Особливості контролю знань логіки предикатів

 

1. Основні теоретичні відомості з модуля логіки предикатів


1.1 Предикати. Логічні операції над предикатами


Нехай є деяка множина п-місним предикатом, заданим на множині М, називається речення, що містить змінних (предметні змінні), яке перетворюється на висловлення при підстановці замість цих змінних відповідних конкретних значень М (предметні константи).

Позначаються предикати великими літерами з індексами або без, наприклад . Довільне висловлення є 0-місним предикатом. Предикат можна вважати функцією п змінних, областю визначення якої є множина М, а множиною значень - логічні значення 1 (істина) та 0 (хиба).

Вираз, яким записується предикат - висловлювальна форма. Нехай Р (х, у)= «х + у= 4» - двомісний предикат, визначений на множині N ×N, тоді логічні значення відповідних висловлень записують, наприклад, як і т.д. При конструюванні предикатів часто використовують функціональні символи. Тут таким символом є «+» або «сума (x, у)», а Р - предикатний символ «дорівнює 4».

Предикат , заданий на множині М, називається тотожно істинним, якщо для будь-якого набору предметних константМ він перетворюється в істинне висловлення, тобто . Аналогічно формулюються означення тотожно хибного, виконуваного та спростовного предиката.

Оскільки значеннями предикатів є висловлення, то над предикатами можна виконувати ті ж логічні операції, що і над висловленнями: заперечення, кон'юнкцію, диз'юнкцію, імплікацію та еквіваленцію.

Запереченням предиката, заданого на множині М, називається предикатзаданий на тій же множині, який перетворюється в хибне висловлення для будь-якого набору з множини істинності предиката і в істинне для всіх інших наборів.

Якщо- множина істинності (сукупність всіх наборів М, для кожного з яких ) предиката Р, то множина істинності предиката буде

Нехай деякий m-місний предикат заданий на множині, причому всі змінні та різні.

Кон'юнкцією двох предикатів Р та Q називається (п+т) - місний предикат , заданий на множині M×L, якийперетворюється в істинне висловлення для всіх тих і тільки тих значень змінних, при яких перетворюються в істинне висловлення обидва задані предикати.

Якщо предикати Р та Q мають k спільних змінних, то місність конюнкції буде s = п + т - k, а загалом max.

Означення дизюнкції, імплікації та еквіваленції аналогічне. [2, ст. 17]

Якщо і - множини істинності предикатів Р та Q, визначених на одній множині М, то множини істинності предикатів ,, та можна записати у вигляді:


;

;

;

;


Крім вказаних операцій над предикатами виконують кванторні операції (квантифікацію).

Зв «язуванням квантором загальності одномісного предиката Р(х) називається операція, яка предикату Р(х) ставить у відповідність висловлення («для будь-якого х має місце Р(х)»), яке істинне тоді і тільки тоді, коли предикат тотожно істинний. Отже,


=


Наприклад, висловлення на множині дійсних чисел істинне, а - хибне.

Зв'язуванням квантором існування одномісного предиката Р(х) називається операція, яка предикату Р(х) ставить у відповідність висловлення («існує х, що має місце Р(х)»), яке хибне тоді і тільки тоді, коли предикат тотожно хибний. Отже,

= Р(х) - тотожно хибний предикат.

Наприклад, висловлення на множині дійсних чисел хибне, а - істинне.

При формулюванні тверджень мовою предикатів часто зустрічаються речення чотирьох типів, які в арістотелевій логіці називаються категоричними судженнями і мають зміст та символічний запис:

А: загальностверджувальне судження «всі S суть Р» (всі елементи х, які мають властивість S, мають і властивість Р) - ;

Е: загальнозаперечувальне судження «будь-яке S не є Р» (будь-який елемент х, який має властивість S, не має властивості Р) - ;

I: частково стверджувальне судження «деякі S суть Р» (деякі елементи х, які мають властивість S, мають і властивість Р) - ;

О: частково заперечувальне судження «деякі S не є Р» (деякі елементи х, які мають властивість S, не мають властивості Р) - ;

Комбінуючи речення А-O, можна записувати у символічній формі досить складні твердження.

Зауваження. Якщо предикат Р(х) заданий на скінченній множині елементів , то операція звязування квантором загальності (або існування) рівносильна конюнкції (або відповідній дизюнкції).

Звязування квантором загальності чи існування за деякою змінною х, n-місного предиката приводить до (n-1) - місного предикатачи, який залежить від змінних.При цьому висловлення істинне тоді і тільки тоді, коли предикаттотожно істинний на множині, а висловлення хибне тоді і тільки тоді, коли предикат тотожно хибний на.

Далі можна по черзі звязувати різними кванторами інші змінні. Коли всі змінні будуть звязані, отримується висловлення. Наприклад, тримісний предикат , заданий на множині дійсних чисел, можна перетворити на двомісний, одномісний, предикати або ж на істинне висловлення , Якщо Р - 0-місниЙ предикат (висловлення), то записи та означають те саме, що і Р. [2, ст 23]

Входження змінної в предикат називається зв'язаним, якщо вона є змінною квантора або знаходиться в області дії квантора за цією змінною. Інакше входження вільне. У складних предикатах область дії квантора виділяється дужками.

Предикати та , задані на одній множині М, називаються рівносильними (Р Q), якщо = (один з них перетворюється в істинне висловлення на всіх тих наборах , на яких і інший перетворюється в істинне висловлення). Предикат називається логічним наслідком предиката (P Q), якщо .

1.2 Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування


За допомогою логічних операцій можна конструювати як завгодно складні предикати. Їх записують у вигляді формул, абстрагуючись від конкретного змісту. Введемо індуктивні означення терма та формули.

Термом називається:

1)будь-яка предметна змінна або константа;

2) якщо - n-місний функціональний символ, а- терми, то - терм;

3)ніяких інших, крім утворених за 1) та 2), термів немає.

Наприклад, нехай - 2-місний функціональний символ «сума (х, y)», а - 2-місний функціональний символ «степінь (x, y)», задані на множині натуральних чисел, тоді вирази (5, x), (3, y),((x, 2), 3),((х,у),3) є термами, які за допомогою алгебраїчних символів можна було б відповідно записати «5+x», »«, »+3», »«. Припідстановці замість змінних конкретних значень терм не перетворюється на висловлення, на відміну від формули.

Формулою називається:

1) якщо - n-місний предикатний символ, а- терми, то, () - елементарна формула логіки предикатів;

1)якщо А і В-формули логіки предикатів, то слова також є формулами логіки предикатів;

)якщо А - формула, а х - вільна змінна вА, то і також формули логіки предикатів;

3)всі інші слова, крім тих, що утворені за правилами пунктів 1 - 3 не є формулами логіки предикатів.

Як і валгебрі висловлень, деякі дужки можна опускати, памятаючи про порядок виконання операцій. Якщо в області дії квантора знаходиться елементарна формула, дужки можна не писати. Формула називається замкнутою, якщо вона не має вільних входжень змінних, і відкритою, якщо є вільні змінні. Наприклад, - відкрита формула, бо є вільні входження змінної у. Якщо змінна звязана, в області дії квантора її можна перейменувати, при цьому всі її вільні входження залишаються без зміни. [2, ст 26]

Процес перетворення формули на висловлення і саме це висловленняназивають інтерпретацією формули логіки предикатів. Щоб побудувати інтерпретацію, потрібно:

1.Вибрати область інтерпретації М;

2.Задати в цій області конкретні предикати замість предикатних символів, що входять у формулу;

3.Якщо формула замкнута, то при підстановці заданих предикатів вона вже перетвориться на висловлення, якщо відкрита - на предикат. Щоб цей предикат перетворити на висловлення, потрібно замість вільних змінних підставити предметні константи з області М.

Одна і та ж формула в різних інтерпретаціях або в одній інтерпретації при різних заміщеннях вільних змінних константами може перетворюватися як в істинне, так і в хибне висловлення. Наприклад, замкнута формула перетворюється в істинне висловлення «Для довільного натурального числа існує число, більше за нього», якщо на множині натуральних чисел задати предикат і в хибне мисловлення «Кожен чоловік має сина», якщо на множині всіх чоловіків задати предикат Р (х, у) - «х батько у».

Формула називається істинною в даній інтерпретації, якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів (констант) з області інтерпретації.

Аналогічно означаються хибна, виконувана та спростовна в даній інтерпретації формула.

Інтерпретація називається моделлю для деякої множини формул, якщо кожна формула даної множини істинна в даній інтерпретації.

Формула логіки предикатів може бути:

-логічно загальнозначущою (тавтологією), якщо вона істинна в будь - якій інтерпретації;

-суперечністю (тотожно хибною), якщо вона хибна в будь-якій інтерпретації;

-виконуваною, якщо вона виконувана хоча б в одній інтерпретації;

-спростовною, якщо вона спростовна хоча б в одній інтерпретації. Якщо формулаА тавтологія логіки предикатів, то це записують ?А.

Окремим випадком формули А алгебри висловлень називається формула логіки предикатів, одержана з А підстановкою замість пропозиційних змінних довільних формул логіки предикатів.

Окремий випадок будь-якої тавтології алгебри висловлень єтавтологією логіки предикатів. Наприклад, формула тавтологія, бо є окремим випадком тавтології .

Формула В є логічним наслідком формули А (А?В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому А перетворюється в істинне висловлення.

Можна довести, що А?В тоді і тільки тоді, коли ?.Із тавтологій, що містять імплікацію (доведення далі), можна отримати деякі важливі схеми логічного слідування. Наприклад,? - правило універсальної конкретизації; - правило екзистенціального узагальнення. [1, cт.18]

Аналогічно, формула В є логічним наслідком формул (В), якщо вона перетворюється в істинне висловлення на будь-якому наборі елементів з області довільної інтерпретації, на якому всі одночасно перетворюються в істинне висловлення. Можна довести, щоВ тоді і тільки тоді, коли або формула є тотожно хибною.

Найбільш часто вживані схеми логічного висновку - силогізми Арістотеля. Це схеми, що складаються з трьох простих висловлень типуА, E, I та O, з яких перші два - посилки, а третє - висновок. У кожному з силогізмів розглядаються три властивості (предикати) S, М та Р. Перша (велика) посилка повязує М і Р, друга (мала) повязує М і S, а висновок повязує S і Р.


1.3 Рівносильні формули. Нормальні форми


Дві формули А і В називаються рівносильними , якщо кожна з них є логічним наслідком іншої.

Можна довести, що тоді і тільки тоді, коли ?.

В логіці предикатів рівносильними будуть формули, отримані з рівносильних формул алгебри висловлень підстановкою замість пропозиційних змінних довільних формул логіки предикатів (окремі випадки). Наприклад, рівносильними будуть формули


,


бо вони отримані з рівносильностей і за допомогою різних підстановок.

Крім окремих випадків у логіці предикатів є рівносильності, повязані з операцією навішування кванторів. Деякі рівносильності можна записати із тавтологій, що містять головну операцію , доведення яких здійснено у попередньому пункті. Варто памятати рівносильності, що часто використовуються при рівносильних перетвореннях формул та при зведенні їх до нормальних форм:


1)-закони перейменування змінних;

2)-закони де Моргана для кванторів;

3)-дистрибутивні закони (і тільки такі два!);

4)-закони перенесення кванторів через конюнкцію, тут і далі Qне містить вільного x;

5)-закони пронесення кванторів через дизюнкцію;

6)

-закони пронесення кванторів через імплікацію.


Зведеною формою для формули логіки предикатів називається така рівносильна їй формула, яка або елементарна, або містить лише операції , причому заперечення стосується лише елементарних підформул.

Випередженою нормальною формою для формули логіки предикатів називається така її зведена форма, яка або не має кванторних операцій, або всі вони виконуються останніми.

Випереджена нормальна форма (ВНФ) довільної формули А логіки предикатів має вигляд , де -довільна сукупність кванторів (префікс формули А), а В-формула, яка не містить кванторів (матриця формули А).

Теорема. Для кожної формули логіки предикатів існує зведена та випереджена нормальна форми.

Щоб отримати зведену форму, потрібно скористатися законами, що дозволяютьвиразити через , , та законами де Моргана. Після застосування дистрибутивних законів та законів пронесення кванторів через логічні операції (винесення кванторів за дужки) отримують випереджену форму. Тут буває необхідно перейменовувати змінні у області дії кванторів, але робити це треба так, щоб не трапилось «колізії». Для перейменовування краще використовувати імена змінних, які у формулі не зустрічаються. Потрібно памятати, що вільні змінні не перейменовуються, а одна і та ж змінна у областях дії різних кванторів може перейменовуватись на різні змінні. Наприклад,



зведена форма даної формули. Квантор загальності та існування не можна винести за дужки (пронести через дизюнкцію), бо змінна х входить в усі доданки. Перейменуємо в області дії першого квантора хнау, а в області другого на z. Далі по черзі пронесемо квантори через дизюнкцію:



випереджена нормальна форма, яка рівносильна даній формулі.

При аналізі формул логіки предикатів на виконуваність зручно мати формулу, яка не містить кванторів існування, а її матриця представлена у конюнктивній нормальній формі (кнф). Вилучення кванторів існування із префікса ВНФ проводять за допомогою введення сколемівських сталих та сколемівських функцій за правилом:

1. Знайти перший зліва на право квантор існування. Якщо він знаходиться у префіксі на першому місці, то замість змінної, яка звязана цим квантором, скрізь у матриці поставити деяку сколемівську сталу, яка у формулі ще не зустрічалась, а квантор існування видалити.

2. Якщо квантор існування не на першому місці префікса, наприклад то замість змінної хі скрізь у матриці поставити деяку сколемівську функцію f(х1х2,… хп), яка у формулі ще не зустрічалась, а квантор існування видалити.

. Перейти до пункту 1, аж поки не видалиться останній квантор існування. У результаті таких перетворень отримується нова формула:, яка називається сколемівською стандартною формулою (ССФ).

Наприклад, розглянемо крок за кроком сколемізацію формули


;


1. Замість х вводимо сталу а:;

. Комбінація кванторів читається «для довільних у та z існує і може трактуватись, як означення деякої функції. Після підстановки цієї функції у матрицю отримаємо нову формулу:


;


. Комбінація кванторів рівносильна існуванню функції f=g (y, z, w). Вилучаємо останній квантор існування і маємо ССФ для А:.

У ССФ сколемівські функції і сталі вибираються довільно, тому у загальному випадку формули А та не рівносильні. Але при дослідженні типу формули корисне твердження:

Теорема. Формула А є суперечністю тоді і тільки тоді, коли її сколемівська стандартна форма є суперечністю.


1.4 Метод резолюцій


Основна ідея методу резолюцій, який розглядається у логіці висловлень, зберігається і у логіці предикатів. Нагадаємо основні означення і факти.

Бінарною резольвентою R(Dl, D2) двох дизюнктів Dl і D2 називається дизюнкція літералів, що залишається після видалення пари контрарних.

Наприклад, якщо Dl = р1, D2=, то R(D1, D2) = q. Тут резольвента є висновком, який отримується за правилом modus ponens з посилок р та . Аналогічно резольвента D1= і D2= ілюструє правило силогізму: R(D1, D2) =. Отже, правило резолюції, яке відкрив Дж. Робінсон (1965 p.), є сильнішим з усіх схем логічного висновку, якими користується людина. Це випливає з теореми, яка справедлива у самому загальному випадку.

Теорема. Якщо для дизюнктів Dl і D2 існує резольвента R(D1, D2), то вона є логічним наслідком цих дизюнктів: Dl, D2R(D1, D2).

Множина дизюнктів Dl, D2,… Dn називається невиконуваною, якщо формула тотожно хибна.

Якщо можна встановити, що деяка формула F хибна, то можна відповісти, чи є логічне слідування А1, А2, …, АnB, оскільки для цього потрібно дослідити, чи буде формула хибною.

Методом резолюцій називається послідовне отримання бінарних резольвент із заданих дизюнктів та з усіх тих, що утворюються. [2, ст. 30]

Застосовуючи метод резолюцій, можна отримати резольвенту, у якій не залишиться жодного літерала. Кажуть, що отримали порожній дизюнкт ?.

Теорема (про повноту методу резолюцій) Множина дизюнктів S не виконувана тоді і тільки тоді, коли у результаті застосування методу резолюцій до множини S отримується порожній дизюнкт ?.

Є багато різних процедур для реалізації методу резолюцій: локрезолюція, метод насичення рівня, стратегія викреслювання тощо.

У логіці предикатів для дослідження невиконуваності множини дизюнктів потрібно провести додаткову процедуру уніфікації формул. Тут літералом є елементарна формула, терми якої можуть містити змінні, сталі або вирази із функціональних символів і термів. P (x, f(y), b), приклади літералів.

Підстановкою у літерали термів замість змінних можна отримати різні частинні випадки (приклади) літерала. Наприклад, частинними випадком першого літерала можуть бути P (z, f(a), b), P (g(z), f(c), b), P (с, f(a), b). Останній частинний випадок називається атомом, бо не містить змінних. Підстановку терма t замість змінної х позначають Одночасно можна виконати кілька замін. їх групують у підстановку. Наприклад, перший частинний випадок отримано у результаті підстановки другий - , третій . У загальному випадку де всі - різні змінні, - терми. Застосування підстановки до літерала позначають Р0. Послідовне виконання двох підстановок та дає третю .

Множина літералів {L1, L2,… Ln} називається уніфікованою, якщо існує така підстановка , що Підстановка називається уніфікатором множини літералів {Li}. Уніфікатор множини формул називається найзагальнішим, якщо для кожного уніфікатора цієї множини існує підстановка, що .

Існує алгоритм уніфікації, який починає роботу з порожньої підстановки і крок за кроком знаходить множину неузгодженості в літералах і будує найзагальніший уніфікатор, якщо він є. Наприклад, для літералів L1=P (x, f(y), b) та L2=P (a, f(b), b) перша множина неузгодженості W1=(x, a). Щоб ліквідувати неузгодженість, робимо підстановку =P {a, f(y), b), =P (a, f(b), b). Друга множина неузгодженості W2={y, b}. Після підстановки у новоутворені літерали отримаємо однакові літерали. Отже, є найзагальнішим уніфікатором. Кожен елемент множини неузгодженості повинен бути термом або літералом. Якщо множина неузгодженості не містить змінних, то така множина літералів не уніфікується. [2, ст. 32]

Нехай деякий дизюнкт D містить літерали для яких існує спільний уніфікатор. Тоді замість к літералів залишають один і така процедура називається склейкою.

Нехай є два дизюнкти і і всі змінні у них різні. Дизюнкт , містить літерал , а дизюнкт містить літерал , причому існує уніфікатор такий, що . Бінарною резольвентою і у логіці предикатів називається дизюнкція літералів, які залишаються після викреслювання уніфікованих.

Перед побудовою резольвент спочатку виконують склейку у кожному дизюнкті (якщо це можливо). У логіці предикатів теж справедлива теорема про повноту методу резолюцій. Наприклад, для перевірки логічного слідування ? методом резолюцій потрібно:

1.Утворити формулу. При цьому у кожній посилці та висновку змінні перейменувати, позначивши усі різними буквами, оскільки вони можуть мати різний зміст.

2.Знайти сколемівську стандартну форму цієї формули і записати її матрицю у конюнктивній нормальній формі ;

3.До множини дизюнктів застосувати метод резолюцій провівши, за необхідності, уніфікацію літералів. Якщо у результаті побудови всіх можливих резольвент отримується порожній дизюнкт ?, то множина дизюнктів невиконувана, формули і тотожно хибні, отже, є логічне слідування.


2. Методична розробка з модуля «логіка предикатів»


2.1 Приклади розвязання практичних завдань до підрозділів модуля логіки предикатів


2.2.1 Предикати. Логічні операції над предикатами

Приклад 1. Які з наведених речень є предикатами (для предикатів вказати місність):

a)«х паралельна прямій l (х - довільна пряма на площині);

b)«х є притокою у» (х, у - назви всіх можливих рік);

c)«деякі парні числа діляться на натуральне число у»;

d)«всі непарні числа діляться на 2»;

e)«х або Україна і Росія» (х - назва країни);

f) (х, у - дійсні числа);

g)(х, у - дійсні числа);

h)«для довільного х0 існує п, що ху = 1».

?а) l-місний предикат, який перетворюється в істинне висловлення на множині всіх прямих, які паралельні до фіксованої прямої l. b) 2 - місний предикат, який може перетворюватися або в істинне висловлення (наприклад, Десна є притокою Дніпра), або в хибне (Десна є притокою Волги). с) 1-місний предикат, який перетворюється завжди в істинне висловлення (тотожно істинний), оскільки існують парні числа виду 2у, 4у, 6у, які діляться на y.d) 0-місний предикат, який є хибним висловленням, е), f) Не предикати, оскільки при довільній підстановці замість змінних конкретних значень речення не можуть бути висловленнями.g) 2-місний предикат, який перетворюється в хибне висловлення при будь-яких дійсних х та у (тотожно хибний).h) 0-місний предикат, який є істинним висловленням.

Приклад 2. Знайти множину істинності предикатів:


a);

b);


c)Р(х) = «відрізок АВ видно з точки х під прямим кутом»;)Р(х) = «точка х рівновіддалена від точокА і В»;


e).


) Множина істинності даного предиката - це множина розвязків нерівності, яка перетворюється у істинне висловлення лише тоді, коли 1, отже. b) = [-8; 2]. c) Множина істинності - множина точок кола, яке побудоване на відрізку АВ як на діаметрі, крім самих точок А та В.d) Множина істинності - всі точки серединного перпендикуляра для відрізка АВ.е) Множина істинності - всі точки координатної площини, що знаходяться у другому (утворюється еквіваленція двох хибних висловлень) та четвертому (еквіваленція двох істинних висловлень) квадрантах та на координатних осях.

Приклад 3. Прочитати висловлення та визначити, які з них істинні, а які хибні, вважаючи, що всі змінні належать множині дійсних чисел:


a););););


?а) Навішування квантора загальності по х приведе до істинного висловлення, якщо одномісний предикат на множині дійсних чисел тотожно істинний. При довільному висловленняістинне, оскільки предикат виконуваний (він перетворюється в істинне висловлення при). Отже, предикат А(х) тотожно істинний, тому висловлення , яке читається так: «Для довільного дійсного х існує дійсне у, що x + y = 3», істинне. b) Висловлення «Існує дійсне у, що його сума з довільним дійсним х дорівнює 3» очевидно хибне. Дійсно, предикат тотожно хибний, бо для довільного предикат спростовний (перетворюється в хибне висловлення, наприклад, при ). с) Висловлення «Якщо сума двох довільних дійсних чисел дорівнює 3, то 2= 3» істинне, оскільки є імплікацією двох хибних висловлень. d) Висловлення «Довільне дійсне число х дорівнює самому собі тоді і тільки тоді, коли воно або більше за 1, або менше за 2» є істинним, бо предикат є тотожно істинним як еквіваленція двох предикатівта» (х = х)», які перетворюються в істинне висловлення при довільних xR.

Приклад 4. Дано предикати А(х) та В(х). Записати реченням висловленняС та В:


a)А(х) = «х-студент», В(х) - «х - склав іспити»,

;

b)А(х) = «х: - гриб», В(х)= «х - їстівний»,

;

c)А(х)= «х - наука», В(х) - «х - гуманітарна»,

.


?а) Висловлення С - частково заперечувальне (О): «Є студенти, які не склали іспити»; D - загальиостверджувальне (A): «Всі студенти склали іспити». b). Висловлення С - частково заперечувальне (О): «Є неїстівні гриби»; D - загальнозаперечувальне (Е): «Всі гриби неїстівні».с) Висловлення С - заперечення загальностверджувального: «Не всі науки гуманітарні», а це за змістом рівносильне твердженню «Існують негуманітарні науки», яке символічно записується як D - частково стверджувальне (I): «Існують гуманітарні науки».

Приклад 5. Записати речення у символічній формі, ввівши доречні у кожному випадку предикати:

a)Мухтар - собака;

b)деякі журналісти були в космосі;

c)якщо число ділиться на 12, то воно ділиться на 2,4 і 6;

d) громадяни Бельгії обовязково володіють або німецькою, або французькою мовою;

е) деякі студенти здали всі екзамени;

f) кожен студент не здав принаймні один екзамен;

g)кожна людина знає англійську мову, або має друга, який знає англійську мову.

а) Якщо А(х) = «х - собака» - предикат, визначений на множині всіх тварин, а т - позначення клички Мухтар, то символічний записданого речення: А(т).b) Визначимо на множині всіх людей предикати А(х) = «х - журналіст» та В(х) = «х - був у космосі». Зі змісту речення зрозуміло, що «дослівний» переклад такий: існують люди, які одночасно є журналістами і були у космосі. Тому можна записати: . Зауважимо, що запис не відповідає даному реченню, оскільки перетворюється в істинне висловлення навіть для тих x, які не є журналістами. Якби предикат В(х) був визначений на множині всіх журналістів, то речення можна було б записати коротко: .с) Задамо на множині натуральних чисел предикати А(х) = «х - ділиться на 12», В(х) = «x - ділиться на 12», C(х) = «х - ділиться на 4», D(x) = «х - ділиться на 6». Оскільки у реченні йдеться про довільне число, то застосуємо квантор загальності: . d) Після введення на множині всіхлюдей предикатівА(х)= «х-громадянин Бельгії», В(х)= «х - володіє німецькою», С(х)= «х - володіє французькою мовою» дане речення можна символічно записати: .е) Для опису відношень між різними обєктами (студенти та екзамени) використовуються також і багатомісні предикати. Нехай А(х) =» х - студент», В(у)= «у - екзамен», С (х, у)= «х здав екзамен у». Тоді дане речення можна перефразувати «існують студенти х, що який би не був екзамену, вони його здали» і записати: . f) Дане речення за змістом протилежне до попереднього, тому використаємо ті самі предикати. Потрібно записати, що «для кожного студента х існує екзамен у і він його не здав»: .g) Введемо предикати А(х) = «х - знає англійську мову» та В (х, у) - «х друг у». Речення «для кожної людини х або вона знає англійську, або існує друг у, що знає англійську» символічно записується: .

Приклад 6. Записати мовою логіки предикатів означення:

a)простого натурального числа;

b)точки локального максимуму функції f(x);

?а) За означенням натуральне число х просте, якщо воно не дорівнює 1 і при довільному розкладі його на добуток натуральних чисел одне з них є саме цс х або 1. Це можна записати: . Після введення предикатівР (х, у)= «х =у» та Q (x, y, z)= «z=xy» цей вираз можна записати: ).b) Точка з області визначення функції f(х) називається точкою локального максимуму, якщо існуєтакий її - окіл, що для всіх точок х з цього околу виконується f(x)<f(). Це має символічний запис (предикати введіть самостійно):


.


Приклад 7. Нехай xR, а В(х) - предикат, у якому стверджується, що хмає властивість В. Записати наступні речення мовою логіки предикатів:

a)існує хоча б один xRтакий, що В(х);

b)не більше одного xRмають властивість В(х);

c)існує один і тільки один xRтакий, що В(х);

d)існує два різних xRтаких, що В(х);

е) не більше двох xR мають властивість В(х).

?а) Речення має такий самий зміст, як і речення «Існує xR такий, що В(х)» і має запис .b) Речення має такий зміст: якщо довільні два елементиxR та yRмають властивість В, то вони рівні. Це має символічний запис: . с) Речення рівносильне конюнкції речень з пунктів а) та b).

d) Потрібно підкреслити, що існують елементиxR та yR, які мають одночасно властивість В і не рівні:.е) Речення має такий зміст: якщо довільні три елементи xR, yR, zRмають властивість В, то принаймні два з них рівні. Це має символічний запис:.


2.2.2 Класифікація формул логіки предикатів. Логічне слідування

Приклад 1. Визначити, які з наведених виразів є формулами логіки предикатів (для формул вказати тип (відкрита чи замкнута) і назвати вільні та звязані входження змінних):


a););

c);

d););

f);

g);

h).

?а) Не формула, оскільки квантор загальності не навішується на формулу. b) Формула, у якій головною є операція імплікація, в області дії квантора загальності - елементарна формула Р(х) Формула відкрита, бо містить вільне входження х у висновку імплікації, с) Не формула, оскільки вираз у дужках містить змінну х, яка вже не є вільною.

d) Відкрита формула, у якій головною операцією є навішування квантора Існування по х, а змінна y є вільною, е) Відкрита формула, у якій головна операція - імплікація, у посилці змінні х та у звязані, а у висновку х вільна. f) Замкнута формула, оскільки всі змінні знаходяться в області дії кванторів за цими змінними. g) Не формула, оскільки вираз не є формулою.

h) Відкрита формула, у якій змінні х та z частково вільні (або частково звязані), а змінна y звязана. ?

Приклад 2. Якою є формула у кожній інтерпретації:


а);

b) ;

c).


?а) Уданій інтерпретації формула перетворюється на двомісний предикат , визначений на множині дійсних чисел. Це не тотожність, але існує, наприклад, набір x=1, y=0 з області інтерпретації M, на якому отримується істинне висловлення. Отже, в даній інтерпретації формула виконувана. b) У даній інтерпретації формула перетворюється па двомісний предикат , визначений на інтервалі (0; 2]. Цей предикат рівносильний , який перетворюється в істинне висловлення, якщо або (тобто відємне), а це неможливо на даному інтервалі. Отже, в даній інтерпретації формула хибна. с) У даній інтерпретації формула перетворюється на двомісний предикат, визначений на інтервалі (0; 1). При довільній підстановці замість xта yзначень з даного проміжку отримуємо істинне висловлення , як сума двох додатних доданків. Отже, в даній інтерпретації формула істинна.

Приклад 3. Проінтерпретувати кожну з формул:

a)тана множиніМ = {Іван, Петро}, якщо Р(х) - 'ім'я х містить 5 букв», у = Іван;) та на множиніМ = N, якщо Р(х) - «х <2»;)та на множині M=N, якщо P(х) = «x<5» та Q(x) =» x> 6». [2, ст. 37]

?а) Підставляючи y= Іван замість вільного у маємо Отже, перша формула перетворюється у хибневисловлення. У другій формулі головна операція імплікація. Предикат Р(х) спростовний, тому і .b) Предикат Р(х) є виконуваним на М, тому. Предикат теж виконуваний, тому . c) Предикат тотожно хибний, тому перша формула перетворюється нахибне висловлення. Кожен з предикатів P(x) та Q(x) є виконуваним, тому .

Визначити істинне значення кожної з формул при всіх значеннях вільної змінної:


a); c);

b); d)

? а) При кожному значенні вільної змінної у операцію навішування квантора загальності по х на скінченній множині замінимо конюнкцією:


;

;

;


b) Аналогічно операцію навішування квантора існування замінимо дизюнкцією:


;

;

c);

d)?.?


Приклад 5. Показати, що при інтерпретації формули на довільній одноелементній множині завжди отримується істинне висловлення, а на двоелементній - не завжди.

?Нехай є одноелементна множина М = {а}. Оскільки множина значень довільного предиката складається з 0 та 1, то на цій множині можна задати лише два конкретних предикати: або .

Нехай є двоелементна множина М ={а, b}. На ній можна задати вже чотири різні предикати та так, що:. Усі можливі інтерпретації запишемо у таблиці:


РyР(y)а001b001а001b100а100b001а111b111

Легко тепер наповнити інтерпретацію, у якій формула перетворюється на хибне висловлення, конкретним змістом. Нехай М = {5,6}, а . Тоді , і. ?[26, ст. 48]

Приклад 6. Встановити, чи виконувані формули логіки предикатів:

); e);

b); f);

c); g) ;

d); h) .


а) Якщо формула має простий вигляд, то для доведення її виконуваності достатньо навести приклад хоча б однієї інтерпретації, у якій вона перетвориться на істинне висловлення. Щоб формула була істинним висловленням, потрібно щоб предикат був тотожно істинним. Наприклад, при , матимемо , тому формула виконувана. b) Інколи потрібно провести аналіз формули, щоб отримати протиріччя або підказку, якою має бути інтерпретація. Припустимо, що дана замкнута формула виконувана, тобто існує деякий двомісний предикат , визначений на множині М, що формулаперетворюється у істинне висловлення: .

Навішування квантора існування дає істинне висловлення, якщо предикат виконуваний. Тобто існує , що. Навішування квантора загальності по удає істинне висловлення, якщо предикат тотожно істинний. Це означає, що він повинен перетворюватися у істинне висловлення при довільних, а, отже, і при . А це неможливо, Бо . Припущення про те, що формула виконувана,

привело до протиріччя, отже, вона не виконувана і є суперечністю.с) Ця формула виконувана, оскільки вона виконувана у будь-якій інтерпретації з одноелементною множиною (див. приклад 5). d) Ця формула була б виконуваною, якби у деякій інтерпретації предикат був тотожно істинним. А це неможливо, оскільки при довільних значеннях з області інтерпретації висловлення. Отже, формула не виконувана. е) Нехай дана відкрита формула виконувана: існує предикат на множині М і елемент , що. Тоді за означенням конюнкції та . З другої умови випливає, що предикат тотожно істинний, тобто, перетворюється у істинне висловлення при всіх у, а, отже, і при , аз першої умови маємо . Отримали протиріччя, отже, формула не виконувана. f) Нехай формула виконувана, тобто існують предикати та , що . Це означає, що в області інтерпретації існує елемент х0, що висловлення, тобто предикат тотожно істинний. Тут нема протиріччя. Достатньо вибрати тотожно хибний предикат і буде тотожно істинним при довільному. Наприклад, при , визначених на множині дійсних чисел, та при довільному предикат В(у) тотожно істинний, бо при всіх матимем: . Отже, формула виконувана. g) Нехай виконувана: у деякій інтерпретації маємо

. Тобто предикат тотожно

істинний, при всіх з області інтерпретації . Це означає, що існує таке, що. Оскільки це

виконується при всіх , то предикат тотожно істинний. Тоді і. Отримали протиріччя. Формула не виконувана.h)Нехай виконувана: у деякій інтерпретації маємо

. Звідси існує , що. Далі існує у0, що. Отже, предикат повинен бути таким, щоб для деяких та виконувалось: та . Це може бути довільний спростовний предикат, наприклад на множині натуральних чисел. Тоді існують, наприклад, та , що . Отже, дана формула виконувана і її можна у даній інтерпретації прочитати так: «Серед натуральних чисел є більші за 5 і не більші за 5».

Приклад 7. Встановити, які з формул є тавтологіями логіки предикатів:


a);

b) ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) .


?а) Очевидно, що формула не тавтологія, бо перетворюється у хибне висловлення, коли предикат Р(х) виконуваний і спростовний, тобто якщо і. Наприклад, Р(х)= «х-парне число» на множині N.b) Припустимо, що формула не тавтологія: існує на деякій множині М предикат , що, тобто і. З першого висловлення за означенням квантора існування випливає, що існує таке, що звідки випливає, що предикат (*) тотожно істинний. З другого висловлення випливає, що існуєтаке, що, а це означає, що предикат (**) тотожно хибний. Оскільки та належать області інтерпретації, то з (*) маємо а з (**) - що. Це протиріччя доводить, що формула тавтологія, с) Нехай Q (x, y)= «x, y» на множині натуральних чисел. Тоді (для кожного натурального числа існує більше за нього) і (не існує найбільшого натурального числа). У даній інтерпретації формула перетворюється у хибне висловлення, тому не є тавтологією.d) Нехай дана відкрита формула не тавтологія: існують предикати і, що. Звідси та. Предикат не тотожно істинний, тому існує, що. Не отримали протиріччя, але маємо підказку, що інтерпретація, у якій формула перетвориться у хибне висловлення, повинна бути такою, щоб , і .

Наприклад, можна на множині натуральних чисел задати .Тоді . Отже, формула не тавтологія, е) Якби у деякій інтерпретації формула була хибною, то посилка імплікації , а висновок хибний. Це означає, що одне з висловлень або істинне. Тобто, один з предикатів або тотожно істинний. Тоді їх дизюнкція тотожно істинний предикат, а тому висновок імплікації. Отже, при істинній посилці висновок не може бути хибним. Формула є тавтологією. f) Розглянемо інтерпретацію на множині натуральних чисел = «х-парне» та = «x-непарне». Тоді посилка = ? «довільне число парне або непарне»? = 1, а висновок = «довільне число парне» ? «довільне число непарне»|= . Формула у цій інтерпретації хибна, тому вона не тавтологія. ?[25, ст. 36]

Приклад 8. Довести, що формули є тавтологіями логіки предикатів (тут формулаА не містить вільних «змінних):


a);););););

f).


а) Припустимо, що формула не тавтологія. Тобто існує предикат на деякій множині М і елемент , що . Тоді

і . З першої умови випливає, що тотожно істинний предикат, що суперечить другій умові. Отже, припущення не вірне, формула тавтологія. b) Якщо формула містить еквіваленцію, то доведення того, що вона істинна в будь-якій інтерпретації, можна проводити одним із шляхів, залежно від вигляду лівої і правої частини.

Наприклад, щоб довести, що , розглянемо довільну інтерпретацію з предикатом на деякій множині М, на якій ліва частина перетворюється в істинне висловлення (за першою схемою). Тоді. За означенням навішування квантора загальності предикат - спростовний, тоді - виконуваний. Отже,- права частина в цій інтерпретації теж перетворюється в істинне висловлення. Навпаки, якщо права частина у деякій інтерпретації, то за означенням квантора існування виконуваний, отже, Р0(х) - спростовний і . Тоді ліва частина теж Отримали, що у довільній інтерпретації ліва та права частини еквіваленції мають однакове логічне значення, тому формула є тавтологією, с) Нехай ліва частина формули у деякій інтерпретації - Тоді предикат тотожно істинний, а це можливо, лише коли кожен з предикатів Р(х) та Q(x) тотожно істинний. Тоді обидва висловлення та істинні, тому їх конюнкція у правій частині формули теж істинна . Навпаки (за першою схемою) міркуємо аналогічно. d) Нехай у деякій інтерпретації ліва частина формули хибна: . Тоді предикат тотожно хибний. ОскількиА не містить вільних змінних, то вона може перетворюватися як у істинне, так і в хибне висловлення. Якщо, то з хибності випливає, що P(x) тотожно хибний. Тоді і права частина.Якщо, то для будь-якого предиката Р(х) права частина теж 0. Навпаки, якщо справа , то або - і тоді тотожно хибний предикат і, або - і тоді Р(х) тотожно хибний, тотожно хибний і ліва частина теж. За другою схемою обидві частини формули мають однакове значення істинності у будь-якій інтерпретації, тому маємо тавтологію. е) За першою схемою, якщо , то існує елемент , що. При повинно, тобто Р(х) спростовний, і. При права частина істинна завжди . Навпаки доводимо аналогічно. f) Якщо зліва , то предикат тотожно істинний. При повинен бути тотожно істинним, томуі справа

При завжди матимемо . У другу сторону доводимо аналогічно.

Приклад 9. Перевірити, чи правильні міркування:

a)всі ромби є паралелограмами. Всі квадрати - ромби. Отже, всі квадрати - паралелограми;

b)кожний ромб є паралелограмом. Деякі паралелограми - квадрати. Отже, деякі ромби - квадрати;

c)кожний математик мислить логічно. Той, хто мислить логічно, не робить логічних помилок. Іван робить логічні помилки. Отже, Іван - не математик.

?а) Введемо предикати М(х)= «x - ромб», S(x)= «x-квадрат» та P(x)= «x - паралелограм». Формулою дані міркування можна записати так: ?. Маємо силогізм ААА першої фігури, який називають Barbara. Припустимо, що міркування не правильні (нема логічного слідування). Тобто, існує інтерпретація, у якій обидві посилки перетворюються в істинні висловлення, а висновок - у хибне:, а

Тоді предикати татотожно істинні, а предикат спростовний. Тобто існує в області інтерпретації елемент, що , звідси а Оскільки повинно бути, що то . Тоді , а це перечить тому, що предикат тотожно істинний. Отримане про тиріччя доводить правильність міркувань. b) За допомогою предикатів прикладу а) дані міркування запишуться формулами: ?. Тут встановлюється відношення між М та Sчерез Р. Це силогізм четвертої фігури AII. Припустимо, що міркування нелогічні. Тобто, існує інтерпретація, у якій а Тоді

Предикат тотожно істинний, предикат виконуваний, а предикат тотожно хибний. З виконуваності предиката випливає, що існує в області інтерпретації елемент , такий що, звідси і . Оскільки повинно бути, що , то . Тоді . Суперечності не отримали. Тому правильне припущення про нелогічність таких міркувань. Висловлення посилок та висновку можна ілюструвати кругами Ейлера. З ілюстрації міркувань для прикладів а) та b) видно, що у першому випадку висновок очевидний, а у другому з двох даних посилок випливає, що ромби можуть не бути квадратами. Щоб отримати висновок про те, що деякі ромби - квадрати, потрібно вибрати інші посилки. с) Введемо М(х)= «х-математик», S(x)= «x-мислить логічно» та Р(х)= «x - робить логічні помилки», І=Іван. Формулою дані міркування можна записати так:

?. Нехай міркування нелогічні, тоді всі посилки істинні, а висновок хибний: , але . Звідси випливає, що предикатитатотожно істинні, і. Оскільки повинно, то. Тоді , а це суперечить тому, що предикат тотожно істинний. Отже, висновок у даних міркуваннях отримано правильно. Проілюструйте це за допомогою кругів Ейлера.

?а) Формули утворюють окремий випадок закону контрапозиції алгебри висловлень висловлень , тому вони рівносильні b) Оскільки фрмули рінносильні, якщоїх еквіваленція є тавтологією ?, то при доведенні можна користуватись однією із схем прикладу 8 попереднього параграфа. Нехай існує, інтерпретація, у якій ліва частинаЦе можливо, коди предикат Р(х)?Р(у0) спростовний. Тобто, існує елемент що. Звідси і . Отже предикат Р(x) спростовний і виконуваний. Але тодіі права частина, у цій інтерпретації . Тому формули не рівносильні. Далі для доведення рівносильності формул можна використовувати раніше виведені рівносильності і намагатись звести ліву і праву частини до однакового вигляду. Наприклад,, a. Очевидно, що формули виду та не можуть бути рівносильними. с) Перетворимо ліву та праву частини: .

Очевидно, що формули не рівносильні. Легко навести приклад відповідної інтерпретації. Нехай Р(х)= «х>5», Q(x)= «x>10» - спростовні предикати на N. Тоді предикат Р(х)?Q(x) спростовний, бо перетворюється в хибне висловлення, наприклад, при х = 7. Тому ліва частина хибна, а права у цій же інтерпретації

Приклад 2. Записати зведену форму формул логіки предикатів та перетворити її на випереджену:


a) та ;

b);

с);

d) ;

e) ;

f) ;

g) .


?а) Виразимо імплікацію через дизюнкцію та скористаємось законами де Моргана для кванторів: та .Отримали зведені форми даних формул. Винести квантор загальності за дужки у першій формулі не можна, оскільки нема дистрибутивного закону для дизюнкції. Потрібно у одному з доданків перейменувати змінну х якоюсь іншою буквою:. Далі по черзі проносимо квантори загальності через дизюнкцію: - ВНФ. У другій формулі використовуємо відповідний дистрибутивний закон для квантора існування:- ВНФ


b)

-


зведена форма. Квантор існування по х та zможна пронести через дизюнкцію, а змінну у в області дії квантора перейменуємо на t:


.

с)


- зведена форма. Квантори поу та zможна винести за дужки, а змінну х в області дії квантора загальності перейменуємо:


- ВНФ.

d)

-


зведена форма. Щоб винести квантор загальності по y за дужки, в області дії цього квантора замінимо у на


z:- ВНФ.

е)

- зведена форма.

-


випереджена нормальна форма. Тут у перших дужках квантор існування пронесли через дизюнкцію, а у другому множнику зробили заміну зиінних і пронесли усі квантори почергово через конюнкцію.



ВНФ, матриця якої записана у конюнктивній нормальній формі. Така форма називається клаузальною.


- ВНФ.

Приклад 3. Записати сколемівські стандартні форми (ССФ) для всіх формул з прикладу 2.

? а) Префікс не містить кванторів існування, тому сколемівська форма рівносильна самій формулі: . У другій формулі замість х підставимо деяку сталу а: .

b) Перші два квантори існування вилучаємо, замінивши змінні х та zдеякими сталими а та b: .

с) Спочатку замість х вводимо сталу а: . Перед квантором існування по z є квантор загальності по у, тому замість z вводимо деяку сколемівську функцію z=f(y):


d).

e) .


f) Тут потрібно замість х ввести деяку функцію :


.

g) .?


Множина дизюнктів не породжує жодної резольвенти. Отже, неможливо отримати порожній дизюнкт, тому таке міркування не логічне.

c) Введемо предикати І(х) = «х - вміє обчислювати інтеграли»,

М(х) = «х - математик», З(х) = «х - маж математичні здібності»,

D(x) = «х - дитина». Тоді всі посилки та висновок можна записати:


? Далі:


Виписуємо дизюнкти і резольвенти:


(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6) із (1), (2) після

(7) із (1), (3) після

(8) із (2), (4) після

(9)із (3), (5) після

(10) із (1), (8) після

(11)? із (9), (10).

(12)

(13)Тут не виписані зайві дизюнкти за методом насичення рівня, оскільки порожній дизюнкт отримується очевидно. Отже, дане міркування логічне і правильне.


2.2 Тестові завдання для контролю знань і вмінь з даного модуля


І варіант

I рівень

(Виберіть ОДНУ правильну відповідь)

1.(п+т) - місний предикат , заданий на множині M×L, який перетворюється в істинне висловлення для всіх тих і тільки тих значень змінних, при яких перетворюються в істинне висловлення обидва задані предикати називається:

А) дизюнкцією двох предикатів Р і Q;

Б) запереченням двох предикатів Р і Q;

В) конюнкцією двох предикатів Р і Q;

Г) рівносильним для двох предикатів Р і Q.

2. Якщо і - множини істинності предикатів Р та Q, визначених на одній множині М, то множини істинності предикатів можна записати так:


А)

Б)

В)

Г)


3. Якщо і - множини істинності предикатів Р та Q, визначених на одній множині М, то множини істинності предикатів можна записати так:


А)

Б)

В)

Г)


4. Виберіть літеру, запис якої відповідає загальностверджувальному судженню «всі S суть Р» (всі елементи х, які мають властивість S, мають і властивість Р):


А)

Б)

В)

Г)


5. Для предикатів Р(х) = «» та Q(x) = «x=sin» справедливо, що

А) Р(х) та Q(x) тотожно хибні;

Б) Q(x) є логічним наслідком P(x);

В) Р(х) та Q(x) рівносильні;

Г) Р(х) є логічним наслідком Q(x).

6. Нехай xR, а В(х) - предикат, у якому стверджується, що х має властивість В. Записати речення «існує хоча б один xRтакий, що В(х)» мовою логіки предикатів:


А)

Б)

В)

Г)


7. Якщо на множині натуральних чисел задано предикати Е(х) = «x - парне число», D (x, y) = «y ділиться на х», то висловлення українською мовою можна прочитати так:

А) будь-яке натуральне число ділиться на 2 і є парним;

Б) деяке натуральне число ділиться на 2 або є парним;

В) будь-яке натуральне число, яке ділиться на 2, є парним;

Г) деяке натуральне число, яке ділиться на 2, є парним.

8. Якщо формула істинна в будь - якій інтерпретації, то вона називається:

А) істинною в даній інтерпретації;

Б) виконуваною в даній інтерпретації;

В) логічно загальнозначущою в даній інтерпретації;

Г) суперечністю в даній інтерпретації.

9. Якщо формула виконувана хоча б в одній інтерпретації, то вона називається:

А) істинною в даній інтерпретації;

Б) виконуваною в даній інтерпретації;

В) суперечністю в даній інтерпретації;

Г) логічно загальнозначущою в даній інтерпретації.

10. Формула у інтерпретації М=[0; 2], є

А) істинною;

Б) не формулою;

В) виконуваною;

Г) хибною.

Рівень ІІ

(Виберіть одну правильну відповідь)

16.Маємо два одномісні предикати задані на множині натуральних чисел. Предикат Р(х) означає «х ділиться на 2», предикат Q(x) - «х ділиться на 3». Множини ? і ?. Нехай результат однієї з логічних операцій, виконаних над предикатами і . Який вигляд матиме множина істинності предикату , якщо . Відповідь обгрунтуйте і оберіть правильний варіант із запропонованих.


А) ?;

Б) ?;

В) ?;

Г) ?.


17. Розглянемо двомісний предикат «х+у>1», заданий на множині натуральних чисел. Якщо звязати квантором загальності змінну х, що отримається? Відповідь обгрунтуйте і виберіть правильну.

А) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення у;

Б) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення х;

В) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення у;

Г) Одномісний предикат , який буде тотожно істинним для будь-якого значення х.

18. Побудуйте інтерпретацію для формули . Дайте розгорнуту відповідь та оберіть правильну.

А) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

Б) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

В) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і ;

Г) , яка виконується на тих наборах дійсних чисел, для яких і . [Повний перелік тестових завдань додається в додатку А, ст. 89]


3. Методика тестування студентів при вивченні модуля "логіка предикатів"


3.1 Організація та методика проведення тестування


Були обрані за формою проведення групові бланкові тести, які дозволяють охопити велику групу випробуваних одночасно, час відведений для виконання - 50 хвилин. Тести проводилися в робочій обстановці, не затримуючи студентів після пар. При виконанні завдань студентам не дозволяється користуватися допоміжними матеріалами, конспектами, підручниками і т.д. На першому етапі тестування виконується теоретична частина. Далі здаються роботи, і отримуються завдання практичної частини. На теоретичний блок відводиться 30 хвилин.

Перш ніж почати тестування, студентам необхідно дати інструкцію по його виконанню. Вона може мати такий вигляд:

. Приготуйте два аркуші паперу та зазначте вгорі на кожному з аркушів свій курс, групу, прізвище і номер варіанта.

. На першому аркуші вказуємо номери отриманих завдань, записуємо біля номера букву, яка позначає правильну відповідь. На виконання цього завдання (теоретичної частини) відводиться 30 хвилин.

. На другому аркуші вказуємо номери отриманих завдань, записуємо біля номера букву, яка позначає правильну відповідь. На виконання цього завдання (практичної частини) відводиться 30 хвилин. Виконання завдання з практичної частини будуть зараховуватимуться лише в тому разі, якщо завдання буде розвязано.

Тести розроблені за програмою вивчення курсу «Математичної логіки».

Містяться тести, які включають перевірку як теоретичного так і практичного матеріалу. Кількість питань теоретичної і практичної частини відрізняється, теоретична частина містить 15 запитань, практична - 5.

Тестові завдання розроблено для тематичного контролю знань. Тести містять завдання закритої форми.

Завдання закритої форми ми вибрали саме завдання в якому потрібно вибрати одну правильну відповідь, так як за їх допомогою порівняно за короткий час можна визначити рівень засвоєння великої кількості фактологічних знань. За їх використання найменше допускається (а то й зовсім не допускається) субєктивізму в оцінюванні результатів тестування. Оцінюємо їх на основі критеріїв: правильна-неправильна відповідь.

Тести, які розроблено будемо оцінювати дихотомічно, а саме за кожну правильну відповідь студент отримує один бал, а за неправильну відповідь або за пропуск завдання - нуль балів.

Тестове випробування характеризується тим, що студенти отримують однакові вказівки та інструкцію, жодному студентові не надається ніяких переваг перед іншими, розроблена система оцінювання застосовується однаково для всіх, у процесі тестового опитування ніхто не одержує додаткових пояснень і консультацій. Після отримання завдання кожен студент працює самостійно, не сподіваючись на допомогу сусіда.


3.2 Методика обробки емпіричних даних


Після збору емпіричних даних починається етап математико-статистичної обробки. За класичною методикою етап математико-статистичної обробки можна розбити на низку кроків [23, с. 219].

Перший крок. Статистична обробка результатів тестування починається з формування матриці тестових результатів, в якій кількісні дані представляються в систематизованій і стислій формі, щоб забезпечити їх подальшу обробку та інтерпретацію. Складання матриці починається з вибору певного правила для оцінки відповідей студентів на завдання тесту.

Якщо символом позначити результат виконання і-м випробуваним -го завдання тесту, то у скороченій формі наведене вище правило можна записати у вигляді:



Після вибору оціночного правила емпіричні дані зводяться в матрицю. Рядки матриці, що складаються з нулів та одиниць, відповідають відповідям студентів на різні завдання тесту. За стовпцями розташовуються профілі відповідей випробовуваних на кожне завдання тесту.

Другий крок. На другому кроці з матриці тестових результатів усуваються рядки та стовпці, які містять тільки нулі або тільки одиниці. Якщо міститься нульовий рядок, то це означає, що випробуваний не зміг виконати правильно жодного завдання в тесті. У цьому випадку висновок досить однозначний. Якщо склалася така ситуація, то тест непридатний для оцінки знань саме цього студента. Для його виявлення рівня знань тест необхідно полегшити, додавши кілька дуже легких завдань, які, швидше за все, більшість інших випробовуваних групи виконає правильно.

Настільки ж непридатний, але вже з іншої причини, тест для оцінки знань студента, якщо він виконав правильно всі без винятку завдання тесту. Причина непридатності тесту - його зайва легкість, яка не дозволяє виявити справжній рівень підготовки студента. Його результати вказують на знання запропонованого в тесті матеріалу, але не дозволяють встановити межу між освоєним і неосвоєним змістом курсу. Можливо, саме цей студент знає багато чого іншого і в змозі виконати по контрольованим розділам змісту набагато більш складні завдання, які просто не були включені в тест.

У цю, здавалося б, звичну для традиційного контролю та бажану для педагога ситуацію, коли випробуваний впорався з усім обсягом контрольованого матеріалу, необхідно використати елементи тестової науки. Хоча традиційний і тестовий контроль слугують одній і тієї ж мети - оцінці знань випробовуваних, між ними є істотні відмінності не тільки за формою проведення, але і за якістю одержуваних оцінок. На відміну від традиційних тестові методи контролю дозволяють відповісти на найбільш важливе питання: наскільки точна оцінка знань кожного випробовуваного і чи слід їй взагалі довіряти? [23, с. 221].

Сама по собі постановка питання ніяк не пов'язана з вадами тестових методів, оскільки помилка (похибка) вимірювання існує завжди і скрізь. У тому числі й у процесі тестових вимірювань виникає ряд похибок, що заважають отримати істинні бали студентів. Існування похибок призводить до думки про відносну точність оцінок, яка варіює і яку можна визнати як достатню.

Зазвичай, якщо нормативно-орієнтований тест зроблений добре, то достатньою точністю володіють приблизно 70% результатів, що знаходяться в центрі розподілу, а приблизно 5% найслабкіших і 5% найсильніших результатів, яким взагалі не можна довіряти, так як вони відображають справжній рівень знань студентів з дуже великою помилкою вимірювання. Саме з цих міркувань професійно організовані тестові служби при опрацюванні відкидають не менш 3% або 5% результатів на кінцях розподілу. На жаль, в нашій країні часто тестові оцінки випробовуваних виставляються без урахування теоретичних обмежень на можливі діапазони їх застосування.

Причина такого становища - практична необізнаність більшості викладачів з основами тестової теорії, незнання основних її положень. Особливо згубно це незнання позначається на якості тестів, що розробляються в нашій країні. Нерідко автор тесту, якщо його виконали всі або майже всі випробовувані групи, розцінює свою роботу як успіх. У цієї тенденції є свої сумні наслідки. Тестові оцінки, отримані зі значною помилкою вимірювання, породжують у викладачів численні сумніви в можливостях педагогічних тестів. По суті, тут винні не тести, а відсутність належного професіоналізму її розробників, але про це чомусь ніхто не думає, особливо в тих випадках, коли критикують педагогічні тести.

При правильному аналізі результатів рядки матриці, які містять тільки нулі або тільки одиниці повинні бути видалені.

Третій крок. Третій крок пов'язаний з підрахунком індивідуальних балів досліджуваних та кількістю правильних відповідей випробовуваних на кожне завдання тесту. Індивідуальний бал і-го випробовуваного - це кількість правильних відповідей на тест. Він підраховується підсумовуванням всіх одиниць, отриманих ним за правильно виконані завдання тесту. Для зручності отримані індивідуальні бали наводяться в останньому стовпці матриці результатів.

Кількість правильних відповідей на j-те завдання також отримуємо підсумовуванням одиниць, але вже розташованих по стовпцях. Число правильних відповідей на кожне завдання також поміщаємо у матрицю
результатів, зазвичай вона розташовується в останньому рядку під номером відповідного завдання тесту.
Четвертий крок. На четвертому кроці здійснюється впорядкування матриці результатів тестування. Для цього роблять перестановку стовпців, розставляючи в порядку спадання. Потім міняють місцями рядки матриці так, щоб верхній рядок відповідав випробуваному з мінімальним індивідуальним балом. Значення розміщують згори вниз у порядку зростання.

П'ятий крок. На п'ятому кроці здійснюється графічна інтерпретація емпіричних даних. Емпіричні результати тестування можна представити у вигляді полігону, гістограми, гладкою кривої (процентиль, огіви) або машинописного графіка.

Для побудови кривих необхідно впорядкувати результати експерименту. Їх можна записати у вигляді незгрупованого ряду довільної форми, рангового ряду, частотного розподілу або розподілу згрупованих частот.

Полігон частот. По ряду частотного розподілу можна здійснити графічне представлення результатів тестування у вигляді полігону частот. Для побудови полігона частот по горизонтальній осі відкладаються тестові бали, а по вертикальній - частота прояву кожного балу у тестованій вибірці студентів.

Гістограма являє собою послідовність стовпців, кожний з яких спирається на одиничний (розрядний) інтервал, а висота його пропорційна частоті спостережуваних балів. Середина стовпця поєднується з серединою інтервалу розряду, яка була обрана довжиною в один бал.

Вибір графічного представлення. Звичайно, для інтерпретації розподілу результатів виконання тесту слід вибрати один який-небудь графік. Часто перевагу віддають гістограмі, оскільки це найбільш відповідне для візуального сприйняття подання в тому випадку, коли змальовується не більше одного розподілу. До того ж гістограма досить зручна для візуального порівняння емпіричного розподілу з теоретичним нормальним.

Для порівняння двох або більше розподілів зазвичай використовують полігони частот, так як при накладанні гістограм виходить досить заплутана картина. Наприклад, за допомогою полігонів можна порівняти результати виконання тесту студентами різних груп, які мають однакову кількість студентів.

Шостий крок. На шостому кроці оцінюються міри центральної тенденції сукупності результатів, отримані при виконанні тесту. Міри центральної тенденції призначені для виявлення «центрального положення», навколо якого в основному групується множина значень розглянутого розподілу даних. Якщо припустити, що множина результатів розташовані на прямій, то «центральне становище» має точка, навколо якої за тою чи іншою ознакою групуються всі результати виконання тесту. При аналізі результатів тестування можна використовувати різні підходи до визначення центру розподілу. Найбільш простий спосіб ґрунтується на виявленні моди розподілу.

Мода - це таке значення, яке зустрічається найчастіше серед результатів виконання тесту. Зазначимо, що якщо всі значення зустрічаються з однаковою частотою, то мода відсутня; коли два сусідні значення мають однакові частоти, які більші за частоту будь-якого іншого значення, то мода визначається як середнє сусідніх значень ; якщо два несуміжні значення мають однакові частоти, які більші за частоту будь-якого іншого значення, то існує дві моди. У цьому випадку кажуть, що група оцінок має бімодальний розподіл.

Середнє вибіркове (середнє арифметичне) визначається підсумовуванням всіх значень сукупності і подальшим поділом на їх кількість. Для сукупності індивідуальних балів групи N випробовуваних середнє значення буде


. (3.1)


Середній результат студентів за кожним завданням обчислюється


. (3.2)


На відміну від моди на величину середнього впливають значення всіх результатів. Таким чином, середнє арифметичне характеризує всю сукупність значень. Воно узагальнює індивідуальні особливості складових розподілу, в ньому зрівнюються окремі значення розглянутої величини. [23, с. 231].

Інтерпретація мір центральної тенденції. Міри центральної тенденції певною мірою допомагають при оцінці якості тесту в тому випадку, коли вона проводиться за результатами апробації тесту на репрезентативній вибірці студентів. Зазвичай вважають, що хороший нормативно-орієнтований тест забезпечує нормальний розподіл індивідуальних балів репрезентативної вибірки студентів, коли середнє значення балів знаходиться в центрі розподілу, а інші значення концентруються навколо середнього за нормальним законом, тобто приблизно 70% значень в центрі, а інші сходять нанівець до країв розподілу.

Якщо тест забезпечує близький до нормального розподіл балів, то це означає, що на його основі можна визначити стійкість середнього значення балів, яке приймається в якості однієї з репрезентативних норм виконання тесту.

Нормальний розподіл унімодальний і симетричний, тобто половина результатів, розташована нижче моди, в точності співпадання з іншою половиною, розташованій вище, а мода і середнє значення рівні. Відсутність повної симетрії в полігоні частот на практиці призводить до змішування моди щодо середнього значення.

У малих вибірках мода, як і середнє значення, втрачає свою стабільність, хоча причиною нестабільності може служити й неправильний підбір за складністю завдань в тесті. Наприклад, якщо за репрезентативною вибіркою вийшла гістограма з бімодальним розподілом, то середнє значення розподілу, що знаходиться в центрі, ніяк не може служити нормою виконання тесту. Швидше за все, тест був сконструйований невдало, що послужило причиною відсутності нормального розподілу емпіричних результатів виконання тесту.

Зміщення середнього значення вліво або вправо, говорить про занадто складну або відповідно занадто легку добірку завдань тесту.

Таким чином, правильно сконструйований нормативно-орієнтований тест на репрезентативній вибірці студентів повинен забезпечувати близький до симетричного розподіл індивідуальних балів, коли мода і середнє значення приблизно рівні, а інші результати розміщені навколо середнього за нормальним законом [23, с. 233].

Сьомий крок. На сьомому кроці визначаються описові характеристики. Введення характеристик пов'язано з необхідністю виявлення додаткових підстав для обґрунтованого порівняння різних розподілів за тестами. При порівнянні декількох розподілів з однаковими середніми за допомогою додаткових характеристик можна виявити істотні відмінності в структурі, що вказують на значні відмінності в якості тестів.

Найбільш важлива характеристика вказує на особливості розкидання емпіричних даних навколо середнього значення балів по тесту. Окремі значення індивідуальних балів можуть бути тісно згруповані навколо свого середнього балу або ж навпаки, сильно віддалені від нього. Тому необхідні оцінки характеристик розподілу, що відображають варіацію, або, як кажуть інакше, мінливість балів по тесту.

Для характеристик ступеня розсіювання окремих значень навколо середнього використовуються різні міри: розмах, дисперсія, стандартне відхилення.

Розмах вимірює на шкалі відстань, в межах якої змінюються всі значення показника у розподілі.

Варіаційний розмах легко обчислюється, але використовується вкрай рідко при характеристиці розподілу балів по тесту. І для цього є вагомі підстави. По-перше, розмах є досить наближеним показником, так як не залежить від ступеня мінливості проміжних значень, розташованих між крайніми значеннями в розподілі балів по тесту. По-друге, крайні значення індивідуальних балів, як правило, ненадійні, оскільки містять у собі значну помилку вимірювання. У зв'язку з цим більш вдалою мірою вважається дисперсія.

Дисперсія. Підрахунок дисперсії ґрунтується на обчисленні відхилень кожного значення показника від середнього арифметичного у розподілі. Для індивідуальних балів значення відхилень несуть інформацію про варіації сукупності значень балів N студентів, тобто відображають міру неоднорідності результатів по тесту.

Сукупність з більшою неоднорідністю буде мати великі за модулем відхилення, і навпаки, для однорідних розподілів відхилення повинні бути близькими до нуля. Знак відхилення вказує на місце результату студента по відношенню до середнього арифметичного по тесту. Для студента з індивідуальним балом вище середнього значення різниця буде додатною, а для тих, у кого результат нижче , відхилення буде менше нуля. Якщо підсумувати всі відхилення, взяті зі своїм знаком, то для симетричних розподілів сума буде дорівнювати нулю. І це не дозволяє оцінити міру неоднорідності розподілу, оскільки відємні та додатні складові дають в сумі нуль. Для подолання цього ефекту кожне відхилення підносять до квадрату і знаходять суму квадратів відхилень.

Тоді сума виду


(3.3)


буде великою, якщо результати тестування відрізняються істотною неоднорідністю, і малою - у разі близьких результатів випробовуваних по тесту.

Величина суми залежить також від розміру вибірки студентів, які виконували тест. Залежність тут цілком очевидна: чим більше студентів, тим більше додатних доданків у сумі, що характеризує варіацію балів по тесту. Тому при порівнянні характеристик мінливості розподілів, що відрізняються за обсягом, виникає перешкода, яка знімається шляхом ділення кожної суми на N-1, де N - кількість студентів, що виконували тест. Визначена таким чином міра мінливості називається дисперсією.

Вона зазвичай позначається символом і обчислюється за формулою

. (3.4)


Стандартне відхилення. Крім дисперсії, для характеристики мір мінливості розподілу зручно використовувати ще один показник варіації, який називається стандартним відхиленням. Стандартне відхилення дорівнює кореню квадратному із дисперсії


(3.5)


Інтерпретація. Дисперсія грає важливу роль в оцінці якості нормативно-орієнтованих тестів. Слабка варіація результатів випробовуваних вказує на низьку якість тесту. Підстави для подібного висновку цілком очевидні. Низька дисперсія індивідуальних балів говорить про слабку диференціацію випробовуваних за рівнем підготовки в тестованій групі.

Дуже висока дисперсія, характерна для випадку, коли всі студенти відрізняються за кількістю виконаних завдань, також загрожує неприємними наслідками і потребує переробки тесту. Перевищення дисперсії призводить до спотворення виду розподілу, який починає істотно відрізнятися від планованої теоретичної нормальної кривої.

При переробці тесту слід керуватися простим правилом: якщо перевірка узгодженості емпіричного розподілу з нормальним дає позитивні результати, а дисперсія зростає, то це означає, що відбувається підвищення диференційовної здатності тесту. Звичайно, використовувати будь-який з існуючих критеріїв для перевірки нормальності розподілу в практиці досить незручно. Тому найчастіше непрофесіонали в оцінці характеру розподілу керуються простим співвідношенням. Для цього величину X порівнюють з потроєним стандартним відхиленням. Якщо ця рівність виконується, тобто якщо


, (3.6)


то дисперсія оптимально висока і можна прийняти гіпотезу про нормальність розподілу.

Восьмий крок. На наступному кроці оцінюються міра симетрії і гостровершинності кривих розподілу.

Асиметрія. Ступінь відхилення розподілу спостережуваних частот вибірки від симетричного розподілу, характерного для нормальної кривої оцінюється за допомогою асиметрії. Наявність асиметрії легко встановити візуально, аналізуючи полігон частот або гістограму. Більш ретельний аналіз можна провести за допомогою узагальнених статистичних характеристик, призначених для оцінки асиметрії в розподілі. На рис. 2.1 представлені криві розподілу з відємною, нульовою і додатною асиметрією (зліва направо) відповідно.


Рис. 2.1. Відємна, нульова і додатна асиметрії


Найбільш вдала формула для підрахунку асиметрії має вигляд

, (3.7)


де - індивідуальний бал і-го студента; - середнє значення балів по групі, яка проходить тестування; - куб стандартного відхилення; - число учасників.

Інтерпретація. Таким чином, асиметрія розподілу додатна, якщо основна частина значень індивідуальних балів лежить праворуч від середнього значення, що зазвичай характерно для легких тестів. Асиметрія розподілу балів від'ємна, якщо більшість студентів отримали оцінки нижче середнього балу. Ефект відємної асиметрії зустрічається у занадто складних тестах, незбалансованих правильно по складності при відборі завдань тесту.

У добре збалансованому за складністю тесті, як уже було сказано раніше, розподіл балів має вигляд нормальної кривої. Для нормального розподілу характерна нульова асиметрія, що цілком природно, так як при повній симетрії кожне значення балів, які менші врівноважують симетрію більшими ніж [23, с. 243].

Ексцес. За допомогою ексцесу можна отримати уявлення про те, чи є полігон частот або гістограма гостровершинним чи плоским. На рис. 2.2 зображені три криві, які відрізняються ексцесом.


Рис. 2.2. Гостровершинна, середньовершинна, плоска криві

Перша крива - гостровершинна, має явно виражений додатний ексцес, друга крива - середньовершинна, має нульовий ексцес, характерний для нормальної кривої, третя крива - плоска, криві такого типу мають ексцес, який менший нуля.

Зазвичай ексцес обчислюється за формулою


(3.8)


де - індивідуальний бал і-го студента; - середнє значення балів по групі, яка проходить тестування; - куб стандартного відхилення; - число учасників.

Інтерпретація. При інтерпретації отриманих оцінок ексцеса необхідно пам'ятати про те, що поняття «ексцес» застосовне лише до унімодальних розподілів. Більш того, інтерпретація результату, що вказує на крутизну кривої розподілу, можлива в порівнянні з невеликою областю моди і втрачає свій сенс у міру віддалення вздовж кривої.

У тому випадку, коли розподіл даних бімодальний (має дві моди), необхідно говорити про ексцес в області кожної моди. Бімодальна конфігурація вказує на те, що за результатами виконання тесту вибірка студентів розділилася на дві групи. Одна група впоралася з більшістю легких, а інша із більшістю складних завдань тесту. Один з найбільш важливих висновків у разі бімодального розподілу націлений на корекцію складності завдань тесту. Мабуть у тесті недостатньо представлені завдання середньої складності, що дозволяють вирівняти розподіл балів, наблизивши його до нормальної кривої.

На закінчення необхідно провести перевірку значущості знайдених значень асиметрії і ексцесу. Для цього необхідно додати інформацію про рівень ризику допустити помилку в статистичному висновку. Найбільш прийнятним для педагогічних вимірювань є рівень в 5%, який допускає помилку в п'яти випадках зі ста.

Дев'ятий крок. Дев'ятий крок призначений для обчислення показників зв'язку між результатами студентів з окремих завдань тесту. При оцінці якості завдань важливо зрозуміти, чи є тенденція, коли одні й ті ж студенти досягають успіху в будь-якій парі завдань тесту. Або навпаки, такої тенденції, що вказує на зв'язок результатів, немає, і склад студентів, які досягли успіху, повністю змінюється при переході від одного завдання до іншого в тесті.

Очевидно, для відповіді на поставлені питання необхідно провести аналіз даних, зібравши їх у таблицю. Однак такий візуальний аналіз даних - справа досить виснажлива, а для більших вибірок і просто неможлива. Тому відповідь на питання про існування зв'язку між двома наборами даних отримують за допомогою кореляції.

Кореляція. Кореляція в широкому сенсі слова означає зв'язок між явищами і процесами. Однак для дослідження зв'язку встановити її наявність недостатньо, необхідно також правильно вибрати її вид і форму показника, призначеного для оцінки міри зв'язку між явищами.

Зв'язок між двома наборами даних і можна виразити графічно за допомогою діаграми розсіювання.

Коефіцієнт кореляції Пірсона. Коефіцієнт кореляції Пірсона обчислюється:


. (3.9)


Коефіцієнт . Для оцінки зв'язку між результатами виконання двох завдань тесту коефіцієнт кореляції Пірсона необхідно перетворити, оскільки результати виконання завдань представляються за дихотомічною шкалою. Дійсно, в матриці містяться стовпці з нулів та одиниць. Кожна одиниця і кожен нуль відповідають результатам відповідей студентів на завдання тесту.

Перетворений коефіцієнт Пірсона, обчислюваний за дихотомічними даними, називається коефіцієнтом «фі». Після переходу формула для обчислення коефіцієнта кореляції результатів за двома завданнями тесту з номерами j і l має вигляд


(3.10)


де - частина випробуваних, які виконали правильно обидва завдання тесту, тобто частина тих, хто отримав 1 по обом завданням; - частина випробуваних, які правильно виконали - те завдання; - частина випробовуваних, які виконали правильно l - е завдання тесту,

Далі для даних матриці підраховується кореляція між результатами. Результати підрахунку значень коефіцієнта кореляції між результатами по окремим завданням тесту зводяться в матрицю.

Десятий крок. На десятому кроці за допомогою підрахунку значень коефіцієнта бісеріальної кореляції оцінюється валідність окремих завдань тесту.

Формула для підрахунку, отримана за результатами виведення, має вигляд


(3.11)

де - середнє значення індивідуальних балів випробовуваних, які виконали правильно j-те завдання тесту; - середнє значення індивідуальних балів випробовуваних, які виконали невірно j-те завдання тесту; - стандартне відхилення на множені значень індивідуальних балів; - число досліджуваних, які виконали правильно j-те завдання тесту; - число випробовуваних, які виконали невірно j-те завдання тесту; N - загальне число досліджуваних, - ордината нормованого нормального розподілу в точці, за якою лежить відсотків площі від нормальної кривої.

Обчислення за формулою 2.11 вимагає використання спеціальних таблиць для знаходження ординат стандартної нормальної кривої і певної математичної підготовки. Тому нерідко використовують інший коефіцієнт кореляції, який отримав назву точково-бісеріального коефіцієнта - . Підстави для подібної заміни цілком зрозумілі, оскільки і точково-бісеріальний і бісеріальний коефіцієнти дуже схожі і обчислюються за схожими наборами даних. Однак формула для визначення коефіцієнта бісеріальної кореляції набагато простіша, тому саме йому часто віддають перевагу в практичній роботі. Крім простоти в обчисленні, точково-бісеріальниі коефіцієнт в порівнянні з бісеріальним має ще одну важливу перевагу. Для підрахунку значення не потрібно ті гіпотези, які висуваються в силу необхідності щодо нормального характеру розподілу дихотомічних даних при визначенні міри зв'язку за формулою 2.11.

Припущення про нормальний розподіл вельми важливе для обчислення . У тому випадку, коли гіпотеза про норальності порушується, значення можуть виходити за межі інтервалу ; зміщуючись в ту або іншу сторону вздовж числової прямої.

На відміну від бісеріального точково-бісеріальний коефіцієнт не буває більше 1 або менше -1. Формула для обчислення значення , має вигляд

(3.12)


де всі позначення - ті самі, що і в формулі 2.11. [23, с 241].

Інтерпретація. Аналіз значень коефіцієнта бісеріальної кореляції вказує на досить невдалі завдання тесту і для поліпшення тесту їх необхідно видалити.


Висновки


Навчання в університеті дозволяє впевнетися, що одним з ефективних методів педагогічного контролю є тестування, сутність якого полягає в застосуванні тестів у процесі контролю знань студентів.

В сучасній системі навчання перевірка та оцінювання знань, умінь і навичок студентів - невідємна складова частина навчального процесу у ВНЗ. Широке впровадження тестового контролю навчальних досягнень сприяють підвищенню ефективності навчального процесу, формуванню знань, умінь та навичок, професійної компетентності майбутніх фахівців освітньої галузі.

Використання тестового контролю дає змогу вирішувати важливі завдання щодо управління навчально-виховним процесом у вищих навчальних закладах: корегування змісту освітніх стандартів і навчальних програм, вдосконалення методів викладання предметів, підвищення ефективності самостійної роботи студентів, вчасно виявляти прогалини у вивченому матеріалі. Важливими педагогічними умовами ефективного впровадження тестового контролю знань з логіки предикатів є послідовне та систематичне тестування студентів, удосконалення методичної підготовки викладачів щодо проведення тестування, використання різних видів тестового контролю у поєднанні з традиційними.

Результати проведеного дослідження дозволяють зробити наступні висновки:

.Систематизовано та узагальнено теоретичний матеріал модуля логіки предикатів курсу математичної логіки та теорії алгоритмів;

2.зясовано особливості методики викладання модуля логіки предикатів;

3.Підібрано систему завдань, що ілюструють основні теоретичні поняття даного модуля.

Список джерел


1.Игошин В.И. Математическая логика и теорія алгоритмов. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1991. - 287 с.

2.Лісова Т.В. Математична логіка та теорія алгоритмів. [практикум] - Ніжин: Вид-ць ПП Лисенко М.М., 2011 - 116 с.

3.Бородін О.І., Теорія чисел. «Радянська школа», К., 1965. - 244 с.

.Буренніков Ю.А., Дерібо О.В. Тестовий контроль знань студентів, як засіб підвищення ефективності навчального процесу // Вісник ВПІ. - 1994. - №2. - С. 81-84.

.Бухштаб А.А., Теория чисел. Учпедгизд., М., 1960. - 375 с.

5.Дубів О.В., Нелюбов В.О. Методичні рекомендації по розробці тестових завдань для автоматизованого контролю знань студентів. - Ужгород: ЗакДУ, 2007. - 28 с.

.Дуженков В.Д., Панасик Т.І. Деякі аспекти методики складання тестових завдань // Організація навчально-виховного процесу. - 2006. - №8. - с. 104-109.

.Завало С. Т, Костарчук В.М., Хацет Б. І, Алгебра і теорія чисел. ч. 2, - К.:Вища школа, 1976. - 408 с.

.Завало С.Т., Левіщенко С.С., Пилаєв В.В., Рокицький І.О. Алгебра і теорія чисел. Практикум. Ч. 1. - К.: Вища школа, 1983. - 232 с.

.Кліменко В.М., Дупляк В.Д., Шиліна О.П. Обєктивний контроль знань студентів // Вісник ВПІ. - 1994. - №2. - С. 87-88.

.Коломієць М.П., Молодова Л.В. Словник іншомовних слів. - К.: Освіта, 1998. - 190 с.

.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел, М.: Высшая школа, 1979. - 559 с.

.Лосєва Н.М. Тестування в умовах багатоступеневої підготовки фахівців у вищій школі // Освіта і управління. - 2002. - №4. - с. 150 - 156.

.Лузіна М.О., Голуб Г.Г., Возна А.М. Система комплексної діагностики знань студентів. Навчальний посібник. - Львів: Львівський банківський інститут НБУ, 2002. - 38 с.

.Малихін А. Тестовий контроль і підвищення якості освіти у вищій педагогічній школі // Рідна школа. - 2006. - Червень. - С. 9-11.

.Методика навчання і наукових досліджень у вищій школі. Навч.посіб / За ред. С.У. Гончаренко, П.М. Олійника. - К.: Вища школа, 2003. - 323 с.

.Окунев Л.Я., Краткий курс теории чисел, Учебное пособие для пединститутов, М., 1956. - 240 с.

.Практикум педагогічної майстерності: Навчальний посібник /Кол. автор.: Сергеєва Л.М., Молчанова А.О., Пащенко О.В. та ін./ За ред. В.В. Олійника - К.: ТОВ «Етіс Плюс», 2008. - 184 с.

.Проскуряков И.B. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1974. - 384 с.

.Сметанський М.І. Контроль за навчально-пізнавальною діяльністю студентів: проблеми, шляхи розвязання // Вища школа. - 2004. - №4. - С. 63 - 68.

.Студентські наукові записки (Збірник наукових статей студентів фізико-математичного факультету). - Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2011. - Випуск 4. - 80 с.

.Сушкевич А.К., Теорія чисел. Видавництво Харківського Державного Університета Імені А.М. Горького, Х., 1954.

.Фадеев Д.К., Сочинський И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М.: Наука, 1977. - 288 с.

.Челышкова М.Б. Теория и практика конструирования педагогических тестов: Учебное пособие. - М.: Логос, 2002. - 432 с.

.Шторм Р. Теория вероятностей и математическая статистика. Статистический контроль качества. М.:Мир, 1970. - 471 с.

25.Євладенко В.М., Халецька З.П., Нарадовий В.В. Математична логіка та теорія алгоритмів. - К.:Код, 2009.-116 с.

26.Головко Н.М. Приклади застосування методу резолюцій // Наукові записки. - Випуск 6. - Кіровоград: РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 2013. - с. 12-15.

предикат математика логіка тестування


1. Основні теоретичні відомості з модуля логіки предикатів 1.1 Предикати. Логічні операції над предикатами Нехай є деяка множина п-місним предика

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ