Оценка погрешностей измерений

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

Кафедра «Электронные приборы и устройства»

Курсовая работа на тему:

«Оценка погрешностей измерений»

Выполнил студент

группы ЭПУ-41

Оруджев Р.Ф.

1. Задание к курсовой работе

Выборка случайных величин

150,951150,992150,723150,864150249,991250,4822503250,484250,07349,991350,412350,393350,614349,87451,191450,542450,1334504449,47551,271549,972550,263551,134550650,7416502650,313650,344650749,721750,172751,283749,984749,6849,811849,852849,753849,234849,48950,821950,352949,583950,154950,911049,892050,223049,4440505049,64

2. Расчетная часть

.1 Объем выборки

В математической статистике исходная исследуемая случайная величина называется генеральной совокупностью, а полученный из нее набор экспериментальных данных - выборочной совокупностью (выборкой).

Число объектов (наблюдений) в совокупности, генеральной или выборочной, называется ее объемом (и соответственно).

Согласно исходным данным, .

.2 Интервальные статические ряды

Числа , показывающие сколько раз встречаются варианты в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки - частостями:

,

где .

Для определения оптимального значения интервала в первом приближении используем формулу Стерджеса:

,

По формуле (2) получаем следующий результат:

Составим интервальный статический ряд, воспользовавшись формулами (1-2).

Таблица 1. Интервальный статический ряд (5 интервалов)

Интервал49.076-49.69349.693-50.3150.31-50.92750.927-51.54451.544-52.161№ интервала12345Частота, 6251360Частость, 0.120.50.260.120

Таблица 2. Интервальный статический ряд (10 интервалов)

Интервал49.076-49.38449.384-49.69349.693-50.00150.001-50.3150.31-50.61850.618-50.92750.927-51.23651.236-51.54451.544-51.85351.853-52.161№ интервала12345678910Частота, 15187945100Частость, 0.213.61.41.80.810.200

Таблица 3. Интервальный статический ряд (15 интервалов)

Интервал49.076-49.28149.281-49.48749.487-49.69349.693-49.89949.899-50.10450.104-50.3150.31-50.51650.516-50.72150.721-50.92750.927-51.13351.133-51.33851.338-51.54451.544-51.7551.75-51.95651.956-52.161№ интервала123456789101112131415Частота, 1236126634330000Частость, 0.020.040.060.120.240.120.120.060.080.060.060000

Таблица 4. Интервальный статический ряд (20 интервалов)

Интервал49.076-49.2349.23-49.38449.384-49.53949.539-49.69349.693-49.84749.847-50.00150.001-50.15650.156-50.3150.31-50.46450.464-50.61850.618-50.77350.773-50.92750.927-51.08151.081-51.23651.236-51.3951.39-51.54451.544-51.69851.698-51.85351.853-52.00752.007-52.161№ интервала1234567891011121314151617181920Частота, 01 2331534542223200000Частость, 00.020.040.060.060.30.060.080.10.080.040.040.040.060.0200000

а б

в г

Рис. 4. Диаграммы частоты в выбранных интервалах: а - для 5 интервалов, б - для 10 интервалов, в - для 15 интервалов, г - для 20 интервалов

2.3 Медиана вариационного ряда

Медиана вариационного ряда - это значение признака, приходящееся на середину ряда. Получаем:

Значение медианы не зависит от выбора количества интервалов ().

.4 Размах вариации

Размах вариации называется число , где - наибольший, - наименьший вариант ряда.

Размах вариации не зависит от выбора количества интервалов ().

.5 Выборочное среднее

Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки:

,

Для интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а - соответствующие им частости.

Для 5 интервалов ; для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

.6 Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочной средней:

,

Для 5 интервалов , для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

.7 Выборочное среднеквадратическое отклонение выборки

Этот параметр определяется как:

,

Для 5 интервалов , для 10 , для 15 интервалов , для 20 .

2.8 Эмпирическая (статистическая) функция распределения

Эта функция , определяет для каждого значения частость события . Для нахождения эмпирической функции ее записывают в виде:

,

где - объем выборки, - число наблюдений, меньших. Найдем по (8) значения эмпирической функции распределения с 5, 10, 15, 20 интервалами:

* в скобках обозначен номер интервала

а б

в г

Рис. 5. График эмпирической функции распределения: а - для 5 интервалов, б - для 10 интервалов, в - для 15 интервалов, г - для 20 интервалов

2.9 Мода

Мода - значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. По следующей формуле вычислим значение моды:

,

где - минимальная граница модульного интервала;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Таблица 5. Параметры для вычисления моды и значения моды

Количество интервалов510152050.3150.00150.10450.0012518121565631376350.49950.16950.25950.156

.10 Медиана

Медиана интервального статистического ряда вычисляется по следующей формуле:

,

где - начальное значение медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

- частота медианного интервала.

Таблица 6. Параметры для вычисления медианы и значения медианы

Количество интервалов510152050.92750.3149.89949.8473124631376650.78550.35450.8551.804

.11 Кривая распределения

Кривая распределения (считаем, что закон распределения нормальный) для упорядоченных значений случайных величин выглядит следующим образом:

Рис. 6. Кривая распределения для упорядоченных значений случайных величин

.12 Степень сродства к нормальному распределению

Степень сродства к нормальному распределению (здесь - для диаграммы частоты) - отношение числа точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05 по модулю к числу интервалов.

Для определения этого параметра воспользуемся формулами (11).

,

погрешность вариационный выборочный распределение

где ;

- множитель амплитуды гауссовой функции (подбираемая для ее сравнения с диаграммой частот); - дисперсия; - математическое ожидание; - нормированное к максимуму значения частот в каждом интервале; - число точек, для которых отклонение от гауссовой функции составляет менее 0.05; - число интервалов, - степень сродства к нормальному распределению (%).

а б

в г

Рис. 7. Сравнение функции Гаусса с диаграммой частоты: а - для 5 интервалов (), б - для 10 интервалов (), в - для 15 интервалов (), г - для 20 интервалов ()

.13 Сравнение параметров случайных величин

Сравним с помощью таблиц и графиков найденные параметры случайных величин.

Таблица 7. Параметры случайных величин

Количество интервалов Параметр5101520Выборочное среднее, 50.23650.61849.22450.208Выборочная дисперсия, 0.2730.2330.2420.238Выборочное среднеквадратическое отклонение, 0.5220.4830.4910.487Мода, 50.49950.16950.25650.156Медиана интервального статистического ряда, 50.78450.35450.82551.804Степень сродства к нормальному распределению, , %60504745

Вывод

В ходе выполнения данной курсовой работы были изучены методы статистической оценки распределения случайной величины. Были осуществлены расчеты по представленной выборке, рассмотрены основные числовые характеристики случайной величины: объем выборки, медиана вариационного и статистического ряда, размах вариации, выборочное среднее, выборочная дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана. Выявлено, что выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратическое отклонение выборки имеет максимальное значение при 5 интервалах. Обнаружено, что медиана интервального статистического ряда растет при увеличении числа интервалов.

Построены диаграммы частоты в выбранных интервалах, кривая распределения, эмпирическая функция распределения, определяющая частость события для каждого значения случайной величины, а также графики сравнения функции Гаусса с диаграммой частоты. Диаграммы частоты при увеличении числа интервалов становятся неравномерными, а эмпирическая функция распределения, наоборот, становится более гладкой.

Был установлен теоретический закон распределения случайной величины - данная случайная величина имеет нормальное распределение со степенью сродства к нормальному распределению не менее 45% в выбранных интервалах. Замечено, что при увеличении числа интервалов степень сродства уменьшается вследствие большей неравномерности диаграммы частоты.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего профессионального образования Саратовский государственный технический университет

Больше работ по теме: