического управления) или САР, описываемая характеристическим уравнением четвертого порядка
,
будет устойчива, если помимо положительности коэффициентов, то есть Аn>O , будут выполняться неравенства вида
.
.
В нашем случае имеем для разомкнутой САУ следующее дифференциальное уравнение в операторном виде
Проверим неравенства
336,49> 0условие выполняется750364,1> 0условие выполняется, т.о. САУ устойчива
Задача №3
Оценка устойчивости разомкнутых и замкнутых САР
Оценить устойчивость работы систем автоматического управления авиационных ГТД.
Выбор вариантов - по трем последним цифрам шифра зачетной книжки.
Последние три цифры шифра 348.
Исходные данные:
Коэффициенты уравнения динамики чувствительного элемента (ЧЭ) выбираются по таблице 3.1. по последней цифре шифра (8)
= 1,83; 0,22; 0,95
Коэффициенты уравнения динамики преобразующего элемента (ПЭ) и регулирующего органа выбираются по таблице 3.2. по предпоследней цифре шифра (4)
1; 0,8
Коэффициенты уравнения динамики ГТД объекта регулирования (ОР) выбираются по третьей с конца номера зачетной книжки в соответствии с таблицей 3.3. (3)
= 0,37; 1,0
. Используя функциональную схему (рис. 3.1) и структурную схему (рис.3.2), запишем уравнение динамики разомкнутой и замкнутой систем автоматического регулирования в общем виде
В написании передаточной функции ЧЭ есть ошибка, поэтому рис.3.2 приводим с исправлением: вместо записываем .
Рис. 3.1 - Функциональная схема регулятора оборотов двигателя ГТД
Рис. 3.2 - Структурная схема регулятора оборотов ГТД
Уравнение динамики разомкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:
Уравнение динамики замкнутой САУ в общем виде будет иметь вид:
. С учетом исходных данных, выбранных по таблицам 3.1-3.3, запишем уравнения динамики в виде линейного дифференциального уравнения с известными уравнениями для разомкнутой и замкнутой САУ.
Конечная задача исследования устойчивости любой САУ состоит в получении обобщенного дифференциального уравнения системы, характеризующего протекание в ней динамических процессов. Одним из возможных путей получения такого уравнения САУ является совместное решение системы дифференциальных уравнений типовых звеньев, из которых состоит рассматриваемая система уравнений.
Для разомкнутой
с учетом подстановок и преобразований
Дифференциальное уравнение разомкнутой САУ будет иметь вид
Для замкнутой САУ
с учетом подстановок и преобразований
Дифференциальное уравнение замкнутой САУ будет иметь вид
. Оценка устойчивости разомкнутой системы с помощью алгебраических критериев Рауса и Гурвица
Устойчивой называется такая САУ, которая, будучи, выведенной из состояния равновесия, после устранения внешних воздействий возвращается к исходному состоянию равновесия. Оценить устойчивость САУ можно с помощью специальных критериев устойчивости, которые представляют собой некоторую совокупность алгебраических действий, в результате которых определяются знаки корней характеристического уравнения системы. Примером критерии устойчивости является критерий Рауса - Гурвица. Раус и Гурвиц показали, что САУ, описываемая характеристическим уравнением
автоматический регулирование система
,
будет устойчива, если при Аn>O все «n» определители Гурвица (?n) будут положительны, т.е.
и т.д.
Произведем оценку по данному критерию устойчивости
.
Составим определитель Гурвица ?
Определим все диагностические миноры
1=0,59
0,451
0,305
Т.о. САУ по критерию Рауса -Гурвица устойчива, т.к. А3= 0,6771>0 и все диагональные миноры положительны.
Считается, что САУ теряет свою устойчивость, когда хотя бы один числовой коэффициент будет отрицательным. Найдем критическое значение коэффициента А3 , начиная с которого, т.е. при А3> Акр данная САУ теряет свою устойчивость.
А1А2-А3А0=0 - САУ на границе устойчивости.
А3=Акр;
А1А2=АкрА0; Акр =А1А2/А0, Акр = 0,59? 1,91 /1 =1,128
Т.о., начиная с А3³ 1,128 САУ, теряет свою устойчивость.
. Устойчивость САУ можно, также, оценить с помощью графоаналитического критерия А.В. Михайлова. С этой целью необходимо в характеристическом уравнении системы заменить оператор Р на чисто мнимое выражениеw, где w- угловая частота. Полученный многочлен можно считать вектором, модуль и направление которого будут определяться значением частоты w
(jw)=X(w)+jY(w),
Где X(w)- вещественная часть;(w) мнимая часть.
Для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы вектор F(jw) брал начало на положительной вещественной оси X(w) при w=0 в т.А0 и затем монотонно вращался при изменении w от 0 до ¥ в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, совершая поворот на угол n квадранта.
Годограф вектора F(jw), т.е. кривая, которую описывает конец вектора называется кривой Михайлова при изменении w от 0 до ¥, выходит из точки А0 и обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n - показатель степени характеристического уравнения системы.
Оценим устойчивость САУ с помощью частотного критерия Михайлова А.В.
Р заменим на jw.
(jw)=А3 (jw)3+ А2 (jw)2 +А1 (jw)+ А0(jw)= 0,6771 (jw)3+1,91 (jw)2 +0,59 (jw)+1;(jw)=X(w)+jY(w) Þ X(w)=-1,91 w2 +1(w)=j(-0,6771 w3+0,59 w)
Зададимся рядом чисел w
w00,512X(w)10,52215-0,9114-6,6456jY(w)00,210363-0,0871-4,2368
Рис. 3.3
Мы построили кривую Михайлова на комплексной плоскости, для чего отложили две оси - вещественную X(w) и мнимую jY(w).
Таким образом, САУ устойчива, так как вектор F( jw) берет начало при w=0 на положительной вещественной оси X(w) в т. А0= (1;0) , далее вращается против часовой стрелки при изменении w от 0 до ¥, совершая поворот на 3 квадранта.
. Несколько особое место среди критериев устойчивости САУ занимает критерий Найквиста- Михайлова. Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой по АФЧХ разомкнутой САУ, которая может быть получена расчетным путем с использованием передаточной функции системы.
При построении АФЧХ разомкнутой АСУ вначале следует по известному дифференциальному уравнению этой системы получить выражение ее передаточной Wсау (Р). Далее необходимо оператор Р заменить на мнимое выражение jw
(P)=M(w)+jN(w).
Конец вектора W (Р) при изменении w от 0 до ¥ будет описывать кривую, которая совпадает с АФЧХ системы. Критерий Найквиста гласит: для того, чтобы АСУ, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора АФЧХ W(jw) не охватывал точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.
Оценим устойчивость замкнутой САУ с помощью критерия Найквиста, причем А3 кр=0,5 Акр=0,5?1,128 = 0,563
W (Р)=
Вместо Р подставим jw
(*)
Домножим уравнение (*) на сопряженный многочлен и после преобразований
Получим вид передаточной функции с учетом разложения на действительную и мнимую часть
(P)=M(w)+jN(w),
M(w)=;(w)=.
Зададимся рядом чисел w
w00,10,20,30,40,50,60,70,80,911,11,21,3M(w)0,75470,76650,80410,87540,99721,20151,49690,8204-1,8790-1,2985-0,8288-0,5748-0,4241-0,3266jN(w)0-0,0457-0,0988-0,1710-0,2872-0,5165-1,1136-2,8142-1,5524-0,2862-0,02460,04400,06420,0689Построим вектор АФЧХ
Рис. 3.4
Т.о. САУ устойчива, т. к. годограф вектора АФЧХ разомкнутой системы при изменении w от 0 до ¥ не охватывает точку с координатой (-1;0) на вещественной оси.
Вывод: в завершении выполненного задания можно подвести итог, что рассматриваемая САУ устойчива - о чем свидетельствуют аналитический критерий Рауса - Гурвица и частотные критерии Михайлова А.В., а также критерий Найквиста- Михайлова.
Литература
1.В.В. Никонов. Основы автоматики. Пособие по выполнению контрольной работы.: М.: МГТУ ГА, 2005 г. - 32 с.
2.Черкасов Б.А. Автоматика и регулирование воздушно-реактивных двигателей. М.: Машиностроение, 1988 г.
.Шевяков А.А. Системы автоматического управления авиационными воздушно-реактивными силовыми установками. М., 1992 г.
.Гаевский С.А., Морозов Ф.П., Тихомиров Ю.П. Автоматика авиационных газотурбинных силовых установок. М.: Военное издательство МО СССР, 1980, 248 с.
Больше работ по теме:
Предмет: Физика
Тип работы: Контрольная работа
Новости образования
КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]
Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение
ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ