Оценка параметров. Методы оценки

 

Московский Государственный Открытый Университет

Реферат на тему: Оценка параметров. Методы оценки.

По дисциплине: Эконометрика

Работу сдала: студентка 2 курса

 заочно-сокращенного отделения

Фролова Д.А.

Работу принял: Проурзин Л.Ю.

Москва

2007г.

Оглавление:

1.   Введение……………………………………………………………………..3

2.   Способы оценивания и оценки……………………………………………..5

3.   Оценки как случайные величины…………………………………………..6

4.   Несмещенность………………………………………………………………8

5.   Эффективность……………………………………………………………….9

6.   Противоречия между несмещенностью и минимальной дисперсией……11

7.   Влияние увеличения размера выборки на точность оценок………………12

8.   Состоятельность……………………………………………………………...14

Введение

Эконометрика – одна из базовых дисциплин экономического образования во всем мире. Однако до недавнего времени она не была признана в СССР и России. Это было связано с тем, что из трех основных составляющих эконометрики – экономической теории, экономической статистики и математики – две первые были представлены в нашей стране неудовлетворительно. Но теперь ситуация изменилась коренным образом.

Существуют различные варианты определения эконометрики:

1) расширенные, при которых к эконометрике относят все, что связано с измерениями в экономике;

2) узко инструментально ориентированные, при которых понимают определенный набор математико-статистических средств, позволяющих верифицировать модельные соотношения между анализируемыми экономическими показателями.

На мой взгляд, наиболее точно объяснил сущность эконометрики один из основателей этой науки Р.Фриш, который и ввел этот название в 1926 г.: «Эконометрика – это не то же самое, что экономическая статистика. Она не идентична и тому, что мы называем экономической теорией, хотя значительная часть этой теории носит количественный характер. Эконометрика не является синонимом приложений математики к экономике. Как показывает опыт, каждая из трех отправных точек – статистика, экономическая теория и математика – необходимое, но не достаточное условие для понимания количественных соотношений в современной экономической жизни. Это единство всех трех составляющих. И это единство образует эконометрику».

Применение аспектов математики в различных областях знаний (экономика, физика, химия, биология, социология и т.д.) принесло значительные успехи. Для экономических специальностей «Финансы и кредит», «Менеджмент», «Налоговое дело» студентам читаются большие по объему курсы математики, включая спецкурсы «Математические методы и модели в экономике» и «Эконометрика», которые могут быть успешно использованы в учебной практике студентами для выполнения курсовых и дипломных работ. В настоящее время идет накопление информации в различных областях экономических знаний с использованием эконометрики.

Эконометрика – это самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приемов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики и экономических измерений, математико-статистического инструментария придавать конкретное количественное выражение общим (качественным) закономерностям, обусловленным экономической теорией.

Эконометрический метод складывался в преодолении следующих трудностей, искажающих результаты применения классических статистических методов (сущность новых терминов будет раскрыта в дальнейшем):

1.   асимметричности связей;

2.   мультиколлинеарности связей;

3.   эффекта гетероскедастичности;

4.   автокорреляции;

5.   ложной корреляции;

6.   наличия лагов.

Для описания сущности эконометрической модели удобно разбить весь процесс моделирования на шесть основных этапов:

1-й этап (постановочный) – определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли;

2-й этап (априорный) – предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих;

3-й этап (параметризация) – собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы входящих в нее связей;

4-й этап (информационный) – сбор необходимой статистической информации, т.е. регистрация значений участвующих в модели факторов и показателей на различных временных или пространственных тактах функционирования изучаемого явления;

5-й этап (идентификация модели) – статистический анализ модели и в первую очередь статистическое оценивание неизвестных параметров модели;

6-й этап (верификация модели) – сопоставление реальных и модельных данных, проверка адекватности модели, оценка точности модельных данных.

Эконометрическое моделирование реальных социально-экономических процессов и систем обычно преследует два типа конечных прикладных целей (или одну из них): 1) прогноз экономических и социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы; 2) имитацию различных возможных сценариев социально-экономического развития анализируемой системы (многовариантные сценарные расчеты, ситуационное моделирование).

При постановке задач эконометрического моделирования следует определить их иерархический уровень и профиль. Анализируемые задачи могут относиться к макро- (страна, межстрановой анализ), мезо- (регионы внутри страны) и микро- (предприятия, фирмы, семьи) уровням и быть направленными на решение вопросов различного профиля инвестиционной, финансовой или социальной политики, ценообразования, распределительных отношений и т.п.

Способы оценивания и оценки

До сих пор мы предполагали, что имеется точная информация о рассматриваемой случайной переменной, в частности – об ее распределении вероятностей (в случае дискретной переменной) или о функции плотности распределения (в случае непрерывной переменной). С помощью этой информации можно рассчитать теоретическое математическое ожидание, дисперсию и любые другие характеристики, в которых мы можем быть заинтересованы.

Однако на практике, за исключением искусственно простых случайных величин (таких, как число выпавших очков при бросании игральной кости), мы не знаем точного вероятностного распределения или плотности распределения вероятностей. Это означает, что неизвестны также и теоретическое математическое ожидание, и дисперсия. Мы, тем не менее, можем нуждаться в оценках этих или других теоретических характеристик генеральной совокупности.

Процедура оценивания всегда одинакова. Берется выборка из  наблюдений, и с помощью подходящей формулы рассчитывается оценка нужной характеристики. Нужно следить за терминами, делая важное различие между способом или формулой оценивания и рассчитанным по ней для данной выборки числом, являющимся значением оценки. Способ оценивания – это общее правило, или формула, в то время как значение оценки – это конкретное число, которое меняется от выборки к выборке.

В табл. A.6 приведены формулы оценивания для двух важнейших характеристик генеральной совокупности. Выборочное среднее  обычно дает оценку для математического ожидания, а формула  – оценку дисперсии генеральной совокупности.

Таблица A.6

Характеристики генеральной совокупности	Формулы оценивания
Среднее,
Дисперсия,

Отметим, что это обычные формулы оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности, однако не единственные. Возможно, вы настолько привыкли использовать  в качестве оценки для , что даже не задумывались об альтернативах. Конечно, не все формулы оценки, которые можно представить, одинаково хороши. Причина, по которой в действительности используется , в том, что эта оценка в наилучшей степени соответствует двум очень важным критериям – несмещенности и эффективности.

Оценки как случайные величины

Получаемая оценка представляет частный случай случайной переменной. Причина здесь в том, что сочетание значений  в выборке случайно, поскольку  – случайная переменная и, следовательно, случайной величиной является и функция набора ее значений. Возьмем, например,  – оценку математического ожидания:

.

Выше мы показали, что величина  в -м наблюдении может быть разложена на две составляющие: постоянную часть  и чисто случайную составляющую :

            .                                                                                                          (A.17)

Следовательно,

,                                                                                               (A.18)

где  – выборочное среднее величин .

Отсюда можно видеть, что , подобно , имеет как фиксированную, так и чисто случайную составляющие. Ее фиксированная составляющая – , то есть математическое ожидание , а ее случайная составляющая – , то есть среднее значение чисто случайной составляющей в выборке.

Функции плотности вероятности для  и  показаны на одинаковых графиках (рис. A.6). Как показано на рисунке, величина  считается нормально распределенной. Можно видеть, что распределения, как , так и , симметричны относительно  – теоретического среднего. Разница между ними в том, что распределение  уже и выше. Величина , вероятно, должна быть ближе к , чем значение единичного наблюдения , поскольку ее случайная составляющая  есть среднее от чисто случайных составляющих  в выборке, которые, по-видимому, «гасят» друг друга при расчете среднего. Далее теоретическая дисперсия величины  составляет лишь часть теоретической дисперсии .

Рис. A.6.

Величина  – оценка теоретической дисперсии  – также является случайной переменной. Вычитая (A.18) из (A.17), имеем:

            .

Следовательно,

.

Таким образом,  зависит от (и только от) чисто случайной составляющей наблюдений  в выборке. Поскольку эти составляющие меняются от выборки к выборке, также от выборки к выборке меняется и величина оценки .

Несмещенность

Поскольку оценки являются случайными переменными, их значения лишь по случайному совпадению могут в точности равняться характеристикам генеральной совокупности. Обычно будет присутствовать определенная ошибка, которая может быть большой или малой, положительной или отрицательной, в зависимости от чисто случайных составляющих величин  в выборке.

Хотя это и неизбежно, на интуитивном уровне желательно, тем не менее, чтобы оценка в среднем за достаточно длительный период была аккуратной. Выражаясь формально, мы хотели бы, чтобы математическое ожидание оценки равнялось бы соответствующей характеристике генеральной совокупности. Если это так, то оценка называется несмещенной. Если это не так, то оценка называется смещенной, и разница между ее математическим ожиданием и соответствующей теоретической характеристикой генеральной совокупности называется смещением.

Начнем с выборочного среднего. Является ли оно несмещенной оценкой теоретического среднего? Равны ли  и ? Да, это так, что непосредственно вытекает из (A.18).

Величина  включает две составляющие –  и . Значение  равно средней чисто случайных составляющих величин  в выборке, и, поскольку математическое ожидание такой составляющей в каждом наблюдении равно нулю, математическое ожидание  равно нулю. Следовательно,

.             (A.19)

Тем не менее полученная оценка – не единственно возможная несмещенная оценка . Предположим для простоты, что у нас есть выборка всего из двух наблюдений –  и . Любое взвешенное среднее наблюдений  и  было бы несмещенной оценкой, если сумма весов равна единице. Чтобы показать это, предположим, что мы построили обобщенную формулу оценки:

            .                                                                                     (A.20)

Математическое ожидание  равно:

. (A.21)

Если сумма  и  равна единице, то мы имеем  и  является несмещенной оценкой .

Таким образом, в принципе число несмещенных оценок бесконечно. Как выбрать одну из них? Почему в действительности мы всегда используем выборочное среднее с ? Возможно, вы полагаете, что было бы несправедливым давать разным наблюдениям различные веса или что подобной асимметрии следует избегать в принципе. Мы, однако, не заботимся здесь о справедливости или о симметрии как таковой. Дальше мы увидим, что имеется и более осязаемая причина.

До сих пор мы рассматривали только оценки теоретического среднего. Выше утверждалось, что величина , определяемая в соответствии с табл. А.6, является оценкой теоретической дисперсии . Можно показать, что математическое ожидание  равно , и эта величина является несмещенной оценкой теоретической дисперсии, если наблюдения в выборке независимы друг от друга. Доказательство этого математически несложно, но трудоемко, и поэтому мы его опускаем.

Эффективность

Несмещенность – желательное свойство оценок, но это не единственное такое свойство. Еще одна важная их сторона – это надежность. Конечно, немаловажно, чтобы оценка была точной в среднем за длительный период, но, как однажды заметил Дж. М. Кейнс, «в долгосрочном периоде мы все умрем». Мы хотели бы, чтобы наша оценка с максимально возможной вероятностью давала бы близкое значение к теоретической характеристике, что означает желание получить функцию плотности вероятности, как можно более «сжатую» вокруг истинного значения. Один из способов выразить это требование – сказать, что мы хотели бы получить сколь возможно малую дисперсию.

Предположим, что мы имеем две оценки теоретического среднего, рассчитанные на основе одной и той же информации, что обе они являются несмещенными и что их функции плотности вероятности показаны на рис. A.7. Поскольку функция плотности вероятности для оценки  более «сжата», чем для оценки , с ее помощью мы скорее получим более точное значение. Формально говоря, эта оценка более эффективна.

Рис. A.7.

Важно заметить, что мы использовали здесь слово «скорее». Даже хотя оценка  более эффективна, это не означает, что она всегда дает более точное значение. При определенном стечении обстоятельств значение оценки  может быть ближе к истине. Однако вероятность того, что оценка  окажется более точной, чем , составляет менее 50%.

Это напоминает вопрос о том, пользоваться ли ремнями безопасности при управлении автомобилем. Множество обзоров в разных странах показало, что значительно менее вероятно погибнуть или получить увечья в дорожном происшествии, если воспользоваться ремнями безопасности. В то же время не раз отмечались странные случаи, когда не сделавший этого индивид чудесным образом уцелел, но погиб бы, будучи пристегнут ремнями. Упомянутые обзоры не отрицают этого. В них лишь делается вывод, что преимущество на стороне тех, кто пользуется ремнями безопасности. Подобным же преимуществом обладает и эффективная оценка. (Неприятный комментарий: в тех странах, где пользование ремнями безопасности сделано обязательным, сократилось предложение для трансплантации почек людей, ставших жертвами аварий.)

Мы говорили о желании получить оценку как можно с меньшей дисперсией, и эффективная оценка – это та, у которой дисперсия минимальна. Сейчас мы рассмотрим дисперсию обобщенной оценки теоретического среднего и покажем, что она минимальна в том случае, когда оба наблюдения имеют равные веса.

Если наблюдения  и  независимы, теоретическая дисперсия обобщенной оценки равна:

.                                   (A.21)

Мы уже выяснили, что для несмещенности оценки необходимо равенство единице суммы  и . Следовательно, для несмещенных оценок  и

            .                                  (A.22)

Поскольку мы хотим выбрать  так, чтобы минимизировать дисперсию, нам нужно минимизировать при этом . Эту задачу можно решить графически или с помощью дифференциального исчисления. В любом случае минимум достигается при . Следовательно,  также равно 0,5.

Итак, мы показали, что выборочное среднее имеет наименьшую дисперсию среди оценок рассматриваемого типа. Это означает, что оно имеет наиболее «сжатое» вероятностное распределение вокруг истинного среднего и, следовательно (в вероятностном смысле), наиболее точно. Строго говоря, выборочное среднее – это наиболее эффективная оценка среди всех несмещенных оценок. Конечно, мы показали это только для случая с двумя наблюдениями, но сделанные выводы верны для выборок любого размера, если наблюдения не зависят друг от друга.

Два заключительных замечания: во-первых, эффективность оценок можно сравнивать лишь тогда, когда они используют одну и ту же информацию, например один и тот же набор наблюдений нескольких случайных переменных. Если одна из оценок использует в 10 раз больше информации, чем другая, то она вполне может иметь меньшую дисперсию, но было бы неправильно считать ее более эффективной. Во-вторых, мы ограничиваем понятие эффективности сравнением распределений несмещенных оценок. Существуют определения эффективности, обобщающие это понятие на случай возможного сравнения смещенных оценок, но в этом пособии мы придерживаемся данного простого определения.

Противоречия между несмещенностью и минимальной дисперсией

В данном обзоре мы уже выяснили, что для оценки желательны несмещенность и наименьшая возможная дисперсия. Эти критерии совершенно различны, и иногда они могут противоречить друг другу. Может случиться так, что имеются две оценки теоретической характеристики, одна из которых является несмещенной ( на рис. A.8), другая же смещена, но имеет меньшую дисперсию ().

Рис. A.8.

Оценка  хороша своей несмещенностью, но преимуществом оценки  является то, что ее значения практически всегда близки к истинному значению. Какую из них вы бы выбрали?

Данный выбор зависит от обстоятельств. Если возможные ошибки вас не очень тревожат при условии, что за длительный период они «погасят» друг друга, то, по-видимому, вы выберете . С другой стороны, если для вас приемлемы малые ошибки, но неприемлемы большие, то вам следует выбрать .

Формально говоря, выбор определяется функцией потерь, стоимостью сделанной ошибки как функцией ее размера. Обычно выбирают оценку, дающую наименьшее ожидание потерь, и делается это путем взвешивания функции потерь по функции плотности вероятности. (Если вы не любите риск, то можете также пожелать учесть дисперсию потерь.)

Влияние увеличения размера выборки на точность оценок

Будем по-прежнему предполагать, что мы исследуем случайную переменную  с неизвестным математическим ожиданием  и теоретической дисперсией  и что для оценивания  используется . Каким образом точность оценки  зависит от числа наблюдений ?

Ответ неудивителен: при увеличении  оценка , вообще говоря, становится более точной. В единичном эксперименте большая по размеру выборка необязательно даст более точную оценку, чем меньшая выборка, – всегда может присутствовать элемент везения, – но общая тенденция должна быть именно такой. Поскольку дисперсия  выражается формулой  (доказательство этого факта мы опускаем), она тем меньше, чем больше размер выборки, и, значит, тем сильнее «сжата» функция плотности вероятности для .

Это показано на рис. A.9. Мы предполагаем, что  нормально распределена со средним 25 и стандартным отклонением 50. Если размер выборки равен 25, то стандартное отклонение величины , равное , составит: . Если размер выборки равен 100, то это стандартное отклонение равно 5. На рис. А.9 показаны соответствующие функции плотности вероятности. Вторая () выше первой в окрестности , что говорит о более высокой вероятности получения с ее помощью аккуратной оценки. За пределами этой окрестности вторая функция всюду ниже первой.

Рис. A.9.

Чем больше размер выборки, тем уже и выше будет график функции плотности вероятности для . Если  становится действительно большим, то график функции плотности вероятности будет неотличим от вертикальной прямой, соответствующей . Для такой выборки случайная составляющая  становится действительно очень малой, и поэтому  обязательно будет очень близкой к . Это вытекает из того факта, что стандартное отклонение , равное , становится очень малым при больших .

В пределе, при стремлении  к бесконечности,  стремится к нулю и  стремится в точности к .

Состоятельность

Вообще говоря, если предел оценки по вероятности равен истинному значению характеристики генеральной совокупности, то эта оценка называется состоятельной. Иначе говоря, состоятельной называется такая оценка, которая дает точное значение для большой выборки независимо от входящих в нее конкретных наблюдений.

В большинстве конкретных случаев несмещенная оценка является и состоятельной. Для этого можно построить контрпримеры, но они, как правило, будут носить искусственный характер.

Иногда бывает, что оценка, смещенная на малых выборках, является состоятельной (иногда состоятельной может быть даже оценка, не имеющая на малых выборках конечного математического ожидания). На рис. A.10 показано, как при различных размерах выборки может выглядеть распределение вероятностей. Тот факт, что при увеличении размера выборки распределение становится симметричным вокруг истинного значения, указывает на асимптотическую несмещенность. То, что в конечном счете оно превращается в единственную точку истинного значения, говорит о состоятельности оценки.

Рис. A.10.

Оценки, типа показанных на рис. A.10, весьма важны в регрессионном анализе. Иногда невозможно найти оценку, несмещенную на малых выборках. Если при этом вы можете найти хотя бы состоятельную оценку, это может быть лучше, чем не иметь никакой оценки, особенно если вы можете предположить направление смещения на малых выборках.

Нужно, однако, иметь в виду, что состоятельная оценка в принципе может на малых выборках работать хуже, чем несостоятельная (например, иметь большую среднеквадратичную ошибку), и поэтому требуется осторожность. Подобно тому, как вы можете предпочесть смещенную оценку несмещенной, если ее дисперсия меньше, вы можете предпочесть состоятельную, но смещенную оценку несмещенной или несостоятельную оценку им обеим (также в случае меньшей дисперсии).

Список литературы:

1.   Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2002.

2.   Эконометрика: Учебно-методическое пособие / Шалабанов А.К., Роганов Д.А. – Казань: ТИСБИ, 2002.

3.   Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

4.   Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: Учебник. – М.: Дело, 2001.

5.   Кулинич Е.И. Эконометрия. – М.: Финансы и статистика, 2001.

Московский Государственный Открытый Университет Реферат на тему: Оценка параметров. Методы оценки. По дисциплине: Эконометрика

Больше работ по теме: