Оценка доходов финансовых активов и эффективности инвестиционного портфеля

 

Оглавление

Введение

1.Риск, ассоциируемый с проектом

.1Единичный и внутрифирменный риски

1.2Рыночный риск

.3САРМ

.4Статистические критерии риска

2.Теория Г. Марковица

.1Сущность теории портфеля Г. Марковица и модель оценки доходов финансовых активов

2.2Метод оптимизации инвестиционного портфеля по Марковицу

.3Оптимальный портфель

.4Кривые безразличия

Практическая часть

Заключение

Список использованной литературы

Введение

С введением в рассмотрение концепции риска, коренным образом меняется подход к оценке роли финансового менеджмента в системе управления предприятием. Основная цель управления - максимизация богатства собственников проявляется как в увеличении номинального собственного капитала, так и в росте рыночной капитализации бизнеса. Очевидно, что и тому и другому способствует повышение доходности вложенного капитала. Увеличивать стоимость предприятия можно только реализуя наиболее высокодоходные инвестиционные проекты. Роль финансового менеджера сводится к отбору и оценке наиболее перспективных проектов и поиску источников их финансирования. Вполне естественным может показаться предположение, что важнейшим критерием отбора как раз и является уровень доходности проекта. Однако, такой прямолинейный подход игнорирует фундаментальную финансовую истину - более высокий ожидаемый доход сопряжен с более высоким риском его неполучения или риском потери вложенного капитала. Поэтому, анализируя любой инвестиционный проект, финансист прежде всего должен оценить уровень связанного с ним риска и только потом определять, достаточна ли планируемая рентабельность проекта для компенсации этого риска. Оценка риска предполагает его количественное измерение, что довольно непросто, принимая во внимание значительную эмоциональную насыщенность данного термина. Финансисты избежали соблазна соизмерять величину риска с количеством выпитого шампанского и условились понимать под ним степень неопределенности результата, точнее - вариацию (разброс) ожидаемых значений доходности вокруг ее средней величины (математического ожидания). Под математическим ожиданием понимается среднеарифметическая из всех прогнозируемых значений доходности, взвешенная по вероятности достижения ею этих значений.

1. Риск, ассоциируемый с проектом

Характеристики риска. При анализе инвестиционных проектов выделяют три типа рисков:

) единичный риск, когда риск проекта рассматривается изолированно, вне связи с другими проектами предприятия;

) внутрифирменный риск, когда риск проекта рассматривается в его связи с портфелем проектов предприятия;

) рыночный риск, когда риск проекта рассматривается в контексте диверсификации капитала акционеров предприятия на фондовом рынке.

Логика процесса количественной оценки различных рисков основывается на учете ряда обстоятельств:

) риск характеризует неопределенность будущих событий. Для некоторых проектов имеется возможность обработать статистические данные прошлых лет и проанализировать рисковость инвестиций. Однако есть случаи, когда в отношении предполагаемых инвестиций невозможно получить статистические данные и приходится полагаться на оценки экспертов - руководителей и специалистов. Потому следует иметь в виду, что некоторые данные, используемые в анализе, неизбежно основываются на субъективных оценках;

) в анализе риска используются различные показатели и специальные термины, которые были приведены ранее:

?P - среднеквадратичное отклонение прибыльности рассматриваемого проекта, определяемое как среднеквадратическое отклонение внутренней доходности (IRR) проекта, ?P - показатель единичного риска проекта; ,F - коэффициент корреляции между доходностью анализируемого проекта и доходностью других активов предприятия; ,M - коэффициент корреляции между доходностью проекта и доходностью на фондовом рынке в среднем. Эта связь обычно оценивается на основе субъективных экспертных оценок. Если значение коэффициента положительно, то проект при нормальной ситуации в растущей экономике будет иметь тенденцию к высокой доходности;

?F - среднеквадратическое отклонение доходности активов предприятия до принятия к исполнению рассматриваемого проекта. Если ?F невелико, предприятие стабильно и его фирменный риск относительно низок. В противном случае риск велик и велики шансы банкротства предприятия;

?M - среднеквадратическое отклонение рыночной доходности. Эта величина определяется на основе данных прошлых лет;

?P,F - внутрифирменный ?-коэффициент. Концептуально он определяется путем регрессии доходности проекта относительно доходности предприятия без учета данного проекта. Для расчета внутрифирменного коэффициента можно воспользоваться формулой, приведенной ранее:

?P,F = (?P/?F)×rP,F;

?P,M - ?-коэффициент проекта в контексте рыночного портфеля акций; теоретически может быть рассчитан путем регрессии доходности проекта относительно доходности на рынке. Он может быть выражен формулой, аналогичной формуле для ?P,F. Это рыночный ?-коэффициент проекта. Он является мерой вклада проекта в риск, которому подвергаются акционеры предприятия;

) оценивая рисковость проекта, особенно важно измерить его единичный риск - ?P, так как при формировании бюджета капиталовложений эта составляющая используется на всех этапах анализа в зависимости от того, что хотят измерить - фирменный риск, рыночный риск или оба вида риска;

) большинство проектов имеет положительный коэффициент корреляции с другими активами предприятия, причем его значение наиболее высоко для проектов, которые относятся к основной области деятельности предприятия. Коэффициент корреляции редко равен +1,0, поэтому некоторая часть единичного риска большинства проектов с помощью диверсификации будет устранена, и чем больше предприятие, тем этот эффект вероятнее. Внутрифирменный риск проекта меньше, чем его единичный риск;

) большинство проектов, кроме того, положительно коррелируют с другими активами в экономике страны;

) если внутрифирменная ?P,F проекта равна 1,0, то степень фирменного риска проекта равна степени риска среднего проекта. Если ?P,M больше 1,0, то риск проекта больше среднего фирменного риска, и наоборот. Риск, превышающий средний фирменный, приводит, как правило, к использованию средневзвешенной цены капитала (WACC) выше средней, и наоборот. Уточнение WACC в этом случае осуществляется по соображениям здравого смысла;

) если внутрифирменный ?-коэффициент - ?P,M проекта - равен рыночной бета предприятия, то проект имеет ту же степень рыночного риска, что и средний проект. Если ?P,M проекта больше бета предприятия, то риск проекта больше среднего рыночного риска, и наоборот. Если рыночная бета выше средней рыночной бета предприятия, то, как правило, это влечет использование средневзвешенной цены капитала (WACC) выше средней, и наоборот. Для уточнения WACC в этом случае можно воспользоваться моделью оценки доходности финансовых активов (CAPM);

) нередки утверждения, что единичный или внутрифирменный риски, определенные выше, не имеют значения. Если предприятие стремится к максимизации богатства владельцев, то единственным значимым риском является рыночный риск. Это неверно по следующим причинам:

владельцы мелких предприятий и акционеры, портфели акций которых не диверсифицированы, больше озабочены фирменным риском, чем рыночным;

инвесторы, обладающие диверсифицированным портфелем акций, определяя требуемую доходность, кроме рыночного риска принимают во внимание и другие факторы, в том числе риск финансового спада, который зависит от внутрифирменного риска предприятия;

стабильность предприятия имеет значение для его менеджеров, работников, клиентов, поставщиков, кредиторов, представителей социальной сферы, которые не склонны иметь дело с нестабильными предприятиями; это, в свою очередь, затрудняет деятельность предприятий и, соответственно, снижает прибыльность и цены акций.

1.1Единичный и внутрифирменный риски

Анализ единичного риска проекта начинается с установления неопределенности, присущей денежным потокам проекта, которая может основываться и на простом высказывании мнений специалистов и руководителей как экспертов, и на сложных экономических и статистических исследованиях с использованием компьютерных моделей. Наиболее часто применяют следующие методы анализа:

) анализ чувствительности;

) анализ сценариев;

) имитационное моделирование методом Монте-Карло.

Анализ чувствительности - точно показывает, насколько изменятся NPV и IRR проекта в ответ на изменение одной входной переменной при неизменных всех остальных условиях. Анализ чувствительности начинается с построения базового варианта, разработанного на основе ожидаемых значений входных величин, и подсчета величин NPV и IRR для него. Затем путем расчетов получают ответы на серию вопросов «что если?»: что если объем сбыта в натуральных единицах упадет или возрастет по сравнению с ожидаемым уровнем, к примеру, на 20%?

что если цены реализации упадут на 20%?

что если упадет или возрастет себестоимость единицы реализованной продукции, к примеру, на 20%?

Выполняя анализ чувствительности, обычно неоднократно меняют каждую переменную, в определенной пропорции увеличивая или уменьшая ее ожидаемое значение и оставляя другие факторы постоянными. Всякий раз рассчитываются значения NPV и другие показатели проекта, и, наконец, на их основе строятся графики их зависимости от изменяемой переменной.

Наклон линий графиков показывает степень чувствительности показателей проекта к изменениям каждой переменной: чем круче наклон, тем чувствительнее показатели проекта к изменению переменной, тем более рисковым является проект. В сравнительном анализе проект, чувствительный к изменениям, считается более рисковым.

Анализ сценариев. Единичный риск проекта зависит от чувствительности его NPV к изменению важнейших переменных и от диапазона вероятных значений этих переменных. Анализ риска, который рассматривает как чувствительность NPV к изменениям важнейших переменных, так и диапазон вероятных значений переменных, называется анализом сценариев.

При его использовании аналитик должен получить у руководителя проекта оценки совокупности условий (например, объем реализации в натуральных единицах, цена реализации, переменные издержки на единицу продукции) по наихудшему, среднему (наиболее вероятному) и наилучшему вариантам, а также оценки их вероятности. Часто для наихудшего и наилучшего вариантов рекомендуют вероятность 0,25, или 25%, а для наиболее вероятного - 50%.

Затем рассчитывают NPV по вариантам, его ожидаемое значение, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации - йота-коэффициент, характеризующий единичный риск проекта. Для этого используют формулы, подобные формулам (2.1) - (2.4).

Иногда стремятся более полно учесть многообразие событий и дают оценку по пяти вариантам событий.

Имитационное моделирование методом Монте-Карло требует не сложного, но специального программного обеспечения, в то время как расчеты, связанные с рассмотренными выше методиками, могут быть выполнены с помощью программ любого электронного офиса.

Первый этап компьютерного моделирования - задание распределения вероятностей каждой исходной переменной денежного потока, например, цены и объема реализации. Для этой цели обычно используют непрерывные распределения, полностью задаваемые небольшим числом параметров, например, задают среднее и среднеквадратическое отклонение или нижний предел, наиболее вероятное значение, и верхний предел варьирующего признака.

Собственно процесс моделирования выполняется следующим образом:

) программа моделирования случайным образом выбирает значение для каждой исходной переменной, например, для объема и цены реализации, основываясь на ее заданном распределении вероятностей;

) значение, выбранное для каждой варьируемой переменной, вместе с заданными значениями других факторов (таких, как ставка налога и амортизационные отчисления), затем используется для определения чистых денежных потоков по каждому году; после этого рассчитывается NРV проекта в данном цикле расчетов;

) этапы 1 и 2 многократно повторяются - например, 1000 раз, что дает 1000-е значения NPV, которые составят распределение вероятностей, по которому вычисляют ожидаемые значения NPV и его среднего квадратичного отклонения.

Внутрифирменный риск - это вклад проекта в общий совокупный риск предприятия или, другими словами, влияние проекта на колеблемость общих денежных потоков предприятия.

Известно, что наиболее релевантным (значимым) видом риска, с точки зрения менеджеров, наемных работников, кредиторов и поставщиков, является внутрифирменный риск, в то время как для хорошо диверсифицированных акционеров наиболее релевантен рыночный риск проекта.

Еще раз обратим внимание на то, что внутрифирменный риск проекта - это вклад проекта в общий совокупный риск предприятия, или на колеблемость консолидированных денежных потоков предприятия. Внутрифирменный риск является функцией как среднего квадратического отклонения доходов проекта, так и его корреляции с доходами от других активов предприятия. Поэтому проект с высоким значением среднего квадратического отклонения будет, по-видимому, иметь сравнительно низкий внутрифирменный (корпорационный) риск, если его доходы не коррелируют или отрицательно коррелируют с доходами от других активов предприятия.

Теоретически внутрифирменный риск вписывается в концепцию характеристической линии. Напомним, что характеристическая линия отражает зависимость между доходностью актива и доходностью портфеля, включающего совокупность всех акций фондового рынка. Наклон линии - это ?-коэффициент, являющийся показателем рыночного риска данного актива.

Если считать предприятие портфелем отдельных активов, то можно рассмотреть характеристическую линию зависимости доходности проекта от доходности по предприятию в целом, определяемой доходами ее отдельных активов, за исключением оцениваемого проекта. В этом случае доходность рассчитывается по учетным данным - данным бухгалтерского учета, методика использования которых будет пояснена ниже, поскольку по отдельным проектам невозможно определить доходность в рыночном смысле.

Наклон такой характеристической линии численно выражается значением ? внутрифирменного риска проекта.

Проект, имеющий значение ? внутрифирменного риска, равное 1,0, будет рисковым как раз настолько, насколько будет рисковым средний актив предприятия. Проект с ? внутрифирменного риска, превышающей 1,0, будет более рисковым, чем средний актив предприятия; проект с ? внутрифирменного риска меньше 1,0 будет менее рисковым, чем средний актив предприятия.

? внутрифирменного риска проекта может быть определена как

где ?P - среднеквадратичное отклонение доходности проекта;

?F - среднеквадратичное отклонение доходности предприятия;,F - коэффициент корреляции между доходностью проекта и доходностью предприятия.

Проект со сравнительно большими значениями ?P и rP,F будет иметь больший внутрифирменный риск, чем проект, имеющий малые значения этих показателей.

Если доходность проекта отрицательно коррелирует с доходностью по предприятию в целом, высокое значение стР предпочтительно, поскольку чем больше ?P, тем больше абсолютная величина отрицательной ? проекта, следовательно, ниже внутрифирменный риск проекта.

На практике прогнозировать распределения вероятности доходности отдельного проекта довольно трудно, но возможно. Для предприятия в целом получить данные о распределении вероятностей доходности трудностей обычно не вызывает. Но сложно оценить коэффициент корреляции между доходностью проекта и доходностью предприятия. По этой причине переход от единичного риска проекта к его внутрифирменному риску на практике часто осуществляется субъективно и упрощенно.

Если новый проект соотносится с основным направлением деятельности предприятия, что обычно и имеет место, то высокий единичный риск такого проекта означает и высокий внутрифирменный риск проекта, поскольку коэффициент корреляции будет близок к единице. Если проект не соотносится с основным направлением деятельности предприятия, то корреляция может быть низкой и внутрифирменный риск проекта будет меньше его единичного риска. Основанная на таком походе методика расчетов приведена далее.

1.2Рыночный риск

Влияние структуры капитала. Бета-коэффициент, характеризующий рыночный риск предприятия, финансирующего свою деятельность исключительно за счет собственных средств, называется независимым бета - ?U. Если предприятие начнет привлекать заемные средства, рисковость его собственного капитала, а также значение его теперь уже зависимого бета-коэффициента - ?L возрастут.

Для оценки ?L может быть использована формула Р. Хамады, выражающая взаимозависимость между указанными выше показателями:

?L = ?U - [1 + (1 - h) × (D / S)],

где h - ставка налога на прибыль; и S - рыночные оценки заемного и собственного капитала предприятия соответственно.

Получение рыночных оценок заемного и собственного капитала предприятия было рассмотрено в предыдущих главах, в том числе на примере применения теории опционов.

Если в анализе рассматривается независимое от кредиторов однопродуктовое предприятие, то ее ?U представляет собой ?-коэффициент единственного актива. ?U может считаться ?-коэффициентом актива, независимого в смысле финансирования.

?U предприятия с одним активом является функцией производственного риска актива, показателем которого является ?U, а также способа финансирования актива. Приблизительно значение ?U можно выразить с помощью преобразованной формулы Хамады:

?U = ?L / [1 + (1 - h) × (D / S)].

Оценка рыночного риска проекта методом чистой игры. В соответствии с этим методом пытаются идентифицировать одно или несколько самостоятельных однопродуктовых предприятий, специализирующихся в сфере, к которой относится оцениваемый проект. Далее с помощью данных статистики рассчитывают значения ?-коэффициентов этих предприятий путем регрессионного анализа, усредняют их и используют это среднее в качестве ?-коэффициента проекта.

Пример. Предположим, доходность акций предприятия aM = 13%, D/S = 1,00 и h = 46%; безрисковая доходность на рынке ценных бумаг aRF = 8%, стоимость заемного капитала для предприятия ad = 10%.

Экономист-аналитик предприятия, оценивая проект, суть которого - создание производства ПК, выявил три открытых акционерных общества, занятых исключительно производством ПК. Пусть среднее значение ?-коэффициентов этих предприятий равно 2,23; среднее D / S - 0,67; средняя ставка h - 36%. Общий алгоритм оценки следующий:

) идентифицируются средние значения ?(2,23), D/S(0,67) и h(36%) предприятий-представителей;

) по формуле рассчитаем значение р функционирующих активов предприятий-представителей:

?U = 2,23 / [1 + (1 - 0,36) × 0,67] = 1,56;

) по формуле рассчитаем ? активов предприятий-представителей при условии, что эти предприятия имеют ту же структуру капитала и налоговую ставку, что и рассматриваемое предприятие:

?L = 1,56 × [1 + (1 - 0,40) × 1,00] = 2,50;

) используя модель оценки доходности финансовых активов (САРМ), определяем цену собственного капитала для проекта:

asi = aRF + (aM × aRF) × ?i = 8% + (13% - 8%) × 2,50 = 20,5%;

5) используя данные о структуре капитала предприятия, определяем средневзвешенную цену капитала для компьютерного проекта:

WASS=wd×ad×(1-h)+ws × as = 0,5 × 10% × 0,60 + 0,5 × 20,5% = 13,25%.

Метод чистой игры не всегда применим, поскольку нелегко выявить предприятия, пригодные для сравнительного анализа.

Другая трудность - необходимость иметь не балансовые, а рыночные оценки составляющих капитала предприятий, в то время как в российской системе бухгалтерского учета все еще используются исключительно исторические, а не рыночные оценки.

Оценка рыночного риска методом учетной ?. Бета-коэффициенты обычно определяют путем регрессии доходности акций конкретного акционерного общества относительно доходности по фондовому рыночному индексу. Но можно получить уравнение регрессии показателей рентабельности предприятия (прибыль до вычета процентов и налогов, деленная на сумму активов) относительно среднего значения этого показателя для большой выборки предприятий. Определенные на такой основе (путем использования данных бухгалтерского учета, а не данных фондового рынка) бета-коэффициенты называются учетными ?-коэффициентами.

Учетные ? можно рассчитать по данным прошлых периодов для всех типов предприятий - акционерных обществ открытого и закрытого типа, частных, некоммерческих организаций, а также для крупных проектов. Однако следует иметь в виду, что они дают лишь приблизительную оценку рыночных ?.

1.3САРМ

Каждая страховая компания оптимизирует свой объединенный портфель, включающий страховые риски и риски активов. Оптимальный портфель сильно зависит от страхового портфеля компании брутто-перестрахование, который заметно меняется от одной компании к другой. Как результат, оптимальные портфели страховщиков не лежат на одной линии, и отличаются от оптимального портфеля активов, рассчитанного в соответствии с САРМ. Т.е. портфеля активов компании не есть рыночный портфель, но специфический для данной компании. Поскольку вес страховых компаний и пенсионных фондов на финансовом рынке велик, это может быть объяснением того, что эмпирические данные не подтверждают CAPM. (См. H.S. Houthakker and P.J. Williamson, 1996)

Кроме того различие между CAPM и нашей общей моделью заключается в том факте, что в нашей модели страховые риски имеют надбавку, которая уплачивается страхователем сверх величины ожидаемых выплат, не смотря на то, что эти риски не являются рыночным риском и могут быть исключены путем диверсификации. Причиной по которой частные лица платят за этот риск является то, что они не склонны к риску и не в состоянии диверсифицировать этот риск. В похожей ситуации находятся фирмы с малым числом владельцев. Корпорации, находящиеся в собственности большой группы лиц, - более сложный случай. Держатели акций и облигаций такой корпорации могут диверсифицировать риск и не имеют нужды покупать страховые услуги. Однако существуют другие группы, например работники, клиенты и поставщики, которые не могут диверсифицировать свои риски связанные с данной корпорацией. К примеру, при отсутствии страхования работники и менеджеры должны будут дисконтировать свои будущие заработки по значительно более высокой % ставке, чтобы учесть более высокий риск. Поэтому для фирмы выгоднее купить страховые услуги, даже если цена их выше, чем честная премия. Существуют и другие причины, например снижение затрат при банкротстве или снижение обязательств по налогам, по которым наличие прибыли в структуре страхового тарифа не противоречит финансовой теории. Более детальное обсуждение этого вопроса можно найти в Mayers and Smith (1982).

Кроме прибыли от надбавки страховая компания получает также льготный заем. Принятие на себя риска кривой доходности как части риска резерва убытков эквивалентно выпуску облигаций без обязанности уплачивать какой-либо спрэд. Последние позволяло бы компании получить более высокое соотношение риск - доход, чем в случаях когда выпуск облигаций был бы невозможен, или приходилось бы платить спрэд.

И в CAPM, и в нашей модели теорема выбора остается в силе. Состав оптимального портфеля зависит от объективных факторов: ожидаемой доходности и ковариаций между доходами от отдельных активов. Выбор того, какой объем риска принять, т.е. выбор точки на эффективной границе, делается субъективно, и отдельно от выбора структуры оптимального портфеля.

В условиях CAPM, ожидаемый доход от актива i (Ri) и ожидаемый доход от рыночного портфеля (RM) удовлетворяют такому соотношению

Ri - r0 = bi (RM - r0); bi = Cov(R*i, R*M) D-1R*M

В условиях данной модели для оптимального портфеля верны следующие формулы:

li = Cov(-X*i, D*u )(ED*u - r0 u)D-1D*u- r0 = Cov( R*i, D*u )(ED*u - r0 u )D-1D*u

Можно переписать формулу CAPM в виде:

(Ri - r0 ) Bi / Cov(R*i Bi, R*M) = (RM - r 0)D-1 R*M

Поскольку R*M = Si R*i Bi / Si Bi

С другой стороны, можно переписать формулы данной модели в виде:

ai li / Cov(-ai X*i, D*u )= (ED*u - r0 u ) D-1D*u

(Ri - r0 ) Bi / Cov( R*i Bi, D*u) = (ED*u - r0 u) D-1D*u

И в особом случае, когда существуют только риски активов R*M = D*u / Si Bi, оптимальный портфель фирмы совпадает с оптимальным рыночным портфелем.

Считая, что u = Si Bi можно переписать вторую формулу:

(Ri - r0 ) Bi / Cov(R*i Bi, R*M) = (RM - r0)D-1 R*M

И понятно, что формулы из нашей модели есть обобщение формул для CAPM. Оба типа формул утверждают, что отношение ожидаемой прибыли к вкладу в общую дисперсию одинаково для всех рисков. В CAPM этот вывод делается только в отношении рисков активов, а в нашем случае он делается в отношении и страховых и финансовых рисков. В случае CAPM рассматривается вклад риска в рыночный портфель; в нашей модели - в портфель компании.

1.4Статистические критерии риска

Вероятность (Р) события (Е) - отношение числа К случаев благоприятных исходов, к общему числу всех возможных исходов (М).

Р(Е)= К / М

Вероятность наступления события может быть определена объективным или субъективным методом.

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходит данное событие. Например, вероятность выпадения «орла» или «решки» при подбрасывании идеальной монеты - 0,5.

Субъективный метод основан на использовании субъективных критериев (суждение оценивающего, его личный опыт, оценка эксперта) и вероятность события в этом случае может быть разной, будучи оцененной разными экспертами.

В связи с этими различиями в подходах необходимо отметить несколько нюансов:

Во-первых, объективные вероятности имеют мало общего с инвестиционными решениями, которые нельзя повторять много раз, тогда как вероятность выпадения «орла» или «решки» равна 0,5 при значительном количестве подбрасываний, а, например, при 6 подбрасываниях может выпасть 5 «орлов» и 1 «решка».

Во-вторых, одни люди склонны переоценивать вероятность наступления неблагоприятных событий и недооценивать вероятность наступления положительных событий, другие наоборот, т.е. по разному реагируют на одну и ту же вероятность (когнитивная психология называет это эффектом контекста).

Однако, несмотря на эти и другие нюансы, считается, что субъективная вероятность обладает теми же математическими свойствами, что и объективная.

Размах вариации (R) - разница между максимальным и минимальным значением фактора

= Xmax - Xmin

Этот показатель дает очень грубую оценку риску, т.к. он является абсолютным показателем и зависит только от крайних значений ряда.

Дисперсия - сумма квадратов отклонений случайной величины от ее среднего значения, взвешенных на соответствующие вероятности.

где М(Е) - среднее или ожидаемое значение (математическое ожидание) дискретной случайной величины Е определяется как сумма произведений ее значений на их вероятности:

Математическое ожидание - важнейшая характеристика случайной величины, т.к. служит центром распределения ее вероятностей. Смысл ее заключается в том, что она показывает наиболее правдоподобное значение фактора.

Использование дисперсии как меры риска не всегда удобно, т.к. размерность ее равна квадрату единицы измерения случайной величины.

На практике результаты анализа более наглядны, если показатель разброса случайной величины выражен в тех же единицах измерения, что и сама случайная величина. Для этих целей используют стандартное (среднее квадратическое) отклонение

Все вышеперечисленные показатели обладают одним общим недостатком - это абсолютные показатели, значения которых предопределяют абсолютные значения исходного фактора. Гораздо удобней поэтому использовать коэффициент вариации (СV).

Определение CV особенно наглядно для случаев, когда средние величины случайного события существенно различаются.

В отношении оценки риска финансовых активов необходимо сделать три замечания:

Во-первых, при сравнительном анализе финансовых активов в качестве базисного показателя следует брать рентабельность, т.к. значение дохода в абсолютной форме может существенно варьировать.

Во-вторых, основными показателями риска на рынке капиталов являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Поскольку в качестве базиса для расчета этих показателей берется доходность (рентабельность), критерий относительный и сопоставимый для различных видов активов, нет острой нужды в расчете коэффициента вариации.

В-третьих, иногда в литературе вышеприведенные формулы даются без учёта взвешивания на вероятности. В таком виде они пригодны лишь для ретроспективного анализа.

Кроме того, описанные выше критерии предполагалось применять к нормальному распределению вероятностей. Оно, действительно, широко используется при анализе рисков финансовых операций, т.к. его важнейшие свойства (симметричность распределения относительно средней, ничтожная вероятность больших отклонений случайной величины от центра ее распределения, правило трех сигм) позволяет существенно упростить анализ. Однако не все финансовые операции предполагают нормальное распределение доходов (вопросы выбора распределения рассмотрены более подробно чуть ниже) Например, распределения вероятностей получения доходов от операций с производными финансовыми инструментами (опционами и фьючерсами) часто характеризуется асимметрией (скосом) относительно математического ожидания случайной величины (рис. 1).

Так, например, опцион на покупку ценной бумаги позволяет его владельцу получить прибыль в случае положительной доходности и в то же время избежать убытков в случае отрицательной, т.е. по сути, опцион отсекает распределение доходности в точке, где начинаются потери.

Рис.1 График плотности распределения вероятности с правой (положительной) асимметрией

В подобных случаях использование в процессе анализа только двух параметров (средней и стандартного отклонения) может приводить к неверным выводам. Стандартное отклонение неадекватно характеризует риск при смещенных распределениях, т.к. игнорируется, что большая часть изменчивости приходится на «хорошую» (правую) или «плохую» (левую) сторону ожидаемой доходности. Поэтому при анализе асимметричных распределений используют дополнительный параметр - коэффициент асимметрии (скоса). Он представляет собой нормированную величину третьего центрального момента и определяется по формуле:

риск инвестиционный актив портфель

Экономический смысл коэффициента асимметрии в данном контексте заключается в следующем. Если коэффициент имеет положительное значение (положительный скос), то самые высокие доходы (правый «хвост») считаются более вероятными, чем низкие и наоборот.

Коэффициент асимметрии может также использоваться для приблизительной проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины. Его значение в этом случае должно быть равно 0.

В ряде случаев смещенное вправо распределение можно свети к нормальному прибавлением 1 к ожидаемой величине доходности и последующим вычислением натурального логарифма полученного значения. Такое распределение называют логнормальным. Оно используется в финансовом анализе наряду с нормальным.

Некоторые симметричные распределения могут характеризоваться четвертым нормированным центральным моментом - эксцессом (е):

Если значение эксцесса больше 0, кривая распределения более остроконечна, чем нормальная кривая и наоборот.

Экономический смысл эксцесса заключается в следующем. Если две операции имеют симметричные распределения доходов и одинаковые средние, менее рискованной считается инвестиция с большим эксцессом.

Для нормального распределения эксцесс равен 0.

Выбор распределения случайной величины

Нормальное распределение используют, когда невозможно точно определить вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает какое-то конкретное значение. Нормальное распределение предполагает, что варианты прогнозируемого параметра тяготеют к среднему значению. Значения параметра существенно отличающиеся от среднего, т.е. находящиеся в хвостах распределения, имеют малую вероятность осуществления. Такова природа нормального распределения.

Треугольное распределение представляет собой суррогат нормального и предполагает линейно нарастающее по мере приближения к моде распределение.

Трапециевидное распределение предполагает наличие интервала значений с наибольшей вероятностью реализации (НВР) в пределах РВД.

Равномерное распределение выбирается, когда предполагается, что все варианты прогнозируемого показателя имеют одинаковую вероятность реализации.

Однако, когда случайная величина дискретна, а не непрерывна, применяют биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Иллюстрацией биномиального распределения служит пример с подбрасыванием игральной кости. При этом экспериментатора интересуют вероятности успеха (выпадения грани с определенным числом, например, с шестеркой) и неудачи (выпадение грани с любым другим числом).

Распределение Пуассона применяется, когда выполняются следующие условия:

.Каждый малый интервал времени может рассматриваться как опыт, результатом которого является одно из двух: либо успех, либо его отсутствие - неудача. Интервалы столь малы, что может быть только один успех в одном интервале, вероятность которого мала и неизменна.

.Число успехов в одном большом интервале не зависит от их числа в другом, т.е. успехи беспорядочно разбросаны по временным промежуткам.

.Среднее число успехов постоянно на протяжении всего времени.

Обычно распределение Пуассона иллюстрируют примером регистрации количества дорожных происшествий за неделю на определенном участке дороги.

При определенных условиях распределение Пуассона может быть использовано как аппроксимация биномиального распределения, что особенно удобно когда применение биномиального распределения требует сложных, трудоемких расчетов, отнимающих много времени. Аппроксимация гарантирует приемлемые результаты при выполнении следующих условий:

.Количество опытов велико, предпочтительно более 30-ти (n=3).

.Вероятность успеха в каждом опыте мала, предпочтительно менее 0.1.(p=0.1) Если вероятность успеха велика, то для замены может быть использовано нормальное распределение.

.Предполагаемое количество успехов меньше 5 (np=5).

В случаях, когда биномиальное распределение весьма трудоемко, его также можно аппроксимировать нормальным распределением с поправкой на непрерывность, т.е. делая допущение, что, например, значение дискретной случайной величины 2 является значением непрерывной случайной величины на промежутке от 1.5 до 2.5.

Оптимальная аппроксимация достигается при выполнении следующих условий: n=30; np=5, а вероятность успеха p=0.1 (оптимальное значение р=0.5)

Цена риска.

Следует отметить, что в литературе и практике помимо статистических критериев используются и другие показатели измерения риска: величина упущенной выгоды, недополученный доход и другие, рассчитываемые, как правило, в денежных единицах. Безусловно, такие показатели имеют право на существование, более того, они зачастую проще и понятнее чем статистические критерии, однако для адекватного описания риска они должны учитывать и его вероятностную характеристику.

На основе проведённого анализа автор предлагает обобщённый комплексный критерий - «цена риска» (C risk), который характеризует величину условных потерь возможных при реализации инвестиционного решения:

risk = {P; L},

где: L - определяется как сумма возможных прямых потерь от инвестиционного решения.

Для определения цены риска рекомендуется использовать только такие показатели, которые учитывают обе координаты «вектора», как возможность наступления неблагоприятного события, так и величину ущерба от него. В качестве таких показателей автор предлагает использовать прежде всего дисперсию, среднеквадратическое отклонение (СКО -) и коэффициент вариации (CV). Для возможности экономического толкования и сравнительного анализа этих показателей рекомендуется переводить их в денежный формат.

Необходимость учитывать именно оба показателя можно проиллюстрировать следующим примером. Допустим вероятность того, что концерт, на который уже куплен билет состоится с вероятностью 0.5, очевидно, что большинство купивших билет придут на концерт.

Теперь допустим, что вероятность благоприятного исхода полёта авиалайнера составляет также 0.5, очевидно, что большинство пассажиров откажутся от полёта.

Данный отвлеченный пример показывает, что при равных вероятностях неблагоприятного исхода принятые решения будут полярно противоположными, что доказывает необходимость расчёта «цены риска».

Особое внимание акцентируется на том факте, что отношение инвесторов к риску субъективно, поэтому в описании риска присутствует третий фактор - толерантность инвестора к риску (?). Необходимость учета этого фактора иллюстрирует следующий пример.

Предположим у нас есть два проекта со следующими параметрами: Проект «А» - доходность - 8% Стандартное отклонение - 10%. Проект «В» - доходность - 12% Стандартное отклонение - 20%. Начальная стоимость обоих проектов одинакова - 100.000$.

Из чего явно следует, что проект «А» менее рискован и его следует предпочесть проекту «В». Однако это не совсем так, поскольку окончательное решение об инвестировании будет зависеть от степени толерантности инвестора к риску, что наглядно можно представить кривой безразличия.

Из рисунка 2 видно, что проекты «А» и «В» являются равноценными для инвестора, поскольку кривая безразличия объединяет все проекты, являющиеся равноценными для инвестора. При этом характер кривой для каждого инвестора будет индивидуален.

Рис.2. Кривая безразличия как критерий толерантности инвесторов к риску

Графически оценить индивидуальное отношение инвестора к риску можно по степени крутизны кривой безразличия, чем она круче, тем выше неприятие риска, и наоборот чем положе тем безразличней отношение к риску. Для того, чтобы количественно оценить толерантность к риску автор предлагает рассчитывать тангенс угла наклона касательной.

Отношение инвесторов к риску можно описать не только кривыми индифферентности, но и в терминах теории полезности. Отношение инвестора к риску в данном случае отражает функция полезности. Ось абсцисс представляет собой изменение ожидаемого дохода, а ось ординат - изменение полезности. Поскольку в общем случае нулевому доходу соответствует нулевая полезность, график проходит через начало координат.

Поскольку принимаемое инвестиционное решение может привести как к положительным результатам (доходам) так и к отрицательным (убытки), то полезность его также может быть как положительной, так и отрицательной.

Важность применения функции полезности в качестве ориентира для инвестиционных решений проиллюстрируем следующим примером.

Рис 3. Кривая полезности как критерий принятия инвестиционных решений

Допустим, инвестор стоит перед выбором инвестировать ему или нет свои средства в проект, который позволяет ему с одинаковой вероятностью выиграть и проиграть 10.000 долларов (исходы А и В соответственно). Оценивая данную ситуацию с позиций теории вероятности, можно утверждать, что инвестор с равной степенью вероятности может как инвестировать свои средства в проект, так и отказаться от него. Однако, проанализировав кривую функции полезности, можно увидеть, что это не совсем так (рис. 3)

Из рисунка 3 видно, что отрицательная полезность исхода «В» явно выше, чем положительная полезность исхода «А».

Также очевидно, что если инвестор будет вынужден принять участие в «игре», он ожидает потерять полезность равную UE=(UB - UA):2.

Таким образом, инвестор должен быть готов заплатить величину ОС за то, чтобы не участвовать в этой «игре».

Заметим также, что кривая полезности может быть не только выпуклой, но и вогнутой, что отражает необходимость инвестора выплачивать страховку на данном, вогнутом участке.

Стоит также отметить, что откладываемая по оси ординат полезность не имеет ничего общего с неоклассической концепцией полезности экономической теории. Кроме того, на данном графике ось ординат имеет не совсем обычную шкалу, значения полезности на ней откладываются на ней как градусы на шкале Фаренгейта.

Практическое применение теории полезности выявило следующие преимущества кривой полезности:

.Кривые полезности, являясь выражением индивидуальных предпочтений инвестора, будучи построены один раз, позволяют принимать инвестиционные решения в дальнейшем с учётом его предпочтений, но без дополнительных консультаций с ним.

.Функция полезности в общем случае могут использоваться для делегирования права принятия решений. При этом логичнее всего использовать функцию полезности высшего руководства, поскольку для обеспечения своего положения при принятии решения оно старается учитывать конфликтующие потребности всех заинтересованных сторон, то есть всей компании. Однако следует иметь в ввиду, что функция полезности может меняться с течением времени, отражая финансовые условия данного момента времени. Таким образом, теория полезности позволяет формализовать подход к риску и тем самым научно обосновать решения, принятые в условиях неопределённости.

Построение кривой полезности

Построение индивидуальной функции полезности осуществляется следующим образом. Субъекту исследования предлагают сделать серию выборов между различными гипотетическими играми, по результатам которых на график наносят соответствующие точки. Так, например, если индивидууму безразлично получить 10000 долларов с полной определенностью или участвовать в игре с выигрышем 0 или 25000 долларов с одинаковой вероятностью, то можно утверждать что:

(10.000) = 0.5 U(0) + 0.5 U(25.000) = 0.5(0) + 0.5(1) = 0.5

где U - полезность суммы, указанной в скобках; 0.5 - вероятность исхода игры (по условиям игры оба исхода равнозначны).

Полезности других сумм могут быть найдены из других игр по следующей формуле:

Uc (C) = PaUa(A) + PbUb(B) + PnUn(N),

где Nn - полезность суммы N; Un - вероятность исхода с получением денежной суммы N;

Природа риска и подходы к его оценке

Обобщая проведенное выше исследование природы риска, можно сформулировать её основные моменты:

неопределённость - объективное условие существования риска;

необходимость принятия решения - субъективная причина существования риска;

будущее - источник риска;

величина потерь -основная угроза от риска;

возможность потерь - степень угрозы от риска;

взаимосвязь «риск-доходность» - стимулирующий фактор принятия решений в условиях неопределённости;

толерантность к риску - субъективная составляющая риска.

Принимая решение об эффективности ИП в условиях неопределённости, инвестор решает как минимум двухкритериальную задачу, иначе говоря, ему необходимо найти оптимальное сочетание «риск-доходность» ИП. Очевидно, что найти идеальный вариант «максимальная доходность - минимальный риск» удаётся лишь в очень редких случаях. Поэтому автор предлагает четыре похода для решения этой оптимизационной задачи.

.Подход «максимум выигрыша» заключается в том, что из всех вариантов вложений капитала выбирается вариант, дающий наибольший результат (NPV, прибыль) при приемлемом для инвестора риске (R пр.доп). Таким образом, критерий принятия решения в формализованном виде можно записать как

.Подход «оптимальная вероятность» состоит в том, что из возможных решений выбирается то, при котором вероятность результата является приемлемой для инвестора

где : M(NPV) - матожидание NPV.

.На практике подход «оптимальная вероятность» рекомендуется сочетать с подходом «оптимальная колеблемость». Колеблемость показателей выражается их дисперсией, средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации. Сущность стратегии оптимальной колеблемости результата заключается в том, что из возможных решений выбирается то, при котором вероятности выигрыша и проигрыша для одного и того же рискового вложения капитала имеют небольшой разрыв, т.е. наименьшую величину дисперсии, среднего квадратического отклонения, вариации.

где: CV(NPV) - коэффициент вариации NPV.

.Подход «минимум риска». Из всех возможных вариантов выбирается тот, который позволяет получить ожидаемый выигрыш (NPV пр.доп) при минимальном риске.

Система рисков инвестиционного проекта

Спектр рисков, связанных с осуществлением ИП чрезвычайно широк. В литературе встречаются десятки классификаций риска [4,5,6,7,9,10,12,13, 14,15,16]. В большинстве случаев автор согласен с предлагаемыми классификациями, однако в результате исследования значительного объёма литературы, автор пришел к выводу, что критериев классификации можно назвать сотни, по сути, значение любого фактора ИП в будущем есть величина неопределенная, т.е. является потенциальным источником риска. В связи с этим построение универсальной всеобщей классификации рисков ИП не представляется возможным и не является необходимым. По мнению автора, гораздо важнее определить индивидуальный комплекс рисков, потенциально опасных для конкретного инвестора и оценить их, поэтому в данной диссертации основное внимание уделяется именно инструментарию количественной оценки рисков инвестиционного проекта.

Исследуем подробнее систему рисков инвестиционного проекта. Говоря о риске ИП, следует отметить, что ему присущи риски чрезвычайно широкого круга сфер человеческой деятельности: экономические риски; политические риски; технические риски; юридические риски; природные риски; социальные риски; производственные риски и т.д.

Даже если рассматривать риски, связанные с реализацией только экономической составляющей проекта, перечень их будет весьма обширным: сегмент финансовых рисков, риски, связанные с колебаниями рыночной конъюнктуры, риски колебания деловых циклов.

Финансовые риски - риски, обусловленные вероятностью потерь вследствие осуществления финансовой деятельности в условиях неопределенности. К финансовым рискам относят:

риски колебаний покупательной способности денег (инфляционный, дефляционный, валютный);

инфляционный риск ИП обусловлен, прежде всего, непредсказуемостью инфляции, поскольку ошибочный темп инфляции, заложенный в ставку дисконтирования может существенно исказить значение показателя эффективности ИП, не говоря уже о том, что условия функционирования субъектов народного хозяйства существенно различаются при темпе инфляции 1 % в месяц (12.68 % в год) и 5% в месяц (79.58% в год).

Говоря об инфляционном риске, следует отметить, что часто встречающиеся в литературе трактовки риска как того, что доходы будут обесцениваться быстрее, чем индексироваться, мягко говоря, некорректно, а по отношению к ИП неприемлема, т.к. основная опасность инфляции заключается не столько в ее величине, сколько в ее непредсказуемости.

При условии предсказуемости и определенности даже самую большую инфляцию можно легко учесть в ИП либо в ставке дисконтирования, либо индексируя величину денежных потоков, сведя тем самым элемент неопределенности, а значит и риск, к нулю.

валютный риск - риск потерь финансовых ресурсов вследствие непредсказуемых колебаний валютных курсов. Валютный риск может сыграть злую шутку с разработчиками тех проектов, которые, стремясь уйти от риска непредсказуемости инфляции рассчитывают денежные потоки в «твердой» валюте, как правило, в американских долларах, т.к. даже самой твердой валюте присуща внутренняя инфляция, а динамика ее покупательной способности в отдельно взятой стране может быть весьма нестабильной.

Нельзя так же не отметить взаимосвязи различных рисков. Так, например, валютный риск может трансформироваться в инфляционный либо дефляционный риск. В свою очередь все эти три типа риска взаимосвязаны с ценовым риском, который относиться к рискам колебаний рыночной конъюнктуры. Другой пример: риск колебания деловых циклов связан с инвестиционными рисками, риском изменения процентной ставки, например.

Любой риск вообще, и риск ИП в частности, весьма многогранен в своих проявлениях и зачастую представляет собой сложную конструкцию из элементов других рисков. Например, риск колебания рыночной конъюнктуры представляет собой целый набор рисков: ценовые риски (как на затраты, так и на продукцию); риски изменения структуры и объема спроса.

Колебания рыночной конъюнктуры так же могут быть вызваны колебаниями деловых циклов и т.д.

Кроме того, проявления риска индивидуальны для каждого участника ситуации связанной с неопределенностью, как говорилось выше.

О многогранности риска и его сложных взаимосвязях говорит тот факт, что даже решение минимизации риска содержит риск.

На основе данного анализа автор предлагает определение риска инвестиционного проекта, которое отражает сущность одноимённой концепции:

Риск ИП (Rип ) - это система факторов, проявляющаяся в виде комплекса рисков (угроз), индивидуальных для каждого участника ИП, как в количественном так и в качественном отношении. Систему рисков ИП можно представить в следующем виде (21):

где: n- возможное количество рисков ИП; m- количество участников проекта.

Акцент сделан на том факте, что риск ИП представляет собой сложную систему с многочисленными взаимосвязями, проявляющуюся для каждого из участников ИП в виде индивидуальной комбинации - комплекса, то есть риск i-го участника проекта (Ri) будет описан по формуле (22):

Столбец матрицы при этом показывает, что значение любого риска для каждого участника проекта проявляется также индивидуально

Для анализа и управления системой риска ИП автор предлагает следующий алгоритм риск-менеджмента. Его содержание и задачи представлены на рис.4.

Рис. 4. Алгоритм управления риском ИП

. Анализ рисков, как правило, начинается с качественного анализа, целью которого является идентификация рисков. Данная цель распадается на следующие задачи:

выявление всего спектра рисков, присущих инвестиционному проекту;

описание рисков;

классификация и группировка рисков;

анализ исходных допущений.

К сожалению, подавляющее большинство отечественных разработчиков ИП останавливаются на этой начальной стадии, которая, по сути, является лишь подготовительной фазой полноценного анализа.

. Второй и наиболее сложной фазой риск-анализа является количественный анализ рисков, целью которого является измерение риска, что обуславливает решение следующих задач:

формализация неопределённости;

расчёт рисков;

оценка рисков;

учёт рисков;

. На третьем этапе риск-анализ плавно трансформируется из априорных, теоретических суждений в практическую деятельность по управлению риском. Это происходит в момент окончания проектирования стратегии риск-менеджмента и начало её реализации. Этот же этап завершает и инжиниринг инвестиционных проектов.

. Четвертый этап - контроль, по сути, является началом реинжиниринга ИП, он завершает процесс риск-менеджмента и обеспечивает ему цикличность.

риск инвестиционный актив портфель

2. Теория Марковица

Во второй половине ХХ в. в экономике развитых стран произошли радикальные изменения. Они были связаны с бурным наращиванием инвестиций, и портфельных в частности. На месте отдельных изолированных региональных финансовых рынков возник единый международный финансовый рынок. К традиционному набору финансовых инструментов (иностранная валюта, акции и облигации предприятий, государственные облигации) добавился постоянно растущий список новых производных инструментов - таких, как депозитарные расписки, форвардные контракты, фьючерсы на товары, опционы, варранты, фондовые индексы, свопы на процентные ставки, и т. п. Эти инструменты позволяют реализовать более сложные и более тонкие стратегии управления доходностью и риском финансовых сделок, которые отвечают индивидуальным потребностям инвесторов, а также требованиям управляющих активами, спекулянтов и игроков на финансовом рынке. Традиционный подход в инвестировании, преобладавший до появления современной теории портфельных инвестиций, имел два существенных недостатка. Во-первых, в нем основное внимание уделялось анализу поведения отдельных активов (акций, облигаций). Во-вторых, основной характеристикой активов в нем была исключительно доходность, тогда как другой фактор - риск - не получал четкой оценки при инвестиционных решениях. Нынешний уровень разработки теории портфельных инвестиций преодолевает эти недостатки. Формированием такого нового подхода фактически завершился длительный период (еще с конца 20-х годов ХХ в.), названный в финансовой теории "первоначальным этапом развития теории портфельных инвестиций".

Современная теория портфельных инвестиций берет свое начало из небольшой статьи Г. Марковица "Выбор портфеля". В ней он предложил математическую модель формирования оптимального портфеля ценных бумаг, а также привел методы построения таких портфелей при определенных условиях. Рассмотрев общую практику диверсификации портфеля, ученый показал, как инвестор может снизить его риск путем выбора некоррелируемых акций.

Гарри Марковиц родился в 1927 г. в Чикаго. По словам Марковица, изучение экономики вовсе не было мечтой его детства, долгое время он увлекался философией, но, тем не менее, после окончания программы бакалавра Чикагского университета (1947) он решает посвятить себя экономической теории. Особый интерес у Марковица вызывали исследования в области экономики неопределенности, в том числе и работы преподававших тогда в Чикаго Дж. Маршака, М. Фридмена и Л. Сэвиджа. Это увлечение оказало влияние на всю последующую научную деятельность Марковица. Его первая крупная работа - магистерская диссертация (1950) - посвящена изучению возможности применения математических методов к анализу фондовых рынков.

В отличие от других Нобелевских лауреатов по экономике, посвятивших большую часть своей жизни преподавательской и научной работе в университетах, Г. Марковиц почти четверть века работал в различных фирмах и корпорациях.

Покинув Чикагский университет, он становится исследователем в RAND Corp. (1952-60, 61-63), где изучает технику оптимизации у работавшего вместе с ним Дж. Данцига. Позже Марковиц занимает пост технического директора Consolidated Analysis Centres Ltd. (1963-68), возглавляет исследовательскую группу в IBM (1974-83). Вице-президент Института наук управления (1960-62). Профессор Калифорнийского университета (Лос-Анжелес) (1958-69) и с 1982 г. профессор финансов Городского университета Нью-Йорка.

Гарри Марковиц - один из родоначальников теории финансов, одной из наиболее быстро развивающихся экономических наук. Эта наука закладывает основы прикладной дисциплины - финансового управления фирмой, с помощью инструментария и методов исследования которой любая фирма может проанализировать свое финансовое положение, оценить стоимость своего капитала и его структуру, выбрать наилучший проект для вложения средств и источник финансирования, решить, как и в каком количестве выпускать акции и облигации, управлять своим капиталом и многое другое.

Что бы мы ни говорили об одном из "столпов" современных финансов, а именно - о теории выбора портфеля, мы неизбежно будем упоминать имя ее создателя - Г. Марковица и возвращаться к его статье "Выбор портфеля" (1952), где она впервые была описана. В ней рассмотрена общая практика диверсификации портфеля и показано, как инвеститор может снизить риск портфеля путем выбора некоррелированных акций. Но Марковиц не остановился на этом, он продолжил работать над основными принципами конструирования портфеля.

Эти принципы являются основой для большей части из того, что мы можем сказать о взаимосвязи между риском и доходностью и о формировании оптимальной структуры капитала. Работы Марковица в теории выбора портфеля создали финансовый микроэкономический анализ и открыли путь множеству новых исследований в финансах и экономическом анализе.

Основные работы Portfolio Selection. The Journal of Finance, March, 1952. Studies in Process Analysis:Economy Wide Production Capabilities. (Совместно с A. Manne). New York: J. Wiley and Sons, 1963. Mean-Variance Analysis in Portfolio Choice and Capital Markets. Basil Blackwell, paperback edition,1987.

.1 Сущность теории портфеля Гарри Марковица и модель оценки доходности финансовых активов

Основной заслугой Г. Марковица является предложенная им в этой статье теоретико-вероятностная формализация понятий "доходность" и "риск". В его модели для исчисления соотношения между риском инвестиций и их ожидаемой доходностью используется распределение вероятностей. Ожидаемая доходность портфеля ценных бумаг определяется как среднее значение распределения вероятностей, а риск - как стандартное отклонение возможных значений доходности от ожидаемого.

Результаты исследований, полученные Г. Марковицем, сразу позволили перевести задачу выбора оптимальной инвестиционной стратегии на точный математический язык. Именно он первым привлек внимание к общепринятой практике диверсификации портфеля и точно показал, как инвесторы могут уменьшить стандартное отклонение его доходности, выбирая акции, цены на которые изменяются по-разному. С математической точки зрения, полученная оптимизационная стратегия относится к классу задач квадратичной оптимизации при линейных ограничениях. До сих пор, вместе с задачами линейного программирования, это один из наиболее изученных классов оптимизационных задач, для которых разработано большое количество достаточно эффективных алгоритмов.

Г. Марковиц на этом не остановился - он продолжил разработку основных принципов формирования портфеля. Эти принципы послужили основой для многих работ, описывающих связь между риском и доходностью. Однако его работы не привлекли особого внимания экономистов - теоретиков и практиков. Для 50-х годов ХХ в. само по себе применение теории вероятности к финансовой теории было достаточно необычным делом. К тому же неразвитость вычислительной техники, а также сложность предложенных Г. Марковицем алгоритмов, процедур и формул не позволили осуществить фактическую реализацию его идей. Не случайно заслуги ученого были оценены значительно позже, чем опубликованы его работы, а Нобелевская премия ему присуждена только в 1990 г.

Влияние портфельной теории Г. Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х - в начале 60-х годов ХХ в. работ Дж. Тобина по аналогичным проблемам. Здесь следует отметить некоторые различия между подходами Г. Марковица и Дж. Тобина. Первый из этих подходов лежит в русле микроэкономического анализа, поскольку акцентирует внимание на поведении отдельного инвестора, который формирует оптимальный, с его точки зрения, портфель на базе собственной оценки доходности и риска выбранных активов. К тому же первоначально эта модель касалась в основном портфеля акций, то есть рисковых активов. Дж. Тобин тоже предложил включить в анализ безрисковые активы (например, государственные облигации). По сути, его подход является макроэкономическим, поскольку в данном случае главным объектом изучения является распределение совокупного капитала в экономике на две формы: наличную (денежную) и неналичную (в виде ценных бумаг). В работах Г. Марковица акцент делался не на экономическом анализе исходных постулатов теории, а на математическом анализе их последствий и разработке алгоритмов решения оптимизационных задач. В подходе Дж. Тобина основной темой становится анализ факторов, вынуждающих инвесторов формировать портфель активов, а не держать капитал в какой-то одной (например, наличной) форме. Кроме того, Дж. Тобин проанализировал адекватность количественных характеристик активов и портфеля, которые являются исходными данными в теории Г. Марковица. Возможно, поэтому Дж. Тобин получил Нобелевскую премию на 9 лет раньше, чем Г. Марковиц.

С 1964 г. появляются новые работы, открывшие следующий этап в развитии инвестиционной теории, связанный с так называемой "моделью оценки капитальных активов" (или САРМ - от английского capital asset pricing model). Учеником Г. Марковица У. Шарпом была разработана модель рынка капиталов. Формулируя ее, он понимал, что абсолютно надежных акций или облигаций не бывает. Все они в той или иной степени связаны с риском для корпорации: она может получить большой доход или остаться без ничего. Развивая подход Г. Марковица, У. Шарп разделил теорию портфеля ценных бумаг на две части: первая - систематический (или рыночный) риск для активов акций, вторая - несистематический. Для обычной акции систематический риск всегда связан с изменениями в стоимости ценных бумаг, находящихся в обращении на рынке. Иначе говоря, доходность одной акции постоянно колеблется вокруг средней доходности всего актива ценных бумаг. Этого никак не избежать, поскольку действует слепой механизм рынка.

Несистематический риск связан с влиянием всех остальных факторов, специфических для корпорации, выпускающей в обращение ценные бумаги. Определив специальные коэффициенты реакции цен акций или облигаций на изменения рыночной конъюнктуры (знаменитые "альфу" и "бету" 3), У. Шарп разработал формулу расчета сравнительной меры риска ценных бумаг на основе "линии эффективности рынка заемного капитала".

Важным моментом систематического риска является то, что увеличение количества акций или облигаций не способно ликвидировать его. Однако растущая покупка ценных бумаг может повлечь за собой устранение несистематического риска. Отсюда получается, что вкладчик не может избежать риска, связанного с колебаниями конъюнктуры фондового рынка. Задача при формировании рыночного портфеля заключается в уменьшении риска путем приобретения различных ценных бумаг. И делается это так, чтобы факторы, специфические для отдельных корпораций, уравновешивали друг друга. Благодаря этому доходность портфеля приближается к средней для всего рынка.

На основе этой модели У. Шарп предложил упрощенный метод выбора оптимального портфеля, который сводил задачу квадратичной оптимизации к линейной. В более простых случаях (то есть для небольших размерностей) эта задача могла быть решена практически "вручную". Такое упрощение сделало методы портфельной оптимизации применимыми на практике. В 70-х годах ХХ в. развитие программирования, а также совершенствование статистической техники оценки коэффициентов "альфа" и "бета" отдельных ценных бумаг и индекса рынка в целом привели к появлению первых пакетов программ для решения задач управления портфелем ценных бумаг.

Разница между доходностью рыночного портфеля и процентной ставкой называется премией за рыночный риск.

Выводы У. Шарпа стали известны как модели оценки долгосрочных активов, базирующиеся на предположении, что на конкурентном рынке ожидаемая премия за риск изменяется прямо пропорционально коэффициенту "бета".

Это означает, что если схематически представить инвестиции на рисунке, то все инвестиции должны располагаться вдоль наклонной линии, называемой линией рынка ценных бумаг. Ожидаемая премия за риск инвестиций, бета которых равна 0,5, следовательно, составляет половину ожидаемой премии за рыночный риск; ожидаемая премия за риск инвестиций с бетой, равной 2,0, в два раза превышает ожидаемую премию за рыночный риск. Мы можем представить эту взаимосвязь в следующем виде:

Ожидаемая премия за риск акций = бета х ожидаемая премия за рыночный риск.

rf= (rm-rf).

Инвестор всегда может получить ожидаемую премию за риск (rт - r), комбинируя рыночный портфель и безрисковые займы. Так, на хорошо функционирующем рынке никто не держит акции, предлагающие премию за ожидаемый риск, меньше, чем (rт -r).

А как насчет других возможностей? Есть ли другие акции, которые обеспечивают более высокую ожидаемую премию за риск? Другими словами, существуют ли какие-либо акции, лежащие выше линии рынка ценных бумаг ? Если мы возьмем все акции в совокупности, мы получим рыночный портфель. Следовательно, мы знаем, что акции в среднем располагаются на линии. Так как ни одна не лежит ниже линии, то ни одна не может лежать и выше линии. Таким образом, каждая и любая акция должна лежать на линии рынка ценных бумаг и обеспечивать премию за ожидаемый риск, равную:rf = p(rm- rf).

Рассмотрим четыре основных принципа выбора портфелей.

. Инвесторы предпочитают высокую ожидаемую доходность инвестиций и низкое стандартное отклонение. Портфели обыкновенных акций, которые обеспечивают наиболее высокую ожидаемую доходность при данном стандартном отклонении, называются эффективными портфелями.

. Если вы хотите знать предельное влияние акции на риск портфеля, вы должны учитывать не риск акции самой по себе, а ее вклад в риск портфеля. Этот вклад зависит от чувствительности акции к изменениям стоимости портфеля.

. Чувствительность акции к изменениям стоимости рыночного портфеля обозначается показателем бета. Следовательно, бета измеряет предельный вклад акции в риск рыночного портфеля.

. Если инвесторы могут брать займы или предоставлять кредиты по безрисковой ставке процента, тогда им следует всегда иметь комбинацию безрисковых инвестиций и портфель обыкновенных акций. Состав такого портфеля акций зависит только от того, как инвестор оценивает перспективы каждой акции, а не от его отношения к риску. Если инвесторы не располагают какой-либо дополнительной информацией, им следует держать такой же портфель акций, как и у других,- иначе говоря, им следует держать рыночный портфель ценных бумаг.

Далее, если каждый держит рыночный портфель и если бета показывает вклад каждой ценной бумаги в риск рыночного портфеля, тогда не удивительно, что премия за риск, требуемая инвесторами, пропорциональна коэффициенту бета.

Сегодня модель Г. Марковица используется в основном на первом этапе формирования портфеля активов при распределении инвестированного капитала по их различным типам (акциям, облигациям, недвижимости и т. п.). Однофакторная модель У. Шарпа используется на втором этапе, когда капитал, инвестированный в определенный сегмент рынка активов, распределяется между отдельными конкретными активами, составляющими выбранный сегмент (то есть по конкретным акциям, облигациям и т. п.).

В 60-х годах ХХ в. работы У. Шарпа, а затем также Дж. Линтнера и Я. Моссина были посвящены, по сути, одному вопросу: "Предположим, что все инвесторы, владея одной и той же информацией, одинаково оценивают доходность и риск отдельных акций. Предположим также, что все они формируют свои оптимальные, с точки зрения теории Г. Марковица, портфели акций, исходя из индивидуальной предрасположенности к риску. Как в этом случае сложатся цены на рынке акций?". Таким образом, на САРМ можно смотреть как на макроэкономическое обобщение теории Г. Марковица. Основным результатом САРМ стало установление соотношения между доходностью и риском активов для равновесного рынка. При этом важным оказывается тот факт, что при выборе оптимального портфеля инвестор должен учитывать не "весь" риск, связанный с активами (риск по Г. Марковицу), а только его часть, названную "систематическим", то есть "недиверсифицированным", риском. Эта часть риска активов тесно связана с общим риском рынка в целом и количественно представлена коэффициентом "бета", введенным У. Шарпом в его модели. Другая его часть (так называемый "несистематический", то есть "диверсифицированный", риск) ликвидируется выбором соответствующего (оптимального) портфеля. Связь между доходностью и риском носит линейный характер, и тем самым привычное практическое правило "большая доходность означает большой риск" получает точное аналитическое обоснование.

В 1977 г. эта теория была подвергнута жесткой критике в работах Р. Ролла. Он высказал мнение, что САРМ нужно отбросить, поскольку ее в принципе нельзя эмпирически проверить. Несмотря на это, САРМ остается, вероятно, наиболее значительной и наиболее влиятельной современной финансовой теорией. Более того: на ее основе была разработана формула ценообразования на опционы, названная в честь американских ученых Ф. Блэка и М. Скоулза - первых, кто ее вывел.

Прежде чем выяснить суть этой формулы, кратко остановимся на экономической роли производных ценных бумаг - в частности, одной их разновидности - опциона. В отличие от акций и облигаций, выпускаемых с целью привлечения денежных средств, опционы покупают и продают фирмы, чтобы защититься от неблагоприятных изменений на финансовом рынке. Именно потому, что стоимость опционов является производной от стоимости других ценных бумаг, их называют "вторичными". Существование рынка вторичных ценных бумаг позволяет его участникам, ожидающим в будущем каких-то поступлений (или, наоборот, затрат), гарантировать себе определенный уровень прибыли или застраховаться от потерь, превышающих определенный уровень. В последние 20 лет такой рынок стремительно развивается во всем мире.

Любое вложение в опцион является более рисковым, чем вложение непосредственно в акции: ведь риск, связанный с ним, изменяется каждый раз, когда изменяется цена акции. Соответственно, ожидаемая норма дохода на опцион, на которую рассчитывают инвесторы, ежечасно изменяется в зависимости от изменения рыночной цены акции. Именно поэтому определение стоимости опционов при помощи стандартных формул казалось практически невозможным, а разработка техники точной оценки этой стоимости на протяжении многих лет была не по силам экономистам. Все предыдущие (с 1900 г.) попытки определить стоимость вторичных ценных бумаг были неудачными из-за огромной проблемы - невозможности правильно исчислить премию за риск (доход на рисковые вложения).

М. Скоулз и Ф. Блэк совершили прорыв в этой области, разработав метод определения стоимости опциона, не требующий использования конкретной величины премии за риск. Однако это не означает, что премии за риск нет: просто она включена в цену акции. Именно эту идею оба ученых впервые обосновали в работе "Ценообразование на опционы и пассивы корпораций" (1973 г.). В этот период они тесно сотрудничали с Р. Мертоном, который также занимался проблемой оценки опционов. Он внес ряд предложений, которые улучшали упомянутую статью. В частности, соглашаясь с предположением относительно непрерывности осуществления операций с опционами и акциями, Р. Мертон предложил поддерживать между ними такое соотношение, которое является полностью безрисковым. Он придумал важное обобщение, согласно которому рыночное равновесие не является обязательным условием для оценки опциона, будучи для нее достаточным условием, если нет возможностей осуществить арбитражные операции. Опубликованная им статья "Теория рационального ценообразования опционов" (1973 г.) тоже включала формулу Блэка - Скоулза и некоторые обобщения (например, он предположил стохастичность процентной ставки).

Таким образом, эта формула оценивает "справедливую стоимость" опциона. Она полезна при принятии инвестиционных решений, но не гарантирует прибыли на опционных торгах. Концептуально формулу Блэка - Скоулза можно объяснить так: цена опциона "колл" = (ожидаемая цена акции) - (ожидаемая стоимость выполнения опциона). Она имеет такой математический вид:

C = SN(d) - Le -rt N(d -?t)

где С - теоретическая оценка опциона "колл" (которую также называют "премией"), S - текущая цена акции, N - количество акций, L - страйк опциона, t - время до экспирации (конца действия) опциона (в годах), q - среднее квадратичное отклонение курса акции (корень из суммы квадратов отклонений), r - безрисковая процентная ставка, е - основа натурального логарифма (2,71828), где d - дивидендная доходность акции, ln - натуральный логарифм.

Эта формула основывалась на возможности осуществления безрисковой сделки с одновременным использованием акции и выписанным на нее опционом. Стоимость (цена) такой сделки должна совпадать со стоимостью безрисковых активов на рынке, а поскольку цена акции со временем изменяется, то и стоимость выписанного опциона, обеспечивающего безрисковую сделку, тоже должна соответственно изменяться. Из этих предписаний можно получить вероятностную оценку стоимости опциона.

Г. Марковиц утверждает, что инвестор должен обосновать свое решение относительно выбора оптимального портфеля исключительно ожидаемой доходностью и стандартным отклонением доходности. Это означает, что инвестор должен оценить ожидаемую доходность и стандартное отклонение доходности каждого из портфелей, а затем из них выбрать "лучший", базируясь на соотношении этих двух параметров. При этом интуиция играет определяющую роль. Ожидаемая доходность может быть представлена как мера потенциального вознаграждения, связанная с конкретным портфелем, а стандартное отклонение доходности - как мера риска, связанная с этим портфелем. Таким образом, после того, как каждый портфель исследован с точки зрения потенциальных вознаграждения и риска, инвестор должен выбрать портфель, который является для него наиболее подходящим.

Основные выводы теории портфельных инвестиций, можно сформулировать так:

) эффективное множество содержат те портфели, которые одновременно обеспечивают и максимальную ожидаемую доходность при фиксированном уровне риска, и минимальный риск при заданном уровне ожидаемой доходности;

) предполагается, что инвестор выбирает оптимальный портфель из портфелей, составляющих эффективное множество;

) оптимальный портфель инвестора идентифицируется с точкой касания кривых равнодушия инвестора с эффективным множеством;

) как правило, диверсификация влечет за собой уменьшение риска, поскольку в общем случае стандартное отклонение доходности портфеля будет меньше, чем средневзвешенные стандартные отклонения доходности ценных бумаг, которые составляют этот портфель;

) соотношение доходности ценной бумаги и доходности на индекс рынка известно как рыночная модель;

) доходность на индекс рынка не отражает доходности ценной бумаги полностью; необъясненные элементы включаются в случайную погрешность рыночной модели;

) в соответствии с рыночной моделью, общий риск ценной бумаги состоит из рыночного риска и собственного риска;

) диверсификация приводит к усреднению рыночного риска;

) диверсификация может значительно снизить собственный риск.

Таким образом, можно сформулировать основные постулаты, на которых построена современная теория портфельных инвестиций:

. Рынок состоит из конечного числа активов, доходность которых для заданного периода считается случайной величиной.

. Инвестор способен, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходности и их попарных ковариаций - возможностей диверсификации риска.

. Инвестор может формировать разные допустимые (для данной модели) портфели, доходность которых также является случайной величиной.

. Сопоставление выбираемых портфелей основывается только на двух критериях - средней доходности и риске.

. Инвестор не предрасположен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Центральной проблемой в теории портфельных инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход является "многомерным" как по количеству привлеченных в анализ активов, так и по учтенным характеристикам.

.2 Метод оптимизации инвестиционного портфеля по Г. Марковицу

В 1952 г. американский экономист Г. Марковиц опубликовал статью Portfolio Selection, которая легла в основу теории инвестиционного портфеля. Г. Марковиц исходил из предположения о том, что инвестирование рассматривается как однопериодовый процесс, т.е. полученный в результате инвестирования доход не реинвестируется. Другим важным исходным положением в теории Г. Марковица является идея об эффективности рынка ценных бумаг. Под эффективным рынком понимается такой рынок, на котором вся имеющаяся информация трансформируется в изменение котировок ценных бумаг; это рынок, который практически мгновенно реагирует на появление новой информации.

В своих теоретических исследованиях Марковиц полагал, что значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (Гауссовскому) закону. В этой связи Марковиц считал, что инвестор формируя свой портфель, оценивает лишь два показателя E(r) - ожидаемую доходность и ? - стандартное отклонение как меру риска (только эти два показателя определяют плотность вероятности случайных чисел при нормальном распределении). Следовательно, инвестор должен оценить доходность и стандартное отклонение каждого портфеля и выбрать наилучший портфель, который больше всего удовлетворяет его желания - обеспечивает максимальную доходность r при допустимом значении риска ?. Какой при этом конкретный портфель предпочтет инвестор, зависит от его оценки соотношения доходность-риск.

Цель любого инвестора - составить такой портфель ценных бумаг, который бы давал максимально возможную отдачу с минимально допустимым риском. Раскроем, прежде всего, взаимосвязь эффекта корреляции и риска инвестиционного портфеля.

Сравнение значений стандартных отклонений различных портфелей позволяет сделать два важных вывода: во-первых, при одних и тех же значениях ?1,2 разным портфелям соответствуют разные величины ?, то есть при изменении соотношения ценных бумаг в портфеле меняется и риск портфеля. Во-вторых, что более важно, для любого портфеля с понижением коэффициента корреляции уменьшается и риск портфеля (если, конечно портфель не состоит из одной ценной бумаги).

Если брать различные количества ценных бумаг (3, 4, 5, …, n), имеющих любые попарные коэффициенты доходностей в пределах от (- 1) до (+ 1), и создавать из них портфели, варьируя вес каждой ценной бумаги, то какому-то конкретному портфелю А будет соответствовать вполне определенное соотношение ожидаемой доходности E(rA) и риска (стандартное отклонение ?А). Перенеся эти соотношения на коорди-натную плоскость с осями E(r) и ?, получим точку А с координатами [E(rA); ?A]

Заштрихованная площадь S представляет зону возможного существования портфелей, создаваемых из n выбранных ценных бумаг.

Для другого набора этих же ценных бумаг с определенным весом каждой бумаги получим другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их веса можно получить бесконечное количество портфелей2. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике, то получим совокупность точек - зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Строго говоря, для того, чтобы портфелей было бесконечно много необходимо допустить, что каждая ценная бумага может быть разделена, то есть инвестор способен приобрести часть облигации или акции. Без такого допущения количество портфелей будет хоть и велико, но ограниченно.

Ключ к решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

. Обеспечивает максимальную ожидаемую доходность при каждом уровне риска.

. Обеспечивает минимальный риск для каждой величины ожидаемой доходности.

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг со своими характеристиками [E(ri); ?i; ?ij; ?ij, где i,j = 1,2,…,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm) на рис. 1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения.

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности - это линия R. При перемещении по границе вверх-вправо величины E(r) и ? увеличиваются, а при движении вниз-влево - уменьшаются.

Итак, эффективный портфель - это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние оказывает степень корреляции доходностей входящих в портфель ценных бумаг - чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации - изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов - инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть риска портфеля, которая может быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска. Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей с ожидаемой нормой отдачи E(rn) необходимо найти такой, который обеспечивал бы минимальный уровень риска.

Существуют три способа решения подобного рода задач - графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку не позволяет графически представить границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий ?2i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации ?i,j, где i,j = 1, 2,…, n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), ?i и ?i,j в уравнения (1) - (3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi - веса каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

В теории Марковица инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска ? портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r) и ?, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные в виду того, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.

2.3 Оптимальный портфель

Заключительная часть содержит информацию о том, как выбрать оптимальный для инвестора портфель из эффективного множества.

При нахождения оптимального портфеля необходимо взять во внимание такое понятие как "полезность". Более высокие значения полезности присваиваются портфелям с высокой ожидаемой доходностью, а низкие значение полезности присваиваются портфелям с высоким риском. Формула полезности имеет следующий вид:

= E(r) - 0.005 × A × ?2,

где E(r) - ожидаемая доходность,

U - полезность, - число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Число 0.005 в формуле позволяет выражать ожидаемую доходность и стандартное отклонение в процентах, а не в долях единиц. Согласно формуле можно сказать, что полезность увеличивается по мере роста ожидаемой доходности и уменьшается по мере роста риска. Размер, на который снижается полезность зависит от значения A, т.е. степени отношения инвестора к риску. Чем выше значение A, тем более консервативен инвестор, т.е. менее склонен к риску. Нейтральные к риску инвесторы имеют значение A=0.

Если про анализировать формулу можно увидеть, что полезность "безрискового" актива (чаще всего это - T-Bills) является простой ставкой доходности этого "безрискового" актива, т.к. дисперсия равна 0, а следовательно и нет риска. Такой "безрисковый" актив будет для нас критерием или эталон (benchmark), с которым мы будем сравнивать наши рисковые портфели.

Пример

Предствим следующую ситуацию: наш портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, но при этом риск (стандартное отклонение) 40%. "Безрисковый" актив, скажем ГКО (на сколько они безрисковы - решать вам), имеют доходность в 7%. Следовательно, премия над риском 13% (доходность портфеля - безрисковая доходность) Довольно не плохая премия, однако риск на столько велик, что может заставить очень консервативного инвестора купить исключительно ГКО. Таким образом используя формулу 6.1, для довольно умеренного в отношении риска инвестора с показателем A = 2 полезность нашего портфеля будет 20 - (0.005*2*40^2) = 4%, что на целых 3% процента ниже безрисковой доходности. В таком случае инвестор выберет безрисковый портфель, т.е. купит ГКО. Если в расчете использовать более высокие A (т.е. значения, характеризующие высокую степень избегания риска), то получаются отрицательные значения полезности.

Т.к. при выборе между рисковым портфелем и безрисковым активом мы сравниваем полезность нашего портфеля со ставкой по безрисковому активу, то можно сказать, что полезность портфеля является гарантированной эквивалентной доходностью для инвестора. Таким образом, гарантированная эквивалентная доходность портфеля - это доходность, которую безрисковые вложения должны гарантированного обеспечивать, чтобы быть равнопривлекательным рисковым портфелям. Иными словами, портфель привлекателен только в том случае, если его гарантированная эквивалентная доходность (полезность) выше безрисковой.

.4 Кривые безразличия

Прежде, чем приступить к выбору оптимального портфеля, нам надо познакомиться еще с одним термином - "кривые безразличия" (indifference curves). Кривые безразличия - это кривые, которые строятся в плоскости "стандартное отклонение - доходность" и отражают отношение инвестора к риску и доходности.

Пример

Допустим все свои средства инвестор держит в безрисковом активе, который обеспечивает доходность в 5%. Уровень избегания риска А = 4. Т.к. риск такого портфеля равен нулю, следовательно полезность (U) = 5%. Теперь определим ожидаемую доходность, которую инвестор будет требовать при том же уровне полезности (U=5), но приобретая теперь в рисковый портфель, с риском (стандартным отклонением) 5%. Для этого воспользуемся формулой:

Требуемая

(r) = U + 0.005 × A × ?2,

где E(r) - требуемая ожидаемая доходность, - полезность,- число, характеризующее отношение инвестора к риску.

Изменяя уровень риска получаем требуемые значения ожидаемой доходности для поддержания уровня полезности равного 5% Теперь, для того, чтобы построить "кривую безразличия" необходимо по оси ординат отложить ожидаемую доходность, а по оси абсцисс стандартное отклонение, т.е. риск. Таким образом, кривая безразличия инвестора, требующего полезности в 5% и с уровнем избегания риска A=4, будет иметь следующий вид:

Данные кривые можно построить для любого инвестора. Например, для более консервативного инвестора, с уровнем избегания риска A=10, кривая будет иметь более крутой угол наклона. Для менее консервативного инвестора, кривая будет более пологой.

Важно отметить два свойства кривых безразличия:

все портфели, лежащие на одной заданной кривой являются равноценными для инвестора;

инвестор будет считать любой портфель, лежащий на кривой, которая находится выше и левее, более привлекательным, чем любой другой портфель, который находится на кривой расположенной ниже и правее.

Оптимальный портфель

Далее можно приступить к нахождению оптимального портфеля и определению его состава. Для это нам понадобится наша эффективная граница, которая была построена в части 5. Ранее я говорил, что предпочитаю не брать на себя большие риски, поэтому давайте построим кривые безразличия с уровнем избегания риска A = 4 и уровнями полезности (U) 4.4, 7.5, 10.4

Как видно из рисунка, кривая безразличия с полезностью равной 7.5% коснулась эффективной границы в точке соответствующей ожидаемой доходности портфеля 1.83% и риску 6.45% (согласно графику). Теперь определим состав нашего оптимального портфеля.

Зная ожидаемую доходность портфеля, который соприкоснулся с кривой безразличия, мы можем определить два так называемых "угловых" портфеля, с ожидаемыми доходностями, окружающими наш оптимальный портфель (ПортО), т.е. надо найти ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность выше оптимального (ПортВ) и ближайший портфель, имеющий ожидаемую доходность ниже (ПортН). Портфель В имеет ожидаемую доходность 1.85%, Портфель Н ожидаемую доходность 1.7%

Используя значения ожидаемых доходностей можно определить и состав оптимального портфеля. Для этого воспользуемся формулой:

ПортО= (ПортВ*Y)+(ПортН*(1-Y)),

где Y доля ПортВ, а 1 - Y - доля ПортН в составе оптимального портфеля.

.83 = (1.85*Y)+(1.7*(1-Y)). Решая это уравнение, получим Y = 0.87. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 87% из портфеля с ожидаемой доходностью выше оптимального (ПортфельВ) и на 13% из портфеля, с ожидаемой доходностью ниже оптимального (ПортфельН).

Для определения состава оптимального портфеля относительно долей бумаг произведем расчет, который и определит его состав:

Примечание. Суммарная доля активов в Портфеле Н меньше 1, ввиду округления до сотых.

Таким образом мы определили состав оптимального портфеля, который состоит из вложений на: 5% в акции РАО ЕЭС, 69% в акции Лукойла и 26% в акции Сургута.

Для проверки полученного результата можно ввести значение доходности 1.83% в Solver и вы получите риск 6.45% и состав оптимального портфеля.

Для более рисковых инвесторов кривые безразличия будут иметь, как я уже упоминал более пологий вид, которым будет соответствовать более высокий риск и как следствие более высокая ожидаемая доходность. А определение состава аналогично вышеописанному.

Существует возможность включения в портфель безрискового актива, скажем, государственных облигаций. В принципе технология нахождения множества портфелей, построения эффективной границы и выбора оптимально портфеля довольно схожи.

Практическая часть

Задача №1.

Представлены к рассмотрению следующие инвестиционные предложения - проекты А, Б, В и Г (табл.1). Составить оптимальную инвестиционную программу, при требуемой доходности170,5%, используя метод временной оптимизации.

Денежный поток проектов

Из-за ограниченности инвестиционного бюджета (81500) одновременное финансирование проектов невозможно, однако, предлагается, что можно последовательно реализовать каждый из этих проектов с отсрочкой на один год.

Метод временной оптимизации реализуется по следующим направлениям:

. Рассчитывается NPV (чистый дисконтированный доход) по каждому проекту при условии, что финансирование осуществляется: 1-й вариант - в текущий момент времени; 2-й вариант - через один год; 3-й вариант - через два года; 4-й вариант - через три года.

Ставка дисконтирования - 25,4%.

Проект А

в: NPV = -81456 + 72444/1,254 + 46777/1,254² +23653/1,254³ = 18055,749 тыс.руб.

в: NPV = -81456/1,254 + 72444/1,254² + 46777/1,254³ + 23653/1,2544 = 14398,5239 тыс.руб.

в: NPV = -81456/1,2542 + 72444/1,2543 + 46777/1,2544 + 23653/1,2545 = 11482,0765 тыс.руб.

в: NPV = -81456/1,25413 + 72444/1,2544 + 46777/1,2545 + 23653/1,2546 = 9156,3608 тыс.руб.

Проект Б

в: NPV = -65333 + 55542/1,254 + 39342/1,254² + 28331/1,254³ = 18344,4774 тыс.руб.

в: NPV = -65333/1,254 + 55542/1,254² + 39342/1,254³ + 28331/1,2544 = 14628,7698 тыс.руб.

в: NPV = -65333/1,2542 + 55542/1,2543 + 39342/1,2544 + 28331/1,2545 = 11665,6857 тыс.руб.

в: NPV =-65333/1,2543 + 55542/1,2544 + 39342/1,2545 + 28331/1,2546 = 9302,779647 тыс.руб.

Проект В

в: NPV = -72445 + 64332/1,254 + 47325/1,254² + 19444/1,254³ = 18811,884 тыс.руб.

в: NPV = -72445/1,254 + 64332/1,254² + 47325/1,254³ + 19444/1,2544 = 15001,5024 тыс.руб.

в: NPV = -72445/1,2542 + 64332/1,2543 + 47325/1,2544 + 19444/1,254 = 11962,9205 тыс.руб.

в: NPV = -72445/1,2543 + 64332/1,2544 + 47325/1,2545 + 19444/1,2546 = 9539,8091 тыс.руб.

Проект Г

в: NPV = -71555 + 58653/1,254 + 49543/1,254² 23666/1,254³ = 18724,6984 тыс.руб.

в: NPV = -71555/1,254 + 58653/1,254² + 49543/1,254³ + 23666/1,2544 = 14931,9764 тыс.руб.

в: NPV = -71555/1,2542 + 58653/1,2543 + 49543/1,2544 + 23666/1,2545 = 11907,4772 тыс.руб.

в: NPV = -71555/1,2543 + 58653/1,2544 + 49543/1,2545 + 23666/1,2546 = 9495,5959 тыс.руб.

. Вследствие откладывания от финансирования возникают финансовые потери, определяемые как разница между NPV при различных вариантах реализации проектов.

Проект А

в: FP1 = 0

в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18055,479-14398,5239=3657,2251 тыс.руб.

в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18055,479-11482,0765=6573,6725 тыс.руб.

в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18055,479-9156,3608=8899,3882 тыс.руб.

Проект Б

в: FP1 = 0

в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18344,4774-14628,7698=3715,7075 тыс.руб.

в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18344,4774-11665,6857=6678,7917 тыс.руб.

в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18344,4774-9302,7796=9041,6977 тыс.руб.

Проект В

в: FP1 = 0

в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18811,884-15001,5024=3810,3816 тыс.руб.

в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18811,884-11962,9205=68480,9634 тыс.руб.

в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18811,884-9539,8091=9272,0749 тыс.руб.

Проект Г

в: FP1 = 0

в: FP2 = NPV1 - NPV2 = 18724,6984-14931,9764=3792,722 тыс.руб.

в: FP3 = NPV1 - NPV3 = 18724,6984-11907,4772=6817,2212 тыс.руб.

в: FP4 = NPV1 - NPV4 = 18724,6984-9495,5959=9229,1026 тыс.руб.

. Определим индекс возможных финансовых потерь по формуле:

IFP = FP/CFof

Этот показатель характеризует относительную величину финансовых потерь вследствие откладывания проекта.

Проект А

IFP1 = 3657,2251/81456= 0,04489817

IFP2 = 6573,6725/81456 = 0,08070213

IFP3 = 8899,3882/81456= 0,10925393

Проект Б

IFP1 = 3715,7075/65333 = 0,05687336

IFP2 = 6678,7917/65333 = 0,10222693

IFP3 = 9041,6977/65333 = 0,13839404

Проект В

IFP1 = 3810,3816/72445 = 0,05259689

IFP2 = 6848,9634/72445 = 0,09454018

IFP3 = 9272,0749/72445= 0,12798778

Проект Г

IFP1 = 3792,722/71555 = 0,0053004329

IFP2 = 6817,2212/71555 = 0,095272465

IFP3 = 9229,1026/71555= 0,128979143

. При выборе проектов для первоочередного финансирования используется максимальное значение IFP.

Вывод: Расчетным путем выявлено, что в текущий момент времени необходимо финансировать проект Б ( max значением IFP = 0,05687336), а проекты А, В и Г отложить на следующий год.

Через год приступим к финансированию проекта Г (max значением IFP = 0,09527246), а проекты А и В откладываются еще на один год.

Через два года приступаем к финансированию проекта В (max значением IFP = 0,12798778), а проект А будет инвестироваться еще через год, в последнюю очередь.

Таким образом, инвестиционная программа будет состоят из последовательного финансирования проектов «Б» - «Г» - «В» - «А».

Задача№2

Анализируются три финансовых актива, ожидаемая доходность которых зависит от состояния рынка.

Исходные данные

Необходимо найти:

1)среднеквадратическое отклонение (?),

2)ожидаемую доходность по каждому активу (R), COV комбинаций (АБ, АВ, БВ),

3)r комбинаций.

. RА = (14*0,42)+(18*0,27)+(20*0,31) = 16,94%

RБ = (12*0,42)+(14*0,27)+(16*0,31) = 13,78%

RВ = (16*0,42)+(13*0,27)+(11*0,31) = 13,64%

2. ?Rа = ?(14-16,94)2*0,42+(18-16,94)2*0,27+(20-16,94)2*0,31 = 2,61534%

?Rб = ?(12-13,78)2*0,42+(14-13,78)2*0,27+(16-13,78)2*0,31 = 1,6946%

?Rв = ?(16-13,64)2*0,42+(13-13,64)2*0,27+(11-13,64)2*0,31 = 2,1417%

. COV(АБ) = (14-16,94)*(12-13,78)*0,42+(18-16,94)*(14-13,78)*0,27+(20-16,94)*(16-13,78)*0,31 = 4,37%

COV(АВ) = (14-16,94)*(16-13,64)*0,42+(18-16,94)*(13-13,64)*0,27+(20-16,94)*(11-13,64)*0,31 = -5,6 %

COV(БВ) = (12-13,78)*(16-13,64)*0,42+(14-13,78)*(13-13,64)*0,27+(16-13,78)*(11-13,64)*0,31 = -3,62%

4.r(АБ) = 4,37/(2,61534*1,6946) = 0,985

r(АВ) = -5,6/(2,61534*2,1471) = -1

r(БВ) = -3,62/(1,6946*2,1471) = -0,99

Комбинация АВ

xА = (?Rв - COV(АВ)) / ?Rа2+ ?Rв2 - 2* COV(АВ))

xВ= 1 - xА

xА = 2,14712-(-5,6)/2,615342+2,14712-2*(-5,6) = 0,45

xВ = 1-0,475 = 0,55

RnАВ= xА* RА + xВ* RВ

RnАВ = 0,45*16,94+ 0,55*13,64 = 15,128%

?RnАВ = ?xА2* ?Rа2 + xВ2* ?RВ2 + 2 xА*xВ* r(АВ)*?Rа*?RВ

?RnАВ = ?0,452*2,615342*+0,552*2,14712+2*0,45*0,55*(-1)*2,61534*2,1471 = 0,0525%

Комбинация БВ

XБ = (?RВ - COV(БВ)) / ?RБ2+ ?Rв2 - 2* COV(БВ))

XВ = 1 - xБ

XБ = 2,14712-(-3,62)/1,69462*2,14712+2*(-3,62) = 0,56

xВ = 1-0,56 = 0,44

RnБВ = xБ* RБ+ xВ* RВ

RnБВ = 0,56*13,78+0,4*13,64 = 13,718%

?RnБВ = ?xБ2* ?RБ2 + xВ2* ?RВ2 + 2 xБ*xВ* r(БВ)*?RБ*?RВ

?RnБВ = ?0,56*1,69462+0,442*2,14712+2*0,56*0,44*(-0,99)*1,6946*2,1471 = 0,0975%

Вывод: Если целью инвестора является вложение средств в несколько активов, то данная стратегия ведет к получению определенных доходов при уменьшении риска и называется портфельным.

Инвестор стремиться создать эффективный портфель, который максимизирует доходность при заданном уровне риска, или уменьшить риска при заданном уровне доходности.

Из проведенных расчетов можно сделать вывод, что процедура диверсификации позволяет снизить риск портфеля по сравнению с риском отдельных активов. Таким образом, коэффициент корреляции должен быть как можно ближе к значению «-1», это будет свидетельствовать о том, что портфель будет более эффективным и, следовательно, нужно в дальнейшем анализировать проекты АВ и БВ.

Рассчитав ожидаемую доходность и уровень риска каждого из проектов, можно сделать вывод, что инвестору лучше всего вкладывать свои инвестиции в портфель АВ с ожидаемой доходностью 15,128% и уровнем риска 0,0525%, так как у этого портфеля доходность по сравнению с портфелем БВ выше и уровень риска ниже.

Портфель АВ содержит 45% актива А и 55% актива В.

Задача №3

Имеются следующие исходные данные

X - среднегодовая стоимость производственных фондов (млн.руб.)

Y - средне годовая выручка от продаж (млн.руб.)

По условиям задачи необходимо оценить зависимость между покупателями на основе проведения корреляционно-регрессионного анализа, который сводиться к измерению связи и установлению зависимости между x и y.

Необходимо построить, обработав статистическую информацию, регрессионную модель:

y = a + bx,

где: a и b - параметры уравнения регрессии, которые необходимо определить, проведя анализ.

Для нахождения a и b по методу наименьших квадратов, составляем расчетную таблицу.

Полученные итоговые значения из расчетной таблице подставляем в систему нормальных уравнений:

{na + bx = ?y

{a?x + b?x2 = ?xy

{30a+440,8b=143,7 ?

{440,8a+6856,24b=2235,47

{a=(143,7-440,8b)/30 ?

{440,8*(143,7-440,8b)/30)+6856,24b =2235,47

,8 *(4,79-14,69b) + 6856,24b = 2235,47

2111,43-6475,35b+6856,24b=2235,47

,89b = 124,04

b = 0,3256

a = (143,7*440,8*0,3256)/30

a = 0,0058

Для проверки значимости полученной зависимости необходимо определить показатель среднего линейного отклонения - ?.

?= 1/30*??y - Yp?/y * 100%

i=1

?= 1/30*3,233775 * 100% = 10,78% < 15%

=> Уравнение можно использовать для прогнозных целей.

Подставляя в полученную зависимость планируемое значение показателя х, можно получить требуемый прогноз.

Задача №4

По полученному уравнению регрессии для среднегодовой величины годовой продукции на складе предприятия найти выручку от реализации на следующий год.

Составить бюджет движения денежных средств (БДДС) на следующий год и сделать раздвинутые выводы.

Исходные данные:

) Объемы продаж увеличиваются с темпом роста 1,5% в месяц;

) Компания проводит индивидуальную сбытовую политику при разных условиях оплаты:

25% - реализуется за наличный расчет,

75% - с отсрочкой от платежа на условиях 3/10 брутто 30, что означает предоставление отсрочки от платежа на 30 дней, а если товары оплачиваются в течении 10 дней, то предоставляется скидка 3%.

При этом 80% объемов продаж оплачиваются в следующем месяце. Из них: 25% со скидкой, а 20% оплачиваются еще с задержкой на один месяц.

) Сырье закупается в размере потребности следующего месяца. Расчеты с поставщиками производятся через месяц. Прогнозные изменения цен на сырье - 3% в месяц.

) Издержки определяются в % от выручки:

условно переменные (сырье) - 40%;

условно постоянные - заработная плата (15%), аренда производственных площадей (10%), прочие расходы (5%).

Уровень инфляции - 2% в месяц.

) Аренда и заработная плата выплачиваются в месяц, следующим за месяцем их возникновения.

) Единый социальный налог (ЕСН) - 26% от заработной платы.

Налог на прибыль - 20%.

) Планируется вкладывать средства в модернизацию производств (период и величина определяется самостоятельно).

) Остаток средств на первое января равен ½ величины от сальдо денежного потока за январь месяц.

) Целевой остаток за первое января равен ¼ от сальдо денежного потока за январь месяц.

Величина целевого остатка изменяется пропорционально темпу инфляции.

Принимается к рассмотрению вариант бюджета без излишка или недостатка.

Формирование притока денежных средств

Вывод: Цель составления бюджета движения денежных средств - поддержание денежных средств на минимально допустимом уровне, достаточным для нормальной деятельности фирмы.

Финансист оценивает потребность в денежных средствах при составлении финансового плана, обобщая информацию о денежных потоках в БДДС.

Для предприятия в целом благоприятным является то, что за анализируемый период не имеется не дефицита, не излишка.

Большой дефицит бюджета приведет предприятие к банкротству, либо к получению кредита (за который нужно будет возвращать саму сумму кредита, но и проценты по нему), а это является переплатой денежных средств. В случае с профицитом (излишком) у предприятия наоборот имеются свободные денежные средства, и если их не вкладывать в какие-либо инвестиционные проекты, они могут потерять свою стоимость под действием инфляции, а также предприятие теряет возможную выгоду, которую могло бы получить при вложении свободных денежных средств в инвестиционные проекты, покупку ценных бумаг, либо выпуск собственных.

Предприятие вкладывало средства в модернизацию производства на протяжении 12 месяцев в сумме 887018 рублей. В результате БДДС к концу года получился без дефицита и излишка.

Бюджет движения денежных средств на предприятии

Заключение

Центральной проблемой в теории портфельных инвестиций является выбор оптимального портфеля, то есть определение набора активов с наивысшим уровнем доходности при наименьшем или заданном уровне инвестиционного риска. Такой подход является "многомерным" как по количеству привлеченных в анализ активов, так и по учтенным характеристикам. Понятно, что на практике четкое соблюдение этих положений является проблематичным. Однако оценка теории портфельных инвестиций должна основываться не только на степени адекватности исходных предположений, но и на успешности решения с ее помощью задач управления инвестициями. В последние десятилетия использование этой теории значительно расширилось. Все больше инвестиционных менеджеров и руководителей инвестиционных фондов используют ее методы на практике, и хотя у нее есть немало противников, ее влияние постоянно растет не только в академических кругах, но и на практике.

Список использованной литературы

1)Балабанов И.Т. Основы финансового менеджмента: Учеб. Пособие. -3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2002. -528 с.

2)Бланк И.А. Финансовый менеджмент: Учебный курс. - К.: Ника - Центр, Эльга, 2002. - 528 с.

)Гвоздев Б.З. Финансовый менеджмент. - М.: ИКФ «ЭКМОС», 2007. - 272 с.

)Ковалев А. М. Финансы: Учебное пособие. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 384 с.

)Ковалев В.В. Ведение в финансовый менеджмент. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 768 с.

)Колб Р.В., Родригес Р. Финансовый менеджмент: Учебник/Пер. 2-го англ, издания; Предисловие к русск. изд.к. э. н. Драгевой Е.Л. - М.: Издательство "Финпресс", 2001. - 496 с.

)Леонтьев В.Е., Бочаров В.В. Финансовый менеджмент. - СПб.: ИВЭСЭП, Знание, 2004. - 520с.

)Маренго А.К. Финансовый менеджмент. Экспресс-курс. М.: Братор - Пресс, 2002. - 144 с.

)Ткачук М.И., Киреева Е.Ф. Основы финансового менеджмента: Учеб. Пособие - М.: Интерпрессервис, Экоперспектива, 2006. - 416 с.

)Фатхутдинов Р.А. Разработка управленческого решения: Учебное пособие. - М.: Бизнес-школа Интел-Синтез, 2002.

)Учитель Ю.Г., Тернока А.И., Тернока К.И. Разработка управленческих решений: учебник для вузов. - 2изд., перераб, и доп, - М.:ЮНИТИ - ДАНА, 2007. - 383 с.

)Технология принятия управленческих решений: Учебник/ Е.П.Голубков. - М.: Изд-во «Дело и Сервис», 2005, - 544 с.

)Финансовый менеджмент: Учебник для ВУЗов / Н.Ф. Самсонов, Н.П. Баранникова, А.А. Володин и; Под ред. проф. Н.Ф. Самсонова, - М: Финансы, ЮНИТИ, 2001. - 495 с.

)Финансовый менеджмент: Учебное пособие/Под ред. проф. Е.И. Шохина. - М.: ИД ФКБ - ПРЕСС, 2003. - 408 с.

)Финансовый менеджмент: Практикум: Учеб. пособие для ВУЗов / Л.А. Бурмистрова, Е.Ю. Ветрова, О.А. Жеволюкова и; Под ред. Н.Ф. Самсонова. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2001. - 269 с.

)Финансовый менеджмент: теория и практика: / Под ред. Стояновой Е.С. - 5 изд., перераб. и доп. - М.: Изд- во «Перспектива», 2004, - 656 с.

Оглавление Введение 1.Риск, ассоциируемый с проектом .1Единичный и внутрифирменный риски 1.2Рыночный риск .3САРМ .4Статистические критерии

Больше работ по теме: