Понятие целого неотрицательного числа

 

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет»

Кафедра естественнонаучных дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Понятие целого неотрицательного числа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

студентки заочного

отделения факультета ПиПД

3 курса, 32 группы

(внебюджет; 5,5 лет обучения)

специальность ПиМНО Ланерт Л.А.

 

 

 

 

Научный руководитель:

к.п.д. доцент   Баракина Т.В.

 

 

Омск 2009

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………..

§1 Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел……………………………………………………………….

§2 Аксиоматическое построение множества целых неотрицательных чисел………..

§3 Особенности ознакомления детей младшего школьного возраста с натуральными числами и числом нуль……………………………………………………………….

Заключение…………………………………………………………………………..

Список литературы…………………………………………………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали

уделять больше внимания. Это связано с научно-техническим прогрессом и развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы без математического аппарата.

Основа для математической грамотности закладывается именно в школе,

поэтому изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное внимание. Математика является одним из опорных предметов школы. Она обеспечивает изучение других дисциплин. Требует от младших школьников волевых и умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания, математика развивает личность учащегося. Кроме того, изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет кругозор младших школьников.

  Цели начального обучения математике определяют основные особенности его изучения. Решение главной задачи начального курса математики – формирование прочных вычислительных навыков проводится в тесной взаимосвязи с развитием математического мышления младших школьников, их познавательной самостоятельности. 

    Актуальность: представление о понятии целого неотрицательного числа

Объектом исследования: процесс обучения математике младших школьников.

Предметом исследования: ознакомления младших школьников с понятием целого неотрицательного числа.

Цель исследования: необходимость использования понятия целого неотрицательного числа в курсе математики начальной школы, их роль в развитии математического мышления младших школьников.

 

Задачи исследования:

  1. Изучить психолого-педагогическую и методическую литературу по поставленной проблеме.

  2. Раскрыть теоретические основы понятия целого неотрицательного числа.

Методы исследования:

 1. Теоретический анализ методической литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1 Теоретико-множественный подход к построению множества целых неотрицательных чисел

 

П.1. Понятие целого неотрицательного числа

В теоретико-множественной теории понятие целого неотрицательного числа является определяемым. Раскроем содержание указанного понятия.

Обозначим М – совокупность всех конечных множеств. Введем на множестве М отношение равночисленности.

Определение 1: Множества А и В называются равночисленными, если между ними можно задать биективное отображение.

Обозначение: А ~ В.

Задача 1: Доказать, что множества А = {а, b, с} и B={q,w,e}равночисленны.

Решение: По определению 1 множества являются равночисленными, если между ними можно задать биективное отображение.

Напомним, что соответствие f:А-В называется биективным отображением тогда и только тогда, когда каждый элемент области отправления А имеет единственный образ в области прибытия В, и каждый элемент области прибытия В имеет единственный прообраз в области отправления А.

Попытаемся построить биективное отображение f из множества А во множество В (зададим его с помощью графа).

  А • •   • 

f

  В • •   • 

По графу видно, что действительно существует биективное отображение из множества А во множество В. Следовательно, по определению 1, А ~ В.

 

Свойства отношения равночисленности

1. Отношение равночисленности является рефлексивным, так как верно, что любое конечное множество равночисленно самому себе.

2. Отношение равночисленности является симметричным, так как для любых двух конечных множеств А и В верно, что, если А ~ В, то В ~ А.

3. Отношение равночисленности является транзитивным, так как для любых трех конечных множеств А, В, С верно, что, если А ~ В и В ~ С, то и А ~ С.

Таким образом, отношение равночисленности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности на множестве М. Следовательно, это отношение эквивалентности, и оно разбивает множество М на такие подмножества (их называют еще классами эквивалентности), которые обладают следующими свойствами:

1) каждый элемент не пуст;

2) классы не пересекаются;

3) объединение всех классов равно исходному множеству М;

4) в один класс входят различные равночисленные друг другу множества.

Условно можно представить получившиеся классы эквивалентности следующим образом:

К? = {*}, {а}, {•}, …}

К?? = {{*, b}, {а, ?}, {•, ?}, …}

К??? = {{*, b, с}, {а, m, ?}, {#, •, ?}, …} – одинаковое количество элементов.

Каждый класс – бесконечное множество, всего таких классов бесконечно много. Множества, входящие в один класс, различны между собой, но все они обладают одним общим свойством – в каждом элементе содержится столько же элементов, сколько и в остальных множествах данного класса.

 

Определение 2: Общее свойство класса эквивалентности непустых конечных равночисленных друг другу множеств называется натуральным числом с теоретико-множественной точки зрения.

Так общее свойство класса К? (т.е. определенное количество элементов, характерно только для множеств, входящих в класс множеств К?) назовем натуральным числом 1. Общее свойство класса К?? (характерно только для множеств, входящих в класс множеств К??) назовем натуральным числом 2 и т.д.

Множество всех натуральных чисел обозначим N. Это множество бесконечно. N = {1, 2, 3, 4, …} Введем обозначение: n(А)=k (читается «число элементов множества А равно k»).

Определение 3: Общее свойство класса эквивалентности, содержащего пустые множества, называется 0, т.е. n(O)=0.

N₀ = {0, 1, 2, 3, 4, …}

 

Определение 4: Отрезком натурального ряда чисел длины а называется множество всех натуральных чисел, не превосходящих а.

Обозначение: N_a – отрезок натурального ряда чисел длины а.

N_a = {1, 2, …а}

Например, N₅ = {1, 2, 3, 4, 5}

Определение 5: Счетом элементов непустого конечного множества А называется процесс установления биективного отображения между множеством А и некоторым отрезком N_a натурального ряда чисел длины а.

Если такое отображение установлено, то говорят, что число элементов множества А равно а, т.е. есть символически: A(А) = а.

Ведя счет, необходимо соблюдать ряд требований:

1) начинать счет можно с любого элемента множества А;

2) ни один элемент множества кА не должен быть пропущен;

3) ни один элемент множества А не должен быть сосчитан дважды;

4) первым при счете называется число 1:

5) числа, используемые при счете, следуют одно на другим без пропуском по возрастанию.

 

Задача 2: Среди следующих множеств найти отрезки натурального ряда чисел:

А={2,3,4,5}, В={1,3,5}, С={4,3,2,1}, Е={0,1,2,3}, D ={1,2,3,4}.

Решение:

А не является отрезком натурального ряда чисел, так как не хватает числа 1

(должны быть все натуральные числа, не превосходящие 5);

В не является отрезком натурального ряда чисел, так как не хватает чисел 2 и 4

(должны быть все натуральные числа, не превосходящие 5);

С не является отрезком натурального ряда чисел, так как первым должно быть

число 1, далее по возрастанию - 2 и т.д.;

Е не является отрезком натурального ряда чисел, так как 0 - не натуральное число (все числа должны быть натуральными);

D является отрезком  натурального  ряда  чисел  (все  натуральные  числа,  не

превосходящие 4);

Задача 3: Найти число элементов множества В = (q, r, t, f) пересчетом.

Решение: Установим биективное отображение между множеством В и некоторым отрезком натурального ряда чисел. Для этого построим фрагмент графа соответствия между множеством А и множеством натуральных чисел N.

  q   r   t   f

  В • •   •   •

 

•  • • • 1 2   3 4

  N •    •   •  • • • •  …

  1   2 3   5 6   7   8

  N₄

  Таким образом, удалось установить биективное отображение между множеством В и отрезком натурального ряда чисел длины 4 (каждый элемент множества В имеет единственный образ во множестве N₄, и каждый элемент множества N₄ имеет единственный прообраз во множестве В). Значит n (В) = 4.

 

П.2. Отношение между целыми неотрицательными числами

Пусть n (А)=а, n (В)=b.

Определение 6: Целое неотрицательное число а равно целому неотрицательному числу b тогда и только тогда, когда А ~В.

Задача 4: Доказать, что 3=3 с теоретико-множественной точки зрения.

Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А) равнялось числу, записанному в левой части равенства, то есть n(А)=3. Допустим, А={q,е,r}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В) равнялось числу, записанному в правой части равенства, то есть n(В)=3. Допустим, В={v, b, m}.

 

3. По определению 6 два числа равны тогда и только тогда, когда соответствующие им множества равночисленны, что в свою очередь по определению 1 возможно только тогда, когда между двумя этими множествами можно задать биективное отображение.

4. Попытаемcя показать, что между множествами А и В можно задать биективное отображение (зададим его с помощью графа):

  a   e r

  А • •   • 

f  

  В • •   • 

v   b m

 

Каждый элемент множества А имеет единственный образ во множестве В, и каждый элемент множества В имеет единственный прообраз во множестве А.

Следовательно, построенное соответствие f из множества А во множество В является биективным отображением.

5. Так как можно задать биективное отображение из множества А во множество В, значит по определению 1, А ~ В. Тогда по определению 6 n(А)=n(В), то есть 3=3.

Определение 7: Целое неотрицательное число а меньше целого неотрицательного числа b тогда и только тогда, когда из множества А во множество В можно задать инъективное, но не биективное отображение.

Задача 5: Доказать, что 2<3 с теоретико-множественной точки зрения.

Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А) равнялось числу, записанному в левой части равенства, то есть n(А)=2. Допустим, А={q,е}.

2. Выберем множество В так, чтобы п(В) равнялось числу, записанному в правой части равенства, то есть n(В)=3. Допустим, В={v, b,m}.

3. По определению 7 число а меньше числа b тогда и только тогда, когда между соответствующими им множествами можно установить инъективное, но не биективное отображение.

Напомним, что соответствие из множества А во множество В является инъективным, но не биективным отображением тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А имеет единственный образ во множестве В, и каждый элемент множества В имеет не более одного прообраза во множестве А, причем во множестве В обязательно должны быть элементы, не имеющие прообразы во множестве А.

4. Попытаем показать, что между множествами А и В можно задать инъективное, но не биективное отображение (зададим его с помощью графа):

 

q   e

  А • •  

f  

  В • •   • 

v   b m

 

5. Так как можно  задать инъективное, но не  биективное отображение из множества А во множество В, значит по определению 7, n(А)<n(В), то есть 2<3.

Определение 8: Целое неотрицательное число а больше целого неотрицательного числа b тогда и только тогда, когда из множества А во множество В можно задать сюръективное, но не биективное отображение.

Задача 6: Доказать, что 4>3 с теоретико-множественной точки зрения.

Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А) равнялось числу, записанному в левой части не равенства, то есть n(А)=4. Допустим, А={w, d, q, е}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В) равнялось числу, записанному в правой части не равенства, то есть n(В)=3. Допустим, В={v, b, m}.

3. По определению 8 числа а больше числа Ь тогда и только тогда, когда между соответствующими им множествами можно установить сюръективное, но не биективное отображение.

Напомним, что соответствие из множества А во множество В является сюръективным, но не биективным отображением тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А имеет единственный образ во множестве В, и каждый элемент множества В имеет не менее одного прообраза во множестве А, причем во множестве В обязательно должны быть элементы, имеющие более 1 прообраза во множестве А.

4. Попытаемся показать, что между множествами А и В можно задать сюръективное, но не биективное отображение (зададим его с помощью графа):

   w   d q   e

  А • • • •

f  

  В • •   • 

v   b m

 

5. Так как можно задать сюръективное, но не биективное отображение из множества А во множество В, значит по определению 8, n(А)>n(В), то есть 4>3.

 

П.З. Сложение целых неотрицательных чисел и его свойства

Определение 11: Сложением целых неотрицательных чисел а и b называется бинарная  алгебраическая  операция,  в  результате  которой  получается целое неотрицательное число с, равное числу элементов в объединении множеств А и В.

Задача 7: Доказать, что 3 + 2 = 5 с теоретико-множественной точки зрения. Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=3. Например, А= {?, ?,O}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В)=2 и А?В = 0. Например, В= {*, -}. Пересечение выбранных множеств А и В пусто, так не существует элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

3. Построим А u В (для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или принадлежат множеству В) и найдем пересчетом n(А u В).

А u В= {{?, ?,O, *, -}; n (А u В) = 5.

4.  По определению 11 получаем, что 3+2 = n(А u В)=5.

 

 

Теорема о существовании и единственности суммы

 

Каковы бы ни были целые неотрицательные числа а и b, всегда существует единственное целое неотрицательное число с, являющееся их суммой.

 

П.4. Вычитание целых неотрицательных чисел и его свойства

 

Определение 12: Вычитанием целых неотрицательных чисел а и b называется

частичная бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается

целое неотрицательное число с= n(А\В).

Замечание: Вычитание является частичной бинарной алгебраической операцией на N₀, так результат данной операции, принадлежащий N₀, существует не для каждой, а лишь для некоторых пар целых неотрицательных чисел.  

Теорема о существовании и единственности разности

Разность целых неотрицательных чисел а и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b < а.

Задача 8: Доказать, что 4 - 3 = 1 с теоретико-множественной точки зрения. Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=4. Например, А= {¦, Ў, 0, ¦}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В) =3 и В включается А.

Например, В= {Ў, 0, ¦}.Выбранное множество В включается во множество А, так как все элементы множества В принадлежат так же множеству А.

3. Построим А\В ( для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В) и найдем пересчетом n (А\В),

А\В={¦}; n(А\В)=1.

5. По определению 12 получаем, что 4 - 3 = n(А\В)=1.

 

П.5. Умножение целых неотрицательных чисел и его свойства

Существует несколько подходов к определению умножения целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной теории.

Пусть n(А)=а, n(В)=b.

 

Определение 13: Умножением целых неотрицательных чисел а и b называется

бинарная  алгебраическая  операция,  в  результате  которой  получается  целое

неотрицательное число с = n(АхВ).

Задача 9: Доказать, используя определение 13, что 3*2 = 6.

Доказательство:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=3. Например, А= {?, ?, •}.

2. Выберем множество В так, чтобы n(В)=2. Например, В= {0,¦ }.

3.  Построим АхВ (для этого построим множество, состоящее из всевозможных упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В) и найдем пересчетом n(АхВ).

АхВ= {(?, 0), (?,0), (•,0), (?,¦), (?,¦), ( •,¦)}; n(АхВ) = 6.

5. По определению 13 получаем, что 3*2 = n(АхВ)=6.

Определение 14: Пусть имеется b равночисленных попарно непересекающихся множеств А₁ А₂, А₃,..., А_b, в каждом из которых содержится по а элементов.

 А₁ ~ А₂ ~ А₃ ~ ...~ А_b; n(А₁) = n(А₂) = ... = n(А_b) = а.

Тогда умножением целых неотрицательных чисел а и b называется бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число с, удовлетворяющее условиям:

1) с = а-b = n(А₁ u А₂ u... u А_b) = а + а+...+а   при b>1;  

  b слагаемых

2) с = а * 1 = а при b = 1;

3) с = а * 0 = 0 при b = 0.

 

Задача 10: Доказать, используя определение 14, что 3*2 = 6.

Доказательство:

1.  Первый множитель равен 3, а второй множитель равен 2. Поэтому выберем 2 равночисленных непересекающихся подмножества А₁ и А₂, в каждом из которых содержится по 3 элемента. Например, А₁ = {а,b,с} и А₂={q,w,е}. Пересечение выбранных множеств А₁ и А₂ пусто, так не существует элементов, принадлежащих одновременно и множеству А₁ и множеству А₂.

2.  Построим А1 u А₂ (для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А₁ или принадлежат множеству А₂) и найдем пересчетом n(А₁ u А₂).

А₁ u А₂= {а, b, с, q, w, е}; n(А₁ u А₂) = 6.

3. По определению 14 получаем, что 3*2 = n(А ₁ u А₂)=3+3 = 6.

 

Теорема о существовании и единственности произведения

Каковы бы ни были целые неотрицательные числа а и b, всегда существует единственное целое неотрицательное число с, являющееся их произведением.

 

П.6. Деление целых неотрицательных чисел и его свойства

Существует два подхода к определению деления в теоретико-множественной теории целых неотрицательных чисел: деление по содержанию и деление на равные части.

 

Деление по содержанию

Определение 15: Пусть имеется множество А такое, что т(А) = а, и множество А разбивается  на некоторое число равночисленных попарно непересекающихся подмножеств, в каждом из которых содержится по b элементов. Тогда частным с натуральных чисел а и b является число подмножеств такого разбиения, а - делимое, b - делитель, с - частное.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 11: Найти 6:2 (по содержанию).

Решение:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=6. Например, А = {а, b, с, d, е, f}.

2. Так как делитель равен 2, разобьем множество А на некоторое число равночисленных попарно непересекающихся подмножеств, в каждом из которых содержится по 2 элемента.

Получили три равночисленных попарно непересекающихся подмножества А1, А2, А3. А1~  А2 ~ А3   n(А1)=n(А2)=n(А3) =2

 

a   b   ? ?

e   f   ? ?

c   d   ? ?

 

A

 

  A₁   A₂   A₃

 

3. По определению 15 (деления по содержанию), 6:2=3 (это число подмножеств, получившихся при разбиении).

 

Деление на равные части

Определение 16: Пусть имеется множество А такое, что n(А) = а, и множество А разбивается  на b равночисленных  попарно непересекающихся  подмножеств.

Тогда частным с натуральных чисел а и b является число элементов каждого из

подмножеств такого разбиения.

 

а - делимое, b - делитель, с - частное.

 

 

 

 

 

Задача 12: Найти 6:2 (на равные части).

Решение:

1. Выберем множество А так, чтобы n(А)=6. Например, А = {а, b, с, d, е, f}.

2. Так как делитель равен 2, разобьем множество А на 2 равночисленных попарно непересекающихся подмножества.

 a    b c   d e    f A₁~A₂

 A  • •    •   • •  •   A₁?A₂= O

•   • • a   c e

•   • • b   d   f

 

 

 

A₁ A₂

 

3.  Найдем пересчетом количество элементов в каждом из подмножеств такого разбиения: n(А₁)=n(А₂)=3.

4.  По определению 16 (деления на равные части) 6:2=3 (это число элементов в каждом подмножестве, получившимся при разбиении).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2 Аксиоматическое построение множества целых

неотрицательных чисел

 

П.1. Понятие целого неотрицательного числа. Аксиомы Пеано

При аксиоматическом подходе к построению системы целых неотрицательных чисел понятие целого неотрицательного числа является неопределяемым. Оно считается изначально известным.

N₀ = {0, 1, 2, 3, ...}- множество целых неотрицательных чисел.

В общем виде условимся целые неотрицательные числа обозначать малыми буквами латинского алфавита.

На первом этапе построения аксиоматической теории целых неотрицательных чисел также вводится первоначальное (неопределяемое) отношение «непосредственно следовать за».

Число, непосредственно следующее за числом а, условимся обозначать а'.

1'=2; 2'=3; 3'=4 и т.д.

Введенные понятие целого неотрицательного числа и отношение «непосредственно следовать за» удовлетворяют системе аксиом, построенной итальянским математиком Пеано.

Аксиомы Пеано

Аксиома 1. Во множестве целых неотрицательных чисел существует элемент, не следующий ни за каким другим целым неотрицательным числом.

Называют его нулем? и обозначают 0.

Аксиома 2. За каждым целым неотрицательным числом следует единственное целое неотрицательное число.

Аксиома 3. Каждое целое неотрицательное число следует не более, чем за одним целым неотрицательным числом.

Аксиома 4. (индукции)

 

 

 

 

 

§3 Особенности ознакомления детей младшего школьного возраста с натуральными числами и числом нуль

 

Рассматривая вопрос формирования понятия натурально­го числа у детей младшего школьного возраста, нужно иметь четкое представление о разви­тии этого понятия в историческом аспекте - филогенезе.

Изу­чение истории математики, в частности периода ее зарожде­ния, дает возможность понять основные закономерности возникновения первых математических понятий: о множе­стве, числе, величине, об арифметических действиях, систе­мы счисления и др. и использовать эти закономерности с уче­том передового педагогического опыта и современных иссле­дований по разным проблемам обучения математике.

Понятие натурального числа возникло на ранних стадиях развития человеческого общества, когда в связи с практи­ческой деятельностью возникла потребность как-то количе­ственно оценивать совокупности.

Считается, что термин «натуральное число» впервые применил римский государственный деятель, философ, автор трудов по математике и теории музыки Боэций (480 – 524 гг.), но еще греческий математик Никомах из Геразы говорил о натуральном, то есть природном ряде чисел.

Понятием «натуральное число» в современном его понимании последовательно пользовался выдающийся французский математик, философ-просветитель Даламбер (1717-1783 гг.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

  В данной курсовой работе по теме «Понятие целого неотрицательного числа» рассмотрено введение данного материала в обучение математике для младших школьников.

  Овладение основами математики немыслимо без целенаправленного и многоаспектного изучения понятия целого неотрицательного числа. Целенаправленная работа по изучению понятия целого неотрицательного числа положительно сказывается на формировании вычислительных навыков младших школьников.

В ходе работы очень заинтересовали формы подачи материала и содержание. Разнообразить урок, повысить работоспособность младших школьников на уроках математикой поможет изучение понятия целого неотрицательного числа

Эффективность применения понятия целого неотрицательного числа, в начальной школе зависит от применения  более интересных и разнообразных методов работы, от использования знаний и опыта младших школьников, и опоры на них.

Таким образом, при систематическом изучении систем счисления у младших школьников развивается кругозор, углубляются представления о математике, и воспитывается настойчивость в достижении цели.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Архангельский А. В. О сущности математики и фундаментальных математических структурах. История и методология естественных наук (Москва) - 1986. - №32. – 120с.

2. Беденко ,М.В. Математика 4 класс. – М.: Издат-Школа  XXI век, 2002. – 65с.

3. Блонский, П.П. Психология младшего школьника. – М.-В.: Институт практической психологии, 1997. – 574с.

4. Гальперин П.Я., Георгиев Л.С. К вопросу о формировании начальных математических понятий. Доклады АПН РСФСР, 1960, № 1, 3, 4-6.

5. Истомина, Н.Б. Математика. 2 класс. – М.: Дрофа, 2003. – 158с.

6. Истомина, Н.Б. Математика. 3 класс. – М.: Дрофа, 2002. – 203с.

7. Истомина, Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 2 класс» [Текст] / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2000. – 95с.

8. Истомина, Н.Б. Методические рекомендации к учебнику «Математика. 3 класс» [Текст] / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2000. – 94с. 

9. Кеньшова, Г.А. Математическое домино. Начальная школа, 1993. – №5. – С.37.

10.  Менчинская, Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребёнка. – М.-В: Институт практической психологии, 1998. – 442с. 

11.  Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. Начальная школа. - 2000. - № 11. – 115с.

12.  Тестов В. А. Стратегия обучения математике. М.: ГШБ, 1999. - 304 с.

13.  Шатуновский Я. Математика как изящное искусство и ее роль в общем образовании. // Математика в школе. - 2001. - № 3. – 89с.

 

 

 

 

 

 

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО «Омский государственный педагогический университет» Кафедра естественнонаучных дисциплин      

Больше работ по теме: