Неравенство Чебышева

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3
1. Неравенство Чебышева 4
2. Аксиома Чебышева 6
3. Образцы применения ЗБЧ и неравенства Чебышёва 9
Заключение 12
Перечень используемой литературы 13

























ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрения разряд утверждений и теорем из большущий группы этак именуемых предельных теорем теории вероятностей, устанавливающих ассоциация меж теоретическими и экспериментальными чертами случайных величин при огромном числе испытаний над ними. Они сочиняют базу математической статистики. Предельные аксиомы условно разделяются на две группы. 1-ая группа теорем, именуемая законодательством огромных чисел, устанавливает живучесть средних значений: при огромном числе испытаний их обычный итог перестает существовать случайным и может существовать предсказан с достаточной точностью. 2-ая группа теорем, именуемая центральной предельной аксиомой, устанавливает условия, при которых закон распределения суммы огромного числа случайных величин безгранично близится к стандартному.
















1. Неравенство Чебышева
Пусть случайная размер владеет окончательный момент другого распорядка , тогда
, ( 1)
где - хоть какое настоящее количество и . Соответствие(1)именуют неравенством Чебышева.
Поначалу осмотрим подтверждение неравенства, последующего из(1)при :
. ( 2)
Подтверждение неравенства Чебышева удобнее разглядывать раздельно для постоянной и для дискретной случайных величин. При этом подтверждения являются сравнительно элементарными, а ход доказательств полностью явен. В то время как всепригодное подтверждение, верное и для постоянной и для дискретной случайных величин как оказалось существенно наиболее трудным. Осмотрим постоянную случайную величину с плотностью вероятности . Тогда в соотношении 1-ое слагаемое разрешено доставить в виде
,
поэтому
.
Тут применено неравенство - верное на области интегрирования. Приобретенное представление совпадает с неравенством(2). Сходственно выполняется подтверждение для дискретной случайной величины.
Сейчас случайную величину (2)разрешено сменить на случайную величину , в каком месте - хоть какое настоящее количество, тогда из(2)следует неравенство Чебышева(1). Это неравенство описывает рубеж сверху для вероятности либо, как молвят, огромных уклонений случайной величины от числа . Огромные уклонения понимаются в значении их превышения над данным числом .
Пусть , тогда неравенство Чебышева(1)владеет вид
. ( 3)
Сейчас малое избежание разрешено мерить в единицах среднеквадратического уклонения случайной величины , т. е. положить
, ( 4)
где - коэффициент пропорциональности. Подставим(4)в(3), тогда
. ( 5)
Ежели левая. Ant. левая дробь , то(5)не представляет какого-нибудь ограничения на случайную величину, так как возможность не может вылезать за пределы промежутка . Потому коэффициент в(5)владеет значение разглядывать лишь огромным: . Отседова явна интерпретация неравенства Чебышева как неравенства, определяющего рубеж сверху вероятности огромных уклонений.
Пусть - постоянная случайная размер с плотностью вероятности , тогда неравенству Чебышева(1)разрешено отдать элементарную геометрическую интерпретацию, представленную на рис. 1.

Выдержка

3. Образцы применения ЗБЧ и неравенства Чебышёва
Образчик 1.
Разрешено сориентировать неотрицательную случайную величину Х и позитивное количество а такие, что 1-ое неравенство Чебышёва обращается в сходство.
Довольно разглядеть .
Тогда М( Х)= а, М( Х)/а = 1
и Р( а>a)= 1,
т. е. P( X>a)= M( X)|a = 1.
Следственно, 1-ое неравенство Чебышёва в его общей формулировке не может существовать усилено. Но для подавляюего большинства случайных величин, используемых при вероятностно-статистическом моделировании настоящих явлений и действий, левые доли неравенств Чебышёва немало не в такой мере соответственных правых долей.
Образчик 2.
Может ли 1-ое неравенство Чебышёва обходиться в сходство при всех а?
Как оказалось, недостает. Покажем, что для хоть какой неотрицательной случайной величины с ненулевым математическим ожиданием разрешено отыскать такое позитивное количество а, что 1-ое неравенство Чебышёва является серьезным.
Вправду, математическое ожидание неотрицательной случайной величины или позитивно, или одинаково 0.
В главном случае поймем позитивное а, наименьшее позитивного числа М( Х), к примеру, положим а = М( Х)/2. Тогда М( Х)/а более 1, в то время как возможность действия не может превосходить 1, а поэтому 1-ое неравенство Чебышева является для этого а серьезным. 2-ой вариант исключается критериями образца 1.
Образчик 3.
Монетка подбрасывается 10 000 раз. Поставить возможность такого, что гармоника выпадения знака различается от вероятности наиболее чем на одну сотую.
Требуется поставить , в каком месте количество выпадений знака, а независящие с. в. , имеющие расположение Бернулли с параметром 1/2, одинаковые «числу знаков, выпавших при i-м подбрасывании»(то имеется штуке, ежели выстрел герб и нулю по другому, либо индикатору такого, что выстрел герб). Так как , разыскиваемая критика сверху смотрится этак:

По другому разговаривая, неравенство Чебышёва дозволяет закончить, что, в среднем, не наиболее чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты гармоника выпадения знака станет различаться от 1/2 наиболее чем на одну сотую. Мы увидим, как это топорная критика, когда познакомимся с центральной предельной аксиомой.
Образчик 4.
Пусть последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же неизменной С, а ковариации всех с. в. и (), не являющихся соседними в последовательности, одинаковы нулю. Удовлетворяет ли данная последовательность ЗБЧ ?
Воспользуемся неравенством(13)и свойством 12:

Однако для i < j, сообразно условию, , ежели . Следственно, в сумме одинаковы нулю все слагаемые не считая, может существовать, (их гладко n -1 единица).
Оценим любое из их, применяя одно из параметров коэффициента корреляции
(сообразно условию задачки)

при , т. е. последовательность удовлетворяет ЗБЧ.
Образчик 5.
Пусть С = 1, = 0,1. При каких k левая. Ant. левая дробь неравенства(6)не превышает 0,1?0,05?0,00001 ?
В осматриваемом случае левая. Ant. левая дробь неравенства(6)одинаково 100/ k. Она не превышает 0,1, ежели k не не в такой мере 1000, не превышает 0,05, ежели k не не в такой мере 2000, не превышает 0,00001, ежели k не не в такой мере 10 000 000.

Литература

1. Писчий Д. Т. , Конспект лекций сообразно теории вероятностей, математической статистике и случайным действиям М. : Айрис-пресс, 2006. -288 с.
2. Боровков Александр Алексеевич. Концепция вероятностей. 4. изд. М. : Едиториал УРСС, 2003. 470с. Библиогр. : с. 464-466.
3. Бочаров Павел Петрович, Печенкин Александр Владимирович. Концепция вероятностей. Математическая статистика: Учеб. вспомоществование. М. : Гардарика, 1998. 327с. (Univers).
4. Вентцель Лена Сергеевна. Концепция вероятностей: Учебник для студ. вузов. 7. изд. , стер. М. : Верховная школа, 2001. 575с. : рис. , табл.
5. Гмурман Владимир Ефимович. Концепция вероятностей и математическая статистика: Учеб. вспомоществование для студ. вузов. 9. изд. , стер. М. : Верховная школа, 2003. 479с. : рис.

Больше работ по теме: