Пирамида с треугольником в основании

 

В пирамиде SАBC: треугольник АBС - основание пирамиды, точка S - ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти:

). длину ребра АB;

). угол между ребрами АB и АS;

). угол наклона ребра АS к основанию пирамиды;

). площадь основания пирамиды;

). объем пирамиды;

). уравнение прямой АB;

). уравнение плоскости АBC;

). проекцию вершины S на плоскость АBC;

). длину высоты пирамиды.


Задание 14.

A(3;2.0); B(1;2;0); C(0;4;2); S(1;-2;4)


Сделаем чертеж

1. Длина ребра АB


Длина ребра АB равна длине вектора АB.

Найдем координаты вектора


;


Тогда длина вектора равна:



. Угол между ребрами АB и АS


Угол между ребрами АB и АS равен углу между векторами и . Угол между векторами находим по формуле:


Тогда

Следовательно


3. Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды.


Угол наклона ребра АS к основанию пирамиды является углом между прямой AS и ее проекцией на плоскость. Это угол между нормалью к плоскости АBC и прямой АS. В качестве нормали возьмем векторное произведение и .


Следовательно,


Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты



Тогда угол между ребром АS и гранью АBC равен:



4. Площадь основания пирамиды


Площадь основания пирамиды равна площади грани АBC и равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь же параллелограмма равна векторному произведению векторов и . Произведение векторов численно равно модулю нормального вектора. Т.о.


Следовательно,


. Объем пирамиды


Объем пирамиды построенной на векторах найдем по формуле



где

Учитывая, что

Следовательно



. Уравнение прямой АB.


Уравнение прямой АB найдем как уравнение прямой с направляющим вектором . Т.е.

пирамида ребро угол основание


или


Т.е. искомая прямая лежит в плоскости .


. уравнение плоскости АBC.


Уравнение плоскости АBC будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки


или


Окончательно получаем



8. Проекцию вершины S на плоскость АBC


Проекция вершины S на плоскость АBC - это точка пересечения плоскости ABC и прямой SD, перпендикулярной плоскости ABC.

Уравнение высоты может быть найдено как уравнение прямой, проходящей через заданную точку A с направляющим вектором. В качестве направляющего вектора используем нормальный вектор плоскости АBC.

Нормальный вектор плоскости получим из ее уравнения (пункт 7).

Таким образом уравнение искомой прямой имеет вид


или


Найдем точку пересечения плоскости и прямой. Для этого решим систему полученных уравнений



Следовательно, точка D(1,1,1).


. Длину высоты пирамиды


Длину высоты пирамиды найдем по формуле расстояния от точки до плоскости



где, координаты точки S,

A,B,C,D - коэффициенты уравнения плоскости основания пирамиды.

Следовательно



В пирамиде SАBC: треугольник АBС - основание пирамиды, точка S - ее вершина. Даны координаты точек А, B, C, S. Сделать чертеж. Найти: ). длину ребра АB; )

Больше работ по теме:

Пьер Ферма и его теорема
Контрольная работа
Симплекс-метод
Контрольная работа
Случайные величины
Контрольная работа
Совместность и решение системы линейных уравнений
Контрольная работа
Статистическая основа принятия решений
Контрольная работа

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2018 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ