Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики

 

Контрольная работа

Вариант №78

Исходные данные

Передаточная функция разомкнутой части системы имеет вид:

k0 = (номер варианта, умноженный на число, образованное двумя последними цифрами текущего года) плюс один;= 0, если номер варианта - четный, а = номер варианта, умноженный на 0,1, если номер варианта нечетный;

b = сумма цифр номера варианта;

с = 0,5(а+b).

Таким образом, передаточная функция будет иметь следующий вид:

Задание 1: по заданной передаточной функции разомкнутой системы построить ЛАЧХ.

1) Преобразуем функцию к виду:

) Для построения ЛАЧХ разомкнутой системы представим передаточную функцию в виде произведения элементарных звеньев:

) Построим ЛАЧХ разомкнутой системы:

Задание 2:построить схему переменных состояния замкнутой САУ.

) Передаточная функция замкнутой САУ будет иметь вид:

автоматическое управление частотная характеристика

раскроем скобки:

2) Для построения схемы переменных состояния используем метод прямого программирования, для этого разделим числитель и знаменатель на 0,134р3, имеем:

3) Построим схему переменных состояния:

)По данной схеме переменных состояния составим систему уравнений при этом примем, что r(t) - единичная ступенчатая функция:

Для y(t) составим уравнение: y(t)=62,475x1(t).

Определяем матрицу коэффициентов:

Матрица выхода: С=

Задание 3:определить характеристическое уравнение замкнутой САУ:

) по передаточной функции:

а) характеристическое уравнение передаточной функции:

D(p)=0,134p3+2,067p2+p+8,33, разделим на коэффициент при p3, имеем:

D(p)=p3+15,5p2+7,5p+62,475

б)найдем корни характеристического уравнения:

D(p)=p3+15,5p2+7,5p+62,475=0

решая кубическое уравнение в среде Mathcad получаем корни:

p1=-15,28

p2,3=-0,11±j2,02

) по передаточной матрице (по схеме переменных состояния):

Определим характеристическую матрицу:

Раскроем матрицу:

Задание 4: Рассчитать устойчивость замкнутой САУ:

) по корням характеристического уравнения:

корни характеристического уравнения p3+15,5p2+7,5p+62,475 посчитаны в предыдущем задании:

p1=-15,28

p2,3=-0,11±j2,02

так как действительные части полученных корней отрицательные (левые) - система устойчива.

) По критерию Гурвица:

D(p)=p3+15,5p2+7,5p+62,475=a0 p3+a1p2+ a2p+ a3

Найдем определители: ?1= a1>0,

Система устойчива так как a0>0, ?1>0, ?2>0.

)По критерию Михайлова:

Формулировка: «Для устойчивости <#"13" src="doc_zip34.jpg" /> начинался с точки на вещественной оси и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте».

В характеристическом уравнении D(p)=p3+15,5p2+7,5p+62,475 заменим оператор p на j?, имеем:

D(j?)= (j?) 3+15,5(j? )2+7,5(j? )+62,475= - j?3-15,5?2+j7,5?+62,475,

Выделим действительную и мнимую части:

D(j?)= P(?)+jQ(?)=(62,475-15,5?2)+j(7,5?- ?3)

Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты из интервала от 0 до ? и занесем их в таблицу:

?00,10,30,511,11,31,522,12,32,53P62,562,361,158,64743,736,327,60,48-5,9-19,5-34,4-77Q00,752,223,66,56,97,557,8876,55,13,1-4,5

Построим годограф Михайлова:

Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в ноль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.

)По критерию Найквиста:

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САУ.

(0,067p+1)(2p+1) - характеристическое уравнение разомкнутой САУ.

Найдем корни данного уравнения:

=0=-15=-0,5

Как видно система имеет два отрицательных (левых) корня и один нулевой корень, следовательно, разомкнутая САУ находится на границе устойчивости. Для данного случая формулировка критерия Найквиста следующая: «Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении ? от 0 до ? критическая точка (-1,j0) не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением».

В передаточной функции разомкнутой САУ заменим оператор р на j?, получим:

После преобразования выражения функции и выделения действительной и мнимой частей, получим:

Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты из интервала от 0 до ? и занесем их в таблицу:

?00,10,30,50,60,70,80,911,11,31,52Re-17,22-27,4-126,6-3532-207-65-32-18-12-8,4-4,7-3-1,3Im?-133-202-3303-159-42-17,5-8,8-5-3,1-1,4-0,7-0,14

Построим АФХ:

Пунктиром показано дополнение к АФХ - полуокружность бесконечного радиуса.

Из рисунка и расчета видно, что АФХ с дополнением не охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно система устойчива.

Задание 4:определить основные показатели качества САУ косвенным (коневым) методом.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

D(p)=p3+15,5p2+7,5p+62,475=0

Корни характеристического уравнения:

p1=-15,28

p2,3=-0,11±j2,02

Так как действительные части корней отрицательные - система устойчива.

Время переходного процесса оцениваем по формуле:

? - степень устойчивости, находится как расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т.е. ?=0,11, отсюда время переходного процесса равно:

Степень колебательности находится по формуле:

Чем больше ?, тем больше перерегулирование ?.

Ошибка в установившемся режиме, если на входе единичный ступенчатый сигнал:

Контрольная работа Вариант №78 Исходные данные Передаточная функция разомкнутой части с

Больше работ по теме: