Понятие функций в экономике

 

Одеський національний університет імені І.І. Мечникова

кафедра економічної кібернетики та прикладної економіки

КУРСОВА робота

на тему: «Поняття функції в економіці»

м. Одеса - 2013 рік

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

.ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

.1 Понятие полезности: общая и предельная полезность

.2 Примеры решения задач

. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

.1 Понятие производственной функции

.ФУНКЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ,СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

.1 Понятия функции потребления, спроса и предложения

.2 Примеры

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В экономических исследованиях издавна применялись простейшие математические методы. В хозяйственной жизни широко используются геометрические формулы. Так, площадь участка поля определяется путем перемножения длины на ширину или объем траншеи - перемножением длины на среднюю ширину и глубину. Существует целый ряд формул и таблиц, облегчающих хозяйственным работникам определение тех или иных величин.

При изучении природных явлений, процессов, обусловленных деятельностью человека, приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой, описывая эти изменения функциональными зависимостями.

Функции находят широкое применение в экономической теории и практике. Спектр используемых функций весьма широк: от простейших линейных до функций, получаемых по определенному алгоритму с помощью рекуррентных соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные периоды времени.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции:

1.Функцияполезности (функцияпредпочтения)

2.Производственнаяфункция

.Функцияспроса, потребления и предложения

Цельработы:

Описать применение функций в экономике.

Задачиработы:

1.Познакомиться в дополнительной литературе с применением функций в экономике.

2.Описатьфункциюполезности.

.Описатьпроизводственнуюфункцию.

4.Описать функцию спроса, потребления, предложения.

Структура курсовой работы отражает последовательность и состоит из: введения; основной части, которая содержит 3 раздела: теоретическое исследования; заключения; списка используемых источников.

Общий объём работы-27страниц, список использованных источников включает -6источников.

1. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ

1.1 Понятие полезности: общая и предельная полезность

Функция полезности - экономическая <#"6" height="15" src="doc_zip1.jpg" />. Предельная полезность, равная 0, означает достижение насыщенности.

Большинство функций полезности, рассматриваемых в экономике, имеют отрицательную вторую производную - закон убывающей предельной полезности <#"justify">производственный полезность спрос доход

Общая (совокупная) полезность - это общее удовлетворение, которое получает потребитель от потребленных им товаров или услуг.

Различают прямую, непрямую и полную полезность.

Прямая полезность имеется у блага, непосредственно влияющего на условия жизни человека.

Непрямая полезность имеется у благ, непосредственно не влияющих на благосостояние человека, но используемых для изготовления товаров с прямой полезностью.

Совокупность прямой и непрямой полезности есть полная полезность блага.

Рис. 1. Функция полезности в общем виде

Исследуются разнообразные математические формы функции полезности:

·одномерные и многомерные,

·аддитивные (общая полезность набора благ равна сумме полезностей отдельных благ),

·порядковые и количественные,

·мультипликативные,

·монотонные и немонотонные,

·линейные и нелинейные,

·одночленные и полиномиальные.

Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ где - количество i-го блага в натуральных единицах. Блага приобретаются по рыночным ценам соответственно. Стоимость набора благ - В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег R (доход). Ясно, что существует бюджетное ограничение

Полезность блага - это способность удовлетворять ту или иную потребность. Потребитель выбирает наиболее предпочтительный набор среди всех доступных. В XIX веке была введена функция полезности для предпочтения одного набора другому. Основное ее свойство в том, что потребитель предпочитает набор X, а не Y, если u(X)>u(Y), то есть она упорядочивает наборы по предпочтению.

Рис. 2

Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности u=u(x,y) - это субъективная числовая оценка полезности u набора товаров (x,y). Линии уровня функции полезности называют кривыми безразличия. Так как если то потребителю безразлично, каким набором обладать, так как они имеют одинаковую полезность.

Чем «северо-восточнее» расположена кривая безразличия, тем большему уровню она соответствует (рис. 2). Кривые безразличия являются убывающими.

В теории потребительского выбора большую роль играют предельные полезности, которые выражают дополнительное удовлетворение от потребления одной дополнительной единицы блага. Предельная полезность (marginal utility, MU) - прирост общей полезности, (дополнительная, добавочная полезность), которую получает потребитель при увеличении количества потребляемого блага на одну единицу (в предположении, что все прочие условия потребления остаются неизменными).

Предельные полезности положительны, так как с увеличением потребления блага его полезность возрастает. Вектор, координаты которого есть предельные полезности, называется вектором предельных полезностей. Таким образом .

Закон убывающей полезности гласит, что с увеличением потребления блага его предельная полезность убывает, то есть

Рис. 3.График предельной полезности

1.2 Примеры решения задач

Одним из способов измерения значения, которое определенное лицо сопоставляет различным денежным сумма, является функция полезности u(x), где x - капитал.

Функция полезности обладает следующими свойствами:

1.,

2.

Пример показывает, каким образом строится функция полезности:

Пример 1.

У вас есть мотоцикл и Вы хотите его застраховать. Мотоцикл стоить £1000 и Вы расцениваете вероятность его полной потери как 0,1. Какова максимальная сумма, которую Вы готовы были бы заплатить за страховую защиту от указанной случайной потери.

Это, конечно, субъективный вопрос, но предположим, что Ваш ответ £120. Важно отметить, что предполагаемая сумма превышает ожидаемый убыток. Ожидаемый убыток составляет

* 0,9 + 1000 * 0,1 = 100,

а Вы положили на страховую защиту на 20 больше . Какова функция полезности? Предположим, что Ваше состояние сводится только к этому мотоциклу, то Ваш капитал может изменятся в пределах от 1000 до 0. Поскольку функции u(x)и au(x)+b эквивалентны (a > 0), то можно зафиксировать два значения u(x). Положим u(0)=0 и u(1000)=1. Сейчас мы приравниваем полезность Вашего решения о внесении страхового взноса в £120 - u(1000-120) к ожидаемой полезности отказа от страхования, т.е. величине 0.9u(1000)+0.1u(0)=0.9. Таким образом, получаем u(880)=0.9.

На практике определить функцию полезности довольно трудно. Если функция полезности определена, то можно сравнить два экономических исхода - X и Y, обладающих признаками случайности, на базе ожидаемой полезности. Если ЛПР (лицо, принимающее решение) имеет капитал a и сравнивает исходы X и Y, то выбирается исход X, если

( u (a + X)) > E ( u (a + Y)).

Максимальный страховой взнос.

Рассмотрим лицо, обладающее капиталомa, желающее обезопасить себя от убытка X, обладающего признаками случайности. Максимальный страховой взнос, который потенциальный страхователь может заплатить - это сумма G, такая, что

(a - G) = E ( u (a - X) ). (3.1)

Из неравенства Иенсена и свойств функции полезности следует, что

G ³ E ( X ),

т.е. максимальный страховой взнос больше или равен, чем ожидаемые убытки.

Пример 2.

Элизабет использует для принятия решения функцию >0. Она может потерпеть ущерб X случайного характера, который имеет равномерное распределение на интервале [0,100] . Она получила предложения о заключении договора страхования, обеспечивающего защиту от X от трех страховых компаний A, B и C.

Компания А предлагает полную страховую защиту от указанного риска. Страховой взнос составляет £52.

Компания В предлагает частичную страховую защиту, согласно которой выплаты составят

, если Х<10

Х-10, если Х³10.

Компания В предлагает договор с безусловной франшизой. Страховой взнос составляет £42.

Компания С также предлагает частичную страховую защиту:

Компания С покрывает все убытки небольшого размера и некоторую долю больших убытков. Страховой взнос составляет £45.

Если Элизабет имеет £150, то у какой компании ей стоит покупать страховую защиту? Вычислим ожидаемую полезность каждого из четырех возможных действий Элизабет: отказ от страхования или страхования в одной из трех компаний. Отыщем то действие, ожидаемая полезность которого максимальна.

Начнем со следующего наблюдения: если убытков не будет, то к концу соответствующего срока и(150-0) =и(150) = 1502/3= 28.23; с другой стороны, если убытки достигнут максимального размера, тои(150 - 100) =и(50) = 502/3= 13.57. Эти вычисления дают нам шкалу, по которой мы будем оценивать наши ответы.

Случай 1: Отказ от страхования. Ожидаемая полезность составляет:

Случай 2:Выбрана компания А. Капитал к концу срока действия договора страхования составляет £ 98, а его полезностьи(98) = 982/3= 21,26.

Случай 3: Договор заключается с компанией В. Страхователь берет на себя £ 10 от любого убытка х. Капитал в конце срока составит£(150-42-х), если х< 10, и£(150 -42-10), если х> 10. Ожидаемая полезность вычисляется следующим образом:

Е(Полезность) =

Случай 4:Страхует компания С. Страхователь полностью защищен от убытков, не превосходящих£50, и частично защищенотубытков, больших £50. К концу действия договора страхования капитал составит £ 105, если х< 50. В случае, если убыток превысит £ 50, то капитал страхователя составит:

Исходный капитал - Взнос - Убытки =

- 45-(х- (50+0,5(х-50)))= 130-0,5х.

Ожидаемая полезность, поэтому, такова

Е( Полезность) =

Заключение: Чуть заметное преимущество у страховой компании С.

2. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ

2.1 Понятие производственной функции

Производственная функция (также функция производства) - экономико-математическая количественная зависимость между величинами выпуска (количество продукции) и факторами производства, такими как затраты ресурсов, уровень технологий <#"21" src="doc_zip21.jpg" />и динамические . По внутреннему устройству выделяются линейные (), мультипликативно-степенные (, при отсутствии одного из факторов такие функции обращаются в нуль).

3. ФУНКЦИЯ ПОТРЕБЛЕНИЯ,СПРОСА И ПРЕДЛОЖЕНИЯ

3.1 Понятия функции потребления, спроса и предложения

Производство является исходным пунктом создания материальных и нематериальных благ и главным источником удовлетворения нужд людей. Оно находится между желаниями людей и их исполнением, создает поле для потребления.

Потребление - это процесс удовлетворения потребностей людей, состоящий в использовании продуктов производства по их назначению. Сбережения - это та часть дохода, которая в данный момент не потребляется. Это не что иное, как отсроченное потребление. За счет сбережений обеспечиваются в будущем производственные и потребительские нужды. Сбережения производятся фирмами (с целью последующего инвестирования накопленного дохода в расширение масштабов производства), домашними хозяйствами и населением (для покупки земли, недвижимости, предметов длительного пользования). Потребление и сбережения находятся между собой в тесной связи и зависимости и формируются под влиянием одних и тех же факторов. Потребление используется для удовлетворения текущих нужд, сбережения - для будущих. Взаимосвязь располагаемого дохода и потребления образует функцию потребления.

Зависимость сбережений от получаемого дохода называется функцией сбережений. Обе эти функции характеризуют динамику соотношения расходов и отложенного спроса. Для определения динамики в прогнозных расчетах исчисляют склонность к потреблению и сбережению. Средняя склонность к потреблению (АРС) отражает желание семей приобретать товары. Она выражается отношением потребляемой части дохода (расходов на потребление) ко всей величине дохода:

Предельная склонность к потреблению (МРС) выражает отношение любого изменения в потреблении к тому изменению в величине дохода, которое обусловило изменение потребления:

Величина потребительских расходов определяется уровнем дохода, МРС всегда будет меньше единицы, так как Y>C. Если МРС=0, то все приращение дохода пойдет в сбережения; если МРС=1, то все приращение дохода расходуется на потребление.

Графическое представление функции потребления представлено на рис.1. На оси ординат - планируемые, или желаемые расходы на потребление (С), которыми представлен весь совокупный спрос (AD); на оси абсцисс - величина выпуска, или доход Y. Если бы расходы в точности соответствовали бы доходам, то это отражала бы любая точка на прямой С=Y, проведенной под углом 45°. В действительности график функции потребления отклоняется от этой линии вниз, наклон определяется предельной склонностью к потреблению, например, 0.8. Функция потребления запишется как С = МРС*Y.

Потребление, независимое от уровня дохода, называется автономным потреблением (С0). С его учетом функция потребления примет вид: С = С0 +МРС*Y.

Рис. 1. График функции потребления

Функциями спроса называются функции, отражающие зависимость объема спроса на отдельные товары и услуг от совокупности факторов, влияющих на него. Общая функция спроса может быть представлена следующим образом:

= f (P, I, T, Ps, Pc, N, Ec), где:

- объем спроса;

P - цена товара;

I - доход потребителей;

T - вкусы и предпочтения потребителей;

Ps - цена взаимозаменяемых товаров;

Pc - цена взаимодополняемых товаров;

N - количество покупателей данного товара;

Ec - ожидание потребителей.

Таким образом, величина спроса является функцией ряда переменных. Прежде всего она зависит от цены. Цена - это сумма денег, которую готов уплатить потребитель за определенное количество товара.

Предположим, что все факты, кроме первого (цены данного товара), неизменны. Тогда величина спроса будет зависеть только от цены P:

= f (P).

Наибольшее распространение получили однофакторные функции, отражающие зависимость спроса от уровней семейных доходов. Соответствующие этим функциям кривые названы кривыми Э. Энгеля (по имени впервые изучившего их немецкого ученого). В обобщенной форме эти кривые можно выразить формулой:

= fi(S),

где S - средний доход; xi - объем потребления блага (либо объем спроса, если он удовлетворяется). Формы же кривых (т. е. характер функций fi) могут быть различны. Например, если спрос в определенной группе семей на данный товар возрастает примерно в той же пропорции, что и доход, то функция будет линейной: отложив на оси абсцисс графика уровень дохода, а на оси ординат - величину спроса, получим точки, расположенные примерно по прямой линии (рис. 2а). Например, зависимость между доходами и расходом на фрукты и ягоды, трикотажные изделия, готовую одежду и рыбные продукты в семьях рабочих и служащих была до реформы цен приблизительно линейной.

Второй вид зависимости: когда по мере роста дохода спрос на данную группу товаров возрастает все более высокими темпами. Здесь мы уже имеем выпуклую <#"143" src="doc_zip28.jpg" />

Рис. 2(а, б, в)

Таковы наиболее обобщенные формы зависимости между доходами и спросом. В аналитических моделях используются для разных статей расходов различные функции (например, степенная, параболическая и др.). Большую роль играет коэффициент эластичности <#"169" src="doc_zip29.jpg" />

Рис. 3. Кривая предложения (изменение величины предложения)

Например, повышение цен на факторы производства означает сокращение предложения, то есть сдвиг кривой S в положение S1. Наборот, в случае понижения цен на факторы производства произойдет увеличение предложения, что приведет к сдвигу кривой S в положение S2 (см. рис. 4).

Рис. 4. Функция предложения (сдвиг кривых предложения)

Напомним, что под затратами в микроэкономике понимаются оценки, причем такие оценки, которые отражают ценность данных факторов производства при их наилучшем альтернативном использовании. Поэтому функция предложения отражает затраты ресурсов, владельцам которых производитель уплатил по цене лучшей альтернативы. Если бы он не смог этого сделать, то владельцы ресурсов использовали бы их в производстве других товаров. Как и у функции спроса, у функции предложения большую роль играет коэффициент эластичности. Он характеризует изменение количества предложенного товара по отношению к изменению цены на данный товар.

Виды эластичности:

Предложение эластично, когда однопроцентное увеличение цены вызывает увеличение продаж более чем на 1 процент.

Однопроцентная эластичность. Однопроцентное изменение цены товара ведет к однопроцентному изменению количества предложения.

Предложение неэластично, если изменение цены на 1 процент ведет к изменению предложения менее чем на 1 процент.

Подведем итоги. Движение вдоль кривой предложения отражает изменение величины предложения: чем выше цена, тем выше (при прочих равных условиях} величина предложения и, наоборот, чем ниже цена, тем ниже величина предложения (см. рис. 3). Сдвиг кривой предложения влево или вправо отражает изменение предложения: оно происходит под влиянием факторов, определяющих функцию предложения (см. рис. 4).

Для понимания функции предложения важное значение имеет фактор времени.

Обычно различают кратчайший, краткосрочный (короткий) и долгосрочный (длительный) рыночные периоды. В кратчайшем периоде все факторы производства постоянны, в краткосрочном некоторые факторы (сырье, рабочая сила и др.) являются переменными, в долгосрочном - все факторы переменны (включая производственные мощности, число фирм в отрасли и т.д.). В условиях кратчайшего рыночного периода повышение (понижение) спроса приводит к повышению (понижению) цен, но не отражается на величине предложения. В условиях короткого периода повышение спроса обусловливает не только рост цен, но и увеличение объема производства, так как фирмы успевают изменить некоторые факторы производства соответствии со спросом. В условиях длительного периода увеличение спроса приводит к значительному рост предложения при постоянных ценах или несущественном повышении цен.

Теперь можно сделать вывод: функции потребления, спроса и предложения указывают на зависимость объёма потребления, спроса и предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.)

3.2 Примеры

Пример 1

Построить графики спроса, предложение огурцов по табличным данным.

Дать ответы на вопросы:

1.если цена огурцов изменится с 2 ден.ед/кг до 2,5 ден.ед./кг, то как изменится величина спроса?

2.определить равновесную цену за 1 кг огурцов и равновесный объём огурцов.

Цена, ден.ед/кг0,511,522,533,5Объём спроса22520017515012510075Объём предложения75100125150175200225

Для построения графиков нужно отложить точки спроса (предложения) на координатной плоскости и соединить их.

1.при Р=2 ден.ед, QD =150 кг;

при Р=2,5 ден.ед, QD =125 кг (по табличным данным), 150-125=25 кг. Величина спроса уменьшилась на 25 кг;

2.равновесная цена и объём определяются по таблице при условии QD = QS, РЕ = 2 де.ед, QЕ=150 кг. На графике равновесной цене и равновесному объёму соответствует точка пересечения графиков спроса и предложения (РЕ, QЕ)

Пример 2

Функция предложения на говядину имеет вид: QD = 30 - P, где QD - величина спроса на говядину за день (кг), а Р - цена за один килограмм. Функция предложения описана следующим уравнением: QS = 15 + 2P, где QS - величина предложения за день (кг).

1.построить графики спроса и предложения;

2.найти равновесный объём и равновесную цену на мясо;

.какая ситуация возникнет на рынке мяса, если цена установится на уровне 3 ден.ед. за кг? Решить алгебраическим методом;

.если предложение уменьшится на 60% при каждом уровне цен, как это повлияет на равновесное количество и равновесную цену?

.найти эластичность спроса и предложения в точке равновесия.

уравнения спроса и предложения - это уравнения линейных функций, для того чтобы их построить необходимо знать две точки.

Р=0, QD = 30; QD = 10, Р=20 для графика спроса

Р=0, QS = 15; QS = 20, Р=2,5 для графика предложения.

на графике равновесной цене и равновесному объёму соответствует точка пересечения графиков спроса и предложения Е(РЕ , QЕ). Очень часто графическим методом можно установить приблизительные значение, поэтому лучше использовать алгебраический метод: условие равновесия: QD = QS,или РD = РSследовательно:

-Р=15+2Р

Р=15

РЕ = 5 (ден.ед.)D = 30-5=25

QS=15+2*5=25

QЕ=25 кг.

графический метод: при Р=3 ден.ед. : QD = 27 кг, QS=21 кг, дефицит товара равен 27-21=6 (кг).

Алгебраический метод: подставим в уравнения спроса и предложения Р=3 ден.ед.

D = 30-Р=30 -3=27

QS=15+2Р=15+6=21D-QS=27-21=6 дефицит.

уменьшение предложения на 60% считается для каждой точки графика. Для этого необходимо составить таблицу значений.

Р (руб)051015QS (кг)15253545

Например: 15 - 100%

Х - 60%

*0,6=9

-9=6 (кг) - новое предложение для Р=0 или

*(1-0,6)=15*0,4=6 (кг). Аналогично необходимо сделать для каждой цены.

Р (руб)051015QS (кг)15253545Новый QS (кг)15*0,4= 625*0,4= 1035*0,4= 1445*0,4= 18

РЕ = 5 (ден.ед), QЕ=25 кг.

Эластичность спроса в точке (РЕ,QЕ) определяется формулой:

,

выражение - производная функции QD = 30 - P,

=(30 - P)'=-1

- спрос неэластичный.

Аналогично находится эластичность предложения:

- предложение также неэластично.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель курсовой работы выполнена - было рассмотрено понятие функции и изучены основные свойства функции в применении к задачам экономики. На конкретных задачах и примерах рассмотрено применение математических функций.

По итогам работы можно сделать вывод, что наиболее часто используются в экономике следующие функции:

.Функция полезности - в широком смысле зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия.

.Производственная функция - зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

.Функция выпуска (частный вид производственной функции) - зависимость объемов производства от наличия или потребления ресурсов.

.Функция издержек (частный вид производственной функции) - зависимость издержек производства от объема продукции.

.Функция спроса, потребления и предложения - зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т.п.).

Учитывая, что экономические явления и процессы обусловливаются действием различных факторов, для их исследований широко используются функции нескольких переменных.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами.

Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Не следует забывать и о том, что экономическая система - не застывшая, статичная совокупность элементов, а развивающийся, меняющийся под действием внешних и внутренних факторов механизм. При этом возникает ситуация, когда решения, принятые раньше, детерминируют частично или полностью решения, принятые позднее.

Таким образом, легко заметить, что экономические задачи, решаемые математическими методами, имеют специфику, определяемую особенностями экономических систем, как более высоких форм движения по сравнению с техническими или биологическими системами. Эти особенности экономических систем сделали недостаточными те математические методы, которые выросли из потребностей других наук. То есть потребовался новый математический аппарат, причем не столько более сложный, сколько просто учитывающий особенности экономических систем на базе уже существующих математических методов.

Кроме того, экономические системы развиваются и усложняются сами, изменяется их структура, а иногда и содержание, обусловленное научно-техническим прогрессом. Это делает устаревшими многие методы, применявшиеся ранее, или требует их корректировки. В то же время научно-технический прогресс влияет и на сами математические методы, поскольку появление и усовершенствование электронно-вычислительных машин сделало возможным широкое использование методов, ранее описанных лишь теоретически, или применявшихся лишь для небольших прикладных задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Высшая математика для экономистов:Учебник для вузов /[Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин М.Н., Фридман М.Н.].-М.: ЮНИТИ,2004.-94.с.,106.с.

2.Гульмутдинов Р.З. Методическиеметоды в экономике. [Методическиеуказания]- Уфа, К.:УИКиП,2000.-240 с.

3.Математические методы в экономике/[Замков О.О., Магидсон

Д.Е.,Эддисон Г.Д.,]-.:МГУ, 2001-201с.

.Курс высшей математики для экономических вузов./[Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И.]-М.: Высшая школа,1992.- 17-45 с.

.Экономика.Самуэльсон П.-М.:НПО Алгон, ВНИИСИ,1992.

.Математика в экономике: Учебник/[Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Шандра И.Г.]- М.: Финансы и статистика,2000.

Одеський національний університет імені І.І. Мечникова кафедра економічної кібернетики та прикладної економіки

Больше работ по теме: