Наиболее интересные материалы из журнала "Математика в школе"

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра мат. анализа

Курсовая работа

Наиболее интересные материалы из журнала «Математика в школе»

Выполнили: студенты                                                                                                                                          ФМФ, 4курс, 1 группа

                                                                                        Куфтерина М. Ю.

                                                                                                     Магданова Г. Р.

                                                            Проверил: ст.преподаватель

                                                                                                 кафедры мат.анализа

                                                                                                  Юльякшин М. Г

Уфа – 2006

СОДЕРЖАНИЕ

1. Технология обучения правилам в системе развивающего обучения………………………………………………………………..3

2. Эвристические приемы решения логических задач………………………12

3. Методы проблемного обучения……………………………………………..23

4. Пропедевческий этап обучения поиску дополнительных

построений ...................................................................................................27

5. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики …………36

6. Взгляд на элементарную геометрию с точки зрения высшей…………….. 47

7. К вопросу реализации логической составляющей образовательной

области «Математика»………………………………………………………….60

8. Что делать с ошибками……………………………………………………….68

9. Литература…………………………………………………………………….85

ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ ПРАВИЛАМ В СИСТЕМЕ РАЗВИВАЮЩЕГО ОБУЧЕНИЯ

Т. П. ГРИГОРЬЕВА (Н. Новгород)

За последние годы в связи с появлением школ нового  типа (гимназий, лицеев и т.п.) наметился рост числа учителей начальных классов, работающих по программам развивающего обучения в системе Д.Б.Эльконина — В.В.Давыдова. Следовательно, уже сейчас, а тем более в ближайшие годы учителям математики все чаще придется иметь дело с целыми классами, обучавшимися по этой системе. Учитель среднего звена, принимающий таких детей в  V классе, должен владеть основными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно реализовать их учебно-познавательный потенциал, приобретенный в начальной школе.

Курс математики    V—VI    классов содержит много вычислительных правил. Поэтому в первую очередь представляет интерес технология обучения правилам: системе развивающего обучения (РО). В основу этой технологии положена теория учебной деятельности Д.Б.Эльконина — В.В.Давыдова. [4]

Охарактеризуем кратко каждый из этапов, а затем проиллюстрируем их на примере обучения правилу умножения десятичных дробей.

I.  Мотивационно-ориентировочная часть

Этап актуализации. Цели: актуализация опорных знаний, необходимых для введения и обоснования правила выявление того, освоен ли учащимися пооперационный состав действия на основе нового правила; создание «ситуации успеха» для последующей деятельности. Основным средством актуализации являются специальные упражнения, которые учителю нетрудно составить самому, исходя из логико-математического анализа правила. Итогом данного этапа является ответ ученика на вопрос: «Готов ли я к изучению нового?» Поэтому обычно практикуется индивидуальное выполнение упражнений с последующей фронтальной проверкой.

Этап мотивации.   Цель: формирование у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с «открытием» нового правила.

   Создав «ситуацию успеха» на первом этапе, учитель предлагает ребятам конкретную учебно-практическую задачу, которая по внешним признакам знакома им. Однако ее решение вызывает серьезные затруднения или приводит к нерациональным операциям. Так в сознании учащихся создается   «ситуация интеллектуального конфликта», которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности.

Сначала каждый ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет помощь у других. Таким образом на уроке возникает сотрудничество учащихся.

Этап постановки учебной задачи. Цель: непосредственное подведение учащегося к необходимости «открыть новое правило».

Ученики анализируют в группах затруднения, возникшие в связи с конкретной учебно-практической задачей. Тем самым они пытаются отделить свои знания от незнаний. Этот этап обычно заканчивается ответами школьников на вопрос:   «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?»

Итак, учащиеся сами формулируют цели урока, которые фиксируются на доске и в их тетрадях, например, в такой форме:   «Открыть правило...»

В школьной практике часто наблюдается иной подход. После  создания проблемной ситуации учитель спешит сообщить ученикам, что данную задачу они решить не могут, так как не знают такого-то правила. Далее он формулирует цели и тему урока. В этом случае цели урока не становятся для школьников лично значимыми, что существенно влияет на последующую их учебно-познавательную деятельность.

Этап планирования.   Цель:   составление программы дальнейшей деятельности.

Выясняем коллективно характеристические свойства данных и искомых объектов, затем выделяем последовательность вопросов, поиск ответов на которые приведет к решению сформулированной выше учебной задачи.

 II. 0перационно-исполнительская часть

Этап преобразования условия задачи. Цель: преобразование условия задачи таким образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими         свойствами данных и искомых объектов.

Этап моделирования правила.   Цель: создание модели правила, ее анализ и уточнение.

Учащиеся пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе характеристические свойства данных и искомых объектов в виде некоторой модели (графической или символьной).   На этом этапе урока желательно прибегнуть к групповой форме. Каждая группа обычно создает свою модель. Результаты фиксируются и  крепятся к доске. Затем учитель организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель правила   (если она имеется среди предложенных)   или корректируются предложенные. В процессе обучения ребята становятся более самостоятельными при создании моделей новых правил и поэтому начинают предлагать различные виды моделей, которые все менее нуждаются в уточнении.

Этап преобразования модели правила.  Цель:  получение словесной формулировки правила.

 После того как выявлена и уточнена модель правила, учащиеся пытаются в группах сформулировать словами само правило. Теперь модель выступает в роли внешней опоры для формулирования правила. Полезно сравнить отредактированный вариант формулировки правила с тем, который предложен в школьном учебнике.

В заключение целесообразно выделить последовательность операций, из которых состоит выполнение действия на основе правила, т.е. придать ему алгоритмическую форму. Более того, уместно выделенную последовательность действий зафиксировать письменно в тетради по моделированию.

Этап обработки правила. Цели сознание, осмысление, запоминание правила. На  этом этапе модель правила выступает в роли ориентировочной основы  деятельности, в результате которой  действие, построенное на новом правиле, должно перейти из внешнего плана во внутренний. С помощью специальной системы упражнений, к которой предъявляются в методике обучения математике определенные требования, происходит интериоризация действия. Ребятам предлагается выделить принципиально различные случаи на его применение. Таким образом, ученик привлекается к составлению упражнений. Получается первый цикл заданий, который отвечает главному признаку системы упражнений — принципу полноты. Упражнения первого цикла класс решает фронтально, а учитель осуществляет операционный контроль за выполнением действия.

В следующий цикл учитель включает задания рефлексивного характера, например упражнения «с ловушками», в которых предлагается найти задачи с преднамеренно допущенными ошибками при их решении. Очень  полезно составлять словарь ошибок  на данное правило. Так ученики выделяют ошибко опасные случаи. Ребятам нравятся такие задания. Постепенно ученики вовлекаются в творческую деятельность, направленную на составление заданий с ловушками и словаря ошибок.

В настоящее время имеется достаточно много вариантов учебников по математике для    V—VI классов. Поэтому легко практиковать следующее задание: «Подберите из других учебников новые задачи на данное правило, которые не были  рассмотрены на уроках». Постепенно можно привлекать ребят и  к самостоятельному составлению новых задач, представив себя в роли автора учебника. При этом у школьников развиваются речь, воображение,  эмоционально-эстетическое отношение к заданиям.

III. Рефлексивно-оценочная часть

Этапы контроля и оценки.   Цели:  помочь учащимся овладеть способами

и критериями самоконтроля и самооценки;  определить уровни усвоения правила;  выявить   «точечные»   затруднения в усвоении правила.

Учитель подбирает или составляет сам систему заданий, с помощью которой можно диагностировать усвоение правила. Каждый ученик выполняет самостоятельно предложенные задания, а затем подвергает по операционному контролю выполнение каждого из них, фиксируя свои выводы рядом с решением в виде последовательности знаков:

+ (если уверен в правильности выполненной операции),

- (если не знает, как выполнить операцию),

± (если не уверен в правильности выполненной    операции).

Проверяя данную работу, учитель не исправляет допущенные учеником ошибки, но фиксирует их в своей тетради. Кроме того, сопоставляет последовательность знаков пооперационного контроля ученика с выполненными им заданиями. На основе проведенного содержательного анализа он составляет вторую работу в виде тестов, где к каждому заданию предлагаются несколько вариантов  решений (правильных, неправильных, нерациональных), которые взяты, непосредственно из первой работы самих учащихся.

Ученик индивидуально отвечает на вопросы теста. Потом учащиеся уточняют свои ответы в группах, а учитель организует совместное обсуждение результатов(если в этом есть необходимость). В заключение учитель раздает тетради  с первой работой, ученик выполняет заново те задания, в которых, как он считает, допустил ошибки. Только теперь учитель ставит оценку, сравнивая результаты двух выполненных работ, чтобы убедиться в возможности ребят корректировать свою деятельность.

Естественно, что реализовать на одном уроке все перечисленные этапы

учебной деятельности невозможно. Как правило, на первом уроке происходит «открытие правила». Этап отработки, достаточно длительный повремени, реализуется на нескольких уроках. Заключительным этапам также посвящаются отдельные уроки.

Проиллюстрируем предложенную технологию на примере урока, на котором учащиеся    «открывают» правило умножения десятичных дробей.

Мотивационно-ориентировочная часть

Замечание. Ребятам уже известно правило умножения обыкновенных дробей, которое будет использовано при открытии»  нового правила.

Актуализация.    Учитель задает классу следующие вопросы   (ответы учащихся приведены в скобках).

Какому числовому множеству принадлежат следующие числа: 5461; 1,21; 4,3; ?(Множеству обыкновенных дробей; множеству десятичных дробей.) Поясните свой ответ. (Все записанные числа можно представить в виде обыкновенных дробей, например: 5,461= и т.д. Кроме того, их можно представить и в виде десятичных дробей, например: 5461=5461,0). Сколько десятичных знаков содержат данные числа? Отделите запятой, считая справа налево, три десятичных знака в числе 5461. (5,461.) А теперь отделите запятой три знака, считая слева направо.   (546,1.)Сравните 5,461  и 546,1. Сделайте вывод. (Положение запятой не зависит от того, из каких цифр состоит исходное натуральное число. Это положение определяется  только тем, сколько цифр надо отделить и в каком порядке считать отделяемые цифры: слева направо или справа налево.) Отделите запятой, считая справа налево, в числе 5461 четыре десятичных знака, а потом пять десятичных знаков(0,5461 и 0,05461)

Сколько десятичных знаков вместе в полученных числах?

Найдите сумму чисел   1,27   и  4,3.   Сформулируйте соответствующее правило. На какое правило оно похоже?   (Правило сложения десятичных дробей полностью аналогично правилу сложения натуральных чисел.)    Вычислите произведение натуральных чисел 127 и 43.

Мотивация.   Класс выполняет следующее задание.

Найдите произведение чисел   1,27   и 4,3.

Ребята выполняют указанное действие в группах (парах)  на отдельных листах: 1,27·4,3=

Возникает межгрупповая дискуссия, в ходе которой учащиеся приходят к первому варианту решения.

Далее вместе с учителем выясняется, сколько операций пришлось выполнить, чтобы найти произведение  двух десятичных дробей:   перевести десятичные дроби в обыкновенные, получить неправильные дроби, выполнить умножение числителей, затем — знаменателей, перевести

 неправильную дробь в смешанное число, записать обыкновенную дробь в виде десятичной - всего шесть операций. Так ученики убеждаются в нерациональности полученного ими способа нахождения произведения

двух десятичных дробей. Теперь учитель просит вспомнить, когда ребята встречались с аналогичной ситуацией. (Когда впервые находили сумму десятичных дробей, не зная соответствующего правила.)

Постановка учебной задачи.   Вопросы учителя: Какая же сейчас перед нами возникает  задача? (Найти правила умножения десятичных дробей, не прибегая  к обыкновенным дробям.) Как сформулировать тему урока? (Ученики записывают в тетрадях тему урока «Правило умножения десятичных дробей».)

Планирование дальнейшего проходит в виде фронтальной беседы.

Мы убедились, что при умножении двух десятичных дробей получается также десятичная дробь:  1,27 * 4,3 =5,461.  Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно отвечать на вопрос:  как получить

десятичную дробь в произведении, если известны множители, являющиеся десятичными дробями?   Вспомним: как из натурального числа можно получить десятичную дробь? (Надо отделить несколько цифр числа запятой)

Следовательно, правило умножения десятичных дробей должно состоять из двух частей. На какие же два вопроса должно отвечать правило умножения десятичных дробей? (Первый вопрос: как получить натуральное число в произведении?  Второй вопрос: как в нем поставить запятую?)

Какая часть правила у вас не вызывает затруднений? (Мы знаем, как ответить на первый вопрос, т.е. как получить натуральное число путем умножения двух натуральных чисел без учета запятых.)

Операционно-исполнительская часть

Преобразование условий задачи.  Итак, нам надо изучить вопрос   о связи положений запятой в данных множителях с положением запятой в произведении. Так мы убедились, что цифровая информация не оказывает влияния на положение запятой, то, по-видимому, чтобы получить ответ на второй вопрос, нужно использовать некоторую схематическую запись трех чисел

Моделирование правила. В группах ученики пытаются перейти к схематической записи, используя самые «вольные знаки: кружочки, квадратики, звездочки, но не цифры. Их записи подвергаются совместному анализу. В группах идет обсуждение и «рождение» модели правила.

По требованию учителя результаты групп, зафиксированные на отдельных листах, выносятся на доску для групповой дискуссии. На доске возникают примерно такие же записи, как в табл. 1.

Таблица   1

I группа	II группа
III группа	IV группа

Преобразование модели правила. Итогом дискуссии является уточненная модель правила, например:

Теперь учитель предлагает ребятам сформулировать правило умножения десятичных дробей словами.

Рефлексивно-оценочная часть

Учитель подводит итоги, выслушав ответы учащихся на следующие вопросы: Какая задача стояла перед нами в начале урока? Можно ли считать, что мы ее решили?   Каково твое участие в открытии правила?

Свою работу на уроке учащиеся оценивают по 10-бальной системе.

Домашнее задание

1. Расскажи близкому для тебя человеку о том, как мы «открывали»  правило умножения десятичных дробей.

2. Правильность выполнения действия умножения десятичных дробей непосредственно связана с безоши­бочностью нахождения произведения натуральных чи­сел. Вспомни, какие особые случаи умножения нату­ральных чисел встречаются, и подбери из учебника (или составь сам)  соответствующие примеры.

Эвристические приемы решения логических задач

В. П. ЗАЕСЕНОК (Москва)

Логические задачи являются оптимальным средством развития творческого мышления и эвристической деятельности школьников. Процесс решения логических задач схож с процессом решения настоящих творческих задач в науке и технике и повторяет все этапы творческого мышления. Кроме того, при решении логических задач используется ряд эвристических приемов, которые могут быть сформированы у школьников пятых-шестых классов на уроках математики. Остановимся подробнее на этих приемах.

Прием конкретизации задачи

Прием конкретизации состоит в нахождении частных случаев общей задачи путем введения до­полнительных видовых свойств явлений. Рассмотрим этот прием на задаче, содержащей ложные высказывания.

 Задача 1. Три ученицы — Галя, Лида и Наташа — в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они дали три разных ответа.

Галя: «Я заняла первое место»;

Лида: «Я заняла не первое место»;

Наташа: «Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правиль­ный, а другой — неправильный».

Кто занял в соревнованиях первое место, если Наташин ответ во всем правдив?

Решение. Итак, Наташа заняла не третье место, а первое или второе. Проанализируем ответы других девочек. Галя сказала, что заняла первое место. Правдив ли ее ответ? Это неизвестно. Конкретизируем задачу. Пусть Галя сказала правду. Тогда она заняла первое место. В этом случае Лида сказала неправду, т.е. неверно, что она заняла не первое место. Но тогда получилось, что и Галя, и Лида заняли первое место, а это противоречит условию.

Выполним конкретизацию по-другому. Пусть Галя сказала неправду, тогда, значит, ответ Лиды правдив. Следовательно, Галя заняла второе или третье место, а Лида также заняла не первое место, а второе или третье. Тогда получим, что первое место заняла Наташа.

Используем прием конкретизации в более сложных задачах.

Задача 2. Четыре ученицы — Мария, Нина, Ольга и Поля — участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1) «Ольга заняла первое место, Нина — второе»;

2) «Ольга — второе, Поля — третье»;

3) «Мария — второе, Поля четвертое». Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая — неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

Решение. Проанализируем ответы девочек.

1) «Ольга заняла первое место, Нина — второе»;

Что здесь истина? Неизвестно. Конкретизируем условие: пусть первая часть ответа — истина , а вторая часть — ложь. Исходя из этого, запишем предполагаемые истинные и ложные высказывания в таблице 1. Теперь легко видеть, что в правом столбце таблицы оказалось два противоречивых утверждения: Ольга и Нина не могут одновременно занимать второе место. Значит, хотя бы одно из этих высказываний действительно ложное.

Таблица   2

Истина	Ложь
Ольга – I место Поля – III место Мария – II место	Нина – II место Ольга – II место Поля – IV место

 

Но никаких противоречии мы не видим в левой колонке. Это помогает нам быстро получить решение.  Итак, в левой колонке отражены истинные места, завоеванные девочками, а Нине осталось четвертое место.

Строго говоря, это решение неполное, так как мы не доказали, что других ответов быть не может. Для этого надо продолжить конкретизацию. Предположим, что первая часть ответа 1) неверна. Это означает, что верно следующее предположение: Ольга заняла не первое место, а Нина — второе.» Но тогда ложна первая часть ответа 2), а значит то, что Поля на третьем месте – истина. Но тогда из ответа 3) получится, что Мария — на втором месте, как и Нина. А это противоречит, условию задачи.

Других конкретизации рассматривать нет смысла, так как любая конкретизация предложения 2) или 3) диктует истинность или ложность первой или второй части в предложении 1), которые уже обеспечили получение ответа. Значит, найденный ранее ответ единственный.

Прием переструктурирования задачи

Переструктурирование заключается в изменении расположения уже имеющихся элементов задачи путем их  перестановки или перегруппировки.

Задача 3.

Акробат и собачонка

Весят два пустых бочонка

Шустрый пес без акробата

Весит два мотка шпагата.

А с одним мотком ягненок

Весит, видите, бочонок.

Сколько весит акробат

В пересчете на ягнят?

Решение. Изобразим условие задачи наглядно(рис.1), обозначив акробата буквой А,  собачонка буквой С,  ягненка буквой  Я,  бочонки и мотки шпагата соответствующими изображениями.

Элементы из третьего равенства переставим в первое условие, заменив каждый бочонок ягненком с мотком шпагата (рис. 2).

В равенство на рис. 2 подставим элементы второго условия, т.е. заменим два мотка шпагата собачонкой (рис. 3).

А+С=Я+@+Я+@ (рис 2)                                   А+С=2Я+С (рис 3)

Итак, А = 2Я, акробат весит столько же, сколько и два ягненка. Задача решена.

Прием разбиения задачи на части

Если в задаче можно выделить самостоятельные части, то целесообразно сформулировать их отдельно и решить по очереди.

Задача 4. Заспорили три мудреца о том, кто из них самый мудрый. Наконец, они обратились к судье, славившемуся своей мудростью. «Скажи нам, справедливейший из судей, кто из нас самый мудрый?»

Задумался судья, а потом и говорит: «Вот перед вами лежат 5 тюбетеек: 3 из красного бархата, а 2 - из черного. Сейчас вам завяжут глаза и наденут тюбетейки на головы. Когда повязки с ваших глаз снимут, самый мудрый из вас скажет, какая тюбетейка у него на голове».

Так и сделали. Сняли повязки с глаз: видит каждый перед собой красные тюбетейки на головах товарищей, а какая на своей голове — не знает. Наконец,

один мудрец сказал: «О справедливейший из судей! Ты велел надеть на меня

красную тюбетейку». «Вот ты и есть самый мудрый из вас троих» —

решил судья. Как мудрец догадался, что на нем красная тюбетейка?

Решение. Так как всего было 5 тюбетеек:3 красные и 2 черные, то возможны три различных варианта:

а) на трех мудрецов надели  2 черные и  1 красную тюбетейку;

б) на трех мудрецов надели  1 черную и 2 красные тюбетейки

в) на трех мудрецов надели 3 красные тюбетейки.

Каждый случай можно рассмотреть отдельно. Причем любая предыдущая подзадача помогает разобраться в последующей подзадаче.  

В случае а) кто-то из мудрецов увидел бы или 2 черные тюбетейки (если на нем самом была красная), или 1 черную (если на нем была черная). А это противоречит условию, где сказано, что каждый увидел только красные тюбетейки.

В случае б) любой из собратьев обладателя черной тюбетейки увидел бы ее. А это тоже противоречит условию.

Остается случай в). К нему можно прийти без сяких дополнительных рассуждений.

Но тот, кто догадался о цвете своей тюбетейки, не знал, что каждый из спорщиков увидел только красные тюбетейки. Он мог предполагать, что на нем — черная. Но ему подсказало верный ответ молчание товарищей. Если бы кто-то из них увидел два черных головных убора, то сразу бы дал верный ответ относительно себя. Но молчание обоих свидетельствовало о том, что любой из них сомневался относительно того, какая тюбетейка у него на голове. А это могло быть только тогда, когда каждый увидел две красные тюбетейки.

Приемы моделирования

 Моделью некоторого объекта А называется объект В, в каком-то отношении подобный оригиналу А, но не совпадающий с ним. Все обучение математике связано с изучением различных математических моделей: число, функция, уравнение, геометрические фигуры и т.д. Однако, работая с моделями, изучая их, учащиеся не осознают свою деятельность в этом аспекте. А школьники должны научиться изучать какие-то явления с помощью моделирования. Это существенно изменит отношение школьников к учебным занятиям. В пятых-шестых классах мы предлагаем обучать приемам моделирования на таких доступных школьникам примерах, как таблицы, схемы, графы и т.п. Эти примеры имеют, быть может, не столько математическое, сколько общеинтеллектуальное, эвристическое значение. Рассмотрим различные приемы моделирования на конкретных задачах.

1. Прием моделирования на полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача 5. На вечеринку собрались четверо друзей: Аня, Вика, Миша и Коля. Коля пришел раньше Ани, но не был первым. Определите, в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Вика пришла последней.

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени». Друзья, пришедшие на вечеринку, обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся пришедшего на вечеринку раньше обозначать на полупрямой (первой буквой его имени) левее, пришедшего позже — правее. По порядку каждое условие отмечаем на полупрямой (рис. 4, а—г).

 

 

 

 

На рис. 4, а показано, что Коля пришел раньше Ани. По рис. 4, б мы видим, что кто-то из друзей опередил Колю, а следовательно, и Аню. Появление еще одной правой точки на рис. 4, в передает условие «Вика была последней». Тогда придется сделать вывод, что Миша пришел раньше всех. Последовательность явки друзей к месту встречи видна на рис. 4, г.

2. Прием моделирования с помощью таблицы

Если в процессе решения необходимо установить соответствие между элементами двух или нескольких различных множеств, то целесообразно использовать таблицу. Поле таблицы представляет собой декартово произведение этих множеств.  Количество входов в таблицу определяется количеством выделенных в задаче множеств,

Задача 6. В одном из московских вузов на разных курсах учатся четыре студента. Определить фамилию, имя, курс, на котором учится каждый студент, если известно следующее.

Борис прошлую летнюю сессию сдал на отлично;

Виктор должен был летом ехать на практику в Омск;

Иванов собирался поехать домой в Челябинск;

Антон был курсом старше Петра;

Борис и Орлов коренные москвичи;

Крылов в прошлом учебном году окончил школу и поступил на тот же факультет, на котором учился Зуев;

Борис иногда пользовался прошлогодними конспектами Виктора.

Решение. Построение модели начнем с выделения трех множеств: множество имен студентов, множество их фамилий и множество курсов. Табл.2 с четырьмя входами охватывает все возможные соотношения между именем и фамилией, между именем и курсом и между курсом и фамилией.   Если теперь, в соответствии с условием, в табл. 2 ставить знаки «минус» на заведомо невозможных парах элементов, то можно прийти к решению задачи.

Отметим в таблице данные из условия задачи. Борис прошлую сессию сдал на отлично, следовательно, Борис не на I курсе – в клеточке (Борис I) ставим знаки «минус».

Виктор летом едет в Омск, а Иванов в Челябинск, значит, фамилия Виктора не Иванов — в клеточке (Виктор; Иванов) прочерк.

Антон курсом старше Петра, значит, Антон учится не на I курсе в клеточке (Антон; I) появляется знак «минус».

 Так как Борис и Орлов коренные москвичи, то фамилия Бориса не Орлов в клеточке (Борис; Орлов) прочерк.

 Крылов в прошлом году окончил школу, т.е. сейчас он учится на I курсе — знак «+» в клеточке (Крылов; I). Ясно, что тогда ни Зуев, ни Иванов, ни Орлов не учатся на I курсе — в этих клеточках ставим прочерки. Борис пользуется прошлогодними конспектами Виктор, значит, Виктор на один курс старше Бориса. Но мы знаем, что Борис уже не на I курсе, следовательно, Виктор учится не на I и не на II курсе – в клеточках (Виктор; I) и (Виктор; II) ставим прочерки.

По условию Иванов из Челябинска, а Борис коренной москвич, следовательно, Борис не Иванов – в клеточке (Борис; Иванов) прочерк. Из таблицы видно, что на I курсе учится не Борис, не Виктор, не Антон. Следовательно, на I курсе учится Петр — в клеточке (Петр; I) появляется знак «+». В клеточках (Петр; II), (Петр; III) и (Петр; IV) прочерки.

Но на I курсе учится Крылов. Значит, Петр носит фамилию Крылов — в клеточке (Петр; Крылов) знак «+». Ясно, что Петр не может быть ни Ивановым, ни Зуевым, ни Орловым, а также Крыловым не могут быть ни Борис, ни Виктор, ни— во всех этих клеточках прочерки.

Обратим внимание на столбец «Иванов». Из него, что ни Борис, ни Виктор, ни Петр не носят фамилию Иванов. Следовательно, Ивановым может быть только Антон – в соответствующей клеточке ставим знак «+». Тогда ясно, что ни Орлов, ни Зуев не носят имя Антон – в этих клеточках появляются знаки «минус».

Обратим внимание на столбец «Орлов»: ни Борис, ни Антон, ни Петр не носят фамилию Орлов. Значит только Виктор может быть Орловым - клеточку (Виктор; Орлов) помечаем знаком «+». Но тогда Виктор не может быть Зуевым — ставим минус в клетке (Виктор; Зуев). Тогда из таблицы видно, что только Борис может быть Зуевым.

Итак, Петр Крылов учится на I курсе, но Антон Иванов курсом старше Петра, значит, Антон Иванов на II курсе – отметим соответствующие клеточки. Мы знаем, что Виктор Орлов курсом старше Бориса Зуева, значит, Борис Зуев учится на III, a Виктор Орлов – на IV курсе.

Задача решена. Ответ наглядно представлен в таблице.

3. Прием моделирования с помощью графов

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними — отрезками. Пунктирные линии будут обозначать указанное в задаче отсутствие соотношения.

Задача 7. Три товарища — Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий — не в Новгороде;

2) москвич преподает физику;

3) тот кто работает в Новгороде преподает химию;

4) Дмитрий и Степан преподают не биологию;

Какой предмет, и в каком городе преподает каждый?

Решение. В задаче можно выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками – вершинами графа (рис. 5).

В зависимости от условий задачи будем соединять точки отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной

линией, если соответствия нет.

Задача сводится к нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в разных множествах (на доске и в тетради их можно выделить разными цветами).

Так, используя условие 1) проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины Москва и физика, а условие 3) выразим сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван.  Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершины Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий живет в Москве — проведем соответствующую сплошную линию. Но москвич преподает физику — эта линия тоже; сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде — проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию — эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе треугольниками. Задача решена.

4. Приемы моделирования с помощью блок-схемы

В этой статье речь идет о задачах, в которых требуется рассмотреть различные варианты ситуации, проанализировать их и сделать соответствующие выводы. Анализируемые ситуации полезно делать максимально наглядными. Мы уже показали различные способы наглядности (таблица, граф). Займемся теперь еще одним способом — составлением блок-схемы, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным изображением (прямоугольником).

Задача 8. На некотором острове отдельными селениями живут правдолюбы и шутники. Правдолюбы всегда говорят только правду, а шутники

постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого, и наоборот. В одно из селений попал путешественник,

но не знает, в какое именно. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников – появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рис. 6).

Блок-схема позволяет их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» - только в селении «шутников».

Методы проблемного обучения

Т. М. КАРЕЛИНА (Оленегорск – 2)

 Из анкеты ученицы IX класса: «Я совершенно не способна думать самостоятельно, размышлять, делать выводы, и вставлять свои варианты реше­ния. Что я Moгy? Пересказать прочитанный текст из учебника, решить задачу по шаблону или готовой формуле... Но самого главного — умения мыслить самостоятельно - у меня нет».

 Что сказать этой девчонке? Как уберечь ребят от разочарования в своих силах в таком юном возрасте?

 Мой опыт работы в школе доказывает, что глубокие, прочные и, главное осознанные знания могут получить все школьники, если развивать у них не столько память, сколько логическое мышление. «Заразить» ребят поиском пути решения заданной проблемы.

Вообще идея проблемного обучения не нова, ей уже более ста лет. Еще в конце прошлого века известный русский методист С.И.Шохор-Троцкий выступил как изобретатель нового метода — «методы целесообразных задач. Он говорил, что обучение должно проходить не через усвоение учебника или объяснение учителя, а при помощи более или менее самостоятельной работы ученика над искусно подобранными заданиями.

Ведь не секрет, что учитель довольно часто встречается с такой ситуацией: он рассказывает и показывает иллюстрации, но некоторые ученики его не слышат, поскольку голова занята совсем другим. Как до таких «достучаться» и «вернуть» на урок? Попробуем предложить классу проблему, а затем спросите мнение учеников по ее разрешению.

С. Л. Рубинштейн характеризуя психологическую природу мыслительного процесса, указывал: «Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием направленным на разрешение определенной задачи. Задача эта заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана... Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия» Добавим, что учитель может использовать проблемные ситуации совершенно разной природы, это может быть и недостаток или несоответствие знаний, средств и способов их применении, и необходимость произвести какие-то неизвестные действия для достижения цели, и выбор между несколькими объектами. Главное не просто увидеть проблему, а понять и захотеть ее решить.

Еще раз отметим, что создание проблемной ситуации — это лишь начало проблемного обучения. Далее учащиеся сами (естественно, под контролем своего преподавателя) должны пройти ряд этапов:

− проанализировать ситуацию;

− точно сформулировать учебно-познавательную проблему;

грамотно выдвинуть гипотезу;

− проверить, хватит ли ему знаний для решения проблемы (на этом этапе учителю надо быть особенно осторожным: чтобы ученик, попав в положение невозможности разрешения вопроса, не отчаялся, надо вовремя прийти ему на помощь).

Следующий шаг — это доказательство гипотезы на основе полученных знаний. Когда результат получен и ученик гордится своими достижениями, учитель может считать свою работу выполненной. Ведь школьник почувствовал прелесть открытия, а значит, познакомился с живой математикой.

Создание проблемных ситуаций требует от учителя овладения специальными методическими приемами. И здесь мне хотелось бы поделиться своим опытом. Можно использовать домашние задания, которые позволяют выдвинуть на следующем уроке учебные проблемы, поставившие школьника дома в тупик. К примеру, перед изучением темы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают такое практическое задание на дом: «Дана прямая l и две точки А и В вне ее. С помощью угольника найти на прямой l такую точку С, чтобы угол АСВ был прямой». Предупреждаю о возможности нескольких решений и требую рассмотреть различные положения точек А, В  и прямой l.

Дома учащиеся, взяв в помощь угольник, сопоставят его стороны с точками А и В, а затем начнут вертеть угольник, пытаясь найти нужную точку на прямой. В зависимости от расположения точек А, В и прямой l, они ее либо найдут (возможны два решения), либо — нет.

При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы), задаю вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощью циркуля и линейки?». Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придет в голову мысль, что, сами того не зная, они пользовались свойством циркуля. А будут и такие, кто уже дома догадается использовать циркуль в работе.

Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом новый материал может рассказать учитель, а лучше пронести урок в форме беседы (с помощью системы вопросов - ответов). В конце урока ученикам дается возможность уже четко ответить на поставленный ранее вопрос.

Проблемная ситуация возникнет, если предложить ученикам выполнить какое-то действие, на первый взгляд не вызывающее затруднения. Так, перед изучением темы о сумме внутренних углов треугольника можно предложить такую задачу: «Построить треугольник по трем заданным углам:

Учащиеся, вооружившись линейкой и транспортиром, начинают строить треугольники. В первом случае, построив углы А и В и отложив угол в 45° от луча АС (или ВС, кому как нравится), ребята увидят, что вместо треугольника получается четырехугольник. Во втором случае независимо от того, какие первые два угла школьники выбирают для построения, всегда получается треугольник, третий угол которого либо больше, либо меньше заданного. И только в третьем случае выстраивается треугольник по трем заданным углам.

По окончании уже можно выдвинуть предположение о сумме внутренних углов треугольника. Здесь уместен провокационный вопрос: «В каком треугольнике, по вашему мнению, сумма внутренних углов больше, в остроугольном или тупоугольном?». Практика показывает, что в каждом классе найдутся несколько человек, которые, зная, что тупой угол всегда больше острого, по аналогии скажут, что сумма внутренних углов тупоугольника больше, чем остроугольного. Я предлагаю им на практике проверить свое утверждение.

 Когда учитель побуждает учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов, возникает познавательное затруднение. Так, перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, решенные на предыдущем уроке и дома способом выделения квадрата двучлена, и предложить для сравнения решить следующее уравнение:

x²+8x-10=0.

Ребята приступают к работе и выполняют задание так:

x²+2·4x+16-16-10=0

(x+4)²-26=0

Примеры типа (x+a)²±b=0, где b не является квадратом целого числа, учащиеся еще не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ решения квадратных уравнений путем выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем  учитель новую тему урока, а психологически готовы ее воспринять.

Я привела лишь три примера, на самом деле существует гораздо больше методических приемов, нежели показано в этой статье. Думаю, что их все даже невозможно перечислить, поскольку у каждого учителя-специалиста они свои.

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЙ ЭТАП ОБУЧЕНИЯ ПОИСКУ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОСТРОЕНИЙ

Н. А. ТАРАСЕНКОВА (Черкассы)

Планиметрические задачи, решение которых требует дополнительных построений, доставляют немало хлопот, как учащимся, так и обучающим. Трудности возникают не только в сложных задачах, но и в самых простых, где намек на необходимое дополнительное построение подчас содержится уже в самой формулировке.

Причины тому кроются не только в том, что у учеников отсутствуют или недостаточно прочны знания о математических фактах, необходимых для решения. Во многом успех в поиске дополнительного построения зависит от того, насколько развит у школьников визуально-оперативный опыт.

Остановимся более детально на анализе затруднений учащихся.

Решение планиметрической задачи со словесной формулировкой условия, как правило, проводится с опорой на рисунок. Если он не содержит какой бы то ни было информации о свойствах фигур, соотношениях числовых данных и т.п., то анализ задачи требует от учащихся значительного напряжения. Действительно, в таком случае приходится удерживать в оперативной памяти информацию не только о данных, но и о следствиях из них, создавать разные комбинации математических фактов, выбирать наиболее пригодную из них и т.д. Использование текстового условия или ее краткой записи не снимает проблему. В такой ситуации возникла необходимость неоднократно переходить от графического объекта к текстовому (символическому) и наоборот. Но графическая и текстовая информации обрабатываются мозгом человека с разными скоростями и по разным закономерностям. В результате если и создаются у учеников промежуточные свер­нутые информационные структуры, необходимые для решения задачи, то времени для того, чтобы удержать их и оперативной памяти, многим школьникам не хватает. В таких условиях эти структуры разрушаются быстрее, чем вычленяется и фиксируется нужный смысл.

Несколько лучше обстоят дела, если на рисунке есть дополнительная информация в обозначениях, которые материализуют закодированное в тексте или в символах условие задачи. Благодаря такой материализации отпадает необходимость постоянно удерживать условие в оперативной памяти - к нему можно вернуться в любое время. Чем больше материализовано фактов на рисунке, тем быстрее и легче может быть проведен анализ задачи и ее решение. Однако не исключено и противоположное. От чего это зависит?

Как показывают наблюдения, к задачам с неочевидным способом решения учащиеся создают альтернативные содержательно-графические интерпретации, т.е. такие рисунки, в которых oотмечено достаточное количество данных для  решения  более чем одним способом. При этом если школьники не умеют абстрагироваться от лишних (фоновых) данных и удерживать в поле зрения  только необходимые, альтернативность интерпретации становится скорее барьером,  чем  помощником в решении задачи.

Умение абстрагироваться от лишней визуальной информации представляет собой один из базовых компонентов визуально-оперативного опыта учащихся. Наши наблюдения показывают, что его стихийное формирование доступно лишь наиболее развитым учащимся. Поэтому современный тренаж на информационно перегруженных интерпретациях по установлению фон-объектных отношений между обозначенными данными является дидактически оправданным и необходимым.

Содержательно-графическую интерпретацию задачи будем называть графически полной, если некоторый способ решения не требует конструктивных изменений исходного рисунка. Решение задач с графически неполной исходной интерпретацией требует дополнительных построений. Графическая неполнота исходной  интерпретации  может быть установлена только в результате выявления ее информационной неполноты, т.е. недостаточности отмеченных на рисунке данных для решения задачи. Таким образом, если у учащихся не сформированы умения оценивать, полноту содержательно - графической интерпретации, задача вряд ли будет решена.

Понятно, что такое умение также следует отнести к базовым составляющим визуально-оперативного опыта учащихся.

Поиск дополнительного построения в задаче, как правило, осуществляется двумя путями:

          а) в результате восходящего анализа приходят к выводу о необходимости  использовать, некоторые фигуры, изображения которых отсутствуют на геометрической конфигурации;

          б) в ходе перебора вариантов вспомогательных синтетических конструкций, подсказанных визуальными или содержательными ориентирами.

Второй путь менее экономный, но ученики его выбирают чаще.

Выполнение дополнительных построений приводит к определенным изменениям исходной геометрической конфигурации. Это может быть, ее расчленение  па отдельные  присоединенные фигуры без изменения контура конфигурации или вычленение фигуры, но внутренней области контура без его изменения, или образование нового контура — дополнение до новой   фигуры, внутренняя область которой вмещает исходную конфигурацию либо полностью, либо частично.

Изменения внутри контура воспринимаются учениками значительно проще, чем те, что связаны с выходом за се пределы. Последние требуют расширения в воображении зрительного поля, визуального анализа в неограниченной внешней области. Это подсознательно оценивается, как необходимость оперировать неограниченными объектами. Большинство учащихся избегает работы с такими объектами. Поэтому прием дополнения фигуры до новой школьники самостоятельно используют крайне редко. Если в задаче ему нет альтернативы, задача часто остается нерешенной.                   Однако, по нашим наблюдениям, учащиеся испытывают значительно меньше трудностей, если у них есть опыт работы с конфигурациями, похожими на ту, которая получится в результате вспомогательных  построений  путем дополнения.   На базе такого опыта происходит опережающая актуализация соответствующего геометрического послеобраза, в его части опознается геометрическая конфигурация данной задачи, а поиск  дополнительного построения фактически сводится к процедуре расчленения.

Визуальный анализ конфигурации в пределах его контура также не всегда прост для учеников. Тут решающее значение имеют умения зрительно отделять объект восприятия от фона, удерживать в поле зрения только объект, а от фона абстрагироваться. Сложность этой процедуры тем выше, чем большее количество элементов содержит фон. Ее также усиливают «набегания» объектов друг на друга, отдельные случаи взаимного расположения разделенных фигур, такие, например, как симметрия относительно невертикалыюй оси, скользящая симметрия, повороты на угол, меньший 180⁰ и др. Поэтому среди возможных дополнительных построений учащиеся предпочитают те, что ведут к расчленению исходной геометрической конфигурации, других же избегают. Понятно, что из-за этого круг задач, поддающихся самостоятельному решению, значительно сужается.

Из сказанного следует, что заблаговременный тренаж на графически перегруженных интерпретациях также дидактически оправдан и необходим. Таким образом, пропедевтический этап обучения поиску дополнительных построений должен включать длительное рассредоточенное формирование следующих умений:

− считывать информацию с рисунка;

− устанавливать фоновые отношении между элементами рисунка;

− абстрагироваться от графического фона и фоновых данных;

− находить, по меньшей мере, один способ решения задачи;

− дополнять рисунок воображаемыми элементами;

− выявлять необходимость дополнительного построения.

Одним из действенных средств достижения отмеченных дидактических целей, по нашему мнению, является специально организованная система заданий по готовым рисункам.

Такой комплекс задач разработан нами к каждой теме курса геометрии VII—IX классов (в соответствии с учебником А.В.Погорелова). Его дидактическое наполнение охватывает значительно более широкий круг вопросов, чем тот, что раскрывается в рамках этой статьи. Об одной из подсистем заданий комплекса рассказывалось в статье «Не верь глазам своим» (Математика в школе. 1998. № 5).

Систему упражнений, способствующих формированию умения видеть необходимость в дополнительных построениях и выполнять воображаемые дополнения на рисунках, в нашем комплексе представляют задания со следующей иерархией:

− на рисунке не обозначена точка, оговоренная в условии   (рис.  1);

− на рисунке отсутствует часть контура фигуры, о которой идет речь   (см, рис. 2);

 − на рисунке изображена лишь часть отрезка, дополнительное построение которого неизбежно в ходе решения   (см. рис. 3);

 − на рисунке нет визуальных ориентиров для дополнительного построения, но подсказку можно найти на рисунке к другой задаче, при условии, что такой рисунок расположен рядом с анализируемым (см. рис. 4, 5).

Приведем примеры заданий с указанным дидактическим наполнением к теме «Окружность»

Пример 1. Докажите равенство треугольников ABC 

   Комментарий. На рисунке не обозначена точка D. Но на нем есть еще одна необозначенная точка — пересечение хорд окружности, на которых отмечены равные части, Для того чтобы сделать обоснованный выбор местоположения точки D, ученик волей-неволей должен проанализировать, какой из изображенных треугольников может быть равен треугольнику ABC. Даже если мотивацию своего выбора ученик не сможет выразить словами, но выбор сделает правильный, можно с уверенностью говорить о том, что определенный положительный учебный результат таким школьником достигнут.

 Пример 2. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 2).

   Комментарий. На рисунке не изображена хорда АВ, которая по условию является стороной заданного треугольника. Решение задачи можно найти или с помощью дополнения рисунка недостающим отрезком, или без всяких изменений конфигурации. Во втором случае нужно вспомнить определение равнобедренного треугольника и выяснить, что для решения задачи достаточно доказать равенство отрезков АС и ВС. Это равенство следует из равенства треугольников CAD и CBD по двум сторонам и углу между ними. Такое решение ценно еще и тем, что неоднократно вынуждает ученика дополнять рисунок не реально, а в воображении.

Пример 3. Найдите стороны и периметр треугольника  ABC  (рис. 3). Комментарий. В задаче, прежде всего, нужно доказать, что треугольник ABC равносторонний. Для этого необходимо применить свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки. Однако, хотя на стороне СВ и обозначена точка N, использовать ее в рассуждениях нельзя, поскольку достоверно не известно, является ли она точкой касания окружности со стороной треугольника. К такому выводу лучше всяких слов подталкивает учеников намек на дополнительное построение — изображенная часть радиуса данной окружности, проведенного в точку ее касания со стороной СВ. Если у учеников достаточно острое зрение, то они без труда увидят, что точка N не является концом такого радиуса.

  Пример 4. По данным рис. 4, 5 найдите радиус окружности с центром в точке О. Выводы обоснуйте.

   Комментарий. В решении задачи по рис. 4 наиболее важным моментом является доказательство равенства отрезков АО и ВК. Такой результат вместе с визуальной схожестью двух соседних рисунков окажет вспомогательное воздействие при решении задачи по рис. 5.

Пример 5. По данным рис. 6*, 7**, 8*** докажите равенство окружностей с центрами O₁ и O₂,.

   Комментарий. Возле номеров рисунков проставлено разное количество звездочек. Таким образом, обозначается уровень логической сложности задачи. Чем больше звездочек возле номера рисунка, тем сложнее задача.

На рис. 6* явно выделены два треугольника, равенство которых прямо приводит к утверждению АО₁ = СО₂. На рис. 7** также изображены два треугольника, из равенства которых следует, что AO₁ = СО₂ Для этого вывода вполне достаточно данных, отмеченных в треугольниках ВАО₁ и ВСО₂. Однако рис. 7** особенный, поскольку на нем прежде всего привлекают к себе внимание радиусы О₁K и O₂K, а это подталкивает к вычленению и анализу треугольника O₁ВО. Его форма и расположение, а также проведенная в нем высота  ВК не опровергают правильности такого хода размышлений, но подталкивают к менее рациональному решению, и именно его чаще выбирают ученики. Выявление такой визуальной провокации пальмой провокации происходит при доказательстве равенства боковых сторон BO₁, и BO₂, треугольника O₁BO₂, которое следует из равенства треугольников ВАО₁   и   ВСО₂.

Заметим, что рисунки с визуальными провокациями имеюn особые дидактические возможности, о которых нужно говорить отдельно. В нашем комплексе заданий такие задачи не редкость.

На рис. 8*** нет визуальных провокаций, но на нем нет и необходимых элементов для решения. Поэтому учащимся придется самим провести дополнительные построения. После подсказки, имеющейся на рис. 7**,нужно не сомневаться, что почти все ученики дополнят этот рисунок отрезками AO₁, CO₂, BO₁, BO₂. Однако доказать так же просто, как и в предыдущих двух задачах, равенство радиусов АО₁ и СО₂ не удастся — недостает данных. Их набор можно дополнить, если доказать равенство отрезков КО₁ и КО₂,, рассмотрев две пары прямоугольных треугольников – BAO₁ и ВKО₁, BCO₂  и ВКО₂, получившихся в результате дополнительных построений. Решение будет еще более простым, если в тех же парах треугольников доказать равенства: АО₁ = ВК и СО₁ = ВК, откуда и следует искомое равенство радиусов.

Обсуждение с учениками других дополнительных построений принесет немалую пользу для творческого развития школьников.

В заключение еще раз подчеркнем, что целенаправленное формирование визуально-оперативного опыта учащихся необходимо начинать с первых уроков систематического курса геометрии. С этого же момента может и должен стартовать пропедевтический этап обучения дополнительным построениям.

ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ РАЗВИТИЕ ШКОЛЬНИКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

Т.Н.ВЕДЕРНИКОВА, О.А.ИВАНОВ   (С.-Петербург)

В подавляющем большинстве учебников и дидактических пособий для средней школы практически отсутствуют задачи, которые способствовали бы подготовке учеников к деятельности творческого характера (в различных областях) и формированию у них соответствующих интеллектуальных умений. С одной стороны, общепризнанно, что развитие мышления школьников тесно связано с формированием приемов мышления, которые особенно ярко проявляются при обучении математике. С другой стороны, традиционно понимаемая учебная деятельность практически не в состоянии продвинуть нас в решении задачи формирования мышления. Математические знания учащихся слишком часто оказываются формальными и невостребованными, у основной массы учащихся не формируется разумный подход к поиску способа решения незнакомых задач.

Необходимо более активно заниматься разработкой методических пособий и рекомендаций, направленных на развитие навыков в применении общих форм математической деятельности, таких, как:

— использование известных алгоритмов, формул, процедур;

— кодирование, преобразование, интерпретация;

— классификация и систематизация;

— правдоподобные рассуждения;

— выдвижение и проверка гипотез, доказательство и опровержение;

— разработка алгоритмов.

В данной статье будут рассмотрены задачи разного уровня сложности, решение которых способствует развитию у учащихся навыков в использовании некоторых из выделенных выше общих форм математической деятельности.

1. Использование известных алгоритмов, формул, процедур

К сожалению, в преподавании математики в российской школе по-прежнему доминирует формальный подход, связанный с отработкой конкретных методов решений. В связи с этим полезно вспомнить работу [3], в которой говорилось: «Если учащемуся предлагают упражнения  только одного типа, выполнение каждого из них сводится к одной и той же операции, если эту операцию не приходится выбирать среди сходных и условия, данные в упражнении, не являются для учащегося непривычными и он уверен в безошибочности своих действий, то учащийся перестает задумываться об их обоснованности». Авторы цитируемой работы подкрепляют этот тезис описанием следующей психолого-дидактической закономерности:

последовательность рассуждений (А, В, С, ..., М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может свертываться до составной ассоциации (А, М). Однако обратный процесс — развертывание — происходит без потерь не у всех учащихся.

Этот эффект хорошо известен составителям вариантов вступительных экзаменов в высшие учебные заведения: какова бы ни была по сути проста задача, но если ее решение предполагает использование двух различных (хотя бы и известных) алгоритмов или же если в нем должно содержаться некоторое исследование (к примеру, по параметру), то массовые ошибки неизбежны. Более того, ошибки часто появляются и в том случае, если алгоритм используется в ситуации, в которой он неприменим.

Задача 1.1. Решите систему

Решение этой задачи, как нетрудно видеть, сводится к цепочке простых логических рассуждений и использованию стандартных формул. Однако для того, чтобы получить правильный ответ, эти стандартные формулы следует правильно использовать. Не приводя ответ полностью, выпишем одну из четырех серий решений

                                 (1)

К сожалению, слишком многие учащиеся бездумно отождествляют параметры k и n и вместо серии (1) пишут, что

упуская тем самым, условно говоря, большую часть решений этой серии..

Следующий пример взят из вариантов вступительных экзаменов в Санкт-Петербургский университет.

Задача 1.2. Решите уравнение

Для получения верного ответа

 достаточно решить следующую совокупность из двух систем:

или

Казалось бы, если, то необходимо b = с. Для того чтобы «убедиться» в этом, достаточно перейти к логарифмам по основанию а:

  и

получив в результате равенство . Из него действительно следует, что b = с. Однако равенства и  не эквивалентны. Первое из них имеет место при а = 1, а второе при а = 1 теряет смысл.

Эта задача проверяет также понимание формулы  поскольку в процессе решения приходится искать все решения уравнения , лежащие в интервале (—1; 9).

Задача 1.3. Некоторое число умножили на 3, а затем к полученному произведению прибавили 2. Верно ли, что полученное число больше исходного?

Ясно, что только при, но какой процент, к примеру, семиклассников сразу даст верный ответ?

Реакция учащихся на последнюю из проводимых в этом разделе задач продемонстрирует степень их понимания стандартной схемы решения иррациональных уравнений.

Задача 1.4. Решите уравнение

Как вам кажется, какая часть ваших учеников начнет решение с нахождения ОДЗ и раскрытия модуля? А между тем можно сразу перейти к уравнению

Попробуйте задать учащимся такой вопрос: «Как вам кажется, какое уравнение проще решить, данное выше или уравнение  ?».

2. Кодирование, преобразование, интерпретация

Простейшим примером использования указанных форм деятельности является их внутриматематические применение, к примеру, замена переменной, перевод задачи с одного математического языка на другой (от алгебры к геометрии и обратно).

Кодирование или переформулирование способствует выявлению скрытых свойств объектов (существенных для данной задачи) путем включения их в другую систему связей. Использование разнообразных формулировок задачи способствует ее пониманию. Культура мышления предполагает развитое умение думать об одном и том же на разных языках.

Нужно уметь создавать и пользоваться различными моделями. А потому важно научить школьников формализовывать задачи и переводить условия и результаты с одного языка на другой, т.е. кодировать информацию, понимать смысл {т.е. интерпретировать) полученных в результате исследования результатов. Многие школьные задачи содержат в себе элементы кодирования, преобразования, интерпретации (к примеру, практически все текстовые задачи, но далеко не только они). Приведем примеры.

Задача 2.1. Докажите, что если от произвольного двузначного числа отнять двузначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, то получится число, кратное девяти.

Самая первая кодировка, с которой знакомятся школьники в процессе обучения математике, — это десятичная (позиционная) запись натуральных чисел. Если  — исходное число, то, а число, «записанное теми же цифрами в обратном порядке», равно, поэтому их разность

кратна девяти.

Задача 2.2. Вычислите

Это число равно двум! Действительно, если положить     , то получим выражение

 

вне зависимости от значения переменной  а.

Конечно, тот же результат может быть получен, если записать каждую из входящих в данное выражение дробей в виде

и раскрыть скобки. При таком способе решения еще придется увидеть (не используя калькулятор), что .

Самое время сказать несколько слов о роли калькуляторов в обучении математике. Если он имеется у каждого учащегося в классе, то бессмысленно предлагать подобную единичную задачу; ясно, что ее математическое содержание останется нераскрытым. Необходимо дать несколько примеров, в каждом из которых ответ — 2, с тем, чтобы затем «разгадать загадку».

Задача 2.3. Проверьте, что

        (2)

и найдите еще несколько подобных примеров.

Проверить это равенство легко, труднее найти аналогичные. Конечно, кто-то может сразу догадаться, что, и написать равенство

 (3)

справедливость которого тоже очевидна. Однако, как и в предыдущем примере, основная идея — это введение замен (подстановок). Запишем равенство

 

Его частными случаями являются равенства (2) и (3), В результате мы построили своего рода модель. Все, что осталось сделать, — это исследовать ее, т.е. найти соотношение между a и b, при выполнении которого справедливо наше обобщенное равенство. А для этого надо провести простые преобразования:

  или   откуда   

Во многих случаях наиболее короткое и ясное решение можно получить, используя графическую интерпретацию данного уравнения.

Задача 2.4. Пусть   .   Докажите, что    

Данный интеграл можно вычислить явно

После этого останется доказать, что   

Тогда    Конечно, если в распоряжении имеется калькулятор, то сразу получим, что . Но если калькулятора под рукой нет, то надо доказать, что , а это требует дополнительных усилий.

Однако решение становится очевидным, если использовать геометрическую интерпретацию определенного интеграла как площади подграфика функции. Очевидно, что функция  убывает на  и возрастает на [1; 2], причем  .

Поэтому подграфик функции  на отрезке                      

содержится    в квадрате со стороной  (рис. 1), а потому его площадь действительно меньше, чем

                                   Рис. 1

В заключение данного раздела заметим, что в нем мы не давали задач, для решения которых требуется построить содержательную математическую модель, в связи с тем, что подобные задачи (и модели) сложны. На первых же порах, пока происходит «привыкание» к рассматриваемым формам интеллектуальной деятельности, достаточно, по мнению авторов, использовать внутриматематические: кодирование, преобразование, интерпретацию.

3. Классификация и систематизация

Классификация — общепознавательный прием, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы) в соответствии с так называемым основанием классификации, т.е. признаком, существенным для рассматриваемых объектов. Систематизация — это объединение объектов или знаний о них путем выявления существенных связей между ними, установление порядка между частями целого на основе определенного закона, правила или принципа.

Как писал У.У.Сойер: «Математика — это классификация и изучение всех возможных закономерностей». Однако навыки в проведении классификации и систематизации необходимы далеко не только математикам, но инженерам и врачам, юристам и экономистам, менеджерам и т.д.

В математике часто встречается дихотомия, т.е. разбиение множества на два подмножества. Действительно, натуральные числа разделяются на простые и составные, действительные числа — на рациональные и иррациональные, а иногда на алгебраические и трансцендентные. Целые числа можно различать по их остаткам при делении на какое-то число и т.д. и т.п. Естественнее всего классификация появляется при решении комбинаторных задач, однако наша первая задача из другой темы.

Задача 3.1, Может ли быть верным равенство

. И если да, то когда?

Часто встречается такой ответ: «Данное равенство верно в том случае, когда числа а и b имеют разные знаки». Ответ не является полным, поскольку в нем ничего не говорится о том случае, когда одно из этих чисел обращается в ноль. Здесь допущена распространенная ошибка, которая заключается в неполноте проведенной классификации. В данном случае следует учитывать, что, кроме положительных и отрицательных чисел, существует еще и ноль. Правильный ответ: при    .

Задача 3.2. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске (в соответствии с правилами шахмат) белого и черного королей1?

Ответ:  способами.

Введем систематизацию, различая случаи расположения одного из королей, например, черного. Именно, если черный король находится в одной из четырех угловых клеток, то, значит, имеется 64 - 4 = = 60 возможностей для расположения белого короля. Если черный король стоит на краю доски, но не в углу (таких клеток 24), то имеются 58 вариантов для белого короля (из 64 клеток он не имеет права занимать саму клетку черного короля и еще 5 соседних, т.е. имеющих с ней общую сторону или вершину.) В оставшихся 36 случаях белый король может стоять на любой из 55 клеток, поскольку для него запрещены 8 клеток, соседствующих с клеткой черного короля, и сама эта клетка, т.е. 64 - 9 = 55.

Задача 3.3. Сколько различных (с точностью до положения в пространстве) каркасов треугольных пирамид можно составить, имея

1) зеленые и красные стержни длиной по 20 см

каждый?

2) стержни длиной в 10  и  20 см?

Давайте составим таблицу, систематизирующую пирамиды по числу, например, зеленых стержней.

Число зеленых стержней	0	1	2	3	4	5	6
Число пирамид	1	1	2	4	2	1	1

Действительно, все пирамиды с одним зеленым ребром являются одинаковыми. Если зеленых ребер два, то они могут быть либо смежными, либо скрещивающимися, поэтому в соответствующем месте стоит число «2». Но не кажется ли странным число «4» в средней клетке этой таблицы? Ведь три зеленых стержня могут:

а)  выходить из одной вершины;

б) образовывать треугольник;

в)  образовывать незамкнутую пространственную

ломаную.

Однако в последнем случае имеются две различимые конфигурации, так сказать, правая и левая. На рис. 2 изображены обе эти конфигурации, причем зеленые стержни обозначены толстыми линиями.

Рис. 2

Таким образом, при помощи чисто комбинаторных рассуждений находим ответ: можно составить 12 пирамид.

Что можно сразу сказать о задаче пункта 2), так это то, что число вариантов не может быть большим, чем в случае 1), поскольку все равно, как различать ребра пирамиды: по цвету или же по длине — так что основания классификации одинаковы. Другое дело, что различаются сами множества пирамид, поскольку, к примеру, пирамиды, в одной из граней которой имеются два ребра длиной 10 см и одно — 20 см, не существует. В частности, аналогичная таблица не будет симметрична!

Ответ: 5 различных пирамид.

Задача 3.4. Дана немонотонная функция

.

Найдите все пары (а,b),  для которых наименьшее значение функции f на отрезке   [0; 2]  равно — 1, а наибольшее равно   3.

Поскольку на каждом из отрезков [0; 1] и [1; 2] данная функция линейна, то свои наибольшее и наименьшее значения она принимает в точках x = 0, х = 1 или х = 2. Положим, А =f(0) = а + 2,  В = f(1) = b + 2 и С = f(2) = а + 2b + 2. Будем располагать числа А, В и С в порядке их возрастания. Из шести возможных вариантов два, именно (А, В, C) и (С, В, А), запрещены, поскольку по условию функция f не является монотонной. Остаются варианты:

(1) (А,  С,  В);    (2) (В, А,  С);

(3) (В,  С, А);   (4) (С, А,  В).

В случае (1) А — наименьшее значение, поэтому а + 2 = - 1 и тогда а = -3, а  B -  наибольшее, так что b + 2 = 3 и b = 1. При этом С = а + 2b + 2 = =+2+2=1

В случае (2) b = , a = 7. Однако при этих значениях А = 9 > 3,  т.е.

 А  [—1; 3].

В случае (3) b =, a = 1, но С=  < - 1. Это означает, что случай (3) противоречив: значение С оказалось меньше минимального.

Наконец, в последнем случае имеем: b = 1, а = -5, а А =  < - 1, т.е. среднее число тройки (С, А, В) оказалось вне промежутка [-1; 3], задаваемого парой (С; В). Таким образом, из всех рассмотренных случаев подходящим оказался только случай (1). Поэтому единственный ответ в задаче:

(a,b) = (-3, 1).

Заключительные замечания

Во многих случаях для решения требуется использовать различные типы интеллектуальной деятельности. Однако авторы целенаправленно отбирали такие задачи, которые требуют своего рода «чистых» типов. Что касается поименованных во введении типов (4) — (6), то авторы надеются рассмотреть их в дальнейшем.

Указанный в этой работе подход к преподаванию математики может быть использован в школах различного профиля. И вполне возможно, что чем более, так сказать, гуманитарной является школа, тем сильнее следует подчеркивать нематематическую сторону дела, т.е. то, что методы и подходы, применяемые при решении конкретных математических задач, имеют чрезвычайно общий характер и связаны с процессом формирования и развития качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования в современном обществе. Что касается школ с углубленным преподаванием математики, то некоторые особенности их нынешнего положения проанализированы в статье, а достаточно большой набор содержательных задач для учащихся старших классов имеется в пособии.

ВЗГЛЯД   НА   ЭЛЕМЕНТАРНУЮ   ГЕОМЕТРИЮ С   ТОЧКИ   ЗРЕНИЯ   ВЫСШЕЙ

И.С. Григорьева (Казань)

Довольно часто курс школьной геометрии вос­принимается многими учениками с трудом. Из­лишнее увлечение аксиоматическим подходом в ущерб содержательным вопросам делает его сухим, лишенным наглядности, немотивирован­ным. А между тем само происхождение геометрии из потребностей практики позволяет сделать ее изложение более живым и понятным. Автор настоящей статьи предлагает свой подход к изложению курса геометрии в старших классах. Отличия его от обычного основаны на двух идеях.

1. Проводится четкая  классификация задач на аффинные   (связанные   с   понятием   параллельно­сти)  и    метрические    (связанные    с    понятием расстояния). Научившись определять тип задачи, ученики лучше понимают ее сущность, им легче подобрать   способ   решения.

2. ам,   где   это   возможно,   изложение   иллюстрируется    с    помощью    простейших    наглядных средств    (например,    теней).

Данный подход был апробирован в течении  нескольких лет, как на факультативных занятиях в IX классе, так и на обычных уроках в Х - XI классах. Оказалось, что достаточно абстракт­ные математические понятия, такие, например, как аффинность, легко воспринимаются учени­ками даже гуманитарных классов, если они подкреплены наглядным опытом изучения теней.

Сразу хочу сказать, что я не поклонница перенесения высшей математики в, школьную программу, если это не обусловлено потребно­стями самой этой программы. Однако в данном случае введение нового понятия не усложняет изложение, а наоборот, делает его более по­следовательным и систематичным, и потому более легким для усвоения. Времени это занимает немного: основные понятия излагаются на пер­вых уроках X класса, которые все равно же­лательно посвятить повторению материала пла­ниметрии. Кстати, в сентябре и погода обычно бывает ясной, так что можно выбрать подхо­дящий денек для "работы с солнцем".

Понятие об аффинных задачах

Как известно, евклидова геометрия, которую изучают в школе, не единственная. Наверное, многие слышали о геометрии Лобачевского. А есть еще геометрии Римана и др. Эти геометрии несовместимы с обычной евклидовой, так как учитель них другие аксиомы. Однако и не выходя за рамки обычных аксиом, можно выделить не­сколько геометрий (внутри евклидовой).

Вопрос ученикам: "Какие понятия в геомет­рии являются основными?" Предлагаются раз­ные ответы, среди которых учитель выделяет понятия: прямая, параллельность, угол и рас­стояние. Как они взаимосвязаны? Предположим, что у нас есть некий прибор (вроде рейсшины), с помощью которого мы можем проводить параллельные прямые, но не можем откладывать расстояния. Какие фигуры мы можем построить с помощью этого прибора? Ученикам предлага­ется решить несколько задач.

Задача 1. Дан отрезок AВ. С помощью параллельных прямых отложить от точки В вдоль той ж о прямой отрезок ВС, равный АВ.

Решение. Проведем какую-нибудь прямую l, параллельную AB и две параллельные прямые через точки А и B. Они пересекут прямую l  в точках D и E, причем ABED — параллелограмм. По свойству параллелограмма, отрезок DE равен отрезку АВ. Мы отложили отрезок, равный АВ, на прямой l. Повторяя это построение, "перене­сем" отрезок DE на прямую АВ. Для этого проведем прямую BD и параллельно ей прямую т через точку Е. Прямые АВ и т пересекаются в точке С, которая является искомой (рис. 1).

Задача 2. С помощью параллельных пря­мых разделить данный отрезок пополам.

Обычно ученики одного класса предлагают два-три различных способа решения этой задачи, связанных со свойствами параллелограмма, в частности с тем, что его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Разобрав эти решения, учитель отмечает, что у всех них есть один недостаток — их трудно обобщить на случай деления на произвольное число частей. Учитель предлагает вспомнить, какая теорема планимет­рии связывает параллельные прямые и равные отрезки. Это — теорема Фалеса (рис.2)

 

Задача 3. Разделить данный отрезок с помощью прямых параллельных на  n равных частей.

Решение. Проведем через точку A произвольную прямую, не совпадающую с AB. Выберем на ней некоторый отрезок AA₁, и отложим его вдоль прямой n раз (пользуясь результатом задачи 1). Получим равные отрезки AA₁, A₁A₂, ..., A_n-1A_n. Соединим точку А_n с точкой В. Если теперь провести через все вершины отрезков прямые, параллельные l, то они разделят отрезок АВ на n равных частей.

Обсуждение     результатов.

 Приведенные   задачи   показывают,    что если мы умеем строить   параллельные   прямые, то мы умеем и сравнивать   отрезки    на  одной прямой или на параллельных   прямых.

Возникает вопрос: можно ли с помощью понятия параллельности сравнивать отрезки непараллельных прямых? Для изучения этого вопроса полезно использовать "наглядное пособие" в виде теней от Солнца.

В силу того, что Солнце расположено весьма далеко от Земли, его лучи можно считать практически параллельными. Как в этом случае будут выглядеть тени от параллельных прямых? Интуитивно ясно, что они останутся параллельными (доказательство этого факта будет дано в курсе стереометрии). Можно проиллюстрировать это утверждение, рассматривая пятно света от окна (в виде параллелограмма) или тень от прямоугольного предмета (книги, тетради). При этом можно заметить, что, меняя угол наклона предмета, мы из прямоугольника можем получить и квадрат, и ромб, и произвольный параллелограмм.

Этот пример показывает, что, сохраняя только параллельность, нельзя сохранить ни углы, ни расстояния между точками на параллельных прямых. Если мы видим только тень предмета (например, в виде квадрата), мы не можем сказать, что сам предмет тоже квадратный. Можем только утверждать, что он имеет вид параллелограмма.

Определение. Свойства фигур, связанные с понятием параллельности, называются аффинными. (Более строгое определение: аффинными называются свойства фигур, сохраняющиеся при параллельном проектировании). К области аффинной геометрии, как было показано, относятся также свойства, связанные со сравнением параллельных отрезков.

Контрольные вопросы:

1. Какие теоремы и утверждения планиметрии являются   аффинными?

Ответ. Свойство параллелограмма, теоремы о  средней линии, теорема Фалеса, подобие треугольников с параллельными сторонами.

2. Какие   типы     фигур   относятся   к   аффинной геометрии?

Ответ. Параллелограмм,   треугольник,   трапеция,   эллипс.   Но   не   прямоугольник,   квадрат, ромб, равносторонний   (равнобедренный)   треугольник,    окружность.

3. Чем   различаются   разные   параллелограммы в аффинной   геометрии?

Ответ. Ничем. С точки зрения теории параллельных все параллелограммы совпадают между собой. Подходящим образом выбирая расположение двух параллелограммов относительно солнечных лучей, мы можем совместить один из них с тенью другого. (Без доказательства.)

4. Сколько типов треугольников можно различить в аффинной геометрии?

Ответ.  Один. Любой треугольник — что "половина"   параллелограмма,

а  параллелограммы, в аффинной     геометрии неразличимы.

5. Чем     различаются разные трапеции в аффинной   геометрии?

Ответ. Отношением длин оснований. Так как основания трапеции параллельны, отношение их длин не меняется при параллельном проектировании. Если же учитель двух трапеций это отношение совпадает, то они неразличимы. Доказательство основано на том, что любую трапецию можно получить из некоторого параллелограмма, отличающегося от нее лишь одной вершиной.

Когда дана геометрическая задача, полезно проверить, не является ли она аффинной. Положительный ответ подсказывает, какие средства (теоремы, дополнительные построения) можно использовать для решения.

Задача   4. Дан треугольник ABC.  Сторона АВ делится точкой  Р пополам, а сторона АС - точкой   Q в отношении   2:1.   Отрезки BQ и СP пересекаются   в   точке   О.   В   каком   отношении эта   точка   делит   отрезок   СР?

Решение. Деление отрезка в данном отношении — аффинная операция, так что эта задача также аффинная. Значит, для её решения можно использовать параллельные прямые. Проведем через точку Р прямую, параллельную BQ. Она пересечет сторону АС в точке N. Применяя теоремы о средней линии к треугольникам ABQ и CPN, показываем, что точка О — середина отрезка СР (рис. 3).

Задание повышенной сложности. Обобщить полученный результат, т.е. рассмотреть случай когда АР:РB = р и AQ:QC = q.

Ответ. Точка О делит PC в отношении (р + 1) : q. Решение основано на подобии тре­угольников АРМ и ABQ, а также COQ и CPN.

рис.3                                  рис.4

 

Задача 5. Продолжим стороны трапеции до пересечения в точке М, точку пересечения ее диагоналей обозначим через N . В каком отношении делит прямая MN основания трапеции?

Решение. Это трудная задача, однако ее решение облегчится, если мы заметим, что она аффинная, так как содержит только аффинные понятия: "трапеция" и "точка пересечения". Рассмотрим равнобочную трапецию, основания которой такие же, как у данной. Так как задача аффинная, решение, полученное для равнобочной трапеции, будет верно и для произвольной. А для равнобочной трапеции прямая МN является осью симметрии и, следовательно, делит ее основания пополам.

Конечно, такое решение не может быть принято и том случае, если соответствующие свойства аффинных преобразований не доказаны. Но его можно рассматривать как ориентир: зная ответ, легче найти решение задачи. Кроме того, тип задачи подсказывает и средства ее решения. Например, можно провести через точку N прямую, параллельную основаниям, и составить пропорции для подученных пар треугольников с параллельными сторонами. Так, из треугольника ABD имеем (рис. 4):

Из треугольника АВС получаем

Из   последних   двух   равенств   заключаем

Аналогичное соотношение: верно и для NF, откуда следует, что EN=NF. Окончание доказательства очевидно.

По ходу решения мы также нашли длину отрезки EF = 2EN. Его длина равна среднему гармоническому оснований трапеции.

 

 

Углы и геометрия подобия

Ещё   одно   важное   понятие   геометрии – угол между  прямыми.

3адача 1. Можно ли, имея транспортир, и проверить параллельность двух прямых?

Решение. Можно. Например, пересечем две данные прямые третьей. Тогда параллельность данных прямых можно проверить, сравнивая внутренние накрест лежащие углы.

Итак, если мы умеем измерять углы, то можем и проверять параллельность прямых. Поэтому геометрия углов включает в себя как часть аффинную геометрию.

Задача 2. Что можно сказать о двух треугольниках, углы которых равны?

Решение. По признаку подобия треугольников они будут подобны.

Поэтому   геометрию   у слои   можно   также   называть геометрией подобия. С помощью транспортира нельзя измерить размеры фигуры, но можно описать ее форму. Если преобразование сохраняет углы, то оно переводит фигуру в подобную. Это наблюдается, например, при применении лупы, телескопа, микроскопа.

Задача 3. Как вы думаете, какой видимый размер имеет полная луна?

Учениками предлагаются разные ответы: в сантиметрах или в сравнении с известными предметами. Однако сам вопрос в данном случае неправомерен. Видимые размеры Луны измеряются не в единицах длины, а в угловых единицах. Как известно, угловые размеры Луны и Солнца составляют примерно полградуса. Можно рассчитать, предмет какой величины имеет такой угловой размер па расстоянии вытянутой руки (70 см). Так как угол в данном случае весьма мал, то хорда, стягивающая его, примерно равна величине дуги. Полная окружность соответствует 360º и имеет длину 2r, поэтому полуградусу соответствует дуга в 720 раз меньшая, т.е. r/360. Подставляя r, равное 70 см, получаем в ответе примерно 0,6 см, что равно диаметру горошины. Обычно этот результат поражает учеников своей малостью. На расстоянии наилучшего видения (30 см) Луну можно закрыть спичечной головкой.

Контрольные вопросы.

1. Имеют   ли   смысл  в   геометрии    подобия определения равнобедренного, равностороннего треугольника?   квадрата?   трапеции?

Ответ. Да, имеют. Практически все типы фигур, рассматриваемы в школьной геометрии, относятся к области геометрии подобия, так как нас интересуют не размеры, а форма фигур.

2. Чем    различаются в геометрии подобия равносторонние    треугольники?

Ответ. Ничем. Все они имеют одну форму. То же верно для окружностей.

3. Тот   же   вопрос   для   равнобедренных   треугольников.

Ответ. Форма равнобедренного треугольника определяется, например, величиной угла между боковыми сторонами.

Если обучение идет по учебнику А.В. Погорелова, можно обратить внимание учащихся, что материал стереометрии разбит на разделы фактически в соответствии с приведенной классификацией. Действительно, § 16 называется "Параллельность прямых и плоскостей", т. е. содержит вопросы аффинной геометрии, §17 ("Перпендикулярность прямых и плоскостей") является переходным к вопросам геометрии углов, которая рассматривается в § 18.

Метрическая   геометрия

Слово "метрео" в переводе с латинского означает "меряю", поэтому метрической называют геометрию, связанную с измерением расстояний. Для этой операции используется обычно линейка с делениями. Сравнивать дна отрезка по длине можно также с помощью циркуля.

Задача 1. Даны два угла. Имея циркуль, проверить, равны ли они.

Задача 2. Даны две прямые. С помощью циркуля проверить, параллельны ли они.

Задача 3. Даны три точки. С помощью линейки с делениями проверить, лежат ли они на одной прямой.

Решения задач очевидны. Полученные результаты показывают, что понятие расстояния является в некотором смысле основным в евклидовой геометрии. Таким образом, метрическая геометрия — это просто другое название геометрии Евклида.

Площадь    как   аффинное    понятие

При делении всех геометрических понятий на аффинные и метрические остался открытым вопрос, к какому типу относится понятие площади фигуры. Известно, что эталоном площади является площадь прямоугольника, вычисляемая как произведение длин его сторон. Из этого определения, казалось бы, следует, что площадь — метрическое понятие. И действительно, если мы будем рассматривать объект в лупу или телескоп, то при сохранении формы площадь его изменится.

Однако можно посмотреть па проблему и по-другому. Будем считать единицей измерения площади не просто квадратный метр, а конкретную фигуру такой площади. Тогда преобразование подобия изменит не только измеряемую площадь, но и единицу измерения. Отношение же их сохранится прежним. Действительно, если все длины изменились в k раз, то все площади — в k² раз, так что их соотношение остается неизменным. Поэтому в геометрии подобия можно говорить, например, о равновеликих фигурах. Вполне осмысленны фразы типа "Площадь первой фигуры в 2 раза больше площади второй" и т.п.

Сохранится ли это свойство при переходе к аффинной геометрии? Оказывается, сохранится. Для того чтобы убедиться в этом, приведем способ вычисления площади, основанный на проведении параллельных прямых. Выберем две перпендикулярные прямые. Отложим вдоль каждой прямой равные отрезки (возможно, разные на разных прямых) и построим на их основе сетку из двух групп параллельных прямых. Тогда плоскость будет разбита па одинаковые (а следовательно, равновеликие) прямоугольники.

Измеряемая фигура содержит определенное число полных прямоугольников, что дает возможность приблизительно оценить ее площадь. Причем, чем меньше прямоугольники, тем точнее вычисляется площадь. Поэтому разделим нее отрезки пополам и проведем новые параллельные линии. Продолжая этот процесс, мы получим значение площади фигуры сколь угодно точное.

В приведенном построении мы фактически не пользовались тем, что прямые двух групп перпендикулярны. Мы применяли только параллельность прямых и деление отрезка пополам, т. е. аффинные методы. Таким образом, площадь, хотя и определяется в терминах расстояний, фактически является аффинным понятием. В качестве иллюстрации можно рассмотреть такую задачу.

Задача. Дан параллелограмм AВСD. Середину P стороны AB соединим отрезком с вершиной D, а середину Q стороны CD - с вершиной B. В каком отношении делят площадь параллелограмма два эти отрезка (рис. 5)?

                                                               C

 

                                              

 Решение. Заметим, что в задаче ничего не говорится ни о размерах, ни об углах параллелограмма. Это ещё paз  подчеркивает, что отношение площадей — аффинное понятие. Для решении достаточно провести диагональ BD (или среднюю линию PQ) и показать, что все  четыре полученных треугольника равновелики. Так что искомое соотношение —1:2:1.

Все, что говорилось о площади, можно отнести и к объему.

 

О   проективной   геометрии

Присмотримся к списку важнейших геометрических понятий. Три из них породили каждый свою геометрию, но ведь было еще и четвертое — понятие прямой. Оказывается, ему тоже соответствует своя геометрия, называемая проективной. Ясно, что аффинная геометрия должна содержать все теоремы и понятия проективной, ведь понятие параллельности предполагает наличие "прямизны"

Проективная геометрия, хотя и является частью евклидовой, весьма экзотична. Ведь в ней не сохраняется понятие параллельности. Поэтому нельзя отличить параллельные прямые от пересекающихся, а следовательно, нет смысла говорить о параллелограммах, трапециях и даже треугольниках. Точнее, понятие треугольника расширяется, включая в себя, например, полуполосу, получаемую при пересечении двух параллельных прямых третьей. Кстати, ничто не мешает нам рассматривать треугольники, у которых никакие две стороны не пересекаются, ведь в проективной геометрии не действует аксиома параллельных. Вводя эту аксиому в той или иной форме, мы можем превратить проективную геометрию и в геометрию Евклида, и в геометрию Лобачевского! Можно сказать, что проективная геометрия — это то общее, что верно в обеих этих теориях.

Не лучше обстоит дело и с криволинейными фигурами. Если в аффинной геометрии невозможно отличить окружность от эллипса, то в проективной мы даже не сможем отличить эти ограниченные фигуры от неограниченных параболы и гиперболы. И тем не менее, несмотря на всю непривычность проективных свойств, они нам очень часто встречаются на практике. Дело и том, что проективную геометрию также можно рассматривать, как геометрию теней, но только не от Солнца, а от точечного источника (например, от лампы накаливания). Можно сказать, что проективные свойства — это те, что сохраняются при центральной проекции. Кстати, наше собственное зрение тоже основано на центральном и проектировании. Центром здесь служит отверстие зрачка, в котором фокусируются все лучи, идущие от видимых объектов на сетчатку. Так, что наше зрение подчиняется не евклидовым, а проективным законам. И действительно, кто не видел сходящихся у горизонта рельсов! На самом деле, чтобы видеть мир "евклидово", человек должен учиться смотреть. Сложная система обработки видимых образов действует подсознательно в нашем мозгу, частично исправляя искажения, возникающие при центральном проектировании. (Здесь можно вспомнить опыт с определением размеров Луны и другие оптические иллюзии.)

Исследование теней от лампы можно поручить ученикам в качестве самостоятельной домашней работы.

Метрическая   геометрия как   геометрия   движений

Когда мы давали определение аффинных, или проективных, свойств, то использовали следующую логическую конструкцию: "Аффинными (проективными) называются свойства, сохраняющиеся при параллельном (центральном) проектировании". Такой способ описания новых понятий весьма распространен в высшей геометрии, а именно существенными в некоторой теории считаются свойства, сохраняющиеся при определенных преобразованиях.

Этот же метод можно применить и к изложению всей геометрии. Как мы выяснили, основным в евклидовой геометрии является понятие расстояния. Поэтому евклидовы свойства — что те свойства, которые сохраняются при любом  движении (преобразовании, сохраняющем расстояние). Таким образом, движение (перемещение) можно считать основополагающим понятием в геометрии.

Понятие движения можно использовать при решении некоторых задач.

Задача1. От квадратного участка осталось два столба на противоположных сторонах ограды и дерево, которое росло точно в центре участка. Восстановите этот участок.

Решение. Квадрат — это центрально симметричная фигура. Если мы отразим точку, где стоял столб, от центра, мы получим точку, также лежащую на периметре квадрата, но на противоположной стороне. Таким образом, на этой стороне нам известны две точки, что позволяет провести соответствующую прямую. После этого восстановление всего периметра не состёавляет труда.

Если две точки одной стороны совпадут, то прямую через них можно провести в любом направлении, так что при исходных данных задача не имеет однозначного решения.

Задача 2. От квадратного участка остались два столба на соседних сторонах квадрата и дерево в центре участка. Восстановите этот участок.

Решение. В предыдущем решении центральную симметрию заменяем поворотом на 90°. Но направление вращения следует выбрать так, чтобы оно шло от одной из данных точек к другой по наименьшей дуге.

Задача 3. Даны три прямые, проходящие через одну точку. Построить треугольник, для которого они были бы биссектрисами.

Решение. Так как задача говорит только о сравнении углов, то она относится к области геометрии подобия. Таким образом, решение ее неоднозначно. Действительно, любая гомотетия с центром в общей точке трех прямых переводит одно решение задачи в другое. Достаточно построить какое-нибудь одно решение.

Рис.  6

Выберем на одной из прямых точку А, Она будет служить вершиной треугольника. Решение основано на том, что стороны угла симметричны относительно биссектрисы. Так что, отражая точку А симметрично двум другим прямым (рис. 6), мы получим точки, лежащие на противоположной стороне (или ее продолжении). Соединим их прямой. Эта прямая содержит в себе противоположную к А сторону ВС. В пересечении с двумя прямыми, не содержащими А, она дает две недостающие вершины треугольника.

К ВОПРОСУ РЕАЛИЗАЦИИ ЛОГИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ «МАТЕМАТИКА»

Е.ЕМОРДОВИНА (Тамбов)

Логика является основой математики, но, как ни странно, в школьном курсе явным образом даже простейшие логические понятия практически не изучаются, т.е. существующая методическая система обучения математике полагается фактически на стихийное формирование логической подготовки учащихся. Результатом такого положения является часто высказываемая в печати неудовлетворенность учителей и специалистов вузов логическим развитием учащихся и выпускников школы.

Так, учащиеся часто путаются в понятиях пересечения и объединения промежутков, системы и совокупности уравнений (неравенств), в употреблении союзов «и» и «или», не осознают значимость равносильности при проведении преобразований, допускают самые разнообразные логические ошибки в рассуждениях и доказательствах, не различают прямого и обратного утверждений, не говоря уж о контрапозиции.

Но о какой математической подготовке в таком случае можно говорить? Разве лишь об умении совершать определенные манипуляции с определенными объектами по достаточно четко сформулированным правилам. И наша школа фактически признает это положение вещей, о чем свидетельствуют материалы ЕГЭ, в особенности, раздел А, где совершить логическую ошибку практически невозможно, так что выпускник школы, успешно сдавший экзамен, может не иметь никакой логической подготовки. Но корректно ли в таком случае говорить о его достаточной математической подготовке?

Решению этой проблемы может способствовать, на наш взгляд, элективный курс, посвященный математическому языку и логике с примерным названием «Основы логики и математический язык». При отборе содержания этого курса нельзя не учитывать, конечно, что в настоящее время элементы логики уже включены в стандарт школьного математического образования и в основной, и в старшей школе.

Что касается профильного курса математики, то в вышедшем в 2003 г. учебнике «Алгебра и начала анализа» Г.В.Дорофеева, Л.В.Кузнецовой и Е.А.Седовой, уже имеется специальная глава «Язык и логика», т.е. необходимые для математики элементы логики уже включены в этот курс, и необходимость дополнительного элективного курса в соответствующих профилях обучения, строго говоря, отпадает — проблема переходит в плоскость конкретных методических рекомендаций по изучению этой главы и применению получаемых учащимися знаний в практике изучения математики.

В то же время содержание этой главы в учебнике в большой степени относится к основной школе, где логика математики, естественно, та же самая, что и на старшей ступени, впрочем, она ничем не отличается и от классической логики математики как науки. Поэтому проблема создания элективного курса, посвященного языку и логике математических рассуждений, в основной школе, и, прежде всего при предпрофильном обучении в IX классе, не теряет своей актуальности.

Вопросы организации подобного курса не нуждаются в особом описании - вопросы сочетания лекций и практических занятий, наличия или отсутствия домашних заданий, формы контроля достижений учащихся и т.п. решаются так же, как для любого элективного курса, и относятся, таким образом, к «общей теории» элективных курсов. Поэтому мы приводим в этой статье лишь некоторые задачи, дающие, по нашему мнению, достаточное представление о предлагаемом содержании этого курса.

Эти материалы могут использоваться, естественно, и для обучения вне каких-либо особых элективных курсов, при обучении «обычной» математике, формируя интерес к логическим вопросам математики, мотивируя необходимость более глубокого внимания к ее языку и логике. Заметим, что принятые нами система логических понятий и соответствующая символика несколько отличается от того, что предложено в упомянутом выше учебнике «Алгебра и начала анализа».

1. Составить таблицу истинности для высказывания   (А=> В) ~ ().

В результате решения этой задачи учащиеся получают формальное доказательство равносильности прямой теоремы и противоположной к обратной ей теоремы.

2. По мишени произведено три выстрела. Пусть A {Мишень поражена при  k-м   выстреле}   (k =1,2,3). Что означают следующие высказывания:

а)    б)

в) ;

г)  ?

Слово «означает», которое на школьном уровне невозможно определить формально — как, например, и слово «упростить» — подразумевает здесь, что требуется передать содержание данных предложений на обычном русском языке. Поэтому ответ на поставленный вопрос не может быть однозначным в рамках используемых слов, и критерии оценки «качества» ответа — его компактность, легкая воспринимаемость, можно сказать, литературность с точки зрения русского языка, верная передача сути.

Ответ: а) есть хотя бы одно попадание; б) все три выстрела попали в цель; в) мишень поражена одним и только одним выстрелом; г) есть по крайней мере два попадания.

3. Упростить высказывание .

Ответ:   .

Решение этой задачи можно провести на основе алгебры логических преобразований.

4. Прочитать приведенные ниже высказывания и установить их истинность или ложность (R):

а)            в) ;

б)           г) .

Ответ: а) для любого  х  найдется такой у, что х + у = 3 (истинно);

б) существует такой у, что для любого х,  х + у = 3 (ложно);

в)существуют х, у,  которые положительны и их сумма равна нулю (ложно);

г)неравенство    >   справедливо тогда и только тогда, когда х > 1  или х < 0  (истинно).

В задаче а) ученик должен пояснить, что при любом х можно положить

у = 3 - х; в задаче б) доказать, что такой у существовать не может: при равенство не является верным при любом х в задаче; в) он должен сослаться на утверждение, что сумма двух положительных чисел всегда положительна; и наконец, в задаче г) сослаться на алгоритм решения квадратных неравенств.

5. Сделайте заключение о связи между А и С в следующих случаях:

а)  любое А  есть  В и никакое   В не есть С;

б)  любое А  есть  В  и любое   В есть  С;

в)  некоторое А  есть В  и любое  В есть С.

Запишите подученные силлогизмы на языке логики одноместных предикатов и на языке теории множеств.

Ответ: а) никакое А  не есть  С;

б) любое А  есть  С;

в)  некоторое А  есть  С;

 Ø.

6. Равносильны ли высказывания: «Для всякого числа х существует число у такое, что   х > у» и «Существует число у такое, что для всех х, х > у»? Являются ли они истинными?

Ответ: нет. Первое высказывание истинно, второе ложно.

При решении задачи целесообразно требовать, чтобы истинность первого высказывания была подтверждена примером, показывающим существование числа у,  меньшего х (например, у = х - 1), а ложность второго — обоснована его «смыслом», это высказывание означает, что существует (в множестве  R)  наименьшее число у.

7. Эквивалентны ли высказывания: а)  и ;    б)  и ?

Ответ:  а) да;  б) да.

8.  Следует ли из предложения предложение на множестве: а) натуральных чисел; б) целых чисел?

Ответ:  а) да;  б) нет.

9.  Следует ли из первого предложения второе, следует ли из второго — первое?

а) х > 3; х > 5;   б) ;

в)  х > 3; х < 5;

г)  треугольник ABC— равнобедренный; треугольник ABC — равносторонний.

Ответ: а) из первого не следует второе, из второго следует первое; б) из первого следует второе, из второго не следует первое; в) ни одно из данных предложений не следует из другого; г) из первого не следует второе, из второго следует первое. В решении задачи утверждения «не следует», естественно, должны быть подкреплены необходимыми  контрпримерами.

10. Расположите следующие понятия в ряд так, чтобы каждое последующее было родовым по отношению к предыдущему: призма, куб, многогранник, параллелепипед, четырехугольная призма, прямой параллелепипед, выпуклый многогранник, прямоугольный параллелепипед.

Ответ: куб, прямоугольный параллелепипед, прямой параллелепипед, параллелепипед, четырехугольная призма, призма, выпуклый многогранник, многогранник.

11. В приведенных ниже определениях выделите название определяемого понятия, родовое понятие и видовые отличительные признаки:

а) треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой;

б) отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией;

в) числа, которые можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными.

Ответ: а) прямоугольный треугольник; треугольник; наличие прямого угла; б) средняя линия трапеции; отрезок: соединяет середины боковых сторон трапеции; в) рациональное число; число; возможность записать в виде , где р — целое число, a q — натуральное.

12. Проанализируйте приведенные ниже определения и установите, какие из них сформулированы правильно, а какие неправильно. В последнем случае укажите характер ошибки и исправьте определения:

а) касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности;

б) параллелограмм, в котором углы, образованные диагоналями с одной из его сторон, равны, называется прямоугольником;

в) параллельными прямыми называются такие прямые, которые не пересекаются.

Ответ: а) формулировка неправильная. Понятие касательной определяется через неизвестное слово «касается». Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку;

б) формулировка правильная; в) формулировка неправильная, пропущен признак: лежат в одной плоскости.

13.Найдите логическую ошибку в определении:

«двугранным углом называется угол, образованный двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой».

Ответ: упомянутое в «определении» понятие «угол» не является в действительности родовым для понятия «двугранный угол». Под «двугранным углом» понимается пространственная фигура, а под «углом» — плоская фигура.

14.Выявите лишние слова в следующих определениях:

а) две непересекающиеся прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости;

б) диаметром круга называется наибольшая хорда, проходящая через центр;

в) две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.

Ответ: слово «непересекающиеся»; б) слово «наибольшая»; в) слова «сколько бы их ни продолжали».

15. Сформулируйте различные определения окружности.

Ответ: окружностью называется: 1) геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки; 2) замкнутая плоская кривая постоянной кривизны; 3) замкнутая кривая, описанная конном отрезка, который вращается на плоскости вокруг своего другого неподвижного конца; 4) множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

, где a, b, r — произвольные действительные числа и  r > 0.

16. По возможности наиболее кратко запишите следующие предложения с помощью математических символов:

а) ни одно из действительных чисел а, b, с не равно нулю;

б) числа а и b имеют противоположные знаки или хотя бы одно из них равно нулю;

в) число   с — единственный корень уравнения f(x)=0.

г) множество X R ограничено сверху.

Ответ: a) ;  б) ;

в); г) .

17.Опишите множество:

a) ;

б)

Ответ: а) множество точек, лежащих на прямой у = 2 - х, б) А есть множество всех целых неотрицательных корней уравнения

18. Запишите словами следующие высказывания:

а) , где А и В – некоторые множества;

б)

в)

г)

Ответ: а) любой х, если он является элементом множества А (принадлежит множеству А), является также элементом множества B; б) существует объект х, обладающий одновременно свойствами S и Р; в) утверждение «неверно, что всякий объект х обладает свойством А» равносильно утверждению «существует объект х, не обладающий свойством А»; г) утверждение «неверно, что существует объект х, обладающий свойством A» равносильно утверждению «ни один объект х не обладает свойством А».

19.Прочитайте математические записи и укажите их смысл:

а)

б)

Ответ: а) для любого числа х, принадлежащего интервалу (а; b), существует число у, равное f(х). Интервал (а; b) входит в область определения функции у =f(х); б) существует число у такое, что для всякого х, принадлежащего интервалу (a; b), y = f(x). На интервале (а; b) функция

у =f(х) постоянна.

20.Число   b   называется пределом функции у =f(х) при х, стремящемся к а, если для любого положительного числа   найдется такое положительное число  ,  что при всех, удовлетворяющих неравенству  , будет выполнено неравенство   .  Запишите это определение на языке логики предикатов.

Ответ:  

ЧТО ДЕЛАТЬ С ОШИБКАМИ

А. С. ЯPCКИЙ (Москва)

Естественная и зачастую единственная реакция учителя на ошибку ученика — сни­женная оценка. Нередко единственная реакция ученика на собственную ошибку — чувство досады... из-за сниженной оценки. Как следствие из года в год ученики старших классов, абитуриенты вузов, студенты младших курсов делают одни и те же ошибки...

Ученик работает у доски и, уловив тень сомнения в глазах учителя, мгновенно стирает написанное. Всё, нет ошибки!.. Но примеры безошибочных решений учитель способен привести и сам. А ученика пригла­сили к доске, в частности, затем, чтобы он ошибался. Он интересен своими ошибками.

Чтобы перестать делать ошибки, существует, по нашему мнению, только один путь: нужно делать ошибки, находить ошибки и исправлять ошибки. Проще говоря, чтобы не делать ошибок, нужно вволю наошибаться. Ошибка, «не убитая» в процессе самостоятельной работы, «убивает» на контрольной или экзамене.

Ученики нередко задают вопрос: «А можно здесь помножить на знаменатель (возвести в квадрат, не делать проверки, сократить и т. п.)?» По существу, подобный вопрос

является попыткой переложить ответственность за решение на учителя. В ответ уместно переспросить: «Вы хотите, чтобы я вам разрешил или запретил сделать го, о чем вы спросили? Сие не в моей власти. Так что адресуйте свой вопрос самим себе!»

Ученик перестанет ошибаться тогда, когда ответственность за полученный результат полностью ляжет на него самого, когда появится ощущение, что только он сам — не приятель, не учитель может отыскать выход из создавшейся ситуации, что только от качества его собственной работы зависит конечный результат.

Вспоминается расхожая истина — умные люди учатся на чужих ошибках. Увы, в математике приходится учиться в основном на собственных ошибках. Иными словами, если ученик не ошибается, то он не учится.

Ошибка — вещь необходимая и полезная. Нужно лишь правильно относиться к ошиб­ке, умело и грамотно ее использовать.

1.  Не знаешь алгебры  — займись арифметикой

   Нередко ученик использует неверную формулу или, что еще хуже, вообще не отдает

себе    отчета,    чем    именно    он    пользуется. Рассмотрим типичные примеры.

Сколько бы учитель ни заставлял учеников повторять свойства радикалов, рано или поздно кто-нибудь из них напишет нечто подобное.

Если учитель в очередной раз скажет: «Так нельзя!», то долговременного эффекта это не даст. Подсказан или продиктовав некий факт, мы загружаем оперативную память ученика. Последняя — как в компьютере — обновится при новом включе­нии... Чтобы информация попала в «долговременное запоминающее устройство», необходимо добиться понимания, а в данном случае — осознания учеником его ошибки. Для этой цели пригоден следующий почти универсальным сонет:

— Проверьте написанное вами равенство при каком-нибудь значении х. Например, при х = 1 .

Важно,    чтобы ученик сам написал  и получил  абсурдный  результат

Полезен  и  иной тезис:

- Предложенное    Вами    преобразование заметно упрощает теорему Пифагора:

Последнее равенство опровергается и повседневной практикой: шагать по катетам все-таки дальше, чем по гипотенузе.

Интересные свойства рассматриваемой цепочки равенств еще, но исчерпаны. При х = - 1 получим

В ошибочности первого равенства ученик уже убедился. Но, оказывается, и второе равенство неверно.

Не стоит жалеть времени на подробное обсуждение и исправление двух сделанных ошибок.

«Почленное деление»:

И в данной ситуации уместно дать учени­ку тот же совет:

— Проверьте Ваше равенство, например, при х=1:

После такого конфуза ученик должен наконец понять, что не учитель, а арифметика не позволяет делать подобные преобразования.

Не лишним будет и еще одно наблюде­ние:

— Посмотрите, при каких значениях х определено каждое из трех написанных вы­ражений.

В первом выражении x, во втором, в последнем х — любое число. Тем самым все выражения различны.

При работе с «многоэтажными» дробями школьники делают отчаянно много ошибок. Например:

И снова нужно посоветовать ученику проверить написанное при конкретных значениях переменных. Так, при  получим

В результате ученик должен сделать вывод, что при работе с «трехэтажными» выражениями лучше добавить скобки, чем сравнивать длины обозначающих дроби «черточек»:

(К слову, последним правилом обычно руководствуются программисты: «Лучше лишние скобки, чем лишние ошибки».) И разумеется, должна появиться верная запись

К сожалению,  не  редкость и арифметические «фокусы»:

Не исключено, что написавший подобную нелепость ученик в свое время получил пятерку за отменно вызубренное «правило деления дроби на число». Правда, он так и не задумался, из каких соображений предложено именно такое правило, в чем его смысл. Поэтому он не видит никакой конкретики за исходной записью

Впрочем, никогда не поздно объяснить человеку, что, отсыпав половину из мешка, наполненного на одну треть, нельзя, к сожалению, наполнить его на две трети. (В противном случае этим стоило бы заняться.)

«Интересные преобразования» часто встречаются при работе со степенями.

                (1)

    Это изящное преобразование выполняется следующим способом: слегка удлиняется «палочка» в показателе степени исходного выражения.

Если учитель в очередной раз подскажет, что означает дробь в показателе степени, то это даст лишь сиюминутный результат. Следует вернуть ученика от алгебры к арифме­тике — заставить его самостоятельно прове­рять написанное при конкретных значениях переменной. Например, при a=2 получится

Последнего обычно достаточно, чтобы уче­ник вспомнил определение:

        (2)

Если же ученик так и не «пришел в себя», то можно дать еще один совет:

— Вся алгебра держится на возможности проделать с обеими частями равенства одну и ту же операцию. Попробуйте возвести обе части вашего равенства в квадрат:

Зная хоть что-нибудь о свойствах степеней, ученик преобразует левую часть равенства

и получит, наконец, возможность восстановить определение (2).

Автору преобразование типа (1) встретилось недавно в работе абитуриента в следующей редакции:

Особенно много «интересных преобразо­ваний» возникает в тригонометрии. Не найдя, какой бы из имеющихся в шпаргалке формул воспользоваться, ученик начинает изобретать что-то оригинальное. К наиболее ходовым изобретениям такого типа относятся «формулы»:

                           (3),   (4)

И снова следует предложить ученику про­верить написанные формулы при каких-либо «хороших» значениях угла x: 0,

В частности, «формула» (3) при х=/6 приводит к неверному равенству

Впрочем, установить ошибочность формулы не так уж сложно. Заметно сложнее исправить неверную формулу. Полезно предложить ученику следующую работу:

— Выпишите для известных вам «хороших» углов значения cos 2x и cos x и поищите связь по табл. 1.

                                                    Таблица   1

X	0	/6	/4	/3	/2
cos 2х	1	1/2	0	-1/2	-1
cos x	1	/2	/2	1/2	0

В строке «cos 2x» нет радикалов, а в строке «cos х» они есть. Вероятно, чтобы нащупать связь, следует вместо cos x рассмотреть cos (см. табл. 2).

                 Таблица  2

cos 2x	1	1/2	0	-1/2	-1
cos	1	3/4	1/2	1/4	0

В строке значений cosесть знаменатели 4, а среди значений cos2x — только поло­винки и целые. Видимо, значения cosнужно умножить на 2 (см. табл. 3).

                                                                            Т а б л и ц а   3

cos 2x	1	1/2	0	-1/2	-1
2 cos	2	3/2	1	1/2	0

Теперь видно, что все значения во второй строке больше соответствующих значений первой строки на 1. Следовательно, cos 2x= =2cos—1.

Поработаем теперь с «формулой» (4).

При х=/2 получим  . Придется вспомнить формулу приведения: . Итак, рассматриваемая формула привела к неверному равенству cos y = l+sin у. Последнее равенство наталкивает на мысль, что в правой части формулы должен присутствовать еще и cosy, а значит, и cosx. Попытаемся так составить формулу, чтобы она давала верное равенство хотя бы для углов х=/6 и у=/3. Из значений

  

  

удается получить верное равенство следующим способом (иного способа ученики автора до сих пор не предлагали):

    Тем самым

   Итак, формула угадана:

sin (x+y)=sin x*cos y+cos x*sin у.

По поводу проведенных рассуждений уместно сформулировать шуточную, но полезную теорему.

Предложение. Если правдоподобная тригонометрическая формула выполнена для «хороших» углов   то она верна.

Разумеется, существует масса других способов восстановить ту или иную тригонометрическую формулу. Однако простейшим с идейной точки зрения является вычисление значений тригонометрических функций и поиск связи между найденными значениями. Подобную работу ученикам полезно проделать еще до того, как они впервые познакомится с той или иной формулой.

2. От радикала — к степени

Почти всякий раз переход от записи с радикалом к записи со степенью сопровождается стандартной ошибкой:

         (3)

Ошибка состоит в том, что написанная формула верна лишь для неотрицательных значений переменной.

Проведем рассуждение. Если формула (3) верна, то

В частности, при х= -1  получим

Но, а  не существует. Тем самым результат возведения числа —1 в степень 1/3 зависит не от самой степени, а от ее записи. Иными словами, корректно определить дробную степень отрицательного числа не удается.

Таким образом, преобразование (3) приводит к потере отрицательных значений переменной.

Например, уравнения  и неравносильны. В первом уравнении х=±1, а во втором х= 1.

Лишь немногие ученики понимают, что при переходе от записи с радикалом к записи со степенью приходится пользоваться формулой

т. е. рассматривать два случая — неотрицательные и отрицательные значения подкоренного выражения.

3. Ошибки от непонимания

Приведенные ниже записи являются небольшим фрагментом весьма обширной коллекции. Впрочем, новые оригинальные экспонаты появляются крайне редко. В основном обновляются старые:

Едва   ли   каждая   из   указанных   записей нуждается в отдельном комментарии. Заметим только, что последняя «формула» содержит ту же ошибку, что и «формула» |х| = ± х. А между тем она частая гостья в записях не только школьников но, увы, и учителей.

Особенно много ошибок появляется в ситуациях, требующих от ученика не столько памяти, сколько логики — умения рассуждать. В частности, школьники делают недопустимо много ошибок при решении неравенств. Одна из причин состоит в том, что функциональная точка зрения на неравенство — связь решения с монотонностью фигурирующих в неравенстве функций — остается для них слишком абстрактной.

Определение. Функция f(х) называется монотонно возрастающей на множестве если

                 

Функция f(х) называется монотонно убывающей на множестве  если           

В частности,  функция f(x)=x возрастает на множестве  Следовательно,         

Иначе говоря, неравенство, обе части которого неотрицательны, можно возводить в квадрат.

Та же функция f(x)=x убывает на множестве.

Иными словами, если обе части неравенства неположительны, то при возведении в квадрат следует сменить знак неравенства на противоположный.

Функция f(х)=х возрастает на множестве R всех действительных чисел. Следовательно, 

Тем самым любое неравенство можно возводить в куб.

Аналогично: функция f(x)=3 возрастает на множестве R. Следовательно, при потен­цировании по основанию 3 знак неравенства сохраняется:

Функция f(x)= убывает на множестве М=(0;). Следовательно, при логарифмировании по основанию 0,2 знак неравенства меняется на обратный:

Проанализируем следующие два примера из приведенных выше в списке ошибок.

Пример  1.    

Введя в рассмотрение функцию f(x)=можно переписать неравенство  в виде f(x)<f(1). Функция f(х) убывает на каждом из интервалов , но не является убывающей на их объединении. Следовательно, переход     справедлив лишь при  условии  х >0:       

Случай х < 0 придется рассмотреть отдельно.  Впрочем,  несложно заметить,  что  при  х < 0  неравенство   выполнено.

Пример 2:  .

Для решения неравенства

                        

введем    в    рассмотрение    функцию    f(х)=. Неравенство примет вид f(х) > 0.

 Функция f(х) является разностью убывающей  и возрастающей функций и, следовательно, убывает на всей своей области определения.. Кроме того, f(1)=0. Суммируя сказанное, получим

Итак, исходное неравенство равносильно системе

4. Чтобы не делать ошибок

Известно небольшое число правил, следуя которым можно заметно уменьшить количество ошибок. Подобные формулировки принято относить к фольклору. Однако познакомить с ними учеников небесполезно.

По поводу того, где с наибольшей вероятностью может появиться ошибка, имеется неплохая формулировка.

Правило ГАИ. Большинство аварий происходит при небольшой скорости.

Иными словами, ошибки чаще всего возникают в простых ситуациях.

В частности, нужно с особой тщательностью проверять, верно, ли списано условие задачи, решено квадратное уравнение и т. п. Окончанию решения задачи обычно уделяется минимум внимания — все трудности позади. Именно в конце чаще всего появляются ошибки. Поэтому начинать поиск ошибки лучше с конца.

Получив неверный ответ, ученик обычно не знает, что с ним делать. На этот случай есть мудрая пословица:

Нет, худа без добра. Лучше неверный от­вет, чем никакого.

Подставляя полученное значение корня последовательно от конца к началу в каждое и) написанных соотношений, можно относительно быстро найти ошибочный переход.

Чтобы не делать ошибок в преобразованиях, полезно учитывать два сонета.

Правило закройщика. Вручную обычной иголкой шов делается так: стежок вперед и назад, еще вперед и снова назад...

Выполнять преобразования нужно так же, как закройщик делает шов — после каждого перехода нужно «оглянуться назад», проверить полученный результат обратным преобразованием.

Например, вынесли множитель за скобки раскройте скобки и проверьте, получится ли прежнеe выражение.

Правило программиста. Работай блоками. Невозможно отлаживать программу в целом. Следует разбить работу на небольшие автономные блоки и проконтролировать правильность каждого такого блока.

Сказанное означает, в частности, что при работе с громоздким выражением полезно разбить его на небольшие «блоки» и упростить каждый из них.

При решении системы уравнений следует сначала разобраться с каждым уравнением в отдельности.

5. Об ошибках в оформлении и «точке с запятой»

Сталкиваясь со школьными «требованиями к оформлению», вузовский преподаватель приходит в некоторое замешательство. Дело в том, что упомянутые требования носят внематематический характер и практически не снизаны с проверкой знаний. Последнее особенно остро ощущают сильные, хорошо подготовленные ученики. Их откровенно (и справедливо) раздражает неписаное правило: «Два недочета = ошибка».

Единственное требование к любому математическому тексту состоит в ясном отражении логики решения задачи. При этом не играет роли, чертил ли автор текста поля, писал ли какие-то слова типа «обозначим», «так как... то» или изложил решение без слов — при помощи общеупотребительных символов.

Например,  по  вузовским  меркам запись

             

является исчерпывающей и в словесном комментарии не нуждается. Важно, чтобы школьник, верно, преобразовал неравенство, а не цитировал по памяти полуграмотную фразу: «Так как основание логарифма меньше единицы, то функция убывает, и знак неравенства меняется».

Современный экзамен по характеру часто приближается к тестированию. А в таких условиях остается и вовсе одно-единственное требование к оформлению — разборчивая запись ответа.

Увлечение оформительством мешает обратить внимание на вещи более серьезные. Например, для уравнения

             

нередко предлагается следующее решение:

        ОДЗ:    ;

         

.  По теореме  Виета. Проверка показывает,  что   не  удовлетворяет условию. Ответ:  1.

Изложенное решение обычно оценивается как верное. Однако предложенная после­довательность записей оставляет ряд неясностей:

1.    ОДЗ   в   решении   не   использовалась. Зачем нужно было ее искать?

2.  Один из двух корней «не удовлетворяет условию». Откуда же он взялся?  Понимает ли  ученик,  что  к появлению  постороннего корня привела не ошибка, а использованное при решении возведение в квадрат?

3.   Какими логическими знаками следует связать сделанные записи?

4.  Какой математический закон обязывает считать  и  значениями переменной х? (Ведь в геометрии, например, точки А и А₁ не имеют, вообще говоря,  ничего общего.) Разумеется, из контекста ясно, что обозначено   привычными   символами  и  Но зачем  подменять ясные  математические записи околоматематическими  условностями?

Указанные в п. 1, 2 и 4 дефекты можно счесть не стоящими внимания придирками. Но упомянутое в п. 3 отсутствие логических знаков — это серьезная ошибка. Впрочем, эта ошибка присутствует практически во всех работах школьников и абитуриентов.

Приведем для сравнения иную редакцию решения:

Поскольку возведение в квадрат могло привести к появлению посторонних корней, необходима проверка. При x=l:    - верно. При х=-2: - неверно. От­вет: 1.

Если вместо первой импликации «» уче­ник напишет «», то это будет ошибкой. Если же любую из оставшихся эквиваленций «» заменить на «», то все останется верным.

Автор первого варианта решения, вероятно, просто не думал о логических связях сделанных им записей и механически разделял их символом «точка с запятой».

Впрочем, если бы «точка с запятой» употреблялась только в одном строго определенном смысле, то нее было бы не так плохо. Но на самом деле этот символ и работах школьников может заменять символы «следовательно», «равносильно», «равносильно при дополнительных условиях», означать как «и», так и «или», «объединение» или «пересечение» множеств. Нередки, например, записи следующего типа:

«ОДЗ:. Ответ:  ». В худшем для ученика случае в подобных записях отмечается «недочет», но чаще пес го   претензий   не   предъявляется.   Стоит  ли говорить о  каких-то  «ошибках  в  оформлении»,  если  из  поля  зрения   выпадает  главное   —   верное   отражение  логики   решения задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Григорьева Т. П. Технология обучения правилам в системе развивающего обучения // Математика в школе. —1999. — № 2.

2.   Заесенок В. П. Эвристические приемы решения логических задач

// Математика в школе. —2005. — № 3.

3.  Карелина Т. М. Методы проблемного обучения // Математика в школе. —2000. — № 5.

4. Тарасенкова  Н. А. Пропедевческий этап обучения поиску дополнительных построений // Математика в школе. —2000. — № 4.

5.   Ведерникова Т. Н. , Иванов О. А. Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики // Математика в школе. —2002. — № 3.

6.  Григорьева И. С. Взгляд на элементарную геометрию с точки зрения высшей // Математика в школе. —1997. — № 5.

7.   Мордовина Е. Е. К вопросу реализации логической составляющей образовательной области  «Математика» // Математика в школе. —2005. — № 9.

8.   Ярский А. С.  Что делать с ошибками  //  Математика в школе. —1998. — № 2.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГО

Больше работ по теме: