Поверхности второго порядка

 

Содержание.

· Понятие поверхности второго порядка.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

· Классификация поверхностей второго порядка.

1. Классификация центральных поверхностей.

Ä  1°. Эллипсоид.

Ä  2°. Однополостный гиперболоид.

Ä  3°. Двуполостный гиперболоид.
Ä  4°. Конус второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей.

Ä  1°. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, эллиптический параболоид, гиперболиче­ский параболоид.

Ä  2°. Параболический цилиндр

•  Исследование формы поверхностей второго порядка по  их каноническим уравнениям.

1.   Эллипсоид.
2.  Гиперболоиды.

Ä  1°. Однополостный гиперболоид.

Ä  2°. Двуполостный гиперболоид.

3.  Параболоиды.

Ä  1°. Эллиптический параболоид.
Ä  2°. Гиперболический пара­болоид.

4.  Конус и цилиндры второго порядка.

Ä  1°.  Конус второго порядка.
Ä  2°.  Эллиптический цилиндр.
Ä  3°. Гиперболический цилиндр.
Ä  4°. Параболический цилиндр.

Список использованной литературы.

 

1.   «Аналитическая геометрия»      В.А. Ильин, Э.Г. Позняк

 

§ 1.  Понятие поверхности второго порядка.

Поверхность  второго порядка -  геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z²+ 2a₁₂xy + 2a₂₃уz + 2a₁₃xz + 2а₁₄ x + 2а₂₄у+2а₃₄z +а₄₄   = 0    (1)

в котором по крайней мере один из коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ , a₁₂ , a_{23 ,} a₁₃  отличен от нуля.

Уравнение (1) мы будем называть общим уравнением по­верхности второго порядка.

Очевидно, поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной де­картовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования коор­динат, алгебраически эквивалентны.

1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка.

Справедливо следующее утверждение.

являются инвариантами уравнения (1) поверхности второго-порядка относительно преобразований декартовой системы ко­ординат.

Доказательство этого утверждения приведено в выпуске «Линейная алгебра» настоящего курса.

§ 2.  Классификация поверхностей второго порядка

1. Классификация центральных поверхностей. Пусть S — центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стан­дартное упрощение уравнения этой поверхности. В резуль­тате указанных операций уравнение поверхности примет вид

a₁₁х² + а₂₂у² + a₃₃z² + а₄₄  = 0                 (2)

Так как инвариант I₃  для центральной поверхности  отличен от ноля и его значение, вычисленное для уравнения (2) , равно a₁₁ •  а₂₂ •  a₃₃ , то коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃  удовлетворяют условию :

Возможны следующие случаи :

Ä  1°.  Коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃    одного знака, а коэффициент а₄₄ отличен от нуля. В этом случае поверхность S называется эллипсоидом.

Если коэффициенты a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ одного знака, то левая часть (2) ни при каких значениях х, у, z не обращается в нуль, т. е. уравнению поверхности S не удовлетворяют коорди­наты никакой точки. В этом случае поверхность S называется мнимым эллипсоидом.

Если знак коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃  противоположен знаку коэффициента а₄₄ , то поверхность S называется вещественным эллипсоидом. В дальнейшем термином «эллипсоид» мы будем называть лишь вещественный эллипсоид.

Обычно уравнение эллипсоида записывают в канонической форме. Очевидно, числа

 положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После не­сложных преобразований уравнение эллипсоида (2) можно записать в следующей форме:

                                                                  

 

Уравнение (3) называется каноническим уравнением эллип­соида.

Если эллипсоид задан своим каноническим уравнением (3), то оси Ох, Оу и Оz. называются его главными осями.

Ä  2°. Из четырех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄ два одного зна­ка, а два других—противоположного. В этом случае поверх­ность S называется однополостным гиперболоидом.

Обычно уравнение однополостного гиперболоида записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ > 0, а₂₂  > 0,  a₃₃  < 0,  а₄₄ < 0. Тогда числа

  

положительны. Обозначим эти числа соответственно а², b², с². После несложных преобразований уравнение (2) однополостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (4) называется каноническим уравнением однопо­лостного гиперболоида.

Если однополостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением (4), то оси Ох, Оу и Oz называются его глав­ными осями.

Ä  3°. Знак одного из первых трех коэффициентов a₁₁ ,а₂₂ , a₃₃ , а₄₄  противоположен знаку остальных коэффициентов. В этом случае поверхность S называется двуполостным гиперболоидом.

Запишем уравнение двуполостного гиперболоида в канониче­ской форме. Пусть, ради определенности, a₁₁ < 0, а₂₂  < 0,  a₃₃  > 0,  а₄₄ < 0. Тогда  :

Обозначим эти числа соответственно через a², b², с². Поcли несложных преобразова­ний уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно запи­сать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двупо­лостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим

уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

Ä   4°. Коэффициент а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂  , a₃₃   одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂  ,  a₃₃  имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка за­писывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁  > o, а₂₂  > 0, a₃₃  < 0. Обозначим

соответственно через а², b², с². Тогда уравнение (2) можно записать в виде

 Уравнение (6) называется каноническим уравнением веще­ственного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго по­рядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение урав­нения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁х´² + а´₂₂у´² + a´₃₃z´² + 2а´₁₄ x´ + 2а´₂₄у´+2а´₃₄z´ +а´₄₄   = 0                            (7)

для  системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вы­численное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁  , а´₂₂  , a´₃₃   равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

Ä   1°.  Один из коэффициентов a´₁₁  , а´₂₂  , a´₃₃      равен нулю. Ради определенности будем считать, что  a´₃₃  = 0  (если равен нулю ка­кой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перей­ти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z'  к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁    на   a₁₁  , а´₂₂   на  а₂₂  ,  а´₃₄  на  p  и   а´₄₄  на  q  , получим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Oxyz :

 

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz + q = 0                                     (9) 

      

1) Пусть р = 0, q = 0. Поверхность S распадается на пару пло­скостей

 

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁  и а₂₂   одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁  и а₂₂ различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁х² + а₂₂у²  + q = 0                                     (10)

Известно, что уравнение (10) яв­ляется уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁  , а₂₂  , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. ци­линдр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁  , а₂₂  , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет ве­щественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁  и а₂₂   имеют   одинаковые знаки, a q — противоположный, то величины

 

положительны.

  

 Обозначая их соответственно через а²  и b², мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁  и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что урав­нение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду

 

 

3) Пусть р≠0. Произведем параллельный перенос системы координат, выбирая новое начало в точке с координатами

(0, 0,                 ).

При этом оставим старые обозначения координат  х, у, z. Очевидно, для того чтобы получить уравнение поверх­ности S в новой системе координат, достаточно заменить в урав­нении (9)

 

Получим следующее уравнение:

a₁₁х² + а₂₂у² + 2pz  = 0                          (13)

Уравнение (13) определяет так называемые параболоиды. Причем если a₁₁  и а₂₂  имеют одинаковый знак, то параболоид называется эллиптическим. Обычно уравнение эллиптического параболоида записывают в канонической форме:

 

Уравнение (14) легко получается из (13). Если a₁₁  и а₂₂  имеют разные знаки, то параболоид называется гиперболиче­ским. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

 

Это уравнение также легко может быть получено из (13).

Ä   2°. Два из коэффициентов  a´₁₁  , а´₂₂  , a´₃₃    равны нулю. Ради определенности будем считать, что   a´₁₁ = 0   и   а´₂₂ = 0  Перейдем от  х,', у', z'  к. новым  координатам х, у, z по формулам :

Подставляя х', у' и z' , найденные из (16) в левую часть (7) и заменяя затем a´₃₃    на  a_{33   ,}   a´₁₄     на р , a´₂₄    на   q  и  a´₄₄  на  r , по­лучим следующее уравнение поверхности S в новой системе ко­ординат Охуz :

a₃₃ z² + 2px + 2qy + r = 0               (17)

1) Пусть р=0, q=0. Поверхность S распадается на пару па­раллельных плоскостей

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₃₃  и  r одинаковы, и вещественными, если знаки a₃₃ и r различ­ны, причем при r = 0 эти плоскости сливаются в одну.

2) Хотя бы один из коэффициентов р или q отличен от нуля. В этом случае повернем систему координат вокруг оси Oz так, чтобы новая ось абсцисс стала параллельной плоскости 2рх+2qy+r=0. Легко убедиться, что при таком выборе системы координат, при условии сохранения обозначения х, у и z для новых координат точек, уравнение (17) примет вид

a₃₃ z² + 2q´y  = 0                                (19)

которое является уравнением параболического цилиндра с обра­зующими, параллельными новой оси Ох.

§ 3. Исследование формы поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям

1. Эллипсоид.

Из уравнения (3) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии эллипсоида, а начало коорди­нат—центром симметрии. Числа а, b, с называются полуосями эллипсоида и представляют собой длины отрезков, от начала координат до точек пересечения эллипсоида с осями координат. Чтобы более наглядно представить себе форму эллипсоида, выясним форму линий пересечения его плоскостями, параллельными какой-либо из координатных плоскостей.

Ради определенности рассмотрим линии L_h пересечения эл­липсоида с плоскостями

z  =  h                                                            (20)

параллельными плоскости Оху. Уравнение проекции L^*_h   ли­нии L_h  на плоскость Оху получается из уравнения  (3), если положить в нем  z  =  h. Таким образом, уравнение этой проекции имеет вид

 

 

Если положить

то уравнение (21) можно записать в виде

 

 

т. е. L^*_h   представляет собой эллипс с полуосями а* и b*, которые могут быть вычислены по формулам (22). Так как L_h получается «подъемом» L^*_h  на высоту h по оси Оz  (см. (20)), то и L_h  представляет собой эллипс.

Представление об эллипсоиде можно получить следующим об­разом. Рассмотрим на плоскости Оху семейство эллипсов (23)  (рис. 1), полуоси а* и b* которых зависят от h (см. (22)), и каждый такой эллипс снабдим отметкой h, указывающей, на ка­кую высоту по оси Оz должен быть «поднят» этот эллипс. Мы  получим своего рода «карту» эллипсоида. Используя эту «кар­ту», легко представить себе пространственный вид эллипсоида.

(Метод представления формы фигуры  путем получения «карты» фигуры я привожу только для эллипсоида, представить форму других фигур этим методом можно аналогично)

Наглядное изображение эллипсоида находится на следующей странице.

 

 

Эллипсоид
.

2. Гиперболоиды.

Ä  1°. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости яв­ляются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

 

Ä  2°. Двуполостный гиперболоид.


                         


Из канонического уравнения (5) двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные пло­скости являются его плоскостями симметрии, а начало коорди­нат — его центром симметрии.

3. Параболоиды.

Ä  1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

 

мы видим, что для него Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

 

Ä  2°. Гиперболический пара­болоид.   Из   канонического уравнения  (15)




гиперболического параболои­да вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоско­стями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического пaраболоида.

 

Прим.: получение  «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

Линии z=h пересечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы

 

с полуосями

а при h < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

 с полуосями

Используя формулы (24)—(27), легко построить «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26).
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллип­тического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболи­ческий параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, предста­вляющей собой сечение плоско­стью Oxz (Оуz), когда ее вер­шина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболо­ида плоскостью Oyz (Oxz).

Прим.: Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

Гиперболический пара­болоид.

4. Конус и цилиндры второго порядка.

Ä  1°.  Конус второго порядка

Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми ли­ниями, проходящими через начало О координат. Естественно на­зывать точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного утверждения, очевид­но, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку
М₀(х₀, у₀, z₀)  ко­нуса (6) и начало координат О , целиком распола­гается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М₀(х₀, у₀, z₀)  лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответ­ственно tx₀ , ty₀ , tz₀ , где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем  t² за скоб­ку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на ко­нусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :

 

Ä  2°. Эллиптический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

Ä  3°. Гиперболический цилиндр.

Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz .

Ä  4°. Параболический цилиндр.

a₃₃ z² + 2q´y  = 0                                (19)
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.

 

 

Содержание. · Понятие поверхности второго порядка. 1. Инварианты уравнения поверхности второго порядка. · Классификация поверхностей

Больше работ по теме: