Основы линейного программирования

 

1. Решить задачу линейного программирования



Строим графики


1.2х1+х2=4 (0,4) и (1,2)

2.х1+2х2=6 (0,3) и (2,2)

.х1+х2=3 (1,2) и (2,1)

f: 3х1+2х2=0 (0,0) и (2,-3)



OABCD- многоугольник решений системы. Оптимальные решения - в вершинах многоугольника. Смещая параллельно самой себе линию целевой функции f, пока многоугольник условий не окажется ниже этой прямой. Это произойдет, если прямая f займет положение (предельное) в точке В (1,2):

Значит f (1,2)=3*1+2*2=7


. Составить и решить задачу линейного программирования


Предприятию требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,3‰ и с долей зольных примесей не более 3,25%. Содержание примесей в трех сортах угля приведены в таблице.


Полезное веществоСорт угляАБВСодержание фосфора, ‰0,60,40,2Содержание примеси золы, %243

Цена килограмма угля сортов А и Б составляет 30 рублей, а сорта В - 45 рублей.

Составьте задачу линейного программирования о пропорциях смеси углей минимальной цены, удовлетворяющей ограничениям на содержание примесей. Найдите оптимальные пропорции смеси.

Решение

Введем переменные x1 - количество 1 вида угля, x2 - количество 2 вида угля, x3 - количество 3 вида угля. На переменные накладывается условие неотрицательности.

Таким образом, получим следующую математическую модель:

= 30x1 +30x2 +45x2 ? min


0,6x1 +0,4x2 +0,2x2 60,

2x1 +4x2 +3x2 40,

x1 ³ 0,

x2 ³ 0.

Для этого подготовим исходные данные. Внесите следующие данные и функции, указанные в таблице 1.


Таблица 1.

Исходные данные

Решениеx1x2x2 000,052 Целевая функция303045min=СУММПРОИЗВ($B$2:$D$2;B3:D3) Коэффициенты Свободные членыОграничения0,60,40,2<==СУММПРОИЗВ (B2:D2;B5:D5)0,3243<==СУММПРОИЗВ (B2:D2;B6:D6)3,25

В ячейке E3 используется функция для вычисления значения целевой функции f = c1x1 + c2x2+ c3x3, где c1 и c2 и c3 - значения коэффициентов целевой функции; x1, x2, x3 - искомые значения неизвестных. Затем в меню «Сервис» выбираем команду «Поиск решения». Если данной команды нет, то Сервис | Надстройки | Поиск решения.


Вводим следующие значения: в поле «Установить целевую ячейку» вводим адрес ячейки $F$3; в поле «Равной» выбираем «минимальному значению»; В поле «Изменяя ячейки» вводим диапазон ячеек $B$2:$D$2.

Щелкаем по кнопке «Добавить». Вводим ограничения:



Выполним процедуру, щелкнув по кнопке «Выполнить». Если решение будет найдено, то появится сообщение: «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены». Выбрав «Сохранить найденное решение», получим таблицу результатов.


Таблица 2.

Результаты

Решениеx1x2x2 000,0517 Целевая функция303045min2,33 Коэффициенты Свободные членыОграничения0,60,40,2<=0,010,3243<=0,1553,25

Делаем вывод, что оптимальное решение X*(0; 0; 0,0517), f(X*)=2,33.


. Математическая статистика


. Проверяющий в течение контрольного периода записывал время ожидания нужного автобуса (в минутах) и получил следующие данные:


1,214,714,450,277,428,458,091,385,629,663,778,681,724,981,833,096,968,046,462,348,678,641,337,080,358,298,70,517,123,786,077,526,014,060,497,986,888,322,932,97

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму.

Найти среднее время ожидания и исправленное среднее квадратическое отклонение для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 95% и 99% для среднего времени ожидания автобуса.

Решение

Имеем выборку из = 40 элементов, Xmin = 0,27

Xmax = 9,66

Длина интервала h = = = 1,565


Получим группировки по интервалам

№ номер интервалаЛевая границаПравая границаЧастота 1 0,271,835 9 21,8353,4 4 3 3,44,965 5 44,9656,53 5 56,538,095 8 6 8,0959,66 9

По формулам определим

Pi = - относительную частоту и плотность относительной частоты

P=

= 9/40 = 0,225 P*1 = 0,14= 4/40 = 0,1 P*2 = 0,064= 5/40 = 0,125 P*3 = 0,08= 5/40 = 0,125 P*4 = 0,08= 8/40 = 0,2 P*5 = 0,128= 9/40 = 0,225 P*6 = 0,14

Гистограмма частот:


Найдем среднее время ожидания нужного автобуса


Хв =,


Где X - середина интервала.


№интервалаЛевая границаПравая границаЧастота Середина

Интервалов

ХXPi(X- - Xв)2 Pi 10,271,83591,05250,2373,926 21,8353,442,61750,2620,682 33,44,96554,18250,5530,137 44,9656,5355,74750,7180,034 56,538,09587,31251,46250,868 68,0959,6698,87751,9972,9945,22958,641

Выборочное среднее Хв = 5,2295

Выборочная дисперсия

Дв = (X- Xв)2Pi


Дисперсия Дв = 8,641

Среднее квадратичное отклонение


= = 2,94.


Исправленная выборочная дисперсия


S2 = Дв, S2 =8,641 8,863


Исправленное квадратичное отклонение 2,98.

Построим доверительные интервалы


Хв - t < m < Хв + t


Надежность 95%, т.е. = 0,95,


= 0,475, тогда t = 1,96


,2295 - *1,96 < m < 5,2295 + *1,96

,2295 - 0,9242 < m < 5,2295 + 0,9242

,3053 < m < 6,1537

Надежность 99%, т.е. = 0,99

(t) = 0,495, t = 2,58

,2295 - *2,58 < m < 5,2295 + *2,58

,2295 - 1,2165 < m < 5,2295 + 1,2165

,013 < m < 6,446


. Корреляционный анализ


Исследовать связь между объемом выпускаемой продукции и затратами на производство на основании следующих данных.


объем, тыс. шт.34,22,85,24,43,92,94,32,71,6затраты, тыс. руб.2231,72135,933,7302041,118,813,1

Находим выборочные средние



Вычислим коэффициент корреляции



Вычислим


=(3-3,5)(22-3,5)+(4,2-3,5)(31,7-26,73)+(2,8-3,5)(21-26,73)+(5,2-3,5)(35,9-26,73)+(4,4-3,5)(33,7-26,73)+(3,9-3,5)(30-26,73)+(2,9-3,5)(20-26,73)+(4,3-3,5)(41,1-26,73)+(2,7-3,5)(18,8-26,73)+(1,6-3,5)(13,1-26,73)=76,112


Тогда коэффициент корреляции

Таким образом, коэффициент корреляции достаточно близок к 1 и связь между Х и У тесная. Т.к. >0, то связь между Х и У прямая: чем больше объем производства, тем больше затраты.

А=

В=

С=

Решение


Находим , где


- определитель матрицы В

транспонированная из алгебраических дополнений

Тогда

Находим

Находим

5. Теория вероятности


Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2. Составить закон распределения числа выигрышей среди четырех случайно выбранных билетов. Построить многоугольник распределения.

Решение

Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,2, т.е. р=0,2

Вероятность проигрыша q=1-p,q=1-0,2=0,8

Случайным образом выбирают 4 билета.

При решении задачи используем теорему Бернулли


, тогда

Проверка

линейный программирование случайный величина

Закон распределения случайной величины

xi01234Pi0,40960,40960,15360,02560,0016Многоугольник распределения


. Матрицы и операции над ними


Выполнить умножение матриц АВ-1С

. Решения системы уравнений методом Крамера



Находим определители третьего порядка

(-1,3,0) - решение системы


1. Решить задачу линейного программирования Строим графики 1.2х1+х2=4 (0,4) и (1,2) 2.х1+2х2=6 (0,3) и (2,2) .х1+х2=3 (1,2) и (2,1)

Больше работ по теме:

КОНТАКТНЫЙ EMAIL: [email protected]

Скачать реферат © 2017 | Пользовательское соглашение

Скачать      Реферат

ПРОФЕССИОНАЛЬНАЯ ПОМОЩЬ СТУДЕНТАМ